જો $c$ એ એવો બિંદુ હોય કે જેના પર વિધેય $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ માટે અંતરાલ $[3, 4]$ માં રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $f''(c)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[0,2]$ પર સતત અને $(0,2)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(0)=0, f(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય,તો

વિધેય $f(x) = (x - 3)^2$ એ $[3, 4]$ અંતરાલમાં મધ્યકમાન પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $y = (x - 3)^2$ પરનું એક બિંદુ,જ્યાં સ્પર્શક $(3, 0)$ અને $(4, 1)$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તે છે:

જો $x \in [0, 4]$ માટે $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ હોય,તો લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c \in (0, 4)$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x)=x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $[0, 1/2]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,અને $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ જ્યાં $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ જ્યાં $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ જ્યાં $x>0$,અને $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ જ્યાં $x>0$.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ દરેક $x>1$ માટે,એક એવું $\alpha \in(1, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ દરેક $x>0$ માટે,એક એવું $\beta \in(0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,બધા $x>0$ માટે
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,બધા $x>0$ માટે
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે