TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$
$z\bar{z}$ સામાન્ય લેતા:
$z\bar{z}(\bar{z}^2 + z^2) = 350$
$z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી:
$|z|^2((x - iy)^2 + (x + iy)^2) = 350$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$|z|^2(x^2 - y^2 - 2xyi + x^2 - y^2 + 2xyi) = 350$
$|z|^2(2x^2 - 2y^2) = 350$
$2|z|^2(x^2 - y^2) = 350$
$|z|^2(x^2 - y^2) = 175$
$|z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 175$
$x^4 - y^4 = 175$
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસતા:
જો $x = 4, y = 3$ હોય,તો $4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175$
આમ,$|z|^2 = x^2 + y^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
તેથી,$|z| = \sqrt{25} = 5$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+i)^2 = 1+i^2+2i = 1-1+2i = 2i$.
તે જ રીતે,$(1-i)^2 = 1+i^2-2i = 1-1-2i = -2i$.
હવે,$(1+i)^{10} = ((1+i)^2)^5 = (2i)^5 = 2^5 \times i^5 = 32i$.
અને $(1-i)^{10} = ((1-i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \times i^5 = -32i$.
તેથી,$(1+i)^{10} + (1-i)^{10} = 32i + (-32i) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
આપણે ગુણાકાર $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n$ શોધવો છે.
$P = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ છે.
તેથી,$P = e^{i \pi (1)} = e^{i \pi}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ અને $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{9} = \frac{5 \pi}{18}$ મળે.
તેથી,$z = \frac{1+\cos \frac{5 \pi}{18}+i \sin \frac{5 \pi}{18}}{1+\cos \frac{5 \pi}{18}-i \sin \frac{5 \pi}{18}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} + i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}}{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} - i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}} = \frac{\cos \frac{5 \pi}{36} + i \sin \frac{5 \pi}{36}}{\cos \frac{5 \pi}{36} - i \sin \frac{5 \pi}{36}} = \frac{e^{i 5 \pi / 36}}{e^{-i 5 \pi / 36}} = e^{i 5 \pi / 18}$.
$z^n = 1$ આપેલ હોવાથી,$(e^{i 5 \pi / 18})^n = e^{i 5 n \pi / 18} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{5 n \pi}{18} = 2 k \pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$n = \frac{36 k}{5}$.
$n$ ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$k=5$ લેતા,$n = 36$ મળે.

(C) ધારો કે $Z = (\sqrt{3} - i)^{\frac{1}{6}}$,તેથી $Z^6 = \sqrt{3} - i$.
$\sqrt{3} - i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$Z^6 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}) \right) = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$.
વ્યાપક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$Z^6 = 2 \operatorname{cis}(2K\pi - \frac{\pi}{6})$ જ્યાં $K = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
$6^{th}$ મૂળ લેતા,$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{2K\pi - \frac{\pi}{6}}{6} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{K\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right)$.
$K = 5$ માટે:
$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{60\pi - \pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{59\pi}{36} \right)$.

(D) ધારો કે $Z = (\sqrt{3}-i)^{\frac{2}{5}}$.
પ્રથમ,$\sqrt{3}-i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
તેથી,$Z = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{2}{5}}(\cos(-\frac{\pi}{15}) + i \sin(-\frac{\pi}{15}))$.
વિકલ્પો તપાસતા,$2^{-\frac{3}{5}}(1+i\sqrt{3}) = 2^{-\frac{3}{5}} \cdot 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{\frac{2}{5}}(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ મળે છે.
આ અભિવ્યક્તિનું મુખ્ય મૂલ્ય છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$. અંશ અને છેદને $\sqrt{3}+i$ વડે ગુણતા,આપણને $z = \frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{2+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ મળે છે.
તેથી આપેલ પદાવલિ $z^4 + (\bar{z})^4 = \operatorname{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \operatorname{cis}\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \times \frac{1}{2} = -1$ થાય.
આમ,$r \operatorname{cis} \theta = -1 = 1 \cdot \operatorname{cis}(\pi)$.
આપણે $\sqrt{r \operatorname{cis} \theta} = \sqrt{-1} = \sqrt{\operatorname{cis}(\pi)}$ શોધવાનું છે.
$\operatorname{cis}(\pi)$ ના વર્ગમૂળ $k=0, 1$ માટે $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right)$ છે.
$k=0$ માટે,આપણને $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$ મળે છે.
$k=1$ માટે,આપણને $\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $z_1 = 1 + \sqrt{3} i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$.
તેથી $z_1^{2022} = 2^{2022} e^{i(2022\pi/3)} = 2^{2022} e^{i(674\pi)} = 2^{2022} \times 1 = 2^{2022}$.
ધારો કે $z_2 = \sqrt{3} - i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$.
તેથી $z_2^{2022} = 2^{2022} e^{-i(2022\pi/6)} = 2^{2022} e^{-i(337\pi)} = 2^{2022} \times (-1) = -2^{2022}$.
તેથી,$z_1^{2022} - z_2^{2022} = 2^{2022} - (-2^{2022}) = 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023}$.

(B) આપેલ છે કે $x=a+b$,$y=a \alpha+b \beta$,$z=a \beta+b \alpha$ જ્યાં $\alpha=\omega$ અને $\beta=\omega^2$ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ છે.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$x+y+z = (a+b) + (a\omega+b\omega^2) + (a\omega^2+b\omega) = a(1+\omega+\omega^2) + b(1+\omega+\omega^2) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x+y+z=0$ હોય,તો $x^3+y^3+z^3=3xyz$.
$3xyz = 3(a+b)(a\omega+b\omega^2)(a\omega^2+b\omega)$
$= 3(a+b)(a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab\omega^2 + ab\omega + b^2)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab(\omega^2+\omega) + b^2)$
$\omega^2+\omega = -1$ હોવાથી,
$= 3(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 3(a^3+b^3)$.

(D) શરત $\operatorname{Arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{2}$ એ $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ દર્શાવે છે. \\ અહીં,$z_1 = 3$ અને $z_2 = -2i$ છે. \\ બિંદુપથ એ $(3, 0)$ અને $(0, -2)$ માંથી પસાર થતું અર્ધવર્તુળ છે. \\ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આ ચાપ પર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $z = 0$ મૂકીએ: \\ $\operatorname{Arg}\left(\frac{0 - 3}{0 + 2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{-3}{2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{3i}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$. \\ કારણ કે $z = 0$ માટે શરત સંતોષાય છે,તેથી બિંદુપથ એ ઉગમબિંદુનો સમાવેશ કરતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ છે.

(C) આપેલ છે $z=x+iy$. સમીકરણ $|z-2|+|z-2i|=4$ છે.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને $|(x-2)+iy|+|x+(y-2)i|=4$ મળે છે.
આ $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{x^2+(y-2)^2} = 4$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-2)^2+y^2 = 16 + x^2+(y-2)^2 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2-4x+4+y^2 = 16+x^2+y^2-4y+4 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4x+4y-16 = -8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $x-y+4 = 2\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(x-y+4)^2 = 4(x^2+y^2-4y+4)$.
$x^2+y^2+16-2xy+8x-8y = 4x^2+4y^2-16y+16$.
પદો ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+2xy-8x-8y=0$.

(A) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ મળે.
$z=x+iy$ મૂકતા,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ મળે.
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
પદમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $-2$ આપેલ છે:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-x - 2y = -2$,અથવા $x + 2y - 2 = 0$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. ઉપલબ્ધ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ છે.
$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ (દશક,એકમ): $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76$.
આવી કુલ $10$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $5$ અંકોમાંથી બાકીના $2$ સ્થાનો (હજાર અને સો) ભરવાના છે.
બાકીના $2$ સ્થાનો ભરવાની રીતોની સંખ્યા $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ છે.
કુલ સંખ્યા $= 10 \times 20 = 200$.

(D) ચાર અંકની સંખ્યામાં ચાર સ્થાન હોય છે: હજાર,સો,દશક અને એકમ.
$1$. હજારના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં. તેથી,તે $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $5$ વિકલ્પો છે.
$2$. સોના સ્થાનને બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે ($0$ સહિત,હજારના સ્થાન પર વપરાયેલ અંક સિવાય). કુલ $5$ વિકલ્પો છે.
$3$. દશકના સ્થાનને બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $4$ વિકલ્પો છે.
$4$. એકમના સ્થાનને બાકીના $3$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $3$ વિકલ્પો છે.
ચાર અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.

(D) "$SUNITHA$" શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $S, U, N, I, T, H, A$.
સ્વરો $U, I, A$ ($3$ સ્વરો) છે.
વ્યંજનો $S, N, T, H$ ($4$ વ્યંજનો) છે.
કુલ $7$ સ્થાનો છે. સ્વરોએ $1^{st}$,$4^{th}$ (મધ્ય) અને $7^{th}$ (છેલ્લા) સ્થાનો પર આવવું જોઈએ.
$3$ સ્વરોને આ $3$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો પર $4$ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$.

(C) '$MOTHER$' શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષર ક્રમમાં $E, H, M, O, R, T$ છે.
આપણે '$THROEM$' નો ક્રમ શોધવો છે.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$3$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$4$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$5$. $R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$6$. $TE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$7$. $THE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$8$. $THM$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$9$. $THO$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$10$. $THRE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$11$. $THRM$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$12$. પછીનો શબ્દ $THROEM$ છે: $1$
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 647$.

(A) ધારો કે $3$-અંકી સંખ્યા $abc$ છે,જ્યાં $a$ એ શતકનો અંક,$b$ એ દશકનો અંક અને $c$ એ એકમનો અંક છે.
આપેલ શરત $a + b + c = 10$ છે,જ્યાં $1 \leq a \leq 9$ અને $0 \leq b, c \leq 9$.
ધારો કે $a' = a - 1$,તેથી $a = a' + 1$. સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a' + 1) + b + c = 10 \Rightarrow a' + b + c = 9$,જ્યાં $a', b, c \geq 0$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=9$ અને $r=3$:
$^{9+3-1}C_{3-1} = ^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.
પરંતુ,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં કોઈ અંક $9$ થી મોટો હોય.
કારણ કે $a = a' + 1$,જો $a' = 9$ હોય,તો $a = 10$ થાય,જે અંક માટે શક્ય નથી.
આ ઉકેલ $(a', b, c) = (9, 0, 0)$ ને અનુરૂપ છે,જે $a = 10, b = 0, c = 0$ આપે છે.
આમ,આપણે આ $1$ અમાન્ય કિસ્સો બાદ કરીએ: $55 - 1 = 54$.
તેથી,આવી $3$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $54$ છે.

(C) આપેલ અંકોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ છે. કુલ $6$ અંકો છે. આપણે $5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $5$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની છે.
બધા $6$ અંકોનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 25$ થાય છે.
$5$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એક અંક બાકાત રાખવો પડશે. ધારો કે બાકાત રાખેલ અંક $x$ છે. બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $25 - x$ થશે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
જો $x = 1$ હોય,તો સરવાળો $= 24$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
આમ,$3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળો ધરાવતો એકમાત્ર $5$ અંકોનો ગણ $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ છે.
આ $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5! = 120$ છે.
સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે બેકી હોવી જોઈએ અને $3$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આ બધી સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આપણે ફક્ત તે જ સંખ્યાઓ ગણવાની છે જે એકી હોય (જેથી તે $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય).
ગણ $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ માં એકી અંકો $\{3, 5\}$ છે.
જો છેલ્લો અંક $3$ હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય.
જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય.
$3$ વડે વિભાજ્ય પરંતુ $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 24 = 48$.

(D) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક જૂથમાં છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજા જૂથમાં છે.
તેણે પ્રથમ $5$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જ પડે.
કિસ્સો $1$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
રીતોની સંખ્યા = ${}^5C_4 \times {}^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $2$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
રીતોની સંખ્યા = ${}^5C_5 \times {}^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $140 + 56 = 196$.

(C) કુલ બિંદુઓ = $10$. સમરેખ બિંદુઓ = $4$. અસમરેખ બિંદુઓ = $10 - 4 = 6$.
ઓછામાં ઓછો એક શિરોબિંદુ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી હોય તેવા ત્રિકોણ બનાવવા માટે:
કિસ્સો $1$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{1} \times \binom{6}{2} = 4 \times 15 = 60$.
કિસ્સો $2$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$.
નોંધ: આપણે $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકતા નથી કારણ કે તેઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા = $60 + 36 = 96$.

(B) $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2} - n = 35$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ માટે ઉકેલતા:
$n^2 - n - 2n = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
$(n - 10)(n + 7) = 0$
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 10$.
$AB$ બાજુ ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $A$,$B$ અને બાકીના $n - 2$ શિરોબિંદુઓમાંથી એક અન્ય શિરોબિંદુ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
બાકીના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $= 10 - 2 = 8$.
તેથી,આવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $8$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ વિભાગો $S_1, S_2, S_3$ છે,જેમાં દરેકના $4$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે જેથી દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન આવે. શક્ય વિતરણો $(1, 1, 3)$ અથવા $(1, 2, 2)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિતરણ $(1, 1, 3)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
કુલ રીતો $= 3 \times 64 = 192$.
કિસ્સો $2$: વિતરણ $(1, 2, 2)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
કુલ રીતો $= 3 \times 144 = 432$.
કુલ રીતો $= 192 + 432 = 624$.

(B) આપણે $\{0, 3, 6, 7, 8, 9\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $6,00,000$ થી મોટી $6$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. સંખ્યા એકી હોવા માટે,છેલ્લો અંક $3, 7,$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ ($3$ વિકલ્પો).
સંખ્યા $6,00,000$ થી મોટી હોવા માટે,પ્રથમ અંક $6, 7, 8,$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $6$ અથવા $8$ છે ($2$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક $3, 7,$ અથવા $9$ છે ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 2 \times 24 \times 3 = 144$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ અથવા $9$ છે ($2$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક બાકીના $2$ એકી અંકોમાંથી એક હોવો જોઈએ ($2$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 2 \times 24 \times 2 = 96$.
એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 144 + 96 = 240$.

(D) $n$ છોકરાઓના જૂથને $B$ અને $n$ છોકરીઓના જૂથને $G$ તરીકે ધારો.
બધા છોકરાઓ સાથે હોવા જોઈએ અને બધી છોકરીઓ સાથે હોવી જોઈએ,તેથી આપણે છોકરાઓના જૂથને એક એકમ અને છોકરીઓના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આ બે એકમોને ગોઠવવાની $2!$ રીતો છે (કાં તો $BG$ અથવા $GB$).
છોકરાઓના જૂથમાં,$n$ છોકરાઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરીઓના જૂથમાં,$n$ છોકરીઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $2! \times n! \times n! = 2(n!)^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A, B,$ કે $C$ આ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતો નથી.

(D) આપણે $7$ ભારતીયો $(I)$,$6$ અમેરિકનો $(A)$,$5$ રશિયનો $(R)$ અને $4$ ઓસ્ટ્રેલિયનો $(AU)$ માંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેથી દરેક દેશનું પ્રતિનિધિત્વ ઓછામાં ઓછું એકવાર થાય.
કુલ સભ્યો $5$ છે અને $4$ દેશો છે,તેથી એક દેશના $2$ સભ્યો અને બાકીના ત્રણ દેશોના $1-1$ સભ્ય હશે.
શક્યતાઓ:
$1$. $2I, 1A, 1R, 1AU: {^7C_2} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2520$
$2$. $1I, 2A, 1R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_2} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2100$
$3$. $1I, 1A, 2R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_2} \times {^4C_1} = 1680$
$4$. $1I, 1A, 1R, 2AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_2} = 1260$
કુલ રીતો $= 2520 + 2100 + 1680 + 1260 = 7560$.

(D) '$INDEED$' શબ્દમાં અક્ષરો $D, D, E, E, I, N$ છે. કુલ ગોઠવણીઓ $\frac{6!}{2!2!} = 180$ છે.
'$NIDDEE$' નો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે શબ્દકોશના ક્રમમાં શબ્દોની ગણતરી કરીએ:
$1$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$
$3$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!2!} = 30$
$4$. $ND$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$
$5$. $NE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$
$6$. ત્યારબાદનો શબ્દ '$NIDDEE$' છે,જે $1$લો શબ્દ છે.
કુલ ક્રમ = $60 + 60 + 30 + 12 + 12 + 1 = 175$.

(B) કુલ વ્યક્તિઓ $= 6 \text{ પુરુષો} + 4 \text{ સ્ત્રીઓ} = 10 \text{ વ્યક્તિઓ}$.
પ્રથમ,$10$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની કુલ રીતો $(10-1)! = 9!$ છે.
હવે,એક ચોક્કસ પુરુષ અને એક ચોક્કસ સ્ત્રી એકબીજાની બાજુમાં બેસે તેવી રીતો શોધીએ.
તે ચોક્કસ પુરુષ અને સ્ત્રીને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવા માટે $9$ એકમો છે,જે $(9-1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય.
એકમની અંદર,પુરુષ અને સ્ત્રીને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતો $2 \times 8!$ છે.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતો કુલ રીતોમાંથી સાથે બેસવાની રીતો બાદ કરવાથી મળે:
$9! - (2 \times 8!) = (9 \times 8!) - (2 \times 8!) = (9 - 2) \times 8! = 7 \times 8!$.

(A) $12600$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $12600 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$ છે.
$n_1$ માટે ($3$ ના ગુણક હોય તેવા ભાજકો):
ભાજક $3$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $3$ નો અવયવ હોય.
$2$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(3+1) = 4$ છે.
$3$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $2$ છે ($1$ અથવા $2$).
$5$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$7$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(1+1) = 2$ છે.
આમ,$n_1 = 4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48$.
$n_2$ માટે ($14$ ના ગુણક હોય તેવા ભાજકો):
ભાજક $14 = 2^1 \times 7^1$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $2$ નો અને એક $7$ નો અવયવ હોય.
$2$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $3$ છે ($1, 2,$ અથવા $3$).
$3$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$5$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$7$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $1$ છે $(1)$.
આમ,$n_2 = 3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$.
તેથી,$n_1 + n_2 = 48 + 27 = 75$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+x)^{101}(1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot (1+x)^{100} \cdot (1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$
$= (1+x)(1+x^3)^{100}$
$= (1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$
આપણે $x^{50}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1+x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં,$x$ ની ઘાત $3k$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
$50$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,$(1+x^3)^{100}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક $0$ છે.
તે જ રીતે,$x(1+x^3)^{100}$ માટે,આપણે $(1+x^3)^{100}$ માં $x^{49}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
$49$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,$(1+x^3)^{100}$ માં $x^{49}$ નો સહગુણક $0$ છે.
તેથી,$x^{50}$ નો સહગુણક $0 + 0 = 0$ છે.

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2^2)^{\frac{r}{5}} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2)^{\frac{2r}{5}}$ થાય.
પદ સંમેય હોવા માટે,$5$ અને $2$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$\frac{100-r}{4}$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $0 \le r \le 100$ હોવાથી,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$.
$\frac{2r}{5}$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $0 \le r \le 100$ હોવાથી,$r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$.
આમ,$r$ એ $4$ અને $5$ બંનેનો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r$ એ $\text{lcm}(4, 5) = 20$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 20, 40, 60, 80, 100$ છે.
આવી $6$ કિંમતો હોવાથી,સંમેય પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{x})^{10-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-r}{2}-2r} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-5r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-5r}{2} = 0 \implies r = 2$
તેથી,$T_3 = {}^{10}C_2 (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9 \implies k = \pm 3$

(B) $(x+y+z)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ અથવા $^{n+k-1}C_{k-1}$ છે,જ્યાં $n=5$ અને $k=3$ છે.
પદોની કુલ સંખ્યા $p = {}^{5+3-1}C_{3-1} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
આમ,$p = 21$.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x-2y+3z)^5$ માં $x^2 y^1 z^2$ નો સહગુણક $q = \frac{5!}{2!1!2!} (1)^2 (-2)^1 (3)^2$ થાય.
$q = \frac{120}{4} \times (-2) \times 9 = 30 \times (-18) = -540$.
તેથી,$\frac{q}{p} = \frac{-540}{21} = -\frac{180}{7}$.

(D) આપેલ છે $\sinh x = -\frac{4}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$.
$\cosh^2 x = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
કારણ કે $\cosh x \geq 1$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,આપણે ધન કિંમત લઈએ છીએ: $\cosh x = \frac{5}{3}$.
હવે,$\sinh 2x + \cosh 2x = (2 \sinh x \cosh x) + (\cosh^2 x + \sinh^2 x)$.
કિંમતો મૂકતા: $2(-\frac{4}{3})(\frac{5}{3}) + (\frac{25}{9} + \frac{16}{9})$.
$= -\frac{40}{9} + \frac{41}{9} = \frac{1}{9}$.

(D) આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા $x^5$ નો સહગુણક $\frac{9}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $3x = 1 + \frac{5}{8} + \frac{5 \times 9}{8 \times 16} + \dots$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ મળે છે.
$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x = (x+1)^4 - 1$.
$x=1$ મુકતા,$(1+1)^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^5$ છે જ્યાં $x = \frac{3}{2}$ અને $y = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $T_{r+1}$ એ $(r+1)$-મું પદ છે.
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-3y)^r$.
$x = \frac{3}{2}$ અને $y = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (3)^{5-r} (-2)^r$.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ શોધવા માટે,આપણે $|T_{r+1}| = \binom{5}{r} 3^{5-r} 2^r$ ધ્યાનમાં લઈએ.
પદોની ગણતરી:
$|T_1| = 243$,$|T_2| = 810$,$|T_3| = 1080$,$|T_4| = 720$,$|T_5| = 240$,$|T_6| = 32$.
આમ,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $1080$ છે.

(B) પદાવલિ $(1+x)(1-x)^n$ છે.
$(1+x)(1-x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક એ $(1-x)^n$ માં $x^n$ ના સહગુણક અને $(1-x)^n$ માં $x^{n-1}$ ના સહગુણકનો સરવાળો છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^k$ નો સહગુણક $\binom{n}{k}(-1)^k$ છે.
આમ,$f(n) = \binom{n}{n}(-1)^n + \binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}$.
$f(n) = 1 \cdot (-1)^n + n \cdot (-1)^{n-1}$.
$n = 2023$ માટે:
$f(2023) = (-1)^{2023} + 2023 \cdot (-1)^{2022}$.
$f(2023) = -1 + 2023(1) = 2022$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = x(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$ માં $x^3$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
ગણતરી કરતા,$m = -49$ અને $n = 16$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{|m+n|} = \sqrt{|-49+16|} = \sqrt{33}$.

(D) $(1-3x+2x^3)(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે,આપણે $1$,$-3x$,અને $2x^3$ સાથે ગુણાકાર કરીને $x^0$ મેળવતા પદો શોધીએ.
$1$ માટે: $18-3r=0 \Rightarrow r=6$,પદ $= {}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$.
$2x^3$ માટે: $18-3r=-3 \Rightarrow r=7$,પદ $= 2 \times {}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{2}{27}$.
કુલ અચળ પદ $= \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$.

(B) આપણે $3^{2023}$ ને $16$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$3^{2023} = 3 \cdot (3^2)^{1011} = 3 \cdot (9)^{1011} = 3 \cdot (8+1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots + x^n$.
$3(1+8)^{1011} = 3 \left[ 1 + 1011 \cdot 8 + \binom{1011}{2} 8^2 + \dots + 8^{1011} \right]$.
$8^2 = 64$ હોવાથી,ત્રીજા પદથી આગળના તમામ પદો $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3^{2023} = 3(1 + 8088 + 16k)$ જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$3^{2023} = 3(8089 + 16k) = 24267 + 48k$.
હવે,$24267$ ને $16$ વડે ભાગતા:
$24267 = 16 \times 1516 + 11$.
આમ,શેષ $11$ છે.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
અંશને સરખાવતા: $3x+2 = A(2x^2+3) + (x+1)(Bx+C)$
$3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx + Bx + C$
$3x+2 = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2A+B = 0$ $(i)$
$B+C = 3$ (ii)
$3A+C = 2$ (iii)
$(i)$ પરથી,$B = -2A$.
(ii) માં મૂકતા: $-2A+C = 3$ (iv)
(iii) માંથી (iv) બાદ કરતા: $(3A+C) - (-2A+C) = 2 - 3 \implies 5A = -1 \implies A = -\frac{1}{5}$
તેથી $B = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
અને $C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
અંતે,$A-B+C = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(A) $(2n+1)$ પુસ્તકોમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
${}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ $(i)$
ગુણધર્મ ${}^mC_r = {}^mC_{m-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{2n+1}C_{2n} + {}^{2n+1}C_{2n-1} + \dots + {}^{2n+1}C_{n+1} = 255$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n}) = 510$
બંને બાજુ ${}^{2n+1}C_0$ અને ${}^{2n+1}C_{2n+1}$ (બંને $1$ છે) ઉમેરતા:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 510 + 1 + 1 = 512$
દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{m} {}^mC_k = 2^m$ હોવાથી:
$2^{2n+1} = 512 = 2^9$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2n + 1 = 9$
$2n = 8$
$n = 4$

(C) આપેલ સરવાળો $S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (3k+5) C_k$ છે,જ્યાં $C_k = \binom{n}{k}$.
$n=10$ માટે,$S_{11} = \sum_{k=0}^{10} (3k+5) C_k$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k C_k = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S_{11} = 3 \sum_{k=0}^{10} k C_k + 5 \sum_{k=0}^{10} C_k$.
$n=10$ મૂકતા: $S_{11} = 3(10 \cdot 2^9) + 5(2^{10})$.
$S_{11} = 30 \cdot 512 + 5 \cdot 1024 = 15360 + 5120 = 20480$.

(D) આપેલ પદાવલિ: ${ }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + r^2 { }^{n-1} P_{r-1} + r { }^{n-1} P_{r-1}$
$= { }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + (r^2+r) { }^{n-1} P_{r-1}$
$= \frac{n!}{(n-r-1)!} + (r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r(r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n!(n-r) + (r+1)(n-1)!(n-r) + r(r+1)(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n(n-r) + (r+1)(n-r) + r(r+1)]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 - nr + nr - r^2 + n - r + r^2 + r]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 + n]}{(n-r)!} = \frac{n(n+1)(n-1)!}{(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{(n-r)!} = { }^{n+1} P_{r+1}$

(C) આપેલ દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} (1+x)^n dx = \int_{0}^{1} (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) dx$.
ડાબી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ C_0 x + \frac{C_1 x^2}{2} + \frac{C_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{C_n x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1}$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$.
$n$ અને $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$.
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$.

(C) આપેલ શ્રેણી $x = \frac{2 \cdot 5}{2! \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{3! \cdot 3^2} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{4! \cdot 3^3} + \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!} z^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n = \frac{3}{2}$ અને $z = \frac{2}{3}$ લેતા,
$(1/3)^{-3/2} = 2 + x$ મળે છે.
તેથી $3^{3/2} = 2 + x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$27 = (2+x)^2 = 4 + x^2 + 4x$.
$x^2 + 4x = 23$.
આમ,$x^2 + 8x + 8 = 100$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$.
કારણ કે ${}^{20}C_0 = 1 = {}^{21}C_0$,આપણે લખી શકીએ $S = {}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$.
નિત્યસમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
${}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 = {}^{22}C_1$.
ત્યારબાદ ${}^{22}C_1 + {}^{22}C_2 = {}^{23}C_2$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,સરવાળો ${}^{40}C_{20} + {}^{40}C_{21} = {}^{41}C_{21}$ થાય છે.
હવે,${}^{41}C_{21} = \frac{41}{21} \times {}^{40}C_{20}$.
આમ,$\frac{p}{q} = \frac{41}{21}$,જે $p = 41$ અને $q = 21$ આપે છે.
$GCD(41, 21) = 1$ હોવાથી,$p^2 - q^2 = 41^2 - 21^2 = (41 - 21)(41 + 21) = 20 \times 62 = 1240$.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n$ માટે $n \notin N$ ત્યારે જ માન્ય છે જો $|u| < 1$ હોય.
અહીં,$u = x+x^2$.
તેથી,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ નું વિસ્તરણ ત્યારે જ માન્ય છે જો $|x^2+x| < 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 < x^2+x < 1$.
$x^2+x < 1$ ઉકેલતા:
$x^2+x-1 < 0$.
$x^2+x-1 = 0$ ના બીજ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
આમ,$x^2+x-1 < 0$ માટે $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
વધુમાં,$x^2+x > -1$ હંમેશા સાચું છે કારણ કે $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $|x^2+x| < 1$ મળે છે,જે $\left|x+\frac{1}{2}\right| < \frac{\sqrt{5}}{2}$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)+f(y)$ અને $f(1)=7$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $r$ માટે,$f(r) = r \cdot f(1)$ થાય.
અહીં $f(1)=7$ હોવાથી,$f(r) = 7r$ મળે.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^n f(r)$ શોધવાનો છે.
$\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 7r = 7 \sum_{r=1}^n r$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^n f(r) = 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a x^{10} + b x^8 + c x^6 + d x^4 + e x^2 + 12 x + 15}{x}$.
દરેક પદને $x$ વડે ભાગતા:
$f(x) = a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x + 12 + \frac{15}{x}$.
હવે,$f(-x)$ ધ્યાનમાં લો:
$f(-x) = a(-x)^9 + b(-x)^7 + c(-x)^5 + d(-x)^3 + e(-x) + 12 + \frac{15}{-x}$
$f(-x) = -(a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x) + 12 - \frac{15}{x}$.
$f(x)$ અને $f(-x)$ નો સરવાળો કરતા:
$f(x) + f(-x) = 12 + 12 = 24$.
$x = 4$ માટે:
$f(4) + f(-4) = 24$.
$f(4) = -4$ આપેલ હોવાથી:
$-4 + f(-4) = 24$
$f(-4) = 28$.

(C) આપેલ છે કે $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = -\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \cdot (-1)$
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sec^2 y}$
કારણ કે $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ અને $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}$

(C) આપેલ છે કે $\sec (\log _2 y^2) = \operatorname{cosec} (\log _2 x^2)$.
ગુણધર્મ $\log a^b = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sec (2 \log _2 y) = \operatorname{cosec} (2 \log _2 x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \sec (\frac{\pi}{2} - \theta)$,તેથી $\sec (2 \log _2 y) = \sec (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2 \log _2 y = \pm (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x) + 2n\pi$. મુખ્ય કિંમત લેતા,$2 \log _2 y + 2 \log _2 x = \frac{\pi}{2}$.
$2 \log _2 (xy) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \log _2 (xy) = \frac{\pi}{4}$.
$xy = 2^{\frac{\pi}{4}}$.
અહીં $2^{\frac{\pi}{4}}$ એ અચળ છે,તેથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{3x} + e^{-3x}}$.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = e^{2x} - e^{-2x}$ અને $v = e^{3x} + e^{-3x}$.
તેથી $u^{\prime} = 2e^{2x} + 2e^{-2x}$ અને $v^{\prime} = 3e^{3x} - 3e^{-3x}$.
$x = 0$ આગળ:
$u(0) = e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$.
$v(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$.
$u^{\prime}(0) = 2(1) + 2(1) = 4$.
$v^{\prime}(0) = 3(1) - 3(1) = 0$.
હવે,$f^{\prime}(0) = \frac{u^{\prime}(0)v(0) - u(0)v^{\prime}(0)}{(v(0))^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{(4)(2) - (0)(0)}{(2)^2} = \frac{8}{4} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=e^x$.
$h(x)=(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(e^x) = e^{e^x}$.
હવે,$h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$.
કારણ કે $h(x) = e^{e^x}$,તેથી $h^{\prime}(x) = h(x) \cdot e^x$.
તેથી,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = e^x$.
હવે,$\log h(x) = \log(e^{e^x}) = e^x \cdot \log e = e^x$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \log h(x)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = 1 + x^2$.
સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{1 + x^2}$ થાય.
વિકલિત $(f \circ g)^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીશું:
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (1 + x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
હવે,વિકલિતમાં $x = 1$ મૂકતા:
$(f \circ g)^{\prime}(1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 3xy - y^2 + 4x - 5y + 6 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(5y) + \frac{d}{dx}(6) = 0$.
$4x + 3(x \frac{dy}{dx} + y) - 2y \frac{dy}{dx} + 4 - 5 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$(3x - 2y - 5) \frac{dy}{dx} = -(4x + 3y + 4)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x + 3y + 4}{3x - 2y - 5}$.
$(x, y) = (1, -2)$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4(1) + 3(-2) + 4}{3(1) - 2(-2) - 5} = -\frac{4 - 6 + 4}{3 + 4 - 5} = -\frac{2}{2} = -1$.

(C) આપેલ છે કે $y = x \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ મળે.
હવે,પદ $\frac{\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}}{x \frac{dy}{dx} - y}$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ અને $y = x \sin x$ મૂકતા:
અંશ: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = (x \cos x + \sin x) - \frac{x \sin x}{x} = x \cos x + \sin x - \sin x = x \cos x$.
છેદ: $x \frac{dy}{dx} - y = x(x \cos x + \sin x) - x \sin x = x^2 \cos x + x \sin x - x \sin x = x^2 \cos x$.
આમ,પદ $\frac{x \cos x}{x^2 \cos x} = \frac{1}{x}$ બને છે.
આપેલ છે કે $x = \alpha$ પર આ પદ $1$ છે,તેથી $\frac{1}{\alpha} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.

(C) આપેલ છે કે $x = 3 \sqrt{2} \cos^3 \theta$ અને $y = 4 \tan^2 \theta$.
$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 3 \sqrt{2} \cdot 3 \cos^2 \theta \cdot (-\sin \theta) = -9 \sqrt{2} \cos^2 \theta \sin \theta$.
$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = 4 \cdot 2 \tan \theta \cdot \sec^2 \theta = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{-9 \sqrt{2} \cos^2 \theta \sin \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan \frac{\pi}{4} = 1$,$\sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}} = \frac{8(1)(\sqrt{2})^2}{-9 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{8 \cdot 2}{-9 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{16}{-9 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{32}{9}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \log p$ અને $y = \frac{1}{p}$.
પ્રથમ,$y$ નું $p$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dp} = \frac{d}{dp}(p^{-1}) = -p^{-2} = -\frac{1}{p^2}$.
ત્યારબાદ,$x$ નું $p$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dp} = \frac{d}{dp}(\log p) = \frac{1}{p}$.
પ્રચલિત વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dp}{dx/dp} = \frac{-1/p^2}{1/p} = -\frac{1}{p}$.
કારણ કે $x = \log p$,તેથી $p = e^x$ થાય.
$\frac{dy}{dx}$ ના પદમાં $p = e^x$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^x} = -e^{-x}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \cos^3 \theta - \sin^3 \theta$ અને $y = (\cos \theta)^{1/3} - (\sin \theta)^{1/3}$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos^2 \theta(-\sin \theta) - 3\sin^2 \theta(\cos \theta) = -3\sin \theta \cos \theta(\cos \theta + \sin \theta)$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{3}(\cos \theta)^{-2/3}(-\sin \theta) - \frac{1}{3}(\sin \theta)^{-2/3}(\cos \theta) = -\frac{1}{3} \left( \frac{\sin \theta}{(\cos \theta)^{2/3}} + \frac{\cos \theta}{(\sin \theta)^{2/3}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{9} \sqrt[3]{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin y = \sin 3t$ અને $x = \sin t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin y = 3\sin t - 4\sin^3 t$.
$x = \sin t$ મૂકતા:
$\sin y = 3x - 4x^3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(3x - 4x^3)$.
$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 3 - 12x^2$.
અહીં $y = 3t$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos 3t}{\cos t} = 3(4\cos^2 t - 3) = 3(4(1-x^2) - 3) = 3(1-4x^2)$.

(C) આપણે $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ શોધવાની જરૂર છે.
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) = 2a \sin^2(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2a \sin^2(\theta/2)} = \cot(\frac{\theta}{2})$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $(i)$ $\rightarrow$ $C$.
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 6\cos^2 \theta \sin \theta = 3\sin \theta(2\cos^2 \theta - 1) = 3\sin \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 6\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - 2\sin^2 \theta) = 3\cos \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos \theta \cos(2\theta)}{3\sin \theta \cos(2\theta)} = \cot \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. (ii) $\rightarrow$ $D$.
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 3\cos^2 \theta \sin \theta = -3\sin \theta(1 - \cos^2 \theta) = -3\sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 3\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - \sin^2 \theta) = 3\cos^3 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos^3 \theta}{-3\sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર,$\frac{dy}{dx} = -(\cot(\frac{\pi}{3}))^3 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$. (iii) $\rightarrow$ $B$.
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a \cot \theta, \frac{dy}{d\theta} = a \sec^2 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sec^2 \theta}{a \cot \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} = \tan \theta \sec^2 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર,$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi}{3}) \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (2)^2 = 4\sqrt{3}$. (iv) $\rightarrow$ $A$.
આમ,$(i)$ $\rightarrow$ $C$,(ii) $\rightarrow$ $D$,(iii) $\rightarrow$ $B$,(iv) $\rightarrow$ $A$.

(A) ધારો કે $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$,જ્યાં $f_1(x) = x^{\tan x}$ અને $f_2(x) = (\tan x)^x$.
$f_1(x) = x^{\tan x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log f_1 = \tan x \cdot \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{f_1} \frac{df_1}{dx} = \sec^2 x \cdot \log x + \tan x \cdot \frac{1}{x}$.
તેથી,$\frac{df_1}{dx} = x^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \log x + \frac{\tan x}{x} \right)$.
$f_2(x) = (\tan x)^x$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log f_2 = x \cdot \log(\tan x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{f_2} \frac{df_2}{dx} = 1 \cdot \log(\tan x) + x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
તેથી,$\frac{df_2}{dx} = (\tan x)^x \left( \log(\tan x) + \frac{x \sec^2 x}{\tan x} \right)$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$f_1^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \left( (\sqrt{2})^2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\pi/4} \right) = \frac{\pi}{4} (2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi}) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1$.
$f_2^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^{\pi/4} \left( \log 1 + \frac{\pi/4 \cdot 2}{1} \right) = 1 \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} (\log \frac{\pi}{4} + 1) = 1 + \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{e \pi}{4} \right)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}$.
શૃંખલા નિયમ (chain rule) લાગુ પાડતા,$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}} \cdot \left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{2\sinh(2x-3)}{2\sqrt{\cosh(2x-3)}} \right)$.
$x=0$ માટે,$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\log(1) + \sqrt{\cosh(-3)}}} \cdot \left( \frac{1}{1} + \frac{\sinh(-3)}{\sqrt{\cosh(-3)}} \right)$.
કારણ કે $\log(1) = 0$,$\cosh(-3) = \cosh(3)$,અને $\sinh(-3) = -\sinh(3)$:
$f'(0) = \frac{1 - \frac{\sinh(3)}{\sqrt{\cosh(3)}}}{2\sqrt{\sqrt{\cosh(3)}}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{1/2} \cdot (\cosh(3))^{1/4}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{3/4}}$.

(B) ધારો કે $u = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ અને $v = \frac{2x}{1+x^2}$.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\frac{du}{dx}$ શોધો:
$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$.
ત્યારબાદ,$\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(1+x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.
હવે,$\frac{du}{dv}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{du}{dv} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \div \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{2(1-x^2)} = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$.
$x=2$ આગળ:
$\frac{du}{dv} = \frac{2(2)}{2^2-1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3xy + y^2 + x + 2y - 8 = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(8) = 0$.
$4x - 3(x \frac{dy}{dx} + y) + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{dy}{dx}(2y - 3x + 2) + (4x - 3y + 1) = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(2y - 3x + 2) dy + (4x - 3y + 1) dx = 0$.
આને $f(x, y) dy - g(x, y) dx = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f(x, y) = 2y - 3x + 2$ અને $g(x, y) = -(4x - 3y + 1) = 3y - 4x - 1$.
હવે,$g(2, 2) = 3(2) - 4(2) - 1 = 6 - 8 - 1 = -3$.
$f(1, 1) = 2(1) - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1$.
તેથી,$\frac{g(2, 2)}{f(1, 1)} = \frac{-3}{1} = -3$.

(A) આપેલ છે કે $e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $e^x - y = \sqrt{y^2 - 1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(e^x - y)^2 = y^2 - 1$ મળે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $e^{2x} + y^2 - 2ye^x = y^2 - 1$.
સાદું રૂપ આપતા,$e^{2x} + 1 = 2ye^x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$.
હવે,$y = \cosh x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \sinh x$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = e^{a+bx^2}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{a+bx^2}) = e^{a+bx^2} \cdot \frac{d}{dx}(a+bx^2) = e^{a+bx^2} \cdot (2bx) = 2bxy$.
બિંદુ $P(1,1)$ આગળ ઢાળ $-2$ છે:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,1)} = 2b(1)(1) = -2$.
$2b = -2 \implies b = -1$.
બિંદુ $P(1,1)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$1 = e^{a+b(1)^2} \implies 1 = e^{a+b}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(1) = a+b \implies 0 = a+b$.
$b = -1$ મુકતા:
$0 = a - 1 \implies a = 1$.
અંતે,$2a - 3b$ ની કિંમત શોધીએ:
$2a - 3b = 2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \cos(x+y)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y = k$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y)$
$\sin(x+y) = 1$
કારણ કે $\sin(x+y) = 1$,તેથી $y = \cos(x+y) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$.
$y = 0$ ને $\sin(x+y) = 1$ માં મૂકતા,આપણને $\sin(x) = 1$ મળે છે,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $x + 2y = k$ માં મૂકતા:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ દ્વારા મળે છે.
તેને $-\frac{1}{14}$ સાથે સરખાવતા:
$-\frac{1}{3x^2 - 20x + 31} = -\frac{1}{14} \implies 3x^2 - 20x + 31 = 14$.
$3x^2 - 20x + 17 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3x - 17)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = \frac{17}{3}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ $x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે $x = 1$ લઈશું.
$x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = (1)^3 - 10(1)^2 + 31(1) - 30 = 1 - 10 + 31 - 30 = -8$.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(1, -8)$ છે.
$x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 20(1) + 31 = 14$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-8) = 14(x - 1) \implies y + 8 = 14x - 14 \implies y = 14x - 22$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે,$y = 0$ લેતા: $0 = 14x - 22 \implies 14x = 22 \implies x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$.
$f(1) = 2$ હોવાથી,$2 = 1^3 - 5(1) + C$,જે આપણને $2 = 1 - 5 + C$ આપે છે,તેથી $C = 6$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 5x + 6$ છે.
$(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = 3(1)^2 - 5 = -2$ છે.
$(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = -2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -2x + 4$ થાય છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,વક્રના સમીકરણને સ્પર્શકના સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $x^3 - 5x + 6 = -2x + 4$.
આનું સાદું રૂપ $x^3 - 3x + 2 = 0$ થાય છે.
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ મળે છે.
ઉકેલ $x = 1$ અને $x = -2$ છે.
$x = 1$ માટે,$y = 2$ (સ્પર્શબિંદુ).
$x = -2$ માટે,$y = -2(-2) + 4 = 8$.
તેથી,સ્પર્શક વક્રને $(-2, 8)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) આપેલ વક્રો $x^2 y - x^3 = 8$ $(1)$ અને $y^3 - x y^2 = 32$ $(2)$ છે.
$(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy - 3x^2 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy}{x^2} = 3 - 2(\frac{y}{x}) = m_1$.
$(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - (x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2 - 2xy) = y^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{3y^2 - 2xy} = \frac{y}{3y - 2x} = m_2$.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{y^2(y - x)}{x^2(y - x)} = \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow \frac{y^2}{x^2} = 4 \Rightarrow y = 2x$ (કારણ કે $h, k \in N$).
$y = 2x$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x^2(2x) - x^3 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. તેથી,$y = 4$.
$P(2, 4)$ આગળ,$m_1 = 3 - 2(\frac{4}{2}) = 3 - 4 = -1$.
$P(2, 4)$ આગળ,$m_2 = \frac{4}{3(4) - 2(2)} = \frac{4}{12 - 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{1/2 - (-1)}{1 + (-1)(1/2)}| = |\frac{3/2}{1/2}| = 3$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $x = t^2 - 7t + 7$ અને $y = t^2 - 4t - 10$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ અને $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2t - 4}{2t - 7}$.
$(1, 2)$ બિંદુએ,$t^2 - 7t + 7 = 1 \implies t^2 - 7t + 6 = 0 \implies (t-1)(t-6) = 0$,તેથી $t = 1$ અથવા $t = 6$.
વળી,$t^2 - 4t - 10 = 2 \implies t^2 - 4t - 12 = 0 \implies (t-6)(t+2) = 0$,તેથી $t = 6$ અથવા $t = -2$.
સામાન્ય કિંમત $t = 6$ છે.
$t = 6$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2(6) - 4}{2(6) - 7} = \frac{8}{5}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{8/5} = -\frac{5}{8}$ થાય.
$(1, 2)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{5}{8}(x - 1)$ છે.
$8y - 16 = -5x + 5 \implies 5x + 8y - 21 = 0$.
અહીં $a = 5, b = 8, c = -21$. $(5, 8, -21)$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.
તેથી $a + b + c = 5 + 8 - 21 = -8$.
અંતે,$m(a + b + c) = (-\frac{5}{8})(-8) = 5$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = 2$ લેતા:
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 10 = 2$
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,$2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા $(x-1)(x-2)(2x-3) = 0$ મળે છે.
ઉકેલો $x = 1, x = 2, x = 1.5$ છે.
$x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ હોવાથી,આપણે $x_1 = 1$ અને $x_2 = 2$ લઈએ છીએ.
$x_1 = 1$ માટે,$y_1 = 1^4 - 6(1)^3 + 13(1)^2 - 10(1) + 5 = 3$.
$x_2 = 2$ માટે,$y_2 = 2^4 - 6(2)^3 + 13(2)^2 - 10(2) + 5 = 5$.
આમ,$x_1x_2 - y_1y_2 = (1 \times 2) - (3 \times 5) = 2 - 15 = -13$.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ અને $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $(x_0, y_0)$ એ છેદબિંદુ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો એ છેદબિંદુ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ વક્ર $x^2-y^2=4$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$. $(x_0, y_0)$ પર,$m_1 = \frac{x_0}{y_0}$.
બીજા વક્ર $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. $(x_0, y_0)$ પર,$m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} \right| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} \right| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} \right|$.
કારણ કે $x_0^2 - y_0^2 = 4$,તેથી $y_0^2 - x_0^2 = -4$.
આમ,$\tan \theta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} \right| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$.
સમીકરણો $x_0^2 - y_0^2 = 4$ અને $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ ઉકેલતા:
સરવાળો કરતા: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$.
બાદબાકી કરતા: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.
તેથી $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$.
તેથી,$|x_0 y_0| = 2$.
આ કિંમત $\tan \theta$ માં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $I \propto \tan \theta$,તેથી $I = k \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ દ્વારા મળે છે.
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન અને $\theta$ માં ટકાવારી ભૂલ $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
આમ,પ્રવાહમાં ટકાવારી ભૂલ $\frac{\pi}{2} \%$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $45^2 = 2025$ થાય છે.
$2023 < 2025$ હોવાથી,$\sqrt{2023} < \sqrt{2025}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{2023} < 45$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $x = 2025$ અને $\Delta x = -2$.
તેથી,$\sqrt{2023} = \sqrt{2025 - 2} \approx \sqrt{2025} + \frac{-2}{2\sqrt{2025}}$.
$\sqrt{2023} \approx 45 - \frac{2}{2(45)} = 45 - \frac{2}{90} = 45 - \frac{1}{45}$.
$\sqrt{2023} \approx 45 - 0.0222 = 44.9778$.
આમ,નજીકની અંદાજિત કિંમત $44.9778$ છે.

(C) આપેલ વ્યાસ $d = 42 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 21 \text{ cm}$.
વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta d = \frac{1}{77} \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta d}{2} = \frac{1}{154} \text{ cm}$ થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘનફળમાં અંદાજિત ભૂલ $\Delta V$ એ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times 441 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times 22 \times 63 \times \frac{1}{154} = \frac{5544}{154} = 36$.
આમ,ઘનફળમાં થતી ભૂલ $36 \text{ cm}^3$ છે.

(C) ધારો કે નિસરણીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી $x$ અંતરે છે અને ઉપરનો છેડો જમીનથી $y$ ઊંચાઈ પર છે. નિસરણી દીવાલ અને જમીન સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે નીચેનો છેડો દીવાલથી $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$ ની ઝડપે દૂર જાય છે.
જ્યારે $x = 5 \ m$ હોય,ત્યારે $x^2 + y^2 = 169$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ શોધીએ: $5^2 + y^2 = 169 \Rightarrow 25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow y = 12 \ m$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $5(2) + 12 \frac{dy}{dt} = 0$.
$10 + 12 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 12 \frac{dy}{dt} = -10 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \ m/min$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉપરનો છેડો નીચે પડી રહ્યો છે. આમ,ઉપરનો છેડો $\frac{5}{6} \ m/min$ ની ઝડપે નીચે પડે છે.

(B) આપેલ છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ $I \propto \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે છે.
$I = k \tan \theta$ વડે ભાગતા,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન છે,અને $\theta$ વાંચવામાં $1 \%$ ની ભૂલ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$.
ટકાવારી ભૂલ શોધવા માટે: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $\frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો $f''(x) = \frac{10}{x^3}$.
$x = 5$ માટે,$f''(5) = \frac{10}{125} > 0$,તેથી $x = 5$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$x = -5$ માટે,$f''(-5) = \frac{10}{-125} < 0$,તેથી $x = -5$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
આમ,$a = -5$.
હવે,$\sqrt{a^2 + 2a - 6} = \sqrt{(-5)^2 + 2(-5) - 6} = \sqrt{25 - 10 - 6} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $2x + 3y = 50$. આપણે $P = x^2 y^3$ ને મહત્તમ બનાવવું છે.
શરત મુજબ,$y = \frac{50 - 2x}{3}$.
$P$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,$P = x^2 \left(\frac{50 - 2x}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} x^2 (50 - 2x)^3$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{27} [x^2 \cdot 3(50 - 2x)^2(-2) + 2x(50 - 2x)^3] = 0$.
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 [-3x + 50 - 2x] = 0$.
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 (50 - 5x) = 0$.
$x, y$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x \neq 0$ અને $x \neq 25$. તેથી,$50 - 5x = 0 \Rightarrow x = 10$.
$x = 10$ માટે,$y = \frac{50 - 2(10)}{3} = \frac{30}{3} = 10$.
આમ,$\alpha = 10$ અને $\beta = 10$.
છેલ્લે,$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{5} = \frac{10}{2} + \frac{10}{5} = 5 + 2 = 7$.

(A) આપેલ વિધેય: $[0, 2]$ અંતરાલ પર $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ અને $x = 1$.
બંને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $[0, 2]$ અંતરાલની અંદર છે.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 3 = -3$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 6 + 9 - 81}{27} = \frac{-77}{27}$
$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3$
$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\{-3, \frac{-77}{27}, -3, -1\}$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $M = -1$.
નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $m = -3$.
તેથી,$M + m = -1 + (-3) = -4$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x e^{-x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$e^{-x}(1-x) = 0$. દરેક $x \in R$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1-x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x-2)$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
$f''(1) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
આમ,$\alpha = 1$.
મહત્તમ કિંમત $\beta = f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = \left(1, \frac{1}{e}\right)$.

(B) ધારો કે $R = 12$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
ગોળાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ છે,જે $12^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$ આપે છે.
આથી,$r^2 = 144 - \frac{h^2}{4}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \pi (144 - \frac{h^2}{4}) h = 144 \pi h - \frac{\pi}{4} h^3$ મળે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = 144 \pi - \frac{3 \pi}{4} h^2$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $144 \pi = \frac{3 \pi}{4} h^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h^2 = 144 \times \frac{4}{3} = 192$.
તેથી,$h = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3}$.
હવે,$r^2 = 144 - \frac{192}{4} = 144 - 48 = 96$.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi \times 96 \times 8 \sqrt{3} = 768 \sqrt{3} \pi$ ઘન એકમ થાય.

(D) અહીં $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$ આપેલ છે.
તફાવત $I_n - I_{n-2}$ ધ્યાનમાં લો:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin nx - \sin(n-2)x = 2 \cos \left( \frac{nx + nx - 2x}{2} \right) \sin \left( \frac{nx - nx + 2x}{2} \right) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{2 \cos((n-1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int \cos((n-1)x) dx$.
સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$I_n - I_{n-2} = \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} + C$.
$I_{n+1} - I_{n-1}$ શોધવા માટે,$n$ ની જગ્યાએ $n+1$ મૂકતા:
$I_{n+1} - I_{(n+1)-2} = I_{n+1} - I_{n-1} = \frac{2 \sin((n+1-1)x)}{n+1-1} = \frac{2 \sin nx}{n}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ છે.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશના અવયવ પાડી શકીએ:
$\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$.
કારણ કે $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,તેથી અંશ $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ બને છે.
હવે,છેદને ધ્યાનમાં લો: $1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
તેથી,$1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)}{\sin ^4 x + \cos ^4 x} d x = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) d x$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin ^2 x - \cos ^2 x = -\cos 2x$ મળે છે.
આમ,$I = \int -\cos 2x d x = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

(A) $\text{આપેલ } I = \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \int \frac{\sin x}{1+\sin x \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x}{2+\sin 2 x} d x$
$\text{આપણે } 2 \sin x = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) \text{ લખી શકીએ.}$
$\text{તેથી, } I = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x - \int \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x} d x$
$\text{આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા, } \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x$
$\text{નોંધો કે } 2 + \sin 2x = 3 - (1 - \sin 2x) = 3 - (\sin x - \cos x)^2$
$\text{ધારો કે } u = \sin x - \cos x, \text{ તો } du = (\cos x + \sin x) d x$
$\int \frac{du}{3 - u^2} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + u}{\sqrt{3} - u} \right| + C$
$\text{આમ, } f(x) = \frac{\sqrt{3} + \sin x - \cos x}{\sqrt{3} - \sin x + \cos x}$
$\text{જ્યારે } x = \frac{\pi}{3}, \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ અને } \cos x = \frac{1}{2}$
$|f(\frac{\pi}{3})| = \left| \frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} \right| = \frac{\frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

(A) $\int \frac{1+\sqrt{3} \cot x}{1-\sqrt{3} \cot x} d x = \int \frac{\tan x+\sqrt{3}}{\tan x-\sqrt{3}} d x = \int \frac{\sin x+\sqrt{3} \cos x}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} d x$
ધારો કે $\sin x+\sqrt{3} \cos x = K_1(\cos x+\sqrt{3} \sin x) + K_2(\sin x-\sqrt{3} \cos x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\sqrt{3} K_1 + K_2 = 1$ $(i)$
$K_1 - \sqrt{3} K_2 = \sqrt{3}$ (ii)
આને ઉકેલતા,આપણને $K_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $K_2 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,સંકલન $\int \frac{K_1(\cos x+\sqrt{3} \sin x) + K_2(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} d x$ બને છે.
$= K_1 \int \frac{d(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} + K_2 \int 1 d x$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |\sin x-\sqrt{3} \cos x| - \frac{1}{2} x + C$
કારણ કે $\sin x-\sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2 \sin(x-\frac{\pi}{3})$,
તેથી પદ $-\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |2 \sin(x-\frac{\pi}{3})| + C = -\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |\sin(x-\frac{\pi}{3})| + C'$ બને છે.

(D) ધારો કે $u = x+a$,તેથી $du = dx$ અને $x = u-a$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{u-a}{u^5} du = \int (u^{-4} - au^{-5}) du$
$= \frac{u^{-3}}{-3} - a \frac{u^{-4}}{-4} + C$
$= -\frac{1}{3u^3} + \frac{a}{4u^4} + C$
$= \frac{-4u + 3a}{12u^4} + C$
$= \frac{-4(x+a) + 3a}{12(x+a)^4} + C$
$= \frac{-4x - 4a + 3a}{12(x+a)^4} + C$
$= \frac{1}{12(x+a)^4}(-4x - a) + C$
આને $\frac{1}{k(a+x)^4}(f(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 12$ અને $f(x) = -4x - a$ મળે છે.
હવે,$f(-a) = -4(-a) - a = 4a - a = 3a$ ગણીએ.
અંતે,$\frac{f(-a)}{ak} = \frac{3a}{12a} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(B) દરેક સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(1) \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx$. ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x dx = dt$. સંકલન $\int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + c = \frac{\tan^3 x}{3} + c$ બને છે. આમ,$1-C$.
$(2) \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(\sin^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(1-\cos^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - 2 + \cos^2 x) dx = \tan x - 2x + \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \tan x - 2x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c = \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$. આમ,$2-D$.
$(3) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos^2 x} dx$. ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. સંકલન $-\int \frac{1-t^2}{t^2} dt = -\int (t^{-2} - 1) dt = -(-t^{-1} - t) + c = \frac{1}{t} + t + c = \sec x + \cos x + c$ બને છે. આમ,$3-B$.
$(4) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx = \int \tan^3 x dx = \int \tan x(\sec^2 x - 1) dx = \int \tan x \sec^2 x dx - \int \tan x dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln|\sec x| + c = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + c$ બને છે. આમ,$4-A$.
સાચી જોડ $1-C, 2-D, 3-B, 4-A$ છે.

(C) આપણે $\tan \frac{x}{2} = t$ આદેશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$,$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$,અને $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{3(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}) - 4(\frac{2t}{1 + t^2}) + 5} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{3(1 - t^2) - 8t + 5(1 + t^2)}$
$= \int \frac{2 dt}{3 - 3t^2 - 8t + 5 + 5t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{2t^2 - 8t + 8} = \int \frac{dt}{t^2 - 4t + 4}$
$= \int \frac{dt}{(t - 2)^2} = -(t - 2)^{-1} + c$
$= \frac{-1}{t - 2} + c = \frac{1}{2 - t} + c$
$t = \tan \frac{x}{2}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2 - \tan \frac{x}{2}} + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sec^2 x}{(\sec x + \tan x)^2} dx$.
ધારો કે $t = \sec x + \tan x$. તો $\frac{1}{t} = \sec x - \tan x$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$2 \sec x = t + \frac{1}{t} \Rightarrow \sec x = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
$t = \sec x + \tan x$ નું વિકલન કરતા,$dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
તેથી,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sec x \cdot \sec x dx}{t^2} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (t^{-2} + t^{-4}) dt = \frac{1}{2} [\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^{-3}}{-3}] + C$.
$I = -\frac{1}{2t} - \frac{1}{6t^3} + C = -\frac{3t^2 + 1}{6t^3} + C$.
$t = \sec x + \tan x$ મૂકતા,આપણને મળે $I = -\frac{1+3(\sec x+\tan x)^2}{6(\sec x+\tan x)^3} + C$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{16-7 \sin^2 x} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16 \sec^2 x - 7 \tan^2 x} dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16(1 + \tan^2 x) - 7 \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{16 + 9 \tan^2 x} dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{dt}{16 + 9t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{\frac{16}{9} + t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{(\frac{4}{3})^2 + t^2}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{9} \times \frac{1}{4/3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{4/3}\right) + C = \frac{1}{9} \times \frac{3}{4} \tan^{-1}\left(\frac{3t}{4}\right) + C$
$I = \frac{1}{12} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{4}\right) + C$

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ ઉકેલવા માટે,અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલનના ગુણક તરીકે દર્શાવો. $3x^2-2x+1$ નું વિકલન $6x-2$ છે.
આપણે $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ લખી શકીએ.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = 3x^2-2x+1$ લેતા,$du = (6x-2)dx$ મળે. સંકલન $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$.
તેથી,$\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$.
આમ,અંતિમ જવાબ $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ મળે છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશને ફરીથી લખતા:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx = \int \frac{(4 \sin x - 3) \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x dx = dt$.
સંકલન $I = \int \frac{4t - 3}{2t^2 - 3t + 4} dt$ બને છે.
ધારો કે $u = 2t^2 - 3t + 4$,તેથી $du = (4t - 3) dt$.
આમ,$I = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + c = \ln |2t^2 - 3t + 4| + c$.
$t = \sin x$ પાછું મુકતા,આપણને $f(x) = \ln |2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4|$ મળે છે.
હવે,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0)$ ની ગણતરી કરો:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln |2(1)^2 - 3(1) + 4| = \ln |2 - 3 + 4| = \ln 3$.
$f(0) = \ln |2(0)^2 - 3(0) + 4| = \ln 4$.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) = \ln 3 - \ln 4 = \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \log \left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) આપણી પાસે $I = \int(\sqrt{1-\sin x} + \sqrt{1+\sin x}) \, dx$ છે.
$1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left( \sqrt{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} + \sqrt{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right) \, dx = \int \left( |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \right) \, dx$.
આપેલ છે કે $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$,તેથી $\frac{3 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{5 \pi}{4}$.
આ અંતરાલમાં,$\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ અને $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} < 0$ (કારણ કે $\frac{x}{2}$ ત્રીજા ચરણમાં છે).
તેથી,$|\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ અને $|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \, dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} \, dx = -4 \sin \frac{x}{2} + c$.
તેથી,$f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
આમ,$f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) = -4 \sin \frac{\pi}{6} - (-4 \sin 0) = -4 \left(\frac{1}{2}\right) + 0 = -2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\left(x+\frac{2}{x}\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને ફરીથી લખતા: $x^4+4 x^2+3 = (x^2+2)^2 - 1$.
તેથી,$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{(x^2+2)^2 - 1}}$.
ધારો કે $t = x^2+2$,તો $dt = 2x dx$,જેનો અર્થ છે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1}(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C$.
$t = x^2+2$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2+2) + C$.