TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (0, 2)$,અને $B = (-1, 0)$.
આપેલ છે કે $PA = \frac{1}{\sqrt{2}} PB$,જેનો અર્થ છે કે $2 PA^2 = PB^2$.
યામ મૂકતા:
$2[(x - 0)^2 + (y - 2)^2] = (x + 1)^2 + (y - 0)^2$
$2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + y^2 + 2x + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું વર્તુળ છે.
સરખાવતા,$2g = -2 \implies g = -1$ અને $2f = -8 \implies f = -4$.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ એકમ છે.

(A) નિયામિકા $x+2y-1=0$ છે અને નાભિ $S(1,0)$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે $(PS = PM)$.
$PS^2 = PM^2$
$(x-1)^2 + (y-0)^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{1^2+2^2}$
$5((x-1)^2 + y^2) = (x+2y-1)^2$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) આપેલ પરવલયો $P_1: y^2=5x$ અને $P_2: x^2=5y$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $y = \frac{x^2}{5}$ ને $y^2=5x$ માં મૂકતા $(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^4 = 125x$ થાય છે. તેથી,$x(x^3 - 125) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x=0$ અથવા $x=5$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,5)$ છે.
$(0,0)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ $y=x$ છે.
$P_1$ ની નિયામિકા ($y^2=4ax$ જ્યાં $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) એ $x = -\frac{5}{4}$ છે.
$P_2$ નો નાભિલંબ ($x^2=4ay$ જ્યાં $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) એ $y = \frac{5}{4}$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x = -\frac{5}{4}$ અને $y = \frac{5}{4}$ નું છેદબિંદુ $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ છે.
$2$. $x = -\frac{5}{4}$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$ છે.
$3$. $y = \frac{5}{4}$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$,$B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$,અને $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{5}{4}(-\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - (-\frac{5}{4}))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-\frac{50}{16} - \frac{50}{16}| = \frac{25}{8}$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે।
એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી, અન્ય બે શિરોબિંદુઓ પરવલય $y^2=12x$ પર $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ અને $-30^{\circ}$ ના ખૂણે આવેલા છે।
શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos 30^{\circ}, a \sin 30^{\circ})$ છે।
$A$ પરવલય પર હોવાથી:
$(a \sin 30^{\circ})^2 = 12(a \cos 30^{\circ})$
$a^2 (1/4) = 12a (\sqrt{3}/2)$
$a = 24\sqrt{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = 432\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ।

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી,$4a=16$,એટલે કે $a=4$.
ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના પ્રાચલો $t_1$ અને $t_2$ છે. $AB$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 \cdot t_2 = -1$.
બિંદુ $A(1, -4)$ માટે,$at_1^2 = 1$ અને $2at_1 = -4$.
$a=4$ મૂકતા,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = 1/4$ $\Rightarrow t_1 = -1/2$ (કારણ કે $A$ આગળ $y < 0$ છે).
$t_1 \cdot t_2 = -1$ હોવાથી,$(-1/2) \cdot t_2 = -1$,જે $t_2 = 2$ આપે છે.
બિંદુ $B$ એ $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$t_2 = 2$ અને $a=4$ માટે,$B$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2x = 2(4)(2) + 4(2)^3$ થાય.
$y + 2x = 16 + 32$.
$y + 2x = 48$.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $2x + y - 48 = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખા: $x-2y+k=0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$.
$y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,$m=\frac{1}{2}$ અને $c=\frac{k}{2}$ મળે.
આપેલ પરવલય: $y^2-4x-4y+8=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(y-2)^2 = 4(x-1)$.
$x = 2y-k$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-2)^2 = 4(2y-k-1) \Rightarrow y^2-12y+(8+4k) = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D=0$ થવો જોઈએ:
$(-12)^2 - 4(8+4k) = 0 \Rightarrow 144 - 32 - 16k = 0$.
$112 = 16k \Rightarrow k = 7$.

(D) પરવલય $y^2=16x$ માટે,$a=4$ છે. પરવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{4}{m}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=8$ માટે,ત્રિજ્યા $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ છે. વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$ છે.
બંને રેખાઓ સમાન હોવાથી,અચળ પદો સમાન થશે:
$\frac{4}{m} = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{16}{m^2} = 8(1+m^2)$.
$8$ વડે ભાગતા,$\frac{2}{m^2} = 1+m^2$,જે $m^4+m^2-2=0$ આપે છે.
$t=m^2$ લેતા,$t^2+t-2=0$,તેથી $(t+2)(t-1)=0$. $t=m^2 \ge 0$ હોવાથી,$m^2=1$,એટલે કે $m=\pm 1$.
$m=1$ મૂકતા: $y=x+4$.
$m=-1$ મૂકતા: $y=-x-4$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકો $y=x+4$ અને $y=-x-4$ છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $x_1+a$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2=kx$ છે,તેથી $4a=k \Rightarrow a=k/4$.
નાભિ અંતર $x_1+a = 2 + k/4 = 3$ છે.
$k/4 = 1 \Rightarrow k=4$.
પરવલય $y^2=4x$ છે.
બિંદુ $P(2, y_1)$ એ $y^2=4x$ પર હોવાથી,$y_1^2 = 4(2) = 8 \Rightarrow y_1 = \pm 2\sqrt{2}$.
તેથી $P$ એ $(2, 2\sqrt{2})$ અથવા $(2, -2\sqrt{2})$ છે.
$y^2=4x$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2(x+x_1)$ છે.
$P(2, 2\sqrt{2})$ માટે: $y(2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow \sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$.
$P(2, -2\sqrt{2})$ માટે: $y(-2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow -\sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x + \sqrt{2}y + 2 = 0$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \pm \sqrt{2}y + 2 = 0$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 8\sqrt{5}x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = ax + \frac{2\sqrt{5}}{a}$ છે.
$y = ax + c$ સાથે સરખાવતા,$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ મળે.
રેખા $y = ax + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = 1 + a^2$ છે.
$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ ને શરતમાં મૂકતા,$(\frac{2\sqrt{5}}{a})^2 = 1 + a^2$ મળે.
$\frac{20}{a^2} = 1 + a^2$ $\Rightarrow 20 = a^2 + a^4$ $\Rightarrow a^4 + a^2 - 20 = 0$.
ધારો કે $t = a^2$,તો $t^2 + t - 20 = 0$.
$(t + 5)(t - 4) = 0$. $a^2 > 0$ હોવાથી,$t = 4$ મળે,તેથી $a^2 = 4$.
ત્યારબાદ $c^2 = 1 + a^2 = 1 + 4 = 5$.
તેથી,$a^2c^2 = 4 \times 5 = 20$.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ માટે $a=1$ છે,તેથી સમીકરણ $y=mx-2m-m^3$ થાય.
અભિલંબ $(5,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=5$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 = m(5) - 2m - m^3$
$0 = 3m - m^3$
$m(3 - m^2) = 0$
તેથી,ઢાળ $m=0$ અને $m=\pm\sqrt{3}$ મળે છે.
$m=\sqrt{3}$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y=\sqrt{3}(x-5)$ એટલે કે $\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$ થાય.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ છે,તેથી $4a=12 \Rightarrow a=3$.
ઢાળ $m$ વાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે,જે $y=mx-6m-3m^3$ બને છે.
અભિલંબ $P(8,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0=8m-6m-3m^3$.
$2m-3m^3=0 \Rightarrow m(2-3m^2)=0$.
ઢાળ $m_1=0$,$m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$,અને $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ મળે છે.
બિન-આડા અભિલંબના ઢાળ $m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
આ બે અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2-m_3}{1+m_2m_3} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} - (-\sqrt{\frac{2}{3}})}{1 + (\sqrt{\frac{2}{3}})(-\sqrt{\frac{2}{3}})} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{3}} \right| = 2\sqrt{6}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં $y^2 = 8x$ હોવાથી $a = 2$,તેથી સ્પર્શક $y = mx + \frac{2}{m}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x + 3y + n = 0$ ને $y = -\frac{2}{3}x - \frac{n}{3}$ તરીકે લખતા.
ઢાળની સરખામણી કરતા,$m = -\frac{2}{3}$.
અંત:ખંડની સરખામણી કરતા,$-\frac{n}{3} = \frac{2}{m} = -3$,તેથી $n = 9$.
સ્પર્શબિંદુ $(2n, 4\sqrt{n}) = (18, 12)$ છે.
પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અહીં $(at^2, 2at) = (18, 12)$ અને $a = 2$ હોવાથી,$2t^2 = 18 \Rightarrow t = 3$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = -3x + 2(2)(3) + 2(3)^3 = -3x + 12 + 54$ થાય.
આમ,$3x + y - 66 = 0$.

(A) ધારો કે નાભિઓ $S_1 = (3,3)$ અને $S_2 = (-4,4)$ છે,અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P = (0,0)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુથી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
$PS_1 + PS_2 = 2a$
$\sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} + \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = 2a$
$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 2a$
$7\sqrt{2} = 2a \Rightarrow a = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = S_1S_2$ છે.
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$2ae = 5\sqrt{2}$
$2 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$7\sqrt{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$e = \frac{5}{7}$.

(C) ઉપવલય $E$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$. $\triangle OBS$ માં,$\angle OSB = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનાથી $3b^2 = a^2e^2$ મળે છે.
કારણ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,આપણી પાસે $a^2e^2 = a^2 - b^2$ છે.
આને મૂકતા,$3b^2 = a^2 - b^2$,જે $a^2 = 4b^2$ આપે છે.
બિંદુ $(2\sqrt{3}, 1)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$.
$a^2 = 4b^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ મળે છે,જે $\frac{3}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ માં સરળ બને છે.
તેથી,$\frac{4}{b^2} = 1$,એટલે કે $b^2 = 4$ અને $a^2 = 16$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
લંબાઈના વર્ગોનો સરવાળો $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(16) + 4(4) = 64 + 16 = 80$ થાય.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S_1(ae, 0)$ અને $S_2(-ae, 0)$ છે. મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $A'(-a, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $B(0, b)$ અને $B'(0, -b)$ છે.
નાભિ $S_1$ થી મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ સુધીનું અંતર $a - ae = 4 - \sqrt{7}$ છે.
નાભિ $S_1$ થી ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ સુધીનું અંતર $\sqrt{(ae)^2 + b^2} = 4$ છે. $b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$\sqrt{(ae)^2 + a^2 - a^2e^2} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
$a = 4$ ને $a(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ માં મૂકતા,$4(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ મળે,તેથી $1 - e = 1 - \frac{\sqrt{7}}{4}$,જે $e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ આપે છે.
પછી $b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{7}{16}) = 16(\frac{9}{16}) = 9$,તેથી $b = 3$.
અંતર $S_1S_2 = 2ae = 2(4)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 2\sqrt{7}$.
$\triangle BS_1S_2$ માં,$BS_1 = BS_2 = 4$ અને $S_1S_2 = 2\sqrt{7}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{BS_1^2 + BS_2^2 - S_1S_2^2}{2(BS_1)(BS_2)} = \frac{4^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2(4)(4)} = \frac{16 + 16 - 28}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(i)$ થાય છે.
તે $(3,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(ii)$ થાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$\frac{8}{a^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આમ,$a^2 = \frac{32}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3a^2 = 32$.
$a^2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$\frac{9}{32/3} + \frac{1}{b^2} = 1$,તેથી $\frac{27}{32} + \frac{1}{b^2} = 1$ મળે છે.
આથી $\frac{1}{b^2} = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32}$,તેથી $b^2 = \frac{32}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $5b^2 = 32$.
તેથી,$3a^2 + 5b^2 = 32 + 32 = 64$.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 2 \sqrt{3}$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 8$ મળે છે.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ છે.
અહીં $p = 2 \sqrt{3}$,તેથી $p^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 12$.
કિંમતો મૂકતા: $12 = 16 \cos^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$12 = 16(1 - \sin^2 \alpha) + 8 \sin^2 \alpha$ મળે.
$12 = 16 - 16 \sin^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$.
$8 \sin^2 \alpha = 4$.
$\sin^2 \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $m=4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે,જ્યાં $a^2=4$ અને $b^2=1$.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શે જો $c^2=a^2m^2+b^2$ હોય.
$a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=4$ કિંમતો મૂકતા:
$c^2 = 4(4)^2 + 1$
$c^2 = 4(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
તેથી,$c = \pm \sqrt{65}$.

(B) લંબવૃત્તનું સમીકરણ $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
$(-8, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x(-8)}{100} + \frac{y(3)}{25} = 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ: $-\frac{2x}{25} + \frac{3y}{25} = 1$,જે $-2x + 3y = 25$ આપે છે.
કણ $Y$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $3y = 25$,જે $y = \frac{25}{3}$ આપે છે.
આમ,બિંદુ $\left(0, \frac{25}{3}\right)$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
આપેલ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=9, b^2=5$.
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $P(2, \frac{5}{3})$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ છે.
આ રેખા અક્ષોને $A(\frac{9}{2}, 0)$ અને $C(0, 3)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ ચરણમાં બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ છે.
નાભિલંબના ચાર અંત્યબિંદુઓ પરના સ્પર્શકો દ્વારા આવા ચાર સમાન ત્રિકોણ બને છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{27}{4} = 27$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) ઉપવલયની બે નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ છે. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2 = 3^2 = 9$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે,તેથી $a=\sqrt{2}$ અને $b=1$ થાય.
બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ મળે છે.
$x$-અંત:ખંડ $(A)$ માટે,$y=0$ લેતા: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. તેથી,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-અંત:ખંડ $(B)$ માટે,$x=0$ લેતા: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. તેથી,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ અને $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ છે.
સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ અને $k = \frac{1}{2\sin\theta}$.
આથી $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin\theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ છે.

(D) રેખાનું સમીકરણ $4x + 2y + n = 0$ છે,જેને $y = -2x - \frac{n}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -2$ અને $c = -\frac{n}{2}$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 36$ અને $b^2 = 16$.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $c^2 = \frac{(a^2 - b^2)^2 m^2}{a^2 + b^2 m^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-\frac{n}{2})^2 = \frac{(36 - 16)^2 (-2)^2}{36 + 16(-2)^2}$.
$\frac{n^2}{4} = \frac{(20)^2 \times 4}{36 + 64} = \frac{1600}{100} = 16$.
$n^2 = 64$,તેથી $n = \pm 8$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = 1 + 2 \cos \theta$ અને $y = 2 + \sin \theta$ છે.
આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે અને $a = 2, b = 1$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$ છે.
$\theta = \pi/4$ આગળ બિંદુ $P$ ના યામ $(1 + \sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $2\sqrt{2}(x-1) - \sqrt{2}(y-2) = 3$ મળે છે.
મુખ્ય અક્ષ $y = 2$ હોવાથી,છેદબિંદુ માટે $y = 2$ મૂકતા,$x = 1 + \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ સ્પર્શક $x+\sqrt{3} y=3$ ... $(i)$ અને ઉપવલય $2 x^2+3 y^2=k$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2 x x_1+3 y y_1=k$ ... (ii) છે.
$(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,$\frac{2 x_1}{1} = \frac{3 y_1}{\sqrt{3}} = \frac{k}{3}$.
તેથી,$x_1 = \frac{k}{6}$ અને $y_1 = \frac{k}{3 \sqrt{3}}$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$2(\frac{k}{6})^2 + 3(\frac{k}{3 \sqrt{3}})^2 = k$.
$\frac{k^2}{18} + \frac{k^2}{9} = k$ $\Rightarrow \frac{k^2}{6} = k$ $\Rightarrow k = 6$.
તેથી,$x_1 = 1$ અને $y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ થાય.
$P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(x - 1)$ છે.
$\sqrt{3} y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - \sqrt{3} y = 1$.

(B) આપેલ રેખા $2x + \sqrt{6}y = 2$ છે,જેને $2x + \sqrt{6}y - 2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 4$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
અતિવલય $x^2 - 2y^2 = 4$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 - 2yy_1 - 4 = 0$ થાય.
આ રેખા અને આપેલ રેખા સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{x_1}{2} = \frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = \frac{-4}{-2}$
$\frac{x_1}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 4$
$\frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = 2$ $\Rightarrow -2y_1 = 2\sqrt{6}$ $\Rightarrow y_1 = -\sqrt{6}$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(4, -\sqrt{6})$ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = mx + 4$ છે,તેથી $c = 4$.
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ સરખાવતા,$16 = 25m^2 - 9$ મળે.
$25m^2 = 25 \Rightarrow m^2 = 1$,તેથી $m = 1$.
સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
સ્પર્શબિંદુ = $\left(\frac{25 \times 1}{4}, \frac{9}{4}\right) = \left(\frac{25}{4}, \frac{9}{4}\right)$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $\theta$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(\theta)$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $Q(\phi)$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
આમ,$Q$ આગળનો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ છે (સમીકરણ $2$).
છેદબિંદુ $(h, k)$ શોધવા માટે $x$ અથવા $y$ નો લોપ કરતા:
સમીકરણ $1$ પરથી,$ax \cos \theta = a^2+b^2 - by \cot \theta$.
સમીકરણ $2$ પરથી,$ax \sin \theta = a^2+b^2 - by \tan \theta$.
ક્રામરના નિયમ અથવા આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y$-યામ $k$ મળે છે:
$k = \frac{(a^2+b^2)a(\cos \theta - \sin \theta)}{ab(\sin \theta - \cos \theta)} = \frac{-(a^2+b^2)}{b}$.
તેથી,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+y+n=0$ છે,જેને $y=-x-n$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=-1$ અને $c=-n$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોય તેની શરત $c^2 = \frac{(a^2+b^2)^2 m^2}{a^2-b^2 m^2}$ છે.
અહીં,$a^2=6$ અને $b^2=2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-n)^2 = \frac{(6+2)^2 (-1)^2}{6-2(-1)^2}$ મળે છે.
$n^2 = \frac{8^2 \times 1}{6-2} = \frac{64}{4} = 16$.
તેથી,$n = \pm 4$.

(A) આપેલ અતિવલય $H: 9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$
$9(x+4)^2 - 144 - 16(y+1)^2 + 16 = 16$
$9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = 144$
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$.
સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = -1$ થાય.
$144$ વડે ગુણતા: $9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = -144$.
$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = -144$
$9x^2 + 72x + 144 - 16y^2 - 32y - 16 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 128 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 272 = 0$.

(D) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \sec^{-1}(e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $30^{\circ}$ છે,તેથી:
$2 \sec^{-1}(e) = 30^{\circ}$
$\sec^{-1}(e) = 15^{\circ}$
$e = \sec(15^{\circ})$
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$e = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{2x} - \sqrt{x+1}) \sin 5x}{1 - \cos 4x}$.
નિત્યસમ $1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{2x} - \sqrt{x+1}) \sin 5x}{2 \sin^2 2x}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા અને પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - \sqrt{x+1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{\sin 5x}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2 \sin^2 2x} \right) = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - 1 - (\sqrt{x+1} - 1)}{x} \right) \cdot 5 \cdot \frac{1}{2(2)^2}$.
$L = \frac{5}{8} \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - 1}{x} - \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \right)$.
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{5}{8} \left( 2 \ln 3 - \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{16} (4 \ln 3 - 1) = \frac{5}{16} (\ln 81 - \ln e) = \frac{5}{16} \ln \left( \frac{81}{e} \right)$.

(A) પ્રથમ લક્ષ માટે: $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} [x] = -2$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} ([x]^2 - [x] - 2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$.
બીજા લક્ષ માટે: $\lim_{x \rightarrow -3^{-}} [x] = -4$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow -3^{-}} ([x]^2 - 4[x] + 3) = (-4)^2 - 4(-4) + 3 = 16 + 16 + 3 = 35$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો: $4 + 35 = 39$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $2x^2+x-3 = (2x+3)(x-1)$
લક્ષમાં કિંમત મૂકતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(2 x+3)(x-1)}$
અંશ અને છેદને $(\sqrt{x}+1)$ વડે ગુણતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(2 x+3)(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = (x-1)$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{(2 x+3)(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$(x-1)$ ને અંશ અને છેદમાંથી દૂર કરતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{(2 x+3)(\sqrt{x}+1)}$
$x=1$ મૂકીને લક્ષની કિંમત મેળવતા: $\frac{2(1)-3}{(2(1)+3)(\sqrt{1}+1)} = \frac{-1}{5(2)} = -\frac{1}{10}$

(B) આપેલ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{\sqrt{x}-3} = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}-3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{f^{\prime}(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$= \lim _{x \rightarrow 9} \frac{f^{\prime}(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$
$f(9)=9$ અને $f^{\prime}(9)=4$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{f^{\prime}(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{6+x}-\sqrt[3]{10-x}}{x-2}$.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sqrt[3]{6+x}$ અને $b = \sqrt[3]{10-x}$:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(6+x) - (10-x)}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x - 4}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2(x-2)}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \frac{2}{8^{2/3} + (8 \times 8)^{1/3} + 8^{2/3}} = \frac{2}{4 + 4 + 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે $h = 1-x$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $h \rightarrow 0$,તેથી $x = 1-h$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{h \rightarrow 0} h \tan \left(\frac{\pi}{2}(1-h)\right) = \lim _{h \rightarrow 0} h \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi h}{2}\right)$
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot(\theta)$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lim _{h \rightarrow 0} h \cot \left(\frac{\pi h}{2}\right) = \lim _{h \rightarrow 0} h \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi h}{2}\right)}$
$\frac{\pi}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h \cdot \frac{\pi}{2}}{\tan \left(\frac{\pi h}{2}\right)} \cdot \frac{2}{\pi} = 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.

(C) આપણી પાસે લક્ષ છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^4 x-\sin ^4 x}{x^6}$
$\sin ^4 x$ સામાન્ય લેતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^4 x(\sec ^4 x-1)}{x^6}$
નિત્યસમ $\sec ^4 x - 1 = (\sec ^2 x - 1)(\sec ^2 x + 1) = \tan ^2 x (\sec ^2 x + 1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^4 x \cdot \tan ^2 x (\sec ^2 x + 1)}{x^6}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^4 \cdot \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2 \cdot (\sec ^2 x + 1)$
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$:
$= (1)^4 \cdot (1)^2 \cdot (\sec ^2 0 + 1) = 1 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2$

(A) પ્રથમ,આપણે $\ell$ ની કિંમત શોધીએ:
$\ell = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} 3 \left( \frac{\sin(3\theta)}{3\theta} \right) = 3(1) = 3$.
ત્યારબાદ,આપણે $m$ ની કિંમત શોધીએ:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} 2 \left( \frac{\tan(2\theta)}{2\theta} \right) = 2(1) = 2$.
$\ell = 3$ અને $m = 2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\ell + m)x + \ell m = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 - (3 + 2)x + (3 \times 2) = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$.

(B) આપણે $\lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{\cot^3 x - \tan x}{\cos(x + \pi/4)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $t = \tan x$. જેમ $x \rightarrow \pi/4$,તેમ $t \rightarrow 1$.
અંશ $\frac{1}{t^3} - t = \frac{1 - t^4}{t^3} = \frac{(1 - t^2)(1 + t^2)}{t^3} = \frac{(1 - t)(1 + t)(1 + t^2)}{t^3}$ છે.
છેદ $\cos(x + \pi/4) = \cos x \cos(\pi/4) - \sin x \sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x - \sin x) = \frac{\cos x}{\sqrt{2}}(1 - \tan x) = \frac{\cos x}{\sqrt{2}}(1 - t)$ છે.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim_{t \rightarrow 1} \frac{(1 - t)(1 + t)(1 + t^2)}{t^3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cos x(1 - t)} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2}(1 + t)(1 + t^2)}{t^3 \cos x}$.
જેમ $t \rightarrow 1$,તેમ $x \rightarrow \pi/4$,તેથી $\cos x \rightarrow 1/\sqrt{2}$.
$= \frac{\sqrt{2}(1 + 1)(1 + 1^2)}{1^3 \cdot (1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 2}{1/\sqrt{2}} = 4 \cdot 2 = 8$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x+\cos x-1+x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+2 \tan x+1}-\sqrt{3 \tan ^2 x+\sin x+1}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2 \tan x + \cos x - 1 + x)(\sqrt{4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1} + \sqrt{3 \tan ^2 x + \sin x + 1})}{(4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1) - (3 \tan ^2 x + \sin x + 1)}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $(\sqrt{4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1} + \sqrt{3 \tan ^2 x + \sin x + 1}) \rightarrow \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$.
તેથી,$L = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x + x + (\cos x - 1)}{4 \sin ^2 x - 3 \tan ^2 x + 2 \tan x - \sin x}$.
નાના ખૂણાના અંદાજો $\tan x \approx x$,$\sin x \approx x$,$\cos x - 1 \approx -\frac{x^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x + x - \frac{x^2}{2}}{4x^2 - 3x^2 + 2x - x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3x - \frac{x^2}{2}}{x^2 + x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 - \frac{x}{2}}{x + 1} = 2 \times \frac{3}{1} = 6$.

(B) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(a^{1 / x}+b^{1 / x}+c^{1 / x}-3 k^{1 / x}\right)=0$.
ધારો કે $y = \frac{1}{x}$. જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $y \rightarrow 0$.
પદાવલિ $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{a^y+b^y+c^y-3 k^y}{y} = 0$ બને છે.
આને $\lim _{y \rightarrow 0} \left[ \frac{a^y-1}{y} + \frac{b^y-1}{y} + \frac{c^y-1}{y} - 3 \frac{k^y-1}{y} \right] = 0$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{a^y-1}{y} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln a + \ln b + \ln c - 3 \ln k = 0$.
$\ln (abc) = 3 \ln k$.
$\ln (abc) = \ln (k^3)$.
તેથી,$k^3 = abc$,જેનો અર્થ છે કે $k = (abc)^{1/3}$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$
$x$ એ $k$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{6} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}$
$= \frac{x}{6} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^3(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{n^3}$
$= \frac{x}{6} \cdot (1 \cdot 2) = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$

(A) આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 5, 8, 12$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+5+8+12}{5} = \frac{30}{5} = 6$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(2-6)^2 + (3-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (12-6)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{16 + 9 + 1 + 4 + 36}{5} = \frac{66}{5} = 13.2$
માહિતી $2, 3, 5, 8, 12$ નો મધ્યસ્થ $m = 5$ છે.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - m|}{n} = \frac{|2-5| + |3-5| + |5-5| + |8-5| + |12-5|}{5}$
$M = \frac{3 + 2 + 0 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,$\sigma^2 - M = 13.2 - 3 = 10.2$.

(A) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ છે.
પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum i^2 - 4 \sum i + \sum 1$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$.
સરવાળો $= 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ છે.
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - \left( \frac{n^2}{n} \right)^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{4n^2-1-3n^2}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_i$ છે અને તેનો વિચરણ $\sigma^2 = 7$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકન $y_i = ax + b$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે નવો વિચરણ $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$ અને $b = -5$ છે.
અચળાંક $b$ ની વિચરણ પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,નવો વિચરણ $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ થશે.

(D) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 40$,$\sigma = 5.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{વિચરણ} = \sigma^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 1626.01$.
$\sum x_i^2 = 162601$ (આ ખોટો વર્ગોનો સરવાળો છે).
સાચો વર્ગોનો સરવાળો મેળવવા માટે,આપણે ખોટા અવલોકનનો વર્ગ બાદ કરીશું અને સાચા અવલોકનનો વર્ગ ઉમેરીશું:
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600$.
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 161701$.

(D) આપેલ માહિતી $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|}{9} = \frac{10+8+6+4+0+2+6+8+12}{9} = \frac{56}{9}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(-10)^2 + (-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 12^2}{9} = \frac{100 + 64 + 36 + 16 + 0 + 4 + 36 + 64 + 144}{9} = \frac{464}{9}$.
હવે,$3(\sigma^2 - M) = 3 \left( \frac{464}{9} - \frac{56}{9} \right) = 3 \left( \frac{408}{9} \right) = \frac{408}{3} = 136$.

(D) ધારો કે પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R_c$ છે. આપેલ છે કે $R_c = PQ$. $\triangle PQR$ માં,$PQ = PR$,તેથી $\angle Q = \angle R$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{PQ}{\sin R} = 2R_c$.
$R_c = PQ$ મૂકતા,આપણને $\frac{PQ}{\sin R} = 2PQ$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin R = \frac{1}{2}$,તેથી $R = 30^{\circ}$.
$\angle Q = \angle R$ હોવાથી,$\angle Q = 30^{\circ}$.
$\triangle PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે,તેથી $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
$\angle P + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle P = 120^{\circ}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા કાળીના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (કાળીનું પત્તું મળવું) $p = \frac{1}{4}$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Var(X) = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $3 P(X=2) = P(X=4)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$.
બંને બાજુથી $e^{-\lambda}$ દૂર કરતા અને ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3 \lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24}$.
બંને બાજુ $24$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $36 \lambda^2 = \lambda^4$.
કારણ કે $\lambda > 0$,તેથી $\lambda^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 6$.
હવે,આપણે $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 6^6}{6!}$ શોધવાનું છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 46656}{720} = \frac{46656}{720 e^6} = \frac{324}{5 e^6}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
ઘટના $E$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માં રહેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
ઘટના $F$ માં $4$ થી નાની કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,તેથી $F = \{1, 2, 3\}$.
તેથી $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
સંભાવના $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_{i}) = 0.1 + k + 0.2 + 2k + 3k + k = 1$
$7k + 0.3 = 1 \Rightarrow 7k = 0.7 \Rightarrow k = 0.1$.
હવે,આપણે મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_{i} P(x_{i})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\mu = (-2)(0.1) + (-1)(0.1) + (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.3) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3 = 0.8$.
આગળ,આપણે $E(X^2) = \sum x_{i}^2 P(x_{i})$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.1) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.2) + (2)^2(0.3) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 4(0.1) + 1(0.1) + 0 + 1(0.2) + 4(0.3) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.1 + 0 + 0.2 + 1.2 + 0.9 = 2.8$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 2.8 - (0.8)^2 = 2.8 - 0.64 = 2.16$.