ધારો કે f(x) એ 3 ઘાતવાળી બહુપદી છે,જ્યાં f(-1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $f^{\prime \prime}(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે. $f^{\prime}(x)$ ને $x=1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime \

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $f^{\prime \prime}(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે. $f^{\prime}(x)$ ને $x=1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime \prime}(1)=0$ થાય. તેથી,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$.$f^{\prime \prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ મળે.$f(x)$ ને $x=-1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime}(-1) = 0$ થાય. $x=-1$ મૂકતા $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ મળે,તેથી $C = -\frac{3\lambda}{2}$.આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$.$f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ મળે.$f(1) = -6$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$.$f(-1) = 10$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$.$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$.$\lambda = 6$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$.તેથી,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=3$ અને $x=-1$ મળે.$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$. $x=3$ આગળ,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.

Similar Questions

$6$ એકમ ત્રાંસી ઊંચાઈ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુનું મહત્તમ ઘનફળ કેટલું થાય?

જો $f(x)=3 \sqrt[3]{x^2}-x^2$ હોય,તો

સમીકરણ $e^x - x - 1 = 0$ ને

વિધેય $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$ $(x \in R)$ માટે કોઈ પણ અંતિમ મૂલ્ય (extreme value) ન હોય તેવી શરત કઈ છે?

$3 \, m$ ત્રાંસી ઊંચાઈ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુનું મહત્તમ ઘનફળ ($m^3$ માં) કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module