-{ }^{15}C_{1} 2 cdot { }^{15}C_{2} - 3 cdo | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}   \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.પ્રથમ,સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (

Vedclass · Accepted Answer

$2^{13}-14$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}   \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.પ્રથમ,સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ ની ગણતરી કરો.$r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.$j = r-1$ લેતા,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.કારણ કે $n \ge 1$ માટે $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,તેથી $A = -15(0) = 0$.આગળ,$B = { }^{14}C_{1}   { }^{14}C_{3}   \ldots   { }^{14}C_{11}$ ની ગણતરી કરો.આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.$n=14$ માટે,$\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1}   { }^{14}C_{3}   \ldots   { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.તેથી,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.તેથી,કુલ સરવાળો $A   B = 0   2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ થાય.

$-{ }^{15}C_{1} 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} { }^{14}C_{5} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

$\frac{1}{1! 50!} + \frac{1}{3! 48!} + \frac{1}{5! 46!} + \dots + \frac{1}{49! 2!} + \frac{1}{51! 1!}$ ની કિંમત $.............$ છે.

જો $3 \leq r \leq 30$ માટે,$\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r} = \binom{m}{r}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો:

જો $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ હોય,તો $C_0 + 2 C_1 + 3 C_2 + \ldots + (n+1) C_n$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module