ધારો કે $B_{i} (i=1, 2, 3)$ એ નમૂના અવકાશમાં ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. માત્ર $B_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $B_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $B_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ઘટના $B_{i}$ બનતી નથી અને આ $4$ સંભાવનાઓ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું પાલન કરે છે (બધી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ ધારવામાં આવે છે). તો $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ ની કિંમત .......... છે.

ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2$ અને $S_3$ ને ઉકેલવા માટે એક સમસ્યા આપવામાં આવી છે. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:
$U:$ $S_1, S_2$ અને $S_3$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,
$V: S_1$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,આપેલ છે કે $S_2$ કે $S_3$ માંથી કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$W: S_2$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે અને $S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$T: S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$P(E)$ એ $E$ ની સંભાવના દર્શાવે છે.
જો $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ અને $P(W)=\frac{1}{12}$ હોય,તો $P(T)$ ની કિંમત શોધો.

એક બેટરી ઉત્પાદન ફેક્ટરીમાં,મશીનો $P$,$Q$ અને $R$ કુલ ઉત્પાદનના અનુક્રમે $20 \%$,$30 \%$ અને $50 \%$ ઉત્પાદન કરે છે. આ મશીનો દ્વારા ખામીયુક્ત બેટરી ઉત્પન્ન થવાની શક્યતા અનુક્રમે $1 \%$,$1.5 \%$ અને $2 \%$ છે. જો ઉત્પાદનમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક બેટરી પસંદ કરવામાં આવે,તો તે ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

જો $a$ અને $b$ ને ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પુનરાવર્તન સાથે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}=6$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $7$ પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે,તો ઉપરની સપાટી પર તમામ છ અંક દેખાય તેની સંભાવના કેટલી થાય -

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ એવી હોય કે $P(\bar{A})=\frac{2}{3}$,$P(B)=\frac{4}{15}$ અને $P(A \cap \bar{B})=\frac{1}{5}$,તો $\sqrt{195[P(B \mid(A \cup \bar{B}))+P(A \cup B)]} = $