વિધેય $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}+8 \mathrm{x}+11$ કે જ્યાં $\mathrm{x} \in[0,1]$ માં મ્ધયકમાન પ્રમેય અનુસાર $c$ ની કિમંત મેળવો.

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયના અનુસાર $x \in $ [$0, 1$] અંતરાલમાં કયું વિધેય અનુસરતું નથી ?

દ્રીઘાત સમીકરણ ${\text{ a}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  bx  +  c  =  0 }}$ સ્વીકારો જ્યાં, $2a\,\, + \,\,3b\,\, + \,\,6c\,\, = \,\,0$ અને ${\text{g(x)}}\,\, = \,\,{\text{a}}\,\,\frac{{{{\text{x}}^{\text{3}}}}}{3}\,\, + \,\,{\text{b}}\,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}\,\, + \,\,{\text{cx}}$ લો. 

વિધાન $- 1 : (0, 1)$  અંતરાલમાં દ્વિઘાત સમીકરણના ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

વિધાન $- 2 : [0, 1]$ અંતરાલમાં વિધેય $g(x)$  માટે રોલનો પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય.

જો વિધેય $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2} $ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $C$ મેળવો.

જો સમીકરણ $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ …. + a_1x = 0 $ નું ધન બીજ $x = \alpha $ હોય, તો સમીકરણ $na_nx^{n-1 } + (n - 1) a_{n-1}x^{n-2} + …. + a_1 = 0$  નું ધન બીજ કેવું હોય ?

જો $f$ એ વિકલીનીય વિધેય હોય કે જેથી $f(2x + 1) = f(1 -2x)$ $\forall \,\,x \in R$ તથા $f(2) = f(5) = f(10)$ આપેેેલ હોય તો સમીકરણ $f'(x) = 0$ જ્યા $x \in \left( { - 5,10} \right)$ ના બિજો ઓછામાઓછા કેટલા મળે ?