જો $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ માટે કોઈ $a \in R$ માટે સ્પર્શક હોય,તો ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $H(\alpha, 0)$,$0 < \alpha < 2$,એક બિંદુ છે. $H$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા ઉપવલય અને તેના સહાયક વર્તુળને પ્રથમ ચરણમાં અનુક્રમે $E$ અને $F$ બિંદુઓમાં છેદે છે. બિંદુ $E$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષને $G$ બિંદુમાં છેદે છે. ધારો કે $F$ અને ઉગમબિંદુને જોડતી સીધી રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે.

$List-I$	$List-II$
$(I)$ જો $\phi=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ જો $\phi=\frac{\pi}{3}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(Q) 1$
$(III)$ જો $\phi=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ જો $\phi=\frac{\pi}{12}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

સાચો વિકલ્પ છે:

ધારો કે $A(\alpha, 0)$ અને $B(0, \beta)$ એ રેખા $5x + 7y = 50$ પરના બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. ધારો કે $3x - 25 = 0$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેને અનુરૂપ નાભિ $S$ છે. જો $S$ માંથી $x$-અક્ષ પર દોરેલો લંબ $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $c = $

ધારો કે $S = 0$ એક ઉપવલય છે જેના શિરોબિંદુઓ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (જ્યાં $a > b$) ના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $S = 0$ એ $E$ ના નાભિઓમાંથી પસાર થાય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો (જ્યાં $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ છે).

ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ($sq. \ units$ માં) શોધો: