JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
અહીં $|z|^2 = 1$ હોવાથી,$\bar{z} = \frac{1}{z}$ થાય.
આથી પદાવલિ $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ બને.
હવે,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
તેથી $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(D) શરતી વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge q)$ સત્ય $(T)$ હોય અને ઉત્તરગ $(\sim q \vee r)$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$(\sim q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim q$ અને $r$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $q$ સત્ય છે,તેથી $\sim q$ અસત્ય છે. $r$ અસત્ય હોવા માટે,$r$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F$ છે.

(A) આપેલ છે: મૂળ મધ્યક $\bar{x} = 20$,મૂળ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$.
જો દરેક અવલોકન $x_i$ ને $y_i = p x_i - q$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવો મધ્યક $\bar{y} = p \bar{x} - q$ અને નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_y = |p| \sigma$ થાય.
નવો મધ્યક મૂળ મધ્યક કરતા અડધો છે: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$.
તેથી,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$.
નવું પ્રમાણિત વિચલન મૂળ પ્રમાણિત વિચલન કરતા અડધું છે: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $p = \frac{1}{2}$,તો $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$. આ $q \neq 0$ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = -\frac{1}{2}$,તો $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$.
આમ,$q = -20$.

(B) ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
હવે,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$.
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$.
તેથી,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,જેનું સાદું રૂપ $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ થાય.
આમ,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$.
ચૂકી $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$.