ગણ {-1, 0, 1} માંથી ઘટકો ધરાવતા તમામ 3 times | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})

Vedclass · Accepted Answer

$672$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.આપેલ છે કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$.કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.નવ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $3$ થવા માટે,બરાબર ત્રણ ઘટકો $a_{ij}$ એ $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને બાકીના છ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરીએ છીએ જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય.ત્યારબાદ,આ $3$ પસંદ કરેલા સ્થાન માટે,દરેક ઘટક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{3}$ શક્યતાઓ આપે છે.તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} 	imes 2^{3} = \frac{9 	imes 8 	imes 7}{3 	imes 2 	imes 1} 	imes 8 = 84 	imes 8 = 672$ છે.

ગણ $\{-1, 0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો,જેથી $AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $3$ થાય.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારો કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે સંમિત શ્રેણિકો છે. તો,શ્રેણિક $AB - BA$ એ

શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}$ નો નિલપોટન્ટ ઇન્ડેક્સ (nilpotent index) કેટલો છે?

જો $A+A^{\prime}=I$ હોય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$ હોય,તો $\cos \alpha$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય,તો નીચેનામાંથી કયો ગુણધર્મ સાચો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module