ધારો કે એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ બાઈનરી નંબરોની સ્ટ્રિંગ બનાવવા માટે માત્ર $0$ અને $1$ અંકો જનરેટ કરે છે. બેકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને એકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે. તો $'10'$ પછી $'01'$ આવે તેની સંભાવના કેટલી થાય?

એક રમતમાં,વ્યક્તિ $A$ દ્વારા બે પાસાઓ એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે અને વ્યક્તિ $B$ દ્વારા $52$ પત્તાના પેકમાંથી બે પત્તા યાદચ્છિક રીતે એકસાથે ખેંચવામાં આવે છે. જો $A$ ને બંને પાસાઓ પર દેખાતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે અને $B$ ને એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ મળે,તો તેઓ રમત જીતે છે. તો $A$ અને $B$ બંને જીતે તેની સંભાવના કેટલી છે?

$A$ અને $B$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=\frac{1}{4}$ અને $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ હોય,તો $P(B)$ શોધો.

ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ એક પછી એક બદલ્યા વગર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. બે સંખ્યાઓમાંથી ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય અથવા મહત્તમ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના શોધો.

ધારો કે $0 < P(A) < 1$,$0 < P(B) < 1$ અને $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$ તો

ફૂટબોલ ટીમો $T_1$ અને $T_2$ એકબીજા સામે બે મેચ રમે છે. બંને મેચના પરિણામો સ્વતંત્ર છે. $T_1$ ની $T_2$ સામે જીતવાની,ડ્રો કરવાની અને હારવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે. દરેક ટીમને જીત માટે $3$ પોઈન્ટ,ડ્રો માટે $1$ પોઈન્ટ અને હાર માટે $0$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે મેચ પછી અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ ટીમો દ્વારા મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
$(1)$ $P(X>Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$