ધારો કે g:(0, infty) rightarrow R એક વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1}

Vedclass · Accepted Answer

$g - g'$ એ $(0, \pi/2)$ માં વધતું વિધેય છે

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right)$. જમણી બાજુ ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right) = \frac{(e^x + 1)(g(x) + x g'(x)) - x g(x) e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x) + x g'(x)(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}$. પદોને સરખાવતા: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} = \frac{x g'(x)}{e^x + 1}$. $x > 0$ હોવાથી,$g'(x) = \cos x - \sin x$. હવે વિકલ્પો તપાસીએ: $1$. $g'(x) = \cos x - \sin x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$\cos x > \sin x$,તેથી $g'(x) > 0$,એટલે કે $g$ વધતું વિધેય છે. $2$. $g''(x) = -\sin x - \cos x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$g''(x) $3$. ધારો કે $h(x) = g(x) + g'(x)$. તો $h'(x) = g'(x) + g''(x) = -2 \sin x $4$. ધારો કે $\phi(x) = g(x) - g'(x)$. તો $\phi'(x) = g'(x) - g''(x) = 2 \cos x > 0$,તેથી $\phi$ વધતું વિધેય છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

Similar Questions

$\int \frac{\sqrt{1-x^2} \sin ^{-1} x+x}{\sqrt{1-x^2}} d x=$

જો $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$ હોય,તો $f(x)=$

$\int (1+\tan^2 x)(1+2x \tan x) dx =$

$\int {\frac{{{{\sin }^{ - 1}}x - {{\cos }^{ - 1}}x}}{{{{\sin }^{ - 1}}x + {{\cos }^{ - 1}}x}}} dx = $

$\int \frac{\tan^{-1} x - \cot^{-1} x}{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module