TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $P = (x, y)$. ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}(PABC) = \frac{1}{2} |3x - 2y - 4|$.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x + y - 3|$.
શરત મુજબ,$\text{Area}(PABC) = 2 \times \text{Area}(\triangle PAB)$.
તેથી,$|3x - 2y - 4| = 2|x + y - 3|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3x - 2y - 4)^2 = 4(x + y - 3)^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 - 4xy + 8y - 4 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -3)$,$B(-2, 1)$ અને $C(x_0, y_0)$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ રેખા $2x + 3y = 9$ પર હોવાથી,$2x_0 + 3y_0 = 9$ થાય.
ધારો કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2 - 2 + x_0}{3} = \frac{x_0}{3} \implies x_0 = 3h$
$k = \frac{-3 + 1 + y_0}{3} = \frac{y_0 - 2}{3} \implies y_0 = 3k + 2$
$x_0$ અને $y_0$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણ $2x_0 + 3y_0 = 9$ માં મૂકતા:
$2(3h) + 3(3k + 2) = 9$
$6h + 9k + 6 = 9$
$6h + 9k = 3$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $2h + 3k = 1$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x + 3y = 1$ મળે છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ છે અને રેખા $x+y+2=0$ છે.
રેખાનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા,$\frac{x+y}{-2}=1$ લખી શકાય.
વક્રના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2=0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2)+(x^2+2xy+y^2)=0$.
$3x^2-2xy-y^2=0$.
આને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, h=-1, b=-1$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1)^2-3(-1)}}{3-1} \right| = 2$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (-2)^2 - 4(-1) = 8$,અને $T = -2y - 2x + 2$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(y^2 - 4x)(8) = (-2y - 2x + 2)^2$.
$4$ વડે ભાગતા:
$2(y^2 - 4x) = (x + y - 1)^2$.
$x^2 + 2xy - y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$.
આ રેખાઓની જોડ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં $a = 1, h = 1, b = -1$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,છેદ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \infty$.

(B) ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે.
વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ ને જીવાના સમીકરણ સાથે સમઘાત બનાવતા:
$3x^2 - y^2 - 2x(lx + my) + 4y(lx + my) = 0$
$3x^2 - y^2 - 2lx^2 - 2mxy + 4lxy + 4my^2 = 0$
$(3 - 2l)x^2 + (4l - 2m)xy + (4m - 1)y^2 = 0$
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાઓની જોડ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ.
તેથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(3 - 2l) + (4m - 1) = 0$
$2 - 2l + 4m = 0$
$l - 2m = 1$
$lx + my = 1$ ને $l(1) + m(-2) = 1$ સાથે સરખાવતા,રેખા હંમેશા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) મૂળ સમીકરણ $2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવા માટે,આપણે $x = X + h$ અને $y = Y + k$ મૂકીએ છીએ.
નવું સમીકરણ $2(X+h)^2 - (X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 + 2(X+h) + 3(Y+k) + 1 = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$X$ અને $Y$ ના સુરેખ પદો $(4h - k + 2)X + (-h + 2k + 3)Y = 0$ મળે છે.
નવું ઉગમબિંદુ કેન્દ્ર હોવા માટે,આ સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4h - k = -2$ અને $-h + 2k = -3$.
આ ઉકેલતા,$h = -1$ અને $k = -2$ મળે છે.
તેથી,$h + k = -3$.
સમીકરણ $2X^2 - XY + Y^2 + C' = 0$ બને છે.
ભ્રમણ દ્વારા $XY$ પદ દૂર કરવા માટે,આપણે $\tan 2\theta = \frac{2H}{A-B}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં સમીકરણ $AX^2 + 2HXY + BY^2 = 0$ છે.
અહીં $A = 2, H = -1/2, B = 1$.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{2(-1/2)}{2 - 1} = -1$.
તેથી,$h + k + \tan 2\theta = -3 + (-1) = -4$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a^2 x^2 + 2xy + 4y^2 = 0$ છે.
તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a^2$,$H = 1$,અને $B = 4$ મળે છે.
બે ભિન્ન રેખાઓ માટેની શરત $H^2 - AB > 0$ છે.
તેથી,$1^2 - (a^2)(4) > 0$.
$1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 - 1 < 0$.
$(2a - 1)(2a + 1) < 0$.
આથી,$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આને $(2\ell-3)x^2 + 2\ell xy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2\ell-3$,$h = \ell$,અને $b = -1$ મળે છે.
સમીકરણ ભિન્ન રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\ell^2 - (2\ell-3)(-1) > 0$.
$\ell^2 + 2\ell - 3 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(\ell+3)(\ell-1) > 0$.
આ અસમતા $\ell < -3$ અથવા $\ell > 1$ માટે સાચી છે.
આમ,આ શરત $\ell \in R - [-3, 1]$ ની તમામ કિંમતો માટે સંતોષાય છે.

(A) સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$3x - 2y + 5 = 0$ અને $3x - 2y + 5 + 2\sqrt{13} = 0$ માટે,$d = \frac{|5 - (5 + 2\sqrt{13})|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$.
$L_1: 3x - 2y + k_1 = 0$ એ $3x - 2y + 5 = 0$ થી $\frac{4d}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$ અંતરે છે,તેથી $\frac{|k_1 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_1 - 5| = 8$. $k_1 > 0$ હોવાથી,$k_1 = 13$.
$L_2: 3x - 2y + k_2 = 0$ એ $3x - 2y + 5 = 0$ થી $\frac{3d}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ અંતરે છે,તેથી $\frac{|k_2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_2 - 5| = 6$. $k_2 > 0$ હોવાથી,$k_2 = 11$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y + 13)(3x - 2y + 11) = 0$ છે.
$u = 3x - 2y$ લેતા,$(u + 13)(u + 11) = u^2 + 24u + 143 = 0$.
તેથી,$(3x - 2y)^2 + 24(3x - 2y) + 143 = 0$ મળે છે.

(C) $L = 0$ અને $l = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $L + \lambda l = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેખાઓને મૂકતા:
$(2x + 3y - 5) + \lambda(4x - 5y + 7) = 0$
$(2 + 4\lambda)x + (3 - 5\lambda)y + (7\lambda - 5) = 0$ --- (સમીકરણ $1$)
રેખા $L_1$ એ $(2, 3)$ અને $(1, -1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,વિભાજન બિંદુ $(x, y)$ છે:
$x = \frac{2(1) + 1(2)}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2(-1) + 1(3)}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ એ $L_1$ પર હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણ $1$ માં મૂકીએ છીએ:
$(2 + 4\lambda)(\frac{4}{3}) + (3 - 5\lambda)(\frac{1}{3}) + (7\lambda - 5) = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$4(2 + 4\lambda) + (3 - 5\lambda) + 3(7\lambda - 5) = 0$
$8 + 16\lambda + 3 - 5\lambda + 21\lambda - 15 = 0$
$32\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
$\lambda = \frac{1}{8}$ ને સમીકરણ $1$ માં પાછું મૂકતા:
$(2 + 4(\frac{1}{8}))x + (3 - 5(\frac{1}{8}))y + (7(\frac{1}{8}) - 5) = 0$
$2.5x + 2.375y - 4.125 = 0$
$\frac{5}{2}x + \frac{19}{8}y = \frac{33}{8}$
$ax + by = 1$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $\frac{8}{33}$ વડે ગુણતા:
$(\frac{5}{2} \times \frac{8}{33})x + (\frac{19}{8} \times \frac{8}{33})y = 1$
$\frac{20}{33}x + \frac{19}{33}y = 1$
આમ,$a = \frac{20}{33}$ અને $b = \frac{19}{33}$.
તેથી,$33(a - b) = 33(\frac{20}{33} - \frac{19}{33}) = 33(\frac{1}{33}) = 1$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\alpha, \beta)$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0, 3)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $Y$-યામ $3$ થાય,એટલે કે $-f = 3 \Rightarrow f = -3$.
$(0, 3)$ બિંદુ વર્તુળ પર હોવાથી,$9 + 6f + c = 0$ $\Rightarrow 9 - 18 + c = 0$ $\Rightarrow c = 9$.
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ છે,તેથી $g^2 - c = 1$ $\Rightarrow g^2 - 9 = 1$ $\Rightarrow g^2 = 10$ $\Rightarrow g = \pm \sqrt{10}$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (-g, -f)$ છે અને $\alpha < 0$ હોવાથી,$-g < 0 \Rightarrow g > 0$. તેથી $g = \sqrt{10}$.
આમ,$\alpha = -\sqrt{10}$ અને $\beta = 3$. તેથી કેન્દ્ર $(-\sqrt{10}, 3)$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(\alpha, \beta)$ છે અને $A(1,1)$ માંથી પસાર થતા વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $Q(h, k)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $|\beta|$ થાય. આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = \beta^2$ છે.
$A(1,1)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$(1-\alpha)^2 + (1-\beta)^2 = \beta^2$,જેનું સાદું રૂપ $(1-\alpha)^2 + 1 - 2\beta = 0$ થાય,તેથી $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$.
$O(\alpha, \beta)$ એ વ્યાસ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\alpha = \frac{h+1}{2}$ અને $\beta = \frac{k+1}{2}$ મળે.
આ કિંમતોને $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$ માં મૂકતા:
$k+1 = (1 - \frac{h+1}{2})^2 + 1$
$k+1 = (\frac{2-h-1}{2})^2 + 1$
$k+1 = \frac{(1-h)^2}{4} + 1$
$k = \frac{(h-1)^2}{4}$
$4k = (h-1)^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x-1)^2 = 4y$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસ $x - y = 2$ અને $2x + 3y = 14$ નું છેદબિંદુ છે.
$x - y = 2$ પરથી $y = x - 2$ મળે.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2x + 3(x - 2) = 14$.
$2x + 3x - 6 = 14$ $\Rightarrow 5x = 20$ $\Rightarrow x = 4$.
તેથી $y = 4 - 2 = 2$.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 2)$ છે.
વર્તુળ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(4, 2)$ અને બિંદુ $(1, -2)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(C) આપેલ રેખા $x-y+1=0$ પરથી $y=x+1$ મળે છે.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ માં મૂકતા:
$x^2+(x+1)^2+2x+2(x+1)+1=0$
$2x^2+6x+4=0 \Rightarrow x^2+3x+2=0$
$(x+1)(x+2)=0$,તેથી $x=-1$ અથવા $x=-2$.
$x=-1$ માટે $y=0$ અને $x=-2$ માટે $y=-1$.
આમ,બિંદુઓ $A(-1, 0)$ અને $B(-2, -1)$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
$(x+1)(x+2)+(y-0)(y+1)=0$
$x^2+y^2+3x+y+2=0$.
આને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g=3 \Rightarrow g=3/2$,$2f=1 \Rightarrow f=1/2$,અને $c=2$ મળે છે.
તેથી $g+f = 3/2 + 1/2 = 2$.
અહીં $c=2$ હોવાથી,$g+f=c$ થાય છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ છે. કેન્દ્ર $x-y+1=0$ રેખા પર હોવાથી,$\beta = \alpha+1$. તેથી,$C = (\alpha, \alpha+1)$.
આપેલ બિંદુઓ $P(3,1)$ અને $Q(-2,4)$ વર્તુળ પર છે,તેથી $CP^2 = CQ^2$.
$(\alpha-3)^2 + (\alpha+1-1)^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha+1-4)^2$
$(\alpha-3)^2 + \alpha^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha-3)^2$
$\alpha^2 = (\alpha+2)^2$
$\alpha^2 = \alpha^2 + 4\alpha + 4$
$4\alpha = -4 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી,કેન્દ્ર $C(-1, 0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = CP = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
વર્તુળના પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = -1 + \sqrt{17} \cos \theta$ અને $y = \sqrt{17} \sin \theta$ મળે.

(D) $X$-અંત:ખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 6 \Rightarrow g^2-c = 9$ ...$(1)$
$Y$-અંત:ખંડ $2\sqrt{f^2-c} = 8 \Rightarrow f^2-c = 16$ ...$(2)$
રેખા $gx+fy+1=0$ એ $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $g(1) + f(-1) + 1 = 0 \Rightarrow g-f = -1$ ...$(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $g^2-f^2 = -7 \Rightarrow (g-f)(g+f) = -7$.
$g-f = -1$ મુકતા,આપણને $g+f = 7$ મળે છે ...$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ઉકેલતા: $2g = 6 \Rightarrow g = 3$ અને $f = 4$.
$(1)$ પરથી,$c = g^2-9 = 3^2-9 = 0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+4^2-0} = \sqrt{9+16} = 5$.

(C) કેન્દ્ર $C(2,3)$ થી જીવા $AB$ $(x+y+1=0)$ પરના લંબ $CD$ ની લંબાઈ:
$CD = \left|\frac{2+3+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\triangle CAD$ માં,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\angle ACD = 30^{\circ}$.
$\triangle CAD$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 30^{\circ} = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AC}$.
$AC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.
ત્રિજ્યા $r = AC$,તેથી $r^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
કેન્દ્ર $(2,3)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $24$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 24$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$.

(B) સમીકરણ $ax^2-xy-3y^2-5x+20y+c=0$ એ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
$(2,3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(2)^2 - (2)(3) - 3(3)^2 - 5(2) + 20(3) + c = 0$
$4a - 6 - 27 - 10 + 60 + c = 0$
$4a + c = -17$ ...$(1)$
રેખાઓની જોડી માટે,નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & -1/2 & -5/2 \\ -1/2 & -3 & 10 \\ -5/2 & 10 & c \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા $a=2$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $a=2$ મૂકતા,$c = -17 - 4(2) = -25$ મળે છે.
તેથી,$a - c = 2 - (-25) = 27$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x - 3y + 3 = 0$,$L_2: 2x + y + 1 = 0$,અને $L_3: 6x + 4y + 1 = 0$ છે.
ઢાળ ચકાસતા,$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 2/3$ અને $L_3$ નો ઢાળ $m_3 = -3/2$ છે.
$m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,$L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને $L_2$ એ કર્ણ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8x^2 + 8y^2 + 18x - 20y + 17 = 0$ મળે છે.

(A) સમાંતર રેખાઓ $x+y-2=0$ અને $x+y-6=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-2 - (-6)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
અંતર્ગત વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ચોરસની મધ્યરેખાઓનું છેદબિંદુ છે. મધ્યરેખાઓ $x+y-4=0$ અને $x-y+3=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $(x+y=4)$ અને $(x-y=-3)$. સરવાળો કરતા $2x=1$,તેથી $x=\frac{1}{2}$. $x$ ની કિંમત મૂકતા $y=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{7}{2})^2 = (\sqrt{2})^2$ છે.
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 7y + \frac{49}{4} = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 12.5 = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 10.5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$2x^2 + 2y^2 - 2x - 14y + 21 = 0$ મળે છે.

(B) ચાર વર્તુળોના કેન્દ્ર $(\lambda, \lambda), (\lambda, -\lambda), (-\lambda, \lambda),$ અને $(-\lambda, -\lambda)$ છે અને ત્રિજ્યા $\lambda$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ઉગમબિંદુથી કોઈપણ ચાર વર્તુળોના કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} = \sqrt{2} \lambda$ છે.
જરૂરી વર્તુળ આ ચાર વર્તુળોને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,જરૂરી વર્તુળના કેન્દ્ર અને ચાર વર્તુળોમાંથી કોઈપણના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ,એટલે કે $r + \lambda$.
તેથી,$r + \lambda = \sqrt{2} \lambda$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \sqrt{2} \lambda - \lambda = (\sqrt{2} - 1) \lambda$ મળે છે.

(B) વર્તુળ બિંદુઓ $A(3,4)$,$B(3,2)$ અને $C(1,4)$ માંથી પસાર થાય છે.
અહીં $AB$ એ શિરોલંબ રેખાખંડ $(x=3)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખાખંડ $(y=4)$ છે,તેથી $A(3,4)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
આમ,$BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ એ કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી $(3, 4)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ અને $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ છે.
$x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$ અને $r = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S_2 = 0$ છે. સ્પર્શબિંદુ $P(1,2)$ છે. આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+2x+8y-23=0$ નું કેન્દ્ર $C_1(-1,-4)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2-(-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ થાય.
કેન્દ્ર $C_2(h,k)$ એ $C_1(-1,-4)$ અને $P(1,2)$ ને જોડતી રેખા પર આવેલું છે. સદિશ $\vec{C_1P} = (2,6)$ છે.
$\vec{C_1P}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{(2,6)}{2\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ છે.
$C_2$ એ $P(1,2)$ થી $\sqrt{10}$ અંતરે હોવાથી,$C_2 = (1,2) + \sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}) = (2,5)$ મળે.
કેન્દ્ર $(2,5)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{10}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 10$ એટલે કે $x^2+y^2-4x-10y+19 = 0$ થાય.
અહીં $a=-4, b=-10, c=19$ છે.
તેથી $|a+b+c| = |-4-10+19| = 5$.

(C) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને $(-6, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$
$x^2 + 2xr + r^2 + y^2 - 2yr + r^2 = r^2$
$x^2 + y^2 + 2xr - 2yr + r^2 = 0$
બિંદુ $(-6, 3)$ મૂકતા:
$(-6)^2 + (3)^2 + 2(-6)r - 2(3)r + r^2 = 0$
$36 + 9 - 12r - 6r + r^2 = 0$
$r^2 - 18r + 45 = 0$
$(r - 3)(r - 15) = 0$
તેથી,$r = 3$ અથવા $r = 15$.
$r = 3$ માટે,સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=3$,અને $c=-12$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f) = (2, -3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+(3)^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે $O(-3, 2)$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે. પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ વર્તુળ $S$ ની જીવા છે.
કેન્દ્રો $O(-3, 2)$ અને $C(2, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$S$ ના કેન્દ્ર,પ્રથમ વર્તુળના કેન્દ્ર અને જીવા પરના બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $R$ એ $R^2 = r^2 + d^2$ દ્વારા મળે છે.
$R^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2 = 25 + 50 = 75$.
$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+6y-2=0$ છે. કેન્દ્ર $O$ એ $(-3, -3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2-(-2)} = \sqrt{9+9+2} = \sqrt{20}$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ છે. રેખાના સમીકરણ $5x-2y+6=0$ માં $x=0$ મૂકતા,$-2y+6=0$ મળે,તેથી $y=3$. આમ,$Q$ એ $(0, 3)$ છે.
બિંદુ $Q(0, 3)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{S_1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S_1 = x_1^2+y_1^2+6x_1+6y_1-2$.
$PQ = \sqrt{0^2+3^2+6(0)+6(3)-2} = \sqrt{0+9+0+18-2} = \sqrt{25} = 5$.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T=0$ મુજબ $\sqrt{3}x+y=4$ મળે છે.
આ સ્પર્શક $PT$ નો ઢાળ $m_{PT} = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $PT$ ને લંબ હોવાથી,$L$ નો ઢાળ $m_L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થશે.
ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ છે,જેને $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $L$ એ વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ (કેન્દ્ર $(3, 0)$,ત્રિજ્યા $r=1$) નો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
કિસ્સો $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2$ $\Rightarrow \sqrt{3}c = -1$ $\Rightarrow c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 1$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5,0)$ છે.
બિંદુ $(9,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $9x + 3y - 5(x+9) = 0$ એટલે કે $4x + 3y - 45 = 0$ થાય.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(\frac{45}{4}, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $3x - 4y - 15 = 0$ થાય.
અભિલંબ $X$-અક્ષને $B(5,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(9,3)$,$A(\frac{45}{4}, 0)$ અને $B(5,0)$ છે.
પાયો $AB = \frac{45}{4} - 5 = \frac{25}{4}$ અને વેધ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 3 = \frac{75}{8}$ ચોરસ એકમ.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1=T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2+y^2-4=0$ અને બિંદુ $(4,0)$ છે.
$S_1 = 4^2+0^2-4 = 12$.
$T = 4x-4$.
$SS_1=T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$12(x^2+y^2-4) = (4x-4)^2$.
$12(x^2+y^2-4) = 16(x-1)^2$.
$4$ વડે ભાગતા:
$3(x^2+y^2-4) = 4(x^2-2x+1)$.
$3x^2+3y^2-12 = 4x^2-8x+4$.
$x^2-3y^2-8x+16 = 0$.
$(x-4)^2 - 3y^2 = 0$.
$(x-4)^2 = 3y^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{3}y = \pm(x-4)$.

(D) વર્તુળ $S = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-4)} = 3$ છે.
વર્તુળ $S^{\prime} = x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_2 = (-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
સીધા સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{(C_1 C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$L = \sqrt{5^2 - (3 - 2)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.
તેથી, $T_1$ અને $T_1^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર $2 \sqrt{6}$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1, f=2, c=3$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+2^2-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $P(6,-5)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_1}$ છે.
$L = \sqrt{6^2+(-5)^2-2(6)+4(-5)+3} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,જ્યાં $O$ કેન્દ્ર છે અને $A$ સ્પર્શબિંદુ છે,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{L} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{2\tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2(\frac{1}{4})}{1-(\frac{1}{4})^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.
તેથી,$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{15}{8}$.

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5-c}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{2}$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ લેતા,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$.
ઉકેલતા,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ અને $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1} = 1$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-k} = \sqrt{2-k}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{1^2 + (\sqrt{2-k})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2(1)(\sqrt{2-k})} = \frac{1 + 2 - k - 8}{2\sqrt{2-k}} = \frac{-5-k}{2\sqrt{2-k}}$.
તેથી,$\sqrt{2-k} = -5-k$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2-k = (-5-k)^2 = 25 + k^2 + 10k$.
$k^2 + 11k + 23 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$k = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(23)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 92}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{29}}{2}$.
કારણ કે $\sqrt{29}$ અસંમેય છે,તેથી $k$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આ શરત આપેલ વર્તુળો માટે લાગુ પાડતા:
$1$) $4g + 4f = c + 7$
$2$) $-4g + 4f = c + 7$
$3$) $-4g - 4f = c + 7$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા $8g = 0 \Rightarrow g = 0$ મળે.
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા $c = -7$ મળે.
તેથી $f = 0$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 - 7 = 0$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + c = 0$ મુજબ $\sqrt{3}x + 2y - 7 = 0$ થાય.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તો શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ અને $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$.
શરત લાગુ પાડતા: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$.
ધારો કે $r_1$ એ $S$ ની ત્રિજ્યા છે,તેથી $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$.
આપેલ છે કે $S$ એ $C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્રો $O_1 = (-g, -f)$ અને $O_2 = (-2, -2)$ છે. અંતર $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$.
$C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ છે.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$.
$2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$.
$g + f = 0$ અને $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$ હોવાથી,$2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$.
માનાંક લેતા,$2r_1 = 8$,તેથી $r_1 = 4$.

(C) બે વર્તુળો લંબકોણીય હોય જો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય.
વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ માટે,લંબકોણીયતાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
વર્તુળ $1$: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = k$.
વર્તુળ $2$: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(-2)(4) + 2(-3)(-2) = k + 11$
$-16 + 12 = k + 11$
$-4 = k + 11$
$k = -15$.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \lambda(x^2+y^2-4x-6y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6-4\lambda)x + (4-6\lambda)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)y - 12 = 0$ મળે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
અહીં $r = \sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી $g^2+f^2-c = 13$.
$\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)^2 + \left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)^2 - (-12) = 13$
$\frac{9+4\lambda^2-12\lambda + 4+9\lambda^2-12\lambda}{(1+\lambda)^2} = 1$
$13\lambda^2 - 24\lambda + 13 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12=0$ છે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2-2y-12=0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર $x-y=0$ રેખા પર હોવાથી,$-g - (-f) = 0$,એટલે કે $g=f$.
તેથી,વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2gy=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ થાય.
અહીં,$g_1=g, f_1=g, c_1=0$ અને $g_2=-2, f_2=-3, c_2=10$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2(g)(-2) + 2(g)(-3) = 0 + 10$.
$-4g - 6g = 10$ $\Rightarrow -10g = 10$ $\Rightarrow g = -1$.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-0} = \sqrt{2}$.
વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ $2r = 2\sqrt{2}$ થાય.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3,4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $|r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_2 - r_1|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે,ત્યારે તેમને $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x-6y+13=0$ અને $C_2: x^2+y^2-8y+9=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-6x-6y+13) - (x^2+y^2-8y+9) = 0$
$-6x+2y+4 = 0 \Rightarrow 3x-y-2 = 0$.
આ પરવલયની નિયામિકા છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m_D = 3$ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
અક્ષનો ઢાળ $m_A = -1/3$ છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y - 0 = -1/3(x - 0) \Rightarrow x+3y = 0$ છે.
શિરોબિંદુથી નિયામિકા પરના લંબપાદનું બિંદુ $3x-y-2=0$ અને $x+3y=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ ઉકેલતા,આપણને $x = 3/5$ અને $y = -1/5$ મળે છે. આ બિંદુ $Z(3/5, -1/5)$ છે.
શિરોબિંદુ $O(0,0)$ એ નાભિ $S(\alpha, \beta)$ અને લંબપાદ $Z(3/5, -1/5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$0 = (\alpha + 3/5)/2 \Rightarrow \alpha = -3/5$
$0 = (\beta - 1/5)/2 \Rightarrow \beta = 1/5$.
આમ,નાભિ $(-3/5, 1/5)$ છે.

(A) વર્તુળો $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$S_1$ અને $S_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)}, -\frac{3+3\lambda}{2(1+\lambda)})$ છે.
સામાન્ય જીવા $x = -\frac{1}{2}$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું છે.
$-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\lambda = -1$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
કિંમત મૂકતા,$2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે।
વર્તુળ ધન $X$ અને $Y$ અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી, તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ હશે, જ્યાં $r > 0$.
તેથી, સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ બને છે, જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ થાય છે।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $g = -r$ અને $f = -r$ મળે છે।
બિંદુ $(2, 4)$ વર્તુળ પર હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$r^2 - 12r + 20 = 0$
$(r - 10)(r - 2) = 0$
તેથી, બે શક્ય ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 10$ અને $r_2 = 2$ છે।
બે વર્તુળોના ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(10)^2 = 100\pi$ અને $A_2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ છે।
તેમના ક્ષેત્રફળનો તફાવત $100\pi - 4\pi = 96\pi$ છે।

(C) ધારો કે વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ છે કે $P(-3, 5)$ નો વ્યસ્ત બિંદુ $A(1, 3)$ છે.
$P$ ની ધ્રુવીય રેખા એ $PA$ ને લંબ હોય છે.
$PA$ નો ઢાળ $m_{PA} = \frac{3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,ધ્રુવીય રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{PA}} = 2$ થશે.
ધ્રુવીય રેખા $A(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 3 = 2(x - 1)$ થશે.
$y - 3 = 2x - 2$.
$2x - y + 1 = 0$.

(D) ધારો કે ધ્રુવ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ માટે ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ: $hx + ky - \frac{3}{2}(\frac{x+h}{2}) + \frac{5}{2}(\frac{y+k}{2}) - \frac{7}{2} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા: $(4h - 3)x + (4k + 5)y - 3h + 5k - 14 = 0$.
આપેલ રેખા $9x + y - 28 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 1$ મળે છે.
તેથી,$4h - 3 = 9$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$4k + 5 = 1$ $\Rightarrow 4k = -4$ $\Rightarrow k = -1$.
આમ,ધ્રુવ $(3, -1)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-8x+10y+5=0$.
$P(1,1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $T=0$ મુજબ:
$x(1)+y(1)-4(x+1)+5(y+1)+5=0 \Rightarrow x-2y-2=0$ ...$(1)$
$Q(1,-1)$ ને મધ્યબિંદુ તરીકે ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ:
$x(1)+y(-1)-4(x+1)+5(y-1)+5 = 1+1-8-10+5 \Rightarrow 3x-4y-7=0$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $(11, 13/2)$ મળે છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2-5x+6y+12=0$ અને $S_2: x^2+y^2+6x-4y-14=0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2-5x+6y+12) - (x^2+y^2+6x-4y-14) = 0$
$-11x+10y+26=0$ અથવા $11x-10y-26=0$.
રેડિકલ અક્ષનો ઢાળ $m_1 = \frac{11}{10}$ છે.
રેડિકલ અક્ષને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{10}{11}$ થાય.
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -\frac{10}{11}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y-1 = -\frac{10}{11}(x-1)$
$11(y-1) = -10(x-1)$
$11y-11 = -10x+10$
$10x+11y-21=0$.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-1=0$,$S_2: x^2+y^2-2x-3=0$ અને $S_3: x^2+y^2-2y-3=0$ છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ.
$S_1-S_2=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.
$S_1-S_3=0 \implies 2y+2=0 \implies y=-1$.
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ એ $(-1, -1)$ છે.
વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ: $r_1 = 1$,$r_2 = 2$,$r_3 = 2$.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r = 1+2+2 = 5$.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $5$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=25$ થાય.

(D) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-2x-6y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(1, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-9} = \sqrt{1} = 1$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+6x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(-3, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2+1^2-1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
અહીં $\sqrt{20} \approx 4.47$ અને $r_1 + r_2 = 1 + 3 = 4$ હોવાથી,$d > r_1 + r_2$ થાય છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી અને એકબીજાની બહાર આવેલા છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $P(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + h$ અને $y = y' + k$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$3(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 6(x' + h) + 4(y' + k) + 4 = 0$
$3(x'^2 + 2hx' + h^2) + (y'^2 + 2ky' + k^2) - 6x' - 6h + 4y' + 4k + 4 = 0$
$3x'^2 + y'^2 + (6h - 6)x' + (2k + 4)y' + (3h^2 + k^2 - 6h + 4k + 4) = 0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$x'$ અને $y'$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$6h - 6 = 0 \Rightarrow h = 1$
$2k + 4 = 0 \Rightarrow k = -2$.
તેથી,ઉગમબિંદુ $P(1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
હવે,બીજા સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 5y^2 + 2x - 23y - 24 = 0$ માં $x = x' + 1$ અને $y = y' - 2$ મૂકતા:
$2(x' + 1)^2 + 3(x' + 1)(y' - 2) - 5(y' - 2)^2 + 2(x' + 1) - 23(y' - 2) - 24 = 0$
ગણતરી કરતા આપણને મળે છે:
$2x'^2 + 3x'y' - 5y'^2 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે. આપેલ છે કે $PA + PB = 4$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x-0)^2 + (y+2)^2} = 4$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-2)^2 + y^2 = 16 + x^2 + (y+2)^2 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 16 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$-4x - 4y - 16 = -8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x + y + 4 = 2\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x + y + 4)^2 = 4(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 + 16 + 2xy + 8x + 8y = 4x^2 + 4y^2 + 16y + 16$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 - 8x + 8y = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ થાય.
આપણને $|\vec{a}| = 8$ અને $|\vec{b}| = 3$ આપેલ છે.
આપણે $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$
$= |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$
જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$= (8)^2 + 4(3)^2 - 4(0)$
$= 64 + 4(9) - 0$
$= 64 + 36 = 100$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{100} = 10$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \vec{BC} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \vec{CD} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $\vec{BC}$ અને $\vec{CD}$ છે. વિકર્ણો $\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{d_1} = \vec{AC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \vec{BD} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (3)(1) + (3)(-1) + (-1)(3) = 3 - 3 - 3 = -3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-3}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-3}{\sqrt{209}}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{209} = \frac{200}{209}$,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{209}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{209}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{10\sqrt{2} / \sqrt{209}}{-3 / \sqrt{209}} = \frac{-10\sqrt{2}}{3}$.

(D) બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ જે $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તે વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = \frac{2(\overrightarrow{OB}) + 1(\overrightarrow{OA})}{2+1} = \frac{2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + 1(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k} + \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{3} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
હવે,સદિશ $\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC} - \vec{r} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PC}$ નું માન $|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\overrightarrow{PC}$ ની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે:
$l = \frac{3}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{6}{7}$
તેથી,$l + 3m + 2n = \frac{3}{7} + 3(\frac{2}{7}) + 2(\frac{6}{7}) = \frac{3 + 6 + 12}{7} = \frac{21}{7} = 3$

(A) સદિશ $\vec{v}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ ગણો.
$\vec{p}$ ($\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ) માટે:
$\vec{p} = \left(\frac{(6)(1) + (2)(-2) + (-3)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{6 - 4 - 6}{9}\right) \vec{a} = \frac{-4}{9} \vec{a}$.
$\vec{q}$ ($\vec{c}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ) માટે:
$\vec{q} = \left(\frac{(3)(1) + (-4)(-2) + (-12)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{3 + 8 - 24}{9}\right) \vec{a} = \frac{-13}{9} \vec{a}$.
હવે,આપણે $13 \vec{p}$ શોધવાનું છે:
$13 \vec{p} = 13 \left(\frac{-4}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
$\vec{q} = \frac{-13}{9} \vec{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $4 \vec{q} = 4 \left(\frac{-13}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
તેથી,$13 \vec{p} = 4 \vec{q}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{C} = \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{D} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = 2\hat{j} + (\lambda-1)\hat{k}$.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(2(\lambda-1) - 2) - 1(-1(\lambda-1) - 0) - 2(-2 - 0) = 0$.
$1(2\lambda - 4) + 1(\lambda - 1) + 4 = 0$.
$3\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
હવે,સદિશ $6\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ થાય.
તેનું માન $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{b}-\vec{a}$,$\vec{c}-\vec{a}$,અને $\vec{d}-\vec{a}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત એ છે કે આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-14(3(-4) - (-7)(3)) - 0 + (-6)(-3(3) - 3(\lambda-2)) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108 \implies \lambda = 6$.

(B) ધારો કે $G_1$ એ $\triangle ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ છે.
ધારો કે $G_2$ એ $\triangle ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ થાય.
કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ છે,તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
તેથી,$[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{d}| \cos 0^{\circ} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 30^{\circ} (1) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} \vec{c} - 0 \cdot \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ બને છે.
તેથી,$\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$ અને $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{a}+2\vec{b}|^2=20$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 20$
$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 20$
$2|\vec{a}|^2 + 5|\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 20$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2(1)^2 + 5(2)^2 + 2(1)(2)\cos\theta = 20$
$2 + 20 + 4\cos\theta = 20$
$22 + 4\cos\theta = 20$
$4\cos\theta = -2$
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \hat{i} = \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{a} \times \hat{i} = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \times \hat{i} = -y \hat{k} + z \hat{j} = z \hat{j} - y \hat{k}$.
$\hat{j} + \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $z = 1$ અને $y = -1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \hat{i} = x = 1$.
આમ,$\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{a}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{p} + t \vec{a}$ છે.
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+t) \hat{i} + (1-t) \hat{j} + (1+t) \hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 1$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 1$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
$3 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}) = 1$.
કારણ કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}| \cos \alpha = \cos \alpha$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = |\vec{c}||\vec{b}| \cos \beta = \cos \beta$,તેથી:
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$.
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3 = -2$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta = -1$.

(D) આપેલ છે કે $(\vec{c} \cdot \vec{c}) \vec{a} = \vec{c}$. બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{c} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$.
$\vec{c}$ શૂન્ય સદિશ ન હોવાથી,$|\vec{c}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) = |\vec{c}|^2$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ $(i)$.
આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$
$-\vec{a} \cdot \vec{b} = \beta^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - \beta^2$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha \Rightarrow \beta^2 - 2 \beta + 2 - \sin \alpha = 0$.
આ સમીકરણ માટે $\sin \alpha = 1$ (એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$) લેતા,$\beta^2 - 2 \beta + 1 = 0 \Rightarrow (\beta - 1)^2 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
તેથી,$\sin (\alpha + \beta) = \sin (\frac{\pi}{2} + 1) = \cos 1$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{p} = \vec{q} + \vec{r}$,તેથી:
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d + 3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = d + 3 \Rightarrow d = a - 3$,$b = 4$,અને $c = 2$ મળે છે.
$\vec{q}$ અને $\vec{r}$ દ્વારા બનતા $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}| = 5 \sqrt{6}$ છે.
$\vec{q} \times \vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ d & 3 & 4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 4) - \hat{j}(-2d - 12) + \hat{k}(d - 9) = -10 \hat{i} + (2d + 12) \hat{j} + (d - 9) \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{(-10)^2 + (2d + 12)^2 + (d - 9)^2} = 5 \sqrt{6}$.
$\sqrt{100 + 4d^2 + 48d + 144 + d^2 - 18d + 81} = 10 \sqrt{6}$.
$5d^2 + 30d + 325 = 600 \Rightarrow 5d^2 + 30d - 275 = 0 \Rightarrow d^2 + 6d - 55 = 0$.
$(d + 11)(d - 5) = 0$,તેથી $d = 5$ અથવા $d = -11$.
જો $d = 5$,તો $a = 5 + 3 = 8$. તેથી $|a| + |b| + |c| = 8 + 4 + 2 = 14$.
જો $d = -11$,તો $a = -11 + 3 = -8$. તેથી $|a| + |b| + |c| = |-8| + 4 + 2 = 14$.

(D) સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 61$.
$\begin{vmatrix} \lambda & 3 & 4 \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \pm 61$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(3 - \lambda) - 3(-9 - \lambda^2) + 4(3 + \lambda) = \pm 61$.
$3\lambda - \lambda^2 + 27 + 3\lambda^2 + 12 + 4\lambda = \pm 61$.
$2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = \pm 61$.
કિસ્સો $1$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = 61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda - 22 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-22)}}{2(2)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}$.
$\lambda = \frac{8}{4} = 2$ અથવા $\lambda = \frac{-22}{4} = -5.5$.
કારણ કે $\lambda$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\lambda = 2$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = -61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda + 100 = 0$.
વિવેચક $D = 7^2 - 4(2)(100) = 49 - 800 = -751 < 0$. આ કિસ્સા માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$\lambda$ માટે માત્ર એક જ શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્ય $2$ છે. શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{r} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 20) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-12 + 1) = 22\hat{i} + 11\hat{j} - 11\hat{k} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
તેથી,$\vec{r} = \lambda(11)(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 11$,તેથી $11\lambda(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 11$.
$11\lambda(2(1) + 1(2) - 1(3)) = 11 \implies 11\lambda(2 + 2 - 3) = 11 \implies 11\lambda(1) = 11 \implies \lambda = 1$.
આમ,$\vec{r} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
કોઈ સદિશ $\vec{p}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ હોય જો $\vec{r} \cdot \vec{p} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \vec{p} = 0$.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 1(-1) - 1(1) = 2 - 1 - 1 = 0$.
તેથી,સદિશ $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ અને $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ છે.
$\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ છે.
હવે,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ મળે.
તેથી,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
આમ,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
માનક સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
ગુણધર્મ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
$\cos \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
આમ,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 5$.
આનો અર્થ એ છે કે $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = 15 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$|\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}|^2 = 15 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}|^2 = 15 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c})$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$50 = 45 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$5 = -2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{5}{2}$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $S$ પર છે. તેથી $\vec{SA} = \vec{a}, \vec{SB} = \vec{b}, \vec{SC} = \vec{c}$,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$.
$(i)$ લંબકેન્દ્ર $O$ એ $\vec{SO} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} = \vec{SO}$. એટલે કે,$(i) \rightarrow D$.
(ii) ધારો કે $G$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે. તો $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$. $S$ ને ઉગમબિંદુ લેતા,$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g} = 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$. એટલે કે,$(ii) \rightarrow C$.
(iii) કારણ કે $\vec{OA} = \vec{a} - \vec{o}$,$\vec{OB} = \vec{b} - \vec{o}$,અને $\vec{OC} = \vec{c} - \vec{o}$,તેથી $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o} = \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o} = 2\vec{SO} = 2\vec{OS}$ (કારણ કે $\vec{SO} = \vec{o}$). એટલે કે,$(iii) \rightarrow A$.
(iv) મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $O$ અને પરિકેન્દ્ર $S$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\vec{OG} = \frac{2}{3}\vec{OS}$. એટલે કે,$(iv) \rightarrow B$.
આમ,સાચી જોડ $(i) \rightarrow D, (ii) \rightarrow C, (iii) \rightarrow A, (iv) \rightarrow B$ છે.

(A) બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $\vec{r} = (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i} + (2\lambda-1) \hat{j} + (1-\lambda) \hat{k}$.
$\vec{r}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{9}{\sqrt{6}}$ છે.
પ્રથમ,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ શોધો.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \cdot \vec{c} = (2+\lambda)(1) + (2\lambda-1)(1) + (1-\lambda)(-2) = 2 + \lambda + 2\lambda - 1 - 2 + 2\lambda = 5\lambda - 1$.
પ્રક્ષેપને સરખાવતા: $\frac{5\lambda - 1}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}} \Rightarrow 5\lambda - 1 = 9 \Rightarrow 5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{r} = (2+2) \hat{i} + (2(2)-1) \hat{j} + (1-2) \hat{k} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
છેલ્લે,માન $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$ અને $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2 \pi}{3}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{2 \pi}{3} = (1)(1) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$.
હવે,પદ $|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}) \cdot (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c})$ ધ્યાનમાં લો.
આ ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 24(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9(1) + 16(1) + 6(0) - 8(0) - 24\left(-\frac{1}{2}\right)$.
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9 + 16 + 12 = 38$.

(C) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય તે $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ધાર $\vec{a} = \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ છે.
ઘનફળ $2$ છે,તેથી $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 12$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\det \begin{bmatrix} 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}| = 12$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\lambda - (-1)) -(-\lambda)(\lambda^2 - (-1)) + 1(\lambda - (-1)) = \pm 12$.
$(1-\lambda) + \lambda(\lambda^2+1) + (\lambda+1) = \pm 12$.
$2 + \lambda^3 + \lambda = \pm 12$.
કિસ્સો $1$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = 12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda - 10 = 0$. $\lambda = 2$ માટે,$8 + 2 - 10 = 0$. તેથી $\lambda = 2$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = -12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda + 14 = 0$. આ સમીકરણ માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
આમ,$\lambda = 2$.
આપણે $|\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j} + 3\hat{k}| = |2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}|$ શોધવાનું છે.
માન $= \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

(C) નો $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b$ નો $a$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનના વર્ગની ગણતરી કરો: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ અને $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
આમ,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$.
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ ની ગણતરી કરો.
તેથી $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$.
અંતે,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(A) બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સંબંધો:
$l+m+n=0$ અને $lm=0$
$lm=0$ પરથી,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે: $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $0+m+n=0 \Rightarrow n=-m$. દિકગુણોત્તર $(0, m, -m)$ મળે,જે $(0, 1, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $l+0+n=0 \Rightarrow n=-l$. દિકગુણોત્તર $(l, 0, -l)$ મળે,જે $(1, 0, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (0, 1, -1)$ અને $\vec{b} = (1, 0, -1)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta$ નું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $3l+2m+n=0$ ...$(1)$ અને $2mn-3nl+5lm=0$ ...$(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$n = -(3l+2m)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2m(-(3l+2m)) - 3l(-(3l+2m)) + 5lm = 0$
$-6ml - 4m^2 + 9l^2 + 6lm + 5lm = 0$
$9l^2 + 5lm - 4m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $9(\frac{l}{m})^2 + 5(\frac{l}{m}) - 4 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{l}{m}$,તો $9t^2 + 5t - 4 = 0$.
$(9t-4)(t+1) = 0$,તેથી $t = \frac{4}{9}$ અથવા $t = -1$.
કિસ્સો $1$: $t = -1 \Rightarrow l = -m$. તો $n = -(3(-m)+2m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-1, 1, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $t = \frac{4}{9} \Rightarrow l = \frac{4}{9}m$. તો $n = -(3(\frac{4}{9}m)+2m) = -(\frac{4}{3}m+2m) = -\frac{10}{3}m$. દિકગુણોત્તર $(\frac{4}{9}, 1, -\frac{10}{3})$ છે,જે $(4, 9, -30)$ ને સમાન છે.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (-1, 1, 1)$ અને $\vec{b} = (4, 9, -30)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-1)(4) + (1)(9) + (1)(-30)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} \sqrt{4^2+9^2+(-30)^2}}$
$= \frac{|-4 + 9 - 30|}{\sqrt{3} \sqrt{16+81+900}} = \frac{|-25|}{\sqrt{3} \sqrt{997}} = \frac{25}{\sqrt{2991}}$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિકકોસાઇન અનુક્રમે $(\ell, m, n)$ અને $(a, b, c)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકકોસાઇન $(\ell_1, m_1, n_1)$ અને $(\ell_2, m_2, n_2)$ હોય,તેના ખૂણાના દ્વિભાજકોના દિકગુણોત્તર $(\ell_1 \pm \ell_2, m_1 \pm m_2, n_1 \pm n_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,આપેલી રેખાઓ માટે,દ્વિભાજકોના દિકગુણોત્તર $(\ell \pm a, m \pm b, n \pm c)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) વિધાન $(A)$ માટે: બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય. $L_1$ અને $L_2$ માટે,આપણી પાસે $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,અને $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ છે. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે: શરત $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ એ બે રેખાઓ લંબ હોવાની શરત છે,સમાંતર હોવાની નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$
$\overrightarrow{CD} = D - C = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$
ધારો કે $\theta$ એ સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) = 6 + 10 - 16 = 0$
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(D) રેખા $B(1, 1, 2)$ અને $C(2, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(2-1, 2-1, 1-2) = (1, 1, -1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, k+1, -k+2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k+1-1, k+1-(-2), -k+2-1) = (k, k+3, 1-k)$.
કારણ કે $\vec{PQ}$ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ}$ અને દિશા સદિશ $(1, 1, -1)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(k) + 1(k+3) - 1(1-k) = 0$
$k + k + 3 - 1 + k = 0 \Rightarrow 3k + 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$.
$Q$ શોધવા માટે $k$ ની કિંમત મૂકતા: $x = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$y = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$z = -(-\frac{2}{3}) + 2 = \frac{8}{3}$.
$Q$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $R = (l, m, n)$:
$\frac{1+l}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow l = -\frac{1}{3}$.
$\frac{-2+m}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{8}{3}$.
$\frac{1+n}{2} = \frac{8}{3} \Rightarrow n = \frac{13}{3}$.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2 = (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{8}{3})^2 + (\frac{13}{3})^2 = \frac{1+64+169}{9} = \frac{234}{9} = 26$.

(A) આપેલ સંબંધો $l+m+n=0$ અને $2lm+2nl-mn=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-(m+n))m + 2n(-(m+n)) - mn = 0$
$-2m^2 - 2mn - 2mn - 2n^2 - mn = 0$
$-2m^2 - 5mn - 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $n = -2m$. તો $l = -(m - 2m) = m$. તેથી $l=m$ અને $n=-2m$. દિકગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. તો $l = -(-2n + n) = n$. તેથી $l=n$ અને $m=-2n$. દિકગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1) = 1 - 2 - 2 = -3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \left| \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$.

(B) રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર ($D$.$R$.) $(-1-4, 2-5, 1-(-10)) = (-5, -3, 11)$ છે.
સમતલ $AB$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-5, -3, 11)$ થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $P = \left(\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-5(x - \frac{3}{2}) - 3(y - \frac{7}{2}) + 11(z + \frac{9}{2}) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $-5(2x - 3) - 3(2y - 7) + 11(2z + 9) = 0$.
$-10x + 15 - 6y + 21 + 22z + 99 = 0$.
$-10x - 6y + 22z + 135 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા: $10x + 6y - 22z - 135 = 0$.

(D) $A(3,-2,1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4 \hat{i}+7 \hat{j}-4 \hat{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4(x-3)+7(y+2)-4(z-1)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+7y-4z+6=0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ પરના લંબની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ $P(1,2,-1)$ છે અને સમતલ $4x+7y-4z+6=0$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$PM = \frac{|4(1)+7(2)-4(-1)+6|}{\sqrt{4^2+7^2+(-4)^2}}$
$PM = \frac{|4+14+4+6|}{\sqrt{16+49+16}}$
$PM = \frac{|28|}{\sqrt{81}}$
$PM = \frac{28}{9}$.

(D) સમતલ $\pi$ એ સમતલ $x-y-z=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x-y-z+k=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
આપેલ છે કે બિંદુ $(1, -2, 1)$ એ સમતલ $\pi$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1 - (-2) - 1 + k = 0$
$1 + 2 - 1 + k = 0$
$2 + k = 0 \implies k = -2$.
આમ,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $x-y-z-2=0$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $ax+by+cz-2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, c=-1$ મળે છે.
હવે,$b-2c$ ની કિંમત શોધીએ:
$b-2c = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.
અહીં $a=1$ હોવાથી,$b-2c = a$ થાય છે.

(C) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,બિંદુ $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો:
$1(x-1) + 2(y-1) - 3(z+1) = 0$
$x - 1 + 2y - 2 - 3z - 3 = 0$
$x + 2y - 3z - 6 = 0$.
સમતલ $\pi$ આ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ પણ $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ જ રહેશે.
તેથી,બિંદુ $3\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ:
$1(x-3) + 2(y+4) - 3(z-5) = 0$
$x - 3 + 2y + 8 - 3z + 15 = 0$
$x + 2y - 3z + 20 = 0$.

(A) બિંદુઓ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})$ છે.
$\vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}) + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}$ ...$(i)$
બિંદુઓ $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{k}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot [(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})] = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{b}-\hat{a}) \times (\vec{c}-\hat{a}) = (-2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (-\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - (2\hat{i}+\hat{j})) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$ થાય.
રેખા $(i)$ માંથી $\vec{r}$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$((1-\lambda-2)\hat{i} + (2\lambda-1-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$
$(-1-\lambda) + 5(2\lambda-2) - 3\lambda = 0$
$-1 - \lambda + 10\lambda - 10 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 6\lambda = 11 \Rightarrow \lambda = \frac{11}{6}$.
$\lambda = \frac{11}{6}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} = (1-\frac{11}{6})\hat{i} + (2(\frac{11}{6})-1)\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = -\frac{5}{6}\hat{i} + \frac{16}{6}\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = \frac{1}{6}(-5\hat{i} + 16\hat{j} - 11\hat{k})$.

(A) બિંદુઓ $(6,3,2)$ અને $(1,-4,-9)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(6-1, 3-(-4), 2-(-9)) = (5, 7, 11)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ થશે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $5(x-1) + 7(y-1) + 11(z-1) = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$5x - 5 + 7y - 7 + 11z - 11 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 11z - 23 = 0$ થાય છે.
આને $ax + by + cz - 23 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5, b=7, c=11$ મળે છે.
તેથી,$a+b-c = 5+7-11 = 1$.

(A) રેખા $L$ બંને સમતલોને સમાંતર હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હશે. ધારો કે અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા $X$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\vec{u}$ અને એકમ સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|} = \frac{(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) રેખા $L$ એ $P_1 = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ અને $P_2 = \vec{b}-\vec{c}$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = P_2 - P_1 = (\vec{b}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = -\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}$ છે.
તેથી,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $A = 2\vec{a}-\vec{b}$,$B = 2\vec{b}-\vec{c}$,અને $C = 2\vec{c}-\vec{a}$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (B-A) \times (C-A) = (-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}) \times (-3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}) = 7(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - (2\vec{a}-\vec{b})) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 0$ છે.
$\vec{r} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા અને $\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 1$ મળે છે.
$\lambda = 1$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + 1(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \vec{b}-\vec{c}$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (1,0,-2)$ અને લંબપાદ $F = (2,0,-1)$ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો સદિશ $\vec{PF} = (2-1, 0-0, -1-(-2)) = (1, 0, 1)$ દ્વારા મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=2$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
તેથી,$(a, b, c) = \lambda(1, 0, 1) = (\lambda, 0, \lambda)$ કોઈ અચળાંક $\lambda$ માટે.
સમતલનું સમીકરણ $\lambda x + 0y + \lambda z = 2$ અથવા $\lambda(x+z) = 2$ બને છે.
બિંદુ $F(2,0,-1)$ સમતલ પર હોવાથી,તેના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda(2 + (-1)) = 2 \implies \lambda(1) = 2 \implies \lambda = 2$.
તેથી,$a = \lambda = 2$,$b = 0$,અને $c = \lambda = 2$.
અંતે,$a^2+b^2+c^2 = 2^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8$.

(B) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(52, 2) = 1326$ છે.
ડેકમાં $12$ ફેસ કાર્ડ હોય છે.
કુલ $13$ ફુલ્લી (spade) કાર્ડ હોય છે.
ફુલ્લીના ફેસ કાર્ડ $3$ છે.
ફેસ કાર્ડ ન હોય તેવા ફુલ્લી કાર્ડ $13 - 3 = 10$ છે.
આપણે $1$ ફેસ કાર્ડ અને $1$ ફુલ્લી કાર્ડ (જે ફેસ કાર્ડ નથી) પસંદ કરવાનું છે.
કિસ્સો $1$: $3$ ફુલ્લી ફેસ કાર્ડમાંથી $1$ અને $10$ ફુલ્લી કાર્ડમાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીતો = $3 \times 10 = 30$.
કિસ્સો $2$: $9$ અન્ય ફેસ કાર્ડમાંથી $1$ અને $10$ ફુલ્લી કાર્ડમાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીતો = $9 \times 10 = 90$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $30 + 90 = 120$.
સંભાવના = $\frac{120}{1326} = \frac{20}{221}$.

(B) ધારો કે થેલીમાં સફેદ દડાની શક્ય રચનાઓ $E_1$ ($4$ સફેદ),$E_2$ ($3$ સફેદ,$1$ અન્ય),અને $E_3$ ($2$ સફેદ,$2$ અન્ય) છે. દરેક રચના સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $E$ એ બે સફેદ દડા નીકળવાની ઘટના છે.
$P(E|E_1) = \frac{^4C_2}{^4C_2} = 1$
$P(E|E_2) = \frac{^3C_2}{^4C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(E|E_3) = \frac{^2C_2}{^4C_2} = \frac{1}{6}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2) + P(E_3)P(E|E_3)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(C) $3$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળતા $2$ છાપ અને $1$ કાંટો મળે તેની સંભાવના $p$ ધારો. કુલ પરિણામો $2^3 = 8$ છે. સાનુકૂળ પરિણામો ${HHT, HTH, THH}$ છે,તેથી $p = \frac{3}{8}$.
$2$ છાપ અને $1$ કાંટો ન મળે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ છે.
ખેલાડી $A$ શરૂઆત કરે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય અને પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય અને પછી $B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{15/64}{1 - 25/64} = \frac{15/64}{39/64} = \frac{15}{39}$ થાય.

(D) ધારો કે $A$,$B$,અને $C$ ની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $P(T_A) = k$,$P(T_B) = 2k$,અને $P(T_C) = 3k$ છે,જે $1:2:3$ ના ગુણોત્તર પર આધારિત છે.
ધારો કે $I$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ઇન્ટરવ્યુ સફળતાપૂર્વક પાર કરે છે. શરતી સંભાવનાઓ $P(I|T_A) = 0.8$,$P(I|T_B) = 0.7$,અને $P(I|T_C) = 0.6$ છે.
આપણે $A$ ની પસંદગી થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જ્યારે તેમાંથી કોઈ એકની પસંદગી થાય છે. આ બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P(A|I) = \frac{P(T_A) \times P(I|T_A)}{P(T_A) \times P(I|T_A) + P(T_B) \times P(I|T_B) + P(T_C) \times P(I|T_C)}$
$P(A|I) = \frac{k \times 0.8}{k \times 0.8 + 2k \times 0.7 + 3k \times 0.6}$
$P(A|I) = \frac{0.8k}{0.8k + 1.4k + 1.8k} = \frac{0.8k}{4.0k} = \frac{0.8}{4} = \frac{1}{5}$.

(C) નિષ્પક્ષ પાસા પર કોઈ પણ ચોક્કસ નંબર મેળવવાની સંભાવના $P = \frac{1}{6}$ છે.
જો પરિણામોનો સરવાળો $7$ થાય તો છોકરાને કુલ $7$ સ્કોર મળે છે. તેને વધારાનો પાસો ફેંકવાની તક ત્યારે જ મળે છે જો તે $1$ મેળવે,તેથી શક્ય શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1. [1, 6]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^2$
$2. [1, 1, 5]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^3$
$3. [1, 1, 1, 4]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^4$
$4. [1, 1, 1, 1, 3]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^5$
$5. [1, 1, 1, 1, 1, 2]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^6$
કુલ સંભાવના આ સ્વતંત્ર શ્રેણીઓનો સરવાળો છે:
$P(\text{Total} = 7) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^3 + \left(\frac{1}{6}\right)^4 + \left(\frac{1}{6}\right)^5 + \left(\frac{1}{6}\right)^6$
આ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $a = \left(\frac{1}{6}\right)^2$,$r = \frac{1}{6}$,અને $n = 5$ પદો છે.
સરવાળો $= a \frac{1-r^n}{1-r} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{1-(1/6)^5}{1-1/6} = \frac{1}{36} \times \frac{1-(1/6)^5}{5/6} = \frac{1}{36} \times \frac{6}{5} \times \left(1-\frac{1}{6^5}\right) = \frac{1}{30} \left(1-\frac{1}{6^5}\right)$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$.
$x$ ની કિંમતો મૂકતા: $c\left(\frac{2}{3}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots = 1$.
$c$ ને સામાન્ય લેતા: $c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
આમ,$c = \frac{1}{2}$.

(B) પગલું $1$: વ્યક્તિ $A$ જીતે તેની સંભાવના શોધો. બે પાસાઓનો સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો હોય છે. અવિભાજ્ય સરવાળા ${2, 3, 5, 7, 11}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $2(1), 3(2), 5(4), 7(6), 11(2)$ છે. કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$. તેથી,$P(A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
પગલું $2$: વ્યક્તિ $B$ જીતે તેની સંભાવના શોધો. $12$ ફેસ કાર્ડ્સ છે અને $16$ અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળા કાર્ડ્સ છે ($2, 3, 5, 7$ દરેક સૂટમાં). $52$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{52}C_2 = 1326$. સાનુકૂળ રીતો $= ^{12}C_1 \times ^{16}C_1 = 12 \times 16 = 192$. તેથી,$P(B) = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
પગલું $3$: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{12} \times \frac{32}{221} = \frac{40}{663}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બંને બાજુ છાપ વાળો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ અને $P(E_2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સિક્કો $6$ વાર ઉછાળતા $6$ વાર છાપ મળે છે.
$P(A|E_1) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$P(A|E_2) = 1^6 = 1$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પસંદ કરેલ સિક્કો બંને બાજુ છાપ વાળો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$.
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{5} \times 1}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{64} + \frac{1}{5} \times 1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{80} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1+16}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{17} = \frac{16}{17}$.

(C) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. દરેક પ્રશ્નમાં બે વિકલ્પો (સાચું કે ખોટું) હોવાથી,સાચા જવાબની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
વિદ્યાર્થી પાસ થાય છે જો તેને $4, 5,$ અથવા $6$ સાચા જવાબો મળે.
પાસ થવાની સંભાવના $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=4) = {}^6C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{15}{64}$.
$P(X=5) = {}^6C_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^1 = 6 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{6}{64}$.
$P(X=6) = {}^6C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.

(B) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. કુલ ઈંડાની સંખ્યા $12$ છે અને આપણે બદલ્યા વગર $3$ ઈંડા પસંદ કરીએ છીએ. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P(X=0) = \frac{{}^{10}C_3}{{}^{12}C_3} = \frac{120}{220} = \frac{12}{22}$
$P(X=1) = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{2}C_1}{{}^{12}C_3} = \frac{45 \times 2}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22}$
$P(X=2) = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{2}C_2}{{}^{12}C_3} = \frac{10 \times 1}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$
હવે,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i P_i$ ગણીએ:
$E(X) = (0 \times \frac{12}{22}) + (1 \times \frac{9}{22}) + (2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+2}{22} = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$
આગળ,આપણે $E(X^2) = \sum x_i^2 P_i$ ગણીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{12}{22}) + (1^2 \times \frac{9}{22}) + (2^2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+4}{22} = \frac{13}{22}$
અંતે,વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા મળે છે:
$Var(X) = \frac{13}{22} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{13}{22} - \frac{1}{4} = \frac{26-11}{44} = \frac{15}{44}$