TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $R = 1 \ m$ त्रिज्या वाले वृत्त पर व्यवस्थित द्रव्यमानों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$M$ के निर्देशांक $(1, 0)$
$2M$ के निर्देशांक $(0, 1)$
$3M$ के निर्देशांक $(-1, 0)$
$4M$ के निर्देशांक $(0, -1)$
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $(X_{cm})$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{M(1) + 2M(0) + 3M(-1) + 4M(0)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{M - 3M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $(Y_{cm})$ इस प्रकार है:
$Y_{cm} = \frac{M(0) + 2M(1) + 3M(0) + 4M(-1)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{2M - 4M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $-\frac{1}{5} \hat{i} - \frac{1}{5} \hat{j}$ है।

(B) माना गतिशील कण का द्रव्यमान $m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। स्थिर कण का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{n}$ है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,हम रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करते हैं:
$mu = mv_1 + \frac{m}{n}v_2 \Rightarrow u = v_1 + \frac{v_2}{n}$ (समीकरण $1$)
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e=1$ का उपयोग करते हुए:
$v_2 - v_1 = u \Rightarrow v_1 = v_2 - u$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$u = (v_2 - u) + \frac{v_2}{n} \Rightarrow 2u = v_2(1 + \frac{1}{n}) = v_2(\frac{n+1}{n})$
$v_2 = \frac{2nu}{n+1}$
स्थिर कण को स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m' v_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{n}) (\frac{2nu}{n+1})^2 = \frac{1}{2} \frac{m}{n} \frac{4n^2 u^2}{(n+1)^2} = \frac{2mnu^2}{(n+1)^2}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mu^2$ है।
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K'}{K} = \frac{\frac{2mnu^2}{(n+1)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(n+1)^2}$ है।

(A) माना दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है। माना टक्कर के बाद कण $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $V_1$ और $V_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m \times 10 + 0 = m V_1 + m V_2 \Rightarrow V_1 + V_2 = 10$ ... $(i)$
दिया गया है कि निकाय की गतिज ऊर्जा में $1 \% $ की कमी होती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0.99 K_i$ है।
$\frac{1}{2} m V_1^2 + \frac{1}{2} m V_2^2 = 0.99 \times (\frac{1}{2} m \times 10^2)$
$V_1^2 + V_2^2 = 0.99 \times 100 = 99$ ... (ii)
हम जानते हैं कि $(V_1 + V_2)^2 = V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2$.
मान रखने पर: $10^2 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 100 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 2 V_1 V_2 = 1 \Rightarrow V_1 V_2 = 0.5$.
अब,$(V_1 - V_2)^2 = (V_1 + V_2)^2 - 4 V_1 V_2 = 100 - 4(0.5) = 100 - 2 = 98$.
$V_1 - V_2 = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.899 \ m/s$.
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2 V_1 = 10 + 9.899 = 19.899 \Rightarrow V_1 \approx 9.95 \ m/s$.

(B) गेंद पर लगा आवेग $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग = त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आवेग = $\frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \ s) \times (20 \times 10^3 \ N)$
आवेग = $20 \ N \ s = 20 \ kg \ m \ s^{-1}$
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ के बराबर होता है:
$\Delta p = m v - m u = \text{आवेग}$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m \ s^{-1}$.
$0.1 \times v - 0.1 \times 10 = 20$
$0.1 \times v - 1 = 20$
$0.1 \times v = 21$
$v = \frac{21}{0.1} = 210 \ m \ s^{-1}$

(C) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि परिभाषा के अनुसार,प्रत्यास्थ टक्कर वह है जिसमें गतिज ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि एक प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान,टकराने वाली वस्तुओं के बीच ऊर्जा का आदान-प्रदान निश्चित रूप से होता है (संवेग और गतिज ऊर्जा उनके बीच स्थानांतरित होती है),भले ही निकाय की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती हो।
इसलिए,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(C) मान लीजिए मूल गोले $A$ का द्रव्यमान $M$ है। $m$ द्रव्यमान वाले कण $B$ पर $2R$ की दूरी पर लगने वाला बल $F = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ है।
$r = R/2$ त्रिज्या वाले काटे गए गोलाकार भाग का द्रव्यमान $M^{\prime} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} = \frac{M}{8}$ है।
काटे गए भाग के केंद्र की कण $B$ से दूरी $d = 2R - R/2 = 3R/2$ है।
काटे गए भाग द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F_{removed} = \frac{G M^{\prime} m}{d^2} = \frac{G (M/8) m}{(3R/2)^2} = \frac{GMm}{8 \cdot (9R^2/4)} = \frac{GMm}{18R^2}$ है।
चूंकि $F = \frac{GMm}{4R^2}$,इसलिए $\frac{GMm}{R^2} = 4F$ है। अतः,$F_{removed} = \frac{4F}{18} = \frac{2}{9} F$ है।
नया बल $F^{\prime} = F - F_{removed} = F - \frac{2}{9} F = \frac{7}{9} F$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, सतह पर कुल ऊर्जा रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊंचाई पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$m$ से विभाजित करने पर और $GM = gR^2$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{gR^2}{R} + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
$-gR + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
यहाँ $u = 4000 \ m/s$, $R = 6.4 \times 10^6 \ m$, और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है:
$-(10)(6.4 \times 10^6) + \frac{1}{2}(4000)^2 = -\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-6.4 \times 10^7 + 8 \times 10^6 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-5.6 \times 10^7 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{4.096 \times 10^{14}}{5.6 \times 10^7} = 0.7314 \times 10^7 = 7.314 \times 10^6 \ m$
$h = 7.314 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 0.914 \times 10^6 \ m = 914 \ km$.
अतः, सही विकल्प $914.28 \ km$ है।

(B) कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी संभावित युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$.
$a = 3 l_o$ और $b = 4 l_o$ भुजाओं वाले आयत के लिए,विकर्ण $d = \sqrt{(3 l_o)^2 + (4 l_o)^2} = 5 l_o$ है।
यहाँ $3 l_o$ लंबाई की दो भुजाएँ,$4 l_o$ लंबाई की दो भुजाएँ और $5 l_o$ लंबाई के दो विकर्ण हैं,जिससे कुल $6$ युग्म बनते हैं।
$U = -\left[ \frac{Gm^2}{3 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{4 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{5 l_o} \times 2 \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{40 + 30 + 24}{60} \right] = -\frac{94}{60} \frac{Gm^2}{l_o} = -\frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$.
अतः,परिमाण $|U| = \frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$ है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा पृथ्वी से बहुत दूर के बिंदु पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है) के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
पलायन चाल $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। इसलिए,$V_0^2 = \frac{2GM}{R}$।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2} m(5V_0)^2 - \frac{GMm}{R}$।
बहुत दूर: $E_f = \frac{1}{2} mV^2 + 0$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m(25V_0^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} mV^2$।
$\frac{GM}{R} = \frac{V_0^2}{2}$ रखने पर:
$\frac{25}{2} mV_0^2 - m(\frac{V_0^2}{2}) = \frac{1}{2} mV^2$।
$12 mV_0^2 = \frac{1}{2} mV^2$।
$V^2 = 24 V_0^2$।
$V = \sqrt{24} V_0 = 2\sqrt{6} V_0$।

(C) शेल प्रमेय (Shell Theorem) के अनुसार,एक समान खोखले गोलाकार कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = 0$ होता है। इसलिए,इसके अंदर रखे गए बिंदु द्रव्यमान पर कोई शुद्ध गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है। अतः,कथन $(I)$ गलत है।
एक समान खोखले गोलाकार कोश के बाहर किसी भी बिंदु के लिए,कोश इस तरह व्यवहार करता है जैसे कि उसका पूरा द्रव्यमान उसके केंद्र पर केंद्रित हो। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल की गणना न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम $F = G M m / r^2$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है। अतः,कथन $(II)$ सही है।

(C) जब कण गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के तहत गति करते हैं,तो गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$L$ दूरी पर स्थित $M$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M^2}{L^2}$ है।
शीर्ष $A$ पर स्थित कण पर $B$ और $C$ पर स्थित कणों के कारण लगने वाला कुल बल $\vec{F}_{AB}$ और $\vec{F}_{AC}$ बलों का सदिश योग है।
चूंकि इन बलों के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए परिणामी बल का परिमाण $F_{net} = 2 F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{G M^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$ है।
कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में गति करते हैं। समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से शीर्ष की दूरी $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
कुल बल को अभिकेंद्री बल के बराबर करने पर,$\frac{M v^2}{R} = F_{net}$।
मान रखने पर,$\frac{M v^2}{L/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2} \cdot \frac{L}{\sqrt{3} M} = \frac{G M}{L}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{G M}{L}}$।

(A) चूंकि पात्र को $T$ स्थिर तापमान वाले जलाशय में रखा गया है,इसलिए यह प्रक्रिया समतापीय (isothermal) है।
आदर्श गैस के लिए स्थिर तापमान पर बॉयल के नियम के अनुसार,$PV = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $P \times V = P^{\prime} \times (2V)$.
$P^{\prime}$ के लिए हल करने पर: $P^{\prime} = \frac{PV}{2V} = \frac{1}{2} P$.

(C) कथन $(I)$ असत्य है क्योंकि गैसों का ऊष्मीय प्रसार गुणांक तरल पदार्थों की तुलना में अधिक होता है,इसलिए गैस थर्मामीटर तरल थर्मामीटर की तुलना में अधिक संवेदनशील होते हैं।
कथन $(II)$ सत्य है। बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_B$ को सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ और आवोगाद्रो संख्या $N_A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $k_B = \frac{R}{N_A}$।
कथन $(III)$ सत्य है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $PV = \frac{m}{M}RT$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हमें $P = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है। स्थिर दाब $P$ पर,$\rho \propto \frac{1}{T}$।
अतः,कथन $(II)$ और $(III)$ सत्य हैं,लेकिन कथन $(I)$ असत्य है।

(D) मान लीजिए कि कक्ष $B$ का द्रव्यमान $M$ है और प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। कक्ष और गेंदों द्वारा गैस पर लगाया गया कुल नीचे की ओर बल $F = (M + nm)g$ है।
यदि $A$ कक्ष का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,तो गैस का दबाव $P = F/A = (M + nm)g / A$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक गेंद हटा दी जाती है,तो नया बल $F^{\prime} = (M + (n-1)m)g$ होता है।
नया दबाव $P^{\prime} = F^{\prime} / A = (M + (n-1)m)g / A$ है।
दबाव में अंतर $P - P^{\prime} = (M + nm)g/A - (M + nm - m)g/A = mg/A$ है।
इस प्रकार,$(P - P^{\prime}) / P = (mg/A) / ((M + nm)g/A) = m / (M + nm)$।
यदि हम यह मान लें कि कक्ष का द्रव्यमान $M$ गेंदों के कुल द्रव्यमान की तुलना में नगण्य है (या प्रश्न का तात्पर्य यह है कि वजन मुख्य रूप से गेंदों के कारण है),तो $M \approx 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(P - P^{\prime}) / P = m / (nm) = 1/n$।

(A) $\text{गैस अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) गति का सूत्र } v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \text{ है, जहाँ } R \text{ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, } T \text{ परम तापमान है, और } M \text{ गैस का मोलर द्रव्यमान है।}
\text{दिए गए तापमान } T \text{ के लिए, rms गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: } v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}.
\text{इसलिए, हीलियम } (He) \text{ और नाइट्रोजन } (N_2) \text{ की rms गति का अनुपात } \frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{M_{N_2}}{M_{He}}} \text{ है।}
\text{नाइट्रोजन } (N_2) \text{ का मोलर द्रव्यमान } M_{N_2} = 28 \ g \ mol^{-1} \text{ है और हीलियम } (He) \text{ का मोलर द्रव्यमान } M_{He} = 4 \ g \ mol^{-1} \text{ है।}
\text{दिया गया है कि } v_{N_2} = 100 \ m \ s^{-1}, \text{ मान रखने पर: } \frac{v_{He}}{100} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}.
\text{अतः, } v_{He} = 100 \sqrt{7} \ m \ s^{-1}$।

(B) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और तापमान $T_{H_2} = 20 \ K$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
हमें दिया गया है कि r.m.s. वेग समान हैं: $v_{rms(H_2)} = v_{rms(O_2)}$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{20}{2} = \frac{T_{O_2}}{32}$.
$10 = \frac{T_{O_2}}{32} \implies T_{O_2} = 320 \ K$.

(C) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दिया गया है,$(V_{rms})_{Ne} = (V_{rms})_{He}$.
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{Ne}}{M_{Ne}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों को हटाने पर: $\frac{T_{Ne}}{M_{Ne}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$.
यहाँ $T_{He} = -33^{\circ} C = (-33 + 273) \ K = 240 \ K$,$M_{Ne} = 20.2 \ u$,और $M_{He} = 4.0 \ u$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{Ne}}{20.2} = \frac{240}{4.0}$.
$\frac{T_{Ne}}{20.2} = 60$.
$T_{Ne} = 60 \times 20.2 = 1212 \ K$.

(B) दोनों ब्लॉकों पर कार्य करने वाला घर्षण बल गतिज प्रकृति का है।
$1 \ kg$ ब्लॉक के लिए:
$f_1 = \mu m_1 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ N$
$2 \ kg$ ब्लॉक के लिए:
$f_2 = \mu m_2 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ N$
नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल त्वरण $a = \alpha \sqrt{2}$ प्रदान करता है:
$(m_1 + m_2)g \sin 45^{\circ} - (f_1 + f_2) = (m_1 + m_2)a$
$(1 + 2) \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = (1 + 2) \times (\alpha \sqrt{2})$
$30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{2} = 3\alpha \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$30 - 6 \times 2 = 3\alpha \times 2$
$30 - 12 = 6\alpha$
$18 = 6\alpha$
$\alpha = 3$

(B) ब्लॉक तब फिसलना शुरू करेगा जब उस बिंदु पर वक्र का ढाल विराम कोण के टेंजेंट $(\tan \theta = \mu_s)$ के बराबर होगा।
किसी भी बिंदु $x$ पर वक्र का ढाल अवकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{20} \right) = \frac{2x}{20} = \frac{x}{10}$.
ब्लॉक के बिना फिसले संतुलन में रहने के लिए,ढाल को निम्नलिखित शर्त को पूरा करना चाहिए:
$\frac{dy}{dx} \leq \mu_s$
फिसलने के बिंदु पर,$\frac{x}{10} = 0.5$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 0.5 \times 10 = 5 \ m$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए परवलय के समीकरण में $x = 5 \ m$ रखने पर:
$h = y = \frac{x^2}{20} = \frac{5^2}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 7 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$,दूरी $s = 10 \ m$,और $g = 9.8 \ m/s^2$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (7)^2 + 2 \cdot a \cdot 10$
$0 = 49 + 20a$
$a = -\frac{49}{20} = -2.45 \ m/s^2$।
हम जानते हैं कि $g = 9.8 \ m/s^2$,इसलिए $a = -\frac{9.8}{4} = -\frac{g}{4}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,प्रतिरोध बल $R = ma$।
$a = -\frac{g}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$R = m \left(-\frac{g}{4}\right) = -\frac{mg}{4}$।
चूंकि वजन $W = mg$ है,इसलिए हमें $R = -\frac{W}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान ज्ञात करें: $F = m_A a \Rightarrow 10 = m_A \times 20 \Rightarrow m_A = 0.5 \,kg$।
जब ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ के विरुद्ध रखा जाता है और $F^{\prime} = 20 \,N$ का बल लगाया जाता है,तो दोनों ब्लॉक एक साथ समान त्वरण $a$ से गति करते हैं।
ब्लॉक $A$ के लिए गति का समीकरण: $F^{\prime} - N = m_A a \Rightarrow 20 - N = 0.5 a$ $(i)$।
ब्लॉक $B$ के लिए गति का समीकरण: $N = m_B a \Rightarrow N = 1.5 a$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $20 = 2 a \Rightarrow a = 10 \,m/s^2$।
समीकरण $(ii)$ में $a$ का मान रखने पर: $N = 1.5 \times 10 = 15 \,N$।
अतः,ब्लॉक $B$ पर लगने वाला बल $15 \,N$ है।

(B) माना $t=t_0$ पर,पिंड तल को छोड़ता है। तब,$t=t_0$ पर,अभिलंब बल $N=0$ होगा।
बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \sin 45^{\circ} = \alpha t_0 \sin 45^{\circ}$ है।
पिंड के तल को छोड़ने के लिए,बल के ऊर्ध्वाधर घटक को पिंड के भार को संतुलित करना चाहिए:
$N + \alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
चूँकि तल छोड़ते समय $N=0$ है,इसलिए:
$\alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
यहाँ $m = 1 \text{ kg}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है:
$\alpha t_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1 \times 10$
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ s}$.
बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos 45^{\circ} = \alpha t \cos 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज दिशा में पिंड का त्वरण $a = \frac{F_x}{m} = \frac{\alpha t \cos 45^{\circ}}{1} = \frac{\alpha t}{\sqrt{2}}$ है।
$t_0$ समय पर वेग $V$ इस प्रकार है:
$V = \int_0^{t_0} a \, dt = \int_0^{t_0} \frac{\alpha t}{\sqrt{2}} \, dt = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{t_0} = \frac{\alpha t_0^2}{2 \sqrt{2}}$.
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha}$ का मान रखने पर:
$V = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \left( \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \right)^2 = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \times \frac{100 \times 2}{\alpha^2} = \frac{100}{\sqrt{2} \alpha} = \frac{50 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ m/s}$.

(C) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि परिणामी वेग का परिमाण सदिश योग के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2|\vec{v_1}| |\vec{v_2}| \cos \theta}$। यह केवल तभी परिमाणों के योग के बराबर होता है यदि सदिश एक ही दिशा में हों $(\theta = 0^\circ)$।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि विस्थापन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है,जबकि पथ की लंबाई तय की गई कुल दूरी है। अतः,विस्थापन $\leq$ दूरी।
कथन $(III)$ परिभाषा के अनुसार सही है। तात्क्षणिक त्वरण को $\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(C) दिया गया संबंध $S = \frac{a^{1/2} b}{c^3 d^4}$ है।
$S$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta S}{S} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों के मान रखने पर:
$\left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times (2 \%) + (1 \%) + 3 \times (1 \%) + 4 \times (1 \%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 1 \% + 1 \% + 3 \% + 4 \% = 9 \%$.
अतः,$S$ में प्रतिशत त्रुटि $9 \%$ है।

(A) प्रकृति में चार मूलभूत बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल, दुर्बल नाभिकीय बल, विद्युतचुंबकीय बल और प्रबल नाभिकीय बल।
$1$. दुर्बल नाभिकीय बल की परास लगभग $10^{-18} \,m$ है, जो चारों मूलभूत बलों में सबसे कम है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण और विद्युतचुंबकीय बल की परास अनंत होती है।
$3$. बलों की सापेक्ष शक्ति इस प्रकार है: प्रबल नाभिकीय बल $(1)$ > विद्युतचुंबकीय बल $(10^{-2})$ > दुर्बल नाभिकीय बल $(10^{-13})$ > गुरुत्वाकर्षण बल $(10^{-39})$।
अतः, यह कथन कि दुर्बल नाभिकीय बल की परास सबसे कम है, सही है।

(A) चींटी का विस्थापन सदिश $\vec{a}$,$x$ और $y$ अक्षों पर गति द्वारा इस प्रकार है:
$\vec{a} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$
$r = \sqrt{2} \ cm$ परिमाण और $x$-अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ कोण वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{b}$ है:
$\vec{b} = r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
अतः,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ होगा:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (10 \hat{i} + 20 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})$
$= (10 \times 1) + (20 \times 1) = 10 + 20 = 30 \ cm^2$

(B) खोखले गोले के पदार्थ का आयतन $V_S = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ है,जहाँ $R = 4 \ cm$ और $r = 2 \ cm$ है।
तैरते हुए पिंड के लिए,उत्प्लावन बल पिंड के भार के बराबर होता है।
$B = W$
$\rho_L V_{sub} g = \rho_S V_S g$
चूँकि गोला आधा डूबा हुआ है,इसलिए डूबा हुआ आयतन $V_{sub} = \frac{1}{2} \times ( \frac{4}{3} \pi R^3 ) = \frac{2}{3} \pi R^3$ होगा।
मान रखने पर:
$2.0 \times \frac{2}{3} \pi (4)^3 = \rho_S \times \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3)$
$2.0 \times 64 = \rho_S \times (64 - 8)$
$128 = \rho_S \times 56$
$\rho_S = \frac{128}{56} \approx 1.14 \ g \ cm^{-3}$.

(A) तरल में वस्तु का आभासी वजन $W_{app} = W_{air} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B = V \rho g$ उत्प्लावन बल है।
$T_1 = 32^{\circ}C$ पर: $W_{app1} = 39 \ gm$,$W_{air} = 49 \ gm$,$\rho_1 = 1.2 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_1 = \frac{W_{air} - W_{app1}}{\rho_1} = \frac{(49 - 39) \times 10^{-3} \ kg}{1.2 \times 10^3 \ kg/m^3} = 8.33 \times 10^{-6} \ m^3$.
$T_2 = 42^{\circ}C$ पर: $W_{app2} = 40 \ gm$,$W_{air} = 49 \ gm$,$\rho_2 = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_2 = \frac{W_{air} - W_{app2}}{\rho_2} = \frac{(49 - 40) \times 10^{-3} \ kg}{1.0 \times 10^3 \ kg/m^3} = 9 \times 10^{-6} \ m^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = V_1 (3\alpha \Delta T)$.
$9 \times 10^{-6} - 8.33 \times 10^{-6} = 8.33 \times 10^{-6} \times 3 \alpha \times (42 - 32)$.
$\alpha = \frac{0.67}{8.33 \times 30} \approx \frac{8}{3} \times 10^{-3} /^{\circ}C$.

(C) $h$ गहराई पर स्थित छिद्र के लिए बहिःस्राव का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 20.0 \ m$ और $g = 10 \ m s^{-2}$ दिया गया है:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m s^{-1}$
आयतन प्रवाह दर $(Q)$,छिद्र के क्षेत्रफल $(A)$ और बहिःस्राव के वेग $(v)$ का गुणनफल है:
$Q = A \times v$
$3.08 \times 10^{-5} = \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) \times 20$
$d^2$ के लिए हल करने पर:
$d^2 = \frac{4 \times 3.08 \times 10^{-5}}{20 \times \pi} = \frac{12.32 \times 10^{-5}}{62.83} \approx 1.96 \times 10^{-6} \ m^2$
वर्गमूल लेने पर:
$d = \sqrt{1.96 \times 10^{-6}} = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$

(B) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल के वेग का गुणनफल प्रवाह के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है:
$A_A v_A = A_B v_B$
यह दिया गया है कि पाइप बेलनाकार है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
बिंदु $A$ पर,त्रिज्या $2R$ है,इसलिए $A_A = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$।
बिंदु $B$ पर,त्रिज्या $R$ है,इसलिए $A_B = \pi R^2$।
बिंदु $B$ पर वेग $v_B = 4v$ दिया गया है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$4\pi R^2 \times v_A = \pi R^2 \times 4v$
दोनों पक्षों को $4\pi R^2$ से विभाजित करने पर:
$v_A = v$

(B) दिया है:
पाइप का व्यास $D_1 = 4 \,cm$,त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$.
थ्रोट का व्यास $D_2 = 2 \,cm$,त्रिज्या $r_2 = 1 \,cm$.
पाइप में वेग $V_1 = 10 \,m/s$.
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$.
चरण $1$: सांतत्य समीकरण (equation of continuity) $A_1 V_1 = A_2 V_2$ का उपयोग करते हुए:
$\pi r_1^2 V_1 = \pi r_2^2 V_2$
$(2)^2 \times 10 = (1)^2 \times V_2$
$V_2 = 40 \,m/s$.
चरण $2$: क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (40^2 - 10^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (1600 - 100)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 1500 = 7.5 \times 10^5 \,Pa$.

(B) द्रव में $h$ गहराई पर स्थित हवा के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव,द्रव स्तंभ के कारण दबाव और पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव का योग होता है।
द्रव के अंदर हवा के बुलबुले के लिए केवल एक ही मुक्त सतह होती है।
पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव $\Delta P_s = \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई के कारण दबाव $\Delta P_h = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
कुल अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2S}{R} + \rho g h$ है।
दिया गया है: $S = 0.1 \ N \ m^{-1}$,$R = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 2000 \ kg \ m^{-3}$,$h = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{2 \times 0.1}{1 \times 10^{-3}} + (2000 \times 10 \times 8 \times 10^{-2})$
$\Delta P = 200 + 1600 = 1800 \ N \ m^{-2}$.

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह का क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi r^2 = 8 \pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_i = R$ है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ है।
अंतिम व्यास दोगुना हो जाता है,इसलिए अंतिम त्रिज्या $r_f = 2R$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = T \times (8 \pi (2R)^2) = T \times (8 \pi \times 4R^2) = 32 \pi R^2 T$ है।
आवश्यक पृष्ठ ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$।

(C) माना बर्तन की कुल ऊँचाई $H = 50 \ cm$ है। माना छेद तल से $y$ ऊँचाई पर बनाया गया है। तो मुक्त सतह से छेद की गहराई $h = H - y = 50 - y$ होगी।
पानी की धार का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(50-y)}$ है।
पानी को मेज तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ है।
क्षैतिज परास (range) $R = v \times t = \sqrt{2g(50-y)} \times \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(50-y)}$ द्वारा दी जाती है।
परास $R$ को अधिकतम करने के लिए,हम $R$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dR}{dy} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{y(50-y)}} \times (50 - 2y) = 0$.
इससे $50 - 2y = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 25 \ cm$.
इस प्रकार,छेद को तल से $25 \ cm$ की ऊँचाई पर बनाया जाना चाहिए।

(A) सीमांत वेग $(v_t)$ का सूत्र स्टोक्स के नियम से प्राप्त होता है: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.02 \ mm = 2 \times 10^{-5} \ m$,श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,जल का घनत्व $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,वायु का घनत्व $\sigma \approx 0$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
मान रखने पर: $v_t = \frac{2 \times (2 \times 10^{-5})^2 \times 1000 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$.
$v_t = \frac{2 \times 4 \times 10^{-10} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{8 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \times 10^{-2} \approx 4.938 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ में बदलने पर: $v_t \approx 4.938 \times 10^{-2} \times 100 \ cm \ s^{-1} = 4.938 \ cm \ s^{-1}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $4.9 \ cm \ s^{-1}$ है।

$(A)$ दिया गया है:
घन की भुजा, $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
आधार का क्षेत्रफल, $A = L^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$.
तरल परत की मोटाई, $dx = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
अनुप्रयुक्त बल, $F = 0.1 \,N$.
स्थिर वेग, $v = 0.08 \,m/s$.
चूंकि घन स्थिर गति से चलता है, इसलिए कुल बल शून्य है, जिसका अर्थ है कि अनुप्रयुक्त बल श्यानता खिंचाव बल (विस्कस ड्रैग फोर्स) के बराबर है: $F = F_{drag}$.
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $0.1 = \eta \times 0.01 \times \frac{0.08}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$0.1 = \eta \times 0.01 \times 400$.
$0.1 = \eta \times 4$.
$\eta = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,Ns/m^2 = 2.5 \times 10^{-2} \,Ns/m^2$.

(D) पोइसेल के नियम के अनुसार,आयतन प्रवाह दर $Q$ इस प्रकार दी जाती है:
$Q = \frac{\pi \Delta P r^4}{8 L \eta}$
जहाँ $r$ त्रिज्या है,$\eta$ श्यानता है और $\Delta P$ दबाव का अंतर है।
चूंकि प्रवाह दर $Q$ रक्त के घनत्व पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए घनत्व में परिवर्तन प्रवाह दर को प्रभावित नहीं करता है।
सूत्र का लघुगणकीय अवकलन लेने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \eta}{\eta}$
दिया गया है कि त्रिज्या $r$ में $1 \%$ की वृद्धि होती है $(\frac{\Delta r}{r} = 0.01)$ और श्यानता $\eta$ में $1 \%$ की वृद्धि होती है $(\frac{\Delta \eta}{\eta} = 0.01)$:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4(0.01) - 0.01 = 0.04 - 0.01 = 0.03$
अतः,प्रवाह दर में प्रतिशत परिवर्तन $0.03 \times 100 = 3 \%$ है।

(C) बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi r^2$ है। प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i = S \times 4 \pi r^2$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi (r')^3$.
इसे सरल करने पर $r^3 = 8(r')^3$,जिससे $r = 2r'$,अर्थात $r' = r/2$ प्राप्त होता है।
$8$ बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 8 \times 4 \pi (r')^2 = 8 \times 4 \pi (r/2)^2 = 8 \times 4 \pi (r^2/4) = 8 \pi r^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f = S \times 8 \pi r^2$ है।
किया गया कार्य पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i = S(8 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 S$.

(D) पानी के स्तंभ के कारण पूल के तल पर दबाव में वृद्धि $\Delta P = \rho g h$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta P = 1000 \times 10 \times 22 = 2.2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
बल्क मॉडुलस $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,आयतन में आंशिक परिवर्तन $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{2.2 \times 10^5}{2.2 \times 10^9} = 10^{-4}$।

(B) कर्तन मापांक,कर्तन प्रतिबल और कर्तन विकृति का अनुपात है,जो विरूपण बल के विरुद्ध प्रतिरोध को दर्शाता है। अतः,$A \rightarrow V$.
$(B)$ कर्तन प्रतिबल वह बल है जो सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,जिसे स्पर्शरेखीय प्रतिबल भी कहा जाता है। अतः,$B \rightarrow III$.
$(C)$ प्रत्यास्थ थकान बार-बार लगने वाले वैकल्पिक विरूपण बल के कारण किसी पदार्थ के प्रत्यास्थ गुणों का अस्थायी नुकसान है। अतः,$C \rightarrow IV$.
$(D)$ प्रत्यास्थता मापांक प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति के बीच का समानुपातिकता स्थिरांक है। अतः,$D \rightarrow II$.
इसलिए,सही मिलान $A-V, B-III, C-IV, D-II$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर, तार में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है और वस्तु के भार को संतुलित करता है।
तार पर कार्य करने वाला कुल बल $F = mg + m\omega^2l$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान: $m = 15 \,kg$, $l = 1.0 \,m$, $\omega = 4 \,rad/s$, $A = 0.05 \,cm^2 = 0.05 \times 10^{-4} \,m^2$, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$, और $g = 10 \,m/s^2$.
बल $F$ की गणना:
$F = (15 \times 10) + (15 \times 4^2 \times 1) = 150 + 240 = 390 \,N$.
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ का उपयोग करते हुए, तार में वृद्धि $\Delta l$ है:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY} = \frac{390 \times 1.0}{(0.05 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{390}{0.1 \times 10^7} = \frac{390}{10^6} = 390 \times 10^{-6} \,m = 0.39 \,mm$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) विस्तार $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{Y A} = \frac{m g l}{Y \pi r^2}$ है।
चूंकि $m, g, l$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $\Delta l \propto \frac{1}{Y r^2}$ होगा।
अतः,$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
दिया है कि $\Delta l_2 = 2 \Delta l_1$,इसलिए $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{1.5}{2} \right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{Y_2}{Y_1} \times \frac{9}{16}$.
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{9}{16} \times 2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10.0 \ mm = 0.01 \ m$,लंबाई $L = 50.0 \ cm = 0.5 \ m$,बल $F = 10.0 \times \pi \ kN = 10^4 \pi \ N$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$।
लंबाई में परिवर्तन का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$।
$\Delta L = \frac{(10^4 \pi) \times 0.5}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})}$।
$\Delta L = \frac{0.5 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 0.25 \times 10^{-3} \ m = 0.25 \ mm$।

(B) तार को खींचने में किया गया कार्य तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{1}{2} \times \left( Y \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times (A \ell)$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{\ell} (\Delta \ell)^2$
दिया गया है:
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$
$A = 10^{-6} \ m^2$
$\ell = 2 \ m$
$\Delta \ell = 2.004 - 2 = 0.004 \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 10^{-6}}{2} \times (4 \times 10^{-3})^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10^5 \times 16 \times 10^{-6}$
$W = 0.5 \times 1.6 = 0.8 \ J$

(B) कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$ है।
त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ में,वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि $t = 0 \ s$ से $t = 15 \ s$ तक की अवधि में त्वरण धनात्मक है,इसलिए कण का वेग लगातार बढ़ता रहता है।
अतः,अधिकतम चाल $t = 15 \ s$ पर प्राप्त होती है।
$a-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसका आधार $15 \ s$ और ऊँचाई $10 \ m \ s^{-2}$ है।
$\Delta v = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$\Delta v = \frac{1}{2} \times 15 \ s \times 10 \ m \ s^{-2} = 75 \ m \ s^{-1}$.
इसलिए,$v_{max} = u + \Delta v = 0 + 75 \ m \ s^{-1} = 75 \ m \ s^{-1}$.

(C) चरण $1$: पावर्ड फ्लाइट के अंत में $(t = 5 \,s)$ वेग और ऊंचाई की गणना करें।
प्रारंभिक वेग $u = 0$, त्वरण $a = 20 \,m/s^2$, और समय $t = 5 \,s$ है।
$t = 5 \,s$ पर वेग $V_{max} = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100 \,m/s$ है।
$t = 5 \,s$ पर प्राप्त ऊंचाई $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \,m$ है।
चरण $2$: जमीन से टकराते समय अंतिम गति की गणना करें।
$t = 5 \,s$ के बाद, रॉकेट गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त पतन में है $(g = 10 \,m/s^2)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरणों का उपयोग करके, अधिकतम ऊंचाई पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है, या हम $V^2 = u^2 + 2aS$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ, रॉकेट $S = 250 \,m$ की ऊंचाई से $V_{max} = 100 \,m/s$ के प्रारंभिक ऊपर की ओर वेग के साथ शुरू होता है।
जब यह जमीन से टकराता है, तो अंतिम वेग $V$ का मान $V^2 = V_{max}^2 + 2gS$ द्वारा दिया जाता है।
$V^2 = (100)^2 + 2 \times 10 \times 250$.
$V^2 = 10000 + 5000 = 15000$.
$V = \sqrt{15000} = \sqrt{2500 \times 6} = 50 \sqrt{6} \,m/s$.

(C)
समय $t$ पर ऊँचाई $H$ के लिए गति का समीकरण:
$H = ut - \frac{1}{2}gt^2$
चूँकि गेंद $t_1 = 2 \,s$ और $t_2 = 10 \,s$ पर समान ऊँचाई $H$ से गुजरती है, इसलिए:
$H = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 2u - 2g$
$H = u(10) - \frac{1}{2}g(10)^2 = 10u - 50g$
$H$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$2u - 2g = 10u - 50g$
$8u = 48g$
$u = 6g = 6 \times 9.8 = 58.8 \,m/s$
अब $H$ के व्यंजक में $u$ का मान रखने पर:
$H = 2(58.8) - 2(9.8) = 117.6 - 19.6 = 98 \,m$

(C) माना गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$x$ मीटर की दूरी तय करने के बाद,वेग $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2u}{3}$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ लक्ष्य के अंदर मंदन (deceleration) है:
$(\frac{2u}{3})^2 = u^2 - 2ax$
$\frac{4u^2}{9} = u^2 - 2ax$
$2ax = u^2 - \frac{4u^2}{9} = \frac{5u^2}{9} \quad \dots (1)$
अब,गति के दूसरे भाग के लिए,गोली $\frac{2u}{3}$ वेग से शुरू होती है और $x^{\prime}$ अतिरिक्त दूरी तय करके रुक (अंतिम वेग $v_2 = 0$) जाती है:
$0^2 = (\frac{2u}{3})^2 - 2ax^{\prime}$
$2ax^{\prime} = \frac{4u^2}{9} \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2ax^{\prime}}{2ax} = \frac{4u^2/9}{5u^2/9}$
$\frac{x^{\prime}}{x} = \frac{4}{5}$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$,समय $t = 2 \ s$।
समान त्वरण के लिए,हम गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हैं:
$v = u + at$
$10 = 0 + a \times 2$
$a = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$।
अब,तय की गई दूरी $(s)$ के लिए,हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
$s = 10 \ m$।
अतः,त्वरण $5 \ m \ s^{-2}$ है और तय की गई दूरी $10 \ m$ है।

(D) जब कोई पिंड अपनी दिशा बदलता है,तो वह एक क्षण के लिए स्थिर हो जाता है,उदाहरण के लिए,ऊपर की ओर फेंका गया पिंड अपने उच्चतम बिंदु पर स्थिर हो जाता है। अतः,कारण कथन सही है।
इसी उदाहरण में,उच्चतम बिंदु पर कण का वेग $0$ होता है,लेकिन कण का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g = 9.8 \ m/s^2)$ के बराबर होता है,जो कि शून्य नहीं है।
इसलिए,कथन असत्य है।

(C) इस परिपथ में इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NAND$ गेट लगा है।
$1$. $NAND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. डी-मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ होता है।
$4$. इस नियम को लागू करने पर: $Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
$5$. समीकरण $Y = A + B$ एक $OR$ लॉजिक ऑपरेशन को दर्शाता है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \Omega$,$AC$ स्रोत $\varepsilon = 10 \sin (250 \pi t)$.
$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin (\omega t)$ से तुलना करने पर,$\varepsilon_0 = 10 \text{ V}$ और $\omega = 250 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मा के रूप में क्षयित ऊर्जा $H = \int_0^{t} \frac{\varepsilon^2}{R} dt$ द्वारा दी जाती है।
$H = \frac{1}{R} \int_0^{10^{-3}} (10 \sin (250 \pi t))^2 dt = \frac{100}{100} \int_0^{10^{-3}} \sin^2 (250 \pi t) dt$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$H = \int_0^{10^{-3}} \frac{1 - \cos (500 \pi t)}{2} dt$.
$H = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin (500 \pi t)}{500 \pi} \right]_0^{10^{-3}}$.
$H = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (500 \pi \times 10^{-3})}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (0.5 \pi)}{500 \pi} \right]$.
चूंकि $\sin (0.5 \pi) = 1$,$H = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi - 2}{1000 \pi} \right] = \frac{\pi - 2}{2000 \pi} \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$\pi - 2 \approx 1.14$. अतः $H \approx \frac{1.14}{2000 \pi} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \times 10^{-3} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \text{ mJ}$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए $Q$-फैक्टर (क्वालिटी फैक्टर) का सूत्र निम्नलिखित है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान हैं:
$L = 2 \ H$
$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$
$R = 20 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{250}{20} = 12.5$
अतः,$Q$-मान $12.5$ है।

(C) दिया गया है: $C = 100 \mu F = 10^{-4} F$,$R = 20 \Omega$,$L = 12.5 mH = 12.5 \times 10^{-3} H$,$V_{rms} = 220 V$,$f = \frac{200}{\pi} Hz$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति की गणना करें: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{200}{\pi} = 400 rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात की गणना: $X_L = \omega L = 400 \times 12.5 \times 10^{-3} = 5 \Omega$.
धारितीय प्रतिघात की गणना: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \Omega$.
प्रतिबाधा की गणना: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{20^2 + (5 - 25)^2} = \sqrt{400 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \Omega$.
शिखर वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} V$ है।
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{20\sqrt{2}} = 11 A$ है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के लिए मानक समीकरण $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $I(t) = 50 \sin(200 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर धारा $I_0 = 50 \text{ A}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
धारा का $RMS$ मान $I_{RMS} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \text{ A}$ होता है।
आवृत्ति $f$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$200 \pi = 2 \pi f$,जिससे $f = 100 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्ति $100 \text{ Hz}$ है और $RMS$ मान $25 \sqrt{2} \text{ A}$ है।

(B) जनरेटर द्वारा उत्पन्न शक्ति $P = V \times I = 4000 \, V \times 100 \, A = 4 \times 10^5 \, W$ है।
चूंकि ट्रांसफार्मर आदर्श है, इसलिए शक्ति स्थिर रहती है। ट्रांसमिशन लाइन में धारा $(I')$ का मान $P = V' \times I'$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V' = 2 \times 10^5 \, V$ है।
$I' = P / V' = (4 \times 10^5 \, W) / (2 \times 10^5 \, V) = 2 \, A$.
ट्रांसमिशन लाइन में शक्ति हानि $P_{loss} = (I')^2 \times R = (2 \, A)^2 \times 50 \, \Omega = 4 \times 50 = 200 \, W$ है।
शक्ति हानि का प्रतिशत $(P_{loss} / P) \times 100 = (200 / 4 \times 10^5) \times 100 = (2 \times 10^2 / 4 \times 10^5) \times 10^2 = 0.5 \times 10^{-1} \times 10^2 = 0.05 \%$ है।

(C) $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \text{ eV}$
$n_f = 2$ और $n_i = 3$ मान रखने पर:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV} \approx 1.89 \text{ eV}$
प्रकाश वैद्युत प्रभाव (photoelectric effect) होने के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
अतः, अधिकतम कार्य फलन $\Phi_{\text{max}} = 1.89 \text{ eV}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ तक होता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\nu_{B} = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{4}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$,इसलिए $\nu' = cR \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{16}$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\nu'}{\nu_{B}} = \frac{cR/16}{cR/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
अतः,$\nu' = \frac{\nu_{B}}{4}$।

(B) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
अधिकतम तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा) के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5} \times 10^{-7} \ m = 7.2 \times 10^{-7} \ m = 7200 \ Å$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (अधिकतम ऊर्जा) के लिए,हम $n = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} \right) \implies \lambda_{min} = 4 \times 10^{-7} \ m = 4000 \ Å$.
तरंगदैर्ध्य में अंतर $\Delta \lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} = 7200 \ Å - 4000 \ Å = 3200 \ Å$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिक $1$ के लिए: $R_1 = R_0 A_1^{1/3}$.
नाभिक $2$ के लिए: $R_2 = R_0 A_2^{1/3}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$.
दिया गया है कि $A_2$,$A_1$ से $2\%$ अधिक है,इसलिए $A_2 = A_1(1 + 0.02) = 1.02 A_1$,अर्थात $\frac{A_2}{A_1} = 1.02$.
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = (1.02)^{1/3} = (1 + 0.02)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.02) = 1 + 0.00666...$
अतः,$\frac{R_2}{R_1} \approx 1 + \frac{2}{300} = 1 + \frac{2}{3} \%$.
इसलिए,$R_2$,$R_1$ से $\frac{2}{3} \%$ अधिक है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का वेग $V_n = \frac{V_0}{n}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_0$ एक स्थिरांक है।
इसका अर्थ है कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $V \propto \frac{1}{n}$।
$4^{\text{th}}$ कक्षा में वेग $(V_4)$ और $9^{\text{th}}$ कक्षा में वेग $(V_9)$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\frac{V_4}{V_9} = \frac{1/4}{1/9} = \frac{9}{4}$।
अतः,अनुपात $9 : 4$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} eV$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए $n = 1$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ है,तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है और चौथी उत्तेजित अवस्था $n = 5$ है।
सूत्र में $n = 5$ रखने पर:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} eV = \frac{-13.6}{25} eV = -0.544 eV$।

(C) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0}{3} \text{ F}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = CV = \frac{\varepsilon_0}{3} \times 12 = 4 \varepsilon_0 \text{ C}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2(\varepsilon_0/3)} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0 / 3} = 24 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
परावैद्युत डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC = 3 \times \frac{\varepsilon_0}{3} = \varepsilon_0 \text{ F}$ है।
चूंकि बैटरी डिस्कनेक्ट है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0} = 8 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 8 \varepsilon_0 - 24 \varepsilon_0 = -16 \varepsilon_0 \text{ J}$ है।
सिस्टम पर किए गए कार्य का परिमाण $16 \varepsilon_0$ है। अतः,$\alpha = 16$।

(C) प्रारंभ में,जब स्विच को दाईं ओर किया जाता है,तो संधारित्र $C_1$ को $9 \ V$ की बैटरी से जोड़ा जाता है। $C_1$ पर आवेश $Q_0 = C_1 \times V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ द्वारा प्राप्त होता है।
जब स्विच को बाईं ओर किया जाता है,तो $C_1$ को $C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है। मान लीजिए $C_1$ पर अंतिम आवेश $Q$ है और $C_2$ तथा $C_3$ पर अंतिम आवेश $q$ है (चूंकि वे श्रेणी में हैं,इसलिए उनका आवेश समान होगा)।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर के बराबर होना चाहिए:
$\frac{Q}{C_1} = \frac{q}{C_2} + \frac{q}{C_3}$
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = 1 \ \mu F$ है,इसलिए:
$\frac{Q}{1} = \frac{q}{1} + \frac{q}{1} \Rightarrow Q = 2q$।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q + q = Q_0 = 9 \ \mu C$।
समीकरण में $Q = 2q$ रखने पर:
$2q + q = 9 \ \mu C \Rightarrow 3q = 9 \ \mu C \Rightarrow q = 3 \ \mu C$।
अतः,संधारित्र $C_2$ पर अंतिम आवेश $3 \ \mu C$ है।

(A) दिए गए परिपथ आरेख से,संधारित्र $3 C$ और $2 C$ समान दो नोड्स के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,उनकी तुल्य धारिता $C_p$ इस प्रकार है:
$C_p = 3 C + 2 C = 5 C$
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_p = 5 C$,संधारित्र $C$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ श्रेणी क्रम के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$C_{AB} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 5 C}{C + 5 C} = \frac{5 C^2}{6 C} = \frac{5}{6} C$

(B) एम्प्लिट्यूड मॉड्युलेशन में साइड बैंड की आवृत्तियाँ वाहक आवृत्ति $\nu_c$ में संदेश सिग्नल की आवृत्ति $f_m$ को जोड़ने और घटाने से प्राप्त होती हैं।
दिया गया है: $f_m = 15 kHz$,अपर साइड बैंड $(USB)$ $= 1515 kHz$,लोअर साइड बैंड $(LSB)$ $= 1485 kHz$।
साइड बैंड $\nu_c + f_m$ और $\nu_c - f_m$ होते हैं।
अतः,$\nu_c + 15 kHz = 1515 kHz$ या $\nu_c - 15 kHz = 1485 kHz$।
$\nu_c$ के लिए हल करने पर: $\nu_c = 1515 kHz - 15 kHz = 1500 kHz$।
$MHz$ में परिवर्तित करने पर: $1500 kHz = 1.5 MHz$।

(A) मानक $AM$ (एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेशन) प्रसारण रेडियो मीडियम फ्रीक्वेंसी $(MF)$ बैंड में कार्य करता है।
मानक $AM$ प्रसारण के लिए आवंटित आवृत्ति सीमा $540 \text{ kHz}$ से $1600 \text{ kHz}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक रैखिक एंटीना द्वारा विकीर्ण शक्ति $P$ को संबंध $P \propto \frac{l^2}{\lambda^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ एंटीना की लंबाई है और $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है।
चूंकि $P \propto l^2$,इसलिए कथन $A$ सत्य है।
चूंकि $\lambda = \frac{c}{f}$,हमारे पास $P \propto \frac{l^2}{(c/f)^2} \propto f^2$ है। इसका मतलब है कि विकीर्ण शक्ति आवृत्ति के वर्ग के साथ बढ़ती है।
इसलिए,कथन $B$ गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि आवृत्ति बढ़ने के साथ शक्ति घटती है।
कुशल विकिरण के लिए,एंटीना का आकार $l$ तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के तुलनीय होना चाहिए (आमतौर पर $l \geq \frac{\lambda}{4}$),इसलिए कथन $C$ सत्य है।
चूंकि लंबी तरंग दैर्ध्य वाले सिग्नल कम आवृत्तियों के अनुरूप होते हैं,इसलिए विकीर्ण शक्ति $P \propto f^2$ बहुत कम होती है,जिससे कथन $D$ सत्य हो जाता है।

(A) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $m$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के पीक वोल्टेज $(A_m)$ और वाहक तरंग के पीक वोल्टेज $(A_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
वाहक तरंग का पीक वोल्टेज,$A_c = 10 \,V$
मॉड्यूलेशन इंडेक्स,$m = 80 \% = 0.8$
सूत्र:
$m = \frac{A_m}{A_c}$
मान रखने पर:
$0.8 = \frac{A_m}{10 \,V}$
$A_m = 0.8 \times 10 \,V = 8 \,V$
अतः,मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का पीक वोल्टेज $8 \,V$ होना चाहिए।

(B) आयाम मॉडुलित तरंग के लिए मॉडुलन सूचकांक $m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$m = \frac{A_{\max} - A_{\min}}{A_{\max} + A_{\min}}$
यहाँ $m = 0.5$ और $A_{\max} = 10.0 \ V$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.5 = \frac{10 - A_{\min}}{10 + A_{\min}}$
$0.5(10 + A_{\min}) = 10 - A_{\min}$
$5 + 0.5 A_{\min} = 10 - A_{\min}$
$1.5 A_{\min} = 5$
$A_{\min} = \frac{5}{1.5} = \frac{50}{15} = 3.33 \ V$.

(B) $h$ ऊँचाई वाले $TV$ ट्रांसमिशन एंटीना की रेंज $(d)$ सूत्र $d = \sqrt{2hR}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $h = 40 \ m$ और $R = 6400 \ km = 6400 \times 10^3 \ m$।
एंटीना द्वारा कवर किया गया सर्विस एरिया $d$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल है,जो है: $Area = \pi d^2$।
क्षेत्रफल के सूत्र में $d^2 = 2hR$ का मान रखने पर:
$Area = \pi (2hR)$
$Area = \pi \times 2 \times 40 \times (6400 \times 10^3)$
$Area = \pi \times 80 \times 6400 \times 10^3$
$Area = 512000 \times 10^3 \pi \ m^2$
$Area = 512 \times 10^6 \pi \ m^2$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 0 \ V$ है।
$A$ से $C$ तक $2 \ V$ की बैटरी से गुजरने पर,$C$ पर विभव $V_C = 0 + 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
यदि हम बिंदु $B$ पर विभव $0 \ V$ मानते हैं,तो $B$ से $D$ तक $2 \ V$ की बैटरी से गुजरने पर,$V_D = 0 + 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
पहले प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_{CD} = V_C - V_D = 2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ है।
अतः,धारा $i_1 = \frac{V_{CD}}{R} = 0$ होगी।
इसी प्रकार,दूसरी शाखा के लिए,$E$ पर विभव $V_E = V_C + 2 - 2 = 2 \ V$ और $F$ पर विभव $V_F = V_D + 2 - 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_{EF} = 0 \ V$ है,इसलिए $i_2 = 0$ होगा।
अंत में,तीसरी शाखा के लिए,$V_G = V_E + 2 - 2 = 2 \ V$ और $V_H = V_F + 2 - 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_{GH} = 0 \ V$ है,इसलिए $i_3 = 0$ होगा।
इसलिए,$i_1 = i_2 = i_3 = 0$।

(A) विद्युत प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए व्यंजक $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ है।
विश्रांति काल $\tau$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$
दिए गए मान:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{23.04 \times 10^{-18}}$
$\tau \approx 0.39 \times 10^{-13} \ s = 3.9 \times 10^{-14} \ s$
निकटतम मान लेने पर, हमें $\tau \approx 4 \times 10^{-14} \ s$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I$ धारा है और $R$ प्रतिरोध है。
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho = 10^{-6} \, \Omega \cdot m$, $l = 0.04 \, m$, और $A = \pi r^2 = \pi (7 \times 10^{-3})^2 \, m^2$ है。
शक्ति समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right) \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P A}{\rho l}}$.
धारा घनत्व $J$ को $J = \frac{I}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है。
$I$ का मान रखने पर: $J = \frac{1}{A} \sqrt{\frac{P A}{\rho l}} = \sqrt{\frac{P}{\rho l A}}$.
मान रखने पर: $J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times (7 \times 10^{-3})^2}}$.
$J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times 49 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.54}{1.96 \times 10^{-9} \times \pi}} \approx 5 \times 10^5 \, A/m^2$.

(A) कथन $(I)$: अधिकांश शुद्ध धातुओं के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, जिससे प्रतिरोध का ताप गुणांक धनात्मक होता है। अतः, $(I)$ सही है।
कथन $(II)$: दिया गया व्यास $d = 2 \ mm$, त्रिज्या $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$। क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$। आवेश $q = 360 \pi \ C$, समय $t = 2 \ \text{घंटे }= 7200 \ s$। धारा $i = q/t = 360 \pi / 7200 = \pi / 20 \ A$। इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 5 \times 10^{22} \ cm^{-3} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$। अनुगमन वेग $v_d = i / (neA) = (\pi / 20) / (5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-6}) = 1 / (20 \times 5 \times 1.6 \times 10^3) = 1 / (160000) = 6.25 \times 10^{-6} \ m/s$। अतः, $(II)$ सही है।
कथन $(III)$: अर्धचालक अ-ओमीय (non-ohmic) चालक होते हैं; वे विद्युत क्षेत्र के सभी मानों के लिए रैखिक $V-I$ संबंध का पालन नहीं करते हैं। अतः, $(III)$ सही है।

(B) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $V_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\mu = \frac{V_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$।
दिए गए मान हैं:
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$
औसत टक्कर समय (विश्रांति काल) $\tau = 9.1 \times 10^{-15} \,s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (9.1 \times 10^{-15} \,s)}{9.1 \times 10^{-31} \,kg}$
$\mu = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$\mu = 1.6 \times 10^{-19 - 15 + 31} \,m^2/V \cdot s$
$\mu = 1.6 \times 10^{-3} \,m^2/V \cdot s$।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $\alpha$ है।
पहले मामले में,सेल खुले परिपथ में है,इसलिए संतुलन लंबाई $l_1 = 60 \ cm = 0.6 \ m$ सेल के $EMF$ $\varepsilon$ के अनुरूप है:
$\varepsilon = \alpha \times 0.6 \quad \dots(1)$
दूसरे मामले में,सेल को $R = 4 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है। टर्मिनल विभवांतर $V$ संतुलित होता है,जहाँ $V = \varepsilon - Ir = \varepsilon \left( \frac{R}{R+r} \right)$ है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है,इसलिए:
$V = \alpha \times 0.4 \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{\varepsilon} = \frac{\alpha \times 0.4}{\alpha \times 0.6} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{V}{\varepsilon} = \frac{R}{R+r}$,इसलिए:
$\frac{4}{4+r} = \frac{2}{3}$
$12 = 8 + 2r$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,$A = \pi r^2$ होगा।
पहले तार के लिए: $R = \rho \frac{L}{\pi r^2} \quad (1)$
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 2L$ और $r_2 = 3r$ है।
नया प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{2L}{\pi (3r)^2} = \rho \frac{2L}{9 \pi r^2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R_2}{R} = \frac{\rho \frac{2L}{9 \pi r^2}}{\rho \frac{L}{\pi r^2}} = \frac{2}{9}$
अतः,$R_2 = \frac{2}{9} R$।

(C) एक समान तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = AL$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $A = \frac{V}{L}$ है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho L}{(V/L)} = \left(\frac{\rho}{V}\right) L^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
छोटे प्रतिशत परिवर्तनों के लिए,हम संबंध $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ का उपयोग कर सकते हैं।
दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\%$,इसे समीकरण में रखने पर:
$6\% = 2 \times \left(\frac{\Delta L}{L} \times 100\right)$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{6\%}{2} = 3\%$ है।

(C) विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) तापमान और पदार्थ की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है। इसलिए,कथन $(I)$ गलत है।
जब एक तार को उसकी मूल लंबाई से $n$ गुना खींचा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R' = n^2 R$ हो जाता है। यहाँ,$n = 4$ और $R = 6 \ \Omega$ है,इसलिए $R' = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96 \ \Omega$ होगा। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।
अनुगमन वेग वह औसत वेग है जिसके साथ मुक्त इलेक्ट्रॉन लागू विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में अनुगमन (drift) करते हैं। इसलिए,कथन $(III)$ सही है।
अतः,केवल कथन $(III)$ सत्य है।

(B) तार से प्रवाहित कुल धारा $I$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ पर धारा घनत्व $J$ के समाकलन द्वारा दी जाती है: $I = \int J \, dA$।
चूंकि तार वृत्ताकार है,$dA = 2 \pi r \, dr$।
$I = \int_0^{R} J(r) \cdot 2 \pi r \, dr$,जहाँ $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$।
$I = \int_0^{2 \times 10^{-3}} (10^5 r) \cdot (2 \pi r) \, dr = 2 \pi \times 10^5 \int_0^{2 \times 10^{-3}} r^2 \, dr$।
$I = 2 \pi \times 10^5 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2 \times 10^{-3}} = 2 \pi \times 10^5 \times \frac{8 \times 10^{-9}}{3} = \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A}$।
खपत की गई ऊर्जा $E = V \cdot I \cdot t$ द्वारा दी जाती है।
$E = 70 \text{ V} \times \left( \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A} \right) \times 1000 \text{ s}$।
$E = 70 \times \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-1} = \frac{1120 \pi}{30} = \frac{112}{3} \pi \approx 37.33 \pi \text{ J}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $37 \pi \text{ J}$ है।

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = 121 \ V$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 121}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3484.8 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{59.03 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1118 \times 10^{-9} \ m = 0.112 \ nm$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{mv}$,जिस कण का संवेग $(mv)$ सबसे कम होगा,उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
प्रत्येक स्थिति के लिए संवेग $(p = mv)$ की गणना:
$A$: $p = 0.02 \ kg \times 1000 \ m/s = 20 \ kg \cdot m/s$
$B$: $p = 0.06 \ kg \times 10 \ m/s = 0.6 \ kg \cdot m/s$
$C$: $p = 0.01 \ kg \times 100 \ m/s = 1 \ kg \cdot m/s$
$D$: $p = 0.03 \ kg \times 1 \ m/s = 0.03 \ kg \cdot m/s$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में संवेग सबसे कम $(0.03 \ kg \cdot m/s)$ है।
अतः,विकल्प $D$ वाली गेंद की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक है।

(A) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए, संक्रमण $n_{i} = \infty$ से $n_{f} = 2$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{4} = 2742500 \ \text{m}^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2742500} \ \text{m} \approx 3.646 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 3.646 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 3646 \ \text{Å}$.

(C) फोटॉन विद्युत चुम्बकीय विकिरण का एक क्वांटम है। प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार, फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक का स्थिरांक है और $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है。
चूंकि ऊर्जा केवल आवृत्ति पर निर्भर करती है, इसलिए कथन $C$ गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि ऊर्जा तीव्रता पर निर्भर करती है。
फोटॉन द्रव्यमान रहित कण होते हैं जो प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ से चलते हैं。
चूंकि फोटॉन विद्युत रूप से तटस्थ होते हैं, इसलिए वे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों में कोई बल अनुभव नहीं करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे उनसे विक्षेपित नहीं होते हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ $K_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
$1$. कथन $I$ गलत है क्योंकि $K_{\max}$ सीधे आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करता है।
$2$. कथन $II$ गलत है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए प्रकाश की आवृत्ति का देहली आवृत्ति (threshold frequency,$\nu_0$) से अधिक होना आवश्यक है,चाहे तीव्रता कुछ भी हो।
$3$. कथन $III$ सही है क्योंकि $K_{\max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं।
$4$. कथन $IV$ सही है क्योंकि जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है,$K_{\max} = h\nu - \phi$ भी बढ़ता है।
अतः,कथन $III$ और $IV$ सही हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध है:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$V_s = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
प्रश्न के अनुसार ढाल $4 \times 10^{-15} \ V \ s$ है,इसलिए:
$\frac{h}{e} = 4 \times 10^{-15} \ V \ s$
$h = (4 \times 10^{-15} \ V \ s) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C)$
$h = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$
अतः,प्लांक नियतांक का मान $6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{max} = E - W$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ धातु का कार्य फलन है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{248 \, nm} = 5.0 \, eV$
अधिकतम गतिज ऊर्जा और निरोधी विभव $(V_s)$ के बीच संबंध:
$K.E._{max} = e V_s = 2.8 \, eV$
इन मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर:
$2.8 \, eV = 5.0 \, eV - W$
$W = 5.0 \, eV - 2.8 \, eV$
$W = 2.2 \, eV$
अतः, धातु का कार्य फलन $2.2 \, eV$ है।

(B) बल्ब की कुल शक्ति $P_{total} = 100 \ W$ है।
चूंकि शक्ति का $20 \%$ दृश्य विकिरण में परिवर्तित होता है,इसलिए दृश्य विकिरण की शक्ति $P_{vis}$ है:
$P_{vis} = 100 \ W \times \frac{20}{100} = 20 \ W$.
बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर समदैशिक रूप से उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता $I$ का सूत्र है:
$I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$.
यहाँ $r = 5 \ m$ दिया गया है,मान रखने पर:
$I = \frac{20}{4 \pi \times (5)^2} = \frac{20}{4 \pi \times 25} = \frac{5}{25 \pi} \ W/m^2$.
दिए गए व्यंजक $\frac{\alpha}{25 \pi} \ W/m^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} K}}$, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है。
दिया गया है: $h = 6.0 \times 10^{-34} \text{ J s}$, $m_{e} = 9.0 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $K = 320 \text{ eV} = 320 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 320 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{18 \times 10^{-31} \times 512 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{9216 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{96 \times 10^{-25}}$
$\lambda = 0.0625 \times 10^{-9} \text{ m} = 62.5 \times 10^{-12} \text{ m} = 62.5 \text{ pm}$.

(A) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
अतः, निरोधी विभव $V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
पहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 200 \, nm$ के लिए, निरोधी विभव $V_{S1} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
दूसरी तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 400 \, nm$ के लिए, निरोधी विभव $V_{S2} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
निरोधी विभव में कमी $\Delta V_S = V_{S1} - V_{S2}$ है।
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} - \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \right)$.
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{400} \right) = \frac{1240}{e} \left( \frac{2-1}{400} \right) = \frac{1240}{400} = 3.1 \, V$.

(D) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि प्रकाश-धारा विभवांतर के साथ केवल संतृप्ति मान तक बढ़ती है,जिसके बाद यह स्थिर रहती है।
कथन $(II)$ गलत है क्योंकि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है। फोटॉन $A$ के लिए,$K_A = 2.5 \ eV - 2.0 \ eV = 0.5 \ eV$। फोटॉन $B$ के लिए,$K_B = 3.5 \ eV - 2.0 \ eV = 1.5 \ eV$। अनुपात $K_A / K_B = 0.5 / 1.5 = 1/3$ है,$3$ नहीं।
कथन $(III)$ गलत है क्योंकि कार्य फलन को धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है,न कि अधिकतम।

(D) स्रोत से $r = 5 \ m$ की दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = \frac{942}{4 \times 3.14 \times 5^2} = \frac{942}{12.56 \times 25} = \frac{942}{314} = 3 \ W/m^2$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6.6 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \ J$.
फोटॉन फ्लक्स $\phi$ प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या है,जो $\phi = \frac{I}{E}$ द्वारा दी जाती है।
$\phi = \frac{3}{3 \times 10^{-19}} = 1 \times 10^{19} \ \frac{\text{photon}}{m^2 \cdot s}$.

(A) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$
यहाँ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ और $v_{\max} = 1.6 \times 10^6 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2$
$(K.E.)_{\max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12}$
$(K.E.)_{\max} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$
निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$e V_s = (K.E.)_{\max}$
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{11.52 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$V_s = 7.2 \ V$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है $n = 20 \text{ फेरे/सेमी} = 2000 \text{ फेरे/मीटर}$.
$B = (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times I = 8\pi \times 10^{-4} I \text{ T}$.
$A = \frac{4}{\pi} \text{ cm}^2 = \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2$ क्षेत्रफल वाले लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है।
प्रेरित emf $\varepsilon$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $\varepsilon = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = A \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = A \mu_0 n \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
मान रखने पर: $\Delta I = 3.0 \text{ A} - 1.0 \text{ A} = 2.0 \text{ A}$,$\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
$\varepsilon = \left( \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2 \right) \times (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times \left( \frac{2.0 \text{ A}}{0.2 \text{ s}} \right)$.
$\varepsilon = (4 \times 10^{-4}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (2000) \times (10) \text{ V}$.
$\varepsilon = 32 \times 10^{-7} \text{ V} = 3.2 \times 10^{-6} \text{ V} = 3.2 \mu \text{V}$.

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$|\varepsilon| = N \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = N A \left| \frac{dB}{dt} \right|$
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 100$
त्रिज्या $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \ m^2$
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 0.1 \ T \ s^{-1}$
मान रखने पर:
$|\varepsilon| = 100 \times (0.01 \pi) \times 0.1$
$|\varepsilon| = 1 \times 0.1 \pi = 0.1 \pi \ V = \frac{\pi}{10} \ V$

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \text{ T}$ क्षेत्रफल के लंबवत है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ और $\cos 0^{\circ} = 1$ होगा।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
दिया गया है आधार $= 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ और ऊंचाई $= 1 \text{ cm} = 1 \times 10^{-2} \text{ m}$।
$A = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-2} \text{ m}) \times (1 \times 10^{-2} \text{ m}) = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$।
अब,फ्लक्स की गणना करने पर: $\phi = 2 \text{ T} \times (1 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 1 = 2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$।

(B) प्रेरित emf $\varepsilon$ फैराडे के प्रेरण नियम द्वारा दिया जाता है: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d(B \cdot A)}{dt}|$.
चूंकि क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,$|\varepsilon| = A \cdot |\frac{dB}{dt}|$.
यहाँ $A = 0.2 \, m^2$,प्रारंभिक $B = 0.25 \, T$,अंतिम $B = 0 \, T$,और $\Delta t = 10^{-4} \, s$ दिया गया है।
$|\varepsilon| = 0.2 \cdot \frac{0.25 - 0}{10^{-4}} = 0.2 \cdot 2500 = 500 \, V$.
प्रेरित धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{\varepsilon}{R}$.
यहाँ $R = 20 \, \Omega$ है,इसलिए $I = \frac{500}{20} = 25 \, A$.

(B) डिस्क के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा रेडियल तत्व मानिए। जैसे ही डिस्क घूमती है,यह तत्व चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है।
इस छोटे तत्व में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(de)$ $de = Bv \cdot dr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v = r\omega$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $de = B(r\omega)dr$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(r=0)$ और रिम $(r=R)$ के बीच कुल संभावित अंतर $(e)$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का समाकलन करते हैं:
$e = \int_0^R B\omega r \, dr = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{1}{2} B\omega R^2$.
दिए गए मान: $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$,$\omega = 100 \ rad/s$,और $R = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
इन मानों को रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times 100 \times (0.3)^2$
$e = 2 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.09$
$e = 0.2 \times 0.09 = 0.018 \ V = 18 \ mV$.

(B) संधारित्र $V = 50 \ V$ के विभवांतर तक आवेशित है। जब बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्र को प्रेरक (inductor) से जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक $LC$ दोलक बनाता है।
$t=0$ पर,संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_{max} = 50 \ V$ होता है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$LC$ परिपथ में,विभवांतर का योग शून्य होता है: $V_C + V_L = 0$,जिसका अर्थ है $|V_L| = |V_C|$.
$t=0$ पर,धारा $I=0$ होती है,इसलिए संधारित्र का पूरा विभव प्रेरक के सिरों पर दिखाई देता है।
अतः,$L \left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = V_{max}$.
दिया गया है $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H$ और $V_{max} = 50 \ V$.
$\left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = \frac{50}{10 \times 10^{-3}} = \frac{50}{0.01} = 5000 \ A s^{-1}$.