ધારો કે m, n in mathbb{N} અને operatorname{gc | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom

Vedclass · Accepted Answer

$45$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

Similar Questions

જો $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .......... + C_nx^n$ હોય,તો $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2C_2}{C_1} + \frac{3C_3}{C_2} + .... + \frac{nC_n}{C_{n - 1}} = $

જો $(1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ હોય,તો $a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50}$ એ :

જો $n \geq 2$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો શ્રેણી ${}^{n+1} C_{2}+2\left({}^{2} C_{2}+{}^{3} C_{2}+{}^{4} C_{2}+\ldots+{}^{n} C_{2}\right)$ નો સરવાળો ...... થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module