ધારો કે $f(x)$ એ $x$ માં $6$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,જેમાં $x^{6}$ નો સહગુણક $1$ છે અને તેને $x=-1$ અને $x=1$ આગળ અંતિમબિંદુઓ (extrema) છે. જો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ હોય,તો $5 \cdot f(2)$ ની કિંમત ............. થાય.

ધારો કે $f:R \to R$ એ એક સતત વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ થાય. જો $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ હોય,તો $\lim_{x \to 2} g(x)$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $R$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેયો છે જેથી
$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$
$f^{\prime}(1)=4, g^{\prime}(1)=3$
$f(2)=12, g(2)=4$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?