TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ ન કરવાની રીતોની સંખ્યા એ $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવા સમાન છે,જે ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ છે. તેથી,$(A) \rightarrow (V)$.
$(B)$ આપણી પાસે $(n-r+1) \cdot { }^n C_{r-1} = (n-r+1) \cdot \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot r = r \cdot { }^n C_r$ છે. તેથી,$(B) \rightarrow (III)$.
$(C)$ $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${ }^n C_{n-r} + { }^n C_{n-r+1} + \ldots + { }^n C_n$ છે. આ $2^n - ({ }^n C_0 + { }^n C_1 + \ldots + { }^n C_{n-r-1})$ ને સમાન છે. કારણ કે ${ }^n C_k = { }^n C_{n-k}$,આ અભિવ્યક્તિ $2^n - 1 - n - { }^n C_2 - \ldots - { }^n C_r$ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(C) \rightarrow (IV)$.
$(D)$ $(n-r)({ }^{n-1} C_{r-1} + { }^{n-1} C_r) = (n-r)({ }^n C_r) = (n-r) \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{r!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot { }^n C_{r+1}$ છે. તેથી,$(D) \rightarrow (II)$.

(A) પ્રથમ,$360$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$.
ભાજક $3$ નો ગુણક હોય તે માટે,તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $3$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
ધારો કે ભાજક $2^a \times 3^b \times 5^c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $0 \le a \le 3$,$1 \le b \le 2$,અને $0 \le c \le 1$.
$a$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $4$ છે (એટલે કે $0, 1, 2, 3$).
$b$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $2$ છે (એટલે કે $1, 2$).
$c$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $2$ છે (એટલે કે $0, 1$).
કુલ ભાજકોની સંખ્યા = $4 \times 2 \times 2 = 16$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $TSEAMCET$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $T, T, E, E, S, A, M, C$.
અહીં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $\{T, E, S, A, M, C\}$.
આપણે $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$.
કિસ્સો $2$: એક સમાન અક્ષરોની જોડી અને $2$ અલગ અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{2}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 2 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 20$.
કિસ્સો $3$: બે સમાન અક્ષરોની જોડી.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{2}C_{2} = 1$.
કુલ રીતો $= 15 + 20 + 1 = 36$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c \in \mathbb{N}$ (ધન પૂર્ણાંકો) જ્યાં $a+b+c=5$. શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ એ $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2)$ છે.
દરેક ત્રિપુટી માટે $2^a 3^b 5^c$ ની કિંમતો ગણતા:
$(1, 1, 3) \implies 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 = 750$
$(1, 3, 1) \implies 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 270$
$(3, 1, 1) \implies 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 120$
$(2, 2, 1) \implies 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 180$
$(1, 2, 2) \implies 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$
$(2, 1, 2) \implies 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300$
મહત્તમ કિંમત $M = 750$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $L = 120$ છે.
તેથી $M - L = 750 - 120 = 630$.
$630$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) $15$ સંગામી રેખાઓમાંથી કોઈપણ $2$ રેખાઓ અને ત્રીજી બાજુ તરીકે રેખા $L$ પસંદ કરીને ત્રિકોણ બને છે.
$15$ રેખાઓ બિંદુ $P$ પર સંગામી હોવાથી,કોઈપણ બે રેખાઓ $P$ પર છેદશે.
જ્યારે આ $2$ રેખાઓ રેખા $L$ ને બે અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે,ત્યારે $L$ ને એક બાજુ તરીકે ધરાવતો ત્રિકોણ બને છે.
$15$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{15}C_{2}$ છે.
આમ,ત્રિકોણોની સંખ્યા ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.

(D) ધારો કે સમીકરણના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. બધા બીજ ધન હોવાથી અને તેમનો સમાંતર મધ્યક $(AM)$ અને ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ સમાન હોવાથી,બધા બીજ સમાન હોવા જોઈએ. ધારો કે $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = \alpha$.
સમીકરણ $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = (-1)^5 (-1) = 1$ થાય.
તેથી,$\alpha^5 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
સમીકરણ $(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 = 0$ છે.
આને આપેલા સમીકરણ $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5, b=10, c=10, d=5$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c+d = 5+10+10+5 = 30$.

(B) $\left(a x+\frac{b}{x^2}\right)^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} \left(\frac{b}{x^2}\right)^r = {}^{11}C_r a^{11-r} b^r x^{11-3r}$ છે.
$x^{-7}$ ના સહગુણક માટે,$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
આમ,$L = {}^{11}C_6 a^5 b^6$.
તે જ રીતે,$\left(b x^2+\frac{a}{x}\right)^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (bx^2)^{11-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = {}^{11}C_r b^{11-r} a^r x^{22-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$.
આમ,$M = {}^{11}C_5 b^6 a^5 = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ (કારણ કે ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$).
તેથી,$L+M = 2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6$.
હવે,$\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (ax^2)^{12-r} \left(\frac{b}{x}\right)^r = {}^{12}C_r a^{12-r} b^r x^{24-3r}$ છે.
$x^6$ ના સહગુણક માટે,$24-3r = 6$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
સહગુણક ${}^{12}C_6 a^6 b^6$ છે.
નોંધો કે ${}^{12}C_6 = \frac{12}{6} \times {}^{11}C_5 = 2 \times {}^{11}C_6$.
તેથી,$x^6$ નો સહગુણક $2 \times {}^{11}C_6 a^6 b^6 = a(2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6) = a(L+M)$ છે.
આમ,$L+M = \frac{1}{a} \left[\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12} \text{ માં } x^6 \text{ નો સહગુણક}\right]$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2y}{3}\right)^6$ ના વિસ્તરણ માટે,$4^{\text{th}}$ પદ $(T_4)$ એ $r=3$ ને અનુરૂપ છે.
$T_4 = {}^6C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^{6-3} \left(-\frac{2y}{3}\right)^3$.
$T_4 = 20 \times \left(\frac{x}{2}\right)^3 \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right)$.
$T_4 = 20 \times \frac{x^3}{8} \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right) = -20 \times \frac{x^3 y^3}{27}$.
આપેલ છે કે $T_4 = -20$,તેથી $-20 \times \frac{x^3 y^3}{27} = -20$.
બંને બાજુ $-20$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^3 y^3}{27} = 1$ મળે છે.
$x^3 y^3 = 27$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$xy = 3$.

(B) $(2x^2 - \frac{1}{3x^3})^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^5C_r (2x^2)^{5-r} (-\frac{1}{3x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^5C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{10-5r}$
$x^5$ ના સહગુણક માટે,ઘાતાંક $10-5r = 5$ લેતા:
$5r = 5 \implies r = 1$
$k$ શોધવા માટે $r=1$ મૂકતા:
$k = {}^5C_1 (2)^{5-1} (-\frac{1}{3})^1 = 5 \times 16 \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{80}{3}$
અંતે,$\frac{3k}{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \times (-\frac{80}{3}) = -40$

(C) $(a+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $n+1$ છે. આપેલ છે કે $n+1 = 15$,તેથી $n = 14$.
$n=14$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,એક જ મધ્યમ પદ $T_8$ મળે.
મધ્યમ પદ $T_8$ ના પાસપાસેના પદો $T_7$ અને $T_9$ છે.
ગણતરી મુજબ,$a=4$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^{11}$ છે. $x = \frac{1}{3}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $(2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{2}))^{11} = (\frac{2}{3} - \frac{3}{2})^{11} = (\frac{2}{3})^{11} (1 - \frac{9}{4})^{11}$ મળે છે.
$(1 + a)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ એ $r = \lfloor \frac{(n+1)|a|}{|a|+1} \rfloor$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અહીં $n = 11$ અને $a = -\frac{9}{4}$,તેથી $|a| = \frac{9}{4} = 2.25$.
$r = \lfloor \frac{(11+1)(2.25)}{2.25+1} \rfloor = \lfloor \frac{27}{3.25} \rfloor = 8$.
આમ,$9$ મું પદ $(T_9)$ સૌથી મોટું પદ છે.
$T_9 = { }^{11}C_8 (\frac{2}{3})^3 (-\frac{3}{2})^8 = { }^{11}C_3 (\frac{3}{2})^5$.

(B) ધારો કે $S = \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \frac{7 \times 10}{8 \times 12 \times 16} - \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા
$(1 + \frac{3}{4})^{-1/3} = 1 + (-\frac{1}{3})(\frac{3}{4}) + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})}{2!}(\frac{3}{4})^2 + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})(-\frac{7}{3})}{3!}(\frac{3}{4})^3 + \ldots$
$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \ldots$
$= \frac{3}{4} + S$
તેથી,$\sqrt[3]{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4} + S$
આમ,$S = \sqrt[3]{\frac{4}{7}} - \frac{3}{4}$

(C) ધારો કે $E = \cos ^2 76^{\circ}+\sin ^2 46^{\circ}+\sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ}$.
નિત્યસમ $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ અને $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 - \cos 92^{\circ}}{2} + \frac{1}{2} (2 \sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ})$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} - \cos 92^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin(76^{\circ} + 46^{\circ}) + \sin(76^{\circ} - 46^{\circ}))$
$E = 1 + \frac{1}{2} (-2 \sin 122^{\circ} \sin 30^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin 122^{\circ} + \sin 30^{\circ})$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$E = 1 - \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{4}$
$E = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(A) $f(x) = 3 \sin \frac{\pi x}{3} - \cos \frac{\pi x}{2} + \tan \frac{\pi x}{4}$ નું આવર્તમાન તેના ઘટકોના આવર્તમાનનો લ.સા.અ. છે. આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$,$T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$,અને $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ છે. તેથી,$\alpha = \text{LCM}(6, 4, 4) = 12$.
$\beta$ માટે,નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરો. અહીં,$\sin^2 \left( \frac{\pi}{7} + \frac{x}{4} \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{7} - \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{x}{2} \right)$. આવર્તમાન $\beta = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
$\gamma$ માટે,$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$. આવર્તમાન $\gamma = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
અંતે,$\frac{\alpha \gamma}{\beta} = \frac{12 \times \frac{\pi}{2}}{4\pi} = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$ છે.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+k) - (45^{\circ}+k))}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+k) - \cot(46^{\circ}+k))$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \ldots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ}]$
કારણ કે $\cot 45^{\circ} = 1$ અને $\cot 90^{\circ} = 0$,તેથી $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [1 - 0] = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
આપેલ છે કે $S = \frac{1}{\sin x^{\circ}}$,તેથી $x = 1$.
તેથી,$\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} \times 1\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sin 250^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 290^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin(270^{\circ}-20^{\circ})} + \frac{\sqrt{3}}{\cos(270^{\circ}+20^{\circ})}$
$= -\frac{1}{\cos 20^{\circ}} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}$
$= \frac{-\sin 20^{\circ} + \sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \left( -\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{-7}{25}$. કારણ કે $\sin A < 0$ અને $A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\cos A > 0$. તેથી,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{-7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-7/25}{24/25} = \frac{-7}{24}$.
આપેલ છે કે $\cos B = \frac{8}{17}$. કારણ કે $\cos B > 0$ અને $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\sin B < 0$. તેથી,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{-15}{17}$.
તેથી,$\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{8/17}{-15/17} = \frac{-8}{15}$.
હવે,$8 \tan A - 5 \cot B = 8(\frac{-7}{24}) - 5(\frac{-8}{15}) = \frac{-7}{3} + \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે: $x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\right)$
$\theta = \frac{\pi}{12}$ મૂકતા:
$x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\right)\right) = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$x = \log \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
તેથી $e^x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $e^{-x} = \sqrt{3}$.
$\cosh x$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$\cosh x = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $A = \frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}}{\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \sin 33^{\circ}}$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,અંશ $1 + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}$ થાય છે.
પદાવલિને ગોઠવતા: $1 - \cos 66^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} = 2 \sin^2 33^{\circ} + 2 \cos 57^{\circ} \cos 1^{\circ}$.
$\sin 33^{\circ} = \cos 57^{\circ}$ હોવાથી,અંશ $2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})$ થાય છે.
છેદ $\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \cos 57^{\circ}$ છે.
$2 \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} = \cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\frac{2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})}{\sqrt{2} \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ માં પરિણમે છે.

(A) આપેલ છે,$\cos x + \cos y = p$ અને $\sin x + \sin y = q$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = p^2 + q^2$
$(\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = p^2 + q^2$
$1 + 1 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2(1 + \cos(x - y)) = p^2 + q^2$
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(2\cos^2(\frac{x-y}{2})) = p^2 + q^2$
$4\cos^2(\frac{x-y}{2}) = p^2 + q^2$
$\cos^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{p^2 + q^2}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cos(\frac{x-y}{2}) = \pm \frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{2}$

(A) ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,અને $z_3 = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,તેથી $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
$|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = \overline{z_1 + z_2 + z_3} = 0$.
આમ,$\frac{z_2z_3 + z_1z_3 + z_1z_2}{z_1z_2z_3} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$.
હવે,$(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1) = 0$.
$z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$ હોવાથી,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$.
$z_k = \cos k + i \sin k$ મૂકતા,આપણને $(\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i \sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i \sin 2\gamma) = 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ મળે છે.

(B) અમે હાયપરબોલિક વિધેયો માટે સરવાળા અને તફાવતના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
$\sinh(x-y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y$
$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
$\cosh(x-y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\sinh(x+y) + \sinh(x-y) = 2 \sinh x \cosh y$
છેદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\cosh(x+y) - \cosh(x-y) = 2 \sinh x \sinh y$
હવે,અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sinh x \cosh y}{2 \sinh x \sinh y} = \frac{\cosh y}{\sinh y} = \coth y$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin (A+B) \sin (A-B)+\cos (A+B) \cos (A-B)=\frac{1}{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = A+B$ અને $y = A-B$:
$\cos ((A+B) - (A-B)) = \frac{1}{2}$
$\cos (A+B-A+B) = \frac{1}{2}$
$\cos (2B) = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી $2B = \frac{\pi}{3}$
આમ,$B = \frac{\pi}{6}$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે $\frac{5 \sinh 2x}{7+6 \cosh 2x} = \frac{3}{2}$.
નિત્યસમ $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ અને $\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5(2 \sinh x \cosh x)}{7+6(2 \cosh^2 x - 1)} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \sinh x \cosh x}{12 \cosh^2 x + 1} = \frac{3}{2}$
અંશ અને છેદને $\cosh^2 x$ વડે ભાગતા:
$\frac{10 \tanh x}{12 + \text{sech}^2 x} = \frac{3}{2}$
કારણ કે $\text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$:
$\frac{10 \tanh x}{12 + 1 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \tanh x}{13 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$20 \tanh x = 39 - 3 \tanh^2 x$
$3 \tanh^2 x + 20 \tanh x = 39$

(D) આપેલ છે: $a \tan \alpha + b \tan \beta = (a + b) \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$
પદોને ગોઠવતા: $a \left( \tan \alpha - \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right) = b \left( \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) - \tan \beta \right)$
નિત્યસમ $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a \sin \left( \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{\cos \alpha \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} - \beta \right)}{\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \beta}$
$\frac{a \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \alpha} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \beta}$
કારણ કે $\alpha - \beta \neq 2n\pi$,તેથી $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \neq 0$.
બંને બાજુ $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{\cos \alpha} = \frac{b}{\cos \beta}$
તેથી,$\frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{b}{a}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$1 - \sin(2\theta) = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin(2\theta) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
હવે,$\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(\frac{2}{3})^2 = 1 - 2(\frac{4}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
આગળ,$\sin(6\theta) = 3\sin(2\theta) - 4\sin^3(2\theta) = 3(\frac{2}{3}) - 4(\frac{2}{3})^3 = 2 - 4(\frac{8}{27}) = 2 - \frac{32}{27} = \frac{54 - 32}{27} = \frac{22}{27}$.
અંતે,$\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta) = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{22}{27} = \frac{18 + 3 + 22}{27} = \frac{43}{27}$.

(A) આપેલ છે: $\sin B = \frac{5}{13}$. $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos B = \frac{12}{13}$ અને $\tan B = \frac{5}{12}$.
આપેલ છે: $\sin (A-B) = \frac{16}{65}$. તેથી $\cos (A-B) = \frac{63}{65}$ અને $\tan (A-B) = \frac{16}{63}$.
સૂત્ર $\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A - \frac{5}{12}}{1 + \tan A \cdot \frac{5}{12}} = \frac{16}{63}$
ગણતરી કરતા $\tan A = \frac{507}{676}$ મળે છે.
તેથી $\tan A + \cot A = \frac{507}{676} + \frac{676}{507} = \frac{714025}{342732}$.

(A) આપેલ છે $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$
પદાવલિ $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ અને $\cos 2C = 1 - 2 \sin^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$.
$(1)$ પરથી,$A+B = \frac{3 \pi}{2} - C$,તેથી $\cos(A+B) = \cos(\frac{3 \pi}{2} - C) = -\sin C$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
કારણ કે $\sin C = \sin(\frac{3 \pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$:
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.
આમ,$4 \sin A \sin B \sin C + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$-\sin(A+B+C) = -\sin(\frac{3 \pi}{2}) = -(-1) = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે $A+B+C=\frac{\pi}{2}$. આપણે $S = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-A\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-B\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-C\right)+1$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $1 = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
તેથી,$S = \sqrt{2} [\cos(\frac{\pi}{4}-A) + \cos(\frac{\pi}{4}-B) + \cos(\frac{\pi}{4}-C) + \cos(\frac{\pi}{4})]$.
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2\sqrt{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{-3}{4}$. $\tan \theta < 0$ હોવાથી અને $\theta$ બીજા ચરણમાં નથી,તેથી $\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
ચોથા ચરણમાં,$\sin \theta = \frac{-3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - 4/5}{-3/5} = \frac{1/5}{-3/5} = \frac{-1}{3}$.
વળી,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times (\frac{-3}{5}) \times (\frac{4}{5}) = \frac{-24}{25}$.
તેથી,$\tan \frac{\theta}{2} + \sin 2 \theta = \frac{-1}{3} + (\frac{-24}{25}) = \frac{-25 - 72}{75} = \frac{-97}{75}$.

(A) આપણે નિત્યસમ $2 \cosh A \sinh B = \sinh(A+B) - \sinh(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = x+y$ અને $B = x-y$.
તેથી $A+B = 2x$ અને $A-B = 2y$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \cosh (x+y) \sinh (x-y) = \sinh 2x - \sinh 2y$.
હવે,તેમાં $\sinh 2y$ ઉમેરતા:
$(\sinh 2x - \sinh 2y) + \sinh 2y = \sinh 2x$.

(B) આપેલ છે,$\tanh x = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh^2 x = 1 - \text{sech}^2 x$,તેથી $\text{sech}^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\text{sech } x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cosh x = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$,તેથી $\sinh x = \tanh x \cdot \cosh x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$.
અને $\text{sech } 2x = \frac{1}{\cosh 2x} = \frac{1}{\cosh^2 x + \sinh^2 x} = \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{1}{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\sinh 2x - \text{sech } 2x = \frac{4}{3} - \frac{3}{5} = \frac{20 - 9}{15} = \frac{11}{15}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{e^{4x} + e^{-4x} + 14}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$,તેથી $(e^x - e^{-x})^2 = 4\sinh^2 x$.
આમ,છેદ $4(4\sinh^2 x) = 16\sinh^2 x$ થાય.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\sinh^2 x + \coth^2 x$.
$\sinh^2 x + \coth^2 x = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 + \left(\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\right)^2$
$= \frac{(e^x - e^{-x})^4 + 4(e^x + e^{-x})^2}{4(e^x - e^{-x})^2}$
$= \frac{(e^{4x} + e^{-4x} + 14)}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
આથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \cos(\sinh(\log x) + \cosh(\log x))$.
$\sinh(u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$ અને $\cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh(\log x) + \cosh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{2} + \frac{e^{\log x} + e^{-\log x}}{2} = \frac{2e^{\log x}}{2} = x$.
તેથી,$f(x) = \cos(x)$.
$\cos(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.
તેથી,$k = -1$.
હવે,$\cosh(k+1) = \cosh(-1+1) = \cosh(0)$.
કારણ કે $\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $|\sin \alpha - \cos \alpha| = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\frac{3}{4})^2$.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{16}$.
$1 - \sin 2\alpha = \frac{9}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
$\sin 2\alpha = \frac{7}{16}$ હોવાથી,સામેની બાજુ $P = 7$ અને કર્ણ $H = 16$ છે.
પાસેની બાજુ $B = \sqrt{H^2 - P^2} = \sqrt{16^2 - 7^2} = \sqrt{256 - 49} = \sqrt{207} = 3\sqrt{23}$.
તેથી,$\cos 2\alpha = \frac{B}{H} = \frac{3\sqrt{23}}{16}$.
હવે,$|\sec 2\alpha - \tan 2\alpha| = |\frac{1}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}| = |\frac{1 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}|$.
કિંમતો મૂકતા,$|\frac{1 - 7/16}{3\sqrt{23}/16}| = |\frac{9/16}{3\sqrt{23}/16}| = \frac{9}{3\sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\sinh x = \tan A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \tan A$,તેથી $e^x - e^{-x} = 2 \tan A$.
ધારો કે $e^x = t$. તો $t - \frac{1}{t} = 2 \tan A$,જેનો અર્થ થાય છે $t^2 - 2 \tan A \cdot t - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{2 \tan A \pm \sqrt{4 \tan^2 A + 4}}{2} = \tan A \pm \sec A$.
કારણ કે $e^x > 0$,આપણે $e^x = \tan A + \sec A$ લઈએ છીએ.
તેથી $e^{-x} = \frac{1}{\sec A + \tan A} = \sec A - \tan A$.
હવે,$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)}{(\tan A + \sec A) + (\sec A - \tan A)} = \frac{2 \tan A}{2 \sec A} = \frac{\tan A}{\sec A} = \sin A$.
આમ,$|\tanh x| = |\sin A|$.

(D) વિધાન $(A)$: $\coth x = \frac{1-k}{1+k}$
$\Rightarrow \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{1-k}{1+k}$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) લેતા:
$\frac{(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})} = \frac{(1-k) + (1+k)}{(1-k) - (1+k)}$
$\Rightarrow \frac{2e^x}{2e^{-x}} = \frac{2}{-2k}$
$\Rightarrow e^{2x} = -\frac{1}{k}$
$e^{2x} > 0$ હોવાથી અને $0 < k < 2$ માટે $-\frac{1}{k} < 0$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણ $(R)$: વિધેય $y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ છે. જેમ $x \to \infty$,$y \to 1$ અને જેમ $x \to -\infty$,$y \to -1$. આલેખ $y = -1$ અને $y = 1$ ની વચ્ચે રહે છે. તેથી,કારણ સાચું છે.

(B) રેખાઓ $L_1: x=2$,$L_2: y=3$,અને $L_3: 4x+3y+7=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
$A = L_2 \cap L_3: y=3$ $\Rightarrow 4x+9+7=0$ $\Rightarrow 4x=-16$ $\Rightarrow x=-4$. તેથી $A=(-4, 3)$.
$B = L_1 \cap L_2: x=2, y=3$. તેથી $B=(2, 3)$.
$C = L_1 \cap L_3: x=2$ $\Rightarrow 8+3y+7=0$ $\Rightarrow 3y=-15$ $\Rightarrow y=-5$. તેથી $C=(2, -5)$.
બાજુઓની લંબાઈ $c = AB = 6$,$a = BC = 8$,અને $b = AC = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) = \left(\frac{8(-4)+10(2)+6(2)}{24}, \frac{8(3)+10(3)+6(-5)}{24}\right) = (0, 1)$.
ત્રિકોણ $ABC$ એ $B(2, 3)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિકેન્દ્ર $S$ એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$S = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{3-5}{2}\right) = (-1, -1)$.
અંતર $IS = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

(C) યામ અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને $49x^2 + 25y^2 = 1225$ માં મૂકતા:
$49 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 25 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1225$
$\frac{49}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{25}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 1225$
$2$ વડે ગુણતા:
$49(X^2 + Y^2 - 2XY) + 25(X^2 + Y^2 + 2XY) = 2450$
$74X^2 - 48XY + 74Y^2 = 2450$
$2$ વડે ભાગતા:
$37X^2 - 24XY + 37Y^2 = 1225$
$px^2 + qxy + ry^2 = t$ સાથે સરખાવતા,$p=37, q=-24, r=37, t=1225$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $(p+q+r-15)^2 = (37 - 24 + 37 - 15)^2 = (35)^2 = 1225 = t$.

(A) ધારો કે રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $x+3y+3=0$ નું છેદબિંદુ $A$ છે. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x+6=0 \implies x=-3$. $x=-3$ ને $x-3y+3=0$ માં મૂકતા,$y=0$ મળે છે. તેથી,$A = (-3, 0)$.
ધારો કે રેખાઓ $x+3y+3=0$ અને $x+y-1=0$ નું છેદબિંદુ $B$ છે. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x+3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies 2y+4=0 \implies y=-2$. $y=-2$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા,$x-2-1=0 \implies x=3$ મળે છે. તેથી,$B = (3, -2)$.
ધારો કે રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $x+y-1=0$ નું છેદબિંદુ $C$ છે. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x-3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies -4y+4=0 \implies y=1$. $y=1$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા,$x+1-1=0 \implies x=0$ મળે છે. તેથી,$C = (0, 1)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ થાય.
$G = \left(\frac{-3+3+0}{3}, \frac{0-2+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}\right)$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ ના યામ $\left(\frac{3m - 2n}{m + n}, \frac{-2m + 3n}{m + n}\right)$ છે.
બિંદુ $P$ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$2\left(\frac{3m - 2n}{m + n}\right) - 3\left(\frac{-2m + 3n}{m + n}\right) + 4 = 0$.
$(m + n)$ વડે ગુણતા,$6m - 4n + 6m - 9n + 4m + 4n = 0$,જેનું સાદું રૂપ $16m - 9n = 0$ એટલે કે $\frac{m}{n} = \frac{9}{16}$ મળે છે.
આપણે $AB$ નું $k = \frac{-4m}{3n} = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{16} = -\frac{3}{4}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ શોધવાનું છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = -17$ અને $y = 18$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(-17, 18)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2+4y+8x-2=0$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
તેથી,$x = X + \alpha$ અને $y = Y + \beta$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(Y + \beta)^2 + 4(Y + \beta) + 8(X + \alpha) - 2 = 0$
$Y^2 + 2Y\beta + \beta^2 + 4Y + 4\beta + 8X + 8\alpha - 2 = 0$
$Y^2 + Y(2\beta + 4) + 8X + (\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2) = 0$.
રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $Y$ પદ અને અચળ પદ ન હોય તે માટે,તેમના સહગુણકો શૂન્ય લેતા:
$2\beta + 4 = 0 \Rightarrow \beta = -2$.
$\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2 = 0$.
$\beta = -2$ મૂકતા:
$(-2)^2 + 4(-2) + 8\alpha - 2 = 0$
$4 - 8 + 8\alpha - 2 = 0$
$8\alpha - 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{4}$.
આમ,ઉગમબિંદુ $\left(\frac{3}{4}, -2\right)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P$ એ $A(-1, 3)$,$B(3, 5)$ અને $C(5, 7)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB = PC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$PC^2 = (x-5)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$8x + 4y = 24 \implies 2x + y = 6$ $(i)$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$4x + 4y = 40 \implies x + y = 10$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 6 - 10 \implies x = -4$
$x = -4$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-4 + y = 10 \implies y = 14$
આમ,$P$ એ $(-4, 14)$ છે.
$PA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (14 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, a)$,$B(2a, 0)$ અને $C(x_1, y_1)$ છે.
એક બાજુ આડી રેખા છે અને તે $X$-અક્ષ નથી,તેથી બાજુ $AC$ આડી હોવી જોઈએ.
તેથી,$C$ નો $y$-યામ $A$ ના $y$-યામ જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $y_1 = a$.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $AC = BC$ લેતા,
$AC^2 = BC^2 \Rightarrow x_1^2 = (x_1 - 2a)^2 + a^2$.
$x_1^2 = x_1^2 - 4ax_1 + 4a^2 + a^2$.
$4ax_1 = 5a^2 \Rightarrow x_1 = \frac{5a}{4}$.
આમ,$x_1 + y_1 = \frac{5a}{4} + a = \frac{9a}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2+4xy+y^2-8x-4y-4=0$ છે.
રેખીય પદોને દૂર કરવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડીએ છીએ.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(X+h)^2 + 4(X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 - 8(X+h) - 4(Y+k) - 4 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા:
$3X^2 + 4XY + Y^2 + X(6h+4k-8) + Y(4h+2k-4) + (3h^2+4hk+k^2-8h-4k-4) = 0$.
રેખીય પદો શૂન્ય કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$6h+4k-8 = 0 \Rightarrow 3h+2k=4$
$4h+2k-4 = 0 \Rightarrow 2h+k=2$
આ ઉકેલતા,આપણને $h=0$ અને $k=2$ મળે છે.
અચળ પદમાં $h=0, k=2$ મૂકતા:
$c = 3(0)^2 + 4(0)(2) + (2)^2 - 8(0) - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $f(X, Y) = 3X^2 + 4XY + Y^2 - 8 = 0$ છે.
તેથી,$f(1,1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + (1)^2 - 8 = 3 + 4 + 1 - 8 = 0$.

(D) ધારો કે ગુણોત્તર $m:n = k:1$ છે. બિંદુ $(a, b)$ એ $(2, -1)$ અને $(1, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{k(1) + 1(2)}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}$ અને $b = \frac{k(-4) + 1(-1)}{k+1} = \frac{-4k-1}{k+1}$.
બિંદુ $(a, b)$ એ રેખા $2x - y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$2(\frac{k+2}{k+1}) - (\frac{-4k-1}{k+1}) - 4 = 0$.
$(k+1)$ વડે ગુણતા,$2k + 4 + 4k + 1 - 4(k+1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6k + 5 - 4k - 4 = 0$ એટલે કે $2k + 1 = 0$ થાય,તેથી $k = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
$k = -\frac{1}{2}$ ને યામમાં મૂકતા: $a = \frac{-0.5+2}{-0.5+1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$ અને $b = \frac{-4(-0.5)-1}{-0.5+1} = \frac{2-1}{0.5} = 2$.
છેલ્લે,$4(a - b(\frac{m}{n})^2) = 4(3 - 2(-\frac{1}{2})^2) = 4(3 - 2(\frac{1}{4})) = 4(3 - 0.5) = 4(2.5) = 10$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 6x - 4y + 15 = 0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 6x + 9) - 9 - 4y + 15 = 0$.
$(x + 3)^2 - 4y + 6 = 0$.
$(x + 3)^2 = 4y - 6$.
$(x + 3)^2 = 4(y - \frac{3}{2})$.
આને રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x - \alpha)^2 = 8a(y - \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x - \alpha = x + 3 \Rightarrow \alpha = -3$.
$y - \beta = y - \frac{3}{2} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$.
$8a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
હવે,$2\alpha + 8\beta^2$ ની ગણતરી કરતા:
$2(-3) + 8(\frac{3}{2})^2 = -6 + 8(\frac{9}{4}) = -6 + 18 = 12$.

(B) $a=5$ અને $b=7$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1$ છે,જે $7x + 5y = 35$ થાય છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ માટે $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ થાય.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $7(x' \cos \theta - y' \sin \theta) + 5(x' \sin \theta + y' \cos \theta) = 35$.
પદોને ગોઠવતા: $x'(7 \cos \theta + 5 \sin \theta) + y'(5 \cos \theta - 7 \sin \theta) = 35$.
નવી અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a' = \frac{35}{7 \cos \theta + 5 \sin \theta}$ અને $b' = \frac{35}{5 \cos \theta - 7 \sin \theta}$ છે.
અંતઃખંડો સમાન હોવાથી,$a' = b'$,તેથી $7 \cos \theta + 5 \sin \theta = 5 \cos \theta - 7 \sin \theta$.
$12 \sin \theta = -2 \cos \theta$.
$\tan \theta = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
તેથી,$|\tan \theta| = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ અને $L_2: \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a}$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{a}{b}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b}{a} - (-\frac{a}{b})}{1 + (-\frac{b}{a})(-\frac{a}{b})} \right| = \left| \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{a^2 - b^2}{2ab} \right|$.
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{|a^2 - b^2|}{|2ab|}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = |a^2 + b^2|$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \left| \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right|$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 9y + 7 = 0$ છે.
અહીં $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે.
રેખા $L$ એ $L_1$ અને $L_2$ ને લંબ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $3x + 2y + C = 0$ સ્વરૂપનું હશે.
$P(1, 1)$ બિંદુ $L$ પર હોવાથી,$3(1) + 2(1) + C = 0 \implies C = -5$. તેથી $L: 3x + 2y - 5 = 0$.
$A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે: $A = (7/13, 22/13)$.
$B$ એ $L_2$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે: $B = (31/39, 3/13)$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ એ $AB$ નું $9:4$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

(D) આપેલ છે,$f(x)=\log _e\left(e^{2 x}\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}\right)$
$\log(ab) = \log a + \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=\log _e e^{2 x}+\log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}$
$f(x)=2 x+\frac{2}{3} \log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)$
$\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=2 x+\frac{2}{3}\left(\log _e(3 x+5)-\log _e(5-3 x)\right)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d f}{d x}=2+\frac{2}{3}\left(\frac{3}{3 x+5}-\frac{-3}{5-3 x}\right)$
$\frac{d f}{d x}=2+2\left(\frac{1}{3 x+5}+\frac{1}{5-3 x}\right)$
$x=1$ માટે:
$\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=1}=2+2\left(\frac{1}{3(1)+5}+\frac{1}{5-3(1)}\right)$
$=2+2\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right)=2+2\left(\frac{1+4}{8}\right)=2+2\left(\frac{5}{8}\right)=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$

(B) આપેલ છે કે $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=x^2$.
આપણે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(g(h(x)))-f(g(h(1)))}{x-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદ એ સંયોજિત વિધેય $F(x) = f(g(h(x)))$ નું $x=1$ આગળ વિકલન છે,એટલે કે $F'(1)$.
પ્રથમ,$F(x) = f(g(h(x))) = \sin(\cos(x^2))$ મેળવો.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $F(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$F'(x) = \cos(\cos(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x^2)) = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$F'(x) = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot (2x) = -2x \sin(x^2) \cos(\cos(x^2))$.
હવે,$x=1$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$F'(1) = -2(1) \sin(1^2) \cos(\cos(1^2)) = -2 \sin 1 \cos(\cos 1)$.
આમ,લક્ષની કિંમત $-2 \sin 1 \cos(\cos 1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{1+\sec x}{2(\sec x-1)}$.
$f(x)$ ને $\cos x$ માં ફેરવીને સાદું રૂપ આપતા:
$f(x) = \frac{1 + \frac{1}{\cos x}}{2(\frac{1}{\cos x} - 1)} = \frac{\frac{\cos x + 1}{\cos x}}{2(\frac{1 - \cos x}{\cos x})} = \frac{1 + \cos x}{2(1 - \cos x)}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{2 \cos^2(\frac{x}{2})}{2(2 \sin^2(\frac{x}{2}))} = \frac{1}{2} \cot^2(\frac{x}{2})$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cot(\frac{x}{2}) \cdot (-\operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2}) \operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot g(x)$,તેથી $g(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
$g(x) = \frac{-\frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2}) \operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})}{\frac{1}{2} \cot^2(\frac{x}{2})} = -\frac{\operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})}{\cot(\frac{x}{2})} = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = -\frac{1}{\sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$g(x) = -\frac{2}{2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})} = -\frac{2}{\sin x} = -2 \operatorname{cosec} x$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)$.
અંદરના પદના વિકલન માટે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) = \frac{(x^2+2)(2x) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 - 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = 1$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = \cos \left(\cosh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right) \cdot \frac{2(1)}{(1^2+2)^2} = \frac{2}{9} \sinh \left(\frac{2}{3}\right) \cos \left(\cosh \left(\frac{2}{3}\right)\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \cos (k+y)=\cos y$ છે.
આપણે લખી શકીએ $x = \frac{\cos y}{\cos (k+y)}$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos(k+y) \cdot (-\sin y) - \cos y \cdot (-\sin(k+y))}{\cos^2(k+y)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y)\cos y - \cos(k+y)\sin y}{\cos^2(k+y)}$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y-y)}{\cos^2(k+y)} = \frac{\sin k}{\cos^2(k+y)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2(k+y)}{\sin k}$.
હવે,$y = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2(k+\frac{\pi}{2})}{\sin k} = \frac{(-\sin k)^2}{\sin k} = \frac{\sin^2 k}{\sin k} = \sin k$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $u = x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1$ અને $v = x^2-3 x+5$. ગુણાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u' = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$
$v' = 2x-3$
$\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})(x^2-3 x+5) + (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1)(2 x-3)$
$= (\frac{5}{2} x^{\frac{7}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{25}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{9}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x^{\frac{7}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - 3)$
$= (\frac{5}{2} + 2) x^{\frac{7}{2}} + (-\frac{15}{2} - \frac{3}{2} - 3 - 2) x^{\frac{5}{2}} + (\frac{25}{2} + \frac{9}{2} + 3) x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$
$= \frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}} - 14 x^{\frac{5}{2}} + 20 x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

(C) ધારો કે $y = \log \left(\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \cos \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right)$.
અંદરના ભાગનું વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right) = \frac{2x(x^2+2) - 2x(x^2+1)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3+4x-2x^3-2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = \sqrt{2}$ મૂકતા,$\frac{x^2+1}{x^2+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \cot \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \right) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3/4}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{(2+2)^2} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{16} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2} \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{8 \sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે,$x=\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta$.
તેથી,$\frac{d x}{d \theta}=-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta-\cos \theta=-\cot \theta(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)$.
કારણ કે $x^2+4=(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)^2+4=(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)^2$,તેથી $\sqrt{x^2+4}=\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta$.
આમ,$\frac{d x}{d \theta}=-\cot \theta \sqrt{x^2+4}$.
તે જ રીતે,$y=\operatorname{cosec}^{2022} \theta-\sin ^{2022} \theta$.
તેથી,$\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)$.
કારણ કે $y^2+4=(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)^2$,તેથી $\sqrt{y^2+4}=\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta$.
આમ,$\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta \sqrt{y^2+4}$.
બંને વિકલનોનો ભાગાકાર કરતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = 2022 \frac{\sqrt{y^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (2022)^2 \frac{y^2+4}{x^2+4}$.
આને $\frac{k(y^2+4)}{g(x)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=(2022)^2$ અને $g(x)=x^2+4$ મળે છે.
અંતે,$10+k-g(2022) = 10+(2022)^2-(2022^2+4) = 10-4 = 6$.

(C) આપેલ છે કે $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{d\theta}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\tan \theta}{\theta}$.
તેથી,$\frac{dy}{d\theta} = \frac{dx}{d\theta} \cdot \frac{\tan \theta}{\theta} = (a\theta \cos \theta) \cdot \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} = a \sin \theta$.
હવે,$f(\theta)$ શોધવા માટે $\frac{dy}{d\theta}$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરો:
$f(\theta) = \int a \sin \theta \, d\theta = -a \cos \theta + C$.
આપેલ છે કે $f(2\pi) = 0$,તેથી $-a \cos(2\pi) + C = 0 \implies -a(1) + C = 0 \implies C = a$.
આમ,$f(\theta) = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$.
હવે,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત શોધો:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \cos \frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$.

(D) આપેલ છે: $x^2+y^2=t-\frac{1}{t}$ (સમીકરણ $1$)
સમીકરણ $1$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
આપેલ છે: $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(-1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(C) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિ-વિકલિત છે,તેથી $g^{\prime}(x) = f(x)$ થાય.
આપણે એવું વિધેય $h(x)$ શોધવાનું છે કે જેના માટે $\int h(x) \, dx = \log _e(1+(g(x))^2) + c$ થાય.
પ્રતિ-વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$h(x) = \frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2) + c]$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2)] = \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx} (1+(g(x))^2)$.
$= \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot (2 g(x) \cdot g^{\prime}(x))$.
કારણ કે $g^{\prime}(x) = f(x)$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$h(x) = \frac{2 g(x) f(x)}{1+(g(x))^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) = -x + \ln(\sin x) - \ln(\ln x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x \ln x}$.
કારણ કે $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$,તેથી $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \cot x - \frac{1}{x \ln x}$.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $g'(x) = -\operatorname{cosec}^2 x - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x - \left( \frac{-(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})}{(x \ln x)^2} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x + \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2}$.
$x = e$ મુકતા: $g'(e) = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{\ln e + 1}{e^2 (\ln e)^2} = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{1 + 1}{e^2 (1)^2} = 2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$.

(D) આપેલ છે કે $y = \frac{e^{\sin x} + \sinh^3 x}{\cosh x - \tan x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = e^{\sin x} + \sinh^3 x$ અને $v = \cosh x - \tan x$ છે.
પ્રથમ,$x = 0$ આગળ વિકલિતો શોધો:
$u(0) = e^{\sin 0} + \sinh^3 0 = e^0 + 0 = 1$.
$u'(x) = e^{\sin x} \cos x + 3 \sinh^2 x \cosh x$.
$u'(0) = e^0 \cos 0 + 3 \sinh^2 0 \cosh 0 = 1 \cdot 1 + 0 = 1$.
$v(0) = \cosh 0 - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
$v'(x) = \sinh x - \sec^2 x$.
$v'(0) = \sinh 0 - \sec^2 0 = 0 - 1 = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x = 0$ આગળ ભાગાકારના નિયમના સૂત્રમાં મૂકતા:
$y'(0) = \frac{u'(0)v(0) - u(0)v'(0)}{(v(0))^2} = \frac{(1)(1) - (1)(-1)}{(1)^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{ax + b}{cx + d}$.
$\frac{dx}{dy}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$y(cx + d) = ax + b$
$cyx + yd = ax + b$
$cyx - ax = b - yd$
$x(cy - a) = b - yd$
$x = \frac{b - yd}{cy - a} = \frac{yd - b}{a - cy}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dy} = \frac{d(a - cy) - (yd - b)(-c)}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - cdy + cdy - bc}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - bc}{(a - cy)^2}$.

(B) આપેલ છે કે $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ $(i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે $a f\left(\frac{1}{x}\right)+b f(x)=\frac{1}{x}+1$ $(ii)$
$(i)$ ને $a$ વડે અને $(ii)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=a x+a$
$b^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{b}{x}+b$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(a^2-b^2) f(x)=a x-\frac{b}{x}+a-b$
$f(x)=\frac{a x}{a^2-b^2}-\frac{b}{x(a^2-b^2)}+\frac{1}{a+b}$
હવે,$x^2 f(x)=\frac{a x^3}{a^2-b^2}-\frac{b x}{a^2-b^2}+\frac{x^2}{a+b}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}\left(x^2 f(x)\right)=\frac{3 a x^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{2 x}{a+b}$
$2 x^2+2 x+\frac{1}{3}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3 a}{a^2-b^2}=2$ $(iii)$
$\frac{2}{a+b}=2 \Rightarrow a+b=1$ $(iv)$
$-\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{1}{3}$ $(v)$
$(iv)$ પરથી,$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=a-b$.
$(iii)$ અને $(v)$ માં કિંમત મૂકતા:
$\frac{3 a}{a-b}=2 \Rightarrow 3 a=2 a-2 b \Rightarrow a=-2 b$
$-\frac{b}{a-b}=\frac{1}{3} \Rightarrow -3 b=a-b \Rightarrow a=-2 b$
$a+b=1$ અને $a=-2 b$ હોવાથી,$-2 b+b=1 \Rightarrow b=-1$ અને $a=2$.
તેથી,$a-b=2-(-1)=3$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\sin y = \sqrt{3} x \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \quad (i)$ છે.
$x = 0$ લેતા,$\sin y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
હવે,સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) + \sqrt{3} x \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) + \sqrt{3}(0) \cos \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) \frac{dy}{dx}$.
$1 \cdot \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$.
$\sqrt{3}y = -2x$,જેનું સાદું રૂપ $2x + \sqrt{3}y = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=x^2$ છે. જ્યારે તેને ધન $X$-અક્ષ પર '$a$' એકમ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વક્ર $y=(x-a)^2$ બને છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$x^2 = (x-a)^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2$
$a \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x = \frac{a}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{a}{2}$ ને $y=x^2$ માં મૂકતા,$y = \frac{a^2}{4}$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$ છે.
હવે,આ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ:
$y=x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=\frac{a}{2}$ આગળ,$m_1 = 2(\frac{a}{2}) = a$.
$y=(x-a)^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2(x-a)$. $x=\frac{a}{2}$ આગળ,$m_2 = 2(\frac{a}{2}-a) = -a$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{a - (-a)}{1 + (a)(-a)} \right| = \left| \frac{2a}{1 - a^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - a^2|}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ અને $y^2=3x$ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y^2=3x$ મૂકતા: $x^2-3x-4=0$.
$(x-4)(x+1)=0$. $y^2=3x$ હોવાથી $x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x=4$.
ત્યારબાદ $y^2=12$,તેથી $y=\pm 2\sqrt{3}$. છેદબિંદુ $(4, 2\sqrt{3})$ લો.
$x^2-y^2=4$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x-2y \frac{dy}{dx}=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ આગળ,$m_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx}=3 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ આગળ,$m_2 = \frac{3}{2(2\sqrt{3})} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{4}}{1+(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{4})} \right| = \left| \frac{\frac{8-3}{4\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{5}{4\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} \right| = \frac{5}{6\sqrt{3}}$.

(D) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન લેતા,આપણને વિકલિત $\Delta S \approx dS = 8 \pi r \Delta r$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\Delta S = 0.02 \text{ cm}^2$ અને $r = 10 \text{ cm}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$0.02 = 8 \pi (10) \Delta r$.
$\Delta r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta r = \frac{0.02}{80 \pi} = \frac{0.001}{4 \pi} \text{ cm}$ મળે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘનફળમાં થતી આશરે ભૂલ $\Delta V \approx dV = 4 \pi r^2 \Delta r$ છે.
$r = 10$ અને $\Delta r = \frac{0.001}{4 \pi}$ મૂકતા:
$\Delta V = 4 \pi (10)^2 \times \frac{0.001}{4 \pi} = 100 \times 0.001 = 0.1 \text{ cm}^3$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. આપણે $f(28)$ ની આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 28$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 27$ માટે,$f(27) = (27)^{\frac{1}{3}} = 3$.
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^2)} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$.
હવે,$f(28) \approx f(27) + f'(27) \Delta x$.
$f(28) \approx 3 + \left(\frac{1}{27}\right)(1) = 3 + 0.037037...$
$3$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3.037$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[a, b]$ માં સતત છે અને દરેક $\delta > 0$ માટે $f(c - \delta) < f(c)$ અને $f(c + \delta) < f(c)$ છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યની વ્યાખ્યા મુજબ $f(x)$ ને $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
હવે,દરેક $\alpha \in (a, b)$ જ્યાં $\alpha \neq c$ માટે શરત $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))(f(\alpha + \delta) - f(\alpha)) < 0$ ધ્યાનમાં લો.
આ અસમતા સૂચવે છે કે બે અવયવો $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))$ અને $(f(\alpha + \delta) - f(\alpha))$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) > 0$ અને $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $f(\alpha - \delta) > f(\alpha)$ અને $f(\alpha + \delta) < f(\alpha)$. આ દર્શાવે છે કે વિધેય $\alpha$ ની આસપાસ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $\alpha$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (inflection point) છે (સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નથી).
કિસ્સો $2$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) < 0$ અને $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $f(\alpha - \delta) < f(\alpha)$ અને $f(\alpha + \delta) > f(\alpha)$. આ દર્શાવે છે કે વિધેય $\alpha$ ની આસપાસ વધતું વિધેય છે,તેથી $\alpha$ પણ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
તેથી,$f(x)$ ને $c$ આગળ માત્ર એક જ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે અને $\alpha$ આગળ કોઈ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = -(x-2)^3(x+2)^2$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = -[3(x-2)^2(x+2)^2 + (x-2)^3 \cdot 2(x+2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3(x+2) + 2(x-2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3x + 6 + 2x - 4]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2)(5x + 2)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2, x = -2, x = -\frac{2}{5}$ મળે છે.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$x < -2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$-2 < x < -\frac{2}{5}$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-\frac{2}{5} < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -\frac{2}{5}$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{2}{5}-2)^3(-\frac{2}{5}+2)^2$ છે.
$f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -(-\frac{1728}{125}) \cdot \frac{64}{25} = \frac{1728 \cdot 64}{3125} = \frac{12^3 \cdot 8^2}{5^5}$.

(B) આપેલ છે,$f(x)=\frac{6 x^2-18 x+21}{6 x^2-18 x+17}$.
આપણે વિધેયને $f(x)=1+\frac{4}{6 x^2-18 x+17}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $g(x)=6 x^2-18 x+17$. $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
$g'(x)=12 x-18$. $g'(x)=0$ લેતા,આપણને $x=\frac{3}{2}$ મળે છે.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $g(\frac{3}{2}) = 6(\frac{9}{4}) - 18(\frac{3}{2}) + 17 = \frac{27}{2} - 27 + 17 = \frac{7}{2}$ છે.
આમ,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $m = 1 + \frac{4}{7/2} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$ છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $f(x) \to 1$. કારણ કે $g(x) > 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $f(x) > 1$ તમામ $x \in R$ માટે. આમ,$n = 1$.
અંતે,$14 m - 7 n = 14(\frac{15}{7}) - 7(1) = 30 - 7 = 23$.

(D) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3}$ અને અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ છે.
શંકુની ઊંચાઈ $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
ધારો કે અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{R-r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
તેથી,$h = \frac{R-r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-r}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{r}{\sqrt{3}}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (1 - \frac{r}{\sqrt{3}}) = \pi (r^2 - \frac{r^3}{\sqrt{3}})$.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dV}{dr} = \pi (2r - \frac{3r^2}{\sqrt{3}}) = \pi (2r - \sqrt{3}r^2) = 0$.
$r \neq 0$ હોવાથી,$2 - \sqrt{3}r = 0$,એટલે કે $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 1 + 6x - 3x^2, & x \leq 1 \\ x + \log_2(b^2 + 7), & x > 1 \end{cases}$.
$f(1)$ મહત્તમ કિંમત હોય તે માટે,તમામ $x$ માટે $f(x) \leq f(1)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(1) = 1 + 6(1) - 3(1)^2 = 1 + 6 - 3 = 4$ મેળવીએ.
$x > 1$ માટે,આપણે $f(x) \leq 4$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$.
આ તમામ $x > 1$ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $x \to 1^+$ લેતા,આપણને $1 + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$ મળે છે.
$\log_2(b^2 + 7) \leq 3$.
$b^2 + 7 \leq 2^3 = 8$.
$b^2 \leq 1$.
તેથી,$-1 \leq b \leq 1$,એટલે કે $b \in [-1, 1]$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 9$ અંતરાલ $[-3, 3]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - x - 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 3)(x + 2) = 0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 3$ અને $x = -2$ છે.
બંને બિંદુઓ અંતરાલ $[-3, 3]$ માં આવેલા છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 9 = -54 - 27 + 108 + 9 = 36$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 9 = -16 - 12 + 72 + 9 = 53$.
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 9 = 54 - 27 - 108 + 9 = -72$.
આમ,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $53$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = -x^2 + 6x + 12$.
અંતિમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ $f'(x) = -2x + 6$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $-2x + 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
આમ,$\alpha = 3$.
અંતિમ કિંમત $\beta$ એ $f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 12 = -9 + 18 + 12 = 21$ છે.
કારણ કે $\alpha = 3$,આપણે લખી શકીએ કે $\beta = 21 = 7 \times 3 = 7 \alpha$.
તેથી,$\beta = 7 \alpha$.

(D) ધારો કે $I = \int \left(x \sqrt{x} - e^{\log(\sec x \tan x)} + \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2}\right) dx$.
$e^{\log f(x)} = f(x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left(x^{3/2} - \sec x \tan x + 3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x}$.
$\int -\sec x \tan x dx = -\sec x$.
$\int 3 dx = 3x$.
$\int -\frac{2}{x} dx = -2 \log x$.
$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
આ બધાને જોડતા,આપણને મળે છે $I = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - \sec x + 3x - 2 \log x - \frac{1}{x} + c$.

(C) આપેલ છે: $f(x)=\int\left(\frac{2 x^3-3 x^2+4 x-5}{x^2}\right) d x$
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા: $f(x)=\int\left(2 x-3+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}\right) d x$
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $f(x)=x^2-3 x+4 \log |x|+\frac{5}{x}+C$
આપેલ છે કે $f(1)=1$,તેથી $x=1$ મૂકતા: $1^2-3(1)+4 \log(1)+\frac{5}{1}+C=1$
$1-3+0+5+C=1 \Rightarrow 3+C=1 \Rightarrow C=-2$
આમ,$f(x)=x^2-3 x+4 \log |x|+\frac{5}{x}-2$
હવે,$f(5)$ ની કિંમત શોધતા: $f(5)=5^2-3(5)+4 \log 5+\frac{5}{5}-2$
$f(5)=25-15+4 \log 5+1-2$
$f(5)=9+4 \log 5$

(D) આપણને સંકલન $I = \int \frac{1+\cos 8 x}{\tan 2 x-\cot 2 x} d x$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $1+\cos 8x = 2\cos^2 4x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \cos ^2 4 x}{\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}} d x$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} = \frac{\sin^2 2x - \cos^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{-\cos 4x}{\frac{1}{2}\sin 4x} = -2\cot 4x$.
આમ,$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{-2\cot 4x} d x = -\int \frac{\cos^2 4x}{\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} d x = -\int \cos 4x \sin 4x d x$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = -\frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x d x = -\frac{1}{2} \int \sin 8x d x$.
સંકલન કરતા: $I = -\frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} \right) + c = \frac{1}{16} \cos 8x + c$.
$f(x) \cdot \cos(g(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{16}$ અને $g(x) = 8x$ મળે છે.
તેથી,$f\left(\frac{1}{4}\right) + g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + 8\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + 2 = \frac{33}{16}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{4}{3}$. કારણ કે $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4}{3}$,તેથી $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ અને $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ થાય.
ધારો કે $I = \int \frac{dx}{3 \cos x - 4 \sin x}$.
$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\frac{3}{5} \cos x - \frac{4}{5} \sin x} = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x}$.
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\cos(x + \alpha)} = \frac{1}{5} \int \sec(x + \alpha) dx$.
$\sec \theta$ નું સંકલન $\log | \sec \theta + \tan \theta |$ અથવા $\log | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) |$ થાય છે.
તેથી,$I = \frac{1}{5} \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x + \alpha}{2} \right) \right| + c = \frac{1}{5} \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\alpha}{2} \right) \right| + c$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \left(2^x - \sqrt{1 + \sin 2x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ છે.
કારણ કે $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$,તેથી $\sqrt{1 + \sin 2x} = |\sin x + \cos x|$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{3 \pi}{4} < x < \frac{7 \pi}{4}$,આ અંતરાલમાં $\sin x + \cos x$ ઋણ છે.
તેથી,$|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \left(2^x - (-(\sin x + \cos x)) + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$
$I = \int \left(2^x + \sin x + \cos x + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{2^x}{\log 2} - \cos x + \sin x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{2^x}{\log 2} + \sin x - \cos x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \left( \frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} \right)^2 dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \left( \frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos x + 2 \cos^2 x - 1} \right)^2 dx$
$I = \int \left( \frac{\sin x (1 + 2 \cos x)}{\cos x (1 + 2 \cos x)} \right)^2 dx$
અહીં $\cos x \neq -1/2$ હોવાથી,આપણે $(1 + 2 \cos x)$ ને છેદમાં અને અંશમાં ઉડાડી શકીએ છીએ:
$I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 dx = \int \tan^2 x dx$
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x + c$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{2-3 \sin^2 x}{1+\cos 2x} dx$.
નિત્યસમ $1+\cos 2x = 2 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int \frac{2-3 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} dx = \int \left( \frac{2}{2 \cos^2 x} - \frac{3 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$f(x) = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2} \tan^2 x) dx$
કારણ કે $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,તેથી:
$f(x) = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2}(\sec^2 x - 1)) dx = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2} \sec^2 x + \frac{3}{2}) dx$
$f(x) = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sec^2 x) dx = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} \tan x + C$
આપેલ છે કે $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$:
$\frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 1$
$\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}(1) + C = 1 \Rightarrow C = 1 + \frac{1}{2} - \frac{3\pi}{8} = \frac{3}{2} - \frac{3\pi}{8} = \frac{3}{8}(4-\pi)$
હવે,$f(0) = \frac{3}{2}(0) - \frac{1}{2} \tan(0) + C = C = \frac{3}{8}(4-\pi)$.

(D) ધારો કે $I = \int \sqrt{4 \cos ^2 x - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \sqrt{4(1 - \sin ^2 x) - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx = \int \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તો $\cos x \, dx = dt$.
$I = \int \sqrt{4 - 9t^2} \, dt = \int \sqrt{2^2 - (3t)^2} \, dt$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 3t$ અને $du = 3 \, dt$ (તેથી $dt = \frac{du}{3}$):
$I = \frac{1}{3} \int \sqrt{2^2 - u^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{4 - u^2} + \frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) \right] + C$.
$u = 3 \sin x$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{3 \sin x}{2} \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) \right] + C$.
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + \frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int(2 x-3) \sqrt{3 x+2} \, dx$.
$3x+2 = t^2$ આદેશ લેતા,$x = \frac{t^2-2}{3}$ અને $dx = \frac{2t}{3} \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \left(2 \left(\frac{t^2-2}{3}\right) - 3\right) \cdot t \cdot \frac{2t}{3} \, dt$
$I = \int \left(\frac{2t^2-13}{3}\right) \cdot \frac{2t^2}{3} \, dt = \frac{2}{9} \int (2t^4 - 13t^2) \, dt$
$I = \frac{2}{9} \left( \frac{2t^5}{5} - \frac{13t^3}{3} \right) + c = \frac{2}{135} (6t^5 - 65t^3) + c$
$t = \sqrt{3x+2}$ હોવાથી,
$I = \frac{2}{135} (3x+2) \sqrt{3x+2} (6(3x+2) - 65) + c$
$I = \frac{2}{135} \sqrt{3x+2} (3x+2) (18x - 53) + c$
$I = \frac{2}{135} (54x^2 - 123x - 106) \sqrt{3x+2} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ આદેશ લેતા,$\frac{2x+3}{3-2x} = e^t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) = \frac{(3-2x)(2) - (2x+3)(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$.
તેથી,$\frac{12}{(3-2x)^2} \, dx = e^t \, dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{1}{12} e^t \, dt$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{12} e^t \, dt = \frac{1}{12} \int e^t \cos(t) \, dt$.
આપેલ સૂત્ર $\int e^t \cos(t) \, dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{12} \cdot \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) = \frac{e^t}{24}(\cos t + \sin t)$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ અને $e^t = \frac{2x+3}{3-2x}$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{\frac{2x+3}{3-2x}}{24} \left[ \cos \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) + \sin \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) \right] + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{2x+3}{3-2x}$ અને $g(x) = \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right)$.
તેથી,$g(x) = \log(f(x))$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = \log(f(1))$.

(C) આપેલ છે $f\left(\frac{2x+1}{5x+3}\right) = x+2$.
ધારો કે $t = \frac{2x+1}{5x+3}$.
તેથી $t(5x+3) = 2x+1 \implies 5xt + 3t = 2x+1 \implies x(5t-2) = 1-3t \implies x = \frac{1-3t}{5t-2} = \frac{3t-1}{2-5t}$.
વિધેયમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $f(t) = \frac{3t-1}{2-5t} + 2 = \frac{3t-1 + 4-10t}{2-5t} = \frac{3-7t}{2-5t} = \frac{7t-3}{5t-2}$.
હવે,$\int f(x) dx = \int \frac{7x-3}{5x-2} dx$.
ભાગાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{7x-3}{5x-2} = \frac{7}{5} \left(\frac{5x-2}{5x-2}\right) + \frac{\frac{14}{5}-3}{5x-2} = \frac{7}{5} - \frac{1}{5(5x-2)}$.
આમ,$\int f(x) dx = \int \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{5(5x-2)}\right) dx = \frac{7}{5}x - \frac{1}{25} \ln |5x-2| + c$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \frac{3 x^6-2 x^4+x^2-2}{x^2+1} d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશ $3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2$ ને છેદ $x^2 + 1$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 1)(3x^4 - 5x^2 + 6) - 8$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \left( 3x^4 - 5x^2 + 6 - \frac{8}{x^2+1} \right) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = 3 \int x^4 d x - 5 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x - 8 \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 3 \left( \frac{x^5}{5} \right) - 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.
$I = \frac{3}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{(2 \sin x \cos x)^2} \right] dx$.
$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$ હોવાથી,પદાવલિ $\int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{4 \sin^2 x \cos^2 x} \right] dx$ બને છે.
$= \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right] dx$.
$= \int \left[ (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) + \sec x \tan x + \csc x \cot x \right] dx$.
$= \tan x - x - \cot x - x + \sec x - \csc x + C$.
$f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + C$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ આપેલ છે: $\tan\frac{\pi}{4} - \cot\frac{\pi}{4} + \sec\frac{\pi}{4} - \csc\frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી $f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + \frac{\pi}{2}$.
હવે $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6} - \cot\frac{\pi}{6} + \sec\frac{\pi}{6} - \csc\frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}$.
$= \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 2 - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 2$.
તેથી $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = 3 \left[ \frac{\pi}{6} - 2 + 2 \right] = 3 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx$.
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x)$.
તેથી,$I = \int \frac{\cos x(1 - \sin^2 x)}{(1+\sin x)^4} dx$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x dx$.
$I = \int \frac{1 - u^2}{(1+u)^4} du = \int \frac{(1-u)(1+u)}{(1+u)^4} du = \int \frac{1-u}{(1+u)^3} du$.
ધારો કે $t = 1+u$,તો $u = t-1$ અને $du = dt$.
$I = \int \frac{1-(t-1)}{t^3} dt = \int \frac{2-t}{t^3} dt = \int (2t^{-3} - t^{-2}) dt$.
$I = 2 \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t} + c$.
$t = 1+\sin x$ મૂકતા,આપણને મળે $I = -\frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{1}{1+\sin x} + c = \frac{-1 + (1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} + c = \frac{\sin x}{(1+\sin x)^2} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{1 - \cos 2x} dx$.
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{2 \sin^2 x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sin x \sec^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\tan x \sin x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \sec x \tan x - \sec x + \operatorname{cosec} x \cot x \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int \sec x \tan x dx = \sec x$
$\int \sec x dx = \log |\sec x + \tan x| = \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|$
$\int \operatorname{cosec} x \cot x dx = -\operatorname{cosec} x$
આમ,$I = \frac{1}{2} [\sec x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})| - \operatorname{cosec} x] + c$
$I = \frac{1}{2} [\sec x - \operatorname{cosec} x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|] + c$
જે વિકલ્પ $(C)$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ છે,$\int \frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)} d x=\frac{A}{x-1}+B \log (2 x-1)+C \log (x-1)+K$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)}=\frac{\alpha}{x-1}+\frac{\beta}{(x-1)^2}+\frac{\gamma}{2 x-1}$.
$(x-1)^2(2 x-1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $x+3=\alpha(x-1)(2 x-1)+\beta(2 x-1)+\gamma(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા,આપણને $4=\beta(2-1) \Rightarrow \beta=4$ મળે છે.
$x=1/2$ લેતા,આપણને $3.5=\gamma(1/2-1)^2 \Rightarrow 3.5=\gamma(1/4) \Rightarrow \gamma=14$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા,આપણને $0=2\alpha+\gamma \Rightarrow 2\alpha=-14 \Rightarrow \alpha=-7$ મળે છે.
સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{-7}{x-1}+\frac{4}{(x-1)^2}+\frac{14}{2 x-1} \right) d x = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + \frac{14}{2} \log |2 x-1| + K = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + 7 \log |2 x-1| + K$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=-4$,$B=7$,અને $C=-7$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C = -4+7-7 = -4$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 + 3x^8)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $x^{16}$ વડે ભાગતા:
$f(x) = \int \frac{16x^{-9} + 5x^{-6}}{(x^{-5} + 2x^{-8} + 3)^2} dx$.
ધારો કે $u = x^{-5} + 2x^{-8} + 3$.
તેથી $du = (-5x^{-6} - 16x^{-9}) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-du = (16x^{-9} + 5x^{-6}) dx$.
આને સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int -u^{-2} du = u^{-1} + C = \frac{1}{x^{-5} + 2x^{-8} + 3} + C = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + C$.
આપેલ છે કે $f(0) = 1$,તેથી $1 = \frac{0}{1} + C$,એટલે કે $C = 1$.
આમ,$f(x) = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + 1$.
$f(1)$ માટે,$f(1) = \frac{1}{1 + 2 + 3} + 1 = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$.

(A) આપણી પાસે $I = \int \frac{1}{x^4+3x^2+1} dx$ છે. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1/x^2}{x^2 + 1/x^2 + 3} dx$.
આપણે $1/x^2$ ને $\frac{1}{2} \left[ (1 + 1/x^2) - (1 - 1/x^2) \right]$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + 1/x^2}{(x - 1/x)^2 + 5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1 - 1/x^2}{(x + 1/x)^2 + 1} dx$.
$u = x - 1/x$ $(du = (1 + 1/x^2) dx)$ અને $v = x + 1/x$ $(dv = (1 - 1/x^2) dx)$ આદેશ લેતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{5})^2} - \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v^2 + 1^2}$.
$I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x - 1/x}{\sqrt{5}}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x + 1/x}{1}\right) + k$.
$I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{\sqrt{5}x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) + k$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{2 \sqrt{5}}$,$b = \frac{1}{\sqrt{5}}$,$c = -\frac{1}{2}$,અને $d = 1$ મળે છે.
હવે,$5(c + d + ab) = 5\left(-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 5\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{10}\right) = 5\left(\frac{6}{10}\right) = 3$.

(A) ધારો કે $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} \log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right) d x$.
બીજું સંકલન શૂન્ય છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે.
આમ,$I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x$.
$\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I=\frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x d x = d t$. જ્યારે $x: 0 \to \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t: 0 \to 1$.
$I=\frac{6}{\pi} \int_0^1 \frac{d t}{1+3t^2} = \frac{6}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}t) \right]_0^1 = \frac{6}{\pi \sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$3I^2 = 3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^2 x \sqrt{4-x^2} \, dx$.
$u = 4-x^2$ આદેશ લેતા,$du = -2x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$.
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $u = 4 - (1)^2 = 3$.
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $u = 4 - (2)^2 = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_3^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = \frac{1}{2} \int_0^3 u^{1/2} \, du$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_0^3$.
$I = \frac{1}{3} (3^{3/2} - 0) = \frac{1}{3} (3 \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta$.
આપણે $\cos^3 \theta \, d\theta$ ને $\cos^2 \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \theta (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta$,તો $dt = \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = 1$.
$I = \int_0^1 t^4 (1 - t^2) \, dt = \int_0^1 (t^4 - t^6) \, dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0) = \frac{7 - 5}{35} = \frac{2}{35}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^3 \left(\sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right)\right) dx$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int_0^3 \sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) dx - \int_0^3 \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right) dx$.
સૂત્ર $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)$ અને $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ -\frac{3}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^3 - \left[ \frac{3}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^3$.
$I = -\frac{3}{\pi} [\cos(\pi) - \cos(0)] - \frac{3}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(0)]$.
$I = -\frac{3}{\pi} [-1 - 1] - \frac{3}{\pi} [0 - 0]$.
$I = -\frac{3}{\pi} [-2] = \frac{6}{\pi}$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^4 \left(x + \sqrt{x} + \frac{1}{x}\right) dx - \int_1^{2 \log 2} dx$.
પ્રથમ,પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_1^4 \left(x + x^{1/2} + \frac{1}{x}\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + \log |x| \right]_1^4$.
$= \left( \frac{16}{2} + \frac{2}{3}(8) + \log 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 0 \right) = \left( 8 + \frac{16}{3} + 2 \log 2 \right) - \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{40}{3} + 2 \log 2 - \frac{7}{6} = \frac{80 - 7}{6} + 2 \log 2 = \frac{73}{6} + 2 \log 2$.
હવે,બીજા સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_1^{2 \log 2} dx = [x]_1^{2 \log 2} = 2 \log 2 - 1$.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $I = \left( \frac{73}{6} + 2 \log 2 \right) - (2 \log 2 - 1) = \frac{73}{6} + 1 = \frac{73 + 6}{6} = \frac{79}{6}$.