JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે લંબવૃત્તનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $b^2 = \frac{4}{3}$.
રેખા $x + 6y = 8$ ને $y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ લંબવૃત્ત $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં $m = -\frac{1}{6}$ અને $c = \frac{4}{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{4}{3})^2 = a^2(-\frac{1}{6})^2 + \frac{4}{3}$.
$\frac{16}{9} = \frac{a^2}{36} + \frac{4}{3}$.
$\frac{a^2}{36} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$.
$a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(B) સમીકરણ $a x^{2}-2 b x+5=0$ માટે,બીજ $\alpha, \alpha$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $2\alpha = \frac{2b}{a} \Rightarrow \alpha = \frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha^{2} = \frac{5}{a}$ થાય.
આના પરથી,$b = a\alpha$ અને $a = \frac{5}{\alpha^{2}}$ મળે. $a$ ની કિંમત મૂકતા,$b = \frac{5}{\alpha}$ મળે.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^{2}-2 b x-10=0$ નું પણ બીજ છે,તેથી $\alpha^{2}-2 b \alpha-10=0$ થાય.
$b = \frac{5}{\alpha}$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha^{2}-2(\frac{5}{\alpha})\alpha-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}-10-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}=20$.
હવે,સમીકરણ $x^{2}-2 b x-10=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -10$ થાય.
$\alpha^{2} = 20$ હોવાથી,$\alpha = \pm \sqrt{20}$ મળે.
તેથી $\beta = \frac{-10}{\alpha}$ થાય.
આમ,$\beta^{2} = \frac{100}{\alpha^{2}} = \frac{100}{20} = 5$.
તેથી,$\alpha^{2}+\beta^{2} = 20 + 5 = 25$.

(C) $x$ માટેનું પદ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\tan^2 \theta$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \tan^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણીનો સરવાળો $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \cos^2 \theta$ મળે.
$y$ માટેનું પદ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos^2 \theta$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણીનો સરવાળો $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ મળે.
$x = \cos^2 \theta$ પરથી,$\sin^2 \theta = 1 - x$ મળે.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા,$y = \frac{1}{1 - x}$ મળે.
તેથી,$y(1 - x) = 1$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=8x$ છે,જે $y^{2}=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(at^{2}, 2at) = (2t^{2}, 4t)$ છે.
બિંદુ $A\left(\frac{1}{2}, -2\right)$ માટે,$4t_{1}=-2$,જે આપણને $t_{1}=-\frac{1}{2}$ આપે છે.
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_{1}t_{2}=-1$ થાય છે.
$t_{1}=-\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ મળે છે.
બિંદુ $B$ ના યામ $(2t_{2}^{2}, 4t_{2}) = (2(2)^{2}, 4(2)) = (8, 8)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ છે.
બિંદુ $B(8, 8)$ અને $a=2$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(8) = 2(2)(x+8)$ થાય.
$8y = 4(x+8)$ $\Rightarrow 2y = x+8$ $\Rightarrow x-2y+8=0$.

(C) આપેલ છે કે $A = \{x \in R : |x| < 2\} = (-2, 2)$.
આપેલ છે કે $B = \{x \in R : |x - 2| \geq 3\}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x - 2 \geq 3$ અથવા $x - 2 \leq -3$.
તેથી,$x \geq 5$ અથવા $x \leq -1$.
આમ,$B = (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$.
હવે,$B - A$ એ $B$ ના એવા ઘટકોનો સમૂહ છે જે $A$ માં નથી.
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [5, \infty)) - (-2, 2)$.
કારણ કે $(-2, 2)$ એ $(-\infty, -1]$ સાથે માત્ર $(-2, -1]$ અંતરાલમાં ઓવરલેપ થાય છે,તેથી આપણે આ ભાગને દૂર કરીએ છીએ.
$B - A = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
આને $R - (-2, 5)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy.$ આપેલ સમીકરણ $|x| + |y| = 4$ છે.
આ સંકર સમતલમાં $(4, 0), (0, 4), (-4, 0),$ અને $(0, -4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી $(4, 0)$ અને $(0, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા $x + y = 4$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબનું માપ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}.$
ઉગમબિંદુથી ચોરસનું મહત્તમ અંતર તેના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $4 = \sqrt{16}$ છે.
આમ,$|z|$ એ અંતરાલ $[\sqrt{8}, \sqrt{16}]$ માં હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sqrt{7} < \sqrt{8}$ હોવાથી,$|z|$ એ $\sqrt{7}$ ન હોઈ શકે.

(B) શરતી વિધાન $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ એ $T$ હોય અને ઉત્તરગ $(p \wedge \neg q)$ એ $F$ હોય.
$p$ એ $T$ હોવાથી,પદ $(p \wedge \neg q)$ એ $(T \wedge \neg q)$ બને છે.
$(T \wedge \neg q)$ ને $F$ થવા માટે,$\neg q$ એ $F$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q$ એ $T$ છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = T$ છે.

(D) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{16}C_{r} \left(\frac{x}{\cos \theta}\right)^{16-r} \left(\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{r}$ છે.
સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = ^{16}C_{r} x^{16-2r} \frac{1}{(\cos \theta)^{16-r} (\sin \theta)^{r}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$16-2r = 0$ લેતા,$r = 8$ મળે છે.
આમ,સ્વતંત્ર પદ $T_{9} = ^{16}C_{8} \frac{2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$ છે.
ધારો કે $f(\theta) = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$\sin 2\theta$ વધતું વિધેય છે,તેથી $f(\theta)$ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin 2\theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$ પર. તેથી,$\ell_{1} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{8}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{8}]$ માટે,$f(\theta)$ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin 2\theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{8}$ પર. તેથી,$\ell_{2} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{12}$.
ગુણોત્તર $\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{12}}{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}} = 2^{4} = 16$.

(D) આપેલ છે કે $a_n$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G$.$P$. છે.
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$
આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_3 = ar^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$
આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_2 = ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$
આપણે $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$
કારણ કે $a_{k+1} = r a_k$,તેથી $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$
$r = 2$ મૂકતા: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

(D) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $A_1: 3, 7, 11, \ldots, 407$ છે. અહીં,$a_1 = 3$ અને $d_1 = 4$. સામાન્ય પદ $T_n = 4n - 1$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $A_2: 2, 9, 16, \ldots, 709$ છે. અહીં,$a_2 = 2$ અને $d_2 = 7$. સામાન્ય પદ $T_m = 7m - 5$ છે.
સામાન્ય પદ માટે,$4n - 1 = 7m - 5$,એટલે કે $4n = 7m - 4$. આનો અર્થ એ છે કે $7m$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. તેથી $m = 4k$ લેતા,$n = 7k - 1$ મળે છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $k=1$ માટે $23$ છે.
નવી સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(4, 7) = 28$ છે.
સામાન્ય પદો $23, 51, 79, \ldots$ છે. છેલ્લું પદ $\leq 407$ હોવું જોઈએ.
$23 + (N-1)28 \leq 407$
$(N-1)28 \leq 384$
$N \leq 14.71$.
આમ,સામાન્ય પદોની સંખ્યા $N = 14$ છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.
ક્રમ ઉલટાવતા:
$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.
$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.
$S = 51 \cdot 2^{25}$.
$2^{25} \cdot k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 51$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_{1}: x^{2}+y^{2}-6x+8=0$ અને $S_{2}: x^{2}+y^{2}-8y+16-k=0$ છે.
$S_{1}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1} = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{3^{2}+0^{2}-8} = 1$ છે.
$S_{2}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{2} = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{0^{2}+4^{2}-(16-k)} = \sqrt{k}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^{2}+(0-4)^{2}} = 5$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$d = |r_{1} \pm r_{2}|$.
કિસ્સો $1$: $5 = 1+\sqrt{k}$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 4$ $\Rightarrow k = 16$.
કિસ્સો $2$: $5 = |1-\sqrt{k}|$ $\Rightarrow 1-\sqrt{k} = -5$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 6$ $\Rightarrow k = 36$.
આમ,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ છે.

(A) પાંચ અંકની સંખ્યાને $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. તરીકે દર્શાવી શકાય.
$10$ નું સ્થાન $2$ તરીકે નિશ્ચિત છે.
$10,000$ ના સ્થાન માટે,આપણે $0$ અથવા $2$ નો ઉપયોગ કરી શકતા નથી,તેથી $8$ વિકલ્પો $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ છે.
$1,000$ ના સ્થાન માટે,આપણે $0$ અને બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈ પણ વાપરી શકીએ છીએ,તેથી $8$ વિકલ્પો છે.
$100$ ના સ્થાન માટે,બાકીના $7$ વિકલ્પો છે.
એકમના સ્થાન માટે,બાકીના $6$ વિકલ્પો છે.
આવી પાંચ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$.
આપેલ છે કે આ સંખ્યા $336k$ છે,તેથી $336k = 2688$.
તેથી,$k = \frac{2688}{336} = 8$.

(C) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1$,જેનો અર્થ છે કે $|z-i|=|z+2i|$.
આનો અર્થ એ છે કે $z$ એ $(0, 1)$ અને $(0, -2)$ બિંદુઓના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
લંબદ્વિભાજક રેખા $\text{Im}(z) = -\frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $z = x - \frac{i}{2}$.
$|z| = \frac{5}{2}$ આપેલ હોવાથી,$x^2 + (-\frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$.
$x^2 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \Rightarrow x^2 = 6$.
હવે,$|z+3i| = |x - \frac{i}{2} + 3i| = |x + \frac{5i}{2}|$.
$|z+3i| = \sqrt{x^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{6 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.
આખા સમીકરણને $e^{2x}$ વડે ભાગતા:
$e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{1}{e^{2x}} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(e^{2x} + \frac{1}{e^{2x}}) + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$.
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(e^x + \frac{1}{e^x})^2 - 2 + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = e^x + \frac{1}{e^x}$. $e^x > 0$ હોવાથી,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $t = e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$.
સમીકરણ $t^2 + t - 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
તેથી $t = -3$ અથવા $t = 2$.
$t \geq 2$ હોવાથી,$t = 2$ લેતા.
$e^x + \frac{1}{e^x} = 2$ $\Rightarrow e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$ $\Rightarrow (e^x - 1)^2 = 0$.
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: $\sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: $5$ અસંમેય છે.
આપેલ વિધાન $p \vee q$ છે.
વિધાનનો નિષેધ $\sim(p \vee q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
તેથી,નિષેધ છે: $\sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક નથી અને $5$ અસંમેય નથી.

(D) ધારો કે $y_{i} = x_{i} - 5$. તો $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 10$ અને $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 40$.
$y_{i}$ નો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum y_{i} = \frac{10}{10} = 1$ છે.
$y_{i}$ નું વિચરણ $\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{10} \sum y_{i}^{2} - (\bar{y})^{2} = \frac{40}{10} - (1)^{2} = 4 - 1 = 3$ છે.
હવે,ધારો કે $z_{i} = x_{i} - 3$. આપણે લખી શકીએ $z_{i} = (x_{i} - 5) + 2 = y_{i} + 2$.
$z_{i}$ નો મધ્યક $\mu$ એ $\bar{z} = \bar{y} + 2 = 1 + 2 = 3$ છે.
$z_{i}$ નું વિચરણ $\lambda$ એ $\text{Var}(y_{i} + 2) = \text{Var}(y_{i}) = 3$ છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\mu, \lambda) = (3, 3)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ છે.
બધા પદોને આધાર $2$ માં દર્શાવતા:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \dots$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$P = 2^{(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots)}$
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(C) $y$-અક્ષને $(0,4)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y-4)^2 + \lambda x = 0$ છે.
તે $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(2-0)^2 + (0-4)^2 + \lambda(2) = 0$ $\Rightarrow 4 + 16 + 2\lambda = 0$ $\Rightarrow 2\lambda = -20$ $\Rightarrow \lambda = -10$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(5,4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ સ્પર્શક હોય જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $5$ હોય.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|4(5) + 3(4) - 8| / 5 = 24/5 = 4.8 \neq 5$,તેથી તે સ્પર્શક નથી.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^{2}=18$ અને $b^{2}=4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1-\frac{4}{18}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2} = \sqrt{1+\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ મળે.
બિંદુ $(e_{1}, e_{2})$ એ $15x^{2}+3y^{2}=k$ પર હોવાથી:
$15(\frac{7}{9}) + 3(\frac{13}{9}) = k$
$\frac{105+39}{9} = k$
$k = \frac{144}{9} = 16$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(3, -1), (1, 3)$ અને $(2, 4)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
રેખાઓ $x + 3y - 1 = 0$ અને $3x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ અને $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $8x - 11y + 6 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $(-9, -6)$ બિંદુ મૂકતા: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
તેથી,રેખા $(-9, -6)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{8}$. તેથી $\frac{3\pi}{8} = 3\theta$.
આપેલ પદાવલિ $\cos^{3}(\theta) \cos(3\theta) + \sin^{3}(\theta) \sin(3\theta)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$ અને $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^{3}(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{\pi}{8}) + \sin^{3}(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$.
$\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ સામાન્ય લેતા:
$= \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) [\cos^{2}(\frac{\pi}{8}) + \sin^{2}(\frac{\pi}{8})]$.
$\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1$ હોવાથી,આ $\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ થાય.
$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x+x^{2})^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}^{10}C_{k} x^{k} (1+x)^{k}$.
$x^{4}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે $x^{k} (1+x)^{k}$ ના પદો જોઈએ:
$k=2$ માટે: ${}^{10}C_{2} x^{2} (1+x)^{2} = {}^{10}C_{2} x^{2} (1 + 2x + x^{2}) = {}^{10}C_{2} x^{2} + 2({}^{10}C_{2}) x^{3} + {}^{10}C_{2} x^{4}$. સહગુણક ${}^{10}C_{2} = 45$ છે.
$k=3$ માટે: ${}^{10}C_{3} x^{3} (1+x)^{3} = {}^{10}C_{3} x^{3} (1 + 3x + \dots) = {}^{10}C_{3} x^{3} + 3({}^{10}C_{3}) x^{4} + \dots$. સહગુણક $3 \times {}^{10}C_{3} = 3 \times 120 = 360$ છે.
$k=4$ માટે: ${}^{10}C_{4} x^{4} (1+x)^{4} = {}^{10}C_{4} x^{4} (1 + \dots) = {}^{10}C_{4} x^{4} + \dots$. સહગુણક ${}^{10}C_{4} = 210$ છે.
$x^{4}$ નો કુલ સહગુણક $= 45 + 360 + 210 = 615$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log _{1 / 2}|\sin x|=2-\log _{1 / 2}|\cos x|$,જ્યાં $x \in [0, 2\pi]$.
પદોને ગોઠવતા: $\log _{1 / 2}|\sin x| + \log _{1 / 2}|\cos x| = 2$.
ગુણધર્મ $\log_a m + \log_a n = \log_a (mn)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log _{1 / 2}(|\sin x \cos x|) = 2$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $|\sin x \cos x| = (1/2)^2 = 1/4$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $|2 \sin x \cos x| = 2 \times (1/4) = 1/2$.
આમ,$|\sin 2x| = 1/2$.
અંતરાલ $x \in [0, 2\pi]$ માટે,ખૂણો $2x$ એ $[0, 4\pi]$ અંતરાલમાં આવે છે.
$|\sin \theta| = 1/2$ માટે,દરેક $2\pi$ લંબાઈના અંતરાલમાં $4$ ઉકેલો મળે છે.
અહીં $2x$ માટેનો અંતરાલ $[0, 4\pi]$ હોવાથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4 \times 2 = 8$ થશે.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = (x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ છે.
$(x-y)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{(x-y)(x+y)+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots}{x-y}$
નિત્યસમ $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \ldots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{(x^{2}-y^{2})+(x^{3}-y^{3})+(x^{4}-y^{4})+\ldots}{x-y}$
$S = \frac{(x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots) - (y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots)}{x-y}$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\frac{x^{2}}{1-x} - \frac{y^{2}}{1-y}}{x-y}$
સાદુરૂપ આપતા:
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$

(B) $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \alpha^{10-r} \beta^{r} x^{\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6}}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાત શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
સ્વતંત્ર પદ $T_{5} = {}^{10}C_{4} \alpha^{6} \beta^{4} = 210 \alpha^{6} \beta^{4}$ છે.
$\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ આપેલ છે. $AM \geq GM$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16}}$
$1 \geq \frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16} \Rightarrow \alpha^{6} \beta^{4} \leq 16$.
$T_{5}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $210 \times 16 = 3360$ છે.
$10k = 3360$ હોવાથી,$k = 336$ મળે.

(C) ધારો કે $p$ અને $q$ વિધાનો છે:
$p: \text{હું સમયસર સ્ટેશન પહોંચું છું.}$
$q: \text{હું ટ્રેન પકડી લઈશ.}$
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "હું ટ્રેન નહીં પકડી શકું" અને $\sim p$ એટલે "હું સમયસર સ્ટેશન નહીં પહોંચું."
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો હું ટ્રેન નહીં પકડી શકું,તો હું સમયસર સ્ટેશન નહીં પહોંચું."
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ છે કે $X = \{1, 2, \dots, 17\}$. $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+17}{2} = 9$ છે. $X$ નું વિચરણ $\sigma_X^2 = \frac{17^2 - 1}{12} = \frac{288}{12} = 24$ છે.
$Y = aX + b$ માટે,મધ્યક $\bar{Y} = a\bar{x} + b = 9a + b = 17$ (સમીકરણ $1$).
$Y$ નું વિચરણ $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2 = a^2(24) = 216$ છે.
$a^2 = \frac{216}{24} = 9$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = 3$.
સમીકરણ $1$ માં $a = 3$ મૂકતા: $9(3) + b = 17$ $\Rightarrow 27 + b = 17$ $\Rightarrow b = -10$.
આમ,$a + b = 3 + (-10) = -7$.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0 \implies 5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ($\alpha^{n}$ વડે ગુણતા).
તે જ રીતે,$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$ મળે છે.
આ $5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$ માં પરિણમે છે.
$n = 4$ માટે,$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$.

(B) $R^{-1}$ નો પ્રદેશ એ સંબંધ $R$ નો વિસ્તાર છે. $R$ નો વિસ્તાર એવા તમામ શક્ય પૂર્ણાંક $y$ ના મૂલ્યોનો બનેલો છે જેના માટે ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણાંક $x$ એવો મળે કે જે $x^{2} + 3y^{2} \leq 8$ નું સમાધાન કરે.
અસમતા $3y^{2} \leq 8 - x^{2}$ આપેલ છે,કારણ કે $x^{2} \geq 0$,તેથી $3y^{2} \leq 8$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y^{2} \leq \frac{8}{3} \approx 2.66$.
કારણ કે $y$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $y$ માટે શક્ય કિંમતો $y \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
ચાલો આ કિંમતો ચકાસીએ:
જો $y = 0$ હોય,તો $x^{2} \leq 8 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x^{2} + 3(1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
જો $y = -1$ હોય,તો $x^{2} + 3(-1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
આમ,$y$ માટેની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{-1, 0, 1\}$ છે.
તેથી,$R^{-1}$ નો પ્રદેશ $\{-1, 0, 1\}$ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $27$ છે,તેથી $\frac{a}{r} \times a \times ar = 27$ $\Rightarrow a^3 = 27$ $\Rightarrow a = 3$.
સરવાળો $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$.
કિસ્સો $1$: જો $r > 0$ હોય,તો $AM \geq GM$ મુજબ,$\frac{1}{r} + r \geq 2$. તેથી,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
કિસ્સો $2$: જો $r < 0$ હોય,તો $r = -k$ લો જ્યાં $k > 0$. તો $\frac{1}{r} + r = -(\frac{1}{k} + k) \leq -2$. તેથી,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
તેથી,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) રેખા $2x - y = 0$ નો ઢાળ $2$ છે. સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = 2$ થશે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{4} - \frac{yy_{1}}{2} = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x_{1}/4}{y_{1}/2} = \frac{x_{1}}{2y_{1}}$ છે.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{x_{1}}{2y_{1}} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4y_{1} \quad (1)$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{x_{1}^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{(4y_{1})^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow 4y_{1}^{2} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1$.
$\frac{7y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$.
હવે,$x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = (4y_{1})^{2} + 5y_{1}^{2} = 16y_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = 21y_{1}^{2}$.
$y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$ મૂકતા: $21 \times \frac{2}{7} = 3 \times 2 = 6$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}=820$
અંશને દરેક પદમાંથી $1$ બાદ કરીને ફરીથી લખતા: $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1}{x-1} + \frac{x^{2}-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^{n}-1}{x-1}\right) = 820$
પ્રમાણિત લક્ષ સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = na^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે $x \rightarrow 1$ હોય ત્યારે દરેક પદ $k$ બને છે: $\sum_{k=1}^{n} k = 820$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2} = 820$ છે.
$\Rightarrow n(n+1) = 1640$
$\Rightarrow n^{2}+n-1640 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $n(n+1) = 40 \times 41$ મળે છે.
કારણ કે $n \in N$,તેથી $n = 40$.

(D) $MOTHER$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, H, M, O, R, T$ મળે છે.
$E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MOE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOR$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOTE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$MOTHER$ શબ્દનું સ્થાન: $1$
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
રેખા $3x + 4y - k = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|3(1) + 4(2) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} < 1$.
$\frac{|11 - k|}{5} < 1$.
$|11 - k| < 5$.
$-5 < 11 - k < 5$.
$-16 < -k < -6$.
$6 < k < 16$.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$ છે.
આવા મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $9$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ છે. તેનું શિરોબિંદુ $O(0,0)$ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ છે, જ્યાં $A$ અને $B$ પરવલય પર આવેલા છે.
ધારો કે $A$ ના યામ $(2t^2, 4t)$ છે, જ્યાં $t > 0$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી, $B$ ના યામ $(2t^2, -4t)$ થશે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $AB = 4t - (-4t) = 8t$ છે.
ખૂણો $\angle AOx = 30^{\circ}$ છે કારણ કે ત્રિકોણ સમબાજુ છે અને $x$-અક્ષ શિરોબિંદુ પરના ખૂણાને દુભાગે છે.
તેથી, $\tan 30^{\circ} = \frac{4t}{2t^2} = \frac{2}{t}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$, જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
બાજુની લંબાઈ $s = 8t = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} (16\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (256 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (768) = 192\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) વાદળી રેખાઓની સંખ્યા એ $n$ સ્ટેશનો દ્વારા બનતા બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી છે,જે $n$ છે.
કોઈપણ બે સ્ટેશનોને જોડવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાલ રેખાઓની સંખ્યા એ કુલ જોડાણોમાંથી વાદળી રેખાઓ (બાજુઓ) ની સંખ્યા બાદ કરતા મળે છે,જે વિકર્ણોની સંખ્યા છે: ${}^{n}C_{2} - n$.
પ્રશ્ન મુજબ,લાલ રેખાઓની સંખ્યા વાદળી રેખાઓની સંખ્યા કરતા $99$ ગણી છે:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
બંને બાજુને $n$ વડે ભાગતા (કારણ કે $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ બીજું બીજ છે.
આપેલ છે કે $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
આપેલ છે કે $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
$f(-1) + f(2) = 0$ હોવાથી,$4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા: $4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$ $\Rightarrow 5\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
આમ,બીજું બીજ $\alpha = -0.4$ એ $(-1, 0)$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(B) $A.P.$ ના પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $0$ છે:
$S_{11} = \frac{11}{2}(2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} = -5d$ અથવા $d = -\frac{a_{1}}{5}$.
આપણે $A.P.$ $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $12$ પદો ધરાવતી $A.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A = a_{1}$ અને સામાન્ય તફાવત $D = 2d$ છે.
સરવાળો $= \frac{12}{2}(2A + (12-1)D) = 6(2a_{1} + 11(2d)) = 6(2a_{1} + 22d)$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ મૂકતા:
સરવાળો $= 6(2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})) = 6(2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}) = 6(\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}) = 6(-\frac{12a_{1}}{5}) = -\frac{72}{5}a_{1}$.
તેથી,$k = -\frac{72}{5}$.

(A) ધારો કે $z = (3+2 \sqrt{-54})^{1/2} - (3-2 \sqrt{-54})^{1/2}$.
અહીં,$\sqrt{-54} = 3\sqrt{6}i$ છે.
$(3+2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3+\sqrt{6}i)$ અને $(3-2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3-\sqrt{6}i)$ મળે છે.
આથી,અભિવ્યક્તિની શક્ય કિંમતો $\pm 2\sqrt{6}i$ અથવા $\pm 6$ છે.
તેથી,કાલ્પનિક ભાગ $2\sqrt{6}$ અથવા $-2\sqrt{6}$ હોઈ શકે છે.

(D) આપેલ લક્ષ $1^{\infty}$ સ્વરૂપનું છે.
આપણે સૂત્ર $\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{4} + x)$ અને $g(x) = \frac{1}{x}$ છે.
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)-1\right)}$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\pi}{4}+x) = \frac{1+\tan x}{1-\tan x}$ મળે.
તેથી,$\tan(\frac{\pi}{4}+x)-1 = \frac{1+\tan x - (1-\tan x)}{1-\tan x} = \frac{2\tan x}{1-\tan x}$.
આમ,ઘાતાંક $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\tan x}{x(1-\tan x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{1}{1-\tan x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ થાય છે.
તેથી,લક્ષની કિંમત $e^{2}$ છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ: $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10 \Rightarrow \frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{10 \cos^{2} \theta} = 1.$
અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e_{H} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}.$
ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$
ઉપવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e_{E} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta.$
આપેલ છે કે $e_{H} = \sqrt{5} e_{E} \Rightarrow \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} = \sqrt{5} \sin \theta.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 + \cos^{2} \theta = 5 \sin^{2} \theta = 5(1 - \cos^{2} \theta).$
$6 \cos^{2} \theta = 4 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{2}{3}.$
ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(5 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{3}.$

(A) કયું વિધાન સ્વતઃ સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક અથવા તાર્કિક પદોનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\sim p \wedge (p \vee q)) \rightarrow q$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
કારણ કે $(\sim p \wedge p) \equiv F$ (વિરોધાભાસ),તેથી: $F \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
આનું સાદું રૂપ: $(\sim p \wedge q) \rightarrow q$
ગર્ભિત નિયમ $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim p \wedge q) \vee q$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \vee \sim q) \vee q$
સાહચર્યના નિયમ દ્વારા: $p \vee (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (સ્વતઃ સત્ય): $p \vee T \equiv T$
આમ,વિકલ્પ $A$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(C) શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{9} [x^n + (k + 2(n-1))a]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળો વિસ્તૃત કરતા,આપણને મળે $S = (x + x^2 + \ldots + x^9) + \sum_{n=1}^{9} (k + 2n - 2)a$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{9} x^n = x \frac{x^9 - 1}{x - 1} = \frac{x^{10} - x}{x - 1}$ છે.
અંકગણિત ભાગનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{8} (k + 2n)a = 9ka + 72a = a(9k + 72)$ છે.
આમ,$S = \frac{x^{10} - x + (9k + 72)a(x - 1)}{x - 1}$.
આપેલ $S = \frac{x^{10} - x + 45a(x - 1)}{x - 1}$ સાથે સરખાવતા,$9k + 72 = 45$ મળે.
$9k = -27$,તેથી $k = -3$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખા $ax+by+c=0$ ની એક જ બાજુએ હોય જો $(ax_1+by_1+c)$ અને $(ax_2+by_2+c)$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,એટલે કે $(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c) > 0$.
આપેલ રેખા $x+y-1=0$ અને બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(\sin \theta, \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,$(1, 2)$ પર અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:
$1+2-1 = 2$,જે ધન છે.
તેથી,બિંદુઓ એક જ બાજુએ રહે તે માટે,$(\sin \theta, \cos \theta)$ પરની અભિવ્યક્તિ પણ ધન હોવી જોઈએ:
$\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
કારણ કે $\theta \in (0, \pi)$,તેથી $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$.
આ અંતરાલમાં,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
બધા ભાગોમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

(A) ધારો કે $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે. $A.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$d > 0$.
પદો $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ છે.
મધ્યક $\bar{X} = a + 5d$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{d^2}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2$.
સરવાળો: $\sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 = 110$.
તેથી,$90 = \frac{d^2}{11} \times 110 = 10d^2$.
$d^2 = 9 \Rightarrow d = 3$ (કારણ કે $d > 0$).

(D) $(1+\frac{1}{x})^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k x^{-k}$ છે.
અહીં ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો ${}^{n}C_{r-1}, {}^{n}C_r, {}^{n}C_{r+1}$ નો ગુણોત્તર $2:5:12$ આપેલ છે.
$\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{2}{5} \Rightarrow 7r = 2n + 2$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{5}{12} \Rightarrow 17r = 5n - 12$ (સમીકરણ $2$).
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$n = 118$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2} = 4x$ છે. $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4(1) = 4$ છે.
બંને વર્તુળો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ની સામાન્ય જીવા એ પરવલયનો નાભિલંબ છે,તેથી તેની લંબાઈ $4$ છે.
ધારો કે $D$ એ નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે અને $B$ એ સામાન્ય જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$DB = \frac{4}{2} = 2$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે,$r = 2\sqrt{5}$.
ત્રિજ્યા,કેન્દ્રથી જીવા સુધીનું અંતર અને જીવાની અડધી લંબાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે $x$ એ વર્તુળના કેન્દ્રથી સામાન્ય જીવા સુધીનું અંતર છે.
$x^{2} + DB^{2} = r^{2}$
$x^{2} + 2^{2} = (2\sqrt{5})^{2}$
$x^{2} + 4 = 20$
$x^{2} = 16 \implies x = 4$.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચેનું અંતર $x + x = 4 + 4 = 8$ છે.

(C) કુલ $5-\text{અંકી}$ સંખ્યાઓ $9 \times 10^{4}$ છે.
કિસ્સો $1$: પસંદ કરેલા બે અંકો શૂન્યતર છે.
${1, 2, \dots, 9}$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{2} = 36$ છે.
દરેક પસંદગી માટે,બંને અંકોનો ઉપયોગ કરતી $5-\text{અંકી}$ સંખ્યાઓની સંખ્યા $2^{5} - 2 = 30$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ $= 36 \times 30 = 1080$.
કિસ્સો $2$: એક અંક શૂન્ય છે અને બીજો શૂન્યતર છે.
${1, 2, \dots, 9}$ માંથી $1$ શૂન્યતર અંક પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{1} = 9$ છે.
પ્રથમ અંક શૂન્યતર હોવો જોઈએ ($1$ રીતે),અને બાકીના $4$ સ્થાનો $0$ અથવા પસંદ કરેલા શૂન્યતર અંક દ્વારા ભરી શકાય છે,જેમાં બધા $4$ અંકો શૂન્યતર હોય તે કિસ્સો બાદ કરતાં. આ $2^{4} - 1 = 15$ રીતો આપે છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ $= 9 \times 15 = 135$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1080 + 135 = 1215$.
સંભાવના $= \frac{1215}{9 \times 10^{4}} = \frac{135}{10^{4}}$.

(C) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(x_0, y_0)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{-5-1}{5-(-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = 2$ થાય.
$A(-1, 7)$ માંથી પસાર થતા વેધ $AH$ નું સમીકરણ $y - 7 = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 9 = 0$ થાય ... $(1)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{-5-7}{5-(-1)} = \frac{-12}{6} = -2$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{1}{2}$ થાય.
$B(-7, 1)$ માંથી પસાર થતા વેધ $BH$ નું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 7)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + 9 = 0$ થાય ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 2x + 9$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$x - 2(2x + 9) + 9 = 0$
$x - 4x - 18 + 9 = 0$
$-3x - 9 = 0 \Rightarrow x = -3$.
તેથી $y = 2(-3) + 9 = 3$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(-3, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સમઘાત છે:
$7x + 6y - 2z = 0 \dots (1)$
$3x + 4y + 2z = 0 \dots (2)$
$x - 2y - 6z = 0 \dots (3)$
સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 7 & 6 & -2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -6 \end{vmatrix}$
$= 7(-24 + 4) - 6(-18 - 2) - 2(-6 - 4)$
$= 7(-20) - 6(-20) - 2(-10) = -140 + 120 + 20 = 0$
$\Delta = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$10x + 10y = 0 \Rightarrow y = -x$
સમીકરણ $(1)$ માં $y = -x$ મૂકતા:
$7x + 6(-x) - 2z = 0$
$x - 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$
આમ,ઉકેલો $x = 2z$ નું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ છે કે $x = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$ અને $y = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 4 \sin \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
$\frac{dy}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 4 \cos \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4 \cos(3\theta/2) \sin(\theta/2)}{4 \sin(3\theta/2) \sin(\theta/2)} = \cot \frac{3\theta}{2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta} \left( \cot \frac{3\theta}{2} \right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\theta}{2} \cdot \frac{1}{dx/d\theta}$.
$\theta = \pi$ આગળ,$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \pi - 2 \cos 2 \pi = -4$.
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{-4} = \frac{3}{8}$.

(B) આ પ્રદેશ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલો છે. આ અંતરાલમાં,$f(x) = 1-x$ અને $g(x) = (x-\frac{1}{2})^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} (f(x) - g(x)) dx$
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} ((1-x) - (x-\frac{1}{2})^2) dx$
ધારો કે $u = x - \frac{1}{2}$,તેથી $du = dx$. જ્યારે $x = 1/2, u = 0$. જ્યારે $x = \sqrt{3}/2, u = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
$A = \int_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2} (1/2 - u - u^2) du$
$A = [\frac{1}{2}u - \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3}]_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2}$
ઉપરની સીમા મૂકતા:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{3}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
આથી $K = \frac{1}{6}$ અથવા $K = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K = -1$ ને અવગણતા,$K = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આપણે $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) આપેલ છે $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ આગળ,$F'(1) = 1^{2} \int_{1}^{1} f(u) du = 0$. તેથી,$x=1$ એ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત શોધો: $F''(x) = \frac{d}{dx} [x^{2} g(x)] = x^{2} g'(x) + 2x g(x)$.
કારણ કે $g(t) = \int_{1}^{t} f(u) du$,તેથી $g'(t) = f(t)$.
તેથી,$F''(x) = x^{2} f(x) + 2x \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ આગળ કિંમત મૂકતા: $F''(1) = 1^{2} f(1) + 2(1) \int_{1}^{1} f(u) du = f(1) + 0 = 3$.
કારણ કે $F'(1) = 0$ અને $F''(1) = 3 > 0$,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$x=1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બિંદુ છે.

(C) $10$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4^{10}$ છે.
બે બોક્સમાં બરાબર $2$ અને $3$ દડા હોય તેવી રીતો:
$1$. $4$ માંથી $2$ બોક્સ પસંદ કરો: $P(4, 2) = 12$ રીતો.
$2$. $10$ દડામાંથી $2$ અને $3$ દડા પસંદ કરો: $\binom{10}{2} \times \binom{8}{3} = 2520$ રીતો.
$3$. બાકીના $5$ દડા બાકીના $2$ બોક્સમાં $2^5 = 32$ રીતે મૂકી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 12 \times 2520 \times 32 = 967680$.
સંભાવના $= \frac{967680}{4^{10}} = \frac{945}{2^{10}}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + v^2 x^2} = \frac{v}{1 + v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|\frac{y}{x}| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણ $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$ છે.
$y = e$ માટે: $-\frac{x^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2} \implies -\frac{x^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x^2}{2e^2} = -\frac{3}{2} \implies x^2 = 3e^2 \implies x = \sqrt{3}e$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \begin{vmatrix} x+a & x+2 & x+1 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ છે.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ લાગુ પાડતા:
પ્રથમ હાર નીચે મુજબ બને છે:
$(x+a) + (x+c) - 2(x+b) = x+a+x+c-2x-2b = a-2b+c = 1$.
$(x+2) + (x+4) - 2(x+3) = 2x+6-2x-6 = 0$.
$(x+1) + (x+3) - 2(x+2) = 2x+4-2x-4 = 0$.
તેથી,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 1 \cdot ((x+3)(x+3) - (x+2)(x+4)) = (x^2+6x+9) - (x^2+6x+8) = 1$.
કારણ કે $f(x) = 1$ દરેક $x$ માટે છે,તેથી $f(50) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $f \circ g$ એ તદેવ વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(g(x)) = x$ થાય.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
આપણને આપેલ છે કે $g(a) = b$ અને $g^{\prime}(a) = 5$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x = a$ મૂકતા:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
જાણીતી કિંમતો $g(a) = b$ અને $g^{\prime}(a) = 5$ મૂકતા:
$f^{\prime}(b) \cdot 5 = 1$.
તેથી,$f^{\prime}(b) = 1/5$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
અહીં $|\vec{b}| = 5$ હોવાથી,$5 |\vec{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,જે દર્શાવે છે કે $|\vec{c}| = 4$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ થાય.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{b} \times \vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
આમ,$|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30$.

(B) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 4, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, 6, \lambda)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (4\lambda - 18, 6 - 2\lambda, 4)$.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,બિંદુઓ $(-1, 3, -1)$ અને $(-3, -2, 1)$ ને જોડતો સદિશ $\vec{a} = (-2, -5, 2)$ એ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{n} = -2(4\lambda - 18) - 5(6 - 2\lambda) + 2(4) = 2\lambda + 14 = 0$,જે $\lambda = -7$ આપે છે.
$\lambda = -7$ મૂકતા,$\vec{n} = (-46, 20, 4)$,જે $-2$ વડે ભાગતા $(23, -10, -2)$ મળે છે,જે આપેલ સમતલને સમાંતર છે.
રેખાઓ ધરાવતું સમતલ $(-1, 3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $23x - 10y - 2z + 51 = 0$ છે.
બંને સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|51 - 48|}{\sqrt{23^2 + (-10)^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{633}}$ છે.
તેથી $k = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ત્રીજા $B$ પહેલાં બીજું $A$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે ડ્રોના ક્રમમાં,બીજા $A$ પહેલાં વધુમાં વધુ બે $B$ હોવા જોઈએ.
શક્ય સાનુકૂળ ક્રમ છે:
$1$. $AA$: સંભાવના $= (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$2$. $ABA, BAA$: સંભાવના $= 2 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$3$. $ABBA, BABA, BBAA$: સંભાવના $= 3 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{16}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \sin^{8}(2 \pi - x)}{\sin^{8}(2 \pi - x) + \cos^{8}(2 \pi - x)} dx = \int_{0}^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \pi \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx = 2 \pi \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$.
હવે $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^{8} x}{\cos^{8} x + \sin^{8} x} dx$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2I = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = 4 \pi \cdot \frac{\pi}{2} = 2 \pi^{2}$.
તેથી,$I = \pi^{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=\tan^{-1}(\sec x+\tan x)$.
ઇન્વર્સ ટેન્જેન્ટની અંદરના પદને સરળ બનાવતા:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})\right)$
કારણ કે $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,માટે $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
$f(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$C=0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
$x=1$ માટે,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(9 + 4) - 1(3 - 4) + 2(-1 - 3) = 13 + 1 - 8 = 6$.
આપણને $B = \operatorname{adj} A$ અને $C = 3A$ આપેલ છે. આપણે $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ શોધવાનું છે.
$B = \operatorname{adj} A$ હોવાથી,$\operatorname{adj} B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$ થાય.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે:
$|\operatorname{adj} B| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$.
છેદ માટે,$|C| = |3A| = 3^n |A| = 3^3 |A| = 27 |A|$.
તેથી,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{|A|^4}{27 |A|} = \frac{|A|^3}{27}$.
$|A| = 6$ મૂકતા:
$\frac{6^3}{27} = \frac{216}{27} = 8$.

(C) આપેલ છે કે તમામ $x \in (a, b)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ અને $f^{\prime \prime}(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $f$ એ $[a, b]$ અંતરાલ પર ચુસ્ત વધતું અને અંતર્મુખ (concave downwards) છે.
ધારો કે $m_1$ એ $(a, f(a))$ અને $(c, f(c))$ માંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાનો ઢાળ છે,અને $m_2$ એ $(c, f(c))$ અને $(b, f(b))$ માંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાનો ઢાળ છે.
$m_1 = \frac{f(c)-f(a)}{c-a}$ અને $m_2 = \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
વિધેય અંતર્મુખ હોવાથી,જેમ આપણે જમણી તરફ જઈએ છીએ તેમ છેદિકા રેખાનો ઢાળ ઘટે છે. તેથી,$m_1 > m_2$.
$m_1$ અને $m_2$ ના પદો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{f(c)-f(a)}{c-a} > \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
જરૂરી ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{f(c)-f(a)}{f(b)-f(c)} > \frac{c-a}{b-c}$.

(A) ત્રણ સમતલો એક રેખામાં છેદે તે માટે,સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોય અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોય.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 1 & 7 & -5 \\ 1 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 1(7\alpha + 25) - 4(\alpha + 5) - 2(5 - 7) = 3\alpha + 9$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha + 9 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -3$.
ત્યારબાદ,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે $\Delta_z = 0$ હોવું જોઈએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & \beta \\ 1 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 1(35 - 5\beta) - 4(5 - \beta) + 1(5 - 7) = 13 - \beta$.
$\Delta_z = 0$ લેતા,આપણને $13 - \beta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 13$.
$\alpha = -3$ અને $\beta = 13$ માટે,સંહતિ સુસંગત છે અને એક રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 13 = 10$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x+4)^{\frac{8}{7}}(x-3)^{\frac{6}{7}}}$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{\frac{8}{7}}(x-3)^{2}}$.
ધારો કે $t = \frac{x+4}{x-3}$. તો $dt = \frac{(x-3)(1) - (x+4)(1)}{(x-3)^2} dx = \frac{-7}{(x-3)^2} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{(x-3)^2} = -\frac{1}{7} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે $I = \int \frac{1}{t^{\frac{8}{7}}} \left(-\frac{1}{7} dt\right) = -\frac{1}{7} \int t^{-\frac{8}{7}} dt$.
સંકલન કરતા,$I = -\frac{1}{7} \left( \frac{t^{-\frac{8}{7} + 1}}{-\frac{8}{7} + 1} \right) + C = -\frac{1}{7} \left( \frac{t^{-\frac{1}{7}}}{-\frac{1}{7}} \right) + C = t^{-\frac{1}{7}} + C$.
$t = \frac{x+4}{x-3}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે $I = \left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{-\frac{1}{7}} + C = \left(\frac{x-3}{x+4}\right)^{\frac{1}{7}} + C$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, ડાબી બાજુનું લક્ષ, જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(a+2)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+2) + 1 = a+3$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x+3x^2)^{1/3} - x^{1/3}}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1/3}((1+3x)^{1/3} - 1)}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+3x)^{1/3} - 1}{x}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1 + nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{3}(3x)) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x} = 1$.
$3$. $x=0$ આગળ કિંમત:
$f(0) = b$.
સાતત્ય માટે, $a+3 = b = 1$.
આમ, $a = -2$ અને $b = 1$.
તેથી, $a+2b = -2 + 2(1) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = a + bx + cx^2$.
નિશ્ચિત સંકલન ગણતા:
$\int_{0}^{1} (a + bx + cx^2) dx = [ax + \frac{bx^2}{2} + \frac{cx^3}{3}]_{0}^{1} = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} = \frac{6a + 3b + 2c}{6}$.
હવે,વિકલ્પ $C$ માં આપેલા પદોની કિંમત મુકતા:
$f(0) = a$.
$f(1) = a + b + c$.
$f(\frac{1}{2}) = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}$.
આ કિંમતોને $\frac{1}{6} \{f(0) + f(1) + 4f(\frac{1}{2})\}$ માં મુકતા:
$= \frac{1}{6} \{a + (a + b + c) + 4(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4})\}$
$= \frac{1}{6} \{a + a + b + c + 4a + 2b + c\}$
$= \frac{1}{6} \{6a + 3b + 2c\} = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x+1) dy - y dx = ((x+1)^{2} - 3) dx$ મળે છે.
બંને બાજુને $(x+1)^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(x+1) dy - y dx}{(x+1)^{2}} = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ મળે છે.
આ $d\left(\frac{y}{x+1}\right) = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(2) = 0$,તેથી $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા: $0 = 2 + \frac{3}{3} + C \Rightarrow 0 = 3 + C \Rightarrow C = -3$.
આમ,ઉકેલ $\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} - 3$ છે.
$(x+1)$ વડે ગુણતા,$y = x(x+1) + 3 - 3(x+1) = x^{2} + x + 3 - 3x - 3 = x^{2} - 2x$ મળે છે.
$y(3)$ માટે,$x=3$ મૂકતા: $y(3) = 3^{2} - 2(3) = 9 - 6 = 3$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,અને $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ સમતલીય છે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} a+1 & a & a \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$
$R_1 \to R_1+R_2+R_3$ લેતા,$(3a+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$,જેનું સાદુરૂપ $(3a+1)=0$ મળે,તેથી $a = -\frac{1}{3}$.
હવે,$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
વળી,$|\overrightarrow{r}|^2 = |\overrightarrow{q}|^2 = 3a^2+2a+1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 2/3$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = -1/3$.
લેગ્રાન્જની નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = |\overrightarrow{r}|^2 |\overrightarrow{q}|^2 - (\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q})^2 = (2/3)(2/3) - (-1/3)^2 = 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3$.
આપેલ સમીકરણ $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2 - \lambda |\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = 0$ માં કિંમતો મુકતા,$3(-1/3)^2 - \lambda(1/3) = 0 \Rightarrow 3(1/9) - \lambda/3 = 0 \Rightarrow 1/3 = \lambda/3 \Rightarrow \lambda = 1$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(1, -1, 3)$ અને $Q(2, -4, 11)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (2-1)\hat{i} + (-4 - (-1))\hat{j} + (11-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 8\hat{k}$.
ધારો કે રેખા પરના બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$ અને $B(3, -2, 10)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (10-3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ છે.
$\overrightarrow{PQ}$ નો $\overrightarrow{AB}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left| \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(4) + (-3)(-4) + (8)(7) = 4 + 12 + 56 = 72$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\left| \frac{72}{9} \right| = 8$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x=1$ અને $x=3$ પર સતત છે.
$x=1$ પર સાતત્ય માટે: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \Rightarrow a e + b e^{-1} = c(1)^2 \Rightarrow a e + b/e = c \Rightarrow b = c e - a e^2 \quad (1)$.
$x=3$ પર સાતત્ય માટે: $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} f(x) \Rightarrow c(3)^2 = a(3)^2 + 2c(3) \Rightarrow 9c = 9a + 6c \Rightarrow 3c = 9a \Rightarrow c = 3a \quad (2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $b = (3a)e - a e^2 = a(3e - e^2) \quad (3)$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \begin{cases} a e^x - b e^{-x}, & -1 < x < 1 \\ 2cx, & 1 < x < 3 \\ 2ax + 2c, & 3 < x < 4 \end{cases}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(0) + f^{\prime}(2) = e$.
$f^{\prime}(0) = a e^0 - b e^0 = a - b$.
$f^{\prime}(2) = 2c(2) = 4c$.
તેથી,$a - b + 4c = e$.
$b = 3ae - ae^2$ અને $c = 3a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a - (3ae - ae^2) + 4(3a) = e$.
$a - 3ae + ae^2 + 12a = e$.
$a(e^2 - 3e + 13) = e$.
તેથી,$a = \frac{e}{e^2 - 3e + 13}$.

(A) ધારો કે $B_{1}$ એ બોક્સ-$I$ પસંદ થવાની ઘટના છે અને $B_{2}$ એ બોક્સ-$II$ પસંદ થવાની ઘટના છે.
$P(B_{1}) = P(B_{2}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ પસંદ કરેલ કાર્ડ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી ઘટના છે.
બોક્સ-$I$ માં ($1$ થી $30$ કાર્ડ),અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$ ($10$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે. તેથી,$30 - 10 = 20$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(E|B_{1}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
બોક્સ-$II$ માં ($31$ થી $50$ કાર્ડ),અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{31, 37, 41, 43, 47\}$ ($5$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે. તેથી,$20 - 5 = 15$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(E|B_{2}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કાર્ડ બોક્સ-$I$ માંથી કાઢવામાં આવ્યું હોય તેની સંભાવના:
$P(B_{1}|E) = \frac{P(B_{1})P(E|B_{1})}{P(B_{1})P(E|B_{1}) + P(B_{2})P(E|B_{2})}$
$P(B_{1}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8+9}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{17} = \frac{8}{17}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણ) અને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ (ઉપવલય) છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ છે.
$\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ પ્રદેશ એ $(\pm 2, 0)$ અને $(0, \pm 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{r} = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયની અંદર પરંતુ સમબાજુ ચતુષ્કોણની બહારનો ભાગ છે,જે $A = A_{e} - A_{r} = 6\pi - 12 = 6(\pi - 2)$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - \lambda^2) + 1(1 - \lambda) + 2(\lambda + 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1$
$D = 0$ લેતા:
$-2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \Rightarrow (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$
આમ,$\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -\frac{1}{2}$.
હવે,આ કિંમતો માટે $D_x$ તપાસીએ:
$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -4 & -2 & \lambda \\ 4 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = -2\lambda^2 - 12\lambda + 8$
$\lambda = 1$ માટે,$D_x = -6 \neq 0$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ માટે,$D_x = 13.5 \neq 0$.
બંને કિંમતો માટે $D=0$ અને $D_x \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ છે,જે બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $\{0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $|A| \neq 0$ છે.
વિધાન $(P)$ માટે: જો $A \neq I_{2}$,તો $|A| = -1$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. અહીં $A \neq I_{2}$ અને $|A| = (1)(1) - (1)(0) = 1$.
આપણે એક એવો કિસ્સો શોધ્યો છે જ્યાં $A \neq I_{2}$ હોવા છતાં $|A| = 1$ છે,તેથી વિધાન $(P)$ ખોટું છે.
વિધાન $(Q)$ માટે: જો $|A| = 1$,તો $\operatorname{tr}(A) = 2$.
$\begin{bmatrix} 0, 1 \end{bmatrix}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ શ્રેણિકો કે જેના માટે $|A| = 1$ હોય તે નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_1) = 1+1 = 2$
$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_2) = 1+1 = 2$
$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_3) = 1+1 = 2$
બધા કિસ્સાઓમાં જ્યાં $|A| = 1$ છે,ત્યાં ટ્રેસ $2$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(Q)$ સાચું છે.
આમ,$(P)$ ખોટું છે અને $(Q)$ સાચું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી મળે: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \Rightarrow \ln 2 = -\ln 2 + C \Rightarrow C = 2\ln 2 = \ln 4$.
તેથી,$\ln(y+1) = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$,જેનો અર્થ છે $y+1 = \frac{4}{2+\sin x}$,અથવા $y(x) = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
$x = \pi$ માટે,$a = y(\pi) = \frac{4}{2+\sin \pi} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$.
હવે,$x = \pi$ આગળ $b = \frac{dy}{dx}$ શોધીએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} (y+1) = \frac{-\cos x}{2+\sin x} \left(\frac{4}{2+\sin x}\right) = \frac{-4\cos x}{(2+\sin x)^2}$.
$x = \pi$ આગળ,$b = \frac{-4\cos \pi}{(2+\sin \pi)^2} = \frac{-4(-1)}{(2+0)^2} = \frac{4}{4} = 1$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (1, 1)$ છે.

(C) $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ અને $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{2 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળનો સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a, b)} = 1$ થાય.
વક્ર $y = x + \sin y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 + \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$ મળે.
બિંદુ $(a, b)$ અને ઢાળ $1$ મૂકતા,$1 = 1 + \cos b \cdot (1)$ મળે.
આથી $\cos b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin b = \pm 1$.
બિંદુ $(a, b)$ વક્ર પર હોવાથી,$b = a + \sin b$ થાય.
તેથી,$b - a = \sin b$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|b - a| = |\sin b| = 1$ મળે.

(D) વક્ર $y=x^{2}+7x+2$ પરનું બિંદુ $P$ જે રેખા $y=3x-3$ ની સૌથી નજીક છે,તે બિંદુ છે જ્યાં વક્રનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
$1$. વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}+7x+2) = 2x+7$
$2$. સ્પર્શક રેખા $y=3x-3$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો એટલે કે $3$ હોવો જોઈએ:
$2x+7 = 3$
$2x = -4$
$x = -2$
$3$. $x=-2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $P$ નો $y$-યામ શોધો:
$y = (-2)^{2} + 7(-2) + 2 = 4 - 14 + 2 = -8$
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(-2, -8)$ છે.
$4$. $P$ આગળનો અભિલંબ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $3$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થશે.
$5$. $P(-2, -8)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (-8) = -\frac{1}{3}(x - (-2))$
$y + 8 = -\frac{1}{3}(x + 2)$
$3(y + 8) = -(x + 2)$
$3y + 24 = -x - 2$
$x + 3y + 26 = 0$

(B) આપેલ રેખા $2x = 3y, z = 1$ છે,જેને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}, z = 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
સમતલ બિંદુઓ $A(1, 2, 1)$ અને $B(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-2) - \hat{j}(0-3) + \hat{k}(2+3) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x-1) + 3(y-2) + 5(z-1) = 0$
$-2x + 2 + 3y - 6 + 5z - 5 = 0$
$-2x + 3y + 5z - 9 = 0$ અથવા $2x - 3y - 5z + 9 = 0$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(-2, 0, 1)$ માટે: $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 0 - 5 + 9 = 0$.
આમ,સમતલ $(-2, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેની અંદરની કિંમત $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ હોવી જોઈએ.
અહીં $|x|+5 > 0$ અને $x^2+1 > 0$ હોવાથી,$\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ હંમેશા સાચું છે.
તેથી,આપણે ફક્ત $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ ઉકેલવાની જરૂર છે.
$x^2+1$ વડે ગુણતા,આપણને $|x|+5 \leq x^2+1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - |x| - 4 \geq 0$ મળે.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. તેથી $t^2 - t - 4 \geq 0$.
$t^2 - t - 4 = 0$ ના બીજ $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ છે.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,આપણે $t \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ લેવું પડે.
તેથી,$|x| \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x \in \left(-\infty, -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$.
આપેલ પ્રદેશ $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ મળે છે.

(D) કારણ કે $p(x)$ ને $x=1$ અને $x=2$ આગળ સાપેક્ષ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી $x=1$ અને $x=2$ આગળ $p'(x) = 0$ થાય.
આમ,$p'(x) = A(x-1)(x-2) = A(x^2 - 3x + 2)$.
$p'(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $p(x) = A(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x) + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $p(1) = 8$,તેથી $8 = A(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) + C = A(\frac{2-9+12}{6}) + C = \frac{5A}{6} + C$,એટલે કે $48 = 5A + 6C$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $p(2) = 4$,તેથી $4 = A(\frac{8}{3} - 6 + 4) + C = A(\frac{8-6}{3}) + C = \frac{2A}{3} + C$,એટલે કે $12 = 2A + 3C$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $24 = 4A + 6C$ મળે છે.
સમીકરણ $1$ માંથી આ બાદ કરતા,$48 - 24 = (5A - 4A) + (6C - 6C)$,જે $A = 24$ આપે છે.
$A = 24$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$12 = 2(24) + 3C$,તેથી $12 = 48 + 3C$,જેનો અર્થ છે કે $3C = -36$,એટલે કે $C = -12$.
કારણ કે $p(0) = C$,તેથી $p(0) = -12$.

(A) ધારો કે $f(x) = ||x-1|-x|$.
આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરના પદનું વિશ્લેષણ કરીએ:
જો $x \geq 1$ હોય,તો $|x-1| = x-1$,તેથી $f(x) = |(x-1)-x| = |-1| = 1$.
જો $x < 1$ હોય,તો $|x-1| = 1-x$,તેથી $f(x) = |(1-x)-x| = |1-2x|$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} |1-2x|, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
હવે,આપણે સંકલન મેળવીએ:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} |1-2x| dx + \int_{1}^{2} 1 dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,જ્યારે $x \leq 1/2$ હોય ત્યારે $|1-2x| = 1-2x$ અને જ્યારે $x > 1/2$ હોય ત્યારે $2x-1$ થાય:
$\int_{0}^{1} |1-2x| dx = \int_{0}^{1/2} (1-2x) dx + \int_{1/2}^{1} (2x-1) dx$
$= [x-x^2]_{0}^{1/2} + [x^2-x]_{1/2}^{1}$
$= (1/2 - 1/4) - 0 + (1-1) - (1/4 - 1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
બીજા ભાગ માટે:
$\int_{1}^{2} 1 dx = [x]_{1}^{2} = 2-1 = 1$.
કુલ સંકલન = $1/2 + 1 = 1.5$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{c}|^{2}=8$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + |\vec{c}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
કારણ કે $|\vec{a}|^{2} = |\vec{b}|^{2} = |\vec{c}|^{2} = 1$,તેથી:
$(1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$4 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$-2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 4$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$
હવે,$|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{c}|^{2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$= (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{b}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= 10 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c})$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$ કિંમત મૂકતા:
$= 10 + 4(-2) = 10 - 8 = 2$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x)=cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1)=2$ હોવાથી,આપણને $c(1)=2$ મળે છે,તેથી $c=2$. આમ,$f(x)=2x$.
હવે,આપણે $g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} 2k$ ની ગણતરી કરીએ.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g(n) = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ મળે છે.
આપણને $g(n)=20$ આપેલ છે,તેથી $n(n-1)=20$.
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
$n \in N$ હોવાથી,$n=5$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $A^{T} A = I$,તેથી શ્રેણિક $A$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ માટે,$A^{T} A = I$ ની શરત મુજબ:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$
$ab + bc + ca = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1 + 2(0) = 1$.
તેથી,$a+b+c = \pm 1$.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $2 - 3abc = (\pm 1)(1 - 0) = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $2 - 3abc = 1 \Rightarrow 3abc = 1 \Rightarrow abc = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2 - 3abc = -1 \Rightarrow 3abc = 3 \Rightarrow abc = 1$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,શક્ય કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) $x \neq 0$ માટે,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$.
ધારો કે $h(x) = x - (1+x)\ln(1+x)$.
તો $h'(x) = 1 - [\ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] = 1 - \ln(1+x) - 1 = -\ln(1+x)$.
$x \in (-1, 0)$ માટે,$1+x \in (0, 1)$,તેથી $\ln(1+x) < 0$,જે સૂચવે છે કે $h'(x) > 0$.
$x \in (0, \infty)$ માટે,$1+x > 1$,તેથી $\ln(1+x) > 0$,જે સૂચવે છે કે $h'(x) < 0$.
કારણ કે $h(0) = 0 - (1)\ln(1) = 0$,$h(x)$ એ $(-1, 0)$ માં વધે છે અને $(0, \infty)$ માં ઘટે છે.
આમ,તમામ $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ માટે $h(x) < h(0) = 0$.
તમામ $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ માટે $x^2(1+x) > 0$ હોવાથી,$f'(x) = \frac{h(x)}{x^2(1+x)} < 0$.
તેથી,વિધેય $f$ એ $(-1, \infty)$ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=(1+x)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} x)$ છે.
$x=0$ આગળ,$y=(1+0)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} 0) = 1+1 = 2$.
તેથી,આપણે બિંદુ $(0, 2)$ આગળ અભિલંબ શોધવાનો છે.
સમીકરણને $y=e^{2y \ln(1+x)} + (1-x^2)$ તરીકે ફરીથી લખતા.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = e^{2y \ln(1+x)} \left[ 2y \cdot \frac{1}{1+x} + \ln(1+x) \cdot 2y' \right] - 2x$.
$x=0$ અને $y=2$ મૂકતા:
$y' = e^{2(2) \ln(1)} \left[ 2(2) \cdot \frac{1}{1+0} + \ln(1) \cdot 2y' \right] - 2(0)$.
$y' = e^0 [4 + 0] - 0 = 4$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 4$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}$ થાય.
બિંદુ $(0, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 0)$ છે.
$4y - 8 = -x$,જેનું સાદું રૂપ $x + 4y = 8$ મળે છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n}$ એ બંને રેખાઓને લંબ છે. તેથી,$\overrightarrow{n}$ એ બંને રેખાઓના દિશા સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે:
$\overrightarrow{n} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(3 + 4) = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$
બિંદુ $(3, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-4(x - 3) + 5(y - 1) + 7(z - 1) = 0$
$-4x + 12 + 5y - 5 + 7z - 7 = 0$
$-4x + 5y + 7z = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(\alpha, -3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$-4(\alpha) + 5(-3) + 7(5) = 0$
$-4\alpha - 15 + 35 = 0$
$-4\alpha + 20 = 0$
$4\alpha = 20$
$\alpha = 5$

(A) આપેલ છે કે $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ એ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(E_{3})$,અને $P(E_{3} \cap E_{1}) = P(E_{3})P(E_{1})$.
વળી,$P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = 0$.
આપણે $P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C})}{P(E_{1})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} = (E_{2} \cup E_{3})^{C}$.
આમ,$E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})^{C} = E_{1} \setminus (E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = E_{1} \setminus ((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{3}))$.
સંભાવના માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1} \cap E_{3}) - P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1})P(E_{2}) + P(E_{1})P(E_{3}) - 0 = P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3}))$.
તેથી,$P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1}) - P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3})) = P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))$.
અંતે,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))}{P(E_{1})} = 1 - P(E_{2}) - P(E_{3}) = (1 - P(E_{3})) - P(E_{2}) = P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$.

(B) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = 1(-3 + 36) - 2(2 + 4) + 1(-18 - 3) = 33 - 12 - 21 = 0$.
કારણ કે $|P| = 0$,સમીકરણ સંહતિ $PX = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.
સમીકરણો છે:
$x + 2y + z = 0$ $(i)$
$-2x + 3y - 4z = 0$ (ii)
$x + 9y - z = 0$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા $2x + 11y = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2}y$ મળે.
$x$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $-\frac{11}{2}y + 2y + z = 0 \Rightarrow z = \frac{7}{2}y$.
ધારો કે $y = \lambda$,તો $x = -\frac{11}{2}\lambda$ અને $z = \frac{7}{2}\lambda$.
આપેલ છે $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$,કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{11}{2}\lambda)^{2} + \lambda^{2} + (\frac{7}{2}\lambda)^{2} = 1$
$\frac{121}{4}\lambda^{2} + \lambda^{2} + \frac{49}{4}\lambda^{2} = 1$
$\frac{121 + 4 + 49}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \frac{174}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda^{2} = \frac{4}{174} = \frac{2}{87}$.
કારણ કે $\lambda^{2} = \frac{2}{87}$,$\lambda$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે $(\lambda = \pm \sqrt{\frac{2}{87}})$.
આમ,$(x, y, z)$ માટે બરાબર બે ઉકેલો મળે છે.

(D) પ્રદેશ $R$ એ પરવલય $y=x^{2}$ અને રેખા $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. છેદબિંદુઓ $x^{2}=2x$ દ્વારા મળે છે,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે. આમ,બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
પ્રદેશ $R$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx = [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,પ્રદેશ $y \in [0, 4]$ માટે $x = \sqrt{y}$ (જમણી બાજુ) અને $x = y/2$ (ડાબી બાજુ) દ્વારા ઘેરાયેલ છે:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = [\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.
રેખા $y=\alpha$ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ($y=0$ થી $y=\alpha$) કુલ ક્ષેત્રફળનું અડધું છે:
$\int_{0}^{\alpha} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{\alpha} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}\alpha^{3/2} - \frac{\alpha^{2}}{4} = \frac{2}{3}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $12$ વડે ગુણતા:
$8\alpha^{3/2} - 3\alpha^{2} = 8 \Rightarrow 3\alpha^{2} - 8\alpha^{3/2} + 8 = 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-2v^{-1} = \ln|x| + C$
$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=2$ મૂકતા:
$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.
$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.
હવે,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

(B) ધારો કે $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ છે.
$\cos^{-1}$ વિધેયની અંદરનું પદ $\frac{3}{5} \cos kx - \frac{4}{5} \sin kx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \alpha \cos kx - \sin \alpha \sin kx = \cos(\alpha + kx)$ મળે છે.
આમ,$y = \sum_{k=1}^{6} k \cos^{-1}(\cos(\alpha + kx))$.
$x$ ની $0$ ની નજીકની કિંમતો માટે,$\cos^{-1}(\cos(\alpha + kx)) = \alpha + kx$ થાય.
તેથી,$y = \sum_{k=1}^{6} k(\alpha + kx) = \sum_{k=1}^{6} (k\alpha + k^2 x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2$ મળે.
$x = 0$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n=6$ માટે:
$\frac{6(7)(13)}{6} = 91$.

(C) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\lambda(2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \frac{\lambda+1}{\lambda+1}\hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k}$
હવે,$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP}$ ની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} = (2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) \cdot \left( \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k} \right) = \frac{4\lambda+2 + \lambda+1 + 9\lambda+3}{\lambda+1} = \frac{14\lambda+6}{\lambda+1}$
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}$ ની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} & 1 & \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} \end{vmatrix} = \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - 1 \right)\hat{i} - \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{j} + \left( 1 - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{k}$
$= \frac{2\lambda}{\lambda+1}\hat{i} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{j} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{k}$
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|^{2} = \frac{4\lambda^{2} + \lambda^{2} + \lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} = \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}}$
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{14\lambda+6}{\lambda+1} - 3 \left( \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} \right) = 6$
$(\lambda+1)^{2}$ વડે ગુણતા:
$(14\lambda+6)(\lambda+1) - 18\lambda^{2} = 6(\lambda+1)^{2}$
$14\lambda^{2} + 20\lambda + 6 - 18\lambda^{2} = 6(\lambda^{2} + 2\lambda + 1)$
$-4\lambda^{2} + 20\lambda + 6 = 6\lambda^{2} + 12\lambda + 6$
$10\lambda^{2} - 8\lambda = 0$
$\lambda > 0$ હોવાથી,$10\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 0.8$.

(A) ધારો કે $I = \int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$. કારણ કે $1 \le x \le 2$,તેથી $3 \le 3x \le 6$.
આપણે $[1, 2]$ અંતરાલને $[3x]$ ના મૂલ્યોના આધારે વિભાજિત કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $1 \le x < 4/3$,ત્યારે $3 \le 3x < 4$,તેથી $[3x] = 3$. સંકલ્ય $|2x - 3| = 3 - 2x$ છે.
કિસ્સો $2$: $4/3 \le x < 5/3$,ત્યારે $4 \le 3x < 5$,તેથી $[3x] = 4$. સંકલ્ય $|2x - 4| = 4 - 2x$ છે.
કિસ્સો $3$: $5/3 \le x \le 2$,ત્યારે $5 \le 3x \le 6$,તેથી $[3x] = 5$. સંકલ્ય $|2x - 5| = 5 - 2x$ છે.
હવે,$I = \int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx = [3x - x^2]_{1}^{4/3} = (4 - 16/9) - (3 - 1) = 2/9$.
$\int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx = [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} = (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) = 3/9 = 1/3$.
$\int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx = [5x - x^2]_{5/3}^{2} = (10 - 4) - (25/3 - 25/9) = 4/9$.
સરવાળો કરતા: $I = 2/9 + 3/9 + 4/9 = 9/9 = 1$.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6a^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{sec}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 12a \frac{da}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.6 = 12(10) \frac{da}{dt} \Rightarrow 3.6 = 120 \frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt} = \frac{3.6}{120} = 0.03 \text{ cm}/\text{sec}$.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ છે.
$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ મળે.
$a = 10$ અને $\frac{da}{dt} = 0.03$ મૂકતા: $\frac{dV}{dt} = 3(10)^2(0.03) = 3(100)(0.03) = 300 \times 0.03 = 9 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
અંશને $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
$I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$.
$0$ થી $1/2$ સુધી મૂલ્ય લેતા,આપણને $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ મળે છે.
બીજા સંકલન માટે,$x = \sin(\theta)$ લો,તો $dx = \cos(\theta) d\theta$.
જ્યારે $x=0, \theta=0$; જ્યારે $x=1/2, \theta=\pi/6$.
$\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(\theta)}{\cos^{3}(\theta)} d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(\theta) d\theta = [\tan(\theta)]_{0}^{\pi/6} = \tan(\pi/6) - \tan(0) = 1/\sqrt{3}$.
આમ,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$.
આને $\frac{k}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2\sqrt{3}-\pi$ મળે છે.