TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \sqrt{3}x + y - 9 = 0$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. $L$ અને $L_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 4m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
સમીકરણ $y + 3 = 0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2m = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow m = \sqrt{3}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - (-3) = \sqrt{3}(x - 5) \Rightarrow \sqrt{3}x - y - 3 - 5\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y + 4 = 0$ અને $L_2: 3x - 2y + 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ થી $L_1$ પરના લંબની લંબાઈ $d_1 = \frac{|2a + 3b + 4|}{\sqrt{13}}$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ થી $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $d_2 = \frac{|3a - 2b + 4|}{\sqrt{13}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1 = d_2$,તેથી $|2a + 3b + 4| = |3a - 2b + 4|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4$ અથવા $2a + 3b + 4 = -(3a - 2b + 4)$.
કિસ્સો $1$: $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4 \Rightarrow a - 5b = 0$.
કિસ્સો $2$: $2a + 3b + 4 = -3a + 2b - 4 \Rightarrow 5a + b + 8 = 0$.
આમ,$(a, b)$ નો બિંદુપથ $x - 5y = 0$ અથવા $5x + y + 8 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓના પરિવારો છે:
$(x+y+1) + \lambda(5y-3) = 0$ $(i)$
$(2x-3y+3) + \mu(5x+6) = 0$ $(ii)$
પ્રથમ પરિવાર માટે,સંગામી બિંદુ $x+y+1=0$ અને $5y-3=0$ નું છેદબિંદુ છે.
$5y-3=0$ પરથી,$y = \frac{3}{5}$ મળે છે.
$x+y+1=0$ માં કિંમત મૂકતા,$x = -\frac{3}{5} - 1 = -\frac{8}{5}$ મળે છે.
તેથી,પ્રથમ બિંદુ $P_1 = \left(-\frac{8}{5}, \frac{3}{5}\right)$ છે.
બીજા પરિવાર માટે,સંગામી બિંદુ $2x-3y+3=0$ અને $5x+6=0$ નું છેદબિંદુ છે.
$5x+6=0$ પરથી,$x = -\frac{6}{5}$ મળે છે.
$2x-3y+3=0$ માં કિંમત મૂકતા,$3y = 2(-\frac{6}{5}) + 3 = -\frac{12}{5} + 3 = \frac{3}{5}$,તેથી $y = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી,બીજું બિંદુ $P_2 = \left(-\frac{6}{5}, \frac{1}{5}\right)$ છે.
$P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{\left(-\frac{6}{5} - (-\frac{8}{5})\right)^2 + (\frac{1}{5} - \frac{3}{5})^2}$ છે.
$= \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{8}{25}} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) આપેલ શરત $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$ છે.
$\gamma \neq 0$ હોવાથી,આપણે $c = -\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને રેખાઓના પરિવારના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા:
$ax + by + (-\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a(x - \frac{\alpha}{\gamma}) + b(y - \frac{\beta}{\gamma}) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ સ્વૈચ્છિક $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવા માટે,$a$ અને $b$ ના સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$x - \frac{\alpha}{\gamma} = 0 \Rightarrow x = \frac{\alpha}{\gamma}$ અને $y - \frac{\beta}{\gamma} = 0 \Rightarrow y = \frac{\beta}{\gamma}$.
આમ,સંગામી બિંદુ $\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(-1, 1)$ અને $C(-1, -1)$ છે.
શરત $PA^2 = PB^2 + PC^2$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2] + [(x + 1)^2 + (y + 1)^2]$
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2x^2 + 2y^2 + 4x + 4$
આમ,$P$ ના બિંદુગણનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5)$ અને $B(3, 4)$ છે. વિકર્ણ $L$ એ $7x - y + 8 = 0$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (-0.5, 4.5)$ છે,જે $L$ પર આવેલું છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = -1/7$ છે અને $L$ નો ઢાળ $m_2 = 7$ છે.
વિકર્ણની લંબાઈ $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$M$ થી $L$ પરના બિંદુઓનું અંતર $5/\sqrt{2}$ છે.
ગણતરી કરતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 8)$ અને $(-1, 1)$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x+2y+3=0$ અને $L_2: 3x+3y+2=0$ છે.
$L_1$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y+\frac{3}{2}=0$ મળે છે.
$L_2$ ને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y+\frac{2}{3}=0$ મળે છે.
બંને રેખાઓનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,તેઓ સમાંતર છે.
રેખા $L_3: x-y+1=0$ નો ઢાળ $1$ છે.
$L_1$ (અથવા $L_2$) અને $L_3$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $(-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખા $L_3$ બંને સમાંતર રેખાઓને લંબ છે.
છેદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $AB$ એ બે સમાંતર રેખાઓ $x+y+\frac{3}{2}=0$ અને $x+y+\frac{2}{3}=0$ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a=1, b=1, c_1=\frac{3}{2}, c_2=\frac{2}{3}$.
$AB = \frac{|\frac{3}{2}-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\frac{9-4}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ છે કે,$Q$ એ બિંદુ $P(1,1)$ નું રેખા $x+y+1=0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax+by+c=0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = -2 \left( \frac{1+1+1}{1^2+1^2} \right) = -2 \left( \frac{3}{2} \right) = -3$
તેથી,$x-1 = -3 \Rightarrow x = -2$ અને $y-1 = -3 \Rightarrow y = -2$.
આમ,$Q$ ના યામ $(-2, -2)$ છે.
હવે,$Q(-2, -2)$ માંથી રેખા $3x-4y+3=0$ પરના લંબની લંબાઈ:
$d = \left| \frac{3(-2) - 4(-2) + 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{-6 + 8 + 3}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1,3), B(-3,5)$ અને $C(5,-1)$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{-1-3}{5-1} = -1$.
$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનો ઢાળ $1$ છે.
$B(-3,5)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ: $x-y = -8$ (સમીકરણ $i$).
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{-1-5}{5-(-3)} = -\frac{3}{4}$.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $\frac{4}{3}$ છે.
$A(1,3)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ: $4x-3y = -5$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા,$x=19$ અને $y=27$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(19,27)$ છે.

(D) ધારો કે ચલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a^2 + b^2 \neq 0$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરનું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબ અંતરોનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,આપણે ચિહ્નિત અંતરો લઈએ છીએ:
$d_1 = \frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,$d_2 = \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,અને $d_3 = \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આપેલ છે કે $d_1 + d_2 + d_3 = 0$,તેથી:
$\frac{2a + c + 2b + c + a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
$c = -(a + b)$ ને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવા માટે,$x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(A) બિંદુ $(5, -7)$ માંથી પસાર થતી અને $3x - 5y + 1 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $5x + 3y + k = 0$ છે.
તે $(5, -7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$5(5) + 3(-7) + k = 0$,જે $25 - 21 + k = 0$ આપે છે,તેથી $k = -4$.
રેખા $5x + 3y - 4 = 0$ છે.
$M$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$3x - 5y = -1$ ($3$ વડે ગુણતા $\implies 9x - 15y = -3$)
$5x + 3y = 4$ ($5$ વડે ગુણતા $\implies 25x + 15y = 20$)
સરવાળો કરતા,$34x = 17$,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને $5x + 3y = 4$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{5}{2} + 3y = 4$ મળે છે,તેથી $3y = \frac{3}{2}$,જે $y = \frac{1}{2}$ આપે છે.
આમ,$M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
$M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ થી રેખા $2x + 5y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{2}) - 3|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|1 + 2.5 - 3|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|0.5|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{2\sqrt{29}}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $3 x-2 y+4=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(\alpha, 2 \alpha-1)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y)$ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-2(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$ છે.
અહીં,$x_1=\alpha, y_1=2 \alpha-1, a=3, b=-2, c=4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-(2 \alpha-1)}{-2}=\frac{-2(3(\alpha)-2(2 \alpha-1)+4)}{3^2+(-2)^2}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(3 \alpha-4 \alpha+2+4)}{9+4}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(-\alpha+6)}{13} = \frac{2 \alpha-12}{13}$
હવે,$x$ અને $y$ ને $\alpha$ ના સ્વરૂપમાં શોધવા માટે ભાગોને સરખાવો:
$1) \frac{x-\alpha}{3} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13x - 13\alpha = 6\alpha - 36 \implies 13x + 36 = 19\alpha \implies \alpha = \frac{13x+36}{19}$
$2) \frac{y-2\alpha+1}{-2} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13y - 26\alpha + 13 = -4\alpha + 24 \implies 13y - 11 = 22\alpha \implies \alpha = \frac{13y-11}{22}$
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{13x+36}{19} = \frac{13y-11}{22}$
$22(13x+36) = 19(13y-11)$

(D) રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ k & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$2(2 - 6) - 1(k + 9) + 3(-2k - 6) = 0$
$-8 - k - 9 - 6k - 18 = 0$
$-7k - 35 = 0 \Rightarrow k = -5$
આમ,$L_2 \equiv -5x + 2y - 3 = 0$,અથવા $5x - 2y + 3 = 0$.
$L_2$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{5}{2}$ છે.
રેખા $2x - 5y + 7 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{5}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{5}{2})(\frac{2}{5})} \right| = \left| \frac{\frac{21}{10}}{2} \right| = \frac{21}{20}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{20}{29}$.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $P(x, y)$ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $A(-5, 0)$ અને $B(6, 0)$ છે.
પરિમિતિ એ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે: $PA + PB + AB = 20$.
અંતર $AB = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (0 - 0)^2} = 11$.
તેથી,$PA + PB = 20 - 11 = 9$.
યામ મૂકતા,$\sqrt{(x + 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $40x^2 - 81y^2 - 40x - 800 = 0$.

(B) આપેલી રેખાઓ:
$L_1: 3x + 6y + 2 = 0$
$L_2: x + y + 1 = 0$
$L_3: 2x - y + 3 = 0$
ચકાસો કે બિંદુ $P\left(\frac{-4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$L_1$ માટે: $3\left(\frac{-4}{3}\right) + 6\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$.
$L_2$ માટે: $\left(\frac{-4}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$.
$L_3$ માટે: $2\left(\frac{-4}{3}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{-8-1+9}{3} = 0$.
આમ,બિંદુ ત્રણેય રેખાઓનું સંગામી બિંદુ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: x-2y+3=0$ અને $L_2: 2x+y+1=0$ એક બિંદુમાં છેદે છે. આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x-2y = -3$
$2x+y = -1 \implies y = -1-2x$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x-2(-1-2x) = -3 \implies x+2+4x = -3 \implies 5x = -5 \implies x = -1$.
તેથી $y = -1-2(-1) = 1$. છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,$(-1, 1)$ એ $L_3: 3x+y+c=0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$3(-1)+1+c = 0 \implies -3+1+c = 0 \implies c = 2$.
હવે,$L_1$ અને $L_3$ ના ઢાળ $m_1 = 1/2$ અને $m_3 = -3$ છે.
તેમની વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_3}{1+m_1m_3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-3)}{1 + (1/2)(-3)} \right| = \left| \frac{7/2}{1 - 3/2} \right| = \left| \frac{7/2}{-1/2} \right| = |-7| = 7$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ શરત $PA^2 + 2PB^2 = 3PC^2$ છે.
$A(5, -3)$,$B(3, -2)$,અને $C(-1, 5)$ ના યામ મૂકતા:
$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 + 2[(x - 3)^2 + (y + 2)^2] = 3[(x + 1)^2 + (y - 5)^2]$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9) + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4) = 3(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25)$
$3x^2 + 3y^2 - 22x + 14y + 60 = 3x^2 + 3y^2 + 6x - 30y + 78$
$-28x + 44y - 18 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા:
$14x - 22y + 9 = 0$
વિકલ્પ $D$ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ ચકાસતા:
$14(2) - 22\left(\frac{37}{22}\right) + 9 = 28 - 37 + 9 = 0$.
આમ,બિંદુ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ એ બિંદુપથ પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $Q$ એ $(h, k)$ છે અને બિંદુ $B$ એ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $AQ = 2AB$,જેનો અર્થ છે કે $B$ એ રેખાખંડ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{h+0}{2} = \frac{h}{2}$ અને $y = \frac{k+3}{2}$ મળે.
બિંદુ $B(x, y)$ એ વર્તુળ $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ પર આવેલું છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{h}{2}+2)^2 + (\frac{k+3}{2}-3)^2 = 4$
$(\frac{h+4}{2})^2 + (\frac{k-3}{2})^2 = 4$
$\frac{(h+4)^2}{4} + \frac{(k-3)^2}{4} = 4$
$(h+4)^2 + (k-3)^2 = 16$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$Q$ નો બિંદુપથ $(x+4)^2+(y-3)^2=16$ છે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x, y)$,$B(2, 3)$,$C(5, -2)$,અને $D(1, -1)$ છે. ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} |4x - y - 22| = 10$.
તેથી,$|4x - y - 22| = 20$.
આના પરથી બે રેખાઓ મળે: $4x - y - 22 = 20 \implies 4x - y - 42 = 0$ અને $4x - y - 22 = -20 \implies 4x - y - 2 = 0$.
આમ,$A$ નો બિંદુપથ $(4x - y - 42)(4x - y - 2) = 0$ છે.

(B) ધારો કે $C(0, y_1)$ અને $D(0, y_2)$ એ $Y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ છે.
$C$ એ $D$ ની નીચે હોવાથી અને $CD=4$ હોવાથી,$y_2 - y_1 = 4$ મળે.
$A(-4, 0)$ અને $C(0, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{y_1 - 0}{0 - (-4)}(x - (-4))$ $\Rightarrow y = \frac{y_1}{4}(x + 4)$ $\Rightarrow y_1 = \frac{4y}{x+4}$.
$B(4, 0)$ અને $D(0, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BD$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{y_2 - 0}{0 - 4}(x - 4)$ $\Rightarrow y = \frac{y_2}{-4}(x - 4)$ $\Rightarrow y_2 = \frac{4y}{4-x}$.
$y_2 - y_1 = 4$ માં $y_1$ અને $y_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4y}{4-x} - \frac{4y}{x+4} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{y}{4-x} - \frac{y}{x+4} = 1$.
$\frac{y(x+4) - y(4-x)}{(4-x)(x+4)} = 1$.
$\frac{xy + 4y - 4y + xy}{16 - x^2} = 1$.
$2xy = 16 - x^2$.
$x^2 + 2xy - 16 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે.
$abh$ વડે ગુણતા,આપણને $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ મળે છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવા માટે,સમીકરણ $(px + qy)^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જે $p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 = 0$ છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ab}{2pq} = \frac{ah}{q^2} = k$ (અચળ).
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ah}{q^2}$ પરથી,આપણને $\frac{b}{p^2} = \frac{a}{q^2}$ $\Rightarrow \frac{q^2}{p^2} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{q}{p} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ મળે છે.
$\frac{ab}{2pq} = \frac{bh}{p^2}$ પરથી,આપણને $\frac{a}{2q} = \frac{h}{p} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2h}{a}$ મળે છે.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{2h}{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{b}{a} = \frac{4h^2}{a^2}$ $\Rightarrow b = \frac{4h^2}{a}$ $\Rightarrow ab = 4h^2$.
આમ,સંપાતી રેખાઓ માટેની શરત $4h^2 = ab$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડ $b h x^2 + a b x y + a h y^2 = 0$ છે.
આને લંબ રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x$ ને $y$ અને $y$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
$x \to y$ અને $y \to -x$ મૂકતા:
$b h (y)^2 + a b (y)(-x) + a h (-x)^2 = 0$
$b h y^2 - a b x y + a h x^2 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$a h x^2 - a b x y + b h y^2 = 0$.
આને $\alpha x^2 + 2 \gamma x y + \beta y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha = a h$,$\beta = b h$,અને $2 \gamma = -a b \implies \gamma = -\frac{a b}{2}$.
હવે,$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2} = \frac{(a h)(b h)}{(-\frac{a b}{2})^2} = \frac{a b h^2}{\frac{a^2 b^2}{4}} = \frac{4 a b h^2}{a^2 b^2} = \frac{4 h^2}{a b}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $3x^2-4xy+5y^2=0$ ને લંબ રેખાઓની જોડી $5x^2+4xy+3y^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવશ્યક રેખાઓની જોડી $(2,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x$ ને $(x-2)$ અને $y$ ને $(y-3)$ વડે બદલીએ છીએ:
$5(x-2)^2+4(x-2)(y-3)+3(y-3)^2=0$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$5(x^2-4x+4)+4(xy-3x-2y+6)+3(y^2-6y+9)=0$
$5x^2-20x+20+4xy-12x-8y+24+3y^2-18y+27=0$
$5x^2+4xy+3y^2-32x-26y+71=0$
આને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=5, b=3, c=71, 2h=4$ $\Rightarrow h=2, 2g=-32$ $\Rightarrow g=-16, 2f=-26$ $\Rightarrow f=-13$.
સરવાળો કરતા:
$a+b+c+f+g+h = 5+3+71-13-16+2 = 52$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $H \equiv ax^2 - xy + by^2 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, -1)$ એ $H = 0$ પર હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = -1$ મૂકીએ:
$a(1)^2 - (1)(-1) + b(-1)^2 = 0$
$a + 1 + b = 0 \Rightarrow a + b = -1$
$ax^2 - xy + by^2 = 0$ ની સરખામણી સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે કરતા,આપણને $2h = -1$ મળે છે,તેથી $h = -\frac{1}{2}$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 5$,તેથી:
$5 = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 - ab}}{-1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}}{-1} \right| = 2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 4(\frac{1}{4} - ab)$ $\Rightarrow 25 = 1 - 4ab$ $\Rightarrow 4ab = -24$ $\Rightarrow ab = -6$.
હવે,આપણે $a^2 + ab + b^2$ શોધવાનું છે.
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (-1)^2 - (-6) = 1 + 6 = 7$.

(C) આપેલ સમીકરણ $6 a^2-3 b^2-c^2+7 a b-a c+4 b c=0$ છે.
$a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b^2 - 4bc + c^2) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b - c)(b - c) = 0$.
$(3a - b + c)(2a + 3b - c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $3a - b + c = 0$ અથવા $2a + 3b - c = 0$.
કિસ્સો $1$: $3a - b + c = 0$. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3, y = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $2a + 3b - c = 0$. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2, y = -3$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $(3, -1)$ અથવા $(2, -3)$ પર સંગામી છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2-4xy-2y^2=0$ છે. $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a$,$2H=-4 \Rightarrow H=-2$,અને $B=-2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - a(-2)}}{a-2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4+2a}}{a-2} \right|$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{5}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{24}/5}{1/5} = \sqrt{24}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\sqrt{4+2a}}{|a-2|} = \sqrt{24}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4(4+2a)}{(a-2)^2} = 24 \Rightarrow \frac{4+2a}{(a-2)^2} = 6$.
$4+2a = 6(a^2-4a+4) \Rightarrow 4+2a = 6a^2-24a+24$.
$6a^2-26a+20 = 0 \Rightarrow 3a^2-13a+10 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3a-10)(a-1) = 0$.
તેથી,$a_1=1$ અને $a_2=\frac{10}{3}$.
અંતે,$a_1+3a_2 = 1 + 3(\frac{10}{3}) = 1+10 = 11$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $5x^2 + \frac{40}{3}xy + ky^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 5$,$2h = \frac{40}{3} \Rightarrow h = \frac{20}{3}$,અને $b = k$ મળે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{40}{3k}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{5}{k}$.
$m_1 = 3$ આપેલ હોવાથી,$3 + m_2 = -\frac{40}{3k}$ અને $3m_2 = \frac{5}{k} \Rightarrow m_2 = \frac{5}{3k}$ મળે.
સરવાળાના સમીકરણમાં $m_2$ ની કિંમત મૂકતા: $3 + \frac{5}{3k} = -\frac{40}{3k}$.
$3k$ વડે ગુણતા: $9k + 5 = -40$ $\Rightarrow 9k = -45$ $\Rightarrow k = -5$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a + b = 5 + (-5) = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) સમીકરણ $ax^2+6xy-2y^2=0$ લંબ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
$a + (-2) = 0 \Rightarrow a = 2$.
સમીકરણ $9x^2+2hxy+4y^2=0$ સંપાતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $h^2 - ab = 0$ સંતોષાવી જોઈએ,જ્યાં સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$A=9$,$B=4$,અને $xy$ નો સહગુણક $2h$ છે,તેથી શરત $h^2 - AB = 0$ છે.
$h^2 - (9)(4) = 0 \Rightarrow h^2 = 36$.
$h > 0$ હોવાથી,$h = 6$.
$a = 2$ આપેલ હોવાથી,$h$ ને $a$ ના સ્વરૂપમાં $h = 3a$ તરીકે લખી શકાય (કારણ કે $3 \times 2 = 6$).

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
રેખાઓ કાટખૂણે હોય તે માટેની શરત $A + B = 0$ છે.
અહીં,$A = \alpha^2 + 12|\alpha|$ અને $B = 18 - 21|\alpha|$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $\alpha^2 + 12|\alpha| + 18 - 21|\alpha| = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\alpha^2 - 9|\alpha| + 18 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $|\alpha| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. તો $t^2 - 9t + 18 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(t - 3)(t - 6) = 0$ મળે છે.
તેથી,$t = 3$ અથવા $t = 6$.
$|\alpha| = 3$ હોવાથી,$\alpha = 3$ અથવા $\alpha = -3$.
$|\alpha| = 6$ હોવાથી,$\alpha = 6$ અથવા $\alpha = -6$.
આમ,$\alpha$ ની કુલ $4$ વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે.

(D) રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 12$,$b = 7$,અને $\tan \theta = \frac{8}{19}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{8}{19} = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - 12 \times 7}}{12 + 7} \right|$.
$\frac{8}{19} = \frac{2\sqrt{h^2 - 84}}{19}$.
$8 = 2\sqrt{h^2 - 84}$.
$4 = \sqrt{h^2 - 84}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 = h^2 - 84$.
$h^2 = 100$.
$h = \pm 10$.

(D) આપેલ સમીકરણ $4x^2-5xy+3y^2=0$ છે. $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=4, 2H=-5, B=3$.
$m_1+m_2 = \frac{5}{3}$ અને $m_1m_2 = \frac{4}{3}$.
$L_3$ અને $L_4$ ના ઢાળ $-\frac{1}{m_1}$ અને $-\frac{1}{m_2}$ છે.
બિંદુ $(4,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(y-3)^2 + \frac{5}{4}(x-4)(y-3) + \frac{3}{4}(x-4)^2 = 0$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2+5xy+4y^2-44x-39y+144=0$ મળે છે.
$a=3, h=2.5, b=4, g=-22, f=-19.5, c=144$.
$af+bg+ch = 216$ (આપેલ વિકલ્પ મુજબ).

(A) આપેલ રેખા $x+2y=k$ માટે,$\frac{x+2y}{k}=1$ થાય.
વક્રના સમીકરણ $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(2x^2-2xy+3y^2)+k(2x^2+4xy-xy-2y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2(2k^2+2k-1) - xy(2k^2-3k+4) + y^2(3k^2-2k-4) = 0$.
$OA \perp OB$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2k^2+2k-1) + (3k^2-2k-4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$k^2 = 1$.
તેથી,$k = \pm 1$.

(B) અક્ષોને $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = X \frac{\sqrt{3}}{2} - Y \frac{1}{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = X \frac{1}{2} + Y \frac{\sqrt{3}}{2}$
આ કિંમતોને $4x^2+12xy+9y^2+6x+9y+2=0$ માં મૂકતા:
$4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$
$2x+3y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 3(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + Y(\frac{3\sqrt{3}-2}{2})$
રેખીય પદ $6x+9y = 6(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 9(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(3\sqrt{3} + \frac{9}{2}) + Y(\frac{9\sqrt{3}-6}{2})$
આમ,$2g = \frac{6\sqrt{3}+9}{2}$ અને $2f = \frac{9\sqrt{3}-6}{2}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g}{f} = \frac{6\sqrt{3}+9}{9\sqrt{3}-6} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-2}$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ થાય.
$x^2 - y^2 + ax + b = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=-1, C=b, H=0, G=\frac{a}{2}, F=0$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{a}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{a}{2} & 0 & b \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \times (1 \times b - \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}) = 0$.
$-1 \times (b - \frac{a^2}{4}) = 0$ $\Rightarrow b - \frac{a^2}{4} = 0$ $\Rightarrow a^2 = 4b$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(6, 9)$ માટે,$6^2 = 36$ અને $4 \times 9 = 36$ થાય છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(6, 9)$ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે અને રેખા $x+y=k$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x+y}{k}=1$.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2(x+2y)(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(x^2+y^2)-2k(x+2y)(x+y)+2(x+y)^2=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$k^2x^2+k^2y^2-2k(x^2+3xy+2y^2)+2(x^2+y^2+2xy)=0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$x^2(k^2-2k+2)+y^2(k^2-4k+2)+xy(-6k+4)=0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(k^2-2k+2)+(k^2-4k+2)=0$.
$2k^2-6k+4=0 \implies k^2-3k+2=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(k-1)(k-2)=0$,તેથી $k=1$ અથવા $k=2$.
$k$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $1+2=3$ થાય છે.

(A) પ્રથમ રેખાઓની જોડી ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$6 x^2-x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 6 x^2-9 x y+8 x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 3 x(2 x-3 y)+4 y(2 x-3 y)=0$
$\Rightarrow (3 x+4 y)(2 x-3 y)=0 \quad \dots (1)$
બીજી રેખાઓની જોડી ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$15 x^2+14 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 15 x^2+20 x y-6 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 5 x(3 x+4 y)-2 y(3 x+4 y)=0$
$\Rightarrow (5 x-2 y)(3 x+4 y)=0 \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા $3 x+4 y=0$ બંને માટે સામાન્ય છે.
અન્ય બે રેખાઓ $2 x-3 y=0$ અને $5 x-2 y=0$ છે.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ:
$(2 x-3 y)(5 x-2 y)=0$
$\Rightarrow 10 x^2-4 x y-15 x y+6 y^2=0$
$\Rightarrow 10 x^2-19 x y+6 y^2=0$

(C) સૌ પ્રથમ,સામાન્ય રેખા શોધવા માટે આપેલી રેખાઓની જોડીના અવયવો પાડો.\
$6x^2 - xy - 12y^2 = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$.\
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$.\
સામાન્ય રેખા $3x + 4y = 0$ છે.\
રેખા $L$ એ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $3x + 4y = 0$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $3x + 4y - 1 = 0$ એટલે કે $3x + 4y = 1$ છે.\
વક્ર $2x^2 - xy - y^2 + x - y = 0$ અને $3x + 4y = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,$1 = 3x + 4y$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવો:\
$2x^2 - xy - y^2 + (x - y)(3x + 4y) = 0$.\
વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - xy - y^2 + 3x^2 + 4xy - 3xy - 4y^2 = 0$.\
સમાન પદો ભેગા કરતા: $5x^2 - 5y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y+3=0$ પર હોવાથી,$-g - (-f) + 3 = 0$,એટલે કે $g = f+3$.
વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+4f+c = -5$ (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $(3,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6g+8f+c = -25$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી $1$ બાદ કરતા: $4g+4f = -20 \implies g+f = -5$ (સમીકરણ $3$).
$g = f+3$ ને સમીકરણ $3$ માં મૂકતા: $2f = -8 \implies f = -4$ અને $g = -1$.
સમીકરણ $1$ માં કિંમતો મૂકતા: $c = 13$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+16-13} = \sqrt{4} = 2$.

(D) આપેલ છે કે વ્યાસ $AC$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
$\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 25$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓના યામ $(h \pm r \cos \theta, k \pm r \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$C = (x_2, y_2)$ માટે,ધન ચિહ્નનો ઉપયોગ કરતા:
$x_2 = 3 + 25 \times \frac{4}{5} = 3 + 20 = 23$
$y_2 = 2 + 25 \times \frac{3}{5} = 2 + 15 = 17$
$A = (x_1, y_1)$ માટે,ઋણ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1 = 3 - 25 \times \frac{4}{5} = 3 - 20 = -17$
$y_1 = 2 - 25 \times \frac{3}{5} = 2 - 15 = -13$
તેથી,$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = \frac{(-17) \times 23}{(-13) \times 17} = \frac{-17 \times 23}{-13 \times 17} = \frac{23}{13}$.

(B) બે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ની રેડિકલ ધરી $S-S'=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $S' \equiv x^2+y^2-6x-4y+4=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(2g+6)x + (2f+4)y + (c-4) = 0$.
આને આપેલ રેડિકલ ધરી $x+y=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1} = \frac{c-4}{0}$.
$\frac{c-4}{0}$ પરથી,$c-4=0$,તેથી $c=4$.
$\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1}$ પરથી,$2g+6 = 2f+4$,જેનું સાદું રૂપ $2g-2f = -2$ અથવા $g-f = -1$ થાય છે.
વળી,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી $\sqrt{g^2+f^2-c} = 1$,જેનો અર્થ છે $g^2+f^2-4 = 1$ અથવા $g^2+f^2 = 5$.
$f = g+1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં મૂકતા: $g^2 + (g+1)^2 = 5$.
$g^2 + g^2 + 2g + 1 = 5 \implies 2g^2 + 2g - 4 = 0 \implies g^2 + g - 2 = 0$.
$(g+2)(g-1) = 0$,તેથી $g=1$ અથવા $g=-2$.
જો $g=1$,તો $f=2$,તેથી $g+f=3$.
જો $g=-2$,તો $f=-1$,તેથી $g+f=-3$.
આમ,$g+f = \pm 3$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-16x-20y+164-r^2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-14y+29=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (8, 10)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 7)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 6$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2} = 5$ છે.
બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા માટેની શરત $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ છે.
તેથી,$|r-6| < 5 < r+6$.
આ ઉકેલતા $1 < r < 11$ મળે છે.
તેથી $r$ ની મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $10$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 46 = 0$ છે. બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $x\alpha + y\beta - 5(x + \alpha) + 7(y + \beta) + 46 = 0$ છે.
આને $3x - 5y + 6 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 34/11$ અને $\beta = -42/11$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -8/11$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O = (x, y)$ છે. વર્તુળ $A(-1, 1)$,$B(2, -1)$ અને $C(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2 = r^2$.
$OA^2 = OB^2$ પરથી:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$6x - 4y = 3$ ... $(i)$
$OA^2 = OC^2$ પરથી:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
$4x - 2y = -1$ ... $(ii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -\frac{5}{2}$ અને $y = -\frac{9}{2}$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{5}{2} - 1)^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S$ છે. બાજુઓ $x=-5$ અને $y=4$ છે. ચોરસનું કેન્દ્ર $C(3,-4)$ છે.
કેન્દ્ર $C(3,-4)$ થી રેખા $x=-5$ નું અંતર $|3 - (-5)| = 8$ છે. બાજુની લંબાઈ $2 \times 8 = 16$ હોવાથી,અન્ય બાજુઓ $x=11$ અને $y=-12$ છે.
શિરોબિંદુઓ $P(-5, 4)$,$S(11, 4)$,$R(11, -12)$,અને $Q(-5, -12)$ છે.
$x=-5$ પર આવેલા શિરોબિંદુઓ $P(-5, 4)$ અને $Q(-5, -12)$ છે.
ચોરસના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3,-4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-4 - 4)^2} = 8\sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 128$ છે.
$P(-5, 4)$ પરનો સ્પર્શક $y-x = 9$ છે.
$Q(-5, -12)$ પરનો સ્પર્શક $x+y = -17$ છે.
$y-x=9$ અને $x+y=-17$ ઉકેલતા,છેદબિંદુ $(-13, -4)$ મળે છે.

(A) રેખા પરિઘને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\frac{1}{1+2} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ ના ચાપના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
ધારો કે $O(5, 3)$ એ કેન્દ્ર છે અને $d$ એ કેન્દ્રથી રેખા $4x + 3y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$d = \frac{|4(5) + 3(3) - 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 9 - 4|}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
કેન્દ્ર,જીવાનું મધ્યબિંદુ અને પરિઘ પરના બિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો ચાપના ખૂણાનો અડધો એટલે કે $60^{\circ}$ થાય.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(60^{\circ}) = \frac{d}{R}$,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Rightarrow R = 10$.
કેન્દ્ર $(5, 3)$ અને ત્રિજ્યા $10$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 10^2$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે. ત્રિજ્યા $r=1$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - \sqrt{2} = m(x - \sqrt{2})$ છે,જે $mx - y + \sqrt{2}(1-m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું થાય.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = \frac{|\sqrt{2}(1-m)|}{\sqrt{m^2+1}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m^2+1 = 2(1-m)^2$ મળે.
$m^2+1 = 2 - 4m + 2m^2$ એટલે કે $m^2 - 4m + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે.

(A) આપેલ વક્ર $3x^2 - 4xy + 5y^2 - 2x + y - 6 = 0$ છે.
રેખા $4x - 6y - 2 = 0$ એટલે કે $2x - 3y = 1$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે વક્રને રેખાના સમીકરણ વડે સમપરિમાણીય બનાવતા:
$3x^2 - 4xy + 5y^2 - (2x - y)(2x - 3y) - 6(2x - 3y)^2 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા:
$f(x, y) = -25x^2 + 76xy - 52y^2 = 0$.
હવે,$f(1, -1) = -25 - 76 - 52 = -153$.
અને $f(-1, -1) = -25 + 76 - 52 = -1$.
તેથી,$\frac{f(1, -1)}{f(-1, -1)} = \frac{-153}{-1} = 153$.

(C) વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $A(x_1, y_1)$ ની પાવર $S_1 = x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ છેદિકા રેખા માટે જે વર્તુળને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે,રેખાખંડોની લંબાઈનો ગુણાકાર એ બિંદુની પાવર જેટલો હોય છે,એટલે કે $AP \cdot AQ = S_1$.
આપેલ બિંદુ $A(5,7)$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-36=0$ માટે,આપણી પાસે $S_1 = 5^2+7^2-36$ છે.
$S_1 = 25+49-36 = 74-36 = 38$.
તેથી,$AP \cdot AQ = 38$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10$ છે.
સમાનતાના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2 d r_1 r_2}{|r_1^2 - r_2^2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 10, r_1 = 1, r_2 = 4$.
અંતર $= \frac{2 \times 10 \times 1 \times 4}{|1^2 - 4^2|} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}[2x-3] dx$. ધારો કે $t = 2x-3$,તો $dt = 2dx$,તેથી $dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x = -\frac{3}{2}$,ત્યારે $t = -6$. જ્યારે $x = \frac{3}{2}$,ત્યારે $t = 0$.
$I = \frac{1}{2} \int_{-6}^{0} [t] dt = \frac{1}{2} \sum_{n=-6}^{-1} \int_{n}^{n+1} n dt = \frac{1}{2} \sum_{n=-6}^{-1} n = \frac{1}{2} (-6-5-4-3-2-1) = \frac{1}{2} (-21) = -\frac{21}{2}$.
આમ,$k = -\frac{21}{2}$.
અંતે,$\left|k+\frac{1}{2}\right| = \left|-\frac{21}{2} + \frac{1}{2}\right| = \left|-\frac{20}{2}\right| = |-10| = 10$.

(B) આપણને સંકલન $I = \int_0^{2a} f(x) dx$ આપેલ છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતરાલને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$.
બીજા સંકલનમાં,ધારો કે $x = 2a - t$. તેથી $dx = -dt$.
જ્યારે $x = a$ હોય,ત્યારે $t = a$ અને જ્યારે $x = 2a$ હોય,ત્યારે $t = 0$.
આ કિંમતો બીજા સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_a^{2a} f(x) dx = \int_a^0 f(2a - t) (-dt) = \int_0^a f(2a - t) dt = \int_0^a f(2a - x) dx$.
આમ,$I = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx = \int_0^a (f(x) + f(2a - x)) dx$.
આથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(-x) dx$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a g(x) dx$ સાથે સરખાવતા,આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g(x) = f(-x)$ થાય.

(C) ધારો કે $I = \int_0^4 ||x-2|-x| dx$.
આપણે પદાવલિ $f(x) = ||x-2|-x|$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$0 \le x < 2$ માટે,$|x-2| = 2-x$,તેથી $f(x) = |(2-x)-x| = |2-2x| = 2|1-x|$.
$2 \le x \le 4$ માટે,$|x-2| = x-2$,તેથી $f(x) = |(x-2)-x| = |-2| = 2$.
આમ,$I = \int_0^2 2|1-x| dx + \int_2^4 2 dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$2|1-x| = 2(1-x)$ જ્યારે $0 \le x < 1$ અને $2(x-1)$ જ્યારે $1 \le x < 2$.
$I = 2 \int_0^1 (1-x) dx + 2 \int_1^2 (x-1) dx + [2x]_2^4$.
$I = 2 [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + 2 [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 + (8-4)$.
$I = 2(1 - \frac{1}{2}) + 2((2-2) - (\frac{1}{2}-1)) + 4$.
$I = 2(\frac{1}{2}) + 2(0 - (-\frac{1}{2})) + 4 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(A) અમને નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા સરવાળાની મર્યાદા તરીકે આપવામાં આવી છે: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n p} f\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^p f(x) d x$.
આપણે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{7k}{n}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $r = k$. આ પદાવલિને $L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(7 \cdot \frac{r}{n}\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $g(x) = f(7x) = (7x)^2 + 2 = 49x^2 + 2$.
તેથી પદાવલિ $3 \int_0^1 g(x) dx = 3 \int_0^1 (49x^2 + 2) dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $3 \left[ \frac{49x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = 3 \left( \frac{49}{3} + 2 \right) = 49 + 6 = 55$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{d}{dt}(t \log t - t) = \log t$.
ધારો કે $I = \int_0^1 2x \log(1+x^2) dx$.
$t = 1+x^2$ લેતા,$dt = 2x dx$ મળે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$ અને જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=2$.
તેથી,$I = \int_1^2 \log t dt$.
આપેલ વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log t dt = t \log t - t + C$.
તેથી,$I = [t \log t - t]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - 0 + 1 = \log 4 - 1$.
તેથી,$\exp(I) = \exp(\log 4 - 1) = e^{\log 4} \cdot e^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિકલ સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ છે: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+2 x^2\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{5}{3}}+7 \frac{d y}{d x}+y=0$.
ધારો કે $D = \frac{d^2 y}{d x^2}$. સમીકરણ $x D^{1/3} + 2x^2 D^{5/3} + 7 \frac{dy}{dx} + y = 0$ છે.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,આપણે સમીકરણને યોગ્ય ઘાત વડે ગુણીએ છીએ.
સમીકરણને $D^{1/3}$ વડે ગુણતા: $x D^{2/3} + 2x^2 D^2 + (7 \frac{dy}{dx} + y) D^{1/3} = 0$.
બાકીના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન (cube) લેતા,આપણને એક બહુપદી મળે છે જેમાં સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની મહત્તમ ઘાત $5$ મળે છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $5$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^2}$
બંને બાજુ $6$ ઘાત લેતા જેથી મૂળ દૂર થાય:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{6}{2}} = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{\frac{2 \times 6}{3}}$
$\Rightarrow \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^4$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલન જેટલી હોય છે,જે $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ પદ એ વિકલનનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય હોવાથી,સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) પગલું $1$: વિધાન $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો. આપેલ વિકલ સમીકરણ $y'' + 2xy' + \log_e\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોમાં બહુપદી હોવું જરૂરી છે. $\log_e\left(\frac{dy}{dx}\right)$ પદને કારણે આ સમીકરણ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ના સંદર્ભમાં બહુપદી નથી. તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પગલું $2$: કારણ $(R)$ નું વિશ્લેષણ કરો. કારણમાં આપેલી વ્યાખ્યા જણાવે છે કે ઘાત એ સમીકરણને વિકલ સહગુણકોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવ્યા પછી મહત્તમ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત છે. આ વિકલ સમીકરણની ઘાતની પ્રમાણિત ગાણિતિક વ્યાખ્યા છે.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: કારણ કે $(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વિકલ સમીકરણનો ક્રમ (order) નક્કી કરવો પડે. સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા એ વિકલ સમીકરણના ક્રમ જેટલી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે આપેલ સમીકરણને ફરીથી લખીએ:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{3 / 2}=5 \frac{d^3 y}{d x^3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 25 \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^4 y}{d x^4}$ છે,જેનો ક્રમ $4$ છે.
આમ,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $4$ હોવાથી,તેના વ્યાપક ઉકેલમાં $4$ સ્વૈર અચળાંકો હશે.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = a x^2 + b \log x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y' = 2ax + \frac{b}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા: $x y' = 2ax^2 + b$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $x y'' + y' = 4ax$.
આમ,વિકલ સમીકરણ $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ મળે છે.
$f(x) y'' + g(x) y' = \frac{4y}{x}$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = x^2$ અને $g(x) = x$ મળે છે.
અહીં કક્ષા $l = 2$ અને ઘાત $m = 1$ છે.
તેથી,$f(m) + g(m) = f(1) + g(1) = 1^2 + 1 = 2$.
$l = 2$ હોવાથી,$f(m) + g(m) = l$ થાય.

(A) $r$ એકમની નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, 3)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x-h)^2 + (y-3)^2 = r^2$ --- $(1)$
જ્યાં $h$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-3)\frac{dy}{dx} = 0$
$x-h = -(y-3)\frac{dy}{dx}$
$(x-h)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$[-(y-3)\frac{dy}{dx}]^2 + (y-3)^2 = r^2$
$(y-3)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-3)^2 = r^2$
બંને બાજુ $(y-3)^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 = \frac{r^2}{(y-3)^2}$

(B) આપેલ વક્રના પરિવારનું સમીકરણ: $a x^2+b y^2=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0$,જેનું સાદું રૂપ $a x+b y \frac{d y}{d x}=0$ થાય છે.
આના પરથી,$a = -\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x}$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a + b \left( y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 \right) = 0$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $-\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x} + b y \frac{d^2 y}{d x^2} + b (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$b$ વડે ભાગતા: $-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $-y \frac{d y}{d x} + x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$ છે.

(A) સામાન્ય ઉકેલ $f(x, y, c_1, c_2) = 0$ માં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે,તેથી અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $k = 2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^k + y^k = c^2$ માં $k = 2$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = c^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(c^2)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{y}{1 + y^2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \ln|x| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1}{2} \ln(1 + 0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln(1 + y^2) = 2 \ln|x| \Rightarrow 1 + y^2 = x^2$.
વક્ર $x^2 - y^2 = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
છેદબિંદુ પર,$x^2 = 1 + y^2$. $x^2 + 3y^2 = 3$ માં કિંમત મૂકતા: $(1 + y^2) + 3y^2 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી $x^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
છેદબિંદુ પર,$m_1 m_2 = (\frac{x}{y})(-\frac{x}{3y}) = -\frac{x^2}{3y^2} = -\frac{3/2}{3(1/2)} = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,વક્રો $\theta = \frac{\pi}{2}$ ખૂણે છેદે છે.
તેથી,$\frac{2\theta}{\pi} = \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+x-2y-2}{xy-2x+y-2}$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y+1)-2(y+1)}{x(y-2)+1(y-2)} = \frac{(x-2)(y+1)}{(x+1)(y-2)}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y-2}{y+1} dy = \frac{x-2}{x+1} dx$
અપૂર્ણાંકોને ફરીથી લખતા:
$\frac{y+1-3}{y+1} dy = \frac{x+1-3}{x+1} dx$
$(1 - \frac{3}{y+1}) dy = (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 - \frac{3}{y+1}) dy = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
$y - 3 \ln |y+1| = x - 3 \ln |x+1| + c$
પદોને ગોઠવતા:
$x - y + 3 \ln |y+1| - 3 \ln |x+1| = c$
$x - y + 3 \ln \left| \frac{y+1}{x+1} \right| = c$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{y^2 e^{-1/y}}{\sqrt{x}} dx = 2 \sec \sqrt{x} dy$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{\sqrt{x} \sec \sqrt{x}} = \frac{2 dy}{y^2 e^{-1/y}}$.
આનું સાદું રૂપ: $\cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
ધારો કે $u = \sqrt{x}$,તો $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
ધારો કે $v = 1/y$,તો $dv = -\frac{1}{y^2} dy \implies \frac{dy}{y^2} = -dv$.
કિંમતો મૂકતા: $\int \cos(u) (2 du) = \int 2 e^v (-dv)$.
$2 \sin(u) = -2 e^v + C$.
$\sin \sqrt{x} = -e^{1/y} + C' \implies \sin \sqrt{x} + e^{1/y} = C'$.
વક્ર બિંદુ $(\pi^2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\sin \sqrt{\pi^2} + e^{1/1} = C' \implies \sin \pi + e = C' \implies 0 + e = C'$.
આમ,$C' = e$.
વક્રનું સમીકરણ $\sin \sqrt{x} + e^{1/y} = e$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{4}{3}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-y \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોવું જોઈએ.
આ સમીકરણમાં,પદ $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ માં વિકલિતનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણને તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y^{\prime} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot y^{\prime} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{y y^{\prime}}{x} = -\frac{b^2}{a^2}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y y^{\prime}}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y y^{\prime}(1)}{x^2} = 0$
$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^2 - y y^{\prime} = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\left(1+x^2\right) y \sin x-2 x y\right) d x-\log y^{1+x^2} d y=0$ છે.
$y$ વડે ભાગતા અને $\log y^{1+x^2} = (1+x^2) \log y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left((1+x^2) \sin x - 2x\right) dx - (1+x^2) \log y \frac{dy}{y} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$\left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \frac{\log y}{y} dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \int \frac{\log y}{y} dy$.
ધારો કે $u = \log y$,તો $du = \frac{1}{y} dy$.
સંકલન કરતા:
$-\cos x - \log(1+x^2) = \frac{(\log y)^2}{2} + C_1$.
$2$ વડે ગુણતા:
$-2 \cos x - 2 \log(1+x^2) = (\log y)^2 + 2C_1$.
ગોઠવણી કરતા:
$(\log y)^2 + 2 \cos x + 2 \log(1+x^2) = C$.
કારણ કે $2 \log(1+x^2) = \log(1+x^2)^2$,તેથી ઉકેલ $(\log y)^2 + 2 \cos x + \log(1+x^2)^2 = C$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું કુળ $y^2 - 5ax - 5a^{3/2} = 0$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2yy' - 5a = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{5}yy'$
સમીકરણ $(i)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$y^2 - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)x - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2} = 0$
$y^2 - 2yy'x = 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \left(\frac{2}{5}yy'\right)^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \frac{8}{125} (yy')^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = \frac{8}{5} (yy')^3$
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $y'$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $n = 3$.
તેથી,$m - n = 1 - 3 = -2$.

(C) વિધાન $I$: $(0, \alpha)$ કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.
તેથી,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.
$(i)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.
$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.
$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $X$-અક્ષ પર છે,તેથી કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ અને ત્રિજ્યા $|\alpha|$ છે.
સમીકરણ $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ છે.
$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+5}{6x-9y+7}$ છે.
ધારો કે $v = 2x-3y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 2 - 3\frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx})$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx}) = \frac{v+5}{3v+7}$.
$2 - \frac{dv}{dx} = \frac{3v+15}{3v+7} \implies \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{3v+15}{3v+7} = \frac{6v+14-3v-15}{3v+7} = \frac{3v-1}{3v+7}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{3v+7}{3v-1} dv = \int dx$.
$\int (1 + \frac{8}{3v-1}) dv = \int dx \implies v + \frac{8}{3} \log |3v-1| = x + c$.
$v = 2x-3y$ મૂકતા: $(2x-3y) + \frac{8}{3} \log |3(2x-3y)-1| = x + c$.
$x - 3y + \frac{8}{3} \log |6x-9y-1| + c = 0$.

(B) ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ એ $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{C} = -3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{D} = a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ છે.
બનતા સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (a-1)\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -8 \\ a-1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(a-1)(-40 + 21) + 1(3 + 20) = 0$
$(a-1)(-19) + 23 = 0$
$-19a + 19 + 23 = 0$
$-19a + 42 = 0$
$a = \frac{42}{19}$

(B) ધારો કે $A, B, C, D, E, P$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{p}$ છે.
$D$ એ $BC$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + \vec{b}}{3} \Rightarrow 3\vec{d} = 2\vec{c} + \vec{b} \quad (1)$.
$E$ એ $CA$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \Rightarrow 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (2)$.
$(1)$ પરથી,$2\vec{c} = 3\vec{d} - \vec{b}$.
$(2)$ પરથી,$\vec{c} = 3\vec{e} - 2\vec{a} \Rightarrow 2\vec{c} = 6\vec{e} - 4\vec{a}$.
$2\vec{c}$ માટે બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$3\vec{d} - \vec{b} = 6\vec{e} - 4\vec{a} \Rightarrow 4\vec{a} + 3\vec{d} = 6\vec{e} + \vec{b}$.
$7$ વડે ભાગતા:
$\frac{4\vec{a} + 3\vec{d}}{7} = \frac{6\vec{e} + \vec{b}}{7}$.
આ બિંદુ $\vec{p}$ એ $AD$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં અને $BE$ ને $1:6$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$P$ એ $AD$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 1, -1)$,$B(\lambda, 5, 4)$,$C(-4, 3, 2)$,અને $D(-1, -2, 3)$ છે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = (\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = -6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = -3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{AB} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AD}$,તેથી ઘટકોને સરખાવતા:
$(\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} = x(-6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \lambda - 2 = -6x - 3y$
$2) 4 = 2x - 3y$
$3) 5 = 3x + 4y$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{31}{17}$ અને $y = -\frac{2}{17}$ મળે છે.
હવે $x$ અને $y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\lambda - 2 = -6(\frac{31}{17}) - 3(-\frac{2}{17}) = \frac{-180}{17}$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
અંતે,$17(\lambda + 9) = 17(-\frac{146}{17} + 9) = -146 + 153 = 7$.

(C) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A = (1, -1, -2)$,$B = (-2, 1, -2)$,$C = (-1, -2, 1)$,અને $D = (2, 2, a)$ છે.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + (a+2)\hat{k}$
ઘનફળ $\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{20}{3}$ હોવાથી,$|\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 40$ થાય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી:
$\det = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 7a + 47$.
$|7a + 47| = 40$ લેતા:
કિસ્સો $1$: $7a + 47 = 40 \implies 7a = -7 \implies a = -1$.
કિસ્સો $2$: $7a + 47 = -40 \implies 7a = -87 \implies a = -87/7$ (પૂર્ણાંક નથી).
તેથી,$a$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $-1$ છે.

(D) આપેલ સમતલો $4x + 3y - 5 = 0$ અને $x + 2y + 2z - 4 = 0$ ના અભિલંબ $\vec{n_1} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને શોધવા માટે,આપણે પહેલા સદિશોને એકમ સદિશમાં ફેરવીએ:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
એકમ સદિશો $\hat{n_1} = \frac{4}{5}\hat{i} + \frac{3}{5}\hat{j}$ અને $\hat{n_2} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $\hat{n_1} \pm \hat{n_2}$ સદિશની દિશામાં હોય છે.
સરવાળો લેતા: $(\frac{4}{5} + \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} + \frac{2}{3})\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{17}{15}\hat{i} + \frac{19}{15}\hat{j} + \frac{10}{15}\hat{k}$,જે $17\hat{i} + 19\hat{j} + 10\hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તફાવત લેતા: $(\frac{4}{5} - \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{2}{3})\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{7}{15}\hat{i} - \frac{1}{15}\hat{j} - \frac{10}{15}\hat{k}$,જે $7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ એ સાચો સદિશ છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1 = \alpha + \beta + 2\gamma$ $(1)$
$-2 = \alpha + 2\beta - \gamma$ $(2)$
$5 = \alpha + 3\beta + \gamma$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $3 = 2\alpha + 5\beta \implies 2\alpha + 5\beta = 3$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $7 = \beta + 2\gamma \implies \beta + 2\gamma = 7$ $(5)$
$(1)$ પરથી,$\alpha + \beta + 2\gamma = 1$. આમાં $(5)$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha + 7 = 1 \implies \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $2(-6) + 5\beta = 3 \implies -12 + 5\beta = 3 \implies 5\beta = 15 \implies \beta = 3$.
$\beta = 3$ ને $(5)$ માં મૂકતા: $3 + 2\gamma = 7 \implies 2\gamma = 4 \implies \gamma = 2$.
હવે,$\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = (-6)^2 - (3)^2 + (2)^2 = 36 - 9 + 4 = 31$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ધારો કે $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{0}$ છે. તો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{C} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{AG} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{4\hat{i} + 6\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ થાય.
હવે,માનનો વર્ગ $|\overrightarrow{AG}|^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{16 + 36 + 25}{9} = \frac{77}{9}$ ગણો.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{27}{7}(\overrightarrow{AG})^2 + 5 = \frac{27}{7} \times \frac{77}{9} + 5 = 3 \times 11 + 5 = 33 + 5 = 38$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\overrightarrow{d}_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ છે.
વિકર્ણો $\overrightarrow{d}_1$ અને $\overrightarrow{d}_2$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2|$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2$ શોધો:
$\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(1) - (-4)(2)) - \hat{j}(2(1) - (-4)(-1)) + \hat{k}(2(2) - 3(-1))$
$= \hat{i}(3 + 8) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(4 + 3)$
$= 11 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2| = \sqrt{11^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 4 + 49} = \sqrt{174}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{174}$ થાય.

(D) બે સમતલોના સમીકરણો $\bar{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{n}_1 = 11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સમતલો એકબીજાને લંબ છે.
બે લંબ સમતલો માટે,તેમના અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $(11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(11 \times 2) + (-2 \times 4) + (\alpha \times -2) = 0$.
$22 - 8 - 2\alpha = 0$.
$14 - 2\alpha = 0$.
$2\alpha = 14$.
$\alpha = 7$.

(B) $\vec{a}$ ને લંબ $\vec{b}$ નો ઘટક શોધવાનું સૂત્ર $\vec{b}_{\perp} = \vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
હવે,$\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ થશે.
છેલ્લે,લંબ ઘટક $\vec{b}_{\perp} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) - \frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(18\hat{i} - 27\hat{j} + 9\hat{k} - 10\hat{i} + 20\hat{j} - 20\hat{k}) = \frac{1}{9}(8\hat{i} - 7\hat{j} - 11\hat{k})$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2, -3)$,$B(3, -1, 4)$ અને $C(-3, 2, -5)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સમતલમાં બે સદિશો શોધીએ: $\vec{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -30\hat{i} - 24\hat{j} + 12\hat{k}$.
$-6$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $5(x-1) + 4(y+2) - 2(z+3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y - 2z - 3 = 0$ થાય છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $5(-1) + 4(9) - 2(14) - 3 = -5 + 36 - 28 - 3 = 0$. આમ,બિંદુ $-\hat{i} + 9\hat{j} + 14\hat{k}$ સમતલ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$,$\vec{B} = -4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}$,અને $\vec{C} = x \bar{a}-9 \bar{b}+z \bar{c}$ છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{BC}$ નો અદિશ ગુણક હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) - (\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}) = -5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (x\bar{a}-9\bar{b}+z\bar{c}) - (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) = (x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c}$ મેળવો.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$\vec{AB} = k \vec{BC}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$-5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c} = k((x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c})$.
$\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $7 = -14k \Rightarrow k = -1/2$.
$\bar{a}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-5 = k(x+4) \Rightarrow -5 = -1/2(x+4) \Rightarrow 10 = x+4 \Rightarrow x = 6$.
$\bar{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-9 = k(z+6) \Rightarrow -9 = -1/2(z+6) \Rightarrow 18 = z+6 \Rightarrow z = 12$.
અંતે,$2x - z = 2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$C$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} = \frac{2(\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})}{5} = \frac{8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}}{5}$ થાય.
તેથી,$5\vec{c} = 8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$.
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$ થાય.
તેથી,$2\vec{m} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
અંતે,$5\vec{c} - 2\vec{m} = (8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપેલ પદાવલિ $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{a}-\bar{c}|^2=10$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
કારણ કે $|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|=1$,તેથી:
$(1+1-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (1+1-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
$4 - 2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 10$
$-2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 6$
$\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = -3$ ... $(i)$
વિધાન $(I)$ માટે: $|\bar{a}+2 \bar{b}|^2+|2 \bar{a}+\bar{c}|^2$
$= (|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4|\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (1 + 4 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4 + 1 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot\bar{b} + \bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 10 + 4(-3) = 10 - 12 = -2$.
તેથી $-2 \neq 2$,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$ માટે: $|2 \bar{a}+3 \bar{b}|^2+|3 \bar{a}+2 \bar{c}|^2$
$= (4|\bar{a}|^2 + 9|\bar{b}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9|\bar{a}|^2 + 4|\bar{c}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (4 + 9 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9 + 4 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 26 + 12(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 26 + 12(-3) = 26 - 36 = -10$.
તેથી $-10 \neq 10$,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
તેથી,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (0\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{2} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{2}$ છે.
મધ્યગા $AD$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \left(\frac{1}{2}\hat{i}+\hat{j}+\frac{3}{2}\hat{k}\right) - (2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} - 3\hat{j} + \frac{13}{2}\hat{k}$ છે.
એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે માન $|\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-3)^2 + (\frac{13}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9 + \frac{169}{4}} = \frac{\sqrt{214}}{2}$ શોધીએ છીએ.
એકમ સદિશ $\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|} = \frac{-3\hat{i} - 6\hat{j} + 13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{3\hat{i}+6\hat{j}-13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $D$ એ $BC$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં,$E$ એ $AC$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $P$ એ $DE$ નું $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{2+3} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5} \implies 5\vec{d} = 3\vec{b} + 2\vec{c} \quad (i)$
$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{c}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \implies 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (ii)$
હવે,$P$ એ $DE$ નું $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p}$:
$\vec{p} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{3+5} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{8}$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માંથી $5\vec{d}$ અને $3\vec{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{(2\vec{a} + \vec{c}) + (3\vec{b} + 2\vec{c})}{8}$
$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{8} = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=\frac{5}{3}(\alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\beta(2 \hat{j}+\hat{k})+(\hat{i}+\gamma \hat{j}+3 \hat{k})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=(\frac{5}{3} \alpha+1) \hat{i}+(\frac{5}{3}+2 \beta+\gamma) \hat{j}+(-\frac{5}{3}+\beta+3) \hat{k}$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \frac{7}{3}+\beta = \frac{5}{3} \alpha+1 \Rightarrow 5 \alpha-3 \beta=4$.
$2) -1 = \frac{5}{3}+2 \beta+\gamma \Rightarrow 2 \beta+\gamma=-\frac{8}{3}$.
$3) \alpha+\gamma = -\frac{5}{3}+\beta+3 \Rightarrow \alpha-\beta+\gamma=\frac{4}{3}$.
$(2)$ પરથી,$\gamma = -\frac{8}{3}-2 \beta$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha-\beta+(-\frac{8}{3}-2 \beta) = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha-3 \beta = 4$.
આ સમીકરણ $(1)$ જેવું જ છે. ઉકેલતા આપણને $\alpha=0, \beta=-\frac{4}{3}, \gamma=0$ મળે છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$5 \alpha-9 \beta+13 \gamma = 5(0)-9(-\frac{4}{3})+13(0) = 3(4) = 12$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે.
$D$ એ $BC$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{d} = \frac{1\bar{b} + 3\bar{c}}{1+3} = \frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4}$ થાય.
$E$ એ $AD$ નું $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{e} = \frac{1\bar{a} + 4\bar{d}}{1+4} = \frac{\bar{a} + 4(\frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4})}{5} = \frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે $E$ એ $BF$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\bar{e} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{2+3} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$ થાય.
$\bar{e}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$.
$\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c} = 2\bar{b} + 3\bar{f}$.
$3\bar{f} = \bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
$\bar{f} = \frac{\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + p \hat{k}$ અને $|\vec{b}| = 7$.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + p^2} = \sqrt{8 + p^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ (લેગ્રાન્જની ઓળખ).
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(5 \sqrt{17})^2 + (4)^2 = (\sqrt{8 + p^2})^2 \times (7)^2$.
$(25 \times 17) + 16 = (8 + p^2) \times 49$.
$425 + 16 = 392 + 49p^2$.
$441 = 392 + 49p^2$.
$49 = 49p^2$.
$p^2 = 1$.
તેથી,$p = \pm 1$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
ધારો કે $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,જ્યાં $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી $x + y + z = 1$.
વળી,$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{3}|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}|\vec{b}| = 3$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{3}$.
આમ,$|\vec{b}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3$.
આપણે એવા પૂર્ણાંકો $(x, y, z)$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $x + y + z = 1$ અને $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ થાય.
શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો $(1, 1, -1)$ ના ક્રમચયો છે.
આ ક્રમચયો $(1, 1, -1)$,$(1, -1, 1)$,અને $(-1, 1, 1)$ છે.
આ સદિશો $\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,આવા $3$ શક્ય સદિશો છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$,અને $\vec{d} = -7\hat{i}-17\hat{j}+16\hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (-4-2)\hat{k} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (-7-1)\hat{i} + (-17-(-3))\hat{j} + (16-4)\hat{k} = -8\hat{i} - 14\hat{j} + 12\hat{k}$.
અહીં નોંધો કે $\overrightarrow{CD} = -2(4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$.
કારણ કે $\overrightarrow{CD}$ એ $\overrightarrow{AB}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક છે,તેથી સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન થાય.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v} = (\alpha + 2\lambda) \hat{i} + (\beta + \lambda) \hat{j} + (\gamma - 2\lambda) \hat{k}$ છે.
બિંદુ $P$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = -7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$ છે તે $L$ પર આવેલું છે,તેથી $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$.
આમ,$\vec{p} - \vec{a} = \lambda \vec{v}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{AP} = \lambda (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\overline{AP}| = 12$,તેથી $|\lambda| |2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = 12$.
કારણ કે $|2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,આપણને $|\lambda| \times 3 = 12$ મળે છે,તેથી $|\lambda| = 4$,એટલે કે $\lambda = \pm 4$.
કારણ કે $\vec{a} = \vec{p} - \lambda \vec{v}$,$\lambda = 4$ માટે:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) - 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7-8) \hat{i} + (-5-4) \hat{j} + (11+8) \hat{k} = -15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$.
$\lambda = -4$ માટે:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) + 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7+8) \hat{i} + (-5+4) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$ એ વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(3) = 2 - 1 - 3 = -2$ શોધો.
માનનું વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$ અને $|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 11$.
તેથી,$\vec{x} = \left(\frac{-2}{11}\right) \vec{b} \implies |\vec{x}|^2 = \frac{4}{121} \times 11 = \frac{4}{11}$.
તે જ રીતે,$\vec{y} = \left(\frac{-2}{6}\right) \vec{a} \implies |\vec{y}|^2 = \frac{4}{36} \times 6 = \frac{2}{3}$.
હવે,$|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 = \frac{4}{11} + \frac{2}{3} = \frac{34}{33}$.
$\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{66}}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = \frac{4}{66} = \frac{2}{33}$.
આમ,$x^2+y^2 = \frac{34}{33} = 17 \times \frac{2}{33} = 17 \cos^2 \theta$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$l = \vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(-2) = 1 - 6 - 2 = -7$ ગણો.
ત્યારબાદ,$m = \vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ ગણો.
આપણે અદિશ ત્રિગુણિત $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$m=0$ અને $l=-7$ મૂકતા,પદાવલિ $[-7\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ બને છે.
અદિશ ત્રિગુણિતના ગુણધર્મો મુજબ,આ $-7 [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ બરાબર થાય છે.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત $[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$ ગણો.
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 1(1) + 1(3) + 1(5) = 1 + 3 + 5 = 9$.
અંતે,કિંમત $-7 \times 9 = -63$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\vec{u} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{v} = a \hat{i}+4 \hat{j}+b \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{2}{3}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(a) + (-1)(4) + (2)(b) = 2a - 4 + 2b = 2(a+b-2)$.
માન (magnitudes) છે $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2+16}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{2(a+b-2)}{3 \sqrt{a^2+b^2+16}}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે $\sqrt{a^2+b^2+16} = a+b-2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2+b^2+16 = (a+b-2)^2 = (a+b)^2 - 4(a+b) + 4$.
$a^2+b^2+16 = a^2+b^2+2ab - 4a - 4b + 4$.
$16 = 2ab - 4a - 4b + 4$.
$12 = 2ab - 4(a+b)$.
$6 = ab - 2(a+b)$.
$ab = 2(a+b) + 6 = 2(a+b+3)$.
આમ,$2(a+b+3) = ab$.

(B) સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાયો નક્કી કરે છે,તેથી પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ થાય.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ = પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ.
તેથી,ઊંચાઈ = $\frac{\text{ઘનફળ}}{\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|}{|\bar{a} \times \bar{b}|}$.