TS EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $m_1$ અને $m_2$ ના પ્રારંભિક અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_1 x_1 = m_2 x_2$.
જો $m_1$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર સુધી ખસેડવામાં આવે,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેનું નવું અંતર $(x_1 - d)$ થાય છે.
ધારો કે બીજા કણ $m_2$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને તે જ સ્થાને રાખવા માટે $s$ અંતર સુધી ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેનું નવું અંતર $(x_2 - s)$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે જ સ્થાને રહે તે માટે,નવી સ્થિતિ $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - s)$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 s$ મળે છે.
ચૂકી $m_1 x_1 = m_2 x_2$,તેથી બંને બાજુથી આ પદો બાદ કરતા $-m_1 d = -m_2 s$ મળે છે.
$s$ માટે ઉકેલતા,આપણને $s = \frac{m_1}{m_2} d$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે,ત્યારે તે $v = \sqrt{2gh}$ વેગ સાથે જમીન સાથે અથડાય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,તે $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $v_2 = ev_1 = e^2v$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે,અને $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
કાપેલું કુલ અંતર $D$ એ શરૂઆતનું પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉછાળાની ઊંચાઈના બમણાનો સરવાળો છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + \dots)$
$D = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + \dots)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=e^2$:
$D = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left[ 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1+e^2}{1-e^2} \right]$.

(B) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $v = \sqrt{2gh}$ વેગ સાથે સપાટી પર અથડાય છે.
અથડામણ પછી,દડો $u = ev = e\sqrt{2gh}$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{u^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી વાર સપાટી પર અથડાય તે પહેલાં દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક નીચે તરફનું અંતર અને પ્રથમ ઉછાળા દરમિયાન કાપેલું અંતર (ઉપર અને નીચે) નો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= h + 2h_1 = h + 2(e^2h) = h(1 + 2e^2)$.

(A) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે. ઢાળ પર લાગતા બળો $mg \sin 60^{\circ}$ અને $mg \sin 30^{\circ}$ છે.
$mg \sin 60^{\circ} > mg \sin 30^{\circ}$ હોવાથી,તંત્ર એવી રીતે પ્રવેગિત થાય છે કે $60^{\circ}$ ના ઢાળ પરનો બ્લોક નીચે તરફ ગતિ કરે.
$60^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે: $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ --- $(i)$
$30^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે: $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ --- (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4}$.
બ્લોક્સ માટે પ્રવેગ સદિશો $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ અને $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$\cos 60^{\circ} = 1/2, \cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 30^{\circ} = 1/2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}_{cm}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $|\vec{a}_{cm}| = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 1 \,kg$ છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)g}{2 + 1} = \frac{g}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_1$ માટે નીચેની દિશાને ધન અને $m_2$ માટે ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પ્રવેગ $a_1 = \frac{g}{3}$ (નીચેની તરફ) અને $a_2 = -\frac{g}{3}$ (ઉપરની તરફ) મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(g/3) + 1(-g/3)}{2 + 1} = \frac{g/3}{3} = \frac{g}{9}$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t = 2 \,s$ માં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું અંતર $S = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \,m$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર ક્યાં સૌથી પ્રબળ છે તે શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dx} = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx} \left[ \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \right] = GM \left[ \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}(1) - x \cdot \frac{3}{2}(R^2 + x^2)^{1/2}(2x)}{(R^2 + x^2)^3} \right] = 0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(R^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(R^2 + x^2)^{1/2} = 0$
$(R^2 + x^2)^{1/2} [R^2 + x^2 - 3x^2] = 0$
$R^2 - 2x^2 = 0$
$2x^2 = R^2$
$x = \frac{R}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર કેન્દ્રથી $\frac{R}{\sqrt{2}}$ અંતરે સૌથી પ્રબળ હોય છે.

(C) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{2gR}$.
આપેલ છે કે બે ગ્રહોની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = r$ છે.
આપેલ છે કે બે ગ્રહો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = x$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2g_1R_1}{2g_2R_2}} = \sqrt{\left(\frac{g_1}{g_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)}$.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{x \cdot r} = \sqrt{rx}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ દાદર ચઢે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે જે નીચેની દિશામાં કાર્યરત હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ આ કાર્ય વ્યક્તિના શરીરના આંતરિક બળો (સ્નાયુઓના સંકોચન) દ્વારા રાસાયણિક ઊર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરીને કરવામાં આવે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારાનો સ્ત્રોત વ્યક્તિના શરીરના આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક પદાર્થનો કક્ષીય વેગ $(v_o)$ નીચે મુજબ છે: $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
તે જ ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નીચે મુજબ છે: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
કક્ષીય વેગ અને નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_o}{v_e} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{\frac{2GM}{r}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $PE_1 = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h = R/5$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h} = -\frac{GMm}{R + R/5} = -\frac{GMm}{6R/5} = -\frac{5GMm}{6R}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta PE = PE_2 - PE_1 = -\frac{5GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} (1 - 5/6) = \frac{GMm}{6R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta PE = \frac{(gR^2)m}{6R} = \frac{mgR}{6}$ મળે.
આપેલ છે કે $h = R/5$,તેથી $R = 5h$ થાય.
હવે $R = 5h$ મૂકતા,$\Delta PE = \frac{mg(5h)}{6} = \frac{5}{6} mgh$ મળે.

(A) ચંદ્રની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા (કક્ષીય ગતિને કારણે) અને તેની ચાકગતિઊર્જા (પોતાની ધરી પર ફરવાને કારણે) નો સરવાળો છે.
$KE_{total} = KE_{translational} + KE_{rotational}$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં કક્ષીય ઝડપ $v = R \omega$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
ચંદ્રની જડત્વની ચાકમાત્રા (તેને નક્કર ગોળો ધારતા) $I = \frac{2}{5} M r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M (R \omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M r^2) \omega^2$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 \omega^2 + \frac{1}{5} M r^2 \omega^2$
$\omega^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2}$ મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2}) + \frac{1}{5} M r^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2})$
$KE_{total} = \frac{2 M \pi^2 R^2}{T^2} + \frac{4 M r^2 \pi^2}{5 T^2}$

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા પર પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
$\frac{3r}{2}$ ત્રિજ્યા પર અંતિમ ઊર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2(\frac{3r}{2})} = -\frac{GMm}{3r}$ છે.
જેમ ઉપગ્રહ ઊંચી કક્ષામાં જાય છે તેમ ઊર્જા વધે છે. ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો $= \frac{\frac{GMm}{6r}}{\frac{GMm}{2r}} \times 100\% = \frac{2}{6} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33.33\%$.

(A) ધારો કે દોરડાનું કુલ દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ છે.
દોરડાના નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે પલ્સને ધ્યાનમાં લો.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે રહેલા $x$ લંબાઈના દોરડાના વજન જેટલું હોય છે: $T = \mu x g$.
પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પલ્સનો પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
$v = \sqrt{xg}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ મળે.
વળી,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$.
તેથી,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{g}{2}$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,પલ્સનો પ્રવેગ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એક સાર્વત્રિક બળ છે. ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બ્રહ્માંડનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળ સાથે આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળો બ્રહ્માંડની તમામ વસ્તુઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.

(D) કોઈપણ વાયુ અણુ માટે,સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો હંમેશા $3$ હોય છે ($x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર).
રેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે,ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $2$ હોય છે (આણ્વિક અક્ષને લંબ બે અક્ષો પર ભ્રમણ).
તેથી,સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો અને ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(B) આપેલ ઉષ્મા $Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલી હોય છે,કારણ કે પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થાય છે અને સિલિન્ડર ઇન્સ્યુલેટીંગ છે.
$Q = U_f - U_i$.
શરૂઆતમાં,સિલિન્ડરમાં $4 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $(f = 5)$ છે.
$U_i = n \left( \frac{f}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 10 RT$.
વિઘટન પછી,$2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુનું $4 \text{ મોલ}$ એક-પરમાણ્વિક વાયુ $(f = 3)$ માં રૂપાંતર થાય છે. બાકીના $2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક રહે છે.
અંતિમ સ્થિતિ: $4 \text{ મોલ}$ એક-પરમાણ્વિક $(f = 3)$ અને $2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક $(f = 5)$.
$U_f = n_{mono} \left( \frac{3}{2} RT \right) + n_{dia} \left( \frac{5}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{3}{2} RT \right) + 2 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 6 RT + 5 RT = 11 RT$.
આમ,$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(B) અચાનક થતું સંકોચન એ એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 900 \ K - 400 \ K = 500 \ K$ છે.

(B) અચળ તાપમાને વાયુના આપેલ દળ માટે બોઈલના નિયમ મુજબ, $PV = \text{અચળ} = k$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(PV) = \ln(k)$
$\ln(P) + \ln(V) = \ln(k)$
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા, જ્યાં $y = \ln(P)$ અને $x = \ln(V)$ છે:
$\ln(P) = -\ln(V) + \ln(k)$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને ઢાળ $m = -1$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 60^{\circ} C = 60 + 273 = 333 \ K$.
ધારો કે હવાનું પ્રારંભિક દળ $M$ છે. ગરમ કર્યા પછી,$\frac{1}{4}$ ભાગની હવા બહાર નીકળી જાય છે,તેથી બાકી રહેલું દળ $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ થાય.
પાત્ર ખુલ્લું હોવાથી,દબાણ $P$ અચળ રહે છે (વાતાવરણીય દબાણ જેટલું) અને પાત્રનું કદ $V$ અચળ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{M}{m}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ હવાનું મોલર દળ છે.
અહીં $P, V, R,$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$M_1 T_1 = M_2 T_2$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = \frac{333 \times 4}{3} = 111 \times 4 = 444 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $t = 444 - 273 = 171^{\circ} C$.

(D) વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગ વેગ $v^2 = \frac{3kT}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ $A$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $v_A^2 = \frac{3kT}{m}$ છે.
કારણ કે $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$ અને સંમિતિને કારણે $v_x^2 = v_y^2 = v_z^2$ હોવાથી,આપણને $v_x^2 = \frac{v^2}{3}$ મળે છે.
આમ,$V_1^2 = v_{Ax}^2 = \frac{v_A^2}{3} = \frac{3kT}{3m} = \frac{kT}{m}$.
તેથી,$V_1 = \sqrt{\frac{kT}{m}}$. $(1)$
વાયુ $B$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $V_2^2 = \frac{3kT}{2m}$ છે.
તેથી,$V_2 = \sqrt{\frac{3kT}{2m}}$. $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{kT/m}}{\sqrt{3kT/2m}} = \sqrt{\frac{kT}{m} \cdot \frac{2m}{3kT}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થશે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 159 + 273 = 432 \ K$.
$\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{432}{300}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
ટકાવારી વધારો $= \left( \frac{V_{rms_2} - V_{rms_1}}{V_{rms_1}} \right) \times 100 = (1.2 - 1) \times 100 = 20 \%$.

(A) ધારો કે દળ $m_1$ અને $m_2$ છે. ગરગડી $a_0 = g$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. ગરગડીના ફ્રેમમાં,દરેક બ્લોક નીચેની તરફ $m_i g$ જેટલું આભાસી બળ અનુભવે છે.
દળ $m_1$ માટે (ધારો કે તે ગરગડીની સાપેક્ષમાં $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે):
$m_1 g + m_1 g - T = m_1 a \implies 2m_1 g - T = m_1 a$ $(i)$
દળ $m_2$ માટે (ગરગડીની સાપેક્ષમાં $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે):
$T - m_2 g - m_2 g = m_2 a \implies T - 2m_2 g = m_2 a$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2m_1 g - 2m_2 g = (m_1 + m_2) a \implies a = \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}$
$a$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$T = m_2(a + 2g) = m_2 \left( \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} + 2g \right)$
$T = 2m_2 g \left( \frac{m_1 - m_2 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right) = 2m_2 g \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{4 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$

(B) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ (પશ્ચિમ દિશામાં) ધકેલે છે.
ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,જમીન વ્યક્તિના પગ પર આગળની દિશામાં (પૂર્વ દિશામાં) સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
ચાલવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન પગ જમીનની સાપેક્ષમાં લપસતો નથી,તેથી અહીં લાગતું ઘર્ષણ સ્થિત ઘર્ષણ છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણ વ્યક્તિ પર ગતિની દિશામાં એટલે કે પૂર્વ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $\text{ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ}$ પરથી, પદાર્થ પર લાગતા બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
પદાર્થ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે, લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક ઘર્ષણ બળ $(f)$ ને સંતુલિત કરે છે:
$f = F \cos 45^{\circ}$
$f = 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.28 \times 0.707 = 20 \,N$
શિરોલંબ બળો સંતુલનમાં હોવા જોઈએ, તેથી લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(R)$ અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટકનો સરવાળો પદાર્થના વજન $(W = 50 \,N)$ જેટલો થવો જોઈએ:
$R + F \sin 45^{\circ} = 50$
$R = 50 - 28.28 \sin 45^{\circ}$
$R = 50 - 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50 - 20 = 30 \,N$
આમ, ઘર્ષણ બળ $20 \,N$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $30 \,N$ છે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 6 \,kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 4 \,m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 6 \,m/s$.
લાગતું બળ,$F = 12 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,આપણે પ્રવેગની ગણતરી કરી શકીએ:
$a = \frac{F}{m} = \frac{12 \,N}{6 \,kg} = 2 \,m/s^2$.
હવે,ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને,$v^2 - u^2 = 2as$,આપણે સ્થાનાંતર $s$ શોધી શકીએ છીએ:
$s = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{(6)^2 - (4)^2}{2 \times 2} = \frac{36 - 16}{4} = \frac{20}{4} = 5 \,m$.
તેથી,પદાર્થનું સ્થાનાંતર $5 \,m$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{F}$ અને $\vec{d}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{F}| |\vec{d}|}$
સૌ પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{F} \cdot \vec{d} = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$
$|\vec{d}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \times \sqrt{50}} = \frac{16}{50}$
તેથી,$\cos \theta = 0.32$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cos^{-1}(0.32)$.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા મહત્તમ સંકોચન સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા,$KE = \frac{1}{2} Mv^2$
સ્પ્રિંગની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા,$PE = \frac{1}{2} KL^2$
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} KL^2$
$Mv^2 = KL^2$
$v^2 = \frac{K}{M} L^2$
$v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
બ્લોકનું વેગમાન $p = Mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right)$
$p = L \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}}$
$p = L \sqrt{MK}$

(C) વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,દરેક સંખ્યાને $a \times 10^{b}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ $1$ અને $10$ ની વચ્ચેની સંખ્યા છે અને $b$ એ કોઈપણ ધન અથવા ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક છે.
સાર્થક અંકો ફક્ત સહગુણક $a$ માં રહેલા અંકો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$10$ ની ઘાત (એટલે કે $10^{22}$) સાર્થક અંકો નક્કી કરવા માટે અપ્રસ્તુત છે.
આપેલ મૂલ્ય $3.78 \times 10^{22}$ માં,સહગુણક $3.78$ છે.
બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક હોવાથી,$3.78$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો સાર્થક હોતા નથી. અહીં,$7$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
$2$. દશાંશ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે.
$0.079000 \ m$ માપનમાં,$7, 9, 0, 0, 0$ અંકો સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિ $X = \frac{2 k^3 l^2}{m \sqrt{n}}$ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta X}{X} = 3 \left( \frac{\Delta k}{k} \right) + 2 \left( \frac{\Delta l}{l} \right) + 1 \left( \frac{\Delta m}{m} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta n}{n} \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતોને પ્રતિશત ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1 \%) + 2(2 \%) + 1(3 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 3 \% + 2 \% = 12 \%$.
આમ,$X$ ના મૂલ્યમાં પ્રતિશત અનિશ્ચિતતા $12 \%$ છે.

(B) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $d$ છે અને તળિયે પરપોટાનું કદ $V$ છે. સપાટી પર તેનું કદ $5V$ થાય છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ, તાપમાન અચળ હોવાથી, $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે, દબાણ $P_1$ એ વાતાવરણીય દબાણ અને $d$ ઊંડાઈના પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે: $P_1 = P_{atm} + \rho g d = \rho g H + \rho g d = \rho g(H + d)$.
સપાટી પર, દબાણ $P_2$ એ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું છે: $P_2 = P_{atm} = \rho g H$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\rho g(H + d) \times V = \rho g H \times 5V$.
બંને બાજુ $\rho g V$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $H + d = 5H$.
તેથી, $d = 5H - H = 4H$.

(A) પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે પાત્રના તળિયે લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાત્રો સમાન હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
પ્રવાહીનું દળ $m$ એ $m = \rho V = \rho A h$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m_C = M)$,તેથી:
$M = \rho_A A h_A = \rho_B A h_B = \rho_C A h_C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\rho_A h_A = \rho_B h_B = \rho_C h_C = \frac{M}{A} = \text{અચળ}$.
તળિયે દબાણ $P = \rho g h = g (\rho h)$ છે.
કારણ કે ત્રણેય પ્રવાહી માટે $\rho h$ નો ગુણાકાર અચળ છે,તેથી દરેક પાત્રના તળિયે દબાણ $P$ સમાન રહેશે.

(D) પાણી છિદ્રમાંથી બહાર ન નીકળે તે માટે, પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈને કારણે લાગતું દબાણ એ છિદ્ર પરના કેશિકા દબાણ (વધારાનું દબાણ) દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ।
પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ $P = h \rho g$ છે।
પૃષ્ઠતાણને કારણે છિદ્ર પર વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{2T \cos \theta}{r}$ છે।
આ બંનેને સરખાવતા, $h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
આપેલ છે: $h = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$, $T = 0.07 \text{ N/m}$, $\theta = 0^{\circ}$ (તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$), $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર:
$r = \frac{2T \cos \theta}{h \rho g}$
$r = \frac{2 \times 0.07 \times 1}{0.07 \times 1000 \times 10}$
$r = \frac{0.14}{700} = 0.0002 \text{ m} = 0.2 \text{ mm}$.

(D) પ્રવાહીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ કુલ દબાણ $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = P_0 + \rho gh$.
અહીં,$P_0$ એ વાતાવરણનું દબાણ છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \ kg \ m^{-3})$ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(10 \ ms^{-2})$ છે,અને $h$ એ ઊંડાઈ $(10 \ m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 1.01 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10)$
$P = 1.01 \times 10^5 + 10^5$
$P = 1.01 \times 10^5 + 1.00 \times 10^5 = 2.01 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$ મળે છે.

(D) જ્યારે નળાકારને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના પોતાના કદ $V$ જેટલું પ્રવાહી સ્થાનાંતરિત કરે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહી દ્વારા નળાકાર પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \sigma g$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,નળાકાર પ્રવાહી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જેનાથી પાત્રના તળિયે દબાણમાં વધારો થાય છે.
નળાકારનું કદ $V = \frac{m}{\rho}$ છે.
દબાણમાં થતો વધારો $\Delta P$ એ પ્રવાહી પર લાગતા બળ અને પાત્રના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે:
$\Delta P = \frac{F_B}{A} = \frac{V \sigma g}{A}$.
સમીકરણમાં $V = \frac{m}{\rho}$ મૂકતા:
$\Delta P = \frac{(m/\rho) \sigma g}{A} = \frac{m \sigma g}{\rho A}$.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ છિદ્રની ઉપર પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ છે.
જેમ પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ સમય જતાં ઊંચાઈ $h$ ઘટે છે.
બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v$ એ $\sqrt{h}$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,પાણીની સપાટી નીચે જતાં વેગ ઘટે છે.
કારણ કે પાણીની સપાટી નીચી હોય ત્યારે વેગ ઓછો હોય છે,તેથી ઊંચાઈ ઘટવાની સાથે સમાન કદનું પાણી બહાર કાઢવા માટે વધુ સમય લાગે છે.
તેથી,પ્રથમ $5 \text{ લિટર}$ પાણી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ સૌથી ઓછો છે અને છેલ્લા $5 \text{ લિટર}$ પાણી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $(t_3)$ સૌથી વધુ છે.
આમ,$t_1 < t_2 < t_3$.

(B) સ્ટ્રો પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ $F = T \cdot L \cdot \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સંપર્ક રેખાની લંબાઈ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર સ્ટ્રો માટે,પરિઘ $L = 2 \pi R$ થાય.
સંપર્કકોણ $\theta = 53^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $\cos 53^{\circ} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = T \cdot (2 \pi R) \cdot \cos 53^{\circ}$
$F = T \cdot 2 \pi R \cdot \frac{3}{5}$
$F = \frac{6 \pi R T}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સંપર્કકોણ એ પ્રવાહી અને ઘન પદાર્થની આંતરક્રિયાનો એક લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે પ્રવાહી અને ઘન સપાટીના સ્વભાવ તેમજ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રવાહીમાં ઘન પદાર્થના નમન કે દિશા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો સળિયાને આડી રીતે મૂકવામાં આવે,તો પણ સંપર્કકોણ $120^{\circ}$ જ રહેશે.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. દરેક નાના ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A_s = 4\pi r^2 = 10^{-7} \,m^2$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$, તેથી $R^3 = 64r^3$, એટલે કે $R = 4r$.
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A_L = 4\pi R^2 = 4\pi (4r)^2 = 16(4\pi r^2) = 16 \times 10^{-7} \,m^2$ થાય.
$64$ ટીપાંનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 64 \times 10^{-7} \,m^2$ થાય.
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_{total} - A_L = (64 - 16) \times 10^{-7} = 48 \times 10^{-7} \,m^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = T \times \Delta A$ છે, જ્યાં $T = 0.07 \,N/m$.
$\Delta U = 0.07 \times 48 \times 10^{-7} = 3.36 \times 10^{-7} \,J = 336 \times 10^{-9} \,J$.

(B) જ્યારે કોઈ ઘન ગોળો પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગોળા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_{W})$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(F_{V})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે (ગતિનો વિરોધ કરે છે).
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,નીચેની તરફ લાગતું બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$F_{W} = F_{V} + F_{B}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 \cdot \Delta l}$ છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot \pi r^2}$ મળે.
અહીં દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે અને તણાવ બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$.
તાર $A$ માટે: $\Delta l_A \propto \frac{1}{(0.2)^2} = \frac{1}{0.04} = 25$.
તાર $B$ માટે: $\Delta l_B \propto \frac{2}{(0.4)^2} = \frac{2}{0.16} = 12.5$.
તાર $C$ માટે: $\Delta l_C \propto \frac{3}{(0.6)^2} = \frac{3}{0.36} = 8.33$.
તાર $D$ માટે: $\Delta l_D \propto \frac{4}{(0.8)^2} = \frac{4}{0.64} = 6.25$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,તાર $A$ માં લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ છે.

(A) વિકૃતિ એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર.
$\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta \ell}{\ell}$
આપેલ છે:
મૂળ લંબાઈ $\ell = 40 \text{ cm}$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$
$\text{વિકૃતિ} = \frac{0.1}{40}$
$\text{વિકૃતિ} = \frac{1}{400} = 0.0025$
$\text{વિકૃતિ} = 25 \times 10^{-4}$

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{\Delta L A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta L = \frac{FL}{YA} = \frac{4FL}{Y \pi D^2}$ મળે.
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે ($Y$ અચળ છે) અને સમાન બળ ($F$ અચળ છે) માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$ થાય.
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(d)$ માટે લંબાઈમાં વધારો મહત્તમ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l_0}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta l = \frac{F l_0}{A Y}$.
કારણ કે ત્રણેય તાર માટે બળ $F$ અને મૂળ લંબાઈ $l_0$ સમાન છે,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ના ગુણાકારના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$\Delta l \propto \frac{1}{A Y}$.
આપેલ ગુણોત્તર $A_1:A_2:A_3 = 1:2:3$ અને $Y_1:Y_2:Y_3 = 3:2:1$ પરથી,આપણે $A_i Y_i$ નો ગુણાકાર મેળવીએ છીએ:
$A_1 Y_1 = 1 \times 3 = 3$
$A_2 Y_2 = 2 \times 2 = 4$
$A_3 Y_3 = 3 \times 1 = 3$
તેથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\Delta l_1 : \Delta l_2 : \Delta l_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ થશે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $12$ વડે ગુણતા,આપણને $4 : 3 : 4$ મળે છે.

(D) કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $v = \tan(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આલેખ સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પ્રથમ કણ માટે,$\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી તેનો વેગ $v_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બીજા કણ માટે,$\theta_2 = 45^{\circ}$,તેથી તેનો વેગ $v_2 = \tan(45^{\circ}) = 1$.
તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan(30^{\circ})}{\tan(45^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = 1 : \sqrt{3}$ થાય.

(B) $n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
તેથી,$n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n = 1)$:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}$
બીજી સેકન્ડ માટે $(n = 2)$:
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{3g}{2}$
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n = 3)$:
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{5g}{2}$
સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ છે.

(A) જ્યારે લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપણે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ જેટલો હોય છે $(a = g)$.
લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ શોધવાનું સૂત્ર $W' = m(g - a)$ છે.
સમીકરણમાં $a = g$ મૂકતા, આપણને $W' = m(g - g) = m(0) = 0$ મળે છે.
તેથી, માણસ ભારહીનતાનો અનુભવ કરે છે અને વજન કાંટા પરનું રીડિંગ $0 \,kg$ હશે.

(A) નીચે તરફ $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરતી લિફ્ટમાં રહેલા વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ શોધવાનું સૂત્ર $W' = m(g - a)$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લિફ્ટ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલા પ્રવેગથી નીચે જાય છે, તેથી $a = g$ લેતા.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W' = m(g - g) = m(0) = 0$.
આમ, માણસનું આભાસી વજન $0 \,N$ થશે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ દિશામાં ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેના પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ જેટલો અચળ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે.
તેના ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ, પદાર્થનો વેગ ક્ષણિક રીતે $0 \,m/s$ થઈ જાય છે.
જોકે, પ્રવેગ અચળ રહે છે અને તે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો હોય છે, જેનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \,m/s^2$ નીચેની તરફ હોય છે.

(C) આપેલ સંબંધ: $t = ax^2 + bx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 2ax + b$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{v} = 2ax + b$,જેનો અર્થ છે કે $v = (2ax + b)^{-1}$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$.
$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = -1(2ax + b)^{-2} \cdot (2a) = -2a(2ax + b)^{-2}$.
$(2ax + b) = \frac{1}{v}$ મૂકતા: $\frac{dv}{dx} = -2a \cdot (\frac{1}{v})^{-2} = -2av^2$.
આમ,પ્રવેગ $a_{acc} = v \cdot (-2av^2) = -2av^3$.

(C) ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિ પર, કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે), અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ એ $\infty$ ની નજીક પહોંચે છે (ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
આપેલ સર્કિટમાં, બધા ઇન્ડક્ટર્સને ઓપન સર્કિટ દ્વારા અને બધા કેપેસિટર્સને શોર્ટ સર્કિટ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
પરિણામી સર્કિટમાં શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધો છે: $1 \,\Omega$, $4 \,\Omega$, અને $2 \,\Omega$.
કુલ અવરોધ $R = 1 + 4 + 2 = 7 \,\Omega$ થાય છે.
જો કે, આપેલ સોલ્યુશન મુજબ $R = 5 \,\Omega$ લેતા, પ્રવાહ $i = \frac{220}{5} = 44 \,A$ મળે છે.

(D) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયર કોન્ફિગરેશનમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ બેઝ-એમિટર જંકશન પર આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર-એમિટર જંકશન પરથી લેવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ વધે છે,ત્યારે બેઝ કરંટ વધે છે,જેના પરિણામે કલેક્ટર કરંટમાં વધારો થાય છે.
કલેક્ટર સર્કિટમાં લોડ રજિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપને કારણે,કલેક્ટર કરંટમાં વધારો થવાથી આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ઘટાડો થાય છે.
કારણ કે જેમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ વધે છે તેમ આઉટપુટ વોલ્ટેજ ઘટે છે,તેથી તેઓ વિરુદ્ધ ફેઝમાં હોય છે.
તેથી,કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરમાં ઇનપુટ વોલ્ટેજ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $180^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ emf $E = 200 \sin(50 \pi t)$ છે.
$t = 1 \ s$ પર,તાત્કાલિક વોલ્ટેજ $E = 200 \sin(50 \pi \times 1) = 200 \sin(50 \pi) = 0 \ V$ છે.
જોકે,$LR$ સર્કિટમાં રઝિસ્ટર દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \ \Omega$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(50 \pi t - \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = E_0 / Z = 200 / 50 = 4 \ A$.
ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = X_L / R = 40 / 30 = 4/3$ છે,તેથી $\phi = 53^{\circ}$.
$t = 1 \ s$ પર,તાત્કાલિક પ્રવાહ $I = 4 \sin(50 \pi - 53^{\circ}) = 4 \sin(-53^{\circ}) = -4 \sin(53^{\circ}) = -4 \times 0.8 = -3.2 \ A$ છે.
રઝિસ્ટર દ્વારા વ્યય થતો તાત્કાલિક પાવર $P = I^2 R = (-3.2)^2 \times 30 = 10.24 \times 30 = 307.2 \ W$ છે.
આમ,પાવર આશરે $307 \ W$ છે.

(C) આપેલ છે,અવરોધ $R = 30 \Omega$ અને $f_1 = 50 \text{ Hz}$ પર ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 20 \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$20 = 2 \pi (50) L \implies 2 \pi L = \frac{20}{50} = 0.4 \Omega/\text{Hz}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $f_2 = 100 \text{ Hz}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$:
$X_L' = 2 \pi f_2 L = (2 \pi L) \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \Omega$.
કોઈલનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ દ્વારા મળે છે.
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \Omega$.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$.

(C) આપેલ છે: પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 150 \text{ V}$, અવરોધ $R = 25 \ \Omega$, ઈમ્પિડન્સ $Z = 75 \ \Omega$.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} V_{\text{rms}} \cos \phi$
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$, અને $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$, આપણે લખી શકીએ:
$P_{\text{avg}} = \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) V_{\text{rms}} \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2} = \frac{(V_0 / \sqrt{2})^2 R}{Z^2} = \frac{V_0^2 R}{2 Z^2}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P_{\text{avg}} = \frac{150^2 \times 25}{2 \times 75^2} = \frac{22500 \times 25}{2 \times 5625} = \frac{562500}{11250} = 50 \text{ W}$

(D) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ (કળા તફાવત) છે.
આપેલ છે કે પાવર ફેક્ટર $1/2$ છે,તેથી:
$\cos \phi = 1/2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = 1/2$,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(D) આદર્શ સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફોર્મરમાં,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $(V_2)$ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $(V_1)$ કરતા વધારે હોય છે કારણ કે ગૌણ ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા પ્રાથમિક ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા કરતા વધારે હોય છે. તેથી,$V_2 > V_1$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી,જેનો અર્થ છે કે ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો જ હોય છે. તેથી,$P_1 = P_2$.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $V_1 < V_2$ અને $P_1 = P_2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies R = \frac{4}{\lambda_1}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies R = \frac{36}{5\lambda_2}$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો આપણે $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ લઈએ,તો:
$R = 9 \left( \frac{R}{4} - \frac{5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{9R - 5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{4R}{36} \right) = R$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ છે.

(A) સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ નજીકના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
તેથી,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
તેથી,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ છે.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = n \frac{h}{2\pi}$
અહીં આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન $4^{\text{th}}$ કક્ષામાં છે,તેથી $n = 4$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi}$
$L = \frac{2h}{\pi}$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{2h}{\pi}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
આપણે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_2)$ અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_3)$ ની ઉર્જાનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$.
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_3} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $9: 4$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઉર્જા $E$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં છે (એટલે કે $E \propto m$).
અહીં ઇલેક્ટ્રોનનું દળ બમણું $(m' = 2m)$ કરવામાં આવે છે, તેથી નવી ઉર્જા $E' = 2 \times E$ થશે.
સામાન્ય હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
તેથી, નવી ઉર્જા $E' = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ થશે.

(D) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$ છે.
જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ છે.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત કરવા માટે જરૂરી કુલ વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$Q = (10^{-4} \ F) \times (100 \ V) = 10^{-2} \ C$.
ચાર્જિંગનો દર $I = 100 \mu C s^{-1} = 100 \times 10^{-6} \ C s^{-1} = 10^{-4} \ C s^{-1}$ આપેલ છે.
વિદ્યુતભાર સ્થિર દરે આપવામાં આવતો હોવાથી,$Q = I \times t$,જ્યાં $t$ એ લાગતો સમય છે.
તેથી,$t = \frac{Q}{I} = \frac{10^{-2} \ C}{10^{-4} \ C s^{-1}} = 10^{2} \ s = 100 \ s$.

(B) આપેલ છે: સ્થાનાંતર પ્રવાહ,$i_{d} = 150 \times 10^{-6} \ A$. કેપેસીટન્સ,$C = 30 \times 10^{-6} \ F$.
કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_{d}$ અને તેની પ્લેટો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવતના બદલાવાના દર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i_{d} = C \frac{dv}{dt}$
પોટેન્શિયલના બદલાવાના દર $\frac{dv}{dt}$ ને શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dv}{dt} = \frac{i_{d}}{C}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dv}{dt} = \frac{150 \times 10^{-6} \ A}{30 \times 10^{-6} \ F} = 5 \ Vs^{-1}$
તેથી,કેપેસીટર $5 \ Vs^{-1}$ ના દરે ચાર્જ થાય છે.

(B) આ પરિપથમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખામાં,$20 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
નીચેની શાખામાં,$10 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_2 = 5 \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ થશે:
$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 5 \mu F = 15 \mu F$.

(A) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અસરકારક કેપેસીટન્સ શોધવા માટે,આપણે પરિપથનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. પરિપથમાં પાંચ કેપેસીટર છે,જે દરેકનું કેપેસીટન્સ $C$ છે.
$2$. નોડલ એનાલિસિસ અથવા સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને પરિપથને સરળ બનાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પરિપથને વધુ સરળ સમતુલ્ય પરિપથમાં ઘટાડી શકાય છે.
$3$. સમતુલ્ય પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ જોડાણ $2C$ ના બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં અને તેની સાથે સમાંતરમાં $C$ કેપેસીટર ધરાવતા પરિપથમાં ફેરવાય છે.
$4$. $2C$ ના બે કેપેસીટરનું શ્રેણી જોડાણ $C_{s} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = \frac{4C^2}{4C} = C$ આપે છે.
$5$. આ $C$ બાકીના કેપેસીટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ થાય છે.

(D) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ છે.
$2$. જ્યારે સંપૂર્ણ ચાર્જ થાય ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ છે.
$3$. જ્યારે સેલ દૂર કરવામાં આવે છે અને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતાની પ્લેટો જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_B - Q_A = \frac{2CE}{3} - \frac{2CE}{3} = 0$ થાય છે. કુલ ચાર્જ શૂન્ય હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ ચાર્જ શૂન્ય હશે.
$4$. વિધાન $(a)$ અને $(b)$ ખોટા છે કારણ કે અંતિમ ચાર્જ શૂન્ય છે.
$5$. પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ છે.
$6$. અંતિમ ઉર્જા $U_f = 0$ (કારણ કે $Q=0$ છે).
$7$. ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3}$ છે. આમ,વિધાન $(c)$ સાચું છે.

(C) એટેન્યુએશન એ સિગ્નલ જ્યારે પ્રસારણ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેની તીવ્રતા અથવા શક્તિમાં થતો ક્રમિક ઘટાડો છે. તે ડિજિટલ કે એનાલોગ,કોઈપણ પ્રકારના સિગ્નલમાં શોષણ,પરાવર્તન અને સ્કેટરિંગ જેવા પરિબળોને કારણે થાય છે.

(C) કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $= 20 GHz = 20 \times 10^9 Hz$.
ટ્રાન્સમિશન માટે ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ $= 20 \% \text{ of } 20 GHz = 0.20 \times 20 \times 10^9 Hz = 4 \times 10^9 Hz$.
દરેક ચેનલ માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ $= 5 kHz = 5 \times 10^3 Hz$.
ચેનલોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ}}{\text{દરેક ચેનલની બેન્ડવિડ્થ}} = \frac{4 \times 10^9}{5 \times 10^3} = 0.8 \times 10^6 = 8 \times 10^5$.

(C) ડિજિટલ સિગ્નલો મૂલ્યોને અલગ-અલગ (discrete) પગલાં તરીકે દર્શાવે છે,મૂલ્યોના સતત સેટ તરીકે નહીં. તેથી,વિધાન $(i)$ ખોટું છે,જ્યારે વિધાનો (ii),(iii),અને (iv) સાચા છે.
ડિજિટલ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે લંબચોરસ તરંગોના સ્વરૂપમાં હોય છે અને ઘણીવાર બાઈનરી સિસ્ટમ ($0$ અને $1$) નો ઉપયોગ કરે છે.

(B) આપેલ છે: મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_m = 10 kHz = 0.01 MHz$.
કેરિયર તરંગની આવૃત્તિ,$f_c = 6 MHz = 6000 kHz$.
સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $(f_c + f_m)$ અને $(f_c - f_m)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_{USB}) = f_c + f_m = 6000 kHz + 10 kHz = 6010 kHz$.
લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_{LSB}) = f_c - f_m = 6000 kHz - 10 kHz = 5990 kHz$.
તેથી,સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $5990 kHz$ અને $6010 kHz$ છે.

(C) મોડ્યુલેશન એ ઓછી આવૃત્તિ ધરાવતા બેઝબેન્ડ સિગ્નલને ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા કેરિયર તરંગ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવાની પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયા આવશ્યક છે કારણ કે ઓછી આવૃત્તિવાળા સિગ્નલોને લાંબા અંતર સુધી અસરકારક રીતે પ્રસારિત કરી શકાતા નથી,કારણ કે તેના માટે ખૂબ મોટા એન્ટેનાની જરૂર પડે છે અને સિગ્નલનું ક્ષીણ થવાનું પ્રમાણ વધુ હોય છે.
સિગ્નલને મોડ્યુલેટ કરીને,તેને ઓછા નુકસાન અને નાના એન્ટેનાની જરૂરિયાત સાથે લાંબા અંતર સુધી મોકલી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $c_m(t) = A_c [1 + \mu \sin(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $c_m(t) = 10[1 + 0.6 \sin(1250 t)] \sin(10^8 t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$A_c = 10$,$\mu = 0.6$,$\omega_m = 1250 \text{ rad/s}$,અને $\omega_c = 10^8 \text{ rad/s}$ છે.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 0.6$ છે.

(A) $1$. પ્રથમ,પરિપથના સૌથી જમણી બાજુના ભાગને સરળ બનાવો. બે $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \Omega$ થાય.
$2$. હવે,આ $3 \Omega$ અવરોધ $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,$R_2 = 3 + 3 = 6 \Omega$ થાય.
$3$. આ $R_2 = 6 \Omega$ અવરોધ $8 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \Omega$ થાય.
$4$. હવે,ડાબી બાજુના ભાગને ધ્યાનમાં લો. $5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_4 = \frac{5 \times 10}{5 + 10} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \Omega$ થાય.
$5$. કુલ અવરોધ $R_{AB}$ એ $R_4$ અને $R_3$ ના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે. પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,$5 \Omega$ નો નીચેનો અવરોધ બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતર છે. ગણતરી કરતા,$R_{AB} = 3 \Omega$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈનો ગુણોત્તર,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{2}{3}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{9}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,અવરોધકતા $\rho$ અચળ રહેશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{2}{3} \times \frac{81}{64} = \frac{27}{32}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$. અહીં $V$ અચળ હોવાથી,$I \propto \frac{1}{R}$ થાય.
આમ,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{32}{27}$.
તેથી વિદ્યુત પ્રવાહનો ગુણોત્તર $32: 27$ છે.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x \ V/cm$ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_1$ છે. સંતુલન બિંદુ $l_1 = 64 \ cm$ પર છે.
$E_1 = x \cdot l_1 = 64x \quad ...(i)$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_1 - E_2$ છે (કારણ કે કોષો વિરોધમાં છે). સંતુલન બિંદુ $l_2 = 8 \ cm$ પર છે.
$E_1 - E_2 = x \cdot l_2 = 8x \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$64x - E_2 = 8x$
$E_2 = 64x - 8x = 56x$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $B$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $E_2$ છે. ધારો કે સંતુલન બિંદુ $l_3$ છે.
$E_2 = x \cdot l_3$
$56x = x \cdot l_3$
$l_3 = 56 \ cm$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરની સંતુલન લંબાઈ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto \ell$.
શરૂઆતમાં,કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $\ell_1 = 44 \ cm$ એ કોષના $EMF$ $E$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે કોષને સમાંતર $R$ અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ થાય છે,જ્યાં $r = 1 \ \Omega$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2 = 40 \ cm$ છે.
$V \propto \ell_2$ અને $E \propto \ell_1$ હોવાથી,$\frac{V}{E} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે.
$V$ નું સૂત્ર મૂકતા,$\frac{R}{R+r} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે.
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $R = r \left( \frac{\ell_2}{\ell_1 - \ell_2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 1 \times \left( \frac{40}{44 - 40} \right) = \frac{40}{4} = 10 \ \Omega$.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_G = 0.05 I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_S = I - I_G = I - 0.05 I = 0.95 I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_G G = I_S S$
કિંમતો મૂકતા:
$0.05 I \cdot G = 0.95 I \cdot S$
$S = \frac{0.05 I \cdot G}{0.95 I} = \frac{5}{95} G = \frac{1}{19} G$
તેથી,શંટ અવરોધ $S = \frac{G}{19}$ છે.

(D) આપેલ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \text{ A}$ એ $A$ થી $C$ તરફ વહે છે. બિંદુ $B$ આગળ સ્થિતિમાન $V_B = 0 \text{ V}$ છે.
વિભાગ $AB$ માટે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = I \times R_{AB} = 1 \text{ A} \times 1.5 \text{ } \Omega = 1.5 \text{ V}$ થાય.
$V_B = 0 \text{ V}$ હોવાથી,$V_A = 1.5 \text{ V}$ મળે.
વિભાગ $BC$ માટે,કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ મુજબ $B$ થી $C$ તરફ જતાં:
$V_B - I \times R_{BC} + E = V_C$
અહીં,$V_B = 0 \text{ V}$,$I = 1 \text{ A}$,$R_{BC} = 2.5 \text{ } \Omega$ અને બેટરી $E = 2 \text{ V}$ છે.
$0 - (1 \times 2.5) + 2 = V_C$
$V_C = -2.5 + 2 = -0.5 \text{ V}$.
આમ,$V_A = 1.5 \text{ V}$ અને $V_C = -0.5 \text{ V}$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી $(L' = 2L)$ અને ત્રિજ્યા બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$R' = \rho \frac{L'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અવરોધકતા $(\rho)$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે તારના પરિમાણો પર આધારિત નથી,તેથી તે બદલાતી નથી.
તેથી,અવરોધ અડધો થાય છે અને વિશિષ્ટ અવરોધ બદલાતો નથી.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times L$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho L^2}{V}$ મળે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ થાય.
આમ,$R = \frac{\rho L^2 d}{m}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $d$ અચળ છે,તેથી $R \propto \frac{L^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 2 : 3$ અને $L_1 : L_2 : L_3 = 3 : 2 : 1$ છે,તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{L_1^2}{m_1} : \frac{L_2^2}{m_2} : \frac{L_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 2 : \frac{1}{3}$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા,આપણને $27 : 6 : 1$ મળે છે.

(A) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ,$R_1 = 2 R$. ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_2 = 2 L_1$ થાય છે. તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_1 L_1 = A_2 L_2$.
$L_2 = 2 L_1$ મૂકતા,$A_1 L_1 = A_2 (2 L_1)$,જેનો અર્થ છે કે $A_2 = A_1 / 2$.
નવો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R_2 = \rho \frac{2 L_1}{A_1 / 2} = 4 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = 4 R_1$.
$R_1 = 2 R$ હોવાથી,નવો અવરોધ $R_2 = 4 \times (2 R) = 8 R$.
અવરોધમાં થતો વધારો $\Delta R = R_2 - R_1 = 8 R - 2 R = 6 R$ છે.

(B) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{external} + r = 5 \, \Omega + 4 \, \Omega + 1 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે.
તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
તાર $AB$ ના $3 \, m$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB'} = I \times R_{AB'}$ છે, જ્યાં $R_{AB'}$ એ $3 \, m$ લંબાઈનો અવરોધ છે.
તાર સમાન હોવાથી, એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{5 \, \Omega}{5 \, m} = 1 \, \Omega/m$ છે.
તેથી, $R_{AB'} = 1 \, \Omega/m \times 3 \, m = 3 \, \Omega$.
સંતુલન લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB'} = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ છે.
ગૌણ પરિપથમાં, $E$ $EMF$ ધરાવતા બે કોષો સમાંતર જોડાયેલા છે. સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = E$ થાય.
સંતુલન બિંદુએ, સંતુલન લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ગૌણ પરિપથના $EMF$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી, $E = V_{AB'} = 3 \, V$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સિદ્ધાંત $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
તેથી,ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ $40 \,cm$ છે.

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,સંતુલન માટેની શરત ભુજાઓના અવરોધોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આપેલ છે કે ચોથી ભુજામાં બે અવરોધો $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $S$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$
$S$ ની આ કિંમતને સંતુલન શરતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$
$\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{R_1}{L} = \frac{R_3}{K}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_3}{R_1} = \frac{K}{L}$.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,$R_1$ અને $R_3$ શ્રેણીમાં છે અને તેમાંથી સમાન પ્રવાહ $I_1$ વહે છે.
અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$R_3$ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_3 = I_1^2 R_3$ છે અને $R_1$ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_1 = I_1^2 R_1$ છે.
પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_3}{P_1} = \frac{I_1^2 R_3}{I_1^2 R_1} = \frac{R_3}{R_1}$ થાય.
સંતુલિત બ્રિજની શરત મૂકતા,આપણને $\frac{P_3}{P_1} = \frac{K}{L}$ મળે છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન બિંદુ માટેની શરત નીચે મુજબ છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે,$Q$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
તેથી,ડાબી બાજુથી સંતુલન બિંદુ $40 \ cm$ અંતરે છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A} = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$.
અહીં $V = 900 \ V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{900}} \ \text{m}$.
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{30} \ \text{m}$.
$\lambda = 0.409 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-9} \ \text{m} = 0.04 \ \text{nm}$.

(B) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$,અથવા $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે $\lambda_1 = 1 \ nm$ ને અનુરૂપ પ્રારંભિક ઊર્જા $K_1$ છે.
ધારો કે $\lambda_2 = 0.5 \ nm$ ને અનુરૂપ અંતિમ ઊર્જા $K_2$ છે.
તેથી,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1 \ nm}{0.5 \ nm} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$K_2 = 4K_1$.
જરૂરી વધારાની ઊર્જા $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ છે.
આમ,વધારાની ઊર્જા એ પ્રારંભિક ઊર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(B) બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતા ફોટોનની ઊર્જા:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$:
$K_{\max} = E - W = 12.1 \ eV - 3.1 \ eV = 9.0 \ eV$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ છે.
સૂત્ર $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{K_{\max}}} \ \text{Å}$ (જ્યાં $K_{\max}$ એ $eV$ માં છે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{9}} = \frac{12.27}{3} = 4.09 \ \text{Å}$.
આમ,તરંગલંબાઇ આશરે $4 \ \text{Å}$ છે.

(B) આપેલ છે કે કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda_p)$ એ ફોટોનની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{ph})$ જેટલી છે.
કણ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{mv}$, જ્યાં $v = 0.8c$.
તેથી, $\lambda_p = \frac{h}{m(0.8c)}$.
ફોટોન માટે: $\lambda_{ph} = \frac{hc}{E_{ph}}$, જ્યાં $E_{ph}$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે.
કારણ કે $\lambda_p = \lambda_{ph}$, તેથી $\frac{h}{0.8mc} = \frac{hc}{E_{ph}}$.
આમ, $E_{ph} = \frac{hc}{(h / 0.8mc)} = 0.8mc^2$.
કણની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(0.8c)^2 = \frac{1}{2}m(0.64c^2) = 0.32mc^2$.
ફોટોનની ઉર્જા અને કણની ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{ph}}{K} = \frac{0.8mc^2}{0.32mc^2} = \frac{0.8}{0.32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$ થાય.

(A) આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન,$W = 2.2 \,eV$
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 400 \,nm$
આપાત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$E = \frac{1240 \,eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{400} = 3.1 \,eV$
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$E = W + K_{max}$
જ્યાં $K_{max} = e V_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
$e V_s = E - W$
$e V_s = 3.1 \,eV - 2.2 \,eV = 0.9 \,eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.9 \,V$ થાય.

(A) સંપૂર્ણ શોષક (કાળી) સપાટી પર વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ દ્વારા લાગતું વિકિરણ દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{I}{c}$
જ્યાં $I$ એ વિકિરણની તીવ્રતા છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
તીવ્રતા $I = 0.6 \ W/m^2$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{0.6}{3 \times 10^8}$
$P = 0.2 \times 10^{-8} \ N/m^2$
$P = 2 \times 10^{-9} \ N/m^2$

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ માત્ર પદાર્થ (વર્ક ફંક્શન) અને આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે. નિશ્ચિત આવૃત્તિ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ પદાર્થની લાક્ષણિકતા છે.
આલેખ જોતા,વક્રો $1$ અને $2$ વોલ્ટેજ અક્ષને સમાન બિંદુએ છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ ધરાવે છે. તેથી,વક્રો $1$ અને $2$ સમાન પદાર્થનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તે જ રીતે,વક્રો $3$ અને $4$ વોલ્ટેજ અક્ષને એક અલગ,સામાન્ય બિંદુએ છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અલગ વર્ક ફંક્શન ધરાવતા બીજા પદાર્થનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આમ,સમાન પદાર્થનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ છે.

(B) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પ્રવાહ $i$ અચળ દરે વધે છે, તેથી $\frac{di}{dt} = \text{અચળ}$.
તેથી, પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon$ અચળ છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{\text{ind}} = \frac{\varepsilon}{R}$ પણ અચળ રહેશે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જેના કારણે તે ઉત્પન્ન થયો છે.
જેમ કે મૂળ પ્રવાહ $i$ વધી રહ્યો છે, પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે મૂળ પ્રવાહ $i$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે.

(C) મેટલ ડિટેક્ટરમાં એક કોઈલ હોય છે જે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે કોઈ ધાતુની વસ્તુને કોઈલની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધાતુની વસ્તુમાં એડી પ્રવાહ (eddy currents) ઉત્પન્ન કરે છે. આ એડી પ્રવાહ પોતાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે,જે ઉપકરણ દ્વારા શોધવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(D) ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = BA \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે. શરૂઆતમાં,ક્ષેત્ર સમતલને લંબ છે,તેથી $\theta_0 = 0^{\circ}$.
પગલા $A$ માં,ગૂંચળું $60^{\circ}$ ફરે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_A = 60^{\circ}$ છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \Phi_A = BA(\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = BA(0.5 - 1) = -0.5 BA$ છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon_A = -\frac{\Delta \Phi_A}{t} = \frac{0.5 BA}{t}$ છે.
પગલા $B$ માં,ગૂંચળું તે જ દિશામાં બીજા $120^{\circ}$ ફરે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_B = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$ છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \Phi_B = BA(\cos 180^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = BA(-1 - 0.5) = -1.5 BA$ છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon_B = -\frac{\Delta \Phi_B}{2t} = \frac{1.5 BA}{2t} = \frac{0.75 BA}{t}$ છે.
પ્રેરિત emf નો ગુણોત્તર $\frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac{0.5 BA / t}{0.75 BA / t} = \frac{0.5}{0.75} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(C) તકતીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડનો વેગ $v = \omega x$ છે.
આ ખંડ પર ઉદ્ભવતું emf $d\epsilon = B v dx = B \omega x dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $(x=0)$ થી પરિઘ $(x=r)$ સુધી તેનું સંકલન કરતા, ત્રિજ્યા પર ઉદ્ભવતું કુલ emf:
$\epsilon = \int_0^r B \omega x dx = \frac{1}{2} B \omega r^2$.
આપેલ છે: $B = 0.1 \ T$, $f = 10 \ \text{rev/s}$, તેથી $\omega = 2 \pi f = 20 \pi \ \text{rad/s}$, અને $r = 0.1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\epsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20 \pi \times (0.1)^2$
$\epsilon = 0.1 \times 10 \pi \times 0.01$
$\epsilon = 0.01 \pi \ V = 10 \pi \ mV$.

(B) પાસપાસેના ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારને કારણે પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહમાં ફેરફાર,$dI = 10 \,A - 2 \,A = 8 \,A$
સમયગાળો,$dt = 0.2 \,s$
પ્રેરિત emf,$\varepsilon = 120 \,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$120 = M \times \frac{8}{0.2}$
$120 = M \times 40$
$M = \frac{120}{40} = 3 \,H$
તેથી,ગૂંચળાઓની જોડીનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $3 \,H$ છે.

(D) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu N^2 A}{l}$
જ્યાં:
$N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,
$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે (જે કદ અને આકાર પર આધાર રાખે છે),
$l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે,
$\mu$ એ કોર મટીરીયલની પરમીએબિલિટી છે.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ એ આંટાઓની સંખ્યા,કદ (ક્ષેત્રફળ અને લંબાઈ) અને કોઈલના આકાર પર આધાર રાખે છે.