TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ है।
इसे $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,दोनों घातांक $\frac{256-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 256$,$\frac{r}{8}$ के पूर्णांक होने के लिए $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$।
इन मानों के लिए $\frac{256-r}{2}$ भी एक पूर्णांक होगा।
$r$ के ऐसे मानों की संख्या समांतर श्रेणी $0, 8, 16, \dots, 256$ द्वारा प्राप्त होती है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$256 = 0 + (n-1)8$,जिससे $n-1 = 32$,अर्थात $n = 33$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $33$ पूर्णांक पद हैं।

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ वें पद $(n = 10)$ के लिए,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ होगा।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$ होता है।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $n = 9$ रखने पर:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
यूलर के सूत्र $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करते हुए:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(B) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
चूँकि $z=x iy$,हमारे पास $\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x^2 3y^2 10y 3=0$ प्राप्त होता है।

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $12$ है ($3$ खंड $\times$ प्रत्येक में $4$ प्रश्न)। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए।
$5$ प्रश्नों का $3$ खंडों में वितरण इस प्रकार हो सकता है:
स्थिति $1$: $(2, 2, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
स्थिति $2$: $(3, 1, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
कुल तरीकों की संख्या = $432 + 192 = 624$.

(D) अंतःखंड $a$ और $b$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x' \cos \theta - y' \sin \theta}{a} + \frac{x' \sin \theta + y' \cos \theta}{b} = 1$
$x' \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right) + y' \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right) = 1$.
इसे नए अक्षों में रेखा के अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a}$.
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right)^2 + \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right)^2$
$= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2} + \frac{\sin^2 \theta}{a^2} - \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab}$
$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{b^2}$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ प्राप्त होता है।
$n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ हल करने पर,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1 + y)^2 = 8$,अतः $y^2 + 2y - 7 = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ मान लीजिए। स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ और $B = (0, \frac{1}{y_0})$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ अंतःखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2y_0}$,जिसका अर्थ है $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2k}$।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$।
यह सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 - 2x + k - 4 = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणधर्म के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 4$,$b = -2$,और $c = k - 4$ है।
अतः,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k - 4}{4}$.
$1 = \frac{k - 4}{4}$.
$4 = k - 4$.
$k = 8$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2+2x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$.
माना $\alpha = -1+i$ और $\beta = -1-i$.
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ और $\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
अतः $\alpha^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{45\pi}{4} + i \sin \frac{45\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
इसी प्रकार,$\beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{75\pi}{4} + i \sin \frac{75\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
योग करने पर,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7.5} (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -2^8 = -256$.

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^2+1=0$ है।
इसे $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
$x^2-x+1=0$ के मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं।
शर्तों के अनुसार $\alpha=\omega, \beta=\omega^2$ और $\gamma=-\omega, \delta=-\omega^2$ प्राप्त होते हैं।
अब,$\alpha^{2023}+\beta^{2023}+\gamma^{2022}+\delta^{2022} = \omega^{2023} + (\omega^2)^{2023} + (-\omega)^{2022} + (-\omega^2)^{2022}$
$= \omega + \omega^2 + 1 + 1 = -1 + 2 = 1$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।
$\sin ^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
$\cos ^2 36^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{8}$.
मूलों का योग $\frac{3-\sqrt{5}}{8} + \frac{3+\sqrt{5}}{8} = \frac{3}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{8}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\right) = \frac{1}{16}$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ के अनुसार,
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$,अर्थात $16x^2 - 12x + 1 = 0$।

(D) समीकरण $f(x)^{g(x)}=1$ निम्नलिखित स्थितियों में संतुष्ट होता है:
स्थिति $1$: $f(x)=1$
$x^2-7x+11=1 \implies x^2-7x+10=0 \implies (x-2)(x-5)=0 \implies x=2, 5$.
स्थिति $2$: $g(x)=0$ और $f(x) \neq 0$
$x^2-6x-7=0 \implies (x-7)(x+1)=0 \implies x=7, -1$.
स्थिति $3$: $f(x)=-1$ और $g(x)$ एक सम पूर्णांक है
$x^2-7x+11=-1 \implies x^2-7x+12=0 \implies (x-3)(x-4)=0 \implies x=3, 4$.
$x=3, 4$ के लिए $g(x)$ की जाँच करें:
$x=3$ के लिए,$g(3)=3^2-6(3)-7=-16$ (सम,इसलिए $x=3$ एक हल है)।
$x=4$ के लिए,$g(4)=4^2-6(4)-7=-15$ (विषम,इसलिए $x=4$ हल नहीं है)।
$x$ के वास्तविक मानों का समुच्चय $\{2, 5, 7, -1, 3\}$ है।
इन मानों का योग $2+5+7-1+3=16$ है।

(A) दिया गया है $x^2+ax+2=0$,अतः $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = 2$ है।
$x^2-bx+c=0$ के लिए,मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं,इसलिए $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = b$ और $\frac{1}{\alpha\beta} = c = \frac{1}{2}$ है।
अब,व्यंजक का विस्तार करने पर:
$E = \left(\alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta}\right) \left(\alpha\beta - \frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}\right)$
$E = \left(2 + 2 + \frac{1}{2}\right) \left(2 + \frac{1}{2} - \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\right)$
$E = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{a^2-4}{2}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5-a^2+4}{2}\right) = \frac{9}{4}(9-a^2)$.

(B) चूंकि $(x-2)$,$x^2+ax+b$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x=2$ इसका एक मूल है,अतः $(2)^2+2a+b=0$,जिससे $2a+b=-4$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
इसी प्रकार,चूंकि $(x-2)$,$x^2+cx+d$ का एक गुणनखंड है,अतः $(2)^2+2c+d=0$,जिससे $2c+d=-4$ प्राप्त होता है ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(2a+b) - (2c+d) = -4 - (-4)$
$2(a-c) + (b-d) = 0$
$b-d = -2(a-c)$
$b-d = 2(c-a)$
अतः,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(C) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। समीकरण $x^2-6x+a=0$ और $x^2-cx+6=0$ हैं।
माना अन्य मूल क्रमशः $\beta_1$ और $\beta_2$ हैं। दिया गया है कि $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,इसलिए $\beta_1 = 4k$ और $\beta_2 = 3k$ है।
मूलों के गुणों से:
पहले समीकरण के लिए: $\alpha + 4k = 6$ और $\alpha \cdot 4k = a$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $\alpha + 3k = c$ और $\alpha \cdot 3k = 6$ है।
$\alpha \cdot 3k = 6$ से,$k = \frac{2}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$ है।
$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,इसलिए $\alpha = 4$ या $\alpha = 2$ है।
यदि $\alpha = 4$ है,तो $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$ है। तब $\beta_1 = 2$ और $\beta_2 = 1.5$ है। चूँकि $\beta_2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यह संभव नहीं है।
यदि $\alpha = 2$ है,तो $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$ है। तब $\beta_1 = 4$ और $\beta_2 = 3$ है। दोनों पूर्णांक हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $2$ है।

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+3x-2k=0$ और $x^2-2x-7k=0$ का शून्येतर उभयनिष्ठ मूल है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2+3x-2k) - (x^2-2x-7k) = 0$ $\Rightarrow 5x+5k=0$ $\Rightarrow x=-k$.
चूंकि $x=-k$ एक मूल है,इसे पहले समीकरण में रखने पर: $(-k)^2+3(-k)-2k=0$ $\Rightarrow k^2-5k=0$ $\Rightarrow k(k-5)=0$.
चूंकि मूल शून्येतर है,$k \neq 0$,इसलिए $k=5$.
$k=5$ को तीसरे समीकरण में रखने पर: $5x^2+(5+2)x-(5+1)=0 \Rightarrow 5x^2+7x-6=0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $5x^2+10x-3x-6=0$ $\Rightarrow 5x(x+2)-3(x+2)=0$ $\Rightarrow (5x-3)(x+2)=0$.
मूल $x=\frac{3}{5}$ और $x=-2$ हैं।
अतः धनात्मक मूल $x=\frac{3}{5}$ है।

(B) मान लीजिए उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
दिए गए समीकरण $ax^2-7x+c=0$ और $ax^2+5x-c=0$ हैं।
चूंकि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए $a\alpha^2-7\alpha+c=0$ और $a\alpha^2+5\alpha-c=0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$-12\alpha + 2c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{6}$।
$\alpha = \frac{c}{6}$ को $ax^2-7x+c=0$ में रखने पर,$ac=6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3$ एक अन्य मूल है,इसलिए $9a-21+c=0$ होगा।
$c=21-9a$ को $ac=6$ में रखने पर $3a^2-7a+2=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $a=2$ या $a=\frac{1}{3}$ हैं।
$a=2$ के लिए $c=3$ प्राप्त होता है,जिससे समीकरण $2x^2-7x+3=0$ बनता है,जिसके मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\frac{1}{2}$ है।

(C) प्रथम असमिका के लिए: $x^2-7x+10 \geq 0$
$(x-2)(x-5) \geq 0$
अतः,$x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$।
दूसरी असमिका के लिए: $2x+3-x^2 > 0$
$x^2-2x-3 < 0$
$(x-3)(x+1) < 0$
अतः,$x \in (-1, 3)$।
दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$(-\infty, 2] \cup [5, \infty) \cap (-1, 3) = (-1, 2]$।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $(-1, 2]$ है।

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए है।
किसी द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ हैं।
यहाँ,$a = 1 > 0$,जो संतुष्ट है।
अब,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ की गणना करें:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
गुणनखंड करने पर:
$(p+4)(p-2) < 0$
साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $p = -4$ और $p = 2$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,$p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $p \in (-4, 2)$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{(x^2+x+1) - 2x}{x^2+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^2+x+1}$.
$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $\frac{2x}{x^2+x+1}$ पद को अधिकतम करना होगा।
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$ लेने पर:
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (3-y)(3y-1) \geq 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
इसलिए,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $e^{4t} - 10e^{3t} + 29e^{2t} - 20e^t + 4 = 0$.
माना $x = e^t$. तब समीकरण $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ हो जाता है।
माना $t$ में समीकरण के मूल $t_1, t_2, t_3, t_4$ हैं।
तब $x$ में समीकरण के मूल $x_1 = e^{t_1}, x_2 = e^{t_2}, x_3 = e^{t_3}, x_4 = e^{t_4}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,बहुपद $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ के मूलों का गुणनफल अचर पद के बराबर होता है:
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 4$.
$e^t$ वापस रखने पर:
$e^{t_1} \cdot e^{t_2} \cdot e^{t_3} \cdot e^{t_4} = 4$.
$e^{(t_1 + t_2 + t_3 + t_4)} = 4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 4$.
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 2^2 = 2\log_e 2$.

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma=14$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=56$
$\alpha\beta\gamma=64$
छोटी पूर्णांक मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है:
$2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-2)(x^2-12x+32)=0$
$(x-2)(x-4)(x-8)=0$
मूल $\alpha=2, \beta=4, \gamma=8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2$,इसलिए मूल ज्यामितीय प्रगति $(GP)$ में हैं।

(D) दिया गया है $x^3+3x^2-9x+\lambda = (x-\alpha)^2(x-\beta) = x^3 - (2\alpha+\beta)x^2 + (2\alpha\beta+\alpha^2)x - \alpha^2\beta$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2\alpha+\beta = -3$ $(i)$
$2\alpha\beta+\alpha^2 = -9$ (ii)
$-\alpha^2\beta = \lambda$ (iii)
$(i)$ से,$\beta = -3-2\alpha$.
(ii) में मान रखने पर: $2\alpha(-3-2\alpha) + \alpha^2 = -9$ $\Rightarrow 3\alpha^2 + 6\alpha - 9 = 0$ $\Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $(\alpha+3)(\alpha-1) = 0$,अतः $\alpha = 1$ या $\alpha = -3$.
यदि $\alpha = 1$,तो $\beta = -5$. (iii) से,$\lambda = -(1)^2(-5) = 5$.
यदि $\alpha = -3$,तो $\beta = 3$. (iii) से,$\lambda = -(-3)^2(3) = -27$.
अतः,$\lambda$ के मान $-27$ और $5$ हैं।

(B) माना कि दिए गए समीकरण $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ के मूल $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ हैं।
नए समीकरण के मूल $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ हैं।
अतः,नया समीकरण $f(\frac{x}{p}) = 0$ होगा।
$\frac{x}{p}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
चूंकि यह एक व्युत्क्रम समीकरण है,$x^4$ का गुणांक अचर पद के बराबर होना चाहिए:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(D) दिया गया समीकरण $x^4-4x^3-7x^2+22x+24=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = 3, x_4 = 4$ हैं।
शर्त की जाँच करने पर: $3 + (-1) = 2$ और $4 + (-2) = 2$।
अतः,मूलों के घनों का योग:
$(-1)^3 + (-2)^3 + (3)^3 + (4)^3 = -1 - 8 + 27 + 64 = 82$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3+4x^2-9x-36=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+4)-9(x+4)=0$
$(x^2-9)(x+4)=0$
$(x-3)(x+3)(x+4)=0$
मूल $x = -4, -3, 3$ हैं।
शर्त $\alpha < \beta < \gamma$ के अनुसार,$\alpha = -4$,$\beta = -3$,और $\gamma = 3$ है।
अब,$\alpha+2\beta+3\gamma$ की गणना करने पर:
$\alpha+2\beta+3\gamma = -4 + 2(-3) + 3(3)$
$= -4 - 6 + 9$
$= -10 + 9 = -1$.

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2+3x+1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = -1$
हमें $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$ है।
अतः $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(\alpha\beta^2\gamma + \beta\gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2\beta)$ है।
दूसरे पद से $\alpha\beta\gamma$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\alpha+\gamma)$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (3)^2 - 2(-1)(3) = 9 + 6 = 15$।

(D) माना $f(x) = x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8$.
छोटे पूर्णांक मूलों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है।
बहुपद विभाजन का उपयोग करके,हम व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$f(x) = (x-2)^3(x^2-1) = (x-2)^3(x-1)(x+1)$.
मूल $x=2$ (जिसकी बहुलता $3$ है),$x=1$,और $x=-1$ हैं।
चूंकि $\alpha$ एक बहुल मूल है,इसलिए $\alpha=2$.
व्यंजक $3\alpha^2-2\alpha+1$ में $\alpha=2$ रखने पर:
$3(2)^2-2(2)+1 = 3(4)-4+1 = 12-4+1 = 9$.

(A) दिया गया समीकरण $18x^3-15x^2-4x+4=0$ है।
माना मूल $\alpha, \alpha, \gamma$ हैं जहाँ $\alpha > \gamma$ है।
विएटा के सूत्रों से:
$2\alpha + \gamma = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ $(i)$
$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = -\frac{2}{9}$ (ii)
$\alpha^2\gamma = -\frac{2}{9}$ (iii)
(ii) और (iii) से,$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = \alpha^2\gamma$।
चूँकि $\alpha \neq 0$,अतः $\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$।
$(i)$ से,$\gamma = \frac{5}{6} - 2\alpha$।
$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$ में मान रखने पर:
$\alpha + 2(\frac{5}{6} - 2\alpha) = \alpha(\frac{5}{6} - 2\alpha)$
$12\alpha^2 - 23\alpha + 10 = 0$
$(3\alpha - 2)(4\alpha - 5) = 0$।
अतः,$\alpha = \frac{2}{3}$ या $\alpha = \frac{5}{4}$।
यदि $\alpha = \frac{2}{3}$,तो $\gamma = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\alpha > \gamma$,अतः $\alpha + \beta^2 + \gamma^3 = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{8} = \frac{71}{72}$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3+x^2-13x+6=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{1}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{13}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{6}{2} = -3$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$
यहाँ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{13}{2}) = \frac{1}{4} + 13 = \frac{53}{4}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = (-\frac{1}{2})(\frac{53}{4} + \frac{26}{4}) - 9$
$= (-\frac{1}{2})(\frac{79}{4}) - 9$
$= -\frac{79}{8} - \frac{72}{8} = -\frac{151}{8}$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+2x^2-x-2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+2)-1(x+2)=0$
$(x^2-1)(x+2)=0$
$(x-1)(x+1)(x+2)=0$
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=-1, \gamma=-2$ हैं।
हमें $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6$ का मान ज्ञात करना है:
$\alpha^6+\beta^6+\gamma^6 = (1)^6 + (-1)^6 + (-2)^6$
$= 1 + 1 + 64$
$= 66$

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $y = x + \frac{1}{x}$,तो $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$।
$(y+3)(y-2) = 0$,अतः $y = 2$ या $y = -3$।
यदि $x + \frac{1}{x} = 2$,तो $x=1, 1$।
यदि $x + \frac{1}{x} = -3$,तो $x^2 + 3x + 1 = 0$,अतः $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
माना मूल $r_1, r_2, r_3, r_4$ हैं। दो मूलों के गुणनफल का योग $\sum r_i r_j = -4$ है।
जब मूलों को $h$ से कम किया जाता है,तो नए मूल $r_i - h$ होते हैं।
$x^2$ का नया गुणांक $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ है।
इसका विस्तार $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ होता है।
मूल समीकरण से,$\sum r_i = -1$ और $\sum r_i r_j = -4$।
इन मानों को रखने पर,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$।
$h$ में इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ और $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$।
तब $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$।
अतः,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$।

(A) दिया गया समीकरण $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -1$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -1$
$(i)$ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = \frac{1}{-1} = -1$. अतः,$(i)$ $\rightarrow$ $A$.
(ii) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$: चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,$\alpha^3 = -\alpha^2 - \alpha - 1$,$\beta^3 = -\beta^2 - \beta - 1$,$\gamma^3 = -\gamma^2 - \gamma - 1$.
योग करने पर: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - (\alpha + \beta + \gamma) - 3$.
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(-1) - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. अतः,(ii) $\rightarrow$ $A$.
(iii) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$: मूल समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$.
मूलों के लिए योग करने पर: $(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) = 0$.
$(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (-1) + (-1) + (-1) = 0 \Rightarrow \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 3$. अतः,(iii) $\rightarrow$ $D$.
(iv) $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$. अतः,(iv) $\rightarrow$ $B$.
सही मिलान $(i)$ $\rightarrow$ $A$,(ii) $\rightarrow$ $A$,(iii) $\rightarrow$ $D$,(iv) $\rightarrow$ $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $k x^3 - 18 x^2 - 36 x + 8 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
मूल समीकरण में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ प्राप्त होता है।
माना इस नए समीकरण के मूल $a-d, a, a+d$ हैं।
मूलों के योग से,$3a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}$।
चूंकि $a = \frac{3}{2}$,$8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ का एक मूल है,मान रखने पर:
$8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 - 18(\frac{3}{2}) + k = 0$।
$27 - 81 - 27 + k = 0$।
$k = 81$।

(B) दिया गया है कि $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ एक $4$ घात वाला बहुपद है जिसका मुख्य गुणांक $2$ है।
हम देखते हैं कि $x = 1, 2, 3, 4$ के लिए,$P(x) = x^2 + 3$ है।
माना $Q(x) = P(x) - (x^2 + 3)$ है।
चूंकि $P(x)$ एक $4$ घात का बहुपद है,इसलिए $Q(x)$ भी $4$ घात का बहुपद है जिसका मुख्य गुणांक $2$ है।
चूंकि $P(1)=4, P(2)=7, P(3)=12, P(4)=19$ है,इसलिए $Q(1)=0, Q(2)=0, Q(3)=0, Q(4)=0$ है।
अतः,$Q(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ है।
इसलिए,$P(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 3$ है।
$P(5)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 5$ रखने पर:
$P(5) = 2(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) + (5^2 + 3)$
$P(5) = 2(4)(3)(2)(1) + (25 + 3)$
$P(5) = 2(24) + 28 = 48 + 28 = 76$.

(D) दी गई असमिकाएँ $x^2-1 \leq 0$ और $x^2-x-2 \geq 0$ हैं।
$x^2-1 \leq 0$ के लिए:
$(x-1)(x+1) \leq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in [-1, 1]$।
$x^2-x-2 \geq 0$ के लिए:
$(x-2)(x+1) \geq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$।
दोनों समुच्चयों $x \in [-1, 1]$ और $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ का प्रतिच्छेदन केवल एक बिंदु $\{-1\}$ है।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $\{-1\}$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S = 1+i^2+i^4+i^6+\ldots+i^{2024}$ है।
हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ आदि।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=1$,सार्व अनुपात $r=i^2=-1$ और पदों की संख्या $n = \frac{2024-0}{2} + 1 = 1013$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $S = \frac{1((-1)^{1013} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

(B) माना $z_1 = 1+\sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$.
इसी प्रकार,$z_2 = 1-\sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3}$.
अतः,$(1+\sqrt{3}i)^{2023} + (1-\sqrt{3}i)^{2023} = 2^{2023} (e^{i2023\pi/3} + e^{-i2023\pi/3})$.
चूंकि $\frac{2023\pi}{3} = 674\pi + \frac{\pi}{3}$,
$e^{i2023\pi/3} = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,योग $= 2^{2023} (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{2023}(1) = 2^{2023}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n = 1 + \frac{i}{3} + \left(\frac{i}{3}\right)^2 + \dots \infty$.
एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a=1$ और $r=\frac{i}{3}$ है।
$S = \frac{1}{1-\frac{i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-i}{3}} = \frac{3}{3-i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(3+i)$ से गुणा करें:
$S = \frac{3}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} = \frac{3(3+i)}{3^2 - i^2} = \frac{9+3i}{9 - (-1)} = \frac{9+3i}{10}$.

(C) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ लेने पर,$\alpha+\beta = -1$ और $\alpha\beta = 1$ प्राप्त होता है।
किसी भी $n$ के लिए,$\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n}$ होता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^n = 1$ और $\omega^{2n} = 1$,इसलिए $\alpha^n+\beta^n = 1+1 = 2$ होगा।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n} = -1$ होगा।
हमें $S = \sum_{n=1}^{12} (\alpha^n+\beta^n)^2$ का मान ज्ञात करना है।
$n=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ ($8$ पद) के लिए,मान $(-1)^2 = 1$ है।
$n=3, 6, 9, 12$ ($4$ पद) के लिए,मान $(2)^2 = 4$ है।
अतः,$S = 8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$।

(B) दिया गया है $z = (\alpha + i\beta)(2 + 7i) = (2\alpha - 7\beta) + i(7\alpha + 2\beta)$.
चूँकि $z$ शुद्ध काल्पनिक है,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$2\alpha - 7\beta = 0 \Rightarrow 2\alpha = 7\beta$.
चूँकि $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,मान लीजिए $\alpha = 7k$ और $\beta = 2k$ जहाँ $k$ एक शून्येतर पूर्णांक है।
अतः $|z|^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = 0^2 + (7\alpha + 2\beta)^2$.
$\alpha = 7k$ और $\beta = 2k$ रखने पर:
$|z|^2 = (7(7k) + 2(2k))^2 = (49k + 4k)^2 = (53k)^2 = 2809k^2$.
न्यूनतम शून्येतर मान के लिए,$k = 1$ लेने पर:
$|z|^2 = 2809(1)^2 = 2809$.

(C) माना $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ को पूर्णतः वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2i \cos \theta)$ से गुणा करते हैं:
$Z = \frac{(1+i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}{(1-2i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}$
$Z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$Z = \frac{(1 - 2 \cos^2 \theta) + i(3 \cos \theta)}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$Z$ के पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Im}(Z) = \frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos \theta = 0$.
यदि $\cos \theta = 0$ है,तो $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos^3 \theta + \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 = (0)^3 + 1 + 0 + 1 = 2$.

(B) दिया गया है $x+iy=\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|x+iy| = \left|\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}\right|$.
$|x+iy| = \sqrt{\left|\frac{3+i}{1+3i}\right|}$.
चूंकि $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$,हमें प्राप्त होता है $|x+iy| = \sqrt{\frac{|3+i|}{|1+3i|}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+3^2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} = \sqrt{1} = 1$.
हम जानते हैं कि $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,इसलिए $\sqrt{x^2+y^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+y^2 = 1$.
अतः,$\left(x^2+y^2\right)^2 = 1^2 = 1$.

(C) माना $Z = \sqrt{-5-12 i} + \sqrt{7+24 i}$.
हम सूत्र $\sqrt{a+ib} = \pm \left( \sqrt{\frac{|Z|+a}{2}} + i \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{|Z|-a}{2}} \right)$ का उपयोग करते हैं।
$\sqrt{-5-12 i}$ के लिए,$|Z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$। अतः,$\sqrt{-5-12 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13-5}{2}} - i \sqrt{\frac{13+5}{2}} \right) = \pm(2-3i)$।
$\sqrt{7+24 i}$ के लिए,$|Z| = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$। अतः,$\sqrt{7+24 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{25+7}{2}} + i \sqrt{\frac{25-7}{2}} \right) = \pm(4+3i)$।
दिया गया है $Z = \pm(2-3i) \pm(4+3i)$।
$Z$ के संभावित मान $(2-3i) + (4+3i) = 6$,$(2-3i) - (4+3i) = -2-6i$,$-(2-3i) + (4+3i) = 2+6i$,और $-(2-3i) - (4+3i) = -6$ हैं।
चूंकि $k$ एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए $k = -6$।

(C) माना $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ है।
$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$ है,इसलिए:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$\text{Re}(z) = 0$:
$\frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रतिबंध $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ तब संभव है जब त्रिभुज असमिका समानता में बदल जाए।
यह तभी होता है जब सम्मिश्र तल में $Z_1$ और $Z_2$ को दर्शाने वाले सदिश एक ही दिशा में हों।
इसलिए,$Z_1$ और $Z_2$ के कोणांक (amplitudes) समान होने चाहिए,अर्थात $\text{arg}(Z_1) = \text{arg}(Z_2)$।
अतः,उनके कोणांकों का अंतर $\text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2) = 0$ है।

(D) माना $Z = \sin \frac{6 \pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6 \pi}{5})$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ और $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \frac{3\pi}{5}$:
$Z = 2\sin \frac{3\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} + i(2\cos^2 \frac{3\pi}{5})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i\cos \frac{3\pi}{5})$
चूँकि $\frac{3\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{10}$,इसलिए $\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10}$ और $\cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{10}$ है।
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos \frac{\pi}{10} - i\sin \frac{\pi}{10})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos(-\frac{\pi}{10}) + i\sin(-\frac{\pi}{10}))$
चूँकि $\cos \frac{3\pi}{5} < 0$ है,इसलिए कोणांक (argument) $\pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ होगा।

(A) माना $z = x+iy$. दिया गया व्यंजक $\frac{(x-2)+i(y-1)}{(x+1)+i(y-2)}$ है।
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,अंश और हर के संयुग्मी के गुणनफल का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{[(x-2)+i(y-1)][(x+1)-i(y-2)]}{(x+1)^2+(y-2)^2}$.
काल्पनिक भाग: $(x+1)(y-1) - (x-2)(y-2) = 0$.
विस्तार करने पर: $(xy - x + y - 1) - (xy - 2x - 2y + 4) = 0$.
$xy - x + y - 1 - xy + 2x + 2y - 4 = 0$.
$x + 3y - 5 = 0$.
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $z \neq -(1-2i)$,जिसका अर्थ है $x \neq -1$ और $y \neq 2$.
अतः,बिंदुपथ रेखा $x+3y-5=0$ है,जिसमें बिंदु $(-1,2)$ शामिल नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण $z^2-i=0$ के लिए,$z^2=i$ है।
$i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर,$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = e^{i\frac{\pi}{2}}$।
मूल $z = \pm e^{i\frac{\pi}{4}}$ हैं।
अतः,मूल $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ और $z_2 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} = e^{i\frac{5\pi}{4}}$ हैं।
माना $\alpha = e^{i\frac{\pi}{4}}$ और $\beta = e^{i\frac{5\pi}{4}}$।
तब $\operatorname{Arg} \alpha = \frac{\pi}{4}$ और $\operatorname{Arg} \beta = \frac{5\pi}{4}$।
इसलिए,$|\operatorname{Arg} \beta - \operatorname{Arg} \alpha| = |\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = |\pi| = \pi$।

(A) माना $Z = \frac{(1+i)^{2025}}{(1-i)^{2022}}$.
हम जानते हैं कि $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \frac{(\sqrt{2} e^{i\pi/4})^{2025}}{(\sqrt{2} e^{-i\pi/4})^{2022}}$
$Z = \frac{(\sqrt{2})^{2025} e^{i(2025\pi/4)}}{(\sqrt{2})^{2022} e^{-i(2022\pi/4)}}$
$Z = (\sqrt{2})^3 e^{i(2025\pi/4 + 2022\pi/4)}$
$Z = 2\sqrt{2} e^{i(4047\pi/4)}$
चूंकि $4047\pi/4 = 1011\pi + 3\pi/4$,मुख्य कोणांक $\operatorname{Arg}(Z) = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$ है।

(C) मूल बिंदु पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$।

(A) माना कि समतल का समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, -1, 3)$ है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश होगा,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z = D$ के रूप में होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -1, 3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(B) माना $y = \frac{x+3}{(x-1)(x+2)}$.
$(x-1)(x+2)y = x+3$
$y(x^2+x-2) = x+3$
$yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$.
चूंकि $x \in R$,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$:
$(y-1)^2 + 4y(2y+3) \geq 0$
$y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y \geq 0$
$9y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$(9y+1)(y+1) \geq 0$.
हल $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ है।
अतः,परिसर $R - (-1, -\frac{1}{9})$ है।
$R - (\alpha, \beta)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = -\frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ है,अर्थात $x + \frac{1}{9}y = 1$.
इसे $\frac{x}{1} + \frac{y}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंतःखंड $1$ और $9$ हैं।
अंतःखंडों का योग $1 + 9 = 10$ है।

(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
यह एक रीमैन योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\log L = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लेने पर:
$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2x + 2 \tan^{-1} x$.
$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:
$\log L = [1 \cdot \log(2) - 2(1) + 2 \tan^{-1}(1)] - [0 - 0 + 0] = \log 2 - 2 + 2(\frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
$\log L = \log 2 + \frac{\pi-4}{2} = \log 2 + \log e^{\frac{\pi-4}{2}} = \log \left(2 e^{\frac{\pi-4}{2}}\right)$.
अतः,$L = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

(D) दिया गया वक्र $y = 2 - x - 3x^2$ है। क्षेत्र $X$-अक्ष $(y = 0)$,$Y$-अक्ष $(x = 0)$ और रेखा $x = -2$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$y = 0$ रखकर वक्र के शून्यक ज्ञात करें:
$2 - x - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 + x - 2 = 0 \implies (3x - 2)(x + 1) = 0$.
शून्यक $x = -1$ और $x = 2/3$ हैं।
$x \in [-2, -1]$ के लिए,$y = 2 - x - 3x^2$ ऋणात्मक है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$y = 2 - x - 3x^2$ धनात्मक है।
कुल क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{-1} -(2 - x - 3x^2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= \int_{-2}^{-1} (3x^2 + x - 2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= [x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} + [2x - \frac{x^2}{2} - x^3]_{-1}^{0}$
$= [(-1 + 0.5 + 2) - (-8 + 2 + 4)] + [(0) - (-2 - 0.5 + 1)]$
$= [1.5 - (-2)] + [0 - (-1.5)]$
$= 3.5 + 1.5 = 5$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ समाकल $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन $f(x) = |\sin 2x|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $[0, 2\pi]$ पर क्षेत्रफल में $4$ समान भाग (humps) होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $\frac{\pi}{2}$ लंबाई के अंतराल पर है।
अतः,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
अतः,क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) वक्र $y=2x-x^2$ और रेखा $y=-x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$2x-x^2 = -x$ रखकर।
$2x-x^2+x = 0$
$3x-x^2 = 0$
$x(3-x) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=3$ हैं।
अंतराल $[0, 3]$ में,वक्र $y=2x-x^2$ रेखा $y=-x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_0^3 ((2x-x^2) - (-x)) dx$
$= \int_0^3 (3x-x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{27}{2} - \frac{27}{3}$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
अब,$A+B$ की गणना करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & -1+4 \\ -1+2 & 0+2 & 2-1 \\ 1-2 & 2+0 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $A^2 = A+B$.

(A) दिया गया समीकरण: $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ... $(i)$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $I+P+P^2+\ldots+P^{n-1} = -P^n$ ... $(ii)$
अब,समीकरण $(i)$ को बाईं ओर से $P^{-1}$ से गुणा करने पर:
$P^{-1}(I+P+P^2+\ldots+P^{n}) = P^{-1}(0)$
$P^{-1}I + P^{-1}P + P^{-1}P^2 + \ldots + P^{-1}P^n = 0$
$P^{-1} + I + P + \ldots + P^{n-1} = 0$
समीकरण $(ii)$ से,हम जानते हैं कि $I+P+\ldots+P^{n-1} = -P^n$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P^{-1} + (-P^n) = 0$
अतः,$P^{-1} = P^n$.

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{bmatrix}$.
चूँकि $AB$ एक अदिश आव्यूह है,$c = 0$ और $2a+3b = 0$,और $a = 2c+3d = 3d$.
अतः,$a = 3d$ और $b = -\frac{2}{3}a = -2d$.
इसलिए,$A = \begin{bmatrix} 3d & -2d \\ 0 & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $\det(3A) = 27$,इसलिए $3^2 \det(A) = 27$,जिसका अर्थ है $\det(A) = 3$.
$\det(A) = (3d)(d) - 0 = 3d^2 = 3$,जिसका अर्थ है $d^2 = 1$. $d=1$ लेने पर,हमें $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
तब $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$3A^{-1} + A^2 = 3 \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} b & a & 0 \\ c & 0 & b \\ a & a & b \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ b & 0 & c \\ b & a & a \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन $AB$ करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} ab & ab & b^2+ac \\ b^2 & ac+ab & bc+ab \\ ab+b^2 & a^2+ab & 2ab+ac \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 6 & 10 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर,$b^2 = 1$,$ab = 2$,और $b^2+ac = 7$.
चूंकि $b^2=1$,इसलिए $1+ac=7 \implies ac=6$.
यदि $b=1$ है तो $a=2$ और $c=3$ होगा। यदि $b=-1$ है तो $a=-2$ और $c=-3$ होगा।
दोनों स्थितियों में,$a^2+b^2+c^2 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 + (\pm 3)^2 = 4+1+9 = 14$.

(B) आव्यूह $A$ के सममित होने के लिए,$A = A^T$,जिसका अर्थ है $a=b$,$c=d$,और $3=3$। अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ a & 2 & c \\ 3 & c & 4 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $B$ के विषम-सममित होने के लिए,$B = -B^T$,जिसका अर्थ है कि विकर्ण अवयव $0$ हैं। $B_{13} = -B_{31}$ से,हमें $b = -6$ प्राप्त होता है। $B_{23} = -B_{32}$ से,हमें $-7 = -c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 7$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = b = -6$ और $d = c = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & 26 & 36 \\ 32 & 19 & 22 \\ -11 & 43 & -67 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = 0$,इसलिए $n \geq 2$ के लिए सभी उच्च घातें $A^n = 0$ होंगी।
दिया गया है $f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2023}$,इसलिए $f(A) = A + A^2 + A^3 + \ldots + A^{2023}$.
$n \geq 2$ के लिए $A^n = 0$ रखने पर,हमें $f(A) = A + 0 + 0 + \ldots + 0 = A$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(A) + I = A + I$.
$f(A) + I = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
समीकरण $\alpha A^2 - \beta A = 2I$ में $A^2$ और $A$ का मान रखने पर:
$\alpha \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix} - \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इससे हमें आव्यूह समीकरण प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 7\alpha - \beta & 12\alpha - 2\beta \\ 18\alpha - 3\beta & 31\alpha - 5\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
तत्वों की तुलना करने पर:
$7\alpha - \beta = 2$ $(i)$
$12\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow 6\alpha - \beta = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ घटाने पर $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 2$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$6(2) - \beta = 0 \Rightarrow \beta = 12$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha^2 + \beta = (2)^2 + 12 = 4 + 12 = 16$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $P$ के लिए,उसके परिवर्त आव्यूह का ट्रेस स्वयं आव्यूह के ट्रेस के बराबर होता है,अर्थात $\operatorname{Tr}(P) = \operatorname{Tr}(P^T)$।
साथ ही,$\operatorname{Tr}(P - P^T) = \operatorname{Tr}(P) - \operatorname{Tr}(P^T) = 0$ और $\operatorname{Tr}(P + P^T) = \operatorname{Tr}(P) + \operatorname{Tr}(P^T) = 2\operatorname{Tr}(P)$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$0 + 2\operatorname{Tr}(P) + \frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} + \operatorname{Tr}(P) \times \operatorname{Tr}(P) = 0$
चूंकि $\operatorname{Tr}(P) \neq 0$,इसलिए $\frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} = 1$।
अतः,समीकरण इस प्रकार बनता है: $2\operatorname{Tr}(P) + 1 + (\operatorname{Tr}(P))^2 = 0$।
यह $\operatorname{Tr}(P)$ के संदर्भ में एक द्विघात समीकरण है:
$(\operatorname{Tr}(P))^2 + 2\operatorname{Tr}(P) + 1 = 0$
$(\operatorname{Tr}(P) + 1)^2 = 0$
$\operatorname{Tr}(P) = -1$।

(A) दिया गया समीकरण: $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$
गुणधर्म $(X+Y)^T = X^T + Y^T$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(AB)^T + (BA)^T + (AB)^T - (BA)^T = 2BA$
$2(AB)^T = 2BA$
$(AB)^T = BA$
$B^T A^T = BA$
यदि $A$ और $B$ सममित हैं,तो $A^T = A$ और $B^T = B$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BA = BA$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
यदि $A$ और $B$ विषम-सममित हैं,तो $A^T = -A$ और $B^T = -B$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-B)(-A) = BA$ प्राप्त होता है,अर्थात $BA = BA$,जो भी सत्य है।
अतः,यह शर्त तब लागू होती है जब $A$ और $B$ दोनों सममित हों या दोनों विषम-सममित हों।

(D) दिए गए आव्यूह: $P_{2 \times 3}$,$X_{4 \times 3}$,$Y_{4 \times 3}$ हैं।
$X^T$ की कोटि $3 \times 4$ है।
$P^T$ की कोटि $3 \times 2$ है।
$X^T Y$ की कोटि $(3 \times 4) \times (4 \times 3) = 3 \times 3$ है।
$(X^T Y)^{-1}$ की कोटि $3 \times 3$ है।
$P(X^T Y)^{-1}$ की कोटि $(2 \times 3) \times (3 \times 3) = 2 \times 3$ है।
$P(X^T Y)^{-1} P^T$ की कोटि $(2 \times 3) \times (3 \times 2) = 2 \times 2$ है।
अंत में,$2 \times 2$ आव्यूह का परिवर्त (transpose) भी $2 \times 2$ ही रहता है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$ है।
यदि व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ का अस्तित्व है,तो हम गुणधर्म $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ का उपयोग करते हैं।
इस समीकरण में $A^T = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(A^{-1})^T = (A)^{-1} = A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{-1}$ का परिवर्त आव्यूह स्वयं $A^{-1}$ के बराबर है,इसलिए यदि $A^{-1}$ का अस्तित्व है,तो यह एक सममित आव्यूह है।

(B) $\{-1, 0, 1\}$ से प्रविष्टियों वाले $3 \times 3$ आव्यूहों की कुल संख्या $3^9 = 19683$ है। चूंकि हम केवल शून्येतर आव्यूहों पर विचार कर रहे हैं,इसलिए कुल संभावित आव्यूहों की संख्या $3^9 - 1 = 19682$ है।
एक विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए $A^T = -A$ होता है। $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,इसका अर्थ है कि विकर्ण के अवयव $0$ होने चाहिए। आव्यूह का रूप इस प्रकार है:
$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$
अवयव $a, b, c$ में से प्रत्येक को $\{-1, 0, 1\}$ से चुना जा सकता है। अतः,ऐसे $3^3 = 27$ आव्यूह हैं।
शून्य आव्यूह को छोड़कर (जहाँ $a=b=c=0$),शून्येतर विषम-सममित आव्यूहों की संख्या $27 - 1 = 26$ है।
प्रायिकता $\frac{26}{19682} = \frac{1}{757}$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 5 & 2 \\ 2 & -k & 5 \\ 5 & 2 & -k \end{bmatrix}$ और $\det A = 190$.
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det A = k(k^2 - 10) - 5(-2k - 25) + 2(4 + 5k) = 190$
$k^3 - 10k + 10k + 125 + 8 + 10k = 190$
$k^3 + 10k - 57 = 0$
मानों का परीक्षण करने पर,$k=3$ के लिए: $27 + 30 - 57 = 0$. अतः,$k=3$.
$k=3$ प्रतिस्थापित करने पर,$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
सहखंडज आव्यूह $C$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = ((-3)(-3) - (5)(2)) = 9 - 10 = -1$
$C_{12} = -((2)(-3) - (5)(5)) = -(-6 - 25) = 31$
$C_{13} = ((2)(2) - (-3)(5)) = 4 + 15 = 19$
$C_{21} = -((5)(-3) - (2)(2)) = -(-15 - 4) = 19$
$C_{22} = ((3)(-3) - (2)(5)) = -9 - 10 = -19$
$C_{23} = -((3)(2) - (5)(5)) = -(6 - 25) = 19$
$C_{31} = ((5)(5) - (-3)(2)) = 25 + 6 = 31$
$C_{32} = -((3)(5) - (2)(2)) = -(15 - 4) = -11$
$C_{33} = ((3)(-3) - (5)(2)) = -9 - 10 = -19$
एडजॉइंट आव्यूह,सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 19 & 31 \\ 31 & -19 & -11 \\ 19 & 19 & -19 \end{bmatrix}$.

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $A$ कोटि $n=3$ का एक वर्ग आव्यूह है।
सबसे पहले,आव्यूह $M = A^2$ पर विचार करें। $M$ की कोटि $3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ होगा।
अब,हमें $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $K = \operatorname{adj} A^2$ है। तो $|K| = |A|^4$ होगा।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ होगा।
$|K| = |A|^4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके सहखंड (cofactor) आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,$\text{adj}(A) = [C_{ij}]^T$।
सहखंडों की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$।
दिए गए आव्यूह के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m+n = 4+1 = 5$।

(B) दिया गया है कि $(A-2I)(A-3I) = O$.
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 3A - 2A + 6I^2 = O$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $A^2 - 5A + 6I = O$ प्राप्त होता है।
$I$ को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$6I = 5A - A^2$ प्राप्त होता है।
$A$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$6I = A(5I - A)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर,$6A^{-1} = 5I - A$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $A^{-1} = \frac{5I - A}{6}$।
अब,इस मान को $\frac{1}{5}A + \frac{6}{5}A^{-1}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{5}A + \frac{6}{5} \left( \frac{5I - A}{6} \right) = \frac{1}{5}A + \frac{5I - A}{5} = \frac{1}{5}A + I - \frac{1}{5}A = I$.

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = -1(5 - 8) - (-3)(0 - 6) + (-2)(0 - 3) = -1(-3) + 3(-6) - 2(-3) = 3 - 18 + 6 = -9$.
इसके बाद,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(5 - 8) = -3$,$C_{12} = -(0 - 6) = 6$,$C_{13} = +(0 - 3) = -3$.
$C_{21} = -(-15 - (-8)) = -(-7) = 7$,$C_{22} = +(-5 - (-6)) = 1$,$C_{23} = -(-4 - (-9)) = -5$.
$C_{31} = +(-6 - (-2)) = -4$,$C_{32} = -(-2 - 0) = 2$,$C_{33} = +(-1 - 0) = -1$.
एडजॉइंट आव्यूह,सहखंड आव्यूह का परिवर्त आव्यूह होता है:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & -7/9 & 4/9 \\ -6/9 & -1/9 & -2/9 \\ 3/9 & 5/9 & 1/9 \end{bmatrix}$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,हमें $a_1 = 1/3$,$c_2 = 5/9$,और $b_3 = -2/9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a_1 + c_2 + b_3 = \frac{3}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

(D) दिया गया है $\operatorname{det}(A^2) = 25$।
गुणधर्म $\operatorname{det}(A^n) = (\operatorname{det}(A))^n$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\operatorname{det}(A))^2 = 25$ है।
अब,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$।
चूंकि यह एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(25\alpha)^2 = 25$।
$625\alpha^2 = 25$।
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$।

(D) सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{3} & 2 \sqrt{5} & \sqrt{5} \\ \sqrt{15} & 5 & \sqrt{10} \\ 3 & \sqrt{15} & 5\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \sqrt{3}(5 \times 5 - \sqrt{15} \times \sqrt{10}) - 2\sqrt{5}(\sqrt{15} \times 5 - 3 \times \sqrt{10}) + \sqrt{5}(\sqrt{15} \times \sqrt{15} - 3 \times 5)$
$\Delta = \sqrt{3}(25 - \sqrt{150}) - 2\sqrt{5}(5\sqrt{15} - 3\sqrt{10}) + \sqrt{5}(15 - 15)$
चूंकि $\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$,इसलिए:
$\Delta = \sqrt{3}(25 - 5\sqrt{6}) - 2\sqrt{5}(5\sqrt{15} - 3\sqrt{10}) + 0$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 5\sqrt{18} - 10\sqrt{75} + 6\sqrt{50}$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 5(3\sqrt{2}) - 10(5\sqrt{3}) + 6(5\sqrt{2})$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 15\sqrt{2} - 50\sqrt{3} + 30\sqrt{2}$
$\Delta = 15\sqrt{2} - 25\sqrt{3}$

(D) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
सारणिक में $\omega$ के घातों को सरल करने पर:
$\omega^9 = 1, \omega^{27} = 1, \omega^{31} = \omega, \omega^{17} = \omega^2, \omega^{30} = 1, \omega^{41} = \omega^2, \omega^{19} = \omega$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\omega+\omega^2 & \omega^2+1 & 1+\omega \\ 1+\omega & \omega+\omega^2 & \omega^2+1 \\ 1+\omega^2 & \omega^2+\omega & \omega+1\end{array}\right|$
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $\omega+\omega^2 = -1$,$\omega^2+1 = -\omega$,और $1+\omega = -\omega^2$ होता है।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -\omega & -\omega^2 \\ -\omega^2 & -1 & -\omega \\ -\omega & -\omega^2 & -1\end{array}\right|$
प्रत्येक पंक्ति से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega^2 & 1 & \omega \\ \omega & \omega^2 & 1\end{array}\right| = 0$।

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & (x+1) - x \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x - x(x-1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ को सरल करने पर:
$(x+1) - x = 1$.
$(x+1)x - x(x-1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x$.
$(x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) = x(x-1) [ (x+1) - (x-2) ] = x(x-1) [ 3 ] = 3x(x-1)$.
अतः,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2x & x(x-1) & 2x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & 3x(x-1) \end{array} \right|$.
यहाँ स्तंभ $C_1$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(100) = 0$।

(D) हम दोनों सारणिकों का मान अलग-अलग ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $D_1 = \left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right| = 3abc - a^3 - b^3 - c^3$ का उपयोग करते हुए:
$D_1 = 3(2)(3)(5) - 2^3 - 3^3 - 5^3$
$D_1 = 90 - 8 - 27 - 125 = -70$.
अब,सारणिक $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|$ पर विचार करें।
यह वेंडरमोंड सारणिक है जिसका रूप $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)$ है,जहाँ $a=7, b=11, c=13$ है।
$D_2 = (7-11)(11-13)(13-7)$
$D_2 = (-4)(-2)(6) = 48$.
अभीष्ट योग $D_1 + D_2 = -70 + 48 = -22$ है।

(A) समीकरणों की दी गई प्रणाली है:
$x + ky + 3z = -2$
$4x + 3y + kz = 14$
$2x + y + 2z = 3$
मैट्रिक्स व्युत्क्रम विधि द्वारा हल करने के लिए,गुणांक मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम मौजूद होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सारणिक $|A|$ शून्य नहीं होना चाहिए $(|A| \neq 0)$।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 4 & 3 & k \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(3 \times 2 - k \times 1) - k(4 \times 2 - k \times 2) + 3(4 \times 1 - 3 \times 2)$
$|A| = 1(6 - k) - k(8 - 2k) + 3(4 - 6)$
$|A| = 6 - k - 8k + 2k^2 - 6$
$|A| = 2k^2 - 9k$
चूंकि $|A| \neq 0$:
$2k^2 - 9k \neq 0$
$k(2k - 9) \neq 0$
अतः,$k \neq 0$ और $k \neq \frac{9}{2}$।

(B) दिए गए समीकरणों की प्रणाली:
$3x - 2y + z = 5k$
$2x + 3y - 2z = -5k$
$x + 4y + 3z = k$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 3(9 + 8) + 2(6 + 2) + 1(8 - 3) = 3(17) + 2(8) + 1(5) = 51 + 16 + 5 = 72$.
अब,क्रेमर के नियम का उपयोग करके $D_3$ ज्ञात करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5k \\ 2 & 3 & -5k \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = k [3(3 + 20) + 2(2 + 5) + 5(8 - 3)] = k [3(23) + 2(7) + 5(5)] = k [69 + 14 + 25] = 108k$.
चूंकि $z = \frac{D_3}{D} = 3$,इसलिए:
$\frac{108k}{72} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3$
$3k = 6$
$k = 2$.

(D) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय:
$2x-3y+5z=12$ $(1)$
$5x+2y+3z=11$ $(2)$
$x+2y-3z=-3$ $(3)$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-6) + 3(-15-3) + 5(10-2) = 2(-12) + 3(-18) + 5(8) = -24 - 54 + 40 = -38$.
अब,क्रेमर के नियम का उपयोग करके $D_1, D_2, D_3$ ज्ञात करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} 12 & -3 & 5 \\ 11 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 12(-6-6) + 3(-33+9) + 5(22+6) = 12(-12) + 3(-24) + 5(28) = -144 - 72 + 140 = -76$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 12 & 5 \\ 5 & 11 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = 2(-33+9) - 12(-15-3) + 5(-15-11) = 2(-24) - 12(-18) + 5(-26) = -48 + 216 - 130 = 38$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 12 \\ 5 & 2 & 11 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-22) + 3(-15-11) + 12(10-2) = 2(-28) + 3(-26) + 12(8) = -56 - 78 + 96 = -38$.
$\alpha, \beta, \gamma$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{D_1}{D} = \frac{-76}{-38} = 2$.
$\beta = \frac{D_2}{D} = \frac{38}{-38} = -1$.
$\gamma = \frac{D_3}{D} = \frac{-38}{-38} = 1$.
अंत में,$2\alpha + 5\beta + 3\gamma$ का मान ज्ञात करें:
$2(2) + 5(-1) + 3(1) = 4 - 5 + 3 = 2$.

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+y+z=5$
$x+2y+2z=6$
$x+3y+\lambda z=\mu$
यह निकाय मैट्रिक्स इन्वर्जन विधि द्वारा तभी हल किया जा सकता है जब गुणांक मैट्रिक्स $A$ का सारणिक शून्य न हो $(|A| \neq 0)$।
गुणांक मैट्रिक्स $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 2) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 6 - \lambda + 2 + 1$
$|A| = \lambda - 3$
मैट्रिक्स इन्वर्जन विधि द्वारा हल करने के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda - 3 \neq 0$,या $\lambda \neq 3$।
चूंकि $\lambda \neq 3$ के लिए मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible) है,इसलिए $\mu \in R$ के किसी भी मान के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $\lambda \neq 3, \mu \in R$ है।

(C) $\sin^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
दिए गए फलन के लिए,$-1 \leq \log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) \leq 1$ होना चाहिए।
आधार $2$ का घातांक लेने पर,$2^{-1} \leq \frac{x^2}{2} \leq 2^1$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{2} \leq \frac{x^2}{2} \leq 2$ हो जाता है।
$2$ से गुणा करने पर,$1 \leq x^2 \leq 4$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का संतुष्ट होना आवश्यक है:
$1$. अंश में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $\log_{10}\left(\frac{x}{x-2}\right) \geq 0$.
इसका अर्थ है $\frac{x}{x-2} \geq 10^0$,अतः $\frac{x}{x-2} \geq 1$.
$\frac{x}{x-2} - 1 \geq 0$ $\Rightarrow \frac{x - (x-2)}{x-2} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{2}{x-2} > 0$.
यह तब सत्य है जब $x-2 > 0$,अर्थात $x > 2$.
$2$. हर में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $[x]^2 - 5[x] + 6 > 0$.
$([x]-2)([x]-3) > 0$.
इसका अर्थ है $[x] < 2$ या $[x] > 3$.
यदि $[x] < 2$,तो $x < 2$. यदि $[x] > 3$,तो $x \geq 4$.
$3$. शर्तों $x > 2$ और ($x < 2$ या $x \geq 4$) को मिलाने पर,हमें $x \in [4, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-x}{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
अंश $\sqrt{|x|-x}$ को परिभाषित होने के लिए,$|x|-x \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|x| \geq x$। यह सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
हर $\sqrt{x-[x]}$ को परिभाषित और शून्यतर होने के लिए,$x-[x] > 0$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $x-[x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ संख्या $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
प्रतिबंध $\{x\} > 0$ सभी $x \notin Z$ (पूर्णांकों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं) के लिए सत्य है।
यदि $x \in Z$ है,तो $\{x\} = 0$ होता है,जिससे हर शून्य हो जाता है और फलन अपरिभाषित हो जाता है।
अतः,फलन का प्रांत $R-Z$ है।

(A) संयोजन ${ }^{n} C_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,$n \geq r \geq 0$ और $n, r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ होना चाहिए।
यहाँ,$n = 16-x$ और $r = 2x-1$ है।
$1$) $r \geq 0 \implies 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$।
$2$) $n \geq r \implies 16-x \geq 2x-1 \implies 17 \geq 3x \implies x \leq \frac{17}{3} \approx 5.66$।
$3$) $n \geq 0 \implies 16-x \geq 0 \implies x \leq 16$।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} \leq x \leq 5.66$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ और $r$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $x$ एक ऐसा पूर्णांक होना चाहिए कि $2x-1$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो और $16-x \geq 2x-1$ हो।
अंतराल $[0.5, 5.66]$ में $x$ के संभावित पूर्णांक मान $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।

(B) हमें $f(x) = 8$ दिया गया है।
स्थिति $1$: $x < 2$ के लिए,$f(x) = x^2 - 4x + 3$ है।
$x^2 - 4x + 3 = 8$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(x - 5)(x + 1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 5$ या $x = -1$ है।
चूंकि शर्त $x < 2$ है,इसलिए केवल $x = -1$ एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: $x \geq 2$ के लिए,$f(x) = x - 3$ है।
$x - 3 = 8$ रखने पर,हमें $x = 11$ प्राप्त होता है।
चूंकि $11 \geq 2$ है,यह एक मान्य हल है।
अतः,हल $x = -1$ और $x = 11$ हैं।
इसलिए $f(x) = 8$ के लिए वास्तविक संख्याओं $x$ की कुल संख्या $2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ प्रांत $[2, \infty)$ पर परिभाषित है।
पूर्ण वर्ग बनाकर इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $(x - 2)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब $x = 2$ हो)।
जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$,$(x - 2)^2 \rightarrow \infty$ होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0 + 1, \infty) = [1, \infty)$ है।

(B) माना $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$ है।
चूंकि $(x^2 - 1)^2 \geq 0$,$g(x)$ का न्यूनतम मान $2$ ($x^2 = 1$ पर) है और अधिकतम मान $\infty$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है।
अब,$f(x) = \log_{0.5}(g(x)) = \log_{1/2}(g(x)) = -\log_2(g(x))$ है।
चूंकि $g(x) \in [2, \infty)$,इसलिए $\log_2(g(x)) \in [\log_2 2, \log_2 \infty) = [1, \infty)$ होगा।
$-1$ से गुणा करने पर,$-\log_2(g(x)) \in (-\infty, -1]$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1]$ है।

(B) माना $g(x) = -x^2-6x-5$। यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
$g(x)$ का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$ है।
अधिकतम मान $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $(-\infty, 4]$ है।
चूँकि फलन $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ है,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $g(x) \in [0, 4]$।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) \in [-2, 0]$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$|x| = x$ होता है,इसलिए हर $x - |x| = 0$ हो जाता है। अतः,$x \geq 0$ के लिए फलन अपरिभाषित है।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$ होता है,इसलिए हर $x - (-x) = 2x$ हो जाता है।
इसलिए,$x < 0$ के लिए $f(x) = \frac{1}{2x}$ है।
जैसे-जैसे $x$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है,$2x$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है।
परिणामस्वरूप,$\frac{1}{2x}$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है।
अतः,फलन का परिसर $(-\infty, 0)$ है।

(B) परिसर ज्ञात करने के लिए,हम तीन अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x < -1$ के लिए,$f(x) = 2x - 3$। जैसे $x \to -1^-$,$f(x) \to 2(-1) - 3 = -5$। चूंकि $x < -1$,$f(x) < -5$। अतः,इस भाग के लिए परिसर $(-\infty, -5)$ है।
$2$. $-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(x) = 1 - x^2$। न्यूनतम मान $x = -1$ या $x = 1$ पर है,जो $1 - (1)^2 = 0$ है। अधिकतम मान $x = 0$ पर है,जो $1 - 0 = 1$ है। अतः,इस भाग के लिए परिसर $[0, 1]$ है।
$3$. $x > 1$ के लिए,$f(x) = 3x^2 + 2$। जैसे $x \to 1^+$,$f(x) \to 3(1)^2 + 2 = 5$। चूंकि $x > 1$,$f(x) > 5$। अतः,इस भाग के लिए परिसर $(5, \infty)$ है।
इन सबको मिलाने पर,कुल परिसर $(-\infty, -5) \cup [0, 1] \cup (5, \infty)$ है।

(D) एक फलन एकैकी-आच्छादक होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
$(a)$ $f(x) = \sqrt{\{x\}}$। $\{x\}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए $f(0.1) = f(1.1)$,अतः यह बहु-एक (many-one) है।
$(b)$ $f(x) = 1-(x-2)^2$। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जो बहु-एक है।
$(c)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-5}}$। इसका परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R \setminus \{0\}$ के बराबर नहीं है,अतः यह अंतःक्षेपी (into) है।
$(d)$ $f(x) = \sqrt{16-x^2}$। $x \in [0,4]$ के लिए,$f(x)$ का मान $4$ से $0$ तक निरंतर घटता है। अतः यह एकैकी और आच्छादक है।

(C) दिया गया है $f(x) = -|x|$.
सबसे पहले,हम $(f \circ f \circ f)(x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$f(f(f(x))) = f(f(-|x|)) = f(-|-|x||) = f(-|x|) = -|-|x|| = -|x| = f(x)$.
अतः,$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$.
इसी प्रकार,$(f \circ f \circ f)(-x) = f(-x)$.
इसलिए,$(f \circ f \circ f)(x) + (f \circ f \circ f)(-x) = f(x) + f(-x)$.
चूंकि $f(x) = -|x|$,इसलिए $f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x)$.
अतः,$f(x) + f(-x) = f(x) + f(x) = 2f(x)$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = 3x-2$ और $g(x) = x^2+2$.
हमें $(g \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 2 = (3x-2)^2 + 2 = 9x^2 - 12x + 4 + 2 = 9x^2 - 12x + 6$.
इसके बाद,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(g(x)) - 2 = 3(x^2+2) - 2 = 3x^2 + 6 - 2 = 3x^2 + 4$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$(g \circ f + f \circ g)(x) = (9x^2 - 12x + 6) + (3x^2 + 4) = 12x^2 - 12x + 10$.
अब,$f(x)$ और $g(x)$ के मान रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
$12g(x) - 4f(x) - 22 = 12(x^2+2) - 4(3x-2) - 22 = 12x^2 + 24 - 12x + 8 - 22 = 12x^2 - 12x + 10$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है।
एकैकी की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।
चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$,इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \geq 2 - 1 = 1 > 0$ होता है।
सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच करने के लिए,हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$।
चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,इसका परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।
इसलिए,$f(x)$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(D) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x < -2 \\ x^2-1, & -2 \leq x \leq 2 \\ 3x+2, & x > 2 \end{cases}$.
$1$. एकैकी (Injectivity) की जाँच:
एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।
अंतराल $[-2, 2]$ पर विचार करें,जहाँ $f(x) = x^2 - 1$ है।
हम देखते हैं कि $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ और $f(1) = (1)^2 - 1 = 0$ है।
चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक (Surjectivity) की जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(R)$ के बराबर हो।
- $x < -2$ के लिए,$f(x) < 2(-2) - 3 = -7$। अतः,$f(x) \in (-\infty, -7)$।
- $-2 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = x^2 - 1$। न्यूनतम मान $-1$ (जब $x=0$) है और अधिकतम मान $f(-2) = f(2) = 3$ है। अतः,$f(x) \in [-1, 3]$।
- $x > 2$ के लिए,$f(x) > 3(2) + 2 = 8$। अतः,$f(x) \in (8, \infty)$।
$f$ का परिसर $(-\infty, -7) \cup [-1, 3] \cup (8, \infty)$ है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) समुच्चय $X$ सभी $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूहों से बना है। फलन $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(A) = \det(A) = ad - bc$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह जांचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है,दो अलग-अलग आव्यूह $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ लें।
यहाँ,$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ और $f(A_2) = (2)(0.5) - (0)(0) = 1$ है।
चूंकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 \neq A_2$ है,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
यह जांचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है,किसी भी वास्तविक संख्या $k \in \mathbb{R}$ के लिए,हम एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in X$ पा सकते हैं ताकि $f(A) = (k)(1) - (0)(0) = k$ हो।
चूंकि सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के प्रत्येक अवयव का $X$ में पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(C) फलन $f(x) = |x-1| + |x-2|$ के रूप में परिभाषित है।
हम विभिन्न अंतरालों में अवकलज $f^{\prime}(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x < 1$ के लिए,$f(x) = -(x-1) - (x-2) = -2x + 3$,इसलिए $f^{\prime}(x) = -2$ है।
चूंकि $-2023 < 1$,इसलिए $f^{\prime}(-2023) = -2$ है।
$2$. $1 < x < 2$ के लिए,$f(x) = (x-1) - (x-2) = 1$,इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ है।
चूंकि $1 < \frac{2024}{2023} < 2$,इसलिए $f^{\prime}\left(\frac{2024}{2023}\right) = 0$ है।
$3$. $x > 2$ के लिए,$f(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3$,इसलिए $f^{\prime}(x) = 2$ है।
चूंकि $2023 > 2$,इसलिए $f^{\prime}(2023) = 2$ है।
इन मानों का योग करने पर: $f^{\prime}(-2023) + f^{\prime}\left(\frac{2024}{2023}\right) + f^{\prime}(2023) = -2 + 0 + 2 = 0$।