JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z)=|z-1|$. ધારો કે $z=x+iy$. તેથી $x=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $x^2=(x-1)^2+y^2$ $\Rightarrow x^2=x^2-2x+1+y^2$ $\Rightarrow y^2=2x-1$.
આ પરવલય $y^2=4a(x-h)$ દર્શાવે છે, જ્યાં $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ અને શિરોબિંદુ $(\frac{1}{2}, 0)$ છે.
બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ આ પરવલય પર આવેલા છે. જીવા $z_1z_2$ નો ઢાળ $\tan(\arg(z_1-z_2)) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે, પ્રાચલ $t_1$ અને $t_2$ વાળા બિંદુઓને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{2}{t_1+t_2}$ છે.
$y=2at$ હોવાથી, $y_1+y_2 = 2a(t_1+t_2) = 2a(\frac{2}{m}) = \frac{4a}{m}$.
$a=\frac{1}{2}$ અને $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ મુકતા, $y_1+y_2 = \frac{4(1/2)}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
તેથી, $\operatorname{Im}(z_1+z_2) = y_1+y_2 = 2\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{(a+2x)^{1/3}-(3x)^{1/3}}{(3a+x)^{1/3}-(4x)^{1/3}}$.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
અંશનું વિકલન: $\frac{2}{3}(a+2x)^{-2/3} - (3x)^{-2/3}$.
છેદનું વિકલન: $\frac{1}{3}(3a+x)^{-2/3} - \frac{4}{3}(4x)^{-2/3}$.
$x = a$ મુકતા:
અંશ: $-\frac{1}{3}(3a)^{-2/3}$.
છેદ: $-(4a)^{-2/3}$.
તેથી,$L = \frac{-\frac{1}{3}(3a)^{-2/3}}{-(4a)^{-2/3}} = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{3}\right)^{2/3} = \frac{2}{3} \left(\frac{2}{9}\right)^{1/3}$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{2}{5}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2} [40 + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$.
$n(101 - n) = 2440$.
$n^2 - 101n + 2440 = 0$.
ઉકેલતા,$n = 40$ અથવા $n = 61$ મળે છે.
જો $n = 61$ હોય,તો $n$ મું પદ $T_n = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = -4$ મળે છે,જે ઋણ છે.
તેથી,$n = 61$ અને $n$ મું પદ $-4$ છે.

(C) અવલોકનો $x_{i}$ નું વિચરણ એ $p$ ના સ્થાનાંતરથી સ્વતંત્ર છે. ધારો કે $y_{i} = x_{i} - p$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 3$ અને $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 9$.
વિચરણ $\sigma^{2}$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma^{2} = \frac{\sum y_{i}^{2}}{n} - \left( \frac{\sum y_{i}}{n} \right)^{2}$
$n = 10$ મૂકતા:
$\sigma^{2} = \frac{9}{10} - \left( \frac{3}{10} \right)^{2}$
$\sigma^{2} = 0.9 - 0.09 = 0.81$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 = \frac{9}{10}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}$ એ $b^{2}=25(1-e_{1}^{2})$ નું સમાધાન કરે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}$ એ $b^{2}=16(e_{2}^{2}-1)$ નું સમાધાન કરે છે.
$b^{2}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $25(1-e_{1}^{2})=16(e_{2}^{2}-1)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $e_{1}e_{2}=1$,તેથી $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}$ મૂકતા:
$25(1-e_{1}^{2})=16(\frac{1}{e_{1}^{2}}-1) = 16(\frac{1-e_{1}^{2}}{e_{1}^{2}})$.
$b < 5$ હોવાથી,$e_{1} \neq 1$,તેથી $(1-e_{1}^{2})$ વડે ભાગતા $25 = \frac{16}{e_{1}^{2}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $e_{1}^{2}=\frac{16}{25}$,તેથી $e_{1}=\frac{4}{5}$.
ત્યારબાદ $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}=\frac{5}{4}$.
ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_{1} = 2(5)(\frac{4}{5}) = 8 = \alpha$.
અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_{2} = 2(4)(\frac{5}{4}) = 10 = \beta$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (8, 10)$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (\lambda^{2}+1)x^{2}-4\lambda x+2$.
અંતરાલ $(0,1)$ માં બરાબર એક બીજ હોવા માટે,આપણે $f(0) \cdot f(1) < 0$ શરત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
તેથી,$f(0) \cdot f(1) = 2(\lambda-1)(\lambda-3) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < \lambda < 3$.
હવે,આપણે અંતિમ બિંદુઓ તપાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 1$,તો સમીકરણ $2x^{2}-4x+2 = 0$ બને છે,જે $2(x-1)^{2} = 0$ છે. બીજ $x=1, 1$ છે. કોઈ પણ બીજ $(0,1)$ માં નથી. તેથી $\lambda \neq 1$.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = 3$,તો સમીકરણ $10x^{2}-12x+2 = 0$ બને છે,જે $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ અથવા $2(5x-1)(x-1) = 0$ છે. બીજ $x = 1/5$ અને $x = 1$ છે. કારણ કે $1/5 \in (0,1)$,તેથી $\lambda = 3$ એ સાચો ઉકેલ છે.
આ બંનેને જોડતા,મૂલ્યોનો ગણ $\lambda \in (1,3]$ છે.

(D) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{9}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ:
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^{r} x^{18-3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$k$ શોધવા માટે $r = 6$ મૂકતા:
$k = {}^{9}C_{6} \left(\frac{3}{2}\right)^{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{6} = \frac{7}{18}$
તેથી,$18k = 18 \times \frac{7}{18} = 7$.

(A) ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_m$ છે. સામાન્ય તફાવત $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ છે.
$4^{\text{th}}$ $A.M.$ એ $A_4 = a + 4d = 3 + 4 \left( \frac{240}{m + 1} \right)$ છે.
ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, G_3$ છે. સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \left( \frac{243}{3} \right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$ છે.
$2^{\text{nd}}$ $G.M.$ એ $G_2 = ar^2 = 3 \times (3)^2 = 27$ છે.
$A_4 = G_2$ હોવાથી,$3 + \frac{960}{m + 1} = 27$.
$\frac{960}{m + 1} = 24$.
$m + 1 = 40$.
$m = 39$.

(A) ધારો કે $3$-અંકી સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x$ એ સેકન્ડનો અંક,$y$ એ દશકનો અંક અને $z$ એ એકમનો અંક છે.
આપણને શરત આપી છે કે $x + y + z = 10$,જ્યાં $1 \leq x \leq 9$ અને $0 \leq y, z \leq 9$.
ધારો કે $T = x - 1$,તેથી $x = T + 1$. કારણ કે $1 \leq x \leq 9$,તેથી $0 \leq T \leq 8$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$.
$T + y + z = 9$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ છે.
પરંતુ,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જ્યાં અંકો $9$ થી વધી જાય.
$T \leq 8$,$y \leq 9$,અને $z \leq 9$ હોવાથી,માત્ર $T=9$ વાળો કિસ્સો બાકાત રાખવો પડે (જેનો અર્થ $x=10$ થાય,જે શક્ય નથી).
જો $T=9$ હોય,તો $y=0$ અને $z=0$ થાય. આ $1$ કિસ્સો છે.
તેથી,કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $55 - 1 = 54$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલય $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_{h} = \sqrt{2}$,તેથી $a_{h}^{2} = \frac{1}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{1/2} - \frac{y^{2}}{b_{h}^{2}} = 1$ છે.
નાભિ $(\pm \sqrt{a_{h}^{2} + b_{h}^{2}}, 0) = (\pm \sqrt{\frac{1}{2} + b_{h}^{2}}, 0)$ છે.
નાભિ સમાન હોવાથી,$\frac{1}{2} + b_{h}^{2} = 1$,તેથી $b_{h}^{2} = \frac{1}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ માટે,$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \neq \frac{1}{2}$.
તેથી,આ બિંદુ અતિવલય પર નથી.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો તેના પછીના $15$ પદોના સરવાળા જેટલો છે.
$S_{25} = S_{40} - S_{25}$ હોવાથી,$2S_{25} = S_{40}$ થાય.
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{40}{2}[2(3) + 39d]$
$25[6 + 24d] = 20[6 + 39d]$
$5[6 + 24d] = 4[6 + 39d]$
$30 + 120d = 24 + 156d$
$6 = 36d$
$d = \frac{1}{6}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે,તેથી $4a=12$,જેનો અર્થ છે કે $a=3$ છે.
ધારો કે $P = (3t^{2}, 6t)$. $N$ એ ધરી ($x$-અક્ષ) પરનો લંબપાદ હોવાથી,$N = (3t^{2}, 0)$ છે.
$PN$ નું મધ્યબિંદુ $M = (3t^{2}, 3t)$ છે.
$M$ માંથી પસાર થતી અને ધરીને સમાંતર રેખા $y=3t$ છે.
$Q$ એ પરવલય $y^{2}=12x$ પર હોવાથી અને તેનો $y$-યામ $3t$ હોવાથી,$(3t)^{2} = 12x_Q$,તેથી $9t^{2} = 12x_Q$,જે $x_Q = \frac{3}{4}t^{2}$ આપે છે. આમ $Q = (\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ છે.
રેખા $NQ$ એ $N(3t^{2}, 0)$ અને $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ માંથી પસાર થાય છે.
$NQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3t-0}{\frac{3}{4}t^{2}-3t^{2}} = \frac{3t}{-\frac{9}{4}t^{2}} = -\frac{4}{3t}$ છે.
રેખા $NQ$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{4}{3t}(x - 3t^{2})$ છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે $x=0$ લેતા: $y = -\frac{4}{3t}(-3t^{2}) = 4t$ મળે છે.
$y$-અંતઃખંડ $\frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,$4t = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ છે.
હવે,$MQ$ એ $M(3t^{2}, 3t)$ અને $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ વચ્ચેનું આડું અંતર છે,તેથી $MQ = |3t^{2} - \frac{3}{4}t^{2}| = \frac{9}{4}t^{2}$ છે.
$t = \frac{1}{3}$ મૂકતા,$MQ = \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^{2} = \frac{9}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) માહિતીનો વિસ્તાર $[0, 10]$ અંતરાલ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ આવૃત્તિ વિતરણ માટે,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એ અસમતા $\sigma \leq \frac{1}{2}(M - m)$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $M$ અને $m$ એ અનુક્રમે ચલની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે.
અહીં,$M = 10$ અને $m = 0$ છે.
તેથી,$\sigma \leq \frac{1}{2}(10 - 0) = 5$.
ચલની કિંમતો ભિન્ન હોવાથી $(x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{15})$,પ્રમાણિત વિચલન $5$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આમ,$\sigma < 5$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$6$ એ $5$ કરતા મોટું છે,તેથી પ્રમાણિત વિચલન $6$ ન હોઈ શકે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
તેથી,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$,એટલે કે $A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
આપેલ છે કે $B = [-3, 5)$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા,બધા જ વિકલ્પો સત્ય જણાય છે.

(C) ધારો કે $S = S_{1} + S_{2}$,જ્યાં $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) \cdot {}^{n}P_{n-1}$ અને $S_{2} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} n!$.
કારણ કે ${}^{n}P_{n-1} = n!$,તેથી $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) n! = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1)!$.
$S_{1}$ નું વિસ્તરણ $2! - 3! + 4! - \dots + 52!$ થાય છે.
$S_{2}$ નું વિસ્તરણ $1! - 2! + 3! - 4! + \dots + (51)!$ થાય છે.
$S_{1}$ અને $S_{2}$ નો સરવાળો કરતા,પદો ઉડી જાય છે:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$.

(B) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^nC_r} (3)^{\frac{n-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ છે,જ્યાં $0 \le r \le n$.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,ઘાતાંક $\frac{n-r}{2}$ અને $\frac{r}{8}$ બંને અઋણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 8, 16, \dots, 8k\}$.
વળી,$\frac{n-r}{2}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(n-r)$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,$n$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
અહીં $33$ પૂર્ણાંક પદો હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 8, 16, \dots, 8 \times 32$ છે.
$r$ ની મહત્તમ કિંમત $8 \times 32 = 256$ છે.
$r \le n$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $256$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^{2}+px+2=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha\beta = 2$.
$2x^{2}+2qx+1=0$ ના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-p}{2} = -q \Rightarrow p = 2q$.
આપણે $E = \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$E = \frac{(\alpha^{2}-1)(\beta^{2}-1)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}}$.
$\alpha^{2} = -p\alpha-2$ અને $\beta^{2} = -p\beta-2$ હોવાથી,$\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$ અને $\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ અને $\alpha+\beta=-p$ મૂકતા:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.

(B) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left| \frac{1-x+(-x)}{\lambda-x+(-1)} \right| = \left| \frac{1}{\lambda-1} \right|$
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left| \frac{1-x+x}{\lambda-x+0} \right| = \left| \frac{1}{\lambda} \right|$
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$\left| \frac{1}{\lambda-1} \right| = \left| \frac{1}{\lambda} \right| \Rightarrow |\lambda| = |\lambda-1|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = \left| \frac{1}{1/2} \right| = 2$.

(A) આપેલ વિધાન: $p \rightarrow \sim( p \wedge \sim q )$
ગર્ભિત નિયમ $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee \sim( p \wedge \sim q )$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim( A \wedge B ) \equiv \sim A \vee \sim B$ લાગુ કરતા:
$\sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
કારણ કે $\sim(\sim q) \equiv q$:
$\sim p \vee \sim p \vee q$
આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $\sim p \vee \sim p \equiv \sim p$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee q$
આમ,વિધાન $(\sim p) \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ પદ $\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x^{8}} \left( 1 - \cos \frac{x^{2}}{2} - \cos \frac{x^{2}}{4} + \cos \frac{x^{2}}{2} \cos \frac{x^{2}}{4} \right)$ છે.
અંશના અવયવ પાડતા,આપણને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \cos \frac{x^{2}}{2})(1 - \cos \frac{x^{2}}{4})}{x^{8}}$ મળે છે.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos \frac{x^{2}}{2}}{(x^{2}/2)^{2} \cdot 4} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos \frac{x^{2}}{4}}{(x^{2}/4)^{2} \cdot 16} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{256} = \frac{1}{2^{8}} = 2^{-8}$ હોવાથી,$2^{-8} = 2^{-k}$ મળે છે.
તેથી,$k = 8$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, 2-\alpha)$ છે કારણ કે તે રેખા $x+y=2$ પર આવેલું છે.
વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\alpha > 0$ અને $2-\alpha > 0$,જેનો અર્થ છે કે $0 < \alpha < 2$.
વર્તુળ રેખાઓ $x=3$ અને $y=2$ ને સ્પર્શે છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી આ રેખાઓનું અંતર છે:
$r = |3-\alpha| = |2-(2-\alpha)| = |\alpha|$.
$0 < \alpha < 2$ હોવાથી,$|3-\alpha| = 3-\alpha$ અને $|\alpha| = \alpha$ મળે.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$3-\alpha = \alpha$
$2\alpha = 3$
$\alpha = \frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \alpha = \frac{3}{2}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ છે.

(A) ધારો કે $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$. આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
$S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $(0.16)^{\log_{2.5}(1/2)}$ છે.
નોંધો કે $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (2.5)^{-2}$.
તેથી,પદાવલિ $((2.5)^{-2})^{\log_{2.5}(1/2)}$ બને છે.
$(a^b)^c = a^{bc}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(2.5)^{-2 \log_{2.5}(1/2)} = (2.5)^{\log_{2.5}((1/2)^{-2})}$ મળે.
$a^{\log_a(x)} = x$ હોવાથી,પદાવલિ $(1/2)^{-2} = 2^2 = 4$ માં પરિણમે છે.

(A) પાયાના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ અને $\frac{1+i}{i-1} = -i$.
આપેલ સમીકરણો:
$(i)^{m/2} = 1$ અને $(-i)^{n/3} = 1$.
$(i)^{m/2} = 1$ માટે,$m/2$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. તેથી,$m/2 = 4k_1 \Rightarrow m = 8k_1$. $m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.
$(-i)^{n/3} = 1$ માટે,$n/3 = 4k_2 \Rightarrow n = 12k_2$. $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.
$8$ અને $12$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $4$ છે.

(D) ધારો કે $n(T)$ એ ગણ $T$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ અને દરેક $X_{i}$ માં $10$ ઘટકો છે,તેથી બધા $X_{i}$ ના ઘટકોનો સરવાળો $50 \times 10 = 500$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક બરાબર $20$ ગણ $X_{i}$ માં છે,તેથી $20 \times n(T) = 500$,જે આપણને $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ આપે છે.
તે જ રીતે,ગણ $Y_{i}$ માટે,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ અને દરેક $Y_{i}$ માં $5$ ઘટકો છે,તેથી બધા $Y_{i}$ ના ઘટકોનો સરવાળો $n \times 5 = 5n$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક બરાબર $6$ ગણ $Y_{i}$ માં છે,તેથી $6 \times n(T) = 5n$.
$n(T) = 25$ મૂકતા,આપણને $6 \times 25 = 5n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $150 = 5n$ થાય,તેથી $n = 30$.

(D) સમીકરણ $x^{2}-x+2\lambda=0$ માટે,$\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=2\lambda$ મળે.
સમીકરણ $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ માટે,$\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ અને $\alpha\gamma=9\lambda$ મળે.
બીજના સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$.
બીજના ગુણાકારનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\alpha\gamma}{\alpha\beta}=\frac{9\lambda}{2\lambda}$ $\Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2}$ $\Rightarrow \gamma=\frac{9}{2}\beta$.
$\gamma$ ની કિંમત $\gamma-\beta=\frac{7}{3}$ માં મુકતા: $\frac{9}{2}\beta-\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{7}{2}\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$.
તેથી $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$.
$\alpha+\beta=1$ હોવાથી,$\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
$\alpha\beta=2\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$.
અંતે,$\frac{\beta\gamma}{\lambda}=\frac{(2/3) \times 3}{1/9}=18$.

(C) $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે $a_{1} = 1$ અને $a_{n} = 300$,તેથી $300 = 1 + (n-1)d$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)d = 299$.
$299$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $13 \times 23$ છે.
$15 \leq n \leq 50$ હોવાથી,$14 \leq n-1 \leq 49$ થાય.
$299$ ના અવયવો $1, 13, 23, 299$ છે.
$n-1$ ની કિંમત $[14, 49]$ ની વચ્ચે હોય તે માટે,શક્ય કિંમત $n-1 = 23$ છે,જે $n = 24$ આપે છે.
તેથી $d = 13$.
આપણે $(S_{n-4}, a_{n-4})$ શોધવાનું છે. $n = 24$ હોવાથી,$n-4 = 20$ થાય.
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(2490, 248)$ છે.

(A) $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x + \cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(D) ધારો કે $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x=0$ અને $S_{2} = x^{2}+y^{2}-4y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-6x) + \lambda(x^{2}+y^{2}-4y) = 0$
$(1+\lambda)x^{2} + (1+\lambda)y^{2} - 6x - 4\lambda y = 0$
કેન્દ્ર $\left(\frac{3}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$ છે.
કેન્દ્ર $2x - 3y + 12 = 0$ પર હોવાથી,$\lambda = -3$ મળે છે.
સમીકરણમાં $\lambda = -3$ મૂકતા,$x^{2} + y^{2} + 3x - 6y = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(-3, 6)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $PA = x$ એ $P$ થી વાદળ $C$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર છે.
$\Delta PAC$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AC}{PA} \Rightarrow AC = \frac{x}{\sqrt{3}}$.
વાદળની સરોવરની સપાટીથી ઊંચાઈ $H = AC + 200 = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$ છે.
પ્રતિબિંબ $C'$ સપાટીથી $H$ ઊંડાઈએ છે,તેથી $BC' = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$.
$\Delta PBC'$ માં,કુલ શિરોલંબ અંતર $AC' = 200 + (\frac{x}{\sqrt{3}} + 200) = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$.
અવસેધકોણ $60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC'}{PA} = \frac{400 + x/\sqrt{3}}{x}$.
$\sqrt{3}x = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow 3x = 400\sqrt{3} + x$ $\Rightarrow 2x = 400\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 200\sqrt{3}$.
$\Delta PAC$ માં,$PC = \frac{PA}{\cos(30^{\circ})} = \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{2(200\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 400 \ m$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(2+\omega)^4$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(2+\omega)^4 = 2^4 + 4(2^3)(\omega) + 6(2^2)(\omega^2) + 4(2)(\omega^3) + \omega^4$
$= 16 + 32\omega + 24\omega^2 + 8(1) + \omega$
$= 24 + 33\omega + 24\omega^2$
$\omega^2 = -1 - \omega$ મુકતા:
$= 24 + 33\omega + 24(-1 - \omega)$
$= 24 + 33\omega - 24 - 24\omega$
$= 9\omega$
$a + b\omega$ સાથે સરખાવતા,$a = 0$ અને $b = 9$ મળે છે.
તેથી,$a + b = 0 + 9 = 9$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = 4$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ મળે.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ મળે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P(1, \beta)$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{1^2}{4} + \frac{\beta^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{\beta^2}{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow \beta^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$ ($\beta > 0$ હોવાથી).
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$a^2=4, b^2=3, x_1=1, y_1=\frac{3}{2}$ મૂકતા,$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3$ મળે.
$4x - 2y = 1$.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ વિકલનીય છે'.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત છે'.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત નથી'.
અને $\sim p$ એટલે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ વિકલનીય નથી'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: 'જો વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત ન હોય,તો તે $a$ આગળ વિકલનીય નથી'.

(C) ધારો કે $N = n+5.$
$(1+x)^N$ ના વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકો $^N C_{r-1}, ^N C_r,$ અને $^N C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^N C_{r-1} : ^N C_r : ^N C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ છે.
$\frac{^N C_r}{^N C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ પરથી,
$\frac{N-r+1}{r} = 2 \Rightarrow N+1 = 3r. \quad (1)$
$\frac{^N C_{r+1}}{^N C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ પરથી,
$\frac{N-r}{r+1} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5N-12r = 7. \quad (2)$
$r = \frac{N+1}{3}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$5N - 4(N+1) = 7 \Rightarrow N = 11.$
તેથી $r = 4.$
વિસ્તરણ $(1+x)^{11}$ છે. સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ છે,જે $^{11} C_6 = 462$ થાય.

(D) રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
તેથી,લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m = k-1$ થશે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = (k-1)\left(x - \frac{k+1}{2}\right)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ $-4$ હોવાથી,$x=0$ અને $y=-4$ મુકતા:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)\left(-\frac{k+1}{2}\right)$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$k^2 = 16 \Rightarrow k = \pm 4$.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
$PQ$ વ્યાસ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(-3 \cos \theta, -3 \sin \theta)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
રેખા $x+y-2=0$ માટે,લંબની લંબાઈઓ:
$\alpha = \frac{|3 \cos \theta + 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) - 2|}{\sqrt{2}}$
$\beta = \frac{|-3 \cos \theta - 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{\sqrt{2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) + 2|}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\alpha \beta = \frac{|(3(\cos \theta + \sin \theta) - 2)(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{2} = \frac{|9(\cos \theta + \sin \theta)^2 - 4|}{2}$
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha \beta = \frac{|9(1 + \sin 2\theta) - 4|}{2} = \frac{|9 + 9 \sin 2\theta - 4|}{2} = \frac{|5 + 9 \sin 2\theta|}{2}$
$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\alpha \beta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5 + 9(1)}{2} = \frac{14}{2} = 7$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્ગોની મધ્યકિંમતો $x_i = 15, 25, 35$ છે.
સરળતા માટે,ઉગમબિંદુને $d_i = x_i - 25$ દ્વારા બદલો,જેથી $d_i = -10, 0, 10$ મળે.
આવૃત્તિઓ $f_i = 2, x, 2$ છે.
મધ્યક $\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{2(-10) + x(0) + 2(10)}{2+x+2} = \frac{0}{x+4} = 0$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i} - (\bar{d})^2$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = 50$,તેથી $50 = \frac{2(-10)^2 + x(0)^2 + 2(10)^2}{x+4} - 0^2$.
$50 = \frac{200 + 0 + 200}{x+4}$.
$50 = \frac{400}{x+4}$.
$x+4 = \frac{400}{50} = 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[x]^{2}+2[x+2]-7=0$
ગુણધર્મ $[x+n] = [x]+n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે,આપણને મળે $[x+2] = [x]+2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $[x]^{2}+2([x]+2)-7=0$
$[x]^{2}+2[x]+4-7=0$
$[x]^{2}+2[x]-3=0$
ધારો કે $y = [x]$,તો $y^{2}+2y-3=0$
$(y+3)(y-1)=0$
તેથી,$[x] = 1$ અથવા $[x] = -3$
જો $[x] = 1$,તો $x \in [1, 2)$
જો $[x] = -3$,તો $x \in [-3, -2)$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [-3, -2) \cup [1, 2)$ છે,જેમાં અનંત વાસ્તવિક કિંમતો છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ અને $x^{2}-6x+q=0$ ના બીજ $\gamma, \delta$ છે.
$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમને $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ તરીકે લો.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha+\beta = a+ar = 3$ અને $\alpha\beta = a^{2}r = p$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\gamma+\delta = ar^{2}+ar^{3} = 6$ અને $\gamma\delta = a^{2}r^{5} = q$.
બીજા સમીકરણના બીજનો સરવાળો ભાગ્યા પ્રથમ સમીકરણના બીજનો સરવાળો લેતા: $\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^{2} = 2$.
હવે,$p$ અને $q$ ની કિંમત $a$ અને $r$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા: $p = a^{2}r$ અને $q = a^{2}r^{5} = a^{2}r(r^{2})^{2} = p(2)^{2} = 4p$.
ગુણોત્તર $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ છે,તેથી $b^{2} = 5a$ ... $(i)$.
હવે,વિધેય $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ લો.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $\phi(t) = -\left(t^{2} - t + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{8}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{2}{3}$.
મહત્તમ કિંમત $\phi(t)_{\text{max}} = \frac{2}{3}$ છે,તેથી $e = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$,તેથી $b^{2} = \frac{5}{9}a^{2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$5a = \frac{5}{9}a^{2} \Rightarrow a = \frac{a^{2}}{9} \Rightarrow a = 9$.
તેથી $a^{2} = 81$ અને $b^{2} = 5(9) = 45$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 81 + 45 = 126$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(h, K)$ છે.
$\angle BAC = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AB$ અને $AC$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{K - 2}{h - 1}$.
તેથી,$\left(\frac{K - 2}{h - 1}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ $\Rightarrow K - 2 = 2(h - 1)$ $\Rightarrow K = 2h$.
$AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = 5\sqrt{5}$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{(h - 1)^2 + (K - 2)^2} = 5\sqrt{5}$.
$\sqrt{(h - 1)^2 + (2h - 2)^2} = 10$.
$\sqrt{5(h - 1)^2} = 10 \Rightarrow |h - 1| = 2\sqrt{5}$.
પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$,તેથી $h = 1 + 2\sqrt{5}$.

(C) $(S_{1}): (q \vee p) \rightarrow (p \leftrightarrow \sim q)$ માટે
જો $p = T$ અને $q = T$ હોય,તો $(T \vee T)$ $\rightarrow (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T$ $\rightarrow F = F$. બધા સત્ય મૂલ્યો માટે તે સત્ય ન હોવાથી,$(S_{1})$ એ સ્વતઃ સત્ય નથી.
$(S_{2}): \sim q \wedge (\sim p \leftrightarrow q)$ માટે
જો $p = F$ અને $q = F$ હોય,તો $\sim F \wedge (\sim F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge F = F$.
જો $p = T$ અને $q = F$ હોય,તો $\sim F \wedge (\sim T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge T = T$.
અહીં એક કિસ્સો એવો છે જ્યાં સત્ય મૂલ્ય $T$ મળે છે,તેથી $(S_{2})$ એ સ્વતઃ અસત્ય નથી.
આમ,$(S_{1})$ અને $(S_{2})$ બંને ખોટા છે.

(A) બિંદુ $(3,3)$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પર હોવાથી,$\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ છે.
$(x_{1}, y_{1}) = (3,3)$ મૂકતા,અભિલંબ $\frac{a^{2}x}{3} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ મળે.
આ અભિલંબ $(9,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{a^{2}(9)}{3} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{18-9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 9 = 2a^{2}$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2}$.
તેથી $b^{2} = 2(\frac{9}{2}) = 9$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{9}{9/2} = 1 + 2 = 3$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a^{2}, e^{2})$ એ $(\frac{9}{2}, 3)$ છે.

(D) ધારો કે $n(A) = 63$ અને $n(B) = 76$ એ અનુક્રમે સમાચારપત્ર $A$ અને $B$ વાંચતા લોકોની ટકાવારી દર્શાવે છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ ટકાવારી $100$ થી વધી શકે નહીં,તેથી $n(A \cup B) \leq 100$.
વળી,$B \subseteq (A \cup B)$ હોવાથી,$n(A \cup B) \geq n(B)$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cup B) \geq 76$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $76 \leq 139 - x \leq 100$ મળે છે.
બધા પદોમાંથી $139$ બાદ કરતા: $76 - 139 \leq -x \leq 100 - 139$,જે $-63 \leq -x \leq -39$ આપે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $39 \leq x \leq 63$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $39$ એ $[39, 63]$ ની શ્રેણીમાં આવે છે.

(C) આપેલ છે $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $x - i(y - k)$ વડે ગુણતા:
$u = \frac{2x^2 + (2y + 1)(y - k) + i[x(2y + 1) - 2x(y - k)]}{x^2 + (y - k)^2}$.
$\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ આપેલ હોવાથી:
$2x^2 + (2y + 1)(y - k) + x(2y + 1) - 2x(y - k) = x^2 + (y - k)^2$.
$y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ માટે $x = 0$ લેતા:
$(2y + 1)(y - k) = (y - k)^2$.
$(y - k)[(2y + 1) - (y - k)] = 0 \Rightarrow (y - k)(y + k + 1) = 0$.
આથી $y_1 = k$ અને $y_2 = -k - 1$ મળે.
અંતર $PQ = |y_1 - y_2| = |k - (-k - 1)| = |2k + 1| = 5$.
$k > 0$ હોવાથી, $2k + 1 = 5$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(D) ધારો કે થાંભલાઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. ધારો કે જમીન $AC$ થી ઉપર છેદબિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h$ છે.
ધારો કે $P$ થી $AC$ પરના લંબનો પગ $M$ છે. ધારો કે $AM = x_2$ અને $MC = x_1$,તેથી $x_1 + x_2 = x$.
$\triangle AMC$ અને $\triangle BCD$ માં,આપણી પાસે $\triangle PMC \sim \triangle ABC$ અને $\triangle PMA \sim \triangle ADC$ છે.
સમરૂપતા પરથી,$\frac{h}{15} = \frac{x_1}{x}$ અને $\frac{h}{10} = \frac{x_2}{x}$.
આ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\frac{h}{15} + \frac{h}{10} = \frac{x_1 + x_2}{x} = \frac{x}{x} = 1$.
$\frac{2h + 3h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{5h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{6} = 1$.
તેથી,$h = 6 \ m$.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $a$ અને $b$ છે.
$8$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 10$ આપેલ છે:
$\frac{5+7+10+12+14+15+a+b}{8} = 10$
$63 + a + b = 80 \Rightarrow a + b = 17 \quad (1)$
વિચરણ $\sigma^2 = 13.5$ આપેલ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$13.5 = \frac{5^2+7^2+10^2+12^2+14^2+15^2+a^2+b^2}{8} - 10^2$
$113.5 = \frac{25+49+100+144+196+225+a^2+b^2}{8}$
$908 = 739 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \quad (2)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ પરથી,$17^2 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 120$ $\Rightarrow ab = 60$.
હવે,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 17^2 - 4(60) = 289 - 240 = 49$.
તેથી,$|a-b| = \sqrt{49} = 7$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ છે.
આને $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ તરીકે લખી શકાય.
$S = 1 + 10 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$.
$S = 11 - 4 [2 \sum_{n=1}^{10} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^2]$.
સૂત્રો $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 11 - 4 [2 \cdot (55)^2 - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}]$.
$S = 11 - 4 [2 \cdot 3025 - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4 [5665]$.
$S = 11 - 22660 = 11 - 220(103)$.
$\alpha - 220 \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 11$ અને $\beta = 103$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(11, 103)$ છે.

(B) આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નોંધો કે ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$.
આમ,$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + ({}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7})$.
આ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા: ${}^{n}C_{r} + {}^{n+1}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$,આપણને મળે છે:
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,સરવાળો ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ માં પરિણમે છે.

(D) આપેલ છે કે $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
આ નિત્યસમમાં $x$ ને $\frac{2}{x}$ વડે બદલતા:
$(2(\frac{2}{x})^2 + 3(\frac{2}{x}) + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r (\frac{2}{x})^r$.
$\frac{2^{10}(2x^2 + 3x + 4)^{10}}{x^{20}} = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{-r}$.
$2^{10} \sum_{r=0}^{20} a_r x^r = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{20-r}$.
$\frac{a_7}{a_{13}}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x^7$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા.
$L$.$H$.$S$. પર,$x^7$ નો સહગુણક $2^{10} a_7$ છે.
$R$.$H$.$S$. પર,$20-r = 7$ લેતા $r = 13$ મળે છે,તેથી સહગુણક $a_{13} 2^{13}$ છે.
સરખાવતા: $2^{10} a_7 = a_{13} 2^{13}$.
તેથી,$\frac{a_7}{a_{13}} = \frac{2^{13}}{2^{10}} = 2^3 = 8$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $7x^{2}-3x-2=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = \frac{3}{7}$ અને $\alpha\beta = \frac{-2}{7}$ મળે.
આપણે $S = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$S = \frac{(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)}{1-((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)+(\alpha\beta)^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: અંશ = $\frac{27}{49}$ અને છેદ = $\frac{16}{49}$ મળે.
તેથી,$S = \frac{27}{16}$.

(D) સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ થાય.
$R_{1}$ માટે: ધારો કે $a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$,અને $c = 1 + 2\sqrt{3}$.
તો $a^{2} + b^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14 \in \mathbb{Q}$. તેથી $(a, b) \in R_{1}$.
તેમજ $b^{2} + c^{2} = (7 - 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 \in \mathbb{Q}$. તેથી $(b, c) \in R_{1}$.
પરંતુ $a^{2} + c^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 + 8\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.
આમ,$(a, c) \notin R_{1}$,તેથી $R_{1}$ પરંપરિત નથી.
$R_{2}$ માટે: જો આપણે $a^{2} = 1$,$b^{2} = \sqrt{3}$,અને $c^{2} = 2$ લઈએ,તો $a^{2} + b^{2} \notin \mathbb{Q}$ અને $b^{2} + c^{2} \notin \mathbb{Q}$,પરંતુ $a^{2} + c^{2} = 3 \in \mathbb{Q}$.
આમ,$(a, c) \notin R_{2}$,તેથી $R_{2}$ પરંપરિત નથી.
તેથી,$R_{1}$ કે $R_{2}$ બંનેમાંથી કોઈ પણ પરંપરિત નથી.

(C) ધારો કે $x = \tan^2 \theta$,તેથી $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}\right) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$
$= \int \sin^{-1}(\sin \theta) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \theta (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta$ અને $dv = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ લેતા,$du = d\theta$ અને $v = \tan^2 \theta$ મળે.
$= \theta \tan^2 \theta - \int \tan^2 \theta d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - (\tan \theta - \theta) + C$
$= \theta (\tan^2 \theta + 1) - \tan \theta + C$
$= (1+x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C$.
આને $A(x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) + B(x) + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = x+1$ અને $B(x) = -\sqrt{x}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -2, 3)$ અને $B(2, 4, -1)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{3-1}{2} \right) = (3, 1, 1)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{AB}$ છે:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2-4, 4-(-2), -1-3) = (-2, 6, -4)$.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{n} = (1, -3, 2)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $M(3, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 2)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x - 3) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0$
$x - 3 - 3y + 3 + 2z - 2 = 0$
$x - 3y + 2z - 2 = 0$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$(4, 0, -1)$ માટે: $4 - 3(0) + 2(-1) - 2 = 4 - 0 - 2 - 2 = 0$. આ બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સમતલ બિંદુ $(4, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $C = \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|C| = |\operatorname{adj} A| = 2(0 - (-4)) - (-1)(1 - 2) + 1(2 - 0) = 2(4) + 1(-1) + 1(2) = 8 - 1 + 2 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$. તેથી,$|A|^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 3$. આમ,$\lambda = \pm 3$ અને $|\lambda| = 3$.
આપેલ છે કે $B = \operatorname{adj} C = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|B| = |\operatorname{adj} C| = |C|^{n-1} = |C|^2 = 9^2 = 81$.
આપણે $\mu = |(B^{-1})^T|$ શોધવાનું છે. કારણ કે $|(B^{-1})^T| = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$,તેથી $\mu = \frac{1}{81}$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(|\lambda|, \mu) = (3, 1/81)$ છે.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,તેનું વિકલન $f'(x)$ એ $3$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
આપેલ છે કે ક્રાંતિક બિંદુઓ $-1, 0, 1$ છે,તેથી $f'(x) = k(x+1)(x)(x-1) = k(x^3 - x)$ જ્યાં $k \neq 0$ અચળાંક છે.
$f'(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C$ મળે છે.
આપણે $T = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) = f(0)\}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$f(x) = f(0)$ લેતા,આપણને $k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C = C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$.
તેથી,$x^2 = 0$ અથવા $x^2 = 2$.
$T$ ના ઘટકો $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
આ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $0^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 0 + 2 + 2 = 4$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ અને $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$.
આપેલ છે કે $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$,તેથી $|\vec{p}| = 1$ અને $|\vec{q}| = 1$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \cdot \vec{q} = ab + bc + ca$ થાય.
ધારો કે $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) = k$.
તેથી $a = \frac{k}{\cos \theta}$,$b = \frac{k}{\cos(\theta + 2\pi/3)}$,$c = \frac{k}{\cos(\theta + 4\pi/3)}$.
સેકન્ટના સરવાળા માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$a+b+c = 0$ મળે.
તેથી $(a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca) = 0$.
$1 + 2(ab + bc + ca) = 0$ હોવાથી,$ab + bc + ca = -1/2$.
આમ,$\cos \phi = \frac{-1/2}{1} = -1/2$,તેથી $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{3} dy + xy dx = x^{2} dy + 2y dx$
પદોને ગોઠવતા: $(x^{3} - x^{2}) dy = (2y - xy) dx$
$(x^{3} - x^{2}) dy = y(2 - x) dx$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} dx$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 1}$
$2 - x = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^{2}$
$x = 0$ માટે,$2 = -B \Rightarrow B = -2$. $x = 1$ માટે,$1 = C$. $x^{2}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$0 = A + C \Rightarrow A = -1$.
સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \left( -\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x - 1} \right) dx$
$\ln y = -\ln x + \frac{2}{x} + \ln(x - 1) + C_{1}$
$y(2) = e$ આપેલ છે: $\ln e = -\ln 2 + \frac{2}{2} + \ln(2 - 1) + C_{1} \Rightarrow 1 = -\ln 2 + 1 + 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = \ln 2$.
તેથી,$\ln y = \ln \left( \frac{2(x - 1)}{x} \right) + \frac{2}{x}$.
$x = 4$ માટે: $\ln y = \ln \left( \frac{2(3)}{4} \right) + \frac{2}{4} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \ln \sqrt{e}$.
$y = \frac{3}{2} \sqrt{e}$.

(B) વક્ર $y=e^{x}$ માટે,બિંદુ $(c, e^{c})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = e^{x} \implies m_{t} = e^{c}$ છે.
બિંદુ $(c, e^{c})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - e^{c} = e^{c}(x - c)$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા: $-e^{c} = e^{c}(x - c) \implies -1 = x - c \implies x = c - 1$.
પરવલય $y^{2}=4x$ માટે,વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ મળે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2}{2} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1) \implies y - 2 = -x + 1 \implies x + y = 3$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા: $x = 3$.
બંને છેદબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$x$-યામ સરખાવતા: $c - 1 = 3 \implies c = 4$.

(C) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ:
$-1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ બિંદુ $M(1, 0, 1)$ માંથી સમતલ $x - y - z - 1 = 0$ પરનો લંબપાદ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 0}{-1} = \frac{\gamma - 1}{-1} = k$.
તેથી,$\alpha = k + 1, \beta = -k, \gamma = 1 - k$.
$Q$ સમતલ પર હોવાથી:
$(k + 1) - (-k) - (1 - k) - 1 = 0 \implies 3k - 1 = 0 \implies k = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{4}{3}, \beta = -\frac{1}{3}, \gamma = \frac{2}{3}$.
અંતે,$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x - 2y + 5z = 0$ $(1)$
$-2x + 4y + z = 0$ $(2)$
$-7x + 14y + 9z = 0$ $(3)$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \\ -7 & 14 & 9 \end{vmatrix} = 1(36 - 14) - (-2)(-18 + 7) + 5(-28 + 28) = 1(22) + 2(-11) + 0 = 22 - 22 = 0$.
$\Delta = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમના અનંત ઉકેલો છે.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x - 2y = -5z$
$-2x + 4y = -z$
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,$2x - 4y = -10z$ મળે છે. આને બીજા સમીકરણમાં ઉમેરતા $0 = -11z$ મળે છે,તેથી $z = 0$.
$z = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$x - 2y = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 2y$.
ધારો કે $y = k$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે. તો $x = 2k$ અને $z = 0$.
શરત $15 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 150$ નીચે મુજબ બને છે:
$15 \leq (2k)^{2} + k^{2} + 0^{2} \leq 150$
$15 \leq 5k^{2} \leq 150$
$3 \leq k^{2} \leq 30$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k^{2}$ ની કિંમત $4, 9, 16, 25$ હોઈ શકે.
આમ,$k \in \{ \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5 \}$.
$k$ માટે $8$ શક્ય કિંમતો છે,જે દરેક એક અનન્ય ઉકેલ $(x, y, z)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $4$ નો ગુણક છે.
$A$ માટે શક્ય પરિણામો છે: $\{(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (6,6)\}$.
આમ,$A$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 9$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે અંક $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
આપણે $B \cap A$ માં રસ ધરાવીએ છીએ,જે એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં સરવાળો $4$ નો ગુણક હોય અને $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
ગણ $A$ માં જોતા,$4$ ધરાવતા પરિણામો છે: $\{(4,4)\}$.
આમ,$B \cap A = \{(4,4)\}$ અને $n(B \cap A) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(B \cap A)}{n(A)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(B|A) = \frac{1}{9}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \hat{i}(1 + 2\ell) + \hat{j}(-1) + \hat{k}(\ell)$ અને $\overrightarrow{r} = \hat{i}(2 + m) + \hat{j}(m - 1) + \hat{k}(-m)$ છે.
રેખાઓ છેદે તે માટે,$\ell$ અને $m$ ની એવી કિંમતો હોવી જોઈએ કે જેથી યામ સમાન થાય:
$1 + 2\ell = 2 + m$ $(i)$
$-1 = m - 1$ $(ii)$
$\ell = -m$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને $m = 0$ મળે છે.
$m = 0$ ને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $\ell = 0$ મળે છે.
હવે,તપાસો કે શું આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ નું સમાધાન કરે છે:
$1 + 2(0) = 2 + 0 \implies 1 = 2$,જે વિરોધાભાસ છે.
આમ,$\ell$ અને $m$ ની કિંમતો ત્રણેય સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરતી નથી,તેથી રેખાઓ $\ell$ અને $m$ ની કોઈપણ કિંમત માટે છેદતી નથી.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(4,2,3)$,$A(1,-2,3)$ અને $B(1,1,0)$ છે.
રેખા $AB$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-1, 1-(-2), 0-3) = (0, 3, -3)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1, -2, 3) + \lambda(0, 3, -3) = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ છે.
ધારો કે $M$ એ $P$ માંથી $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તેથી,$M = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$.
સદિશ $\vec{PM} = M - P = (1-4, -2+3\lambda-2, 3-3\lambda-3) = (-3, 3\lambda-4, -3\lambda)$.
કારણ કે $\vec{PM} \perp \vec{AB}$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(-3)(0) + (3\lambda-4)(3) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$0 + 9\lambda - 12 + 9\lambda = 0$
$18\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ ને $M$ માં મૂકતા:
$M = (1, -2+3(\frac{2}{3}), 3-3(\frac{2}{3})) = (1, -2+2, 3-2) = (1, 0, 1)$.
હવે,તપાસો કે કયું સમતલ બિંદુ $(1, 0, 1)$ ધરાવે છે:
$2x+y-z=1$ માટે: $2(1) + 0 - 1 = 2 - 1 = 1$. આ સાચું છે.
આમ,બિંદુ $M$ એ સમતલ $2x+y-z=1$ પર આવેલું છે.

(C) પ્રદેશ $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ માટે $0 \leq y \leq \min(x^{2}+1, x+1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,$y = x^{2}+1$ અને $y = x+1$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$x^{2}+1 = x+1 \implies x^{2}-x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,વક્રો $x = 0$ અને $x = 1$ પર છેદે છે.
$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ માટે,$x+1 \geq x^{2}+1$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx$ છે.
$1 \leq x \leq 2$ માટે,$x^{2}+1 \geq x+1$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{2} (x+1) dx$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx + \int_{1}^{2} (x+1) dx$.
$= [\frac{x^{3}}{3} + x]_{1/2}^{1} + [\frac{x^{2}}{2} + x]_{1}^{2}$.
$= ((\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{24} + \frac{1}{2})) + ((2 + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$.
$= (\frac{4}{3} - \frac{13}{24}) + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{32-13}{24} + \frac{5}{2} = \frac{19}{24} + \frac{60}{24} = \frac{79}{24}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$.
અહીં વિધેય $f(x) = |\pi - |x||$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$.
અંતરાલ $x \in [0, \pi]$ માટે,$|x| = x$ થાય,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બનશે:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - x| \, dx$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં $x \leq \pi$ હોવાથી,$\pi - x \geq 0$ થાય,તેથી $|\pi - x| = \pi - x$.
$I = 2 \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \, dx$.
$I = 2 \left[ \pi x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\pi}$.
$I = 2 \left( (\pi(\pi) - \frac{\pi^{2}}{2}) - (0 - 0) \right)$.
$I = 2 \left( \pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^{2}}{2} \right) = \pi^{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^{2}+\ln(\cos^{2}x) = y$ જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
$x=0$ માટે,$\cos^{2}(0) = 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. સમીકરણ $y^{2} = y$ બને છે,જેનો અર્થ છે $y(y-1) = 0$,તેથી $y=0$ અથવા $y=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2yy^{\prime} + \frac{1}{\cos^{2}x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = y^{\prime}$.
સાદું રૂપ આપતા: $2yy^{\prime} - 2\tan x = y^{\prime}$.
$x=0$ આગળ,$y=0$ અને $y=1$ બંને માટે,આપણને $2y(0) - 2(0) = y^{\prime}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y^{\prime}(0) = 0$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $2y y^{\prime \prime} + 2(y^{\prime})^{2} - 2\sec^{2}x = y^{\prime \prime}$.
$x=0$ અને $y^{\prime}(0)=0$ આગળ: $2y y^{\prime \prime} + 0 - 2(1) = y^{\prime \prime}$.
જો $y=0$ હોય,તો $0 - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = -2$.
જો $y=1$ હોય,તો $2y^{\prime \prime} - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = 2$.
બંને કિસ્સામાં,$|y^{\prime \prime}(0)| = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = (3x - 7)x^{2/3} = 3x^{5/3} - 7x^{2/3}$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{5}{3}x^{2/3} - 7 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}$
$f'(x) = 5x^{2/3} - \frac{14}{3x^{1/3}}$
$f'(x)$ માટેનું પદ સાદું રૂપ આપતા:
$f'(x) = \frac{5x^{2/3} \cdot 3x^{1/3} - 14}{3x^{1/3}} = \frac{15x - 14}{3x^{1/3}}$
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે:
$\frac{15x - 14}{3x^{1/3}} > 0$
આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \frac{14}{15}$ નો ઉપયોગ કરીને $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
- $x < 0$ માટે,$15x - 14 < 0$ અને $3x^{1/3} < 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
- $0 < x < \frac{14}{15}$ માટે,$15x - 14 < 0$ અને $3x^{1/3} > 0$,તેથી $f'(x) < 0$.
- $x > \frac{14}{15}$ માટે,$15x - 14 > 0$ અને $3x^{1/3} > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
આમ,$f(x)$ એ $x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{14}{15}, \infty\right)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 2 x-3 & 3 x-4 & 4 x-5 \\ 3 x-5 & 5 x-8 & 10 x-17\end{array}\right| = Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x-2 & 2x-4 & 6x-12\end{array}\right|$
$R_{2}$ માંથી $(x-1)$ અને $R_{3}$ માંથી $(x-2)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (x-1)(x-2) \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 6\end{array}\right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (x-1)(x-2) [ (x-2)(6-2) - (2x-3)(6-1) + (3x-4)(2-1) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4(x-2) - 5(2x-3) + 1(3x-4) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4x-8 - 10x+15 + 3x-4 ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ -3x+3 ] = -3(x-1)^{2}(x-2)$
વિસ્તરણ કરતા $-3(x^{2}-2x+1)(x-2) = -3(x^{3}-4x^{2}+5x-2) = -3x^{3}+12x^{2}-15x+6$.
$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ સાથે સરખાવતા,$B=12$ અને $C=-15$ મળે છે.
તેથી,$B+C = 12-15 = -3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
$\Rightarrow (y^{-2}+1) dy = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (y^{-2}+1) dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$
$-y^{-1} + y = \ln(e^{x}+1) + C$
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) + C$.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$1 - \frac{1}{1} = \ln(e^{0}+1) + C$
$0 = \ln(2) + C \Rightarrow C = -\ln(2)$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) - \ln(2)$
$y - \frac{1}{y} = \ln\left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)$
$y$ વડે ગુણતા:
$y^{2} - 1 = y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$
$y^{2} = 1 + y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{2} = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{4} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x^{2} + 1)^{2} + x^{2} & x(x^{2} + 1) + x \\ x(x^{2} + 1) + x & x^{2} + 1 \end{bmatrix}$.
આપણને $a_{11} = 109$ આપેલ છે,તેથી:
$(x^{2} + 1)^{2} + x^{2} = 109$.
ધારો કે $y = x^{2}$. તો $(y + 1)^{2} + y = 109$.
$y^{2} + 2y + 1 + y = 109 \Rightarrow y^{2} + 3y - 108 = 0$.
$(y + 12)(y - 9) = 0$.
કારણ કે $y = x^{2} \geq 0$,તેથી $y = 9$,એટલે કે $x^{2} = 9$.
હવે,$a_{22}$ શોધો:
શ્રેણિક $A^{4}$ પરથી,$a_{22} = x^{2} + 1$.
$x^{2} = 9$ મૂકતા,આપણને $a_{22} = 9 + 1 = 10$ મળે છે.

(A) વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & x \in [-1, 1] \\ \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$LHL = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}(-x-1) = 0$
$RHL = \lim_{x \to -1^+} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
$LHL = RHL = f(-1)$ હોવાથી,વિધેય $x = -1$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2}(x-1) = 0$
$LHL \neq RHL$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ અસતત છે.
$x = -1$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસતા:
$LHD = \frac{d}{dx} [\frac{1}{2}(-x-1)] = -\frac{1}{2}$
$RHD = \frac{d}{dx} [\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x] = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,વિધેય $x = -1$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,વિધેય $R - \{1\}$ પર સતત છે અને $R - \{-1, 1\}$ પર વિકલનીય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.
ધારો કે $z = y + 3x$. તેથી $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dz}{dx} = \frac{z}{\log_{e}z}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{\log_{e}z}{z} dz = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\log_{e}z}{z} dz = \int dx$.
ધારો કે $u = \log_{e}z$,તો $du = \frac{1}{z} dz$. સંકલન $\int u du = x + C$ બને છે.
તેથી,$\frac{u^{2}}{2} = x + C$.
$u = \log_{e}(y+3x)$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = x + C$.
ગોઠવતા $x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$ મળે છે.

(B) બિંદુ $(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r+1) - (3r-2) + (-6r+3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$.
$r = \frac{1}{7}$.
બિંદુ $(1, -2, 3)$ અને છેદબિંદુ $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(2r)^2 + (3r)^2 + (-6r)^2} = \sqrt{4r^2 + 9r^2 + 36r^2} = \sqrt{49r^2} = 7|r|$ છે.
$r = \frac{1}{7}$ મૂકતા,અંતર $7 \times \frac{1}{7} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{2t f^{2}(x) - x^{2} \cdot 2f(t) f'(t)}{1} = 0$.
$t = x$ મૂકતા:
$2x f^{2}(x) - 2x^{2} f(x) f'(x) = 0$.
$2x f(x)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x > 0$ અને $f(x) > 0$):
$f(x) - x f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln|f(x)| = \ln|x| + C$.
$f(x) > 0$ અને $x > 0$ હોવાથી,$f(x) = Cx$.
$f(1) = e$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$e = C(1) \Rightarrow C = e$.
આમ,$f(x) = ex$.
જો $f(x) = 1$ હોય,તો $ex = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{e}$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = 0$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(4\lambda + 2) - 1(2\lambda + 3) + 1(4 - 12) = 0$
$4\lambda + 2 - 2\lambda - 3 - 8 = 0$
$2\lambda - 9 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{9}{2}$.
ત્યારબાદ,$\Delta_x = 0$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & -1 \\ \mu & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(4\lambda + 2) - 1(6\lambda + \mu) + 1(12 - 4\mu) = 0$
$\lambda = \frac{9}{2}$ મૂકતા:
$2(18 + 2) - (27 + \mu) + 12 - 4\mu = 0$
$40 - 27 - \mu + 12 - 4\mu = 0$
$25 - 5\mu = 0 \Rightarrow \mu = 5$.
હવે,$\lambda = 4.5$ અને $\mu = 5$ માટે વિકલ્પો તપાસો:
$2\lambda + \mu = 2(4.5) + 5 = 9 + 5 = 14$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \tan ^{3} x \cdot \sin ^{2} 3 x\left(2 \sec ^{2} x \cdot \sin ^{2} 3 x+3 \tan x \cdot \sin 6 x\right) d x$.
નોંધો કે $\sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x$.
સંકલિતને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = 2 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 3 \tan^4 x \sin^2 3x (2 \sin 3x \cos 3x) = 2 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 6 \tan^4 x \sin^3 3x \cos 3x$.
અહીં $\frac{d}{dx} [(\tan x)^4 (\sin 3x)^4] = 4 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 4 \tan^4 x \sin^3 3x (3 \cos 3x) = 4 [\tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 3 \tan^4 x \sin^3 3x \cos 3x]$.
તેથી,સંકલિત $\frac{1}{2} \frac{d}{dx} [(\tan x)^4 (\sin 3x)^4]$ છે.
$I = \frac{1}{2} [\tan^4 x \sin^4 3x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{1}{2} [(\tan^4 \frac{\pi}{3} \sin^4 \pi) - (\tan^4 \frac{\pi}{6} \sin^4 \frac{\pi}{2})]$.
કારણ કે $\sin \pi = 0$ અને $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$:
$I = \frac{1}{2} [0 - ((\frac{1}{\sqrt{3}})^4 \cdot 1^4)] = \frac{1}{2} [0 - \frac{1}{9}] = -\frac{1}{18}$.

(D) ધારો કે $A$ માટે $6$ મેળવવાની સંભાવના $p_A = \frac{5}{36}$ છે.
ધારો કે $B$ માટે $7$ મેળવવાની સંભાવના $p_B = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
$q_A = 1 - p_A = \frac{31}{36}$ અને $q_B = 1 - p_B = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના $P(A \text{ wins}) = p_A + (q_A q_B) p_A + (q_A q_B)^2 p_A + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{155}{216}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{5/36}{1 - 155/216} = \frac{30}{61}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(t, t^{2}-1)$ છે જ્યાં $0 < t < 1$. પરવલય $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(-t, t^{2}-1)$ થશે.
લંબચોરસની લંબાઈ $2t$ છે અને ઊંચાઈ $|t^{2}-1| = 1-t^{2}$ છે (કારણ કે લંબચોરસ $x$-અક્ષની નીચે છે).
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2t)(1-t^{2}) = 2t - 2t^{3}$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dt} = 2 - 6t^{2}$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $6t^{2} = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^{2} = \frac{1}{3}$,તેથી $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{6-2}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) આપેલ છે કે $Ax_{1} = b_{1}$,$Ax_{2} = b_{2}$,અને $Ax_{3} = b_{3}$.
આ સમીકરણોને એક મેટ્રિક્સ સમીકરણમાં જોડી શકાય છે: $A[x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}]$.
ધારો કે $X = [x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $AX = B$,જેનો અર્થ છે કે $|A||X| = |B|$.
$X$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|X| = 1(2 \times 1 - 0 \times 1) = 2$.
$B$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|B| = 1(2 \times 2 - 0 \times 0) = 4$.
આમ,$|A| \times 2 = 4$,જે આપણને $|A| = 4/2 = 2$ આપે છે.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
$6$ માંથી $4$ પ્રશ્નો સાચા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{6}C_{4}$ છે.
દરેક $4$ સાચા પ્રશ્નો માટે,સાચો જવાબ પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $2$ પ્રશ્નો $(6 - 4 = 2)$ માટે,ઉમેદવારે ખોટો જવાબ પસંદ કરવો પડશે. $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી,દરેક પ્રશ્ન માટે $3$ ખોટા વિકલ્પો છે.
આમ,કુલ રીતો = ${}^{6}C_{4} \times (1)^4 \times (3)^2$.
${}^{6}C_{4} = 15$.
કુલ રીતો = $15 \times 1 \times 9 = 135$.

(C) પ્રથમ,આપણે સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ:
$\int_{0}^{n}\{x\} dx = n \int_{0}^{1} x dx = n \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{n}{2}$.
ત્યારબાદ,$\int_{0}^{n}[x] dx = \int_{0}^{n} (x - \{x\}) dx = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} \{x\} dx = \frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{n}{2}$,$\frac{n(n-1)}{2}$,અને $10n(n-1)$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદનો વર્ગ એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો થાય:
$\left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^{2} = \left( \frac{n}{2} \right) \cdot 10n(n-1)$.
$\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{4} = 5n^{2}(n-1)$.
$n > 1$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુ $\frac{n^{2}(n-1)}{4}$ વડે ભાગી શકીએ:
$n-1 = 5 \cdot 4 = 20$.
તેથી,$n = 21$.

(D) સદિશ ત્રિગુણન નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - a_x \hat{i}$.
તે જ રીતે,$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = \vec{a} - a_y \hat{j}$ અને $\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = \vec{a} - a_z \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
આ પદાવલિ $|\vec{a} - a_x \hat{i}|^2 + |\vec{a} - a_y \hat{j}|^2 + |\vec{a} - a_z \hat{k}|^2$ છે.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}|^2 + a_x^2 - 2a_x^2 = |\vec{a}|^2 - a_x^2$,$|\vec{a}|^2 - a_y^2$,અને $|\vec{a}|^2 - a_z^2$.
તેમનો સરવાળો કરતા: $3|\vec{a}|^2 - (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) = 3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 9$ મૂકતા,આપણને $2 \times 9 = 18$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આ પ્રકારના શ્રેણિક માટે,$A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n\theta & i \sin n\theta \\ i \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}$ થાય.
$n = 5$ માટે,$A^{5} = \begin{bmatrix} \cos 5\theta & i \sin 5\theta \\ i \sin 5\theta & \cos 5\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
તેથી,$a = \cos 5\theta$,$b = i \sin 5\theta$,$c = i \sin 5\theta$,$d = \cos 5\theta$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} 5\theta + (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta - \sin^{2} 5\theta = \cos 10\theta = \cos(10 \times \frac{\pi}{24}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos 75^{\circ}$. કારણ કે $0 \leq \cos 75^{\circ} \leq 1$,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$a^{2} - d^{2} = \cos^{2} 5\theta - \cos^{2} 5\theta = 0$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$a^{2} - b^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. વિકલ્પ $C$ માં $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$a^{2} - c^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x - 2|$ અને $g(x) = f(f(x)) = ||x - 2| - 2|$.
આપણે $I = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} g(x) \, dx - \int_{0}^{3} f(x) \, dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} |x - 2| \, dx$ શોધીએ.
આ $x = 0$ થી $x = 3$ સુધીના $f(x)$ ના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. આલેખ બે ત્રિકોણનો બનેલો છે: એક $2$ પાયા અને $2$ ઊંચાઈ વાળો ( $0$ થી $2$ સુધી),અને બીજો $1$ પાયા અને $1$ ઊંચાઈ વાળો ($2$ થી $3$ સુધી).
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 2 + 0.5 = 2.5$.
હવે,$\int_{0}^{3} g(x) \, dx = \int_{0}^{3} ||x - 2| - 2| \, dx$ શોધીએ.
$x \in [0, 2]$ માટે,$g(x) = |(2 - x) - 2| = |-x| = x$. ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$g(x) = |(x - 2) - 2| = |x - 4| = 4 - x$. ક્ષેત્રફળ $= \int_{2}^{3} (4 - x) \, dx = \frac{1}{2} \times (2 + 1) \times 1 = 1.5$.
કુલ $\int_{0}^{3} g(x) \, dx = 2 + 1.5 = 3.5$.
આમ,$I = 3.5 - 2.5 = 1$.

(D) આપણે $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તેથી $x = t^2$ અને $dx = 2t dt$.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=3$,ત્યારે $t=\sqrt{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(3) - f(1) = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = t$ અને $dv = \frac{t}{(1+t^2)^2} dt$ લેતા,$du = dt$ અને $v = -\frac{1}{2(1+t^2)}$ મળે.
$2 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt = 2 \left[ -\frac{t}{2(1+t^2)} + \int \frac{1}{2(1+t^2)} dt \right] = -\frac{t}{1+t^2} + \tan^{-1}(t)$.
$1$ થી $\sqrt{3}$ ની સીમાઓ માટે ગણતરી કરતા:
$f(3) - f(1) = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{1+3} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) \right] - \left[ -\frac{1}{1+1} + \tan^{-1}(1) \right]$.
$= \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(D) વિધેયને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $f(x) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ છીએ: $f'(x) = 3x^2 - 27$. $f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 9$ મળે,તેથી $x = \pm 3$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 6x$ છે. $x = -3$ માટે,$f''(-3) = -18 < 0$,તેથી $x_0 = -3$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = -3$ આગળ,સદિશો $\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-2) + (-2)(-3) + (3)(-1) = 6 + 6 - 3 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-2)(7) + (-3)(-2) + (-1)(-3) = -14 + 6 + 3 = -5$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (7)(-3) + (-2)(-2) + (-3)(3) = -21 + 4 - 9 = -26$.
આનો સરવાળો: $9 - 5 - 26 = -22$.

(D) ધારો કે $I = \int \left(\frac{x}{x \sin x + \cos x}\right)^2 dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \left(\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x}\right) \cdot \left(\frac{\cos x}{x \sin x + \cos x}\right) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x \sec x$ અને $dv = \frac{\cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$ લો.
તેથી $du = (\sec x + x \sec x \tan x) dx = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} dx$ અને $v = -\frac{1}{x \sin x + \cos x}$ થશે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = (x \sec x) \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) \left(\frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x}\right) dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \sec^2 x dx$.
$I = \tan x - \frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-\frac{1}{x}$ અને $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.
તેથી,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.
$y(\pi)=\pi$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.
આમ,$y = x^{2} \sin x + x$.
હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.
આગળ,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.
તેથી,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.
$x=\frac{\pi}{2}$ પર કિંમત મુકતા,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.
અંતે,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$,અને $f''(x) \geq 4$ બધા $x \in (1,6)$ માટે.
વિધેય $f'(x)$ માટે અંતરાલ $[2, 5]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (2, 5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f''(c) = \frac{f'(5)-f'(2)}{5-2}$.
કારણ કે $f''(x) \geq 4$,તેથી $\frac{f'(5)-5}{3} \geq 4 \Rightarrow f'(5)-5 \geq 12 \Rightarrow f'(5) \geq 17$.
વિધેય $f(x)$ માટે અંતરાલ $[2, 5]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $d \in (2, 5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(d) = \frac{f(5)-f(2)}{5-2}$.
કારણ કે $f'(x) \geq 1$,તેથી $\frac{f(5)-8}{3} \geq 1 \Rightarrow f(5)-8 \geq 3 \Rightarrow f(5) \geq 11$.
આમ,$f(5)+f'(5) \geq 11+17 = 28$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -7 & a \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
$1(a + 7) + 2(2a - 1) + 3(-14 - 1) = 0$
$a + 7 + 4a - 2 - 45 = 0$
$5a - 40 = 0 \Rightarrow a = 8$.
ત્યારબાદ,$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & -2 & 3 \\ b & 1 & 1 \\ 24 & -7 & 8 \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
$9(8 + 7) + 2(8b - 24) + 3(-7b - 24) = 0$
$9(15) + 16b - 48 - 21b - 72 = 0$
$135 - 5b - 120 = 0$
$15 - 5b = 0 \Rightarrow b = 3$.
તેથી,$a - b = 8 - 3 = 5$.

(B) ધારો કે $n$ એ ગોળીબારની સંખ્યા છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના $p = \frac{1}{10}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
બધા $n$ પ્રયત્નોમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q^n = \left(\frac{9}{10}\right)^n$ છે.
લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા ચૂકી જવાની}) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{1}{4}$ કરતા વધારે છે:
$1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n > \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} > \left(\frac{9}{10}\right)^n$.
$n = 1$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^1 = 0.9 > 0.75$ (ખોટું).
$n = 2$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0.81 > 0.75$ (ખોટું).
$n = 3$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0.729 < 0.75$ (સાચું).
આમ,જરૂરી ગોળીબારની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ નિત્યસમ $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy^2 + x^2y$ છે.
$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0) = 0$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
આપેલ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x+h) = f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h$.
આ કિંમતને વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(h)}{h} + xh + x^2 \right)$.
આપેલ છે કે $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = 1$,તેથી $f'(x) = 1 + 0 + x^2 = 1 + x^2$.
આમ,$f'(3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.

(A) બે સમતલો $P_1: x+4y-z+7=0$ અને $P_2: 3x+y+5z-8=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+4y-z+7) + \lambda(3x+y+5z-8) = 0$
$(1+3\lambda)x + (4+\lambda)y + (-1+5\lambda)z + (7-8\lambda) = 0$.
આને આપેલ સમતલ $ax+by+6z=15$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$ અને $b=-3$ મળે છે.
તેથી સમતલ $P: 2x-3y+6z=15$ છે.
બિંદુ $(3,2,-1)$ થી સમતલ $2x-3y+6z-15=0$ નું અંતર $d = \frac{|2(3)-3(2)+6(-1)-15|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} = \frac{|6-6-6-15|}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{|-21|}{7} = 3$ થાય.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+3z=0$ $(i)$
$x+3y+k^{2}z=0$ (ii)
$3x+y+3z=0$ (iii)
શૂન્યેતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & k^{2} \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(9 - k^{2}) - 1(3 - 3k^{2}) + 3(1 - 9) = 0$
$9 - k^{2} - 3 + 3k^{2} - 24 = 0$
$2k^{2} - 18 = 0$
$2k^{2} = 18 \Rightarrow k^{2} = 9$
હવે,$k^{2} = 9$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(i)$ $x+y+3z=0$
(iii) $3x+y+3z=0$
(iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(3x+y+3z) - (x+y+3z) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
$x=0$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $0 + y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$
તેથી,$\frac{y}{z} = -3$
અંતે,$x + \frac{y}{z} = 0 + (-3) = -3$

(B) ધારો કે $f = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)$.
$x = \tan \theta$ લેતા,$\theta = \tan ^{-1} x$.
તેથી $f = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
આમ,$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2(1+x^{2})}$.
ધારો કે $g = \tan ^{-1}\left(\frac{2x\sqrt{1-x^{2}}}{1-2x^{2}}\right)$.
$x = \sin \theta$ લેતા,$\theta = \sin ^{-1} x$.
તેથી $g = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1-2 \sin ^{2} \theta}\right) = \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2 \sin ^{-1} x$.
આમ,$\frac{dg}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
તેથી,$\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{1}{2(1+x^{2})} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{4(1+x^{2})}$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$\frac{df}{dg} = \frac{\sqrt{1-(1/2)^{2}}}{4(1+(1/2)^{2})} = \frac{\sqrt{3/4}}{4(5/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{5} = \frac{\sqrt{3}}{10}$.

(A) પ્રદેશ $0 \leq x \leq 2$ માટે $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,આપણે વિધેય $f(x) = (x-1)[x]$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:
$0 \leq x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = (x-1)(0) = 0$.
$1 \leq x < 2$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = (x-1)(1) = x-1$.
$x = 2$ પર,$[x] = 2$,તેથી $f(2) = (2-1)(2) = 2$.
ઉપરની સીમા $y = 2\sqrt{x}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{2} (x-1) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનની ગણતરી:
$\int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
બીજા સંકલનની ગણતરી ($x=1$ થી $x=2$ સુધી $y=x-1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ):
$\int_{1}^{2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
આમ,કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = (6x + a)e^{x} + (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 + a)x - 2)$
$x = 1$ એ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી,$f'(1) = 0$:
$e^{1}(3(1)^{2} + (6 + a)(1) - 2) = 0$
$3 + 6 + a - 2 = 0$
$7 + a = 0 \implies a = -7$
$a = -7$ ને $f'(x)$ માં મૂકતા:
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 - 7)x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} - x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x + 2)(x - 1)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$x < -\frac{2}{3}$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-\frac{2}{3} < x < 1$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x = -\frac{2}{3}$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 1$ આગળ $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

(B) ધારો કે $a+x=b+y=c+z+1=k$.
ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & x+a \\ y & b+y & y+b \\ z & c+y & z+c\end{array}\right|$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & a \\ y & b+y & b \\ z & c+y & c\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & y & a \\ y & y & b \\ z & y & c\end{array}\right|$.
$C_2$ માંથી $y$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}x & 1 & a \\ y & 1 & b \\ z & 1 & c\end{array}\right|$.
આપેલ સમીકરણો પરથી: $x = k-a, y = k-b, z = k-c-1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ k-b & 1 & b \\ k-c-1 & 1 & c\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ b-a & 0 & b-a \\ c-a-1 & 0 & c-a\end{array}\right|$.
$C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = y(-1) [(b-a)(c-a) - (c-a-1)(b-a)]$
$\Delta = -y(b-a) [c-a - (c-a-1)]$
$\Delta = -y(b-a) [1] = y(a-b)$.

(D) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^{2} \theta}$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2(1-\sin^2 \theta)} = \int \frac{\cos \theta d \theta}{2 \sin^2 \theta+7 \sin \theta+3}$
ધારો કે $\sin \theta = t$,તેથી $\cos \theta d \theta = dt$:
$I = \int \frac{dt}{2t^2+7t+3} = \int \frac{dt}{(2t+1)(t+3)}$
આંશિક અપૂર્ણાંક (partial fractions) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(2t+1)(t+3)} = \frac{1}{5} \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{5} \int \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2t+1}{t+3} \right| + C$
$t = \sin \theta$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3} \right| + C$
$A \log _{e}|B(\theta)|+C$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{5}$ અને $B(\theta) = \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{B(\theta)}{A} = \frac{\frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}}{\frac{1}{5}} = \frac{5(2 \sin \theta+1)}{\sin \theta+3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$.
$\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = 2 \sin x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = 2 \sin x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \sec^2 x = \int 2 \sin x \cdot \sec^2 x dx + C$.
$y \sec^2 x = 2 \int \tan x \sec x dx + C$.
$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,તેથી $x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = 2 \sec(\frac{\pi}{3}) + C$.
$0 = 2(2) + C \implies C = -4$.
તેથી,ઉકેલ $y \sec^2 x = 2 \sec x - 4$ છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec(\frac{\pi}{4}) - 4$.
$y(2) = 2(\sqrt{2}) - 4$.
$2y = 2\sqrt{2} - 4$.
$y = \sqrt{2} - 2$.