JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=2}^{21} \log_{7^{1/n}} x = 460$ છે.
$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{7^{1/n}} x = n \log_7 x$ મળે.
તેથી,સરવાળો $\sum_{n=2}^{21} n \log_7 x = 460$ થાય.
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
સમાંતર શ્રેણી $2 + 3 + \dots + 21$ નો સરવાળો $\frac{20}{2} (2 + 21) = 10 \times 23 = 230$ છે.
તેથી,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = 2$.
આમ,$x = 7^2 = 49$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a > 0$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r > 0$ છે.
બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $3$ છે:
$ar + ar^2 + ar^3 = 3$ --- $(1)$
છઠ્ઠા,સાતમા અને આઠમા પદનો સરવાળો $243$ છે:
$ar^5 + ar^6 + ar^7 = 243$
$r^4(ar + ar^2 + ar^3) = 243$
$(1)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$r^4(3) = 243$ $\Rightarrow r^4 = 81$ $\Rightarrow r = 3$ (કારણ કે $r > 0$).
$r = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a(3) + a(9) + a(27) = 3$
$39a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{39} = \frac{1}{13}$.
પ્રથમ $50$ પદોનો સરવાળો $S_{50}$ નીચે મુજબ છે:
$S_{50} = \frac{a(r^{50}-1)}{r-1} = \frac{\frac{1}{13}(3^{50}-1)}{3-1} = \frac{1}{26}(3^{50}-1)$.

(C) ધારો કે $z = \frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}$.
અંશને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $-1+i \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2e^{i 2\pi/3}$.
છેદને લખતા: $1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{-\pi}{4} + i \sin \frac{-\pi}{4} \right) = \sqrt{2}e^{-i \pi/4}$.
તેથી,$z = \frac{2e^{i 2\pi/3}}{\sqrt{2}e^{-i \pi/4}} = \sqrt{2} e^{i (2\pi/3 + \pi/4)} = \sqrt{2} e^{i 11\pi/12}$.
હવે,$z^{30} = (\sqrt{2})^{30} e^{i (11\pi/12) \cdot 30} = 2^{15} e^{i 55\pi/2}$.
કારણ કે $e^{i 55\pi/2} = e^{i (26\pi + 3\pi/2)} = e^{i 3\pi/2} = -i$.
તેથી,$z^{30} = 2^{15} \cdot (-i) = -2^{15} i$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ધારો કે જીવા $AB$ ની લંબાઈ $AB=r$ છે.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $OM \perp AB$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OAM$ માં,$OA=r$ (ત્રિજ્યા) અને $AM = \frac{AB}{2} = \frac{r}{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OM^{2} = OA^{2} - AM^{2} = r^{2} - (\frac{r}{2})^{2} = \frac{3r^{2}}{4}$.
તેથી,$OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $2x-y+3=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(0) - (0) + 3|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ છે.
$OM = d$ લેતા,$\frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{3r^{2}}{4} = \frac{9}{5}$.
તેથી,$r^{2} = \frac{9}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{5}$.

(B) આપેલ માહિતી $3, 5, 7, a, b$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 5$ છે.
$\frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$ $\Rightarrow 15+a+b = 25$ $\Rightarrow a+b = 10$.
આપેલ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$ છે.
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = 4$.
$\frac{3^{2}+5^{2}+7^{2}+a^{2}+b^{2}}{5} - 5^{2} = 4$.
$\frac{9+25+49+a^{2}+b^{2}}{5} = 29$.
$83+a^{2}+b^{2} = 145 \Rightarrow a^{2}+b^{2} = 62$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$.
$10^{2} = 62+2ab$ $\Rightarrow 100-62 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 38$ $\Rightarrow ab = 19$.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 10x + 19 = 0$ મળે છે.

(B) રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ માટે,$a^{2}=100$ અને $b^{2}=64$ છે,તેથી $c^{2}=100m^{2}-64$.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=36$ માટે,$r^{2}=36$ છે,તેથી $c^{2}=36(1+m^{2})$.
$c^{2}$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$100m^{2}-64=36(1+m^{2})$
$100m^{2}-64=36+36m^{2}$
$64m^{2}=100$
$m^{2}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$.
હવે,$m^{2}$ ની કિંમત વર્તુળની શરતમાં મૂકતા:
$c^{2}=36(1+\frac{25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{16+25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{41}{16})$
$c^{2}=\frac{9 \times 41}{4}$
$4c^{2}=369$.

(D) ધારો કે વિભાગ $A, B,$ અને $C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1, n_2,$ અને $n_3$ છે,જેથી $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $n_i \ge 1$ થાય.
શક્ય વિતરણો $(n_1, n_2, n_3)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 2, 2)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
$2. (1, 1, 3)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
કિસ્સા $(1, 2, 2)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 500 = 1500$.
કિસ્સા $(1, 1, 3)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 250 = 750$.
કુલ રીતો $= 1500 + 750 = 2250$.

(C) આપેલ વિધાન $(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.

$p$	$q$	$q \rightarrow p$	$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$	$p \vee q$	$p \rightarrow (p \vee q)$	$(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$

અહીં અંતિમ સ્તંભમાં તમામ કિંમતો $T$ (સત્ય) હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(A) આપેલ છે $L = \sin^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \left(\frac{1 - \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$L = \frac{1}{2} \left[ \cos(\pi/4) - \cos(\pi/8) \right] = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
આપેલ છે $M = \cos^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ અને $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \left(\frac{1 + \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$M = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપણી પાસે $(1+x+x^{2}+x^{3})^{6} = ((1+x)(1+x^{2}))^{6} = (1+x)^{6}(1+x^{2})^{6}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^{6} = \sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} x^{r}$ અને $(1+x^{2})^{6} = \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{t} x^{2t}$.
ગુણાકાર $\sum_{r=0}^{6} \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{r} {}^{6}C_{t} x^{r+2t}$ થાય છે.
$x^{4}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$r+2t = 4$ લઈએ. શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો $(r, t)$ નીચે મુજબ છે:

$r$	$t$
$0$	$2$
$2$	$1$
$4$	$0$

સહગુણક ${}^{6}C_{0} \times {}^{6}C_{2} + {}^{6}C_{2} \times {}^{6}C_{1} + {}^{6}C_{4} \times {}^{6}C_{0}$ છે.
$= (1 \times 15) + (15 \times 6) + (15 \times 1) = 15 + 90 + 15 = 120$.

(A) ધારો કે પદો $a_1 = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1}$,$a_2 = 14$,અને $a_3 = 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2a_2 = a_1 + a_3$.
$2(14) = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1} + 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha} = 28$.
ધારો કે $x = 3^{2 \sin 2 \alpha}$. તો સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{81}{x} = 28$ બને છે.
$x^2 - 84x + 243 = 0$.
$(x - 81)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 81$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 3$ હોય,તો $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^1 \implies 2 \sin 2 \alpha = 1 \implies \sin 2 \alpha = 0.5$.
તેથી $a_1 = 3^{1-1} = 1$ અને $a_2 = 14$. સામાન્ય તફાવત $d = 14 - 1 = 13$.
છઠ્ઠું પદ $T_6 = a_1 + 5d = 1 + 5(13) = 1 + 65 = 66$.
જો $x = 81$ હોય,તો $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^4 \implies 2 \sin 2 \alpha = 4 \implies \sin 2 \alpha = 2$,જે અશક્ય છે.

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
પરવલય $x^{2}=4y$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-m^{2}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અંતઃખંડોને સરખાવતા: $\frac{1}{m}=-m^{2}$,જેનો અર્થ છે $m^{3}=-1$,તેથી $m=-1$.
$m=-1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y=-x-1$ અથવા $x+y+1=0$ મળે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
સૂત્ર $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $x \leftrightarrow \sim y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \leftrightarrow q \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$.
તેથી,$x \leftrightarrow \sim y \equiv (x$ $\rightarrow \sim y) \wedge (\sim y$ $\rightarrow x)$.
નિત્યસમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x \leftrightarrow \sim y \equiv (\sim x \vee \sim y) \wedge (y \vee x)$.
હવે,આપણે નિષેધ શોધીએ:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim((\sim x \vee \sim y) \wedge (x \vee y))$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim(\sim x \vee \sim y) \vee \sim(x \vee y)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv (x \wedge y) \vee (\sim x \wedge \sim y)$.

(D) ધારો કે $C$ એ કોફી પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $T$ એ ચા પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $n(C) = 73$ અને $n(T) = 65$.
ધારો કે $x = n(C \cap T)$ એ બંને પસંદ કરતા લોકોની ટકાવારી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T) = 73 + 65 - x = 138 - x$.
કારણ કે $n(C \cup T) \leq 100$,તેથી $138 - x \leq 100$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 38$.
વધુમાં,ફક્ત કોફી પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા $n(C) - x = 73 - x \geq 0$ છે,તેથી $x \leq 73$.
અને ફક્ત ચા પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા $n(T) - x = 65 - x \geq 0$ છે,તેથી $x \leq 65$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $38 \leq x \leq 65$ મળે છે.
આમ,$x$ એ $[38, 65]$ ની શ્રેણીમાં હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$36$ એ $[38, 65]$ ની શ્રેણીમાં નથી.
તેથી,$x$ એ $36$ હોઈ શકે નહીં.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^{2}-18|x|+5=0$
$x^{2} = |x|^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ બને છે.
ધારો કે $t = |x|$,તો $9t^{2}-18t+5=0$.
અવયવ પાડતા: $9t^{2}-15t-3t+5=0$.
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$.
$(3t-1)(3t-5)=0$.
તેથી,$|x| = \frac{1}{3}$ અથવા $|x| = \frac{5}{3}$.
બીજ $x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ થાય.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)$ છે.
આપણે તેને $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$ તરીકે લખી શકીએ.
પ્રથમ $10$ પદો માટે,સરવાળો $S$ નીચે મુજબ મળે:
$S = \sum_{n=1}^{10} (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(10))$.
$S = \tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(1)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{11-1}{1+11 \times 1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{10}{12}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{6}\right)$.
તેથી,$\tan (S) = \frac{5}{6}$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\overline{z} = x - iy$.
$\operatorname{Re}(z) = x$ અને $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$.
ચાર શિરોબિંદુઓ $A(x + iy)$,$B(x - iy)$,$C(-x - iy)$ અને $D(-x + iy)$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4$ એકમ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|(x + iy) - (x - iy)| = |2iy| = 2|y| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|y| = 2$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $|(x - iy) - (-x - iy)| = |2x| = 2|x| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|x| = 2$.
તેથી,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^{2} + 5y^{2} = 20$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
અંતર $PQ$ નો વર્ગ $PQ^{2} = (\sqrt{5} \cos \theta - 0)^{2} + (2 \sin \theta - (-4))^{2}$ દ્વારા મળે છે.
$PQ^{2} = 5 \cos^{2} \theta + (2 \sin \theta + 4)^{2}$.
$PQ^{2} = 5(1 - \sin^{2} \theta) + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = 5 - 5 \sin^{2} \theta + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = -\sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 21$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $PQ^{2} = -(\sin^{2} \theta - 16 \sin \theta + 64) + 64 + 21$.
$PQ^{2} = 85 - (\sin \theta - 8)^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,તેથી $85 - (\sin \theta - 8)^{2}$ ની કિંમત ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin \theta = 1$ હોય.
$\sin \theta = 1$ મુકતા,$PQ^{2} = 85 - (1 - 8)^{2} = 85 - (-7)^{2} = 85 - 49 = 36$.

(C) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2^{10}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S' = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S' = 2^{10} \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2^{10} \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \left( \frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}} \right) = 3^{11} - 2^{11}$.
આપેલ છે કે $S' = S - 2^{11}$,તેથી $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
આમ,$S = 3^{11}$.

(A) આપેલ શંકુચ્છેદનું સમીકરણ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$.
તેથી,$a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
$A$ અને $B$ એ નાભિ હોવાથી,ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $PA + PB = 2a = 2 \times 4 = 8$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે,તેથી બીજ $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
$\alpha$ એ ધન બીજ હોવાથી,$\alpha = 2$.
લિમિટના પદમાં $\alpha = 2$ મૂકતા,$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x + 2 - 4} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x - 2}$ મળે.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^{2}(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2 \sin^{2}(\frac{x^{2} - x - 2}{2})}}{x - 2}$ બને છે.
$x \rightarrow 2^{+}$ હોવાથી,$\sin(\frac{x^{2} - x - 2}{2})$ ધન છે,તેથી $\sqrt{\sin^{2}(\theta)} = \sin(\theta)$.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{x - 2}$ થાય છે.
લિમિટ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,$\frac{x + 1}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{2}} \cdot \frac{x + 1}{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{2 + 1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી માટે,$2x - y + 3 = 0$ ને $4x - 2y + 6 = 0$ તરીકે લખો. અંતર $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{|\alpha - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|\alpha - 6|}{2\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$|\alpha - 6| = 2$,જે $\alpha = 8$ અથવા $\alpha = 4$ આપે છે.
બીજી જોડી માટે,$2x - y + 3 = 0$ ને $6x - 3y + 9 = 0$ તરીકે લખો. અંતર $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{|\beta - 9|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2}} = \frac{|\beta - 9|}{3\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$|\beta - 9| = 6$,જે $\beta = 15$ અથવા $\beta = 3$ આપે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $(8 + 4) + (15 + 3) = 12 + 18 = 30$ થાય છે.

(C) $\left( x^{m} + x^{-2} \right)^{22}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{22}C_{r} (x^{m})^{22-r} (x^{-2})^{r} = {}^{22}C_{r} x^{22m - mr - 2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ના સહગુણક માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $1$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$22m - mr - 2r = 1 \implies r(m+2) = 22m - 1$.
આપણને આપેલ છે કે સહગુણક $1540$ છે,તેથી ${}^{22}C_{r} = 1540$.
કારણ કે ${}^{22}C_{3} = 1540$,તેથી $r = 3$ અથવા $r = 19$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 3$,તો $3(m+2) = 22m - 1 \implies 3m + 6 = 22m - 1 \implies 19m = 7$,જે $m = \frac{7}{19}$ આપે છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
કિસ્સો $2$: જો $r = 19$,તો $19(m+2) = 22m - 1 \implies 19m + 38 = 22m - 1 \implies 3m = 39 \implies m = 13$.
આમ,પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ એ $13$ છે.

(D) '$SYLLABUS$' શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $S, S, L, L, Y, A, B, U$.
અહીં $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી ($S, S$ અને $L, L$) અને $4$ અલગ અક્ષરો $(Y, A, B, U)$ છે.
$2$ સમાન અને $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરીને $4$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે.
પગલું $1$: સમાન અક્ષરોની જોડી પસંદ કરો. $2$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાના $^2C_1 = 2$ પ્રકાર છે.
પગલું $2$: બાકીના $5$ પ્રકારના અક્ષરોમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાના $^5C_2 = 10$ પ્રકાર છે.
પગલું $3$: $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી (જ્યાં $2$ સમાન છે): $\frac{4!}{2!} = 12$.
કુલ શબ્દો = $2 \times 10 \times 12 = 240$.

(B) શરતી વિધાન $(p \rightarrow q)$ નું પ્રતિ-ધન $(\sim q \rightarrow \sim p)$ છે.
અહીં,$p$ એ "$n^{3}-1$ બેકી છે" અને $q$ એ "$n$ એકી છે" તેવું વિધાન છે.
નકાર $\sim q$ એ "$n$ એકી નથી" એટલે કે "$n$ બેકી છે" થાય.
નકાર $\sim p$ એ "$n^{3}-1$ બેકી નથી" એટલે કે "$n^{3}-1$ એકી છે" થાય.
તેથી,પ્રતિ-ધન વિધાન છે: "પૂર્ણાંક $n$ માટે,જો $n$ બેકી હોય,તો $n^{3}-1$ એકી છે."

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}}-\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}e^{2}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(ae, \frac{b^{2}}{a})$ છે.
આ કિંમતો અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a^{2}x}{ae}-\frac{b^{2}y}{b^{2}/a} = a^{2}e^{2}$
$\frac{ax}{e}-ay = a^{2}e^{2} \Rightarrow \frac{x}{e}-y = ae^{2}$.
આ અભિલંબ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$0 - b = ae^{2} \Rightarrow b = -ae^{2}$.
લંબાઈ ધન હોવાથી $b = ae^{2}$ લેતા,$b^{2} = a^{2}e^{4}$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2}(1-e^{2}) = a^{2}e^{4}$
$1-e^{2} = e^{4} \Rightarrow e^{4}+e^{2}-1=0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x(2x+1)=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^{2}+2x-1=0$ થાય છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$4\alpha^{2}+2\alpha-1=0$ થાય,એટલે કે $1 = 4\alpha^{2}+2\alpha$.
$\beta$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$\beta = -\frac{4\alpha^{2}+2\alpha}{2} - \alpha = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha = -2\alpha^{2} - 2\alpha = -2\alpha(\alpha+1)$.

(C) આપેલ છે $z = x + iy$ અને $z^{2} = i|z|^{2}.$
$z = x + iy$ અને $|z|^{2} = x^{2} + y^{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + iy)^{2} = i(x^{2} + y^{2})$
$x^{2} - y^{2} + 2ixy = i(x^{2} + y^{2})$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x^{2} - y^{2} = 0 \Rightarrow (x - y)(x + y) = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $2xy = x^{2} + y^{2}$ $\Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} = 0$ $\Rightarrow (x - y)^{2} = 0$
કાલ્પનિક ભાગ પરથી,આપણને $x = y$ મળે છે.
$x = y$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} - y^{2} = 0,$ જે સંતોષાય છે.
તેથી,$z$ એ રેખા $y = x$ પર આવેલી છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તો $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ નો સામાન્ય તફાવત $d + 2$ છે.
પ્રથમ $A.P.$ માટે,$a_{40} = a + 39d = -159$ અને $a_{100} = a + 99d = -399$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a + 99d) - (a + 39d) = -399 - (-159)$ $\Rightarrow 60d = -240$ $\Rightarrow d = -4$.
$d = -4$ ને $a + 39d = -159$ માં મૂકતા: $a + 39(-4) = -159$ $\Rightarrow a - 156 = -159$ $\Rightarrow a = -3$.
હવે,$a_{70} = a + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279$.
આપેલ છે કે $b_{100} = a_{70}$,તેથી $b_{100} = -279$.
બીજા $A.P.$ ના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279$.
$d = -4$ મૂકતા: $b_{1} + 99(-4 + 2) = -279 \Rightarrow b_{1} + 99(-2) = -279$.
$b_{1} - 198 = -279 \Rightarrow b_{1} = -279 + 198 = -81$.

(A) ધારો કે શિખરની ઊંચાઈ $h$ છે. શરૂઆતના બિંદુથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d} \Rightarrow d = h$,જ્યાં $d$ એ પર્વતના પાયા સુધીનું આડું અંતર છે.
$30^{\circ}$ ના ખૂણે $1 \ km$ ચઢ્યા પછી,નવું સ્થાન ઊંચાઈ $x = 1 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \ km$ અને શરૂઆતના બિંદુથી આડું અંતર $z = 1 \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ km$ પર છે.
પર્વત સુધીનું નવું આડું અંતર $y = d - z = h - \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
વર્તમાન સ્થાનની સાપેક્ષમાં નવી ઊંચાઈ $h - x = h - \frac{1}{2}$ છે.
નવો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\tan 60^{\circ} = \frac{h - x}{y}$ થાય.
$\sqrt{3} = \frac{h - 1/2}{h - \sqrt{3}/2}$.
$\sqrt{3}(h - \frac{\sqrt{3}}{2}) = h - \frac{1}{2}$.
$\sqrt{3}h - \frac{3}{2} = h - \frac{1}{2}$.
$h(\sqrt{3} - 1) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$.
$h = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(C)=0.5, P(A \cup B)=0.8, P(A \cap C)=0.3, P(A \cap B \cap C)=0.2$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$0.8 = 0.6 + 0.4 - P(A \cap B)$,તેથી $P(A \cap B) = 0.2$.
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = 0.6 + 0.4 + 0.5 - 0.2 - \beta - 0.3 + 0.2 = 1.2 - \beta$.
આપેલ છે કે $0.85 \leq \alpha \leq 0.95$,તેથી $0.85 \leq 1.2 - \beta \leq 0.95$.
બધા પદોમાંથી $1.2$ બાદ કરતા: $-0.35 \leq -\beta \leq -0.25$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાશે: $0.25 \leq \beta \leq 0.35$.
આમ,$\beta \in [0.25, 0.35]$.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} x^{(10-r)/2} (-k)^{r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (-k)^{r} x^{(10-5r)/2}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-5r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ મુકતા:
$T_{3} = {}^{10}C_{2} (-k)^{2} = 405$
$45 \cdot k^{2} = 405$
$k^{2} = \frac{405}{45} = 9$
$|k| = \sqrt{9} = 3$

(C) $x$-અંતઃખંડ $3$ અને $y$-અંતઃખંડ $1$ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $x + 3y - 3 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (-1, -4)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ માં પ્રતિબિંબ $(x', y')$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{1(-1) + 3(-4) - 3}{1^2 + 3^2}$.
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{-16}{10} = \frac{16}{5}$.
$x'$ માટે: $x' + 1 = \frac{16}{5} \Rightarrow x' = \frac{11}{5}$.
$y'$ માટે: $\frac{y' + 4}{3} = \frac{16}{5}$ $\Rightarrow y' + 4 = \frac{48}{5}$ $\Rightarrow y' = \frac{28}{5}$.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left(\frac{11}{5}, \frac{28}{5}\right)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y=x^{2}$ છે.
બિંદુ $(2,4)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ છે.
$(2,4)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-4) = 4(x-2)$ એટલે કે $4x-y-4=0$ છે.
પરવલયને $(2,4)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળોનું કુળ $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} + \lambda(4x-y-4) = 0$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$(0-2)^{2} + (1-4)^{2} + \lambda(4(0)-1-4) = 0$
$4 + 9 - 5\lambda = 0$ $\Rightarrow 13 = 5\lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda = \frac{13}{5}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} + \frac{32}{5}x - \frac{53}{5}y + \frac{48}{5} = 0$.
વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$g = \frac{16}{5}$ અને $f = -\frac{53}{10}$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(C) $LETTER$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $L, E, T, T, E, R$.
સ્વરો $E, E$ છે અને વ્યંજનો $L, T, T, R$ છે.
પ્રથમ,વ્યંજનો $L, T, T, R$ ને ગોઠવો. આ ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
આ $4$ વ્યંજનો દ્વારા $5$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે (છેડા સહિત) જ્યાં $2$ સ્વરો મૂકી શકાય: $\_ L \_ T \_ T \_ R \_$.
$5$ માંથી $2$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{2} = 10$ છે.
$2$ સ્વરો $(E, E)$ સમાન હોવાથી,તેમને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $\frac{2!}{2!} = 1$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $12 \times 10 \times 1 = 120$.

(D) મધ્યક $\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} x_i f_i}{\sum_{i=0}^{n} f_i}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$x_i = 2^i$ અને $f_i = {}^nC_i$.
તેથી,$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i}{\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i = (1+1)^n = 2^n$.
વળી,$\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i = (1+2)^n = 3^n$.
આમ,$\text{Mean} = \frac{3^n}{2^n}$.
આપેલ છે કે $\text{Mean} = \frac{728}{2^n}$,તેથી $\frac{3^n - 1}{2^n} = \frac{728}{2^n}$ (કારણ કે $x=0$ માટે $2^0=1$ અને $f_0={}^nC_0=1$).
આથી $3^n - 1 = 728$,એટલે કે $3^n = 729$.
$3^6 = 729$ હોવાથી,$n = 6$.

(A) ઉપવલયની નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ તેનું સહાયક વર્તુળ (auxiliary circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,સહાયક વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ માટે,$a^{2}=4$ છે.
તેથી,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=4$ છે.
આપેલ બિંદુઓ ચકાસતા:
$A: (-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2} = 1+3=4$ (સંતોષે છે)
તેથી,બિંદુ $(-1, \sqrt{3})$ બિંદુપથ પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે ત્રણ પરિવારો $F_1, F_2,$ અને $F_3$ છે. આ પરિવારોમાં સભ્યોની સંખ્યા અનુક્રમે $3, 3,$ અને $4$ છે.
એક જ પરિવારના સભ્યો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે દરેક પરિવારને એક એકમ તરીકે ગણી શકીએ.
આવા $3$ એકમો (પરિવારો) છે જેમને પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
દરેક પરિવારની અંદર,સભ્યો પોતાની વચ્ચે ગોઠવી શકાય છે:
- પરિવાર $1$ ($3$ સભ્યો) ને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
- પરિવાર $2$ ($3$ સભ્યો) ને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
- પરિવાર $3$ ($4$ સભ્યો) ને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times (3! \times 3! \times 4!) = (3!)^2 \times 3! \times 4!$ છે.

(A) આપણે $\frac{3^{200}}{8}$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ શોધવો છે.
$\frac{3^{200}}{8} = \frac{(3^2)^{100}}{8} = \frac{9^{100}}{8}$.
આપણે $9$ ને $(1 + 8)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\frac{9^{100}}{8} = \frac{(1 + 8)^{100}}{8}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 8)^{100} = 1 + \binom{100}{1}8 + \binom{100}{2}8^2 + \dots + \binom{100}{100}8^{100}$.
આને $8$ વડે ભાગતા,$\frac{(1 + 8)^{100}}{8} = \frac{1}{8} + \binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$.
અહીં $\binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$ એ પૂર્ણાંક છે,ધારો કે તે $k$ છે.
તેથી $\frac{3^{200}}{8} = k + \frac{1}{8}$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\{ p \}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\left\{\frac{3^{200}}{8}\right\} = \left\{ k + \frac{1}{8} \right\} = \frac{1}{8}$.

(C) ધારો કે $11$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n, n+1, n+2, \dots, n+10$ છે.
$11$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ $A.P.$ માં હોય તે માટે,તેમણે $a + c = 2b$ નું પાલન કરવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $a + c$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$a + c$ બેકી હોય જો $a$ અને $c$ બંને બેકી હોય અથવા $a$ અને $c$ બંને એકી હોય.
કિસ્સો $1$: $11$ ક્રમિક સંખ્યાઓમાં $6$ બેકી અને $5$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
$2$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{2} = 15$ છે.
$2$ એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{2} = 10$ છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 15 + 10 = 25$.
કિસ્સો $2$: $11$ ક્રમિક સંખ્યાઓમાં $5$ બેકી અને $6$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
$2$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{2} = 10$ છે.
$2$ એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{2} = 15$ છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 10 + 15 = 25$.
બંને કિસ્સાઓમાં,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $25$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{25}{165} = \frac{5}{33}$ છે.

(B) પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ નું સૂત્ર:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)}{n}\right)^{2}}$
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a) = n$ અને $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2} = na$:
$S.D. = \sqrt{\frac{na}{n} - \left(\frac{n}{n}\right)^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a - 1^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a-1}$

(A) પરવલય $y^{2}=4a(x-h)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=m(x-h)+\frac{a}{m}$ છે.
પરવલય $y^{2}=4(x+1)$ માટે,$a=1$ અને $h=-1$ છે. સ્પર્શક $L_{1}$ એ $y=m(x+1)+\frac{1}{m}$ છે,જે $y=mx+m+\frac{1}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $y^{2}=8(x+2)$ માટે,$a=2$ અને $h=-2$ છે. સ્પર્શક $L_{2}$ એ $y=m'(x+2)+\frac{2}{m'}$ છે,જે $y=m'x+2m'+\frac{2}{m'}$ તરીકે લખી શકાય.
$L_{1}$ અને $L_{2}$ કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m \cdot m' = -1$,તેથી $m' = -\frac{1}{m}$.
$m'$ ની કિંમત $L_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = -\frac{1}{m}x + 2(-\frac{1}{m}) + \frac{2}{-1/m} = -\frac{1}{m}x - \frac{2}{m} - 2m = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mx + m + \frac{1}{m} = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
પદોને ગોઠવતા:
$(m+\frac{1}{m})x + (m+\frac{1}{m}) + 2(m+\frac{1}{m}) = 0$.
$(m+\frac{1}{m})(x+3) = 0$.
વાસ્તવિક સ્પર્શકો માટે $m+\frac{1}{m} \neq 0$ હોવાથી,$x+3=0$ મળે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $p \vee (\sim p \wedge q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee (\sim p \wedge q) = (p \vee \sim p) \wedge (p \vee q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) = T$ (નિત્યસત્ય):
$= T \wedge (p \vee q) = p \vee q$
હવે,$(p \vee q)$ નું નિષેધ શોધતા:
$\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ એ $(1, k)$ છે. આપાત કિરણ રેખા $x=1$ ના લંબ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આકૃતિ મુજબ,તે સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણનો ઢાળ $m_1 = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
સમીકરણ: $y - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 2) \implies y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$.
$x=1$ માટે,$y = -\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. તેથી $A = (1, 3\sqrt{3})$.
પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $-60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$ મળે છે.
વિકલ્પ $B$ $(3, -\sqrt{3})$ માટે: $y = -\sqrt{3}(3) + 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}$. જે સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(a^{2}p^{2} - 2abp + b^{2}) + (b^{2}p^{2} - 2bcp + c^{2}) + (c^{2}p^{2} - 2cdp + d^{2}) = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(ap - b)^{2} + (bp - c)^{2} + (cp - d)^{2} = 0$.
$a, b, c, d, p$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$ap - b = 0 \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$bp - c = 0 \Rightarrow p = \frac{c}{b}$
$cp - d = 0 \Rightarrow p = \frac{d}{c}$
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = p$.
આ સૂચવે છે કે $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) આપેલ અસમતા $|z|-\operatorname{Re}(z) \leq 1$ છે,જ્યાં $z = x+iy$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{x^{2}+y^{2}} - x \leq 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1+x$.
વર્ગમૂળ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$1+x \geq 0$ એટલે કે $x \geq -1$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^{2}+y^{2} \leq (1+x)^{2}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+y^{2} \leq 1+2x+x^{2}$.
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા,$y^{2} \leq 2x+1$.
$2$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $y^{2} \leq 2\left(x+\frac{1}{2}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-64x+256=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = 64$ અને $\alpha\beta = 256$.
આપણે પદાવલિ $E = \left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$E = \frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$.
લસાઅ લેતા,$E = \frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
$E = \frac{\alpha^{(3/8+5/8)} + \beta^{(3/8+5/8)}}{(\alpha\beta)^{5/8}} = \frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
અહીં $\alpha\beta = 256 = 2^{8}$ હોવાથી,$(\alpha\beta)^{5/8} = (2^{8})^{5/8} = 2^{5} = 32$.
કિંમતો મૂકતા,$E = \frac{64}{32} = 2$.

(B) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $H$ છે. શરૂઆતનું બિંદુ ટેકરીના તળિયાથી $H$ અંતરે છે કારણ કે ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
$30^{\circ}$ ના ઢોળાવ પર $80 \ m$ ચાલ્યા પછી,નવું સ્થાન શરૂઆતના બિંદુથી $80 \cos 30^{\circ} = 40\sqrt{3} \ m$ સમક્ષિતિજ અંતરે અને સમક્ષિતિજ સમતલથી $80 \sin 30^{\circ} = 40 \ m$ ઊંચાઈએ છે.
ટેકરીના તળિયા સુધીનું બાકીનું સમક્ષિતિજ અંતર $H - 40\sqrt{3}$ છે.
વર્તમાન સ્થાનથી નવી ઊંચાઈ $H - 40$ છે.
નવો ઉત્સેધકોણ $75^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 75^{\circ} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
$\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ હોવાથી,$2 + \sqrt{3} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
$(2 + \sqrt{3})(H - 40\sqrt{3}) = H - 40$.
$2H - 80\sqrt{3} + \sqrt{3}H - 120 = H - 40$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 80 + 80\sqrt{3} = 80(1 + \sqrt{3})$.
$H = 80 \ m$.

(C) $k$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^k$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા કરતા $112$ વધારે છે,તેથી સમીકરણ: $2^m - 2^n = 112$.
આને $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ તરીકે લખી શકાય.
$112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$ હોવાથી,આપણે પદોની સરખામણી કરીએ:
$2^n = 2^4 \implies n = 4$.
$2^{m-n} - 1 = 2^3 - 1 \implies m - n = 3$.
$n = 4$ મૂકતા,$m - 4 = 3$,તેથી $m = 7$.
આમ,$m \times n = 7 \times 4 = 28$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^{4} e^{y}+2 \sqrt{y+1}=3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x^{4} e^{y} y^{\prime} + 4x^{3} e^{y} + \frac{2 y^{\prime}}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
બિંદુ $P(1,0)$ આગળ,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1)^{4} e^{0} y^{\prime} + 4(1)^{3} e^{0} + \frac{y^{\prime}}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y^{\prime} + 4 + y^{\prime} = 0$.
$2y^{\prime} = -4$,જે આપણને $y^{\prime} = -2$ આપે છે.
બિંદુ $P(1,0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $m = -2$ છે:
$y - 0 = -2(x - 1)$.
$y = -2x + 2$,અથવા $2x + y = 2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-2, 6)$ માટે,$2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
આમ,બિંદુ $(-2, 6)$ સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે $n$ એ ફેંકવામાં આવેલા બોમ્બની સંખ્યા છે. બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે,અને ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
જો ઓછામાં ઓછા $2$ હિટ મળે તો લક્ષ્ય નષ્ટ થાય છે. ધારો કે $X$ એ હિટની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \geq 2) \geq 0.99$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - P(X < 2) \geq 0.99$ ને સમાન છે,જેનો અર્થ છે $1 - [P(X=0) + P(X=1)] \geq 0.99$.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,$P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$.
$1 - [{}^{n}C_{0} (\frac{1}{2})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{1}{2})^n] \geq 0.99$
$1 - \frac{1 + n}{2^n} \geq 0.99$
$\frac{1 + n}{2^n} \leq 0.01 = \frac{1}{100}$
$2^n \geq 100(n + 1)$.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n=10$ માટે: $2^{10} = 1024$,$100(11) = 1100$. $1024 \geq 1100$ ખોટું છે.
$n=11$ માટે: $2^{11} = 2048$,$100(12) = 1200$. $2048 \geq 1200$ સાચું છે.
આમ,જરૂરી બોમ્બની ન્યૂનતમ સંખ્યા $11$ છે.

(B) ગણ $C$ એવા તમામ વિધેયો $f: A \rightarrow B$ નો બનેલો છે જેમાં $2 \in f(A)$ હોય અને $f$ એક-એક વિધેય ન હોય.
$A$ થી $B$ પરના કુલ વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય તેની ગણતરી આ મુજબ છે: (કુલ વિધેયો) - (વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય).
કુલ વિધેયો = $4^3 = 64$.
વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય = $3^3 = 27$.
તેથી,વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય = $64 - 27 = 37$.
હવે,આપણે $37$ માંથી એવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરીશું જેમાં $2 \in f(A)$ હોય.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
આ $24$ એક-એક વિધેયોમાંથી કેટલા વિધેયોના વિસ્તારમાં $2$ નો સમાવેશ થાય છે?
કુલ એક-એક વિધેયો = $24$.
એક-એક વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય = $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,એક-એક વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય = $24 - 6 = 18$.
તેથી,એવા વિધેયોની સંખ્યા જે એક-એક નથી અને $2 \in f(A)$ હોય તે $37 - 18 = 19$ છે.

(D) વક્રનું સમીકરણ $y = x^{2}-3x+2$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$x^{2}-3x+2 = 0$
$(x-1)(x-2) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(2, 0)$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $A(1, 0)$ પર,ઢાળ $m_1 = 2(1) - 3 = -1$ છે.
બિંદુ $B(2, 0)$ પર,ઢાળ $m_2 = 2(2) - 3 = 1$ છે.
રેખા $x+y=a$ નો ઢાળ $-1$ છે. તે વક્રને $A(1, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + 0 = a \implies a = 1$.
રેખા $x-y=b$ નો ઢાળ $1$ છે. તે વક્રને $B(2, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 - 0 = b \implies b = 2$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{1}{2} = 0.50$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{b}$ નો પ્રક્ષેપ = $\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{c}$ નો પ્રક્ષેપ.
$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \Rightarrow \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$.
વળી,$\overrightarrow{b}$ એ $\overrightarrow{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
ધારો કે $k = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$k^2 = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$.
ચૂકી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,તેથી પદો ઉડી જશે:
$k^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(0) = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=4, |\overrightarrow{c}|=4$ મૂકતા:
$k^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36$.
તેથી,$k = \sqrt{36} = 6$.

(A) $f(x)$ બે વાર વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = \pi$ આગળ સતત અને વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$1$. $x = \pi$ આગળ સાતત્ય:
$f(\pi^{-}) = f(\pi) = f(\pi^{+})$
$k_{1}(\pi-\pi)^{2} - 1 = k_{2} \cos(\pi)$
$-1 = -k_{2} \implies k_{2} = 1$.
$2$. પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$:
$f'(x) = \begin{cases} 2k_{1}(x-\pi), & x \leq \pi \\ -k_{2} \sin x, & x > \pi \end{cases}$
$x = \pi$ આગળ,$f'(\pi^{-}) = 2k_{1}(\pi-\pi) = 0$ અને $f'(\pi^{+}) = -k_{2} \sin(\pi) = 0$.
$0 = 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \pi$ આગળ કોઈપણ $k_{1}, k_{2}$ માટે વિકલનીય છે.
$3$. દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$:
$f''(x) = \begin{cases} 2k_{1}, & x \leq \pi \\ -k_{2} \cos x, & x > \pi \end{cases}$
$f''(x)$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવા માટે:
$f''(\pi^{-}) = f''(\pi^{+})$
$2k_{1} = -k_{2} \cos(\pi)$
$2k_{1} = -k_{2}(-1) = k_{2}$
$k_{2} = 1$ હોવાથી,$2k_{1} = 1 \implies k_{1} = \frac{1}{2}$.
આમ,$(k_{1}, k_{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.

(B) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $V = |[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = |\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})| = 158$
$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix} = 1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4)$
$= 12 + n^2 - 6 - n + 2n^2 - 4n = 3n^2 - 5n + 6$
$V = 158$ હોવાથી,$|3n^2 - 5n + 6| = 158$. $n \geq 0$ હોવાથી,$3n^2 - 5n + 6 = 158$.
$3n^2 - 5n - 152 = 0$. $n$ માટે ઉકેલતા: $n = \frac{5 \pm 43}{6}$.
$n \geq 0$ હોવાથી,$n = 8$.
હવે,વિકલ્પો ચકાસતા:
$A$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 + 4n = 1 + 4(8) = 33$.
$B$. $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 + n = 2 + 8 = 10$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$(e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) = e^{x}(e^{x} + 1) - e^{-x}(e^{x} + 1) + e^{x} = (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) + e^{x}$.
તેથી,$I = \int (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = e^{x} + 1$ અને $h'(x) = (e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})}$ લો.
તો $h(x) = e^{(e^{x} + e^{-x})}$.
ખંડશઃ સંકલન $\int f h' = fh - \int f' h$ મુજબ:
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} - \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$.
આને $g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(x) = e^{x} + 1$ મળે છે.
તેથી,$g(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 1 \\ 12 & -2 & -2 \end{array}\right|$.
હવે $C_3 \rightarrow C_3 + C_2$ લાગુ પાડતા:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 0 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 0 \\ 12 & -2 & -4 \end{array}\right|$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta) = -4 [(-\sin^2 \theta)(-1) - (-1)(-\cos^2 \theta)] = -4 [\sin^2 \theta - \cos^2 \theta] = -4 [-\cos 2\theta] = 4 \cos 2\theta$.
આપેલ છે કે $\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી $2\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.
જ્યારે $2\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ હોય,ત્યારે $\cos 2\theta$ ની કિંમત $-1$ થી $0$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,$f(\theta) = 4 \cos 2\theta$ ની કિંમત $4(-1) = -4$ થી $4(0) = 0$ સુધી મળે છે.
આમ,$m = -4$ અને $M = 0$,તેથી ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M) = (-4, 0)$ થાય.

(A) સમીકરણોની સંહતિ અસંગત ત્યારે હોય જ્યારે નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય ન હોય.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -4 & \lambda \\ 1 & -6 & 1 \\ \lambda & -10 & 4 \end{vmatrix} = 2(-24 + 10) + 4(4 - \lambda) + \lambda(-10 + 6\lambda)$
$D = 2(-14) + 16 - 4\lambda - 10\lambda + 6\lambda^{2} = 6\lambda^{2} - 14\lambda - 12 = 2(3\lambda + 2)(\lambda - 3)$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
હવે $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_{1} = \begin{vmatrix} 1 & -4 & \lambda \\ 2 & -6 & 1 \\ 3 & -10 & 4 \end{vmatrix} = 1(-24 + 10) + 4(8 - 3) + \lambda(-20 + 18) = -14 + 20 - 2\lambda = 6 - 2\lambda = -2(\lambda - 3)$.
જ્યારે $\lambda = 3$ હોય,ત્યારે $D = 0$ અને $D_{1} = 0$ થાય છે. $\lambda = 3$ માટે $D_{2}$ અને $D_{3}$ પણ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે અનંત ઉકેલો મળે છે.
જ્યારે $\lambda = -\frac{2}{3}$ હોય,ત્યારે $D = 0$ પરંતુ $D_{1} = -2(-\frac{2}{3} - 3) = -2(-\frac{11}{3}) = \frac{22}{3} \neq 0$ થાય છે.
તેથી,$\lambda = -\frac{2}{3}$ માટે સંહતિ અસંગત છે,જે $\lambda$ ની એક ઋણ કિંમત છે.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $P = (1, 2, -3)$ અને $Q = (a, b, c)$ એ રેખામાં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (a-1, b-2, c+3)$ એ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ,જેના દિશા ગુણોત્તર $(2, -2, -1)$ છે.
તેથી,$2(a-1) - 2(b-2) - 1(c+3) = 0 \implies 2a - 2b - c = 1$.
વળી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ રેખા પર આવેલું છે:
$R = \left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+2}{2}, \frac{c-3}{2}\right)$.
જેમ કે $R$ રેખા પર છે,તેથી:
$\frac{\frac{a+1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{b+2}{2} - 3}{-2} = \frac{\frac{c-3}{2}}{-1} = \lambda$.
$\lambda$ ના સંદર્ભમાં $a, b, c$ માટે ઉકેલતા:
$a = 4\lambda - 3, b = -4\lambda + 4, c = -2\lambda + 3$.
આ કિંમતોને લંબતાની શરત $2a - 2b - c = 1$ માં મૂકતા:
$2(4\lambda - 3) - 2(-4\lambda + 4) - (-2\lambda + 3) = 1
\implies 8\lambda - 6 + 8\lambda - 8 + 2\lambda - 3 = 1
\implies 18\lambda = 18 \implies \lambda = 1$.
આમ,$a = 4(1) - 3 = 1$,$b = -4(1) + 4 = 0$,$c = -2(1) + 3 = 1$.
તેથી,$a+b+c = 1 + 0 + 1 = 2$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{\sin x}} dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{\sin(-\pi / 2 + \pi / 2 - x)}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{-\sin x}} dx$
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} dx$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+e^{\sin x}} + \frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(A) ધારો કે $4$ પાસાઓના એક ફેંકમાં $3$ અથવા $5$ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા $X$ છે. એક પાસા માટે સફળતાની સંભાવના ( $3$ અથવા $5$ મેળવવી) $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ છે.
અહીં $n = 4$ પાસાઓ હોવાથી,સફળતાની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(4, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછા બે પાસા પર $3$ અથવા $5$ આવે,જે $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \ge 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{81 - 48}{81} = \frac{33}{81}$.
આ પ્રયોગ $N = 27$ વખત કરવામાં આવે છે. અપેક્ષિત સંખ્યા $E = N \times P(X \ge 2) = 27 \times \frac{33}{81} = \frac{33}{3} = 11$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ એ $x \in (-10, 10)$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[t]$ એ $t$ ની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે અસતત હોય છે.
અહીં,$t = \frac{x}{2}$. તેથી,$f(x)$ એ $\frac{x}{2} = k$ હોય ત્યારે અસતત હોઈ શકે છે,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
આપેલ છે કે $-10 < x < 10$,તેથી $-5 < \frac{x}{2} < 5$.
$k = \frac{x}{2}$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
ચાલો આ બિંદુઓ પર સાતત્ય તપાસીએ:
$1$. $k \neq 0$ (એટલે કે $x \neq 0$) માટે,વિધેય $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ અસતત છે કારણ કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\left[ \frac{x}{2} \right]$ આ બિંદુઓ પર કૂદકો મારે છે અને $x$ શૂન્ય નથી.
$2$. $k = 0$ માટે,$x = 0$. આપણે $x = 0$ પર સાતત્ય તપાસીએ:
$f(0) = 0 \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x \cdot [-1] = 0$.
કારણ કે $f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,તેથી વિધેય $x = 0$ પર સતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓ $\frac{x}{2} \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ છે,જે $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ ને અનુરૂપ છે.
આવા કુલ $8$ બિંદુઓ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (1 - \cos^2 x)(\lambda + \sin x) = \sin^2 x(\lambda + \sin x) = \lambda \sin^2 x + \sin^3 x$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 2\lambda \sin x \cos x + 3 \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (2\lambda + 3 \sin x)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0$ લો. $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માટે $\cos x \neq 0$ હોવાથી,$\sin x = 0$ અથવા $\sin x = -\frac{2\lambda}{3}$ મળે.
$x = 0$ હંમેશા એક ક્રાંતિક બિંદુ છે. વિધેયને બરાબર એક મહત્તમ અને એક ન્યૂનતમ બિંદુ હોવા માટે,અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં બીજું એક ક્રાંતિક બિંદુ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ અને $-\frac{2\lambda}{3} \neq 0$.
$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ ઉકેલતા $-\frac{3}{2} < \lambda < \frac{3}{2}$ મળે.
$\lambda = 0$ ને બાદ કરતા (જ્યાં બંને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=0$ પર સંપાતી થાય છે),મૂલ્યોનો ગણ $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) - \{0\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં $f(x)$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા.
$f(0)=f(1)=0$ હોવાથી અને $f$ વિકલનીય હોવાથી,કોઈ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(\alpha)=0$ થાય.
હવે,અંતરાલ $[0, \alpha]$ પર વિધેય $f^{\prime}(x)$ ને ધ્યાનમાં લો.
આપણી પાસે $f^{\prime}(0)=0$ અને $f^{\prime}(\alpha)=0$ છે.
$f$ બે વાર વિકલનીય હોવાથી,$f^{\prime}$ એ $[0, \alpha]$ પર સતત છે અને $(0, \alpha)$ પર વિકલનીય છે.
$f^{\prime}(x)$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,કોઈ $\beta \in (0, \alpha)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime \prime}(\beta)=0$ થાય.
$\beta \in (0, \alpha) \subset (0, 1)$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે કોઈ $x \in (0, 1)$ માટે $f^{\prime \prime}(x)=0$ થાય છે.

(C) બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(e, e)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m = \frac{e - 0}{e - 1} = \frac{e}{e - 1}$ થાય.
વિધેય $f(x) = x \log_{e} x$ નું વિકલન $f'(x) = \log_{e} x + 1$ થાય.
સ્પર્શક રેખાખંડને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(c) = m$ થાય:
$f'(c) = \log_{e} c + 1 = \frac{e}{e - 1}$.
$\log_{e} c$ માટે ઉકેલતા:
$\log_{e} c = \frac{e}{e - 1} - 1 = \frac{e - (e - 1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$.
તેથી,$c = e^{\frac{1}{e - 1}}$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
બિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 1, 2)$ છે,તેથી $\frac{a}{3} = 1$,$\frac{b}{3} = 1$ અને $\frac{c}{3} = 2$.
આમ,$a = 3$,$b = 3$ અને $c = 6$.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + 2y + z = 6$ થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે,જે રેખાની દિશાના ગુણોત્તર તરીકે લેવાય છે.
રેખા મધ્યકેન્દ્ર $(1, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $(2, 2, 1)$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^4 = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & \sin 4\theta \\ -\sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
$B = A + A^4 = \begin{bmatrix} \cos \theta + \cos 4\theta & \sin \theta + \sin 4\theta \\ -(\sin \theta + \sin 4\theta) & \cos \theta + \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
ધારો કે $x = \cos \theta + \cos 4\theta$ અને $y = \sin \theta + \sin 4\theta$. તો $B = \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix}$.
$\det(B) = x^2 + y^2 = (\cos \theta + \cos 4\theta)^2 + (\sin \theta + \sin 4\theta)^2$.
$\det(B) = \cos^2 \theta + \cos^2 4\theta + 2\cos \theta \cos 4\theta + \sin^2 \theta + \sin^2 4\theta + 2\sin \theta \sin 4\theta$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ અને $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\det(B) = 1 + 1 + 2\cos(4\theta - \theta) = 2 + 2\cos 3\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{5}$ આપેલ હોવાથી,$\det(B) = 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \cos(108^\circ) = -\sin(18^\circ) = -\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$.
$\det(B) = 2 + 2\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4 - \sqrt{5} + 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$\det(B) = \frac{5 - 2.236}{2} = \frac{2.764}{2} = 1.382$.
આ કિંમત $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) વિધેયને $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસવા માટે:
$x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 0$ છે.
$x = 0$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ છે.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા તપાસવા માટે:
$x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ છે.
$x = 1$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 2$ છે.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,જે બિંદુઓ પર $f$ વિકલનીય નથી તે ગણ $S = \{0, 1\}$ છે.

(B) વક્રો $y=x^{2}-1$ અને $y=1-x^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,જેના માટે $x^{2}-1 = 1-x^{2}$ લઈએ.
આનાથી $2x^{2} = 2$ મળે છે,તેથી $x^{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$ અને $x = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને $x = -1$ થી $x = 1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} ((1-x^{2}) - (x^{2}-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2}) dx$
કારણ કે વિધેય $f(x) = 2 - 2x^{2}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^{2}) dx = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) dx$
$A = 4 [x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{2} e^{x} x^{x} (2 + \log_{e} x) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} [x^{x} + x^{x}(1 + \log_{e} x)] dx$.
ધારો કે $f(x) = x^{x}$.
તો $f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x \log_{e} x}) = e^{x \log_{e} x} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_{e} x) = x^{x} (1 \cdot \log_{e} x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^{x} (1 + \log_{e} x)$.
આમ,સંકલન $\int_{1}^{2} e^{x} [f(x) + f'(x)] dx$ સ્વરૂપમાં છે.
આ સંકલનનું પરિણામ $[e^{x} f(x)]_{1}^{2}$ થાય.
$f(x) = x^{x}$ મૂકતા:
$I = [e^{x} x^{x}]_{1}^{2} = (e^{2} \cdot 2^{2}) - (e^{1} \cdot 1^{1}) = 4e^{2} - e = e(4e - 1)$.

(A) આપેલ ઉકેલ $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ ને પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x - y \cot x$
પદોને $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x)$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = \cot x$.

(A) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણ સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3 \lambda+1 & 2 \lambda \\ \lambda-1 & 4 \lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 3-\lambda & \lambda-3 \\ \lambda-3 & \lambda-3 & -2(\lambda-3) \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ અને $R_2$ માંથી $(\lambda-3)$ સામાન્ય લેતા:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda-3)^2 [0 - (-1)(3 \lambda-3 + 4) + 1(3 \lambda+1 - 2)] = 0$
$(\lambda-3)^2 [3 \lambda+1 + 3 \lambda-1] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6 \lambda] = 0$
આથી $\lambda = 3$ અથવા $\lambda = 0$ મળે છે.
$\lambda$ ના ભિન્ન મૂલ્યો $0$ અને $3$ છે.
તેથી તેમનો સરવાળો $0 + 3 = 3$ થાય છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)f(y)$ છે.
$x=y=1$ લેતા,આપણને મળે $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.
$x=2, y=1$ લેતા,આપણને મળે $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=3^2 \times 3=3^3=27$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,તમામ $n \in N$ માટે $f(n)=3^n$ થાય છે.
આપણને સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} 3^i=363$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ અને $n$ પદો છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{3(3^n-1)}{3-1}=363$.
$\frac{3(3^n-1)}{2}=363$.
$3(3^n-1)=726$.
$3^n-1=242$.
$3^n=243$.
કારણ કે $243=3^5$,તેથી $n=5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|^2$
$|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0$ --- $(1)$
આપેલ છે કે $(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})$ એ $\overrightarrow{y}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{y}=0$
$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=-|\overrightarrow{y}|^2$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-|\overrightarrow{y}|^2+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$
$(\lambda-1)|\overrightarrow{y}|^2=0$
અહીં $\overrightarrow{y}$ શૂન્યતર સદિશ હોવાથી,$|\overrightarrow{y}|^2 \neq 0$. તેથી,$\lambda-1=0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda=1$.

(D) ધારો કે $L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશનું વિકલન $\frac{d}{dx} \int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt = (x-1)^{2} \cos((x-1)^{4}) \cdot 2(x-1) = 2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})$ થાય.
છેદનું વિકલન $\frac{d}{dx} ((x-1) \sin(x-1)) = \sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)$ થાય.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})}{\sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)}$.
અંશ અને છેદને $(x-1)$ વડે ભાગતા:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{2} \cos((x-1)^{4})}{\frac{\sin(x-1)}{x-1} + \cos(x-1)}$.
જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $(x-1) \rightarrow 0$,તેથી $\frac{\sin(x-1)}{x-1} \rightarrow 1$ અને $\cos(x-1) \rightarrow 1$.
$L = \frac{2(0)^{2} \cdot \cos(0)}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = 0$.
$2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1 = 0 \implies \lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 5$.
ત્યારબાદ,આપણે $D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \\ \mu & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$ લઈએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(10 - 9) - 1(25 - 3\mu) + 1(15 - 2\mu) = 0$.
$2(1) - 25 + 3\mu + 15 - 2\mu = 0$.
$2 - 10 + \mu = 0 \implies \mu - 8 = 0 \implies \mu = 8$.
આમ,$\lambda = 5$ અને $\mu = 8$ મળે છે.

(C) આ પ્રદેશ $|x|+|y| \leq 1$ અને $2y^{2} \geq |x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
બંને અક્ષોની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ ગણીશું અને તેને $4$ વડે ગુણીશું.
પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0, y \geq 0)$,પ્રદેશ $x+y=1$ અને $2y^{2}=x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુ $2y^{2} = 1-y$ છે,જે $2y^{2}+y-1=0$ આપે છે.
$(2y-1)(y+1)=0$ ઉકેલતા,આપણને $y=\frac{1}{2}$ મળે છે (કારણ કે $y \geq 0$).
$y=\frac{1}{2}$ પર,$x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ એ રેખા $x+y=1$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને વક્ર $x=2y^{2}$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે,જ્યાં $y=0$ થી $y=\frac{1}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1/2} (1-y) dy - \int_{0}^{1/2} 2y^{2} dy = [y - \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1/2} - [\frac{2y^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (\frac{2}{3} \times \frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = \frac{9-2}{24} = \frac{7}{24}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{7}{24} = \frac{7}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ છે.
$x = 1, y = 1$ માટે,$f(2) = f(1)^2$ મળે.
$x = 2, y = 1$ માટે,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3$ મળે.
સામાન્ય રીતે,$f(x) = f(1)^x$ થાય.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ આપેલ છે,તેથી $f(1) + f(1)^2 + f(1)^3 + \dots = 2$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = f(1)$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = f(1)$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a}{1 - r} = 2$ સૂત્ર મુજબ,$\frac{f(1)}{1 - f(1)} = 2$ થાય.
$f(1) = 2 - 2f(1) \implies 3f(1) = 2 \implies f(1) = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $\frac{f(4)}{f(2)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x) = f(1)^x$ હોવાથી,$\frac{f(4)}{f(2)} = \frac{f(1)^4}{f(1)^2} = f(1)^2$ થાય.
$f(1) = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})} + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{1+x^{2}} \sqrt{1+y^{2}} = -xy \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} dy = -\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} dx$
ધારો કે $1+y^{2} = v^{2} \Rightarrow y dy = v dv$ અને $1+x^{2} = u^{2} \Rightarrow x dx = u du \Rightarrow dx = \frac{u du}{x} = \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{v dv}{v} = -\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}} \cdot \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
$\Rightarrow \int dv = -\int \frac{u^{2}}{u^{2}-1} du$
$\Rightarrow v = -\int \left( 1 + \frac{1}{u^{2}-1} \right) du$
$\Rightarrow v = -u - \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$
$\Rightarrow v = -u + \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$u = \sqrt{1+x^{2}}$ અને $v = \sqrt{1+y^{2}}$ પાછા મૂકતા:
$\sqrt{1+y^{2}} = -\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$
$\Rightarrow \sqrt{1+y^{2}} + \sqrt{1+x^{2}} = \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$

(A) આપણને આપેલ છે $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ અને $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$.
આપણે $I_{2}$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50}) (1 - x^{50})^{100} dx$
$I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx - \int_{0}^{1} x^{50} (1 - x^{50})^{100} dx$
$I_{2} = I_{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx$
બીજા સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts - $IBP$) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = x$ અને $dv = x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = \int x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$.
ધારો કે $1 - x^{50} = t$,તો $-50x^{49} dx = dt$,તેથી $x^{49} dx = -\frac{dt}{50}$.
$v = \int t^{100} (-\frac{dt}{50}) = -\frac{t^{101}}{5050} = -\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}$.
$IBP$ લાગુ કરતા:
$\int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx = [x \cdot (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}) dx$
$= [0 - 0] + \frac{1}{5050} \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx = \frac{1}{5050} I_{2}$.
આ કિંમતને $I_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_{2} = I_{1} - \frac{1}{5050} I_{2}$
$I_{2} (1 + \frac{1}{5050}) = I_{1}$
$I_{2} (\frac{5051}{5050}) = I_{1}$
$I_{2} = \frac{5050}{5051} I_{1}$.
કારણ કે $I_{2} = \alpha I_{1}$,તેથી $\alpha = \frac{5050}{5051}$.

(D) અંતરાલ $[t_{1}, t_{2}]$ પર કારની સરેરાશ ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{f(t_{2}) - f(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
સૂત્રમાં $f(t) = at^{2} + bt + c$ મૂકતા:
$\frac{(at_{2}^{2} + bt_{2} + c) - (at_{1}^{2} + bt_{1} + c)}{t_{2} - t_{1}} = \frac{a(t_{2}^{2} - t_{1}^{2}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
$= \frac{a(t_{2} - t_{1})(t_{2} + t_{1}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = a(t_{1} + t_{2}) + b$
આપણે એવો સમય $t$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી તત્કાલિન ઝડપ $f'(t)$ આ સરેરાશ ઝડપ જેટલી થાય.
$f'(t) = \frac{d}{dt}(at^{2} + bt + c) = 2at + b$
તત્કાલિન ઝડપને સરેરાશ ઝડપ સાથે સરખાવતા:
$2at + b = a(t_{1} + t_{2}) + b$
$2at = a(t_{1} + t_{2})$
$t = \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$

(D) પ્રથમ રેખા $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ છે. $L_1$ પરનું બિંદુ $A(1, -1, 0)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{c} = (0, -1, 1)$ છે.
બીજી રેખા $L_2$ એ સમતલો $x+y+z+1=0$ અને $2x-y+z+3=0$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x+y+z+1) + (2x-y+z+3) = 3x + 2z + 4 = 0$,તેથી $x = \frac{-2z-4}{3}$.
$x$ ની કિંમત પ્રથમ સમતલમાં મૂકતા: $\frac{-2z-4}{3} + y + z + 1 = 0 \Rightarrow y = -z - 1 + \frac{2z+4}{3} = \frac{-3z-3+2z+4}{3} = \frac{-z+1}{3}$.
આમ,$x = \frac{-2z-4}{3}, y = \frac{-z+1}{3}, z = z$. તેને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x+4/3}{-2/3} = \frac{y-1/3}{-1/3} = \frac{z}{1}$.
$L_2$ પરનું બિંદુ $B(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, 0)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{c} \times \vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$.
તેનું માન $|\vec{c} \times \vec{d}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})|}{|\vec{c} \times \vec{d}|} = \frac{|\frac{14}{9} - \frac{8}{9}|}{2/\sqrt{3}} = \frac{6/9}{2/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x \end{array}\right|$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1(0 - (-\sin ^{2} x)) - 1(1 + \sin 2 x + \cos ^{2} x) + 0$
$\Delta = -\sin ^{2} x - 1 - \sin 2 x - \cos ^{2} x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,તેથી:
$\Delta = -1 - 1 - \sin 2 x = -2 - \sin 2 x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin 2 x \leq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m$ માટે,$\sin 2 x = 1$,તેથી $m = -2 - 1 = -3$.
મહત્તમ કિંમત $M$ માટે,$\sin 2 x = -1$,તેથી $M = -2 - (-1) = -1$.
આમ,$(m, M) = (-3, -1)$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. $AB = 10 \ m$ હોવાથી,યામ $A(0, 0)$ અને $B(10, 0)$ છે.
થાંભલા ઉભા છે,તેથી $D$ ના યામ $(0, 8)$ અને $C$ ના યામ $(10, 11)$ છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે $A$ થી $h$ અંતરે છે,તેથી $M$ ના યામ $(h, 0)$ છે જ્યાં $0 \le h \le 10$.
અંતરના વર્ગો $MD^{2} = (h-0)^{2} + (0-8)^{2} = h^{2} + 64$ અને $MC^{2} = (h-10)^{2} + (0-11)^{2} = (h-10)^{2} + 121$ છે.
ધારો કે $f(h) = MD^{2} + MC^{2} = h^{2} + 64 + (h-10)^{2} + 121$.
$f(h) = h^{2} + 64 + h^{2} - 20h + 100 + 121 = 2h^{2} - 20h + 285$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(h) = 4h - 20$.
$f'(h) = 0$ લેતા $4h = 20$,તેથી $h = 5$.
$f''(h) = 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $h = 5 \ m$ પર ન્યૂનતમ છે.

(D) ધારો કે $\theta$ એ એકમ સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{1+1+2\cos \theta} = \sqrt{2+2\cos \theta} = 2|\cos(\theta/2)|$.
તે જ રીતે,$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{2-2\cos \theta} = 2|\sin(\theta/2)|$.
આમ,પદાવલિ $f(\theta) = \sqrt{3}(2|\cos(\theta/2)|) + 2|\sin(\theta/2)|$ બને છે.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા અથવા $a\cos x + b\sin x \leq \sqrt{a^2+b^2}$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{(\sqrt{3} \times 2)^2 + 2^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.

(A) $f''(0)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $f'(x)$ શોધીએ.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = 5x^4 \sin(1/x) - x^3 \cos(1/x) + 10x$. તેથી,$f'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h^4 \sin(1/h) + 5h) = 0$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 5x^4 \cos(1/x) + x^3 \sin(1/h) + 2\lambda x$. તેથી,$f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h^4 \cos(1/h) + \lambda h) = 0$.
હવે,$f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) - f'(0)}{h}$.
$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન $(LHD)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{5h^4 \sin(1/h) - h^3 \cos(1/h) + 10h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (5h^3 \sin(1/h) - h^2 \cos(1/h) + 10) = 10$.
$x=0$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલન $(RHD)$: $\lim_{h \to 0^+} \frac{5h^4 \cos(1/h) + h^3 \sin(1/h) + 2\lambda h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (5h^3 \cos(1/h) + h^2 \sin(1/h) + 2\lambda) = 2\lambda$.
$f''(0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,$LHD$ = $RHD$,તેથી $2\lambda = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 5$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{5+e^x}{2+y}\right) \frac{dy}{dx} + e^x = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{2+y} = -\frac{e^x}{5+e^x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{2+y} = -\int \frac{e^x}{5+e^x} dx$.
આથી મળે: $\log |2+y| = -\log |5+e^x| + C$.
શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log |2+1| = -\log |5+e^0| + C \Rightarrow \log 3 = -\log 6 + C \Rightarrow C = \log 3 + \log 6 = \log 18$.
તેથી,$\log |2+y| = \log \left|\frac{18}{5+e^x}\right|$,જેનો અર્થ છે કે $2+y = \frac{18}{5+e^x}$.
આમ,$y(x) = \frac{18}{5+e^x} - 2$.
$x = \log 13$ માટે,$y(\log 13) = \frac{18}{5+e^{\log 13}} - 2 = \frac{18}{5+13} - 2 = \frac{18}{18} - 2 = 1 - 2 = -1$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
આપણને આપેલ છે કે $(f \circ f)(x) = x$.
$f(f(x)) = f\left(\frac{a-x}{a+x}\right) = \frac{a - \left(\frac{a-x}{a+x}\right)}{a + \left(\frac{a-x}{a+x}\right)} = x$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
પદોને ગોઠવતા:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - a(a-1) = 0$
$(a-1)(x^2 + (a+1)x - a) = 0$
$(a-1)(x+a)(x-1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x \neq -a$ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $a-1 = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $a = 1$.
આમ,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
હવે,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}$.
નિત્યસમ $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ અને $\sec 2\theta = \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} + \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan^2 \theta) \, d\theta}{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \, d\theta}{(1+\tan \theta)^2}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta) \, d\theta}{1+\tan \theta}$.
$\tan \theta = t$ લેતા,$\sec^2 \theta \, d\theta = dt$ મળે:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} \, dt = \int \frac{2-(1+t)}{1+t} \, dt = \int \left( \frac{2}{1+t} - 1 \right) \, dt$
$I = 2 \log |1+t| - t + c = 2 \log |1+\tan \theta| - \tan \theta + c$.
આને $\lambda \tan \theta + 2 \log |f(\theta)| + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = -1$ અને $f(\theta) = 1+\tan \theta$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(-1, |1+\tan \theta|)$ છે.

(D) ધારો કે $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
પ્રથમ,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ ને $\tan ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$.
અહીં $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ થાય છે.
તેથી,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{\pi}{2}$ મળે.
અંતે,પદાવલિની કિંમત $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ થાય છે.

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ અને $(5,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયકની મદદથી:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
ધારો કે $R'(x, y, z)$ એ સમતલ $x + y - 2z - 3 = 0$ ની સાપેક્ષે $R(2, 1, 6)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
દરેક ભાગને $4$ સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
તેથી,પ્રતિબિંબ $R'$ એ $(6, 5, -2)$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમતલીય હોય જો દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશ અને તેમની દિશાના સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આપેલ બિંદુઓ: $P_1 = (-1, 2, 1)$ અને $P_2 = (-2, -1, -1)$.
દિશા સદિશો: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ અને $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$.
$\alpha = -4$ ને $L_2$ માં મૂકતા:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$.
વિકલ્પ $(B) (2, -10, -2)$ ચકાસતા:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$.
આમ,રેખા $L_2$ બિંદુ $(2, -10, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a+\sqrt{2} b \cos x)(a-\sqrt{2} b \cos y)=a^2-b^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(a+\sqrt{2} b \cos x) \cdot (\sqrt{2} b \sin y \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cos y) \cdot (-\sqrt{2} b \sin x) = 0$.
બિંદુ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ પર,$\cos x = \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin x = \sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(a+\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$(a+b) \cdot (b \frac{dy}{dx}) + (a-b) \cdot (-b) = 0$.
$(a+b) b \frac{dy}{dx} = b(a-b)$.
$b > 0$ હોવાથી,$b$ વડે ભાગતા:
$(a+b) \frac{dy}{dx} = a-b$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a-b}{a+b}$.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r_0 = 10 \ cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $x \ cm$ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (લોખંડનો દડો + બરફ) $R = 10 + x \ cm$ છે.
બરફના પડનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ છે.
લોખંડનો દડો અચળ હોવાથી,કુલ કદમાં થતો ફેરફાર એ બરફના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (કારણ કે તે ઓગળે છે) અને $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ઋણ નિશાની જાડાઈમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.