જો $a, b,$ અને $c$ એ અનુક્રમે $^{19}C_{p}, ^{20}C_{q},$ અને $^{21}C_{r}$ ની મહત્તમ કિંમતો હોય,તો

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{1}$ હોય અને $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{2}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\ell_{2} : \ell_{1}$ કેટલો થાય?

$(1 + x)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં જો $(2r + 4)$ માં પદનો શૂન્યતર સહગુણક એ $(r - 2)$ માં પદના શૂન્યતર સહગુણક કરતા મોટો હોય,તો $r$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$(2+\sqrt{3})^8$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સંમેય પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(x+1)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(r-1)^{th}$,$r^{th}$ અને $(r+1)^{th}$ પદોના સહગુણકો $1:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં છે. $n$ અને $r$ શોધો.

$\sum_{r=1}^{11} {(x+r)(x+r+1)(x+r+2)...(x+r+9)}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ બહુપદીમાં $x^9$ નો સહગુણક શું છે?