TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $a=5, b=6, c=9$. પરિત્રિજ્યા $R = SB = \frac{27}{4 \sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin C = \frac{c}{2R}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin 2C = 2 \times \left( \frac{c}{2R} \right) \times \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{c}{R} \times \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\sin 2C = \frac{9}{\frac{27}{4 \sqrt{2}}} \times \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \times 5 \times 6}$.
$\sin 2C = \left( 9 \times \frac{4 \sqrt{2}}{27} \right) \times \frac{25 + 36 - 81}{60}$.
$\sin 2C = \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right) \times \left( \frac{-20}{60} \right) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9}$.

(D) પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $S$ ની ગણતરી કરો:
$S = \frac{7+10+11}{2} = 14$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{14(14-7)(14-10)(14-11)} = \sqrt{14 \times 7 \times 4 \times 3} = 14\sqrt{6}$
આપણી પાસે સૂત્રો છે $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને $r = \frac{\Delta}{S}$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{abc \times S}{4\Delta^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R}{r} = \frac{7 \times 10 \times 11 \times 14}{4 \times 1176} = \frac{55}{24}$.

(B) ગણ $A$ માટે,આપણે $x^2-8x+15 \geq 0$ ની જરૂર છે.
$(x-3)(x-5) \geq 0$,જે $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$ આપે છે.
ગણ $B$ માટે,આપણે $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{x-6}{2x-11} < 0$ ઉકેલીએ.
$\frac{(x-3)(2x-11) - (x-6)(2x-5)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{(2x^2-17x+33) - (2x^2-17x+30)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{3}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
આ સૂચવે છે કે $(2x-5)(2x-11) < 0$,તેથી $x \in \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
અંતે,$A \cap B = ((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup \left[5, \frac{11}{2}\right)$.

(C) આપેલ છે $\frac{3x+5}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$.
બંને બાજુ $(x+1)(2x^2+3)$ વડે ગુણતા,$3x+5 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$ મળે.
$x = -1$ લેતા: $3(-1)+5 = A(2(-1)^2+3) + 0 \implies 2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = 2A + B \implies B = -2A = -2(\frac{2}{5}) = -\frac{4}{5}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $5 = 3A + C \implies C = 5 - 3(\frac{2}{5}) = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$.
આમ,$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{4}{5}x^2 + 7x + \frac{19}{5}$.
$f'(x) = \frac{6}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 7$.
$f'(-2) = \frac{6}{5}(4) - \frac{8}{5}(-2) + 7 = \frac{24}{5} + \frac{16}{5} + 7 = \frac{40}{5} + 7 = 8 + 7 = 15$.
અંતે,$5C - f'(-2) = 5(\frac{19}{5}) - 15 = 19 - 15 = 4$.

(A) આપેલ છે,$\frac{42-13x}{x^2+x-6} = \frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
તેથી,$\frac{42-13x}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $42-13x = A(x-2) + B(x+3)$.
$x=2$ માટે: $42-26 = 5B \implies 16 = 5B \implies B = \frac{16}{5}$.
$x=-3$ માટે: $42+39 = -5A \implies 81 = -5A \implies A = -\frac{81}{5}$.
$\frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=1, m=3, p=1, q=-2$ મળે છે (જે $lm=3>0$ અને $pq=-2 < 0$ નું પાલન કરે છે).
તેથી,$\frac{Alp}{Bmq} = \frac{(-\frac{81}{5}) \times 1 \times 1}{(\frac{16}{5}) \times 3 \times (-2)} = \frac{-81/5}{-96/5} = \frac{81}{96} = \frac{27}{32}$.

(C) પદાવલિ $2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2(x+1)^2 + 3$. કારણ કે $(x+1)^2 \geq 0$,ન્યૂનતમ કિંમત $3$ $(IV)$ છે.
$(B)$ ધારો કે $y = \frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$. તેથી $y(x^2 + x + 1) = x^2 + 4x + 1 \implies (y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$. $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,$D \geq 0 \implies (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (y+2)(y-2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 2$. મહત્તમ કિંમત $2$ $(III)$ છે.
$(C)$ અને $(D)$ આપેલ છે $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$.
$x^2 + 1 \leq 3x^2 - 5x + 6 \implies 2x^2 - 5x + 5 \geq 0$ (હંમેશા સત્ય કારણ કે $D < 0$).
$3x^2 - 5x + 6 \leq 2x^2 + 2 \implies x^2 - 5x + 4 \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 4$.
તેથી $a = 1$ $(II)$ અને $b = 4$ $(V)$.
મેળવણી: $(A)$ $\rightarrow IV, (B)$ $\rightarrow III, (C)$ $\rightarrow V, (D)$ $\rightarrow II$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \log_2(2^x - 2) + \sqrt{1 - x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,લઘુગણક અને વર્ગમૂળ બંને પદો વાસ્તવિક હોવા જોઈએ.
$1$. વર્ગમૂળ માટે,$1 - x \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \leq 1$.
$2$. લઘુગણક માટે,તેની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $2^x - 2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $2^x > 2^1$,તેથી $x > 1$.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $x \leq 1$ અને $x > 1$ મળે છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ એવી નથી જે $x \leq 1$ અને $x > 1$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી આવા મૂલ્યોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $y(x^2+x-2) = x^2-x+2$.
$yx^2 + yx - 2y = x^2 - x + 2$.
$(y-1)x^2 + (y+1)x - (2y+2) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(-2y-2) \ge 0$.
$(y+1)^2 + 8(y-1)(y+1) \ge 0$.
$(y+1)[(y+1) + 8(y-1)] \ge 0$.
$(y+1)(y+1+8y-8) \ge 0$.
$(y+1)(9y-7) \ge 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $y = -1$ અને $y = \frac{7}{9}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $y \in (-\infty, -1] \cup \left[\frac{7}{9}, \infty\right)$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = (A - L)x^2 + (B - M)x - N$.
આપેલ છે:
$h(2) = 4(A - L) + 2(B - M) - N = 1$ ... $(i)$
$h(3) = 9(A - L) + 3(B - M) - N = 4$ ... $(ii)$
$h(4) = 16(A - L) + 4(B - M) - N = 9$ ... $(iii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$5(A - L) + (B - M) = 3$ ... $(iv)$
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$7(A - L) + (B - M) = 5$ ... $(v)$
$(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$2(A - L) = 2 \Rightarrow A - L = 1$.
$A - L = 1$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$5(1) + (B - M) = 3 \Rightarrow B - M = -2$.
$A - L = 1$ અને $B - M = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(1) + 2(-2) - N = 1$ $\Rightarrow 4 - 4 - N = 1$ $\Rightarrow N = -1$.
આમ,$h(x) = (1)x^2 + (-2)x - (-1) = x^2 - 2x + 1$.
$h(x) = 0$ લેતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow x = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(A \pm B) = \cosh A \cosh B \pm \sinh A \sinh B$ થાય છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh(x + iy) = \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)$
$\cosh(x - iy) = \cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy)$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\cosh(x + iy) - \cosh(x - iy) = (\cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)) - (\cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy))$
$= 2 \sinh x \sinh(iy)$
કારણ કે $\sinh(iy) = i \sin y$ થાય છે,તેથી:
$= 2i \sinh x \sin y$.

(D) આપેલ બે વક્રોના કુળ $y^2=4ax$ અને $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ છે.
પ્રથમ કુળ $y^2=4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે. $4a = \frac{y^2}{x}$ મૂકતા,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$.
બીજા કુળ $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = \left(\frac{y}{2x}\right) \times \left(-\frac{2x}{y}\right) = -1$ થાય છે.
જેથી વક્રો કાટખૂણે છેદે છે. આમ,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) પ્રથમ,વક્રો $y^2=4x$ અને $x^2+y^2=5$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2=4x$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા $x^2+4x-5=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x+5)(x-1)=0$ મળે છે,તેથી $x=1$ અથવા $x=-5$. $y^2=4x$ હોવાથી,$x$ અઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $x=1$.
$x=1$ માટે,$y^2=4(1)=4$,જે $y=2$ અથવા $y=-2$ આપે છે. આપણે બિંદુ $(1, 2)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
વક્ર $y^2=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$.
વક્ર $x^2+y^2=5$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,$m_2 = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
આમ,$|\tan \theta| = 3$.

(C) આપેલ વક્ર $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે. $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 9$ $(a = 3)$ અને $b^2 = 4$ $(b = 2)$.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રાચલિત યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $\theta$ આગળ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = a^2 - b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 3$,$b = 2$,અને $\theta = \frac{7\pi}{4}$ મૂકતા:
$3x \sec(\frac{7\pi}{4}) - 2y \operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = 9 - 4$
કારણ કે $\sec(\frac{7\pi}{4}) = \sqrt{2}$ અને $\operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = -\sqrt{2}$:
$3x(\sqrt{2}) - 2y(-\sqrt{2}) = 5$
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 5$
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 5 = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $y^2=3x$ છે. પ્રથમ સમીકરણમાં $y^2=3x$ મૂકતા:
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$y^2=3x$ માટે $x$ અઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $x=1$.
$x=1$ માટે,$y^2=3$,તેથી $y=\sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ ધ્યાનમાં લેતા).
હવે,બંને વક્રોનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2+y^2=4$ માટે,$2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,$m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ માટે,$2y\frac{dy}{dx}=3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$. બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,$m_2 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left|\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + (-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{2})}\right| = \left|\frac{-\frac{2+3}{2\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{5}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$.
અંતિમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = -4x + 3$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $-4x + 3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = \frac{3}{4}$.
અંતિમ કિંમત $k = f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = \frac{17}{8}$.
હવે,આપણે $x$ નો એવો ગણ શોધવો છે કે જેના માટે $kx^2 + 2x + 1 > 0$ થાય,જ્યાં $k = \frac{17}{8}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{17}{8}x^2 + 2x + 1 > 0$ મળે છે.
$8$ વડે ગુણતા,$17x^2 + 16x + 8 > 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (16)^2 - 4(17)(8) = 256 - 544 = -288$ છે.
કેમ કે $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક $(17)$ ધન છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $17x^2 + 16x + 8$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન રહેશે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, \infty)$ છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x^2+2)$ વડે ગુણતા: $x^2+3=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+3=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$.
$x$ ની ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x^2+3=(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C=0$ ($x^3$ નો સહગુણક)
$B+D=1$ ($x^2$ નો સહગુણક)
$2A+C=0$ ($x$ નો સહગુણક)
$2B+D=3$ (અચળ પદ)
$A+C=0$ અને $2A+C=0$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $A=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
$B+D=1$ અને $2B+D=3$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $B=2$ મળે છે. $B=2$ ને $B+D=1$ માં મૂકતા $D=-1$ મળે છે.
આમ,$A=0, B=2, C=0, D=-1$.
તેથી,$A+B+C+D=0+2+0+(-1)=1$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-3x+2}{(x-4)(x-3)^2} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2}$.
બંને બાજુ $(x-4)(x-3)^2$ વડે ગુણતા: $x^2-3x+2 = A(x-3)^2 + B(x-3)(x-4) + C(x-4)$.
$A$ શોધવા માટે,$x=4$ લેતા: $4^2 - 3(4) + 2 = A(4-3)^2 \Rightarrow 16 - 12 + 2 = A(1)^2 \Rightarrow A = 6$.
$C$ શોધવા માટે,$x=3$ લેતા: $3^2 - 3(3) + 2 = C(3-4) \Rightarrow 9 - 9 + 2 = C(-1) \Rightarrow 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
$B$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A + B$. $A=6$ હોવાથી,$1 = 6 + B \Rightarrow B = -5$.
અંતે,$A+B+C = 6 + (-5) + (-2) = 6 - 7 = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-2}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$.
ધારો કે $y = x^2$. પદાવલિ $\frac{y-2}{(y+1)(y+3)} = \frac{B}{y+1} + \frac{D}{y+3}$ બને છે (કારણ કે $Ax$ અને $Cx$ પદો $0$ હોવા જોઈએ).
$D$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(y+3)$ વડે ગુણીને $y = -3$ મૂકતા:
$D = \left[ \frac{y-2}{y+1} \right]_{y=-3} = \frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

(C) ધારો કે $y = \frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$.
અચળાંકો માટે ઉકેલતા: $2x+1 = a(x+1)^2 + b(x+1)(x-2) + c(x-2)$.
$x=2$ માટે: $5 = a(3)^2 \Rightarrow a = \frac{5}{9}$.
$x=-1$ માટે: $-1 = c(-3) \Rightarrow c = \frac{1}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = a + b \Rightarrow b = -a = -\frac{5}{9}$.
તેથી,$y = \frac{5/9}{x-2} - \frac{5/9}{x+1} + \frac{1/3}{(x+1)^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{5/9}{(x-2)^2} + \frac{5/9}{(x+1)^2} - \frac{2/3}{(x+1)^3}$.
આને $\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{(x+1)^3} + \frac{C}{(x+1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{5}{9}$,$B = -\frac{2}{3}$,અને $C = \frac{5}{9}$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C = -\frac{5}{9} - \frac{2}{3} + \frac{5}{9} = -\frac{2}{3}$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x^2+ax+3}{(2 x+3)(x^2+2)}=\frac{3}{2 x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
છેદ સમાન કરીને અંશની સરખામણી કરતા:
$3 x^2+ax+3 = 3(x^2+2) + (Bx+C)(2x+3)$
$3 x^2+ax+3 = 3x^2 + 6 + 2Bx^2 + 3Bx + 2Cx + 3C$
$3 x^2+ax+3 = (3+2B)x^2 + (3B+2C)x + (6+3C)$
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ 3+2B = 3 \implies 2B = 0 \implies B = 0$
$2) \ 3B+2C = a \implies 3(0)+2C = a \implies 2C = a \implies C = \frac{a}{2}$
$3) \ 6+3C = 3 \implies 3C = -3 \implies C = -1$
$C = -1$ ને $C = \frac{a}{2}$ માં મૂકતા:
$-1 = \frac{a}{2} \implies a = -2$
છેલ્લે,$a(B+C)$ ની ગણતરી કરતા:
$a(B+C) = -2(0 + (-1)) = -2(-1) = 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{2x^2-3x+5}{(x-7)^3}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{(x-7)^2}+\frac{C}{(x-7)^3}$.
બંને બાજુ $(x-7)^3$ વડે ગુણતા:
$2x^2-3x+5 = A(x-7)^2 + B(x-7) + C$
$2x^2-3x+5 = A(x^2-14x+49) + Bx - 7B + C$
$2x^2-3x+5 = Ax^2 + (B-14A)x + (49A-7B+C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 2$
$B-14A = -3$ $\Rightarrow B-14(2) = -3$ $\Rightarrow B-28 = -3$ $\Rightarrow B = 25$
$49A-7B+C = 5$ $\Rightarrow 49(2)-7(25)+C = 5$ $\Rightarrow 98-175+C = 5$ $\Rightarrow C-77 = 5$ $\Rightarrow C = 82$
હવે,$2A-3B+C$ ની કિંમત શોધતા:
$2(2)-3(25)+82 = 4-75+82 = 11$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-x+1}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$
બંને બાજુ $(x^2+1)(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા:
$x^2-x+1 = (Ax+B)(x^2+x+1) + (Cx+D)(x^2+1)$
$x^2-x+1 = (A+C)x^3 + (A+B+D)x^2 + (A+B+C)x + (B+D)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) A+B+D = 1$
$3) A+B+C = -1$
$4) B+D = 1$
$(1)$ પરથી,$C = -A$. $(3)$ માં મૂકતા: $A+B-A = -1 \Rightarrow B = -1$.
$(4)$ માં $B = -1$ મૂકતા: $-1+D = 1 \Rightarrow D = 2$.
$(2)$ માં $B = -1$ અને $D = 2$ મૂકતા: $A-1+2 = 1 \Rightarrow A = 0$.
તેથી $C = -A = 0$.
આમ,$A=0, B=-1, C=0, D=2$.
$A+2B+C+2D = 0 + 2(-1) + 0 + 2(2) = -2 + 4 = 2$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x-2}{x^2(2x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{2x-3}$.
બંને બાજુ $x^2(2x-3)$ વડે ગુણતા: $x-2 = Ax(2x-3) + B(2x-3) + Cx^2$.
$x = 0$ લેતા: $-2 = B(-3) \Rightarrow B = \frac{2}{3}$.
$x = \frac{3}{2}$ લેતા: $\frac{3}{2} - 2 = C(\frac{3}{2})^2$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} = C(\frac{9}{4})$ $\Rightarrow C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = 2A + C$ $\Rightarrow 2A = -C = \frac{2}{9}$ $\Rightarrow A = \frac{1}{9}$.
હવે,$2(A-C) = 2(\frac{1}{9} - (-\frac{2}{9})) = 2(\frac{1+2}{9}) = 2(\frac{3}{9}) = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $B = \frac{2}{3}$,તેથી $2(A-C) = B$.

(B) $I \rightarrow |x|^2 - 4|x| + 3 < 0$
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $t^2 - 4t + 3 < 0$ બને છે.
$(t - 1)(t - 3) < 0$,જેનો અર્થ છે $1 < t < 3$.
કારણ કે $t = |x|$,તેથી $1 < |x| < 3$.
આનો અર્થ છે $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$II \rightarrow x^2 - 8x + 15 > 0$
$(x - 3)(x - 5) > 0$.
બીજ $x = 3$ અને $x = 5$ છે. અસમતા $x < 3$ અથવા $x > 5$ માટે સાચી છે.
આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 3, 5)$,$B(2, 4, 6)$ અને $C(4, 5, k)$ છે.
પ્રથમ,બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ શોધો:
$AB^2 = (2-1)^2 + (4-3)^2 + (6-5)^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$
$BC^2 = (4-2)^2 + (5-4)^2 + (k-6)^2 = 4 + 1 + (k-6)^2 = k^2 - 12k + 41$
$AC^2 = (4-1)^2 + (5-3)^2 + (k-5)^2 = 9 + 4 + (k-5)^2 = k^2 - 10k + 38$
કિસ્સો $1$: $A$ આગળ કાટખૂણો $(AB^2 + AC^2 = BC^2)$
$3 + k^2 - 10k + 38 = k^2 - 12k + 41$
$41 - 10k = 41 - 12k$
$2k = 0 \Rightarrow k = 0$
કિસ્સો $2$: $B$ આગળ કાટખૂણો $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$
$3 + k^2 - 12k + 41 = k^2 - 10k + 38$
$44 - 12k = 38 - 10k$
$6 = 2k \Rightarrow k = 3$
કિસ્સો $3$: $C$ આગળ કાટખૂણો $(AC^2 + BC^2 = AB^2)$
$k^2 - 10k + 38 + k^2 - 12k + 41 = 3$
$2k^2 - 22k + 76 = 0$
$k^2 - 11k + 38 = 0$
અહીં વિવેચક $D = (-11)^2 - 4(1)(38) = 121 - 152 = -31 < 0$. તેથી $k$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $3$ છે. તેથી કુલ $2$ શક્ય કિંમતો મળે છે.

(D) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(2,-3,1), C(3,2,-1)$ અને $D(a, b, c)$ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$G = \frac{A+B+C+D}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(1+2+3+a, 2-3+2+b, 3+1-1+c)}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(6+a, 1+b, 3+c)}{4}$
$4$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(10, 6, 9) = (6+a, 1+b, 3+c)$
યામોની સરખામણી કરતા:
$6+a = 10 \Rightarrow a = 4$
$1+b = 6 \Rightarrow b = 5$
$3+c = 9 \Rightarrow c = 6$
આમ,$D = (4, 5, 6)$.
હવે,વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $GD$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P$ શોધીએ:
$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$
અહીં $m=1, n=2$,$G = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ અને $D = (4, 5, 6)$.
$x = \frac{1(4) + 2(5/2)}{1+2} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(5) + 2(3/2)}{1+2} = \frac{5+3}{3} = \frac{8}{3}$
$z = \frac{1(6) + 2(9/4)}{1+2} = \frac{6+9/2}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{7}{2}$
તેથી,જરૂરી બિંદુ $\left(3, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}\right)$ છે.

(B) દડાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$ છે.
આપણે $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા પસંદ કરવાના છે,એટલે કે એક લાલ,એક વાદળી અને એક પીળો દડો.
$1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ પીળો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{4}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} = 4 \times 5 \times 6 = 120$ છે.
$15$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{120}{455} = \frac{24}{91}$ છે.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે. બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામો $\{(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)\}$ છે. આવા $9$ પરિણામો છે.
પ્રથમ ફેંકમાં બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ છે.
પાસા પરની વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{4, 6\}$ છે (નોંધ: $1$ એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય નથી). બંને પાસા પર વિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામો $\{(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)\}$ છે. આવા $4$ પરિણામો છે.
બીજી ફેંકમાં બંને પાસા પર વિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.
બે ફેંક સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{36}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
એક પાસા પર,અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{4, 6\}$ છે. નોંધો કે $1$ એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય નથી.
આપણને એક પાસા પર અવિભાજ્ય અને બીજા પર વિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના જોઈએ છે.
શક્ય પરિણામો છે:
$(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)$ (પ્રથમ પર અવિભાજ્ય,બીજા પર વિભાજ્ય)
$(4, 2), (6, 2), (4, 3), (6, 3), (4, 5), (6, 5)$ (પ્રથમ પર વિભાજ્ય,બીજા પર અવિભાજ્ય)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 + 6 = 12$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(C) કુલ દડા = $3 + 6 = 9$. આપણે $4$ દડા કાઢીએ છીએ. કુલ રીતો = $^9C_4 = 126$.
ઓછામાં ઓછા $2$ લાલ દડા મળવાની સંભાવના = $1 - [P(0 \text{ લાલ}) + P(1 \text{ લાલ})]$.
$P(0 \text{ લાલ}) = 0$.
$P(1 \text{ લાલ}) = \frac{^6C_1 \times ^3C_3}{126} = \frac{6}{126}$.
ઓછામાં ઓછા $2$ લાલ દડાની સંભાવના = $1 - \frac{6}{126} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 9 + 4 = 13$ છે.
$13$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
ઓછામાં ઓછો એક સફેદ દડો મળે તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ સફેદ દડો ન મળે})$.
જો એક પણ સફેદ દડો ન મળે,તો ત્રણેય દડા કાળા હોવા જોઈએ.
$3$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
$P(\text{એક પણ સફેદ દડો ન મળે}) = \frac{84}{286} = \frac{42}{143}$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ દડો}) = 1 - \frac{42}{143} = \frac{101}{143}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
આપણે રાજા અને ફુલ્લીનું પત્તું મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
ફક્ત એક જ પત્તું એવું છે જે રાજા અને ફુલ્લી બંને હોય (ફુલ્લીનો રાજા).
બીજું પત્તું બાકીના $51$ પત્તામાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો: (ફુલ્લીનો રાજા,અન્ય કોઈ રાજા) અથવા (ફુલ્લીનો રાજા,અન્ય કોઈ ફુલ્લી).
અન્ય રાજાઓની સંખ્યા = $3$. અન્ય ફુલ્લીના પત્તાની સંખ્યા = $12$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $3 + 12 = 15$.
સંભાવના = $\frac{15}{1326} = \frac{5}{442}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $x^2 + y^2 \leq 25$ થાય,જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
દરેક $x$ ની કિંમત માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
જો $x = 1$,તો $1^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 24$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 2$,તો $2^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 21$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 3$,તો $3^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 16$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે ($4$ પરિણામો).
જો $x = 4$,તો $4^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 9$. શક્ય $y$ કિંમતો $\{1, 2, 3\}$ છે ($3$ પરિણામો).
જો $x = 5$,તો $5^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 0$. કોઈ શક્ય $y$ કિંમત નથી કારણ કે $y \geq 1$.
જો $x = 6$,તો $6^2 + y^2 \leq 25$. કોઈ શક્ય $y$ કિંમત નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 4 + 4 + 3 = 15$.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ પ્રથમ વ્યક્તિ દ્વારા લક્ષ્ય ભેદવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ બીજી વ્યક્તિ દ્વારા લક્ષ્ય ભેદવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
જો તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ લક્ષ્યને ભેદે તો લક્ષ્ય ભેદાયું કહેવાય.
લક્ષ્ય બિલકુલ ન ભેદાય તેની સંભાવના ગણવી સરળ છે.
પ્રથમ વ્યક્તિ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
બીજી વ્યક્તિ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,બંને લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,લક્ષ્ય ભેદાય તેની સંભાવના $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
દરેક રંગમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ છે (કુલ $16$ પત્તાં).
દરેક રંગમાં $5$ ના ગુણકો $5$ અને $10$ છે (કુલ $8$ પત્તાં).
અહીં $5$ એ અવિભાજ્ય અને $5$ નો ગુણક બંને છે.
સાધ્ય પરિણામો = $(16 \times 8) - 4 = 128 - 4 = 124$.
સંભાવના = $\frac{124}{1326} = \frac{62}{663}$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.