TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $b=6, c=9$ અને $\sin A=\frac{2 \sqrt{14}}{9}$.
$A$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\frac{56}{81}} = \frac{5}{9}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{5}{9} = \frac{36+81-a^2}{2(6)(9)}$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{117-a^2}{108}$ $\Rightarrow 60 = 117-a^2$ $\Rightarrow a^2 = 57$.
હવે,$3a(\cos B+\cos C) = 3a\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$.
$= \frac{3(b+c)}{2bc} [a^2 - (b-c)^2]$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3(6+9)}{2(6)(9)} [57 - (6-9)^2] = \frac{3(15)}{108} [57 - 9] = \frac{45}{108} \times 48 = 20$.

(A) કારણ $(R)$ માટે: આપેલ છે $r:R:r_2 = 1:2.5:6 = 2:5:12$.
ધારો કે $r=2k, R=5k, r_2=12k$.
સૂત્ર $r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$12k-2k = 4(5k) \sin^2 \frac{B}{2}$.
$10k = 20k \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિધાન $(A)$ માટે: આપેલ છે $r=6, r_2=36, R=15$.
$r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$36-6 = 4(15) \sin^2 \frac{B}{2}$.
$30 = 60 \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$.
જો $B=90^{\circ}$ હોય,તો $b^2 = a^2+c^2$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ કે $(R)$ એ $(A)$ માં વપરાયેલ ગુણધર્મ માટે તાર્કિક આધાર પૂરો પાડે છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$. સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$2 \sin B = \sin A + \sin C$.
આપેલ છે $A = 2C$,તેથી $2 \sin B = \sin 2C + \sin C$.
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,આપણી પાસે $B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ છે.
તેથી,$2 \sin(180^{\circ} - 3C) = \sin 2C + \sin C$.
$2 \sin 3C = 2 \sin C \cos C + \sin C$.
$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C(2 \cos C + 1)$.
કારણ કે $\sin C \neq 0$,આપણી પાસે $2(3 - 4 \sin^2 C) = 2 \cos C + 1$ છે.
$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$.
$6 - 8 + 8 \cos^2 C = 2 \cos C + 1$.
$8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$.
$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$.
$A = 2C$ હોવાથી,$C < 90^{\circ}$,તેથી $\cos C > 0$. આમ,$\cos C = \frac{3}{4}$.
તેથી $\sin C = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$B = 180^{\circ} - 3C$,તેથી $\sin B = \sin 3C = \sin C(4 \cos^2 C - 1)$.
$\sin B = \frac{\sqrt{7}}{4} (4(\frac{9}{16}) - 1) = \frac{5\sqrt{7}}{16}$.
અંતે,$b:c = \sin B : \sin C = \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4} = 5:4$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,તેથી $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$.
આમ,$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$.
આ સૂચવે છે કે $b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$.
$b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2$ પરથી,આપણને $2b^2 = 2a^2$ મળે છે,તેથી $a=b$.
$a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$ પરથી,આપણને $2c^2 = 2b^2$ મળે છે,તેથી $b=c$.
તેથી,$a=b=c$,જેનો અર્થ છે કે $\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આપેલ છે કે $a=2$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) $\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $a+b+c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનું સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ લેતા:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
આથી $2R = 2$,એટલે કે $R = 1$.
આપેલ છે $BC = a = 1$,તેથી $a = 2R \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.

(D) આપેલ છે કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર મુજબ,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$ લેતા,
$s = 6k$.
તેથી $a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
હવે,$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(D) આપેલ છે $r_1=2 r_2=3 r_3$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ પરથી,$s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$.
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ પરથી,$s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ ને આ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$.
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$.
ગુણોત્તર શોધતા:
$3a-3b = c$ અને $2a-b = 2c$ પરથી,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$.
ત્યારબાદ $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ અને $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,તેથી $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.
અંતે,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-11x^2+36x-36=0$ છે.
ઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા,$(x-2)(x-3)(x-6)=0$ મળે છે.
આમ,બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1=2, r_2=3, r_3=6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$.
$r = \frac{\Delta}{s} = 1$ હોવાથી,$\Delta = s$ મળે.
$r_1 = \frac{s}{s-a} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 2s - 2a$,તેથી $2a = s$.
$r_2 = \frac{s}{s-b} = 3$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 3s - 3b$,તેથી $3b = 2s$.
$r_3 = \frac{s}{s-c} = 6$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = 6s - 6c$,તેથી $6c = 5s$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$.
$a = \frac{s}{2}, b = \frac{2s}{3}, c = \frac{5s}{6}$ ને $a+b+c = 2s$ માં મૂકતા:
$\frac{s}{2} + \frac{2s}{3} + \frac{5s}{6} = \frac{3s+4s+5s}{6} = \frac{12s}{6} = 2s$.
આ કોઈપણ $s$ માટે સાચું છે. પરિમિતિ $2s$ શોધવા માટે,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = s$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\sqrt{s(s-\frac{s}{2})(s-\frac{2s}{3})(s-\frac{5s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{s(\frac{s}{2})(\frac{s}{3})(\frac{s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{s^4}{36}} = s$ $\Rightarrow \frac{s^2}{6} = s$.
$s \neq 0$ હોવાથી,$s = 6$.
તેથી,પરિમિતિ $2s = 2(6) = 12$ થાય.

(B) આપેલ છે $a=7, b=8, c=9$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2} = \frac{(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2}{\Delta^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(12-7)^2+(12-8)^2+(12-9)^2}{720} = \frac{5^2+4^2+3^2}{720} = \frac{25+16+9}{720} = \frac{50}{720} = \frac{5}{72}$.

(D) આપેલ છે $b=6, c=7$ અને $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.
સૂત્ર $\cos A = \frac{1-\tan^2(A/2)}{1+\tan^2(A/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{1-1/6}{1+1/6} = \frac{5/6}{7/6} = \frac{5}{7}$.
કોસાઇન નિયમ $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5}{7} = \frac{6^2+7^2-a^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{36+49-a^2}{84}$.
$60 = 85 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a=5$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = 9$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = (s-a) \tan \frac{A}{2}$.
$r = (9-5) \times \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

(A) આપેલ છે $a : b : c = 4 : 5 : 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2}(\frac{7k}{2})(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{120k^3}{4 \times \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=8^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=8$ છે. રેખા $y=\sqrt{3}x$ છે,જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ રેડિયનનો ખૂણો બનાવે છે.
આ પ્રદેશ એ $r=8$ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ ધરાવતો વર્તુળાકાર વૃતાંશ છે.
વર્તુળાકાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \times (8)^2 \times \frac{\pi}{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\pi}{3} = \frac{32 \pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2-2x+1}{x^2+x-1}$.
$y(x^2+x-1) = x^2-2x+1$
$(y-1)x^2 + (y+2)x - (y+1) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y+2)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$5y^2 + 4y \geq 0$
$y(5y+4) \geq 0$.
આથી $y \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [0, \infty)$.
તેથી,$y$ ની કિંમતો $\left(-\frac{4}{5}, 0\right)$ અંતરાલમાં નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{\log(\sin x)} + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$ છે.
પ્રથમ,પદને સરળ બનાવતા: $f(x) = \sin x + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$.
ધારો કે $f_1(x) = \sin x$,$f_2(x) = (\tan x)^3$,અને $f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$.
$f_1(x) = \sin x$ નો આવર્તમાન $T_1 = 2\pi$ છે.
$f_2(x) = (\tan x)^3$ નો આવર્તમાન $T_2 = \pi$ છે.
$f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$ નો આવર્તમાન $T_3 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન એ $(T_1, T_2, T_3)$ નો $\text{LCM}$ છે = $\text{LCM}(2\pi, \pi, \frac{2\pi}{3})$.
અપૂર્ણાંકોનો $\text{LCM}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\text{અંશનો LCM}}{\text{છેદનો HCF}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ = $\frac{\text{LCM}(2\pi, \pi, 2\pi)}{\text{HCF}(1, 1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

(C) આપેલ છે કે $x = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1}(y) = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
આપેલ સમીકરણની વ્યાખ્યા સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $\sinh^{-1}(y) = x$ મળે છે.
બંને બાજુ હાઇપરબોલિક સાઇન લેતા,આપણને $y = \sinh x$ મળે છે.

(A) બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6 x^4+13 x^3+2 x^2-x+3}{2 x^2+3 x-2} = 3 x^2+2 x+1 + \frac{5}{2 x^2+3 x-2}$
છેદના અવયવ પાડતા: $2 x^2+3 x-2 = (2 x-1)(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{5}{(2 x-1)(x+2)} = \frac{A}{2 x-1} + \frac{B}{x+2}$
$5 = A(x+2) + B(2 x-1)$
$x = \frac{1}{2}$ લેતા: $A = 2$.
$x = -2$ લેતા: $B = -1$.
સરખામણી કરતા: $f(x) = 3 x^2+2 x+1$,$a = 2$,$b = 2$,$A = 2$,$B = -1$.
$f(1)+a \cdot B+b \cdot A = 6 + 2(-1) + 2(2) = 8$.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x=2 \sin t$ અને $y=2 \cos t$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$x^2+y^2=4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 4$.
આ $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\frac{x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{y}{x}$ થાય.
$t = \frac{\pi}{2}$ આગળ,બિંદુ $x = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ અને $y = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ છે.
આ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{0}{2} = 0$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_N(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = 0(x - 2)$,જેનું સાદું રૂપ $y = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ અને $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$,તેથી $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$.
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$,તેથી $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
અહીં $y^2-x^2 = -4$ અને $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$,તેથી $xy = 2$.
તેથી,$\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}=p(x)+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x^4 = (x^3-6x^2+11x-6)(x+6) + (18x^2-42x+36)$.
તેથી,$p(x) = x+6$.
બાકીના ભાગ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{18x^2-42x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$x=1$ માટે: $12 = 2A \Rightarrow A=6$.
$x=2$ માટે: $24 = -B \Rightarrow B=-24$.
$x=3$ માટે: $72 = 2C \Rightarrow C=36$.
હવે,$p\left(\frac{3}{2}\right) + C = \left(\frac{3}{2} + 6\right) + 36 = \frac{15}{2} + 36 = 43.5$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $48$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+1}{\left(x^2+1\right)(x-1)^2}=\frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-1)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x+1 = (Ax+B)(x-1)^2 + C(x-1)(x^2+1) + D(x^2+1)$.
$x=1$ મૂકતા: $1+1 = D(1^2+1) \Rightarrow 2 = 2D \Rightarrow D=1$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x+1 = (Ax+B)(x^2-2x+1) + C(x^3-x^2+x-1) + D(x^2+1)$
$x+1 = (A+C)x^3 + (-2A+B-C+D)x^2 + (A-2B+C)x + (B-C+D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+C = 0 \Rightarrow C = -A$
$2$) $-2A+B-C+D = 0 \Rightarrow -2A+B-(-A)+1 = 0 \Rightarrow -A+B+1 = 0 \Rightarrow B = A-1$
$3$) $A-2B+C = 1 \Rightarrow A-2(A-1)+(-A) = 1 \Rightarrow A-2A+2-A = 1 \Rightarrow -2A = -1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
તેથી $C = -\frac{1}{2}$ અને $B = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$A+B+C+D = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
$(a)$ બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d_1^2 = y^2 + z^2$.
$(b)$ બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d_2^2 = x^2 + z^2$.
$(c)$ બિંદુ $P$ નું $z$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે. તેથી,$d_3^2 = x^2 + y^2$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ છે. તેથી,$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
લંબ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2)$ થાય છે.
આ સરવાળો ઉગમબિંદુથી અંતરના વર્ગના $k$ ગણો આપેલ છે,તેથી $2(x^2 + y^2 + z^2) = k(x^2 + y^2 + z^2)$.
આમ,$k = 2$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (3-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણો બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3}$
આમ,બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{5(3) + 3(1)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(1)}{5+3} \right) = \left( \frac{18}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right)$
હવે,$C(3,2,1)$ અને $D(\frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1)$ વચ્ચેના અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $CD$ ની લંબાઈ શોધો:
$CD = \sqrt{(\frac{9}{4} - 3)^2 + (\frac{1}{2} - 2)^2 + (1 - 1)^2}$
$CD = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 36}{16}} = \sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$

(C) બિંદુ $P$ જે $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તેના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P = \left( \frac{1(2) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(1) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3} \right)$
બિંદુ $Q$ જે $BC$ નું $-2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તેના યામ:
$Q = \left( \frac{-2(3) + 3(2)}{-2+3}, \frac{-2(1) + 3(3)}{-2+3}, \frac{-2(2) + 3(1)}{-2+3} \right) = (0, 7, -1)$
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$:
$PQ = \sqrt{\left(0 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(7 - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{7}{3}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{196}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{312}{9}} = \frac{2\sqrt{78}}{3}$

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,અને $M_3(0,0,5)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ મળે છે.
તે જ રીતે $y$ યામ માટે:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
આ ઉકેલતા,આપણને $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ મળે છે.
તે જ રીતે $z$ યામ માટે:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
આ ઉકેલતા,આપણને $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ મળે છે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,અને $C(-3, 4, 5)$ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
અંતે,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(3,-1,5),$ અને $C(4,0,-3)$ છે.
પ્રથમ,આપણે બાજુઓના દિશા ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} = (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$
$\overrightarrow{BC} = (4-3, 0+1, -3-5) = (1, 1, -8)$
$\overrightarrow{AC} = (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$
હવે,લંબપણા માટે તપાસીએ:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
પરિકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma) = \left(\frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$.
આમ,$\alpha = \frac{7}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = 1$.
તેથી,$|\alpha| + |\beta| = |\frac{7}{2}| + |-\frac{1}{2}| = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
કારણ કે $|\gamma| = |1| = 1$,આપણને $4 = 4|\gamma|$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4c < 0 \Rightarrow b^2 < 4c$.
જ્યારે $b$ અને $c$ ને $\{1, 2, \ldots, 9\}$ માંથી બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે $(b \neq c)$,ત્યારે $b^2 < 4c$ નું પાલન કરતી જોડીઓ $(b, c)$ નીચે મુજબ છે:

$b$	શક્ય $c$ કિંમતો $(c \neq b)$	ગણતરી
$1$	$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$8$
$2$	$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$7$
$3$	$4, 5, 6, 7, 8, 9$	$6$
$4$	$5, 6, 7, 8, 9$	$5$
$5$	$7, 8, 9$	$3$
$6$	શક્ય નથી	$0$

કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 8 + 7 + 6 + 5 + 3 = 29$.
કુલ શક્ય પરિણામો $= 9 \times 8 = 72$.
સંભાવના $= \frac{29}{72}$.

(D) ધારો કે કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
$A$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ પ્રથમ,પાંચમા,નવમા,... વારા પર કાળીનું પત્તું ખેંચે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના:
$P(A) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^4$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{p}{1-q^4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A) = \frac{1/4}{1 - (3/4)^4} = \frac{1/4}{1 - 81/256} = \frac{1/4}{175/256} = \frac{1}{4} \times \frac{256}{175} = \frac{64}{175}$.

(B) $6$ વિદ્યાર્થીઓને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $= 6! = 720$.
સાનુકૂળ ગોઠવણી શોધવા માટે,$A$ અને $B$ ને તેમની વચ્ચે એક વિદ્યાર્થી સાથે એક બ્લોક તરીકે ગણો. બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓ છે. આપણે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મૂકવા માટે $4$ માંથી $1$ વિદ્યાર્થીને $^4C_1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
હવે,$(A, \text{student}, B)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણો. બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે,જે $4!$ રીતે કરી શકાય છે.
બ્લોકની અંદર,$A$ અને $B$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $= ^4C_1 \times 4! \times 2! = 4 \times 24 \times 2 = 192$.
સંભાવના $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}$.

(C) ત્રણ પાસાઓ ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
ત્રણેય પાસાઓ પર અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળે તે માટે,પ્રથમ પાસા પર $6$ માંથી કોઈ પણ સંખ્યા,બીજા પાસા પર બાકી રહેલી $5$ સંખ્યાઓમાંથી કોઈ પણ,અને ત્રીજા પાસા પર બાકી રહેલી $4$ સંખ્યાઓમાંથી કોઈ પણ સંખ્યા આવી શકે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 5 \times 4 = 120$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 5 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_3 = 455$.
ઓછામાં ઓછા બે વાદળી દડા મેળવવા માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: બરાબર $2$ વાદળી અને $1$ અન્ય દડો.
રીતો = $^7C_2 \times ^8C_1 = 21 \times 8 = 168$.
કિસ્સો $2$: બરાબર $3$ વાદળી દડા.
રીતો = $^7C_3 = 35$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $168 + 35 = 203$.
સંભાવના = $\frac{203}{455} = \frac{29}{65}$.

(A) કુલ માળની સંખ્યા $= 7$.
દરેક $5$ વ્યક્તિ $7$ માળમાંથી કોઈપણ માળ પસંદ કરી શકે છે.
$5$ વ્યક્તિઓના ઉતરવાના કુલ પ્રકારો $= 7^5$.
જો તમામ $5$ વ્યક્તિઓ અલગ-અલગ માળે ઉતરે,તો તેના પ્રકારોની સંખ્યા ${}^7P_5$ થાય.
${}^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{}^7P_5}{7^5} = \frac{2520}{16807} = \frac{360}{2401}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય જો વિવેચક $D = a^2 - 4b \geq 0$ હોય,જેનો અર્થ છે $a^2 \geq 4b$.
અહીં $a \in \{3, 4, 5\}$ અને $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,કુલ શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
દરેક જોડી માટે $a^2 \geq 4b$ ની શરત તપાસતા:
જો $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2$ છે ($2$ જોડી).
જો $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
જો $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 4 + 4 = 10$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A) + P(B) = 2 P(A \cap B)$.
આપણે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ શરતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A \cup B) = 2 P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \leq P(A) \leq P(A \cup B)$ અને $P(A \cap B) \leq P(B) \leq P(A \cup B)$,તેથી $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ સમાનતા સૂચવે છે કે $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
આમ,$P(A) = P(B)$.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
ધારો કે $E_1$ એ $53$ રવિવાર મેળવવાની ઘટના છે,$E_2$ એ $53$ મંગળવાર મેળવવાની ઘટના છે,અને $E_3$ એ $53$ ગુરુવાર મેળવવાની ઘટના છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ રવિવાર અથવા $53$ મંગળવાર અથવા $53$ ગુરુવાર મેળવવાની સંભાવના $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)$ થશે.
$P(E_1) = \frac{1}{7}$,$P(E_2) = \frac{1}{7}$,અને $P(E_3) = \frac{1}{7}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ હોવાથી,આપેલ શરત મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.
વળી,$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ અને $A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$ હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ શરત સૂચવે છે કે $P(A) = P(B) = P(A \cap B)$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0$ અને $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0$.
આમ,વિકલ્પો $A$,$B$,અને $C$ સત્ય છે.
જોકે,$P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$,જે હંમેશા $1$ હોવું જરૂરી નથી. તેથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય નથી.