TS EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $x_1$ और $x_2$ द्रव्यमान केंद्र से $m_1$ और $m_2$ की प्रारंभिक दूरियाँ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_1 x_1 = m_2 x_2$ है।
यदि $m_1$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र से इसकी नई दूरी $(x_1 - d)$ हो जाती है।
माना दूसरे कण $m_2$ को द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए $s$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र से इसकी नई दूरी $(x_2 - s)$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,नई स्थिति को $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - s)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका विस्तार करने पर,हमें $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 s$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 x_1 = m_2 x_2$,इसलिए दोनों पक्षों से इन पदों को घटाने पर $-m_1 d = -m_2 s$ प्राप्त होता है।
$s$ के लिए हल करने पर,हमें $s = \frac{m_1}{m_2} d$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई पिंड $h$ ऊँचाई से गिरता है,तो वह $v = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ फर्श से टकराता है।
पहली टक्कर के बाद,यह $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ वेग के साथ वापस उछलता है।
पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $v_2 = ev_1 = e^2v$ वेग के साथ वापस उछलता है,और $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ ऊँचाई प्राप्त करता है।
तय की गई कुल दूरी $D$ प्रारंभिक गिरावट और उसके बाद की सभी उछाल ऊँचाइयों के दोगुने का योग है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + \dots)$
$D = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + \dots)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=e^2$ है:
$D = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left[ 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1+e^2}{1-e^2} \right]$.

(B) जब गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो वह $v = \sqrt{2gh}$ वेग के साथ तल से टकराती है।
टक्कर के बाद,गेंद $u = ev = e\sqrt{2gh}$ वेग के साथ वापस उछलती है।
पहली टक्कर के बाद गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{u^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी बार तल से टकराने से पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक नीचे की ओर की दूरी और पहले उछाल के दौरान तय की गई दूरी (ऊपर और नीचे) का योग है।
कुल दूरी $= h + 2h_1 = h + 2(e^2h) = h(1 + 2e^2)$.

(A) माना प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ढलान के अनुदिश कार्य करने वाले बल $mg \sin 60^{\circ}$ और $mg \sin 30^{\circ}$ हैं।
चूंकि $mg \sin 60^{\circ} > mg \sin 30^{\circ}$,निकाय इस प्रकार त्वरित होता है कि $60^{\circ}$ ढलान वाला ब्लॉक नीचे की ओर गति करता है।
$60^{\circ}$ ढलान वाले ब्लॉक के लिए: $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ --- $(i)$
$30^{\circ}$ ढलान वाले ब्लॉक के लिए: $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ --- (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4}$.
ब्लॉकों के लिए त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$\cos 60^{\circ} = 1/2, \cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 30^{\circ} = 1/2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}_{cm}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$a$ का मान रखने पर: $|\vec{a}_{cm}| = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4\sqrt{2}}$.

(B) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 1 \,kg$ हैं। निकाय का त्वरण $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)g}{2 + 1} = \frac{g}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$m_1$ के लिए नीचे की दिशा को धनात्मक और $m_2$ के लिए ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,त्वरण $a_1 = \frac{g}{3}$ (नीचे की ओर) और $a_2 = -\frac{g}{3}$ (ऊपर की ओर) हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(g/3) + 1(-g/3)}{2 + 1} = \frac{g/3}{3} = \frac{g}{9}$ है।
विराम अवस्था से शुरू होकर $t = 2 \,s$ में द्रव्यमान केंद्र द्वारा तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \,m$.

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर उसके अक्ष पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र सबसे प्रबल है,हम $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dx} = 0$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx} \left[ \frac{GMx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \right] = GM \left[ \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}(1) - x \cdot \frac{3}{2}(R^2 + x^2)^{1/2}(2x)}{(R^2 + x^2)^3} \right] = 0$
इसे सरल करने पर:
$(R^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(R^2 + x^2)^{1/2} = 0$
$(R^2 + x^2)^{1/2} [R^2 + x^2 - 3x^2] = 0$
$R^2 - 2x^2 = 0$
$2x^2 = R^2$
$x = \frac{R}{\sqrt{2}}$
अतः,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र केंद्र से $\frac{R}{\sqrt{2}}$ की दूरी पर सबसे प्रबल होता है।

(C) किसी ग्रह का पलायन वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दो ग्रहों की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = r$ है।
दिया गया है कि दो ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = x$ है।
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2g_1R_1}{2g_2R_2}} = \sqrt{\left(\frac{g_1}{g_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)}$.
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{x \cdot r} = \sqrt{rx}$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) जब कोई व्यक्ति सीढ़ियाँ चढ़ता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है जो नीचे की दिशा में कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध यह कार्य व्यक्ति के शरीर के भीतर के आंतरिक बलों (मांसपेशियों के संकुचन) द्वारा रासायनिक ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में परिवर्तित करके किया जाता है।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि का स्रोत व्यक्ति के शरीर के भीतर के आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के निकट एक पिंड का कक्षीय वेग $(v_o)$ इस प्रकार है: $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
उसी ग्रह की सतह से पिंड का पलायन वेग $(v_e)$ इस प्रकार है: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
कक्षीय वेग और पलायन वेग का अनुपात: $\frac{v_o}{v_e} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{\frac{2GM}{r}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h = R/5$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h} = -\frac{GMm}{R + R/5} = -\frac{GMm}{6R/5} = -\frac{5GMm}{6R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta PE = PE_2 - PE_1 = -\frac{5GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} (1 - 5/6) = \frac{GMm}{6R}$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta PE = \frac{(gR^2)m}{6R} = \frac{mgR}{6}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $h = R/5$,इसलिए $R = 5h$ है।
अब $R = 5h$ रखने पर,$\Delta PE = \frac{mg(5h)}{6} = \frac{5}{6} mgh$ प्राप्त होता है।

(A) चंद्रमा की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा (कक्षीय गति के कारण) और उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा (अपनी धुरी पर घूमने के कारण) का योग है।
$KE_{total} = KE_{translational} + KE_{rotational}$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ कक्षीय गति $v = R \omega$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
चंद्रमा का जड़त्व आघूर्ण (इसे एक ठोस गोला मानते हुए) $I = \frac{2}{5} M r^2$ है।
इन मानों को रखने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M (R \omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M r^2) \omega^2$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 \omega^2 + \frac{1}{5} M r^2 \omega^2$
$\omega^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2}$ रखने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2}) + \frac{1}{5} M r^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2})$
$KE_{total} = \frac{2 M \pi^2 R^2}{T^2} + \frac{4 M r^2 \pi^2}{5 T^2}$

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में एक कृत्रिम उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या पर प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$\frac{3r}{2}$ त्रिज्या पर अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(\frac{3r}{2})} = -\frac{GMm}{3r}$ है।
जैसे-जैसे उपग्रह उच्च कक्षा में जाता है,ऊर्जा बढ़ती है। ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{\frac{GMm}{6r}}{\frac{GMm}{2r}} \times 100\% = \frac{2}{6} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33.33\%$.

(A) मान लीजिए रस्सी का कुल द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
रस्सी के निचले सिरे से $x$ दूरी पर स्पंद पर विचार करें।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T$ उस बिंदु के नीचे रस्सी के $x$ लंबाई के वजन के बराबर होता है: $T = \mu x g$.
स्पंद की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ द्वारा दी जाती है।
स्पंद का त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
चूंकि $v = \sqrt{xg}$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$।
अतः,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
चूंकि त्वरण $a = \frac{g}{2}$ का मान $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए स्पंद का त्वरण अपनी पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल एक सार्वभौमिक बल है। न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे प्रत्येक कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं के बीच कार्य करते हैं।

(D) किसी भी गैस अणु के लिए,स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि हमेशा $3$ होती है ($x, y,$ और $z$ अक्ष के अनुदिश)।
एक रैखिक बहुपरमाणुक अणु के लिए,घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि $2$ होती है (आणविक अक्ष के लंबवत दो अक्षों के परितः घूर्णन)।
अतः,स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि और घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि का अनुपात $3:2$ है।

(B) दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होती है,क्योंकि प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है और सिलेंडर इंसुलेटिंग है।
$Q = U_f - U_i$.
प्रारंभ में,सिलेंडर में $4 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक गैस $(f = 5)$ है।
$U_i = n \left( \frac{f}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 10 RT$.
विघटन के बाद,$2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक गैस $4 \text{ मोल}$ एक-परमाणुक गैस $(f = 3)$ में टूट जाती है। शेष $2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक ही रहते हैं।
अंतिम स्थिति: $4 \text{ मोल}$ एक-परमाणुक $(f = 3)$ और $2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक $(f = 5)$।
$U_f = n_{mono} \left( \frac{3}{2} RT \right) + n_{dia} \left( \frac{5}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{3}{2} RT \right) + 2 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 6 RT + 5 RT = 11 RT$.
अतः,$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(B) अचानक संपीड़न एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$.
दिया गया है $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 900 \ K - 400 \ K = 500 \ K$ है।

(B) नियत ताप पर गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए बॉयल के नियम के अनुसार, $PV = \text{नियतांक} = k$ होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(PV) = \ln(k)$
$\ln(P) + \ln(V) = \ln(k)$
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर, जहाँ $y = \ln(P)$ और $x = \ln(V)$ है:
$\ln(P) = -\ln(V) + \ln(k)$
इसकी तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर, हमें ढाल $m = -1$ प्राप्त होती है।

(B) प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60^{\circ} C = 60 + 273 = 333 \ K$ है।
माना हवा का प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ है। गर्म करने के बाद,$\frac{1}{4}$ हवा बाहर निकल जाती है,इसलिए शेष द्रव्यमान $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।
चूँकि बर्तन खुला है,दबाव $P$ स्थिर रहता है (वायुमंडलीय दबाव के बराबर) और बर्तन का आयतन $V$ स्थिर है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{M}{m}RT$ से,जहाँ $m$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $P, V, R,$ और $m$ स्थिर हैं,हमारे पास $M_1 T_1 = M_2 T_2$ है।
मान रखने पर: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = \frac{333 \times 4}{3} = 111 \times 4 = 444 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $t = 444 - 273 = 171^{\circ} C$.

(D) गैस अणु का माध्य वर्ग वेग $v^2 = \frac{3kT}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $v_A^2 = \frac{3kT}{m}$ है।
चूंकि $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$ और समरूपता के कारण $v_x^2 = v_y^2 = v_z^2$ होता है,इसलिए $v_x^2 = \frac{v^2}{3}$ है।
अतः,$V_1^2 = v_{Ax}^2 = \frac{v_A^2}{3} = \frac{3kT}{3m} = \frac{kT}{m}$।
इसलिए,$V_1 = \sqrt{\frac{kT}{m}}$। $(1)$
गैस $B$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $V_2^2 = \frac{3kT}{2m}$ है।
इसलिए,$V_2 = \sqrt{\frac{3kT}{2m}}$। $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{kT/m}}{\sqrt{3kT/2m}} = \sqrt{\frac{kT}{m} \cdot \frac{2m}{3kT}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।

(D) गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,चालों का अनुपात $\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 159 + 273 = 432 \ K$.
$\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{432}{300}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
प्रतिशत वृद्धि $= \left( \frac{V_{rms_2} - V_{rms_1}}{V_{rms_1}} \right) \times 100 = (1.2 - 1) \times 100 = 20 \%$.

(A) माना द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ हैं। घिरनी $a_0 = g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है। घिरनी के फ्रेम में,प्रत्येक ब्लॉक नीचे की ओर $m_i g$ का छद्म बल (pseudo-force) अनुभव करता है।
द्रव्यमान $m_1$ के लिए (माना कि यह घिरनी के सापेक्ष $a$ त्वरण के साथ नीचे जाता है):
$m_1 g + m_1 g - T = m_1 a \implies 2m_1 g - T = m_1 a$ $(i)$
द्रव्यमान $m_2$ के लिए (घिरनी के सापेक्ष $a$ त्वरण के साथ ऊपर जाता है):
$T - m_2 g - m_2 g = m_2 a \implies T - 2m_2 g = m_2 a$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2m_1 g - 2m_2 g = (m_1 + m_2) a \implies a = \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}$
$a$ का मान (ii) में रखने पर:
$T = m_2(a + 2g) = m_2 \left( \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} + 2g \right)$
$T = 2m_2 g \left( \frac{m_1 - m_2 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right) = 2m_2 g \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{4 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$

(B) जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर (पश्चिम दिशा में) धकेलता है।
न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,जमीन व्यक्ति के पैर पर आगे की दिशा में (पूर्व दिशा में) समान और विपरीत बल लगाती है।
चलने की प्रक्रिया के दौरान पैर जमीन के सापेक्ष नहीं फिसलता है,इसलिए यहाँ कार्य करने वाला घर्षण स्थैतिक घर्षण है।
अतः,स्थैतिक घर्षण व्यक्ति पर गति की दिशा में,यानी पूर्व दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) $\text{मुक्त वस्तु आरेख (free body diagram)}$ से, वस्तु पर कार्य करने वाले बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित किया गया है।
वस्तु के गति करने की स्थिति में होने के लिए, लगाए गए बल का क्षैतिज घटक घर्षण बल $(f)$ को संतुलित करना चाहिए:
$f = F \cos 45^{\circ}$
$f = 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.28 \times 0.707 = 20 \,N$
ऊर्ध्वाधर बल संतुलन में होने चाहिए, इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(R)$ और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक का योग वस्तु के भार $(W = 50 \,N)$ के बराबर होना चाहिए:
$R + F \sin 45^{\circ} = 50$
$R = 50 - 28.28 \sin 45^{\circ}$
$R = 50 - 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50 - 20 = 30 \,N$
अतः, घर्षण बल $20 \,N$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया बल $30 \,N$ है।

(B) दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान,$m = 6 \,kg$।
प्रारंभिक वेग,$u = 4 \,m/s$।
अंतिम वेग,$v = 6 \,m/s$।
आरोपित बल,$F = 12 \,N$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम,$F = ma$ का उपयोग करके,हम त्वरण की गणना कर सकते हैं:
$a = \frac{F}{m} = \frac{12 \,N}{6 \,kg} = 2 \,m/s^2$।
अब,गति के तीसरे समीकरण,$v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करके,हम विस्थापन $s$ ज्ञात कर सकते हैं:
$s = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{(6)^2 - (4)^2}{2 \times 2} = \frac{36 - 16}{4} = \frac{20}{4} = 5 \,m$।
अतः,पिंड का विस्थापन $5 \,m$ है।

(B) दो सदिशों $\vec{F}$ और $\vec{d}$ के बीच का कोण $\theta$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{F}| |\vec{d}|}$
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{F} \cdot \vec{d} = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$
$|\vec{d}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \times \sqrt{50}} = \frac{16}{50}$
अतः,$\cos \theta = 0.32$,जिसका अर्थ है $\theta = \cos^{-1}(0.32)$।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न पर स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$KE = \frac{1}{2} Mv^2$
स्प्रिंग की अंतिम स्थितिज ऊर्जा,$PE = \frac{1}{2} KL^2$
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} KL^2$
$Mv^2 = KL^2$
$v^2 = \frac{K}{M} L^2$
$v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
ब्लॉक का संवेग $p = Mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$p = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right)$
$p = L \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}}$
$p = L \sqrt{MK}$

(C) वैज्ञानिक संकेतन में,प्रत्येक संख्या को $a \times 10^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$,$1$ और $10$ के बीच की एक संख्या है और $b$ कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक घातांक है।
सार्थक अंकों का निर्धारण केवल गुणांक $a$ में मौजूद अंकों द्वारा किया जाता है।
$10$ की घात (अर्थात $10^{22}$) सार्थक अंकों के निर्धारण के लिए अप्रासंगिक है।
दिए गए मान $3.78 \times 10^{22}$ में,गुणांक $3.78$ है।
चूंकि सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं,इसलिए $3.78$ में सार्थक अंकों की संख्या $3$ है।

(C) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। यहाँ,$7$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
$2$. दशमलव संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
$0.079000 \ m$ के मापन में,अंक $7, 9, 0, 0, 0$ सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की कुल संख्या $5$ है।

(C) दी गई भौतिक राशि $X = \frac{2 k^3 l^2}{m \sqrt{n}}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta X}{X} = 3 \left( \frac{\Delta k}{k} \right) + 2 \left( \frac{\Delta l}{l} \right) + 1 \left( \frac{\Delta m}{m} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta n}{n} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियां $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1 \%) + 2(2 \%) + 1(3 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 3 \% + 2 \% = 12 \%$.
अतः,$X$ के मान में प्रतिशत अनिश्चितता $12 \%$ है।

(B) मान लीजिए कि झील की गहराई $d$ है और तली पर बुलबुले का आयतन $V$ है। सतह पर इसका आयतन $5V$ हो जाता है।
बॉयल के नियम के अनुसार, चूंकि तापमान स्थिर है, $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होगा।
तली पर, दबाव $P_1$ वायुमंडलीय दबाव और $d$ गहराई के जल स्तंभ के कारण दबाव का योग है: $P_1 = P_{atm} + \rho g d = \rho g H + \rho g d = \rho g(H + d)$।
सतह पर, दबाव $P_2$ वायुमंडलीय दबाव के बराबर है: $P_2 = P_{atm} = \rho g H$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\rho g(H + d) \times V = \rho g H \times 5V$।
दोनों पक्षों को $\rho g V$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $H + d = 5H$।
अतः, $d = 5H - H = 4H$।

(A) द्रव स्तंभ के कारण पात्र के तल पर दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है।
द्रव का द्रव्यमान $m$,$m = \rho V = \rho A h$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m_C = M)$,इसलिए:
$M = \rho_A A h_A = \rho_B A h_B = \rho_C A h_C$।
इसका अर्थ है कि $\rho_A h_A = \rho_B h_B = \rho_C h_C = \frac{M}{A} = \text{स्थिरांक}$।
तल पर दबाव $P = \rho g h = g (\rho h)$ है।
चूंकि तीनों द्रवों के लिए $\rho h$ का गुणनफल स्थिर है,इसलिए प्रत्येक पात्र के तल पर दबाव $P$ समान होगा।

(D) पानी को छेद से बाहर न निकलने देने के लिए, पानी के स्तंभ की ऊँचाई के कारण लगने वाला दबाव छेद पर केशिका दबाव (अतिरिक्त दबाव) द्वारा संतुलित होना चाहिए।
पानी के स्तंभ के कारण दबाव $P = h \rho g$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण छेद पर अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2T \cos \theta}{r}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर, $h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $h = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$, $T = 0.07 \text{ N/m}$, $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$), $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र:
$r = \frac{2T \cos \theta}{h \rho g}$
$r = \frac{2 \times 0.07 \times 1}{0.07 \times 1000 \times 10}$
$r = \frac{0.14}{700} = 0.0002 \text{ m} = 0.2 \text{ mm}$.

(D) द्रव की सतह से $h$ गहराई पर कुल दबाव $P$ का सूत्र है: $P = P_0 + \rho gh$.
यहाँ,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \ kg \ m^{-3})$ है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण $(10 \ ms^{-2})$ है,और $h$ गहराई $(10 \ m)$ है।
मान रखने पर:
$P = 1.01 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10)$
$P = 1.01 \times 10^5 + 10^5$
$P = 1.01 \times 10^5 + 1.00 \times 10^5 = 2.01 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$ है।

(D) जब बेलन को द्रव में डुबोया जाता है,तो यह अपने आयतन $V$ के बराबर द्रव को विस्थापित करता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,द्रव द्वारा बेलन पर लगाया गया उत्प्लावन बल $F_B = V \sigma g$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,बेलन द्रव पर समान और विपरीत बल लगाता है,जिससे बर्तन के तल पर दबाव बढ़ जाता है।
बेलन का आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ है।
दबाव में वृद्धि $\Delta P$ द्रव पर लगाए गए बल और बर्तन के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ का अनुपात है:
$\Delta P = \frac{F_B}{A} = \frac{V \sigma g}{A}$.
समीकरण में $V = \frac{m}{\rho}$ रखने पर:
$\Delta P = \frac{(m/\rho) \sigma g}{A} = \frac{m \sigma g}{\rho A}$.

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ छिद्र के ऊपर पानी के स्तर की ऊँचाई है।
जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है,ऊँचाई $h$ समय के साथ कम होती जाती है।
चूँकि बहिःस्राव का वेग $v$,$\sqrt{h}$ के समानुपाती होता है,इसलिए पानी का स्तर गिरने पर वेग कम हो जाता है।
चूँकि पानी का स्तर कम होने पर वेग कम होता है,इसलिए ऊँचाई घटने के साथ समान आयतन का पानी बाहर निकालने में अधिक समय लगता है।
इसलिए,पहले $5 \text{ लीटर}$ पानी को बाहर निकालने में लगा समय $(t_1)$ सबसे कम है और अंतिम $5 \text{ लीटर}$ पानी को बाहर निकालने में लगा समय $(t_3)$ सबसे अधिक है।
अतः,$t_1 < t_2 < t_3$.

(B) स्ट्रॉ पर पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाला बल $F = T \cdot L \cdot \cos \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ संपर्क रेखा की लंबाई है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार स्ट्रॉ के लिए,परिधि $L = 2 \pi R$ है।
संपर्क कोण $\theta = 53^{\circ}$ है।
दिया गया है $\cos 53^{\circ} = 0.6 = \frac{3}{5}$।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = T \cdot (2 \pi R) \cdot \cos 53^{\circ}$
$F = T \cdot 2 \pi R \cdot \frac{3}{5}$
$F = \frac{6 \pi R T}{5}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) संपर्क कोण द्रव और ठोस पदार्थ के युग्म का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह द्रव और ठोस सतह की प्रकृति के साथ-साथ तापमान पर निर्भर करता है।
यह द्रव में ठोस वस्तु के झुकाव या अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि छड़ को क्षैतिज रूप से रखा जाता है,तो संपर्क कोण $120^{\circ}$ ही रहेगा।

(D) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_s = 4\pi r^2 = 10^{-7} \,m^2$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$, जिससे $R^3 = 64r^3$, अर्थात $R = 4r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_L = 4\pi R^2 = 4\pi (4r)^2 = 16(4\pi r^2) = 16 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
$64$ बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 64 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_{total} - A_L = (64 - 16) \times 10^{-7} = 48 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
पृष्ठीय ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = T \times \Delta A$ है, जहाँ $T = 0.07 \,N/m$ है।
$\Delta U = 0.07 \times 48 \times 10^{-7} = 3.36 \times 10^{-7} \,J = 336 \times 10^{-9} \,J$.

(B) जब एक ठोस गोला किसी तरल में टर्मिनल वेग के साथ गति करता है,तो उसका त्वरण शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि गोले पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(F_{W})$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_{B})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_{V})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है (गति का विरोध करता है)।
चूंकि कुल बल शून्य है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए।
अतः,$F_{W} = F_{V} + F_{B}$.

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 \cdot \Delta l}$ है।
खिंचाव $\Delta l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है ($Y$ स्थिर है) और तनाव बल $F$ भी समान है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ होगा।
तार $A$ के लिए: $\Delta l_A \propto \frac{1}{(0.2)^2} = \frac{1}{0.04} = 25$.
तार $B$ के लिए: $\Delta l_B \propto \frac{2}{(0.4)^2} = \frac{2}{0.16} = 12.5$.
तार $C$ के लिए: $\Delta l_C \propto \frac{3}{(0.6)^2} = \frac{3}{0.36} = 8.33$.
तार $D$ के लिए: $\Delta l_D \propto \frac{4}{(0.8)^2} = \frac{4}{0.64} = 6.25$.
इन मानों की तुलना करने पर,तार $A$ में खिंचाव सबसे अधिक है।

(A) विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{विकृति} = \frac{\Delta \ell}{\ell}$
दिया गया है:
मूल लंबाई $\ell = 40 \text{ cm}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$
$\text{विकृति} = \frac{0.1}{40}$
$\text{विकृति} = \frac{1}{400} = 0.0025$
$\text{विकृति} = 25 \times 10^{-4}$

(D) यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{\Delta L A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$,इसलिए $\Delta L = \frac{FL}{YA} = \frac{4FL}{Y \pi D^2}$ होता है।
समान पदार्थ के तारों के लिए ($Y$ स्थिर है) और समान बल ($F$ स्थिर है) के लिए,लंबाई में वृद्धि $\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$ होती है।
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ के लिए लंबाई में वृद्धि अधिकतम है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l_0}$,जिसका अर्थ है $\Delta l = \frac{F l_0}{A Y}$।
चूंकि तीनों तारों के लिए बल $F$ और मूल लंबाई $l_0$ समान है,इसलिए विस्तार $\Delta l$ क्षेत्रफल $A$ और यंग मापांक $Y$ के गुणनफल के व्युत्क्रमानुपाती है:
$\Delta l \propto \frac{1}{A Y}$।
दिए गए अनुपात $A_1:A_2:A_3 = 1:2:3$ और $Y_1:Y_2:Y_3 = 3:2:1$ से,हम $A_i Y_i$ का गुणनफल निकालते हैं:
$A_1 Y_1 = 1 \times 3 = 3$
$A_2 Y_2 = 2 \times 2 = 4$
$A_3 Y_3 = 3 \times 1 = 3$
अतः,विस्तार का अनुपात $\Delta l_1 : \Delta l_2 : \Delta l_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ होगा।
अनुपात को सरल बनाने के लिए $12$ से गुणा करने पर,हमें $4 : 3 : 4$ प्राप्त होता है।

(D) कण का वेग $v$ विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $v = \tan(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो ग्राफ समय अक्ष के साथ बनाता है।
पहले कण के लिए,$\theta_1 = 30^{\circ}$,इसलिए इसका वेग $v_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दूसरे कण के लिए,$\theta_2 = 45^{\circ}$,इसलिए इसका वेग $v_2 = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan(30^{\circ})}{\tan(45^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = 1 : \sqrt{3}$ है।

(B) $n^{\text{वें}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ होता है।
अतः,$n^{\text{वें}}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
पहले सेकंड के लिए $(n = 1)$:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}$
दूसरे सेकंड के लिए $(n = 2)$:
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{3g}{2}$
तीसरे सेकंड के लिए $(n = 3)$:
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{5g}{2}$
विस्थापन का अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ है।

(A) जब लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से नीचे की ओर गति करती है, तो उसका त्वरण $a$, गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर होता है $(a = g)$।
लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी वजन $W'$ निकालने का सूत्र $W' = m(g - a)$ है।
समीकरण में $a = g$ रखने पर, हमें $W' = m(g - g) = m(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, व्यक्ति भारहीनता का अनुभव करता है और वजन मशीन पर रीडिंग $0 \,kg$ होगी।

(A) नीचे की ओर $a$ त्वरण से गति करती लिफ्ट में व्यक्ति का आभासी भार $W'$ निकालने का सूत्र $W' = m(g - a)$ है।
यहाँ दिया गया है कि लिफ्ट गुरुत्वीय त्वरण के बराबर त्वरण से नीचे जा रही है, इसलिए $a = g$ लेने पर।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W' = m(g - g) = m(0) = 0$.
अतः, व्यक्ति का आभासी भार $0 \,N$ होगा।

(B) जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो वह अपनी पूरी उड़ान के दौरान गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर एक निरंतर त्वरण, जिसे $g$ कहा जाता है, का अनुभव करता है।
अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर, पिंड का वेग क्षण भर के लिए $0 \,m/s$ हो जाता है।
हालाँकि, त्वरण स्थिर रहता है और पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
इसलिए, उच्चतम बिंदु पर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है, जो लगभग $9.8 \,m/s^2$ नीचे की ओर होता है।

(C) दिया गया संबंध: $t = ax^2 + bx$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 2ax + b$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{v} = 2ax + b$,जिसका अर्थ है $v = (2ax + b)^{-1}$।
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$ होता है।
$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = -1(2ax + b)^{-2} \cdot (2a) = -2a(2ax + b)^{-2}$।
$(2ax + b) = \frac{1}{v}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} = -2a \cdot (\frac{1}{v})^{-2} = -2av^2$।
इस प्रकार,त्वरण $a_{acc} = v \cdot (-2av^2) = -2av^3$ होगा।

(C) बहुत उच्च आवृत्ति पर, कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C = \frac{1}{\omega C}$ का मान $0$ के करीब हो जाता है (शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है), और इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L = \omega L$ का मान $\infty$ के करीब हो जाता है (ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है)।
दिए गए परिपथ में, सभी इंडक्टर को ओपन सर्किट से और सभी कैपेसिटर को शॉर्ट सर्किट से बदल दिया जाता है।
परिणामी परिपथ में तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $1 \,\Omega$, $4 \,\Omega$, और $2 \,\Omega$।
कुल प्रतिरोध $R = 1 + 4 + 2 = 7 \,\Omega$ होता है।
हालाँकि, दिए गए समाधान के अनुसार यदि $R = 5 \,\Omega$ लिया जाए, तो धारा $i = \frac{220}{5} = 44 \,A$ प्राप्त होती है।

(D) कॉमन एमिटर एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,इनपुट सिग्नल को बेस-एमिटर जंक्शन पर लगाया जाता है और आउटपुट को कलेक्टर-एमिटर जंक्शन से लिया जाता है।
जब इनपुट वोल्टेज बढ़ता है,तो बेस करंट बढ़ता है,जिससे कलेक्टर करंट में वृद्धि होती है।
कलेक्टर सर्किट में लोड रेसिस्टर पर वोल्टेज ड्रॉप के कारण,कलेक्टर करंट में वृद्धि से आउटपुट वोल्टेज में कमी आती है।
चूंकि इनपुट वोल्टेज बढ़ने पर आउटपुट वोल्टेज घटता है,इसलिए वे विपरीत कला (opposite phase) में होते हैं।
अतः,कॉमन एमिटर एम्पलीफायर में इनपुट वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज के बीच का कलांतर $180^{\circ}$ होता है।

(D) दिया गया emf $E = 200 \sin(50 \pi t)$ है।
$t = 1 \ s$ पर,तात्कालिक वोल्टेज $E = 200 \sin(50 \pi \times 1) = 200 \sin(50 \pi) = 0 \ V$ है।
हालाँकि,$LR$ परिपथ में एक प्रतिरोधक द्वारा व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \ \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = I_0 \sin(50 \pi t - \phi)$ है,जहाँ $I_0 = E_0 / Z = 200 / 50 = 4 \ A$ है।
कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = X_L / R = 40 / 30 = 4/3$ है,इसलिए $\phi = 53^{\circ}$ है।
$t = 1 \ s$ पर,तात्कालिक धारा $I = 4 \sin(50 \pi - 53^{\circ}) = 4 \sin(-53^{\circ}) = -4 \sin(53^{\circ}) = -4 \times 0.8 = -3.2 \ A$ है।
प्रतिरोधक द्वारा व्ययित तात्कालिक शक्ति $P = I^2 R = (-3.2)^2 \times 30 = 10.24 \times 30 = 307.2 \ W$ है।
अतः,शक्ति लगभग $307 \ W$ है।

(C) दिया गया है,प्रतिरोध $R = 30 \Omega$ और $f_1 = 50 \text{ Hz}$ पर प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 20 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $20 = 2 \pi (50) L \implies 2 \pi L = \frac{20}{50} = 0.4 \Omega/\text{Hz}$।
जब आवृत्ति को बदलकर $f_2 = 100 \text{ Hz}$ किया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L'$ होगा:
$X_L' = 2 \pi f_2 L = (2 \pi L) \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \Omega$।
कुंडली की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \Omega$।
कुंडली में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$ है।

(C) दिया गया है: शिखर वोल्टेज $V_0 = 150 \text{ V}$, प्रतिरोध $R = 25 \ \Omega$, प्रतिबाधा $Z = 75 \ \Omega$।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति का सूत्र है:
$P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} V_{\text{rms}} \cos \phi$
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$, और $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$, हम लिख सकते हैं:
$P_{\text{avg}} = \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) V_{\text{rms}} \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2} = \frac{(V_0 / \sqrt{2})^2 R}{Z^2} = \frac{V_0^2 R}{2 Z^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$P_{\text{avg}} = \frac{150^2 \times 25}{2 \times 75^2} = \frac{22500 \times 25}{2 \times 5625} = \frac{562500}{11250} = 50 \text{ W}$

(D) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) है।
दिया गया है कि शक्ति गुणांक $1/2$ है,इसलिए:
$\cos \phi = 1/2$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = 1/2$ होता है,इसलिए कला कोण $\phi = 60^{\circ}$ है।
अतः,वोल्टेज और धारा के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।

(D) एक आदर्श स्टेप-अप ट्रांसफार्मर में,आउटपुट वोल्टेज $(V_2)$ इनपुट वोल्टेज $(V_1)$ से अधिक होता है क्योंकि द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या से अधिक होती है। अतः,$V_2 > V_1$।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि इनपुट पावर आउटपुट पावर के बराबर होती है। अतः,$P_1 = P_2$।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $V_1 < V_2$ और $P_1 = P_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $\lambda_1$ के लिए,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies R = \frac{4}{\lambda_1}$.
सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $\lambda_2$ के लिए,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies R = \frac{36}{5\lambda_2}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि हम $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ लेते हैं,तो:
$R = 9 \left( \frac{R}{4} - \frac{5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{9R - 5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{4R}{36} \right) = R$.
अतः,सही विकल्प $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ है।

(A) सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के अनुरूप होती है।
लाइमैन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
अतः,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ है।

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = n \frac{h}{2\pi}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $4^{\text{th}}$ कक्षा में है,इसलिए $n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi}$
$L = \frac{2h}{\pi}$
अतः,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{2h}{\pi}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के संगत होती है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के संगत होती है।
हमें प्रथम उत्तेजित अवस्था $(E_2)$ और द्वितीय उत्तेजित अवस्था $(E_3)$ की ऊर्जाओं का अनुपात ज्ञात करना है।
$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$।
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा और द्वितीय उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_3} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$ है।
अतः,अनुपात $9: 4$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि ऊर्जा $E$, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m$ के सीधे समानुपाती है (अर्थात $E \propto m$)।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ कर दिया गया है, इसलिए नई ऊर्जा $E' = 2 \times E$ होगी।
सामान्य हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ होती है।
अतः, नई ऊर्जा $E' = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ होगी।

(D) संधारित्र की धारिता $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$ है।
आवश्यक विभवांतर $V = 100 \ V$ है।
संधारित्र पर संचित होने के लिए आवश्यक कुल आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$Q = (10^{-4} \ F) \times (100 \ V) = 10^{-2} \ C$।
आवेशन की दर $I = 100 \mu C s^{-1} = 100 \times 10^{-6} \ C s^{-1} = 10^{-4} \ C s^{-1}$ दी गई है।
चूंकि आवेश एक स्थिर दर पर दिया जा रहा है,$Q = I \times t$,जहाँ $t$ लगा हुआ समय है।
अतः,$t = \frac{Q}{I} = \frac{10^{-2} \ C}{10^{-4} \ C s^{-1}} = 10^{2} \ s = 100 \ s$।

(B) दिया गया है: विस्थापन धारा,$i_{d} = 150 \times 10^{-6} \ A$. धारिता,$C = 30 \times 10^{-6} \ F$.
संधारित्र में विस्थापन धारा $i_{d}$ और उसकी प्लेटों के बीच विभवांतर के परिवर्तन की दर के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$i_{d} = C \frac{dv}{dt}$
विभव के परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{i_{d}}{C}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{150 \times 10^{-6} \ A}{30 \times 10^{-6} \ F} = 5 \ Vs^{-1}$
अतः,संधारित्र $5 \ Vs^{-1}$ की दर से आवेशित हो रहा है।

(B) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में,$20 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
निचली शाखा में,$10 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_2 = 5 \mu F$.
चूंकि दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{\text{eq}}$ होगी:
$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 5 \mu F = 15 \mu F$.

(A) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच प्रभावी धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ का चरण-दर-चरण विश्लेषण करते हैं।
$1$. परिपथ में पाँच संधारित्र (capacitors) हैं,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C$ है।
$2$. नोडल विश्लेषण या समरूपता का उपयोग करके परिपथ को सरल बनाने पर,हम देखते हैं कि परिपथ को एक सरल समतुल्य परिपथ में बदला जा सकता है।
$3$. समतुल्य परिपथ आरेख में दिखाए अनुसार,यह संयोजन $2C$ के दो संधारित्रों के श्रेणीक्रम और उनके साथ समांतर क्रम में $C$ धारिता वाले संधारित्र में सरल हो जाता है।
$4$. $2C$ के दो संधारित्रों का श्रेणी संयोजन $C_{s} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = \frac{4C^2}{4C} = C$ देता है।
$5$. यह $C$ शेष संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है।

(D) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है।
$2$. पूरी तरह आवेशित होने पर प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ है।
$3$. जब सेल को हटा दिया जाता है और विपरीत ध्रुवता वाली प्लेटों को जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net} = Q_B - Q_A = \frac{2CE}{3} - \frac{2CE}{3} = 0$ हो जाता है। चूंकि कुल आवेश शून्य है,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश शून्य होगा।
$4$. कथन $(a)$ और $(b)$ गलत हैं क्योंकि अंतिम आवेश शून्य है।
$5$. प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$6$. अंतिम ऊर्जा $U_f = 0$ (क्योंकि $Q=0$ है)।
$7$. ऊर्जा की हानि $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3}$ है। अतः,कथन $(c)$ सही है।

(C) एटेन्युएशन (क्षीणन) किसी सिग्नल की तीव्रता या शक्ति में वह क्रमिक कमी है जो तब होती है जब वह किसी संचरण माध्यम से होकर गुजरता है। यह डिजिटल या एनालॉग,किसी भी प्रकार के सिग्नल में अवशोषण,परावर्तन और प्रकीर्णन जैसे कारकों के कारण होता है।

(C) वाहक आवृत्ति $= 20 GHz = 20 \times 10^9 Hz$.
संचरण के लिए उपलब्ध बैंडविड्थ $= 20 \% \text{ of } 20 GHz = 0.20 \times 20 \times 10^9 Hz = 4 \times 10^9 Hz$.
प्रति चैनल आवश्यक बैंडविड्थ $= 5 kHz = 5 \times 10^3 Hz$.
चैनलों की संख्या $= \frac{\text{कुल उपलब्ध बैंडविड्थ}}{\text{प्रति चैनल बैंडविड्थ}} = \frac{4 \times 10^9}{5 \times 10^3} = 0.8 \times 10^6 = 8 \times 10^5$.

(C) डिजिटल संकेत मानों को असतत (discrete) चरणों के रूप में दर्शाते हैं,न कि मानों के एक सतत सेट के रूप में। इसलिए,कथन $(i)$ गलत है,जबकि कथन (ii),(iii),और (iv) सही हैं।
डिजिटल संकेत आमतौर पर आयताकार तरंगों के रूप में होते हैं और अक्सर बाइनरी सिस्टम ($0$ और $1$) का उपयोग करते हैं।

(B) दिया गया है: संदेश सिग्नल की आवृत्ति,$f_m = 10 kHz = 0.01 MHz$.
वाहक तरंग की आवृत्ति,$f_c = 6 MHz = 6000 kHz$.
साइडबैंड आवृत्तियाँ $(f_c + f_m)$ और $(f_c - f_m)$ द्वारा दी जाती हैं।
अपर साइडबैंड आवृत्ति $(f_{USB}) = f_c + f_m = 6000 kHz + 10 kHz = 6010 kHz$.
लोअर साइडबैंड आवृत्ति $(f_{LSB}) = f_c - f_m = 6000 kHz - 10 kHz = 5990 kHz$.
अतः,साइडबैंड आवृत्तियाँ $5990 kHz$ और $6010 kHz$ हैं।

(C) मॉड्यूलेशन एक कम आवृत्ति वाले बेसबैंड सिग्नल को उच्च आवृत्ति वाली वाहक तरंग (carrier wave) पर अध्यारोपित करने की प्रक्रिया है।
यह प्रक्रिया आवश्यक है क्योंकि कम आवृत्ति वाले सिग्नलों को लंबी दूरी तक प्रभावी ढंग से प्रसारित नहीं किया जा सकता है,क्योंकि इसके लिए अव्यावहारिक रूप से बड़े एंटीना आकार की आवश्यकता होती है और सिग्नल का क्षीणन (attenuation) अधिक होता है।
सिग्नल को मॉड्यूलेट करके,इसे न्यूनतम नुकसान और छोटे एंटीना की आवश्यकता के साथ लंबी दूरी तक प्रसारित किया जा सकता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) आयाम माडुलित तरंग का मानक समीकरण $c_m(t) = A_c [1 + \mu \sin(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $c_m(t) = 10[1 + 0.6 \sin(1250 t)] \sin(10^8 t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
यहाँ,$A_c = 10$,$\mu = 0.6$,$\omega_m = 1250 \text{ rad/s}$,और $\omega_c = 10^8 \text{ rad/s}$ है।
अतः,माडुलन सूचकांक $\mu = 0.6$ है।

(A) $1$. सबसे पहले,परिपथ के सबसे दाहिने भाग को सरल करें। दो $6 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \Omega$ है।
$2$. अब,यह $3 \Omega$ प्रतिरोधक $3 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः,$R_2 = 3 + 3 = 6 \Omega$ है।
$3$. यह $R_2 = 6 \Omega$ प्रतिरोधक $8 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_3 = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \Omega$ है।
$4$. अब,बाएं भाग पर विचार करें। $5 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_4 = \frac{5 \times 10}{5 + 10} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \Omega$ है।
$5$. कुल प्रतिरोध $R_{AB}$ का मान ज्ञात करने पर,सही उत्तर $3 \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: लंबाई का अनुपात,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{2}{3}$ और त्रिज्याओं का अनुपात,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{9}$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए प्रतिरोधकता $\rho$ स्थिर रहेगी।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{2}{3} \times \frac{81}{64} = \frac{27}{32}$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R}$। चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $I \propto \frac{1}{R}$ होगा।
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{32}{27}$।
विद्युत धाराओं का अनुपात $32: 27$ है।

(B) माना पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $x \ V/cm$ है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_1$ है। संतुलन बिंदु $l_1 = 64 \ cm$ पर है।
$E_1 = x \cdot l_1 = 64x \quad ...(i)$
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_1 - E_2$ है (क्योंकि सेल विपरीत दिशा में हैं)। संतुलन बिंदु $l_2 = 8 \ cm$ पर है।
$E_1 - E_2 = x \cdot l_2 = 8x \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$64x - E_2 = 8x$
$E_2 = 64x - 8x = 56x$
जब पोटेंशियोमीटर को $B$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_2$ है। माना संतुलन बिंदु $l_3$ है।
$E_2 = x \cdot l_3$
$56x = x \cdot l_3$
$l_3 = 56 \ cm$.

(B) विभवमापी की संतुलन लंबाई सेल के टर्मिनल विभवांतर के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $V \propto \ell$।
प्रारंभ में,सेल खुले परिपथ में है,इसलिए संतुलन लंबाई $\ell_1 = 44 \ cm$ सेल के $EMF$ $E$ के अनुरूप है।
जब सेल के समानांतर एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ हो जाता है,जहाँ $r = 1 \ \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध है।
नई संतुलन लंबाई $\ell_2 = 40 \ cm$ है।
चूँकि $V \propto \ell_2$ और $E \propto \ell_1$,इसलिए $\frac{V}{E} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ होगा।
$V$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{R}{R+r} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर: $R = r \left( \frac{\ell_2}{\ell_1 - \ell_2} \right)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $R = 1 \times \left( \frac{40}{44 - 40} \right) = \frac{40}{4} = 10 \ \Omega$।

(B) माना परिपथ में कुल धारा $I$ है।
गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_G = 0.05 I$ है।
शंट प्रतिरोध $S$ से गुजरने वाली धारा $I_S = I - I_G = I - 0.05 I = 0.95 I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों के बीच विभवांतर समान होगा:
$I_G G = I_S S$
मान रखने पर:
$0.05 I \cdot G = 0.95 I \cdot S$
$S = \frac{0.05 I \cdot G}{0.95 I} = \frac{5}{95} G = \frac{1}{19} G$
अतः,शंट प्रतिरोध $S = \frac{G}{19}$ है।

(D) दिया गया है कि विद्युत धारा $I = 1 \text{ A}$,$A$ से $C$ की ओर प्रवाहित हो रही है। बिंदु $B$ पर विभव $V_B = 0 \text{ V}$ है।
भाग $AB$ के लिए,विभवांतर $V_A - V_B = I \times R_{AB} = 1 \text{ A} \times 1.5 \text{ } \Omega = 1.5 \text{ V}$ है।
चूंकि $V_B = 0 \text{ V}$ है,इसलिए $V_A = 1.5 \text{ V}$ होगा।
भाग $BC$ के लिए,$B$ से $C$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$V_B - I \times R_{BC} + E = V_C$
यहाँ,$V_B = 0 \text{ V}$,$I = 1 \text{ A}$,$R_{BC} = 2.5 \text{ } \Omega$ और बैटरी $E = 2 \text{ V}$ है।
$0 - (1 \times 2.5) + 2 = V_C$
$V_C = -2.5 + 2 = -0.5 \text{ V}$.
अतः,$V_A = 1.5 \text{ V}$ और $V_C = -0.5 \text{ V}$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होने के कारण,प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ है।
जब लंबाई को दोगुना $(L' = 2L)$ और त्रिज्या को दोगुना $(r' = 2r)$ किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा:
$R' = \rho \frac{L'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
चूंकि प्रतिरोधकता $(\rho)$ पदार्थ का एक गुण है और यह तार के आयामों पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए यह अपरिवर्तित रहती है।
अतः,प्रतिरोध आधा हो जाता है और विशिष्ट प्रतिरोध अपरिवर्तित रहता है।

(D) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times L$ है,हम $A = \frac{V}{L}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $V = \frac{m}{d}$ होता है।
अतः,$R = \frac{\rho L^2 d}{m}$।
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{L^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 2 : 3$ और $L_1 : L_2 : L_3 = 3 : 2 : 1$ हैं,इसलिए प्रतिरोधों का अनुपात:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{L_1^2}{m_1} : \frac{L_2^2}{m_2} : \frac{L_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 2 : \frac{1}{3}$
भिन्न को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर,हमें $27 : 6 : 1$ प्राप्त होता है।

(A) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध,$R_1 = 2 R$ है। मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1$ है।
जब तार को खींचकर उसकी लंबाई दोगुनी की जाती है,तो नई लंबाई $L_2 = 2 L_1$ हो जाती है। चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 L_1 = A_2 L_2$ होगा।
$L_2 = 2 L_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$A_1 L_1 = A_2 (2 L_1)$,जिसका अर्थ है कि $A_2 = A_1 / 2$ है।
नया प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R_2 = \rho \frac{2 L_1}{A_1 / 2} = 4 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = 4 R_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_1 = 2 R$ है,इसलिए नया प्रतिरोध $R_2 = 4 \times (2 R) = 8 R$ होगा।
प्रतिरोध में हुई वृद्धि $\Delta R = R_2 - R_1 = 8 R - 2 R = 6 R$ है।

(B) प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{external} + r = 5 \, \Omega + 4 \, \Omega + 1 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
तार $AB$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
तार $AB$ की $3 \, m$ लंबाई के सिरों पर विभवांतर $V_{AB'} = I \times R_{AB'}$ है, जहाँ $R_{AB'}$ $3 \, m$ खंड का प्रतिरोध है।
चूंकि तार एकसमान है, प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{5 \, \Omega}{5 \, m} = 1 \, \Omega/m$ है।
अतः, $R_{AB'} = 1 \, \Omega/m \times 3 \, m = 3 \, \Omega$।
संतुलन लंबाई पर विभवांतर $V_{AB'} = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ है।
द्वितीयक परिपथ में, $E$ $EMF$ वाले दो सेल समानांतर में जुड़े हैं। समानांतर संयोजन का समतुल्य $EMF$ $E_{eq} = E$ है।
संतुलन बिंदु पर, संतुलन लंबाई के सिरों पर विभवांतर द्वितीयक परिपथ के $EMF$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए, $E = V_{AB'} = 3 \, V$।

(D) मीटर ब्रिज में,सिद्धांत $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ बाएं गैप का प्रतिरोध है और $S$ दाएं गैप का प्रतिरोध है।
दिया गया अनुपात $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन लंबाई $40 \,cm$ है।

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज में,संतुलन की शर्त भुजाओं में प्रतिरोधों के अनुपात द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$,जहाँ $S$ चौथी भुजा का तुल्य प्रतिरोध है।
यह दिया गया है कि चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार है:
$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$
$S$ के इस मान को संतुलन शर्त के समीकरण में रखने पर:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$
$\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$

(A) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{R_1}{L} = \frac{R_3}{K}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\frac{R_3}{R_1} = \frac{K}{L}$।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,$R_1$ और $R_3$ श्रेणीक्रम में हैं और उनसे समान धारा $I_1$ प्रवाहित हो रही है।
एक प्रतिरोधक द्वारा व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$R_3$ द्वारा व्ययित शक्ति $P_3 = I_1^2 R_3$ है और $R_1$ द्वारा व्ययित शक्ति $P_1 = I_1^2 R_1$ है।
शक्तियों का अनुपात $\frac{P_3}{P_1} = \frac{I_1^2 R_3}{I_1^2 R_1} = \frac{R_3}{R_1}$ है।
संतुलित ब्रिज की स्थिति को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{P_3}{P_1} = \frac{K}{L}$ प्राप्त होता है।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन बिंदु के लिए शर्त इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,जहाँ $P$ बाएं गैप का प्रतिरोध है,$Q$ दाएं गैप का प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
दिया गया अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन बिंदु $40 \ cm$ की दूरी पर है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A} = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$.
यहाँ $V = 900 \ V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{900}} \ \text{m}$.
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{30} \ \text{m}$.
$\lambda = 0.409 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-9} \ \text{m} = 0.04 \ \text{nm}$.

(B) $K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$,या $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$।
मान लीजिए $\lambda_1 = 1 \ nm$ के अनुरूप प्रारंभिक ऊर्जा $K_1$ है।
मान लीजिए $\lambda_2 = 0.5 \ nm$ के अनुरूप अंतिम ऊर्जा $K_2$ है।
अतः,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1 \ nm}{0.5 \ nm} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
इस प्रकार,$K_2 = 4K_1$।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ है।
अतः,अतिरिक्त ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(B) दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 3)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के दौरान मुक्त फोटॉन की ऊर्जा:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$:
$K_{\max} = E - W = 12.1 \ eV - 3.1 \ eV = 9.0 \ eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ है।
सूत्र $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{K_{\max}}} \ \text{Å}$ (जहाँ $K_{\max}$ $eV$ में है) का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{9}} = \frac{12.27}{3} = 4.09 \ \text{Å}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य लगभग $4 \ \text{Å}$ है।

(B) दिया गया है कि कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_p)$ फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{ph})$ के बराबर है।
कण के लिए: $\lambda_p = \frac{h}{mv}$, जहाँ $v = 0.8c$.
अतः, $\lambda_p = \frac{h}{m(0.8c)}$.
फोटॉन के लिए: $\lambda_{ph} = \frac{hc}{E_{ph}}$, जहाँ $E_{ph}$ फोटॉन की ऊर्जा है।
चूँकि $\lambda_p = \lambda_{ph}$, इसलिए $\frac{h}{0.8mc} = \frac{hc}{E_{ph}}$.
इस प्रकार, $E_{ph} = \frac{hc}{(h / 0.8mc)} = 0.8mc^2$.
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(0.8c)^2 = \frac{1}{2}m(0.64c^2) = 0.32mc^2$.
फोटॉन की ऊर्जा और कण की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{ph}}{K} = \frac{0.8mc^2}{0.32mc^2} = \frac{0.8}{0.32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$ है।

(A) दिया गया है:
कार्य फलन,$W = 2.2 \,eV$
आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm$
आपतित फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार है:
$E = \frac{1240 \,eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{400} = 3.1 \,eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = W + K_{max}$
जहाँ $K_{max} = e V_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
$e V_s = E - W$
$e V_s = 3.1 \,eV - 2.2 \,eV = 0.9 \,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_s = 0.9 \,V$ है।

(A) पूर्णतः अवशोषक (काली) सतह पर विद्युत चुम्बकीय विकिरण द्वारा लगाया गया विकिरण दाब $P$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{I}{c}$
जहाँ $I$ विकिरण की तीव्रता है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
तीव्रता $I = 0.6 \ W/m^2$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
मान रखने पर:
$P = \frac{0.6}{3 \times 10^8}$
$P = 0.2 \times 10^{-8} \ N/m^2$
$P = 2 \times 10^{-9} \ N/m^2$

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,निरोधी विभव $(V_0)$ केवल पदार्थ (कार्य फलन) और आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है। एक निश्चित आवृत्ति के लिए,निरोधी विभव पदार्थ की एक विशेषता है।
ग्राफ को देखने पर,वक्र $1$ और $2$ वोल्टेज अक्ष को एक ही बिंदु पर काटते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका निरोधी विभव समान है। इसलिए,वक्र $1$ और $2$ एक ही पदार्थ का प्रतिनिधित्व करते हैं।
इसी प्रकार,वक्र $3$ और $4$ वोल्टेज अक्ष को एक अलग,सामान्य बिंदु पर काटते हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक अलग कार्य फलन वाले दूसरे पदार्थ का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अतः,एक ही पदार्थ का प्रतिनिधित्व करने वाले जोड़े $(1, 2)$ और $(3, 4)$ हैं।

(B) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $i$ एक स्थिर दर से बढ़ रही है, इसलिए $\frac{di}{dt} = \text{स्थिर}$.
अतः, प्रेरित $EMF$ $\varepsilon$ स्थिर है, जिसका अर्थ है कि प्रेरित धारा $I_{\text{ind}} = \frac{\varepsilon}{R}$ भी स्थिर रहेगी।
लेंज के नियम के अनुसार, प्रेरित धारा हमेशा उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
चूंकि मूल धारा $i$ बढ़ रही है, इसलिए प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए मूल धारा $i$ की विपरीत दिशा में प्रवाहित होगी।

(C) मेटल डिटेक्टर में एक कुंडली (coil) होती है जो समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। जब किसी धातु की वस्तु को कुंडली के पास लाया जाता है,तो बदलता हुआ चुंबकीय क्षेत्र धातु की वस्तु में भंवर धाराएं (eddy currents) प्रेरित करता है। ये भंवर धाराएं अपना स्वयं का चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं,जिसे उपकरण द्वारा पहचाना जाता है। यह प्रक्रिया विद्युतचुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित है।

(D) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = BA \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है। प्रारंभ में,क्षेत्र तल के लंबवत है,इसलिए $\theta_0 = 0^{\circ}$ है।
चरण $A$ में,कुंडली $60^{\circ}$ घूमती है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_A = 60^{\circ}$ है। फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \Phi_A = BA(\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = BA(0.5 - 1) = -0.5 BA$ है। प्रेरित emf $\varepsilon_A = -\frac{\Delta \Phi_A}{t} = \frac{0.5 BA}{t}$ है।
चरण $B$ में,कुंडली उसी दिशा में $120^{\circ}$ और घूमती है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_B = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$ है। फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \Phi_B = BA(\cos 180^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = BA(-1 - 0.5) = -1.5 BA$ है। प्रेरित emf $\varepsilon_B = -\frac{\Delta \Phi_B}{2t} = \frac{1.5 BA}{2t} = \frac{0.75 BA}{t}$ है।
प्रेरित emf का अनुपात $\frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac{0.5 BA / t}{0.75 BA / t} = \frac{0.5}{0.75} = \frac{2}{3}$ है।

(C) डिस्क के केंद्र से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा त्रिज्यीय खंड मानिए।
इस खंड का वेग $v = \omega x$ है।
इस खंड पर प्रेरित emf $d\epsilon = B v dx = B \omega x dx$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र $(x=0)$ से परिधि $(x=r)$ तक इसका समाकलन करने पर, त्रिज्या के सिरों पर प्रेरित कुल emf:
$\epsilon = \int_0^r B \omega x dx = \frac{1}{2} B \omega r^2$.
दिया गया है: $B = 0.1 \ T$, $f = 10 \ \text{rev/s}$, इसलिए $\omega = 2 \pi f = 20 \pi \ \text{rad/s}$, और $r = 0.1 \ m$.
मान रखने पर:
$\epsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20 \pi \times (0.1)^2$
$\epsilon = 0.1 \times 10 \pi \times 0.01$
$\epsilon = 0.01 \pi \ V = 10 \pi \ mV$.

(B) पास स्थित कुंडली में धारा परिवर्तन के कारण प्रेरित emf $\varepsilon$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\varepsilon = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन,$dI = 10 \,A - 2 \,A = 8 \,A$
समय अंतराल,$dt = 0.2 \,s$
प्रेरित emf,$\varepsilon = 120 \,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$120 = M \times \frac{8}{0.2}$
$120 = M \times 40$
$M = \frac{120}{40} = 3 \,H$
अतः,कुंडलियों के युग्म का अन्योन्य प्रेरकत्व $3 \,H$ है।

(D) एक परिनालिका (solenoid) का स्व-प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu N^2 A}{l}$
जहाँ:
$N$ फेरों की संख्या है,
$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है (जो आकार और आकृति पर निर्भर करता है),
$l$ कुंडली की लंबाई है,
$\mu$ कोर सामग्री की पारगम्यता (permeability) है।
अतः,स्व-प्रेरकत्व फेरों की संख्या,आकार (क्षेत्रफल और लंबाई) और कुंडली की आकृति पर निर्भर करता है।