TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) રેખાઓ $x=0$ અને $y=0$ એ $3x+4y-24=0$ રેખા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $3x+4y-24=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left|\frac{3r+4r-24}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| = r$.
$\left|\frac{7r-24}{5}\right| = r$.
કિસ્સો $1$: $7r-24 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 24$ $\Rightarrow r = 12$.
કિસ્સો $2$: $7r-24 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 24$ $\Rightarrow r = 2$.
અંતઃવૃત્ત ત્રિકોણની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $r=12$ શક્ય નથી. તેથી $r=2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ છે.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ બિંદુ $A(a, 0)$ અને રેખા $x+y=0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P$ થી $A$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી રેખા $x+y=0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું છે:
$\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(h-a)^2 + k^2 = \frac{(h+k)^2}{2}$.
$2(h^2 - 2ha + a^2 + k^2) = h^2 + k^2 + 2hk$.
$2h^2 - 4ha + 2a^2 + 2k^2 = h^2 + k^2 + 2hk$.
$h^2 + k^2 - 2hk - 4ha + 2a^2 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ:
$x^2 + y^2 - 2xy - 4ax + 2a^2 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વક્ર $y^2 = 4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(2, -2)$ પર,$m_1 = \frac{2}{-2} = -1$.
વક્ર $x^2 = -2y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = -2 \frac{dy}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -x$. બિંદુ $(2, -2)$ પર,$m_2 = -2$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = (-1) \times (-2) = 2 \neq -1$. આમ,વક્રો $(2, -2)$ પર લંબરૂપે છેદતા નથી.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર,સ્પર્શકો $x=0$ (શિરોલંબ) અને $y=0$ (ક્ષૈતિજ) છે,જે લંબ છે,પરંતુ વિધાનમાં $(1,2)$ બિંદુનો ઉલ્લેખ છે જે ખોટું છે કારણ કે $(1,2)$ બિંદુ વક્રો પર નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(h, k)$ અને $(p, q)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(h, k)$ ની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $xh+yk=a^2$ છે.
આ જીવા $Q(p, q)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને $ph+qk=a^2$ મળે છે.
$P$ અને $Q$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ $l_1 = \sqrt{h^2+k^2-a^2}$ અને $l_2 = \sqrt{p^2+q^2-a^2}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$l_1^2 = h^2+k^2-a^2$ અને $l_2^2 = p^2+q^2-a^2$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(h-p)^2+(k-q)^2} = \sqrt{h^2+k^2+p^2+q^2-2(hp+kq)}$.
$hp+kq=a^2$ મૂકતા,$PQ = \sqrt{(h^2+k^2)+(p^2+q^2)-2a^2}$ મળે છે.
$h^2+k^2 = l_1^2+a^2$ અને $p^2+q^2 = l_2^2+a^2$ મૂકતા,$PQ = \sqrt{(l_1^2+a^2)+(l_2^2+a^2)-2a^2} = \sqrt{l_1^2+l_2^2}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) રેખા $x+2y=1$ છે. $X$-અંતઃખંડ $A(1,0)$ અને $Y$-અંતઃખંડ $B(0, 1/2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-x-\frac{1}{2}y=0$ છે.
ઉગમબિંદુ પરનો સ્પર્શક $2x+y=0$ છે.
$A(1,0)$ થી લંબ અંતર $d_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
$B(0, 1/2)$ થી લંબ અંતર $d_2 = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ છે.
સરવાળો $d_1+d_2 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{5}}{4}$ છે.
તેથી,સરવાળો $2r$ એટલે કે વર્તુળ $S$ ના વ્યાસ જેટલો થાય છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-10y+5=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-4)^2+(y-5)^2 = 36 = 6^2$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $C(4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 6$ છે.
બિંદુ $P(-2, -3)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{4+9+16+30+5} = 8$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAP$ માં,$\angle CAP = 90^\circ$.
ધારો કે $\angle APC = \frac{\theta}{2}$. તો $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{CA}{PA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
સૂત્ર $\tan \theta = \frac{2 \tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2(\frac{3}{4})}{1-(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x+4y+12=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2=1$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $(1, -3)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ ધારો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y+3=m(x-1)$ એટલે કે $mx-y-m-3=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\left|\frac{m(3)-(-2)-m-3}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2m-1)^2 = m^2+1$.
$4m^2-4m+1 = m^2+1$.
$3m^2-4m = 0$.
$m(3m-4) = 0$.
તેથી,ઢાળ $m_1=0$ અને $m_2=\frac{4}{3}$ મળે છે.
અંતે,$9(m_1^2+m_2^2) = 9(0^2 + (\frac{4}{3})^2) = 9(\frac{16}{9}) = 16$.

(A) $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો $O(0,0)$ અને $A(1,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
$C_3$ એ $O(0,0)$ અને $A(1,0)$ માંથી પસાર થતું એકમ વર્તુળ છે. ધારો કે તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
તે $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $h^2 + k^2 = 1$.
તે $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(h-1)^2 + k^2 = 1$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2h - 1 = 0 \implies h = 1/2$.
તેથી $(1/2)^2 + k^2 = 1 \implies k = \sqrt{3}/2$.
$C_3$ નું કેન્દ્ર $(1/2, \sqrt{3}/2)$ છે.
રેખા $L: ax + by + c = 0$ એ $C_1$ નો સ્પર્શક છે જો $|c|/\sqrt{a^2+b^2} = 1$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ એ $C_1$ અને $C_3$ બંનેનો સ્પર્શક છે અને $C_2$ ને છેદતું નથી.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-1)^2+(y-1)^2 = 1$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C=(1,1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $A=(0,-2)$ અને કેન્દ્ર $C=(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર $AC = \sqrt{(1-0)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{10}$ છે.
મહત્તમ અંતર $AB = AC+r = \sqrt{10}+1$ થાય.
તેથી,$(AB)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $(\sqrt{10}+1)^2 = 11+2\sqrt{10}$ થાય.

(A) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-2x-1=0$ નું કેન્દ્ર $C(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2-2x=0$ નું કેન્દ્ર $C(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
$P$ એ $S_1$ પર હોવાથી,$PA$ અને $PB$ એ $P$ માંથી $S_2$ પરના સ્પર્શકો છે. તેથી,$CA \perp PA$ અને $CB \perp PB$.
$\triangle CAB$ માં,$CA = CB = r_2 = 1$. સ્પર્શક જીવા $AB$ એ $CP$ ને લંબ છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\triangle CAB$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $O$ એ $CP$ રેખા પર આવેલું છે.
$CM = \frac{r_2^2}{CP} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પરિ ત્રિજ્યા $R_{circum} = \frac{CA^2}{2CM} = \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$O(h,k)$ નું $C(1,0)$ થી અંતર $1/\sqrt{2}$ છે.
$(h-1)^2 + k^2 = 1/2 \Rightarrow 2h^2 + 2k^2 - 4h + 1 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2x^2 + 2y^2 - 4x + 1 = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 16$ મળે. કેન્દ્ર $(4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ એ વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(l_1l_2 + m_1m_2) = (l_1h + m_1k + n_1)(l_2h + m_2k + n_2)$ થાય.
અહીં,$l_1 = 5, m_1 = 6, n_1 = -34$ અને $l_2 = 2, m_2 = 1, n_2 = c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16(5 \times 2 + 6 \times 1) = (5(4) + 6(5) - 34)(2(4) + 1(5) + c)$.
$16(16) = (16)(13 + c)$.
$16 = 13 + c \implies c = 3$.
રેખા $2x + y + 3 = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$(1, -5)$ માટે: $2(1) + (-5) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, -5)$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=3$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે.
બિંદુ $(2,0)$ માટે,$L_1: 2x+0y=3 \Rightarrow 2x-3=0$.
બિંદુ $(1,-2)$ માટે,$L_2: 1x-2y=3 \Rightarrow x-2y-3=0$.
બિંદુ $(4,4)$ માટે,$L_3: 4x+4y=3 \Rightarrow 4x+4y-3=0$.
સંગામી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $x=\frac{3}{2}$,$y=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-3) = -\frac{3}{4}$.
બિંદુ $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ ને $L_3$ માં મૂકતા: $4(\frac{3}{2})+4(-\frac{3}{4})-3 = 6-3-3 = 0$.
આ બિંદુ $L_3$ નું સમાધાન કરતું હોવાથી,રેખાઓ સંગામી છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-3x-6y+3=0$ છે. રેખા $x+2y=c$ છે,અથવા $\frac{x+2y}{c}=1$.
રેખાનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-(3x+6y)(\frac{x+2y}{c}) + 3(\frac{x+2y}{c})^2 = 0$.
કારણ કે $\angle POQ = \frac{\pi}{2}$,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
$x^2$ નો સહગુણક: $1 - \frac{3}{c} + \frac{3}{c^2}$.
$y^2$ નો સહગુણક: $1 - \frac{12}{c} + \frac{12}{c^2}$.
સરવાળો: $2 - \frac{15}{c} + \frac{15}{c^2} = 0$.
$c^2$ વડે ગુણતા: $2c^2 - 15c + 15 = 0$.
આમ,$2c^2 - 15c = -15$.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-12y+43=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$S_1$ માટે: $g_1 = -1, f_1 = -2, c_1 = -4$. ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1+4-(-4)} = 3$.
$S_2$ માટે: $g_2 = -4, f_2 = -6, c_2 = 43$. ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{16+36-43} = 3$.
કેન્દ્રો $C_1(1, 2)$ અને $C_2(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{5^2 - 3^2 - 3^2}{2(3)(3)} = \frac{25 - 9 - 9}{18} = \frac{7}{18}$.
તેથી,$\sec \theta = \frac{18}{7}$.
હવે,$|7 \sec \theta - 18 \cos \theta| = |7(\frac{18}{7}) - 18(\frac{7}{18})| = |18 - 7| = 11$.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2x+4y-20=0$ અને $C_2: x^2+y^2+6x-8y+9=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (-3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{40}$.
અહીં $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ હોવાથી,$n = 2$.
સમાનતાના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $l = 4\sqrt{39}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{l}{n^2} = \frac{4\sqrt{39}}{4} = \sqrt{39}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.
માગેલ વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_1(-2, 3)$ અને સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
રેખા $O_1P$ નો ઢાળ $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ આગળ અભિલંબની રેખાનો ઢાળ $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ થશે.
આ અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે,જે આ રેખા પર હોવાથી $3h-4k=7$ થાય.
વળી,$(h, k)$ થી $P(1, -1)$ નું અંતર $R$ છે અને $(h, k)$ થી $(4, 0)$ નું અંતર પણ $R$ છે. તેથી,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$.
જેથી $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ મળે.
સમીકરણો $3h-4k=7$ અને $3h+k=7$ ઉકેલતા,$5k=0 \Rightarrow k=0$ અને $h=7/3$ મળે.
આમ,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ મળે છે. (નોંધ: ગણતરી મુજબ $R=5$ સાચો જવાબ છે).

(A) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-6x-8y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = 5$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-6x-8y+9) - (x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$.
$-8x - 6y + 8 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x + 3y - 4 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-6x-4y-23=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે.
બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ એ રેખા છે જેના પર સામાન્ય સ્પર્શકો છેદે છે અથવા સંપાતી થાય છે,તેથી આપણે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા રેડિકલ અક્ષ શોધીએ છીએ.
$(x^2+y^2-6x-4y-23) - (x^2+y^2+2x+2y+1) = 0$.
$-8x - 6y - 24 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x + 3y + 12 = 0$ મળે છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x + 3y + 12 = 0$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2y-3=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(0,1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{2}$ છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ $C_1C_2$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે,તેથી $P(-2,-1)$ મળે છે.
$P(-2,-1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ $y+1 = m(x+2)$ છે.
$C_1(-1,0)$ થી રેખાનું અંતર $1$ લેતા,$m=0$ અને અનંત ઢાળ મળે છે.
તેથી સ્પર્શકો $y+1=0$ અને $x+2=0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y+1)(x+2) = 0 \Rightarrow xy+x+2y+2=0$ છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+4y=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4x-5=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+4y) - (x^2+y^2-4x-5) = 0$ એટલે કે $4x+4y+5=0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S=0$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ સામાન્ય જીવા $4x+4y+5=0$ પર આવેલું હશે. તેથી,$4h+4k+5=0$.
વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર એ સામાન્ય જીવાનું મધ્યબિંદુ પણ છે. $S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1(0, -2)$ અને $S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2(2, 0)$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{-2-0}{0-2}(x-2)$ એટલે કે $y = x-2$ અથવા $x-y-2=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ સામાન્ય જીવા $4x+4y+5=0$ અને કેન્દ્રોની રેખા $x-y-2=0$ નું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x+4y = -5$
$x-y = 2 \Rightarrow y = x-2$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $4x + 4(x-2) = -5$ $\Rightarrow 8x - 8 = -5$ $\Rightarrow 8x = 3$ $\Rightarrow x = \frac{3}{8}$.
આમ,કેન્દ્રનો $x$-યામ $\frac{3}{8}$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-4x-8y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-12y+16=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ છે.
$(x^2+y^2-4x-8y+4) - (x^2+y^2-8x-12y+16) = 0$
$4x+4y-12=0 \implies x+y-3=0$.
$S_1$ માટે: $(x-2)^2+(y-4)^2 = 16$. કેન્દ્ર $O(2, 4)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 4$.
કેન્દ્ર $O(2, 4)$ થી રેખા $x+y-3=0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|2+4-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r_1^2-d^2}$.
$L = 2\sqrt{16 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{23}{2}} = \sqrt{46}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) $S$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S-S^{\prime}=0$ દ્વારા મળે છે:
$\Rightarrow (x^2+y^2+\alpha x+6y) - (x^2+y^2+2\alpha x+\alpha y+6) = 0$
$\Rightarrow -\alpha x + (6-\alpha)y - 6 = 0$
બિંદુ $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ આ ધરી પર હોવાથી:
$-\alpha(0) + (6-\alpha)(\frac{3}{4}) - 6 = 0$
$\Rightarrow \frac{18-3\alpha}{4} = 6$
$\Rightarrow 18-3\alpha = 24$
$\Rightarrow -3\alpha = 6$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
હવે,વર્તુળ $S^{\prime}$ એ $x^2+y^2-4x-2y+6 = 0$ છે.
$S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $C = (2, 1)$ છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર $P = \left(0, \frac{3}{4}\right)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બે વર્તુળો માટે:
$(x^2 + y^2 + 2gx - 4y + 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 2fy + 12) = 0$
$(2g - 6)x - (4 + 2f)y - 8 = 0$.
કારણ કે $(-1, -1)$ એ રેડિકલ કેન્દ્ર છે,તે રેડિકલ ધરીના સમીકરણનું પાલન કરવું જોઈએ:
$(2g - 6)(-1) - (4 + 2f)(-1) - 8 = 0$
$-2g + 6 + 4 + 2f - 8 = 0$
$-2g + 2f + 2 = 0$
$2f - 2g = -2$
$g - f = 1$.

(B) ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર $A$ એ $PQ$ ને $r_1 : r_2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PA}{AQ} = \frac{3}{5+2} = \frac{3}{7}$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $B$ એ $PQ$ ને $r_1 : r_2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PB}{BQ} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
આપેલ માપમાં વિરોધાભાસ છે,પરંતુ સામાન્ય ગુણધર્મો મુજબ સાચો જવાબ $3:2$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $x+y-5=0$ પર હોવાથી,$h+k=5$ મળે.
વર્તુળ રેખાઓ $x=2$ અને $y=5$ ને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h-2| = |k-5|$ થાય.
પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$r = 2-h$ અને $r = 5-k$ લેતા,$h = 2-r$ અને $k = 5-r$ મળે.
$h+k=5$ માં કિંમત મૂકતા: $(2-r) + (5-r) = 5$ $\Rightarrow 7-2r = 5$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$.
તેથી,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi$ ચોરસ એકમ.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા અને વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ ને લંબછેદી વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ c_1 & g_1 & f_1 \\ c_2 & g_2 & f_2 \end{array}\right| = 0$
અહીં,$c_1=12, g_1=2, f_1=3$ અને $c_2=9, g_2=2, f_2=-3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ 12 & 2 & 3 \\ 9 & 2 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2+y^2)(-6-6) - x(-36-27) + y(24-18) = 0$
$-12(x^2+y^2) + 63x + 6y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{63}{12}x - \frac{6}{12}y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{21}{4}x - \frac{1}{2}y = 0$
કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{21}{8}, \frac{1}{4})$ મળે.
તેથી,$k-2h = \frac{1}{4} - 2(\frac{21}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{20}{4} = -5$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-4x+4y-8=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતે:
$x^2-4x+4 = -4y+8+4$
$(x-2)^2 = -4(y-3)$
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h=2, k=3$ અને $4a = -4 \Rightarrow a = -1$ મળે છે.
$(B)$ શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, 3)$ છે.
$(A)$ નાભિ $(h, k+a) = (2, 3-1) = (2, 2)$ છે.
$(C)$ નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(h+2a, k+a) = (2-2, 3-1) = (0, 2)$ અથવા $(h-2a, k+a) = (2+2, 3-1) = (4, 2)$ છે. વિકલ્પો મુજબ,$(4, 2)$ સાચું છે.
$(D)$ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $(h, k-a) = (2, 3-(-1)) = (2, 4)$ છે.
આમ,સાચી જોડણી $A-V, B-III, C-I, D-IV$ છે.

(A) પરવલયની ધરી $y=x$ છે. શિરોબિંદુ $A$ અને નાભિ $S$ પ્રથમ ચરણમાં આ રેખા પર આવેલા છે.
$A$ નું $(0,0)$ થી અંતર $\sqrt{2}$ હોવાથી,$A$ ના યામ $(1,1)$ છે.
$S$ નું $(0,0)$ થી અંતર $2\sqrt{2}$ હોવાથી,$S$ ના યામ $(2,2)$ છે.
અંતર $AS = a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$.
નિયામિકા રેખા $y=x$ ને લંબ છે અને તે બિંદુ $Z$ માંથી પસાર થાય છે જ્યાં $A$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $S=(2,2)$ અને $A=(1,1)$ હોવાથી,$Z=(0,0)$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $(x,y)$ નું નાભિ $(2,2)$ થી અંતર એ નિયામિકા $x+y=0$ થી અંતર જેટલું હોય છે:
$(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x+y)^2}{2}$.
$2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + y^2 + 2xy$.
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y + 16 = 0$,જે $(x-y)^2 = 8(x+y-2)$ છે.
$x=(t+1)^2$ અને $y=(t-1)^2$ મૂકતા:
$((t+1)^2 - (t-1)^2)^2 = (4t)^2 = 16t^2$.
$8((t+1)^2 + (t-1)^2 - 2) = 8(t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 - 2) = 8(2t^2) = 16t^2$.
બંને બાજુ સમાન છે,તેથી પ્રાચલિત સ્વરૂપ $x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 5y - 6x + 1 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 - 3x + \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 3x = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y + \frac{7}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}(y - \frac{7}{10})$
$(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$h = \frac{3}{2}$,$k = \frac{7}{10}$,અને $4a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{8}$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10})$ છે.
નાભિ $(h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10} - \frac{5}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{40})$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a=4$.
પરવલયની નાભિ $S$ એ $(4, 0)$ છે.
નાભિલંબ $LL^{\prime}$ ના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,તેથી $L=(4, 8)$ અને $L^{\prime}=(4, -8)$.
$PQ$ એ $P(1, 4)$ અને $S(4, 0)$ માંથી પસાર થતી નાભિ જીવા હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{0-4}{4-1} = -\frac{4}{3}$ છે.
$PQ$ રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 4)$ એટલે કે $4x + 3y - 16 = 0$ છે.
$Q$ ના યામ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{16}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 + 12y - 64 = 0$.
અવયવ પાડતા $(y+16)(y-4) = 0$ મળે,તેથી $y=4$ (બિંદુ $P$) અથવા $y=-16$ (બિંદુ $Q$).
$y=-16$ માટે,$x = 16$,તેથી $Q=(16, -16)$.
હવે,અંતર $LQ = \sqrt{(16-4)^2 + (-16-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-24)^2} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-12y+1=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ સાથે સરખાવતા,$g_1=-3, f_1=-6, c_1=1$ મળે છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ એ $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ છે. કેન્દ્ર $(-4, 2)$ આપેલ હોવાથી,$-g_2=-4 \Rightarrow g_2=4$ અને $-f_2=2 \Rightarrow f_2=-2$.
બે વર્તુળો લંબરૂપે છેદે ત્યારે $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2(-3)(4) + 2(-6)(-2) = 1 + c_2$.
$-24 + 24 = 1 + c_2 \Rightarrow c_2 = -1$.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{4^2+(-2)^2-(-1)} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.

(D) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે. સરખામણી કરતા,$a = 2$ મળે છે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|x_1 + a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2t^2, 4t)$ છે અને નાભિ અંતર $3$ છે,તેથી:
$|2t^2 + 2| = 3$
વાસ્તવિક $t$ માટે $2t^2 + 2$ હંમેશા ધન હોવાથી:
$2t^2 + 2 = 3$
$2t^2 = 1$
$t^2 = \frac{1}{2}$
$t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે છે.
પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બિંદુ $P(4,8)$ માટે,$4t_1^2=4 \implies t_1=1$ (કારણ કે $8t_1=8$).
બિંદુ $R(16,16)$ માટે,$4t_2^2=16 \implies t_2=2$ (કારણ કે $8t_2=16$).
$PQ$ અને $RT$ નાભિસ્થ જીવાઓ હોવાથી,નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $-1$ થાય છે.
જીવા $PQ$ માટે,$t_P \cdot t_Q = -1 \implies 1 \cdot t_Q = -1 \implies t_Q = -1$. તેથી,$Q = (4(-1)^2, 8(-1)) = (4, -8)$.
જીવા $RT$ માટે,$t_R \cdot t_T = -1 \implies 2 \cdot t_T = -1 \implies t_T = -1/2$. તેથી,$T = (4(-1/2)^2, 8(-1/2)) = (1, -4)$.
અંતર સૂત્ર મુજબ $QT = \sqrt{(4-1)^2 + (-8 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે. તેથી,નાભિ $(4,0)$ છે.
નાભિ જીવા $(2,2)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{0-2}{4-2} = -1$ છે.
નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y-0 = -1(x-4)$ એટલે કે $x+y=4$ છે.
બેવડા કોટિની લંબાઈ $24$ છે. તેથી $2|y|=24$,એટલે કે $y=12$ અથવા $y=-12$.
$y^2=16x$ માં $y=12$ મૂકતા,$144=16x$,તેથી $x=9$ મળે.
નાભિ જીવા $x+y=4$ માં $x=9$ મૂકતા,$9+y=4$,તેથી $y=-5$ મળે.
આમ,છેદબિંદુ $(9,-5)$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a=2$. નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ અને $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા નાભિમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તે $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે સૂચવે છે કે $t_1 t_2 = -1$.
જીવા બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે. $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $y(t_1+t_2) = 2x + 2at_1 t_2$ છે.
$a=2$ અને $t_1 t_2 = -1$ મૂકતા,આપણને $y(t_1+t_2) = 2x - 4$ મળે છે.
જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$2(t_1+t_2) = 2(1) - 4 = -2$,તેથી $t_1+t_2 = -1$.
આપણે $x_1+x_2 = at_1^2 + at_2^2 = a(t_1^2 + t_2^2) = a((t_1+t_2)^2 - 2t_1 t_2)$ શોધવાનું છે.
$a=2$,$t_1+t_2 = -1$,અને $t_1 t_2 = -1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x_1+x_2 = 2((-1)^2 - 2(-1)) = 2(1+2) = 2(3) = 6$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = \frac{8}{a} x$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ પરવલય પર હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 4$ મુકતા:
$4^2 = \frac{8}{a} (1)$ $\Rightarrow 16 = \frac{8}{a}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $y^2 = 16x$ મળે છે,જ્યાં $4A = 16 \Rightarrow A = 4$.
નાભિ જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $A(t + 1/t)^2$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ માટે $2At = 4$ $\Rightarrow 8t = 4$ $\Rightarrow t = 1/2$.
લંબાઈ $L = 4(1/2 + 2)^2 = 4(5/2)^2 = 4(25/4) = 25$.

(B) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે આપેલ વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,દરેક માટે $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ શરતનું પાલન થાય છે.
$x^2+y^2-4x-4y+3=0$ માટે: $2g(-2) + 2f(-2) = c + 3 \implies -4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ માટે: $2g(2) + 2f(-2) = c + 3 \implies 4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x+4y+3=0$ માટે: $2g(2) + 2f(2) = c + 3 \implies 4g + 4f = c + 3$.
પ્રથમ બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8g = 0 \implies g = 0$.
છેલ્લા બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8f = 0 \implies f = 0$.
$g=0$ અને $f=0$ ને કોઈપણ સમીકરણમાં મુકતા: $0 = c + 3 \implies c = -3$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-3=0$ એટલે કે $x^2+y^2=3$ મળે છે.
તેથી ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $x^2 + y - 7 = 4x$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 10)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રૂપાંતરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $x^2 \to x x_1$,$y \to \frac{y + y_1}{2}$ અને $x \to \frac{x + x_1}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$x(1) + \frac{y + 10}{2} - 7 = 4 \left( \frac{x + 1}{2} \right)$
$x + \frac{y + 10}{2} - 7 = 2(x + 1)$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2x + y + 10 - 14 = 4x + 4$
$2x + y - 4 = 4x + 4$
$y = 4x - 2x + 4 + 4$
$y = 2x + 8$

(A) વિધાન $I$ માટે: પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ બિંદુ $P(x,y)$ નું નાભિ $S(2,3)$ થી અંતર અને નિયામિકા $x+2y+5=0$ થી અંતર સમાન હોય છે.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x+2y+5)^2}{1^2+2^2}$
ગણતરી કરતા $4x^2+y^2-4xy-30x-50y+40=0$ મળે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: સમીકરણ $x^2-4x+16y+52=0$ ને $(x-2)^2 = -16(y+3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $4a=16$,તેથી $a=4$. શિરોબિંદુ $(2,-3)$ છે.
નિયામિકા $y = k+a = -3+4 = 1$ એટલે કે $y-1=0$ થાય. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = -2 + 2t^2$ અને $y = 2 + 4t$ છે.
$y = 2 + 4t$ પરથી,આપણને $t = \frac{y - 2}{4}$ મળે છે.
$t$ ની આ કિંમતને $x = -2 + 2t^2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = -2 + 2 \left( \frac{y - 2}{4} \right)^2$
$x = -2 + 2 \left( \frac{(y - 2)^2}{16} \right)$
$x = -2 + \frac{(y - 2)^2}{8}$
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા:
$8x = -16 + (y - 2)^2$
$8x = -16 + y^2 - 4y + 4$
$8x = y^2 - 4y - 12$
પદોને ગોઠવતા:
$y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) નાભિઓ $F_1(-3, 0)$ અને $F_2(9, 0)$ આપેલ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $h = \frac{-3+9}{2} = 3$ અને $k = 0$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 12$,તેથી $ae = 6$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$a(\frac{1}{3}) = 6$,એટલે કે $a = 18$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 18^2(1 - \frac{1}{9}) = 288$,તેથી $b = 12\sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = h + a \cos \theta$ અને $y = k + b \sin \theta$ મુજબ,$x = 3 + 18 \cos \theta$ અને $y = 12\sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે જ્યાં $a > b$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$b^2 = a^2(1 - \frac{3}{4}) = \frac{a^2}{4}$ મળે,એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$ અથવા $b^2 = \frac{a^2}{4}$.
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ ને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2(a^2/4)}{a} = 1$.
આથી $\frac{a}{2} = 1$,તેથી $a = 2$.
પછી $b^2 = \frac{2^2}{4} = 1$,તેથી $b = 1$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(2) = 4$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(1) = 2$ છે.
પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો $4 + 2 = 6$ થાય.

(D) આપેલ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ છે.
બિંદુઓ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ એ $S^{\prime}$ પર આવેલા છે.
$Q$ ને સરળ બનાવતા,$Q \equiv (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ મળે.
$P$ એ $S^{\prime}$ પર હોવાથી:
$\frac{a^2 \cos^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \sin^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(i)$
$Q$ એ $S^{\prime}$ પર હોવાથી:
$\frac{a^2 \sin^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \cos^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{a^2}{\alpha^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{b^2}{\beta^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2$
$\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{b^2}{\beta^2} = 2$
$\frac{a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2}{\alpha^2 \beta^2} = 2$
તેથી,$\frac{1}{2}(a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2) = \alpha^2 \beta^2$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $x+y-10=0$ માં ઉપવલયનું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે કેન્દ્ર $(0,0)$ નું પ્રતિબિંબ શોધીએ.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $(h,k)$ છે. $(0,0)$ અને $(h,k)$ ને જોડતી રેખા $x+y-10=0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $1$ છે. એટલે કે,$\frac{k-0}{h-0} = 1 \implies k=h$.
મધ્યબિંદુ $(\frac{h}{2}, \frac{k}{2})$ એ રેખા $x+y-10=0$ પર છે,તેથી $\frac{h}{2}+\frac{k}{2}=10 \implies h+k=20$.
$k=h$ મૂકતા,$2h=20 \implies h=10, k=10$.
કેન્દ્રનું પ્રતિબિંબ $(10,10)$ છે.
ઉપવલયનો આકાર અને કદ બદલાતા નથી,તેથી નવું સમીકરણ $\frac{(x-10)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{16}=1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{(x-10)^2}{16}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$ સાથે સરખાવતા,છેદ અદલાબદલી થયેલ છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એ વક્રના પ્રતિબિંબની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે સાચું છે.
તેથી,$(A)$ ખોટું છે પણ $(R)$ સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + by^2 = 15$ છે,જેને $\frac{x^2}{15/a} + \frac{y^2}{15/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $a'^2 = \frac{15}{a}$ અને $b'^2 = \frac{15}{b}$.
ઉપવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2a'e = 2 \Rightarrow a'e = 1$ છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a'}{e} = 5 \Rightarrow \frac{a'}{e} = \frac{5}{2}$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(a'e) \times (a'/e) = 1 \times \frac{5}{2} \Rightarrow a'^2 = \frac{5}{2}$.
$a'^2 = \frac{15}{a}$ હોવાથી,$\frac{15}{a} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = 6$ મળે.
$a'e = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$e^2 = \frac{1}{a'^2} = \frac{2}{5}$ મળે.
ઉપવલય માટે,$b'^2 = a'^2(1 - e^2) = \frac{5}{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{2}$ છે.
$b'^2 = \frac{15}{b}$ હોવાથી,$\frac{15}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow b = 10$ મળે.
તેથી,$a + b = 6 + 10 = 16$.

(A) વિધાન $I$ માટે: સમીકરણ $4x^2+y^2-8x-4y+4=0$ ને $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $b > a$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
નિયામિકા $y = 2 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે,એટલે કે $3y = 6 \pm 4\sqrt{3}$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: સમીકરણ $x^2+4y^2-4x-8y+4=0$ ને $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં નાભિલંબ $x = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે. તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 32x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 32$ મળે,તેથી $a = 8$. નાભિ $S$ એ $(8, 0)$ છે.
પરવલય પરના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,નાભિ-જીવાના બીજા અંત્યબિંદુ $Q(x_2, y_2)$ ના યામ $x_2 = \frac{a^2}{x_1}$ અને $y_2 = \frac{-4a^2}{y_1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $P = (\frac{1}{2}, 4)$ માટે,$x_2 = \frac{8^2}{1/2} = 128$ અને $y_2 = \frac{-4(8^2)}{4} = -64$ મળે.
આમ,$Q = (128, -64)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $SQ$ શોધતા:
$SQ = \sqrt{(128 - 8)^2 + (-64 - 0)^2} = \sqrt{120^2 + (-64)^2} = \sqrt{14400 + 4096} = \sqrt{18496} = 136$.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 3a$.
નાભિ $(ae, 0)$ અને નજીકના શિરોબિંદુ $(a, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = a(1 - e) = \frac{5}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2 = 3a$ મૂકતા,$3a = a^2(1 - e^2)$,તેથી $3 = a(1 - e^2) = a(1 - e)(1 + e)$.
$a(1 - e) = \frac{5}{3}$ હોવાથી,$3 = \frac{5}{3}(1 + e)$.
આથી $1 + e = \frac{9}{5}$,એટલે કે $e = \frac{4}{5}$.
હવે,$e = \frac{4}{5}$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$.
આમ,$e$ એ $25e^2 - 40e + 16 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $25x^2+16y^2-150x-64y-111=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા:
$25(x-3)^2 + 16(y-2)^2 = 400$
$400$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 25$,તેથી $a = 4$ અને $b = 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $m = \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $n = 2b = 2 \times 5 = 10$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n) = \left(\frac{32}{5}, 10\right)$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી પસાર થતી જીવા માટે,$\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{e-1}{e+1}$ સંબંધ મળે છે.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = -(2\sqrt{2}+3)$.
તેથી,$\frac{e-1}{e+1} = -(2\sqrt{2}+3)$.
ઉકેલતા,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આમ,$S = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ થાય છે.

(B) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,અને $D(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 6)$,$C(0, -6, 4)$,અને $D(1, 1, 1)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{1-1+0+1}{4}, \frac{2+4-6+1}{4}, \frac{3+6+4+1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{14}{4}\right)$ છે.
બાજુ $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1 = \left(\frac{x_2+x_3+x_4}{3}, \frac{y_2+y_3+y_4}{3}, \frac{z_2+z_3+z_4}{3}\right) = \left(\frac{-1+0+1}{3}, \frac{4-6+1}{3}, \frac{6+4+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)$ છે.
ચતુષ્ફલકમાં,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યકેન્દ્ર સાથે જોડતા રેખાખંડને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. ખાસ કરીને,$G$ એ મધ્યગા $AG_1$ પર આવેલું છે જેથી $AG : GG_1 = 3 : 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AG = \frac{3}{4} AG_1$,અથવા $\frac{AG_1}{AG} = \frac{4}{3}$.

(C) ત્રિકોણના આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(2,3,-1), B(4,1,0)$ અને $C(-1,-1,11)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-3)^2 + (11+1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણો બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{13}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{3(-1) + 13(4)}{3+13}, \frac{3(-1) + 13(1)}{3+13}, \frac{3(11) + 13(0)}{3+13} \right) = \left( \frac{-3+52}{16}, \frac{-3+13}{16}, \frac{33+0}{16} \right) = \left( \frac{49}{16}, \frac{10}{16}, \frac{33}{16} \right)$.
$AD$ ના દિશા ગુણોત્તર સદિશ $\vec{AD} = D - A$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AD} = \left( \frac{49}{16} - 2, \frac{10}{16} - 3, \frac{33}{16} - (-1) \right) = \left( \frac{49-32}{16}, \frac{10-48}{16}, \frac{33+16}{16} \right) = \left( \frac{17}{16}, \frac{-38}{16}, \frac{49}{16} \right)$.
દિશા ગુણોત્તરને અચળાંક વડે ગુણી શકાય છે,તેથી $16$ વડે ગુણતા $(17, -38, 49)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1 = \left(\frac{1+2+0}{3}, \frac{2+0-2}{3}, \frac{0-1+3}{3}\right) = \left(1, 0, \frac{2}{3}\right)$ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_2 = \left(\frac{1+2+0-1}{4}, \frac{2+0-2+2}{4}, \frac{0-1+3-3}{4}\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, \frac{-1}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $G_1G_2$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m=4, n=3$:
$x = \frac{4(1/2) + 3(1)}{4+3} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.
$y = \frac{4(1/2) + 3(0)}{4+3} = \frac{2+0}{7} = \frac{2}{7}$.
$z = \frac{4(-1/4) + 3(2/3)}{4+3} = \frac{-1+2}{7} = \frac{1}{7}$.
આમ,$P = \left(\frac{5}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $x-y+z+2=0$ અને $2x+y-2z+5=0$ ની છેદરેખા છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ બંને અભિલંબને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2-2) + \hat{k}(1+2) = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 4, 3)$ છે.
દિશા સદિશનું માન $\sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ છે.
તેથી દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}}\right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ધરાવતા સમતલમાં હોવાથી,$\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમતલીય છે. તેથી,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
તેથી,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}) = 0 \Rightarrow 3a_1 + a_2 - 5a_3 = 0 \dots (i)$.
$\vec{a}$ એ $\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \dots (ii)$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $3\sqrt{6}$ છે,તેથી $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 3\sqrt{6}$.
$\frac{a_1 + 2a_2 + a_3}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6} \Rightarrow a_1 + 2a_2 + a_3 = 18 \dots (iii)$.
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$a_1 = -8, a_2 = 14, a_3 = -2$ મળે છે.
તેથી,$\vec{a} = -8\hat{i} + 14\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = (-8)^2 + 14^2 + (-2)^2 = 64 + 196 + 4 = 264$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, 4-4, 4-0) = (1, 0, 4)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-6), 1 - 2, 2 - 3) = (7, -1, -1)$ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(7) + (0)(-1) + (4)(-1) = 7 + 0 - 4 = 3$ થાય.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ છે.
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1 + 1} = \sqrt{51}$ છે.
અહીં $\sqrt{51} = \sqrt{17 \times 3} = \sqrt{17} \sqrt{3}$ હોવાથી,$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{17} \sqrt{3}$ થાય.
ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} \sqrt{3}} = \frac{3}{17 \sqrt{3}}$ મળે.

(B) કારણ કે $A(2,5,7)$ એ સમતલ $\pi$ ની સાપેક્ષે $B(1,-2,3)$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી બિંદુ $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$C = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{5-2}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 5 \right)$.
આપેલ છે કે $D = (2,1,6)$,તેથી રેખાખંડ $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(2 - \frac{3}{2}, 1 - \frac{3}{2}, 6 - 5) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ છે.
દિકકોસાઇન શોધવા માટે,આપણે તેને માન $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ વડે ભાગીશું.
આમ,દિકકોસાઇન $\left( \frac{1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{-1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{1}{\sqrt{6}/2} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ મળે છે.

(A) બે રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તરો $(a, b, c)$ વચ્ચેના સંબંધો આપેલ છે:
$a - b + c = 0$ $(i)$
$a^2 - b^2 + 2c^2 = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$c = b - a$ મળે.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a^2 - b^2 + 2(b - a)^2 = 0$
$a^2 - b^2 + 2(b^2 - 2ab + a^2) = 0$
$a^2 - b^2 + 2b^2 - 4ab + 2a^2 = 0$
$3a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(3a - b)(a - b) = 0$
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $b = 3a \implies a:b = 1:3$. તેથી $c = b - a = 3a - a = 2a$. આમ,દિક્-ગુણોત્તરો $(1, 3, 2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $b = a \implies a:b = 1:1$. તેથી $c = b - a = a - a = 0$. આમ,દિક્-ગુણોત્તરો $(1, 1, 0)$ છે.
દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (1, 3, 2)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, 0)$ ધરાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (3)(1) + (2)(0)|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \theta = \frac{|1 + 3 + 0|}{\sqrt{1 + 9 + 4} \sqrt{1 + 1 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{14} \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{28}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(C) રેખા બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે અને તે સદિશ $\vec{b} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} = (1 + 2\lambda) \hat{i} + (2 - 3\lambda) \hat{j} + (-2 - 6\lambda) \hat{k}$ છે.
ધારો કે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. તો $\vec{AP} = \vec{r} - \vec{a} = \lambda(2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{AP}| = 21$,તેથી $|\lambda| \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = 21$.
$|\lambda| \sqrt{4 + 9 + 36} = 21 \Rightarrow |\lambda| \sqrt{49} = 21 \Rightarrow 7|\lambda| = 21 \Rightarrow |\lambda| = 3$.
આમ,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -3$.
$\lambda = 3$ માટે,$P = (1 + 6) \hat{i} + (2 - 9) \hat{j} + (-2 - 18) \hat{k} = 7 \hat{i} - 7 \hat{j} - 20 \hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$P = (1 - 6) \hat{i} + (2 + 9) \hat{j} + (-2 + 18) \hat{k} = -5 \hat{i} + 11 \hat{j} + 16 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ એ $7 \hat{i} + 11 \hat{j} + 16 \hat{k}$ છે જે સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $Q = (1, 2, 3)$ એ બિંદુ છે અને $R = (-1, 3, -2)$ એ સમતલ પરનો લંબપાદ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{QR}$ છે.
$\vec{n} = \vec{R} - \vec{Q} = (-1 - 1, 3 - 2, -2 - 3) = (-2, 1, -5)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (2, -1, 5)$ તરીકે પણ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $R(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 5)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$
$2(x - (-1)) - 1(y - 3) + 5(z - (-2)) = 0$
$2(x + 1) - (y - 3) + 5(z + 2) = 0$
$2x + 2 - y + 3 + 5z + 10 = 0$
$2x - y + 5z + 15 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = 2, B = -1, C = 5, D = 15$.
$d = \frac{|15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$d = \frac{15}{\sqrt{30}} \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{\frac{15}{2}}$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(1, -2, 3)$ છે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-1(x - 1) + 2(y - (-2)) - 3(z - 3) = 0$
$-1(x - 1) + 2(y + 2) - 3(z - 3) = 0$
$-x + 1 + 2y + 4 - 3z + 9 = 0$
$-x + 2y - 3z + 14 = 0$
$x - 2y + 3z = 14$.

(D) સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = a\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{3}{7}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (a)(1) + (2)(-2) + (-3)(1) = a - 4 - 3 = a - 7$.
$||\vec{n}_1|| = \sqrt{a^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{a^2 + 13}$.
$||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{(a-7)^2}{(a^2+13)(6)} = \frac{3}{7}$.
$7(a^2 - 14a + 49) = 18(a^2 + 13)$.
$7a^2 - 98a + 343 = 18a^2 + 234$.
$11a^2 + 98a - 109 = 0$.
$(a-1)(11a+109) = 0$.
$a$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a = 1$ મળે છે.

(C) બિંદુઓ $B(0,4,1)$ અને $C(-2,0,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{-2-0} = \frac{y-4}{0-4} = \frac{z-1}{4-1} = \lambda$ છે.
આથી $\frac{x}{-2} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ મળે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(-2\lambda, 4-4\lambda, 3\lambda+1)$ સ્વરૂપનું હોય.
સદિશ $\vec{AD} = (-2\lambda-2, 4-4\lambda, 3\lambda-2)$ થાય.
રેખા $BC$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (-2, -4, 3)$ છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(-2)(-2\lambda-2) + (-4)(4-4\lambda) + (3)(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda + 4 - 16 + 16\lambda + 9\lambda - 6 = 0$.
$29\lambda - 18 = 0$,તેથી $\lambda = \frac{18}{29}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો $D$ એ $BC$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $x_D = \frac{m(-2) + n(0)}{m+n} = -2\lambda$.
$\frac{-2m}{m+n} = -2(\frac{18}{29})$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{18}{29}$.
$29m = 18m + 18n \implies 11m = 18n$.
તેથી,$\frac{m}{n} = \frac{18}{11}$.

(D) ધારો કે સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ $\left(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $P$ એ સમતલ $x+y+z-5=0$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} - 5 = 0$
$3\left(\frac{2k+1}{k+1}\right) = 5$
$6k + 3 = 5k + 5$
$k = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $AP: PB$ એ $2:1$ છે.

(D) બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y, z) = (27, -243, 81)$ છે.
$XY$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ છે. તેથી,$B = (27, -243, -81)$.
$YZ$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(-x, y, z)$ છે. તેથી,$C = (-27, -243, 81)$.
$ZX$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, -y, z)$ છે. તેથી,$D = (27, 243, 81)$.
ત્રિકોણ $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma)$ તેના શિરોબિંદુઓના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \frac{27 - 27 + 27}{3} = \frac{27}{3} = 9$
$\beta = \frac{-243 - 243 + 243}{3} = \frac{-243}{3} = -81$
$\gamma = \frac{-81 + 81 + 81}{3} = \frac{81}{3} = 27$
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 9 - 81 + 27 = -45$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ બિંદુઓ $(2,3,0), (0,-5,2)$ અને $(-2,0,3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$1) \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$2) -\frac{5}{b} + \frac{2}{c} = 1$
$3) -\frac{2}{a} + \frac{3}{c} = 1$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{2}{3} - \frac{1}{c} = \frac{2c-3}{3c}$.
$\frac{1}{b}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-5\left(\frac{2c-3}{3c}\right) + \frac{2}{c} = 1
\Rightarrow \frac{-10c + 15 + 6}{3c} = 1
\Rightarrow -10c + 21 = 3c
\Rightarrow 13c = 21 \Rightarrow c = \frac{21}{13}$.
હવે,સમીકરણ $(3)$ પરથી:
$-\frac{2}{a} + 3\left(\frac{13}{21}\right) = 1
\Rightarrow -\frac{2}{a} + \frac{13}{7} = 1
\Rightarrow \frac{2}{a} = \frac{13}{7} - 1 = \frac{6}{7}
\Rightarrow a = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
આમ,$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $A = \left(\frac{7}{3}, 0, 0\right)$ છે.

(B) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ ની છેદરેખા એ સદિશ $\bar{v} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ ને સમાંતર હોય છે.
અહીં,$\bar{n}_1 = 2 \bar{i} + 3 \bar{j} + 4 \bar{k}$ અને $\bar{n}_2 = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-3-4) - \bar{j}(-2-4) + \bar{k}(2-3) = -7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}$.
રેખા બિંદુ $(16, -9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો સ્થાન સદિશ $\bar{a} = 16 \bar{i} - 9 \bar{j}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{r} = (16 \bar{i} - 9 \bar{j}) + \lambda(-7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}) = (16 - 7 \lambda) \bar{i} + (6 \lambda - 9) \bar{j} - \lambda \bar{k}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 1, 2)$,$B(3, 0, 2)$ અને $C(4, 5, 0)$ છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{AB} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{AC} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 16\hat{k}$ મળે છે.
તેને $2$ વડે ભાગતા,$\vec{n} = \hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ મળે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{74}$ છે.
દિકકોસાઈન $l = \frac{1}{\sqrt{74}}$,$m = \frac{3}{\sqrt{74}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{74}}$ છે.
તેથી,$|l| + |m| + |n| = \frac{1+3+8}{\sqrt{74}} = \frac{12}{\sqrt{74}}$.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ બિંદુઓ $A(3, -2, 1)$ અને $B(-1, 3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (-1-3)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $\pi_2$ ને લંબ હોવાથી,સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0)(-4) + (-1)(5) + (2)(0) = -5$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{205}} = \sqrt{\frac{5}{41}}$.

(A) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ: $\bar{r}=(2-\lambda+\mu) \hat{i}+(1-\mu) \hat{j}+(2-3 \lambda+2 \mu) \hat{k}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}-3 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$.
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\bar{a} = -\hat{i}-3 \hat{k}$ અને $\bar{b} = \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\bar{a} \times \bar{b}$ દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને $3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ તરીકે પણ લઈ શકાય.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{r}_0) \cdot \bar{n} = 0$ છે,જ્યાં $\bar{r}_0 = 2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(x-2) + 1(y-1) - 1(z-2) = 0$.
$3x - 6 + y - 1 - z + 2 = 0$.
$3x + y - z = 5$.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-1, 2, 1)$ અને $\vec{v_2} = (1, 3, 2)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(2, 1, k)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $1(x-2) + 3(y-1) - 5(z-k) = 0$ છે.
બિંદુ $(3, -1, 4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(3-2) + 3(-1-1) - 5(4-k) = 0$.
$1(1) + 3(-2) - 20 + 5k = 0$.
$1 - 6 - 20 + 5k = 0$.
$-25 + 5k = 0$.
$5k = 25 \Rightarrow k = 5$.

(A) સમતલ $P$ એ બિંદુઓ $A_1(1, 0, 0)$,$A_2(0, 1, 0)$ અને $A_3(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં આવેલા બે સદિશો $\vec{v_1} = A_2 - A_1 = (-1, 1, 0)$ અને $\vec{v_2} = A_3 - A_1 = (0, 1, 1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-1-0) = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ છે.
રેખા બિંદુ $A(3, 0, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, -1)$ ને સમાંતર છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-(-5)}{-1}$ એટલે કે $\frac{x-3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+5}{-1}$ થાય.

(C) સમતલનું સમીકરણ $6x - 3y + 2z = 6$ છે. $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે. આમ,અંતઃખંડો $a = 1, b = -2, c = 3$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે. તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે. અહીં $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
હવે,$|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $p = \frac{6}{7}$,તેથી $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ થાય.

(B) રેખા $L$ એ $A_1(2, 3, 8)$ અને $A_2(1, 6, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (4-8)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) + t(-\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = (2-t)\hat{i} + (3+3t)\hat{j} + (8-4t)\hat{k}$ છે.
સમતલ $P$ એ $\vec{a} = -5\hat{i} + 19\hat{j} - 14\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તથા $\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $(x+5)(-1) + (y-19)(-2) + (z+14)(-1) = 0$ એટલે કે $x+2y+z = 19$ થાય છે.
રેખા $L$ ના યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2-t) + 2(3+3t) + (8-4t) = 19$.
$2-t+6+6t+8-4t = 19 \implies t+16 = 19 \implies t = 3$.
$t=3$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{r} = (2-3)\hat{i} + (3+3(3))\hat{j} + (8-4(3))\hat{k} = -\hat{i} + 12\hat{j} - 4\hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B, C$ એ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,અને $P(C \cap A) = P(C)P(A)$.
આપણને $P(\bar{B} \cup \bar{C}) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{B} \cup \bar{C}) = 1 - P(B \cap C) = \frac{1}{2}$,જે સૂચવે છે કે $P(B \cap C) = \frac{1}{2}$.
$B$ અને $C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(B)P(C) = bc = \frac{1}{2}$.
આપણે $P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A)}{P(A)}$ શોધવાનું છે.
ગણના ગુણધર્મ મુજબ,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) = P(A)(1 - b - c + bc)$.
$bc = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A)(1 - b - c + \frac{1}{2}) = P(A)(\frac{3}{2} - b - c)$.
તેથી,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{3}{2} - b - c$.

(D) ધારો કે $X$ એ $n = 8$ લોકોના નમૂનામાં એન્જિનિયરિંગ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $p = \frac{1}{5}$ અને $q = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^8 = (\frac{4}{5})^8 = \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^7 = 8 \times \frac{1}{5} \times \frac{4^7}{5^7} = 2 \times \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^6 = 28 \times \frac{4^6}{5^8}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{4^8 + 2 \times 4^8 + 28 \times 4^6}{5^8} = \frac{76 \times 4^6}{5^8} = 19 \times \frac{4^7}{5^8}$.

(D) ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=2) = \frac{1}{36}, P(X=3) = \frac{2}{36}, P(X=4) = \frac{3}{36}, P(X=5) = \frac{4}{36}, P(X=6) = \frac{5}{36}, P(X=7) = \frac{6}{36}, P(X=8) = \frac{5}{36}, P(X=9) = \frac{4}{36}, P(X=10) = \frac{3}{36}, P(X=11) = \frac{2}{36}, P(X=12) = \frac{1}{36}$.
મધ્યક $E(X)$ એ $\sum X_i P(X_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7$.

(B) ધારો કે એક પ્રયત્નમાં છાપ અને $6$ મેળવવાની સંભાવના $p$ છે. છાપ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને $6$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે. આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. એક પ્રયત્નમાં ન જીતવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{11}{12}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય,પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના:
$P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ છે.
$P(B) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{23}{144}} = \frac{11}{23}$.

(B) ધારો કે $5 \ cm$ ની ધાર ધરાવતા મોટા સમઘનને કાપ્યા પછી $1 \ cm$ ની ધાર ધરાવતા $n$ નાના સમઘન મળે છે.
મોટા સમઘનનું કદ $= n \times$ નાના સમઘનનું કદ
$\Rightarrow 5^3 = n \times 1^3$
$\Rightarrow n = 125$.
જ્યારે રંગીન સમઘનને $125$ નાના સમાન સમઘનમાં કાપવામાં આવે છે:
$1$. $3$ બાજુઓ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (ખૂણા પર) $= 8$.
$2$. $2$ બાજુઓ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (ધાર પર) $= (5-2) \times 12 = 3 \times 12 = 36$.
$3$. $1$ બાજુ રંગાયેલી હોય તેવા સમઘન (સપાટી પર) $= (5-2)^2 \times 6 = 9 \times 6 = 54$.
ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી હોય તેવા કુલ સમઘન $= 8 + 36 + 54 = 98$.
આપણને આપેલ છે કે પસંદ કરેલ સમઘનની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી છે. આપણે સંભાવના શોધવાની છે કે વધુ $2$ બાજુઓ પણ રંગાયેલી હોય,જેનો અર્થ છે કે સમઘનની કુલ $3$ બાજુઓ રંગાયેલી છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સમઘનની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ રંગાયેલી છે,તેથી $n(E) = 98$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે સમઘનની $3$ બાજુઓ રંગાયેલી છે,તેથી $n(F) = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(F|E) = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{8}{98} = \frac{4}{49}$.

(B) એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{\alpha}{\beta}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{\beta - \alpha}{\beta}$ છે.
આપણે $n$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી $(n-1)$ વખત નિષ્ફળ જવાની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)$ વખત નિષ્ફળતા અથવા $n$ વખત નિષ્ફળતા.
આનો અર્થ એ છે કે વધુમાં વધુ $1$ વખત સફળતા.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = {}^{n}C_{0} p^0 q^n = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^n = \frac{(\beta - \alpha)^n}{\beta^n}$
$P(X = 1) = {}^{n}C_{1} p^1 q^{n-1} = n \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^{n-1} = \frac{n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P = \frac{(\beta - \alpha)^n + n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} [(\beta - \alpha) + n \alpha]}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} (n \alpha + \beta - \alpha)}{\beta^n}$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે $3$ પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $15$ છે. સરવાળો $15$ મેળવવા માટેના શક્ય પરિણામો $(6, 6, 3)$,$(6, 5, 4)$ અને $(5, 5, 5)$ ના ક્રમચયો છે.
$(6, 6, 3)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$(6, 5, 4)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
$(5, 5, 5)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 6 + 1 = 10$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $3$ પાસાઓમાંથી કોઈ પણ પર સંખ્યા $5$ દેખાતી નથી.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ શોધવાની છે.
$E \cap F$ એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $15$ હોય અને સંખ્યા $5$ દેખાતી ન હોય.
ઉપરના સંયોજનોમાંથી,માત્ર $(6, 6, 3)$ સેટમાં સંખ્યા $5$ નથી.
$(6, 6, 3)$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $3$ છે.
આમ,$n(E \cap F) = 3$.
તેથી,$P(E|F) = \frac{3}{10}$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $A$,થેલી $B$ અને થેલી $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
થેલી $B$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
થેલી $C$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) કિસ્સો $1$: પત્તું પાછું મૂકતા.
$p_1 = P(\text{પ્રથમ રાણી}) \times P(\text{બીજું ચોકટ}) = \frac{4}{52} \times \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{52}$.
કિસ્સો $2$: પત્તું પાછું ન મૂકતા.
ધારો કે $Q_1$ એ પ્રથમ પત્તું રાણી હોવાની ઘટના છે અને $D_2$ એ બીજું પત્તું ચોકટ હોવાની ઘટના છે.
જો પ્રથમ પત્તું ચોકટની રાણી હોય,તો $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{1}{52} \times \frac{12}{51}$.
જો પ્રથમ પત્તું ચોકટની રાણી સિવાયની રાણી હોય,તો $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{3}{52} \times \frac{13}{51}$.
$p_2 = \frac{1 \times 12 + 3 \times 13}{52 \times 51} = \frac{12 + 39}{52 \times 51} = \frac{51}{52 \times 51} = \frac{1}{52}$.
તેથી,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/52}{1/52} = 1$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A)=\frac{2}{5}$ અને $P(B)=\frac{1}{3}$.
તેથી,$P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ અને $P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
$(A) P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A} \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$\overline{A}$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
$P(\overline{A} \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) = \frac{9+5-3}{15} = \frac{11}{15}$. જે $(II)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B) P(\frac{A}{\overline{B}}) = P(A) = \frac{2}{5}$ (કારણ કે $A$ અને $\overline{B}$ સ્વતંત્ર છે).
$(C) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{6+5-2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. જે $(III)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(A)-(II)$ અને $(C)-(III)$ સાચું છે,જે વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે:
મધ્યક $= np = 4$
વિચરણ $= npq = \frac{4}{3}$
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$p$ ની કિંમત મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n \times \frac{2}{3} = 4 \Rightarrow n = 6$
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે
$X=2$ માટે:
$P(X=2) = {}^6C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^4$
$P(X=2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81}$
$P(X=2) = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(B) ધારો કે સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q$ છે. આપેલ છે કે $p = 5q$. આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $5q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $6q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{6}$ અને $p = \frac{5}{6}$.
$n = 5$ પ્રયત્નો માટે,વધુમાં વધુ એક સફળતા મળવાની સંભાવના $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = ^5C_0 \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{6^5} = \frac{1}{6^5}$.
$P(X = 1) = ^5C_1 \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right)^4 = 5 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6^4} = \frac{25}{6^5}$.
તેથી,$P(X \le 1) = \frac{1}{6^5} + \frac{25}{6^5} = \frac{26}{6^5}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $5 + 3 = 8$ છે. બે દડા યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. $2$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા સફેદ દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$P(X = 0) = \frac{{}^5C_2}{{}^8C_2} = \frac{10}{28}$.
$P(X = 1) = \frac{{}^5C_1 \times {}^3C_1}{{}^8C_2} = \frac{5 \times 3}{28} = \frac{15}{28}$.
$P(X = 2) = \frac{{}^3C_2}{{}^8C_2} = \frac{3}{28}$.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = 0 \times \frac{10}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

(D) $5$ સિક્કા ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગમાં,છાપની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના).
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E(X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સંભાવના વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X)$	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

મધ્યકની ગણતરી $\sum X P(X) = (0 \times \frac{1}{32}) + (1 \times \frac{5}{32}) + (2 \times \frac{10}{32}) + (3 \times \frac{10}{32}) + (4 \times \frac{5}{32}) + (5 \times \frac{1}{32})$ તરીકે થાય છે.
$= 0 + \frac{5}{32} + \frac{20}{32} + \frac{30}{32} + \frac{20}{32} + \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ નો ગુણક છે. શક્ય સરવાળા $4, 8, 12$ છે.
ઘટના $A$ માટેના પરિણામો છે: $(1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (6, 6)$.
ઘટના $A$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 9$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $4$ પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $p = P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવાની છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં સરવાળો $4$ નો ગુણક હોય અને સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
ગણ $A$ માંથી,ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ આવતા પરિણામો છે: $(4, 4)$.
આમ,$n(A \cap B) = 1$.
તેથી,$p = P(B|A) = \frac{1}{9}$.
અંતે,આપણે $3p + 2 = 3 \times \frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ ગણીએ છીએ.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$,તેથી $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}\right)^r = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ જ્યાં $x = \frac{1}{3}$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
આમ,$S = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = \frac{1}{3}$ માટે,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$k \times \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
હવે,$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} \right]$.
$= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} \right] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right] = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(B) આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આપેલ છે કે $P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{5}$. કારણ કે $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,તેથી $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
આમ,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}$.
હવે,$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$,તેથી $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{2}{15}$.
આપણે $P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ શોધવાની જરૂર છે.
$B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B$,તેથી $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = \frac{2}{15}$.
$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} + (1 - \frac{4}{15}) - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{11}{15} - \frac{3}{15} = \frac{13}{15}$.
તેથી,$P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{2/15}{13/15} = \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5+4-2}{15} = \frac{7}{15}$.
અંતે,$\sqrt{195[\frac{2}{13} + \frac{7}{15}]} = \sqrt{195[\frac{30+91}{195}]} = \sqrt{121} = 11$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 5k^2 + 2k^2 + 3k = 1$
$7k^2 + 6k - 1 = 0$
$7k^2 + 7k - k - 1 = 0$
$7k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(k + 1)(7k - 1) = 0$
સંભાવના માટે $k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{7}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ દ્વારા મળે છે:
$E(X) = (0 \times 0) + (2 \times k) + (4 \times 2k) + (6 \times 5k^2) + (8 \times 2k^2) + (10 \times 3k)$
$E(X) = 0 + 2k + 8k + 30k^2 + 16k^2 + 30k$
$E(X) = 46k^2 + 40k$
$k = \frac{1}{7}$ મૂકતા:
$E(X) = 46(\frac{1}{7})^2 + 40(\frac{1}{7})$
$E(X) = \frac{46}{49} + \frac{40}{7} = \frac{46 + 280}{49} = \frac{326}{49}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$,તેથી:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3$.
હવે,આપણને આપેલ છે કે $\frac{5}{3} k = P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2}$.
તેથી,$\frac{5}{3} k = \frac{9 e^{-3}}{2} \implies e^{-3} = \frac{10}{27} k$.
આપણે $P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} = \frac{e^{-3} \times 243}{120} = \frac{81}{40} e^{-3}$ શોધવાનું છે.
$e^{-3} = \frac{10}{27} k$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(X=5) = \frac{81}{40} \times \frac{10}{27} k = \frac{3}{4} k$.

(A) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = 10k + 9k + 8k + 8k + 6k + 5k + 4k + 3k + k = 54k = 1$.
તેથી,$k = \frac{1}{54}$.
ઘટના $A$ માં $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જે $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(A) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 9k + 8k + 6k + 4k = 27k$.
ઘટના $B$ માં $x_i > 5$ હોય તેવી કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,જે $\{6, 7, 8, 9\}$ છે.
$P(B) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) = 5k + 4k + 3k + k = 13k$.
છેદ $A \cap B$ માં એવી કિંમતો છે જે અવિભાજ્ય પણ છે અને $5$ કરતા મોટી પણ છે,જે $\{7\}$ છે.
$P(A \cap B) = P(7) = 4k$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 27k + 13k - 4k = 36k$.
$k = \frac{1}{54}$ મુકતા,આપણને $P(A \cup B) = 36 \times \frac{1}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ મળે છે.