જો વક્ર y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ 2(x^{2}+x^{5/4}) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ છે.$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} -

Vedclass · Accepted Answer

$4(\frac{31}{3}-\frac{8}{3} \log_{e} 3)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ છે.$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{2x}$ અને $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ છે.ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$.ધારો કે $x^{1/4} = t$,તો $x = t^{4}$ અને $dx = 4t^{3} dt$.$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$.આનું સંકલન કરતા $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ મળે છે.બિંદુ $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = -\frac{1}{3}$ મળે છે.તેથી $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$.$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ એ વિકલ સમીકરણ $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ છે. તો $\alpha + \beta - \gamma$ ની કિંમત શોધો:

જો વક્ર $y = f(x)$ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય અને $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ નું સમાધાન કરે,તો $b$ ની કઈ કિંમત માટે $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module