એક પાત્રમાં $5$ લાલ લખોટીઓ,$4$ કાળી લખોટીઓ અને $3$ સફેદ લખોટીઓ છે. $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેમાં વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટીઓ હોય.

એક ચૂંટણીમાં,ઉમેદવારોની સંખ્યા ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા કરતા $1$ વધારે છે. જો મતદારો $254$ રીતે તેમના મત આપી શકે,તો ઉમેદવારોની સંખ્યા શોધો. (મતદાર ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા કરતા વધુ મત આપી શકતા નથી.)

${}^6C_r$ ની મહત્તમ કિંમત અને ${}^nC_3$ વચ્ચેનો તફાવત $16$ છે. તો $n=$

$5$ છોકરીઓ અને $7$ છોકરાઓનો એક વર્ગ ધ્યાનમાં લો. જો બે ચોક્કસ છોકરાઓ $A$ અને $B$ એક જ ટીમમાં રહેવાનો ઇનકાર કરતા હોય,તો આ વર્ગમાંથી $2$ છોકરીઓ અને $3$ છોકરાઓની બનેલી કેટલી અલગ અલગ ટીમો બનાવી શકાય?

$10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓના જૂથમાંથી $8$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $5$ પુરુષો અને ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય,તો તે કેટલી રીતે કરી શકાય?

$C(n, 5)+C(n, 6)>C(n+1, 5)$ નું સમાધાન કરતી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કઈ છે?