TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $R = 1 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર ગોઠવાયેલા દળોના યામ નીચે મુજબ છે:
$M$ ના યામ $(1, 0)$
$2M$ ના યામ $(0, 1)$
$3M$ ના યામ $(-1, 0)$
$4M$ ના યામ $(0, -1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $(X_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{M(1) + 2M(0) + 3M(-1) + 4M(0)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{M - 3M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $(Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$Y_{cm} = \frac{M(0) + 2M(1) + 3M(0) + 4M(-1)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{2M - 4M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $-\frac{1}{5} \hat{i} - \frac{1}{5} \hat{j}$ છે.

(B) ધારો કે ગતિશીલ કણનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. સ્થિર કણનું દળ $m' = \frac{m}{n}$ છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણ ધારીને,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$mu = mv_1 + \frac{m}{n}v_2 \Rightarrow u = v_1 + \frac{v_2}{n}$ (સમીકરણ $1$)
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e=1$ લેતા:
$v_2 - v_1 = u \Rightarrow v_1 = v_2 - u$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$u = (v_2 - u) + \frac{v_2}{n} \Rightarrow 2u = v_2(1 + \frac{1}{n}) = v_2(\frac{n+1}{n})$
$v_2 = \frac{2nu}{n+1}$
સ્થિર કણને સ્થાનાંતરિત થતી ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2} m' v_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{n}) (\frac{2nu}{n+1})^2 = \frac{1}{2} \frac{m}{n} \frac{4n^2 u^2}{(n+1)^2} = \frac{2mnu^2}{(n+1)^2}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mu^2$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{K'}{K} = \frac{\frac{2mnu^2}{(n+1)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(n+1)^2}$ છે.

(A) ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે. ધારો કે અથડામણ પછી કણ $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m \times 10 + 0 = m V_1 + m V_2 \Rightarrow V_1 + V_2 = 10$ ... $(i)$
આપેલ છે કે તંત્રની ગતિઊર્જામાં $1 \% $ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0.99 K_i$.
$\frac{1}{2} m V_1^2 + \frac{1}{2} m V_2^2 = 0.99 \times (\frac{1}{2} m \times 10^2)$
$V_1^2 + V_2^2 = 0.99 \times 100 = 99$ ... (ii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $(V_1 + V_2)^2 = V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $10^2 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 100 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 2 V_1 V_2 = 1 \Rightarrow V_1 V_2 = 0.5$.
હવે,$(V_1 - V_2)^2 = (V_1 + V_2)^2 - 4 V_1 V_2 = 100 - 4(0.5) = 100 - 2 = 98$.
$V_1 - V_2 = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.899 \ m/s$.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2 V_1 = 10 + 9.899 = 19.899 \Rightarrow V_1 \approx 9.95 \ m/s$.

(B) દડા પર લાગતો આઘાત એ $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
આઘાત = $\frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \ s) \times (20 \times 10^3 \ N)$
આઘાત = $20 \ N \ s = 20 \ kg \ m \ s^{-1}$
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $(\Delta p)$ જેટલો હોય છે:
$\Delta p = m v - m u = \text{આઘાત}$
આપેલ છે: દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m \ s^{-1}$.
$0.1 \times v - 0.1 \times 10 = 20$
$0.1 \times v - 1 = 20$
$0.1 \times v = 21$
$v = \frac{21}{0.1} = 210 \ m \ s^{-1}$

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિ ઉર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એવી છે જેમાં ગતિ ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન,અથડાતા પદાર્થો વચ્ચે ઉર્જાની આપ-લે ચોક્કસપણે થાય છે (વેગમાન અને ગતિ ઉર્જા તેમની વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થાય છે),ભલે તંત્રની કુલ ગતિ ઉર્જા અચળ રહેતી હોય.
તેથી,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે મૂળ ગોળા $A$ નું દળ $M$ છે. $m$ દળ ધરાવતા કણ $B$ પર $2R$ અંતરે લાગતું બળ $F = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ છે.
$r = R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાપેલા ગોળાકાર ભાગનું દળ $M^{\prime} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} = \frac{M}{8}$ થાય.
કાપેલા ભાગના કેન્દ્રનું કણ $B$ થી અંતર $d = 2R - R/2 = 3R/2$ છે.
કાપેલા ભાગ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_{removed} = \frac{G M^{\prime} m}{d^2} = \frac{G (M/8) m}{(3R/2)^2} = \frac{GMm}{8 \cdot (9R^2/4)} = \frac{GMm}{18R^2}$ થાય.
કારણ કે $F = \frac{GMm}{4R^2}$,તેથી $\frac{GMm}{R^2} = 4F$. આમ,$F_{removed} = \frac{4F}{18} = \frac{2}{9} F$.
નવું બળ $F^{\prime} = F - F_{removed} = F - \frac{2}{9} F = \frac{7}{9} F$ થાય.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$m$ વડે ભાગતા અને $GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{gR^2}{R} + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
$-gR + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
અહીં $u = 4000 \ m/s$, $R = 6.4 \times 10^6 \ m$, અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$-(10)(6.4 \times 10^6) + \frac{1}{2}(4000)^2 = -\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-6.4 \times 10^7 + 8 \times 10^6 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-5.6 \times 10^7 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{4.096 \times 10^{14}}{5.6 \times 10^7} = 0.7314 \times 10^7 = 7.314 \times 10^6 \ m$
$h = 7.314 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 0.914 \times 10^6 \ m = 914 \ km$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $914.28 \ km$ છે.

(B) કણોના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ શક્ય જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$.
$a = 3 l_o$ અને $b = 4 l_o$ બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસ માટે,વિકર્ણ $d = \sqrt{(3 l_o)^2 + (4 l_o)^2} = 5 l_o$ થાય.
અહીં $3 l_o$ લંબાઈની બે બાજુઓ,$4 l_o$ લંબાઈની બે બાજુઓ અને $5 l_o$ લંબાઈના બે વિકર્ણો એમ કુલ $6$ જોડીઓ બને છે.
$U = -\left[ \frac{Gm^2}{3 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{4 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{5 l_o} \times 2 \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{40 + 30 + 24}{60} \right] = -\frac{94}{60} \frac{Gm^2}{l_o} = -\frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$.
તેથી,મૂલ્ય $|U| = \frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$ થાય.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીથી દૂરના બિંદુ પરની કુલ ઉર્જા (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે) જેટલી હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. તેથી,$V_0^2 = \frac{2GM}{R}$.
સપાટી પર: $E_i = \frac{1}{2} m(5V_0)^2 - \frac{GMm}{R}$.
દૂરના અંતરે: $E_f = \frac{1}{2} mV^2 + 0$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m(25V_0^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} mV^2$.
$\frac{GM}{R} = \frac{V_0^2}{2}$ મૂકતા:
$\frac{25}{2} mV_0^2 - m(\frac{V_0^2}{2}) = \frac{1}{2} mV^2$.
$12 mV_0^2 = \frac{1}{2} mV^2$.
$V^2 = 24 V_0^2$.
$V = \sqrt{24} V_0 = 2\sqrt{6} V_0$.

(C) શેલ પ્રમેય (Shell Theorem) મુજબ,સમાન પોલા ગોળાકાર કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે. તેથી,તેની અંદર મૂકવામાં આવેલા બિંદુવત દળ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી. આમ,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
સમાન પોલા ગોળાકાર કવચની બહારના કોઈપણ બિંદુ માટે,કવચ એવી રીતે વર્તે છે કે જાણે તેનું સમગ્ર દળ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G M m / r^2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે. આમ,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) જ્યારે કણો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$L$ અંતરે રહેલા $M$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M^2}{L^2}$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ પરના કણ પર $B$ અને $C$ પરના કણોને કારણે લાગતું પરિણામી બળ એ $\vec{F}_{AB}$ અને $\vec{F}_{AC}$ બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_{net} = 2 F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{G M^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$ થાય છે.
કણો $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
પરિણામી બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા,$\frac{M v^2}{R} = F_{net}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{M v^2}{L/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2} \cdot \frac{L}{\sqrt{3} M} = \frac{G M}{L}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{G M}{L}}$.

(A) પાત્ર $T$ જેટલા અચળ તાપમાન ધરાવતા રિઝર્વોયરમાં રાખેલ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમતાપી (isothermal) છે.
આદર્શ વાયુ માટે અચળ તાપમાને બોઈલના નિયમ મુજબ,$PV = \text{અચળ}$.
તેથી,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મુકતા: $P \times V = P^{\prime} \times (2V)$.
$P^{\prime}$ માટે ઉકેલતા: $P^{\prime} = \frac{PV}{2V} = \frac{1}{2} P$.

(C) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે વાયુઓનો ઉષ્મીય પ્રસરણાંક પ્રવાહી કરતા વધારે હોવાથી ગેસ થર્મોમીટર પ્રવાહી થર્મોમીટર કરતા વધુ સંવેદનશીલ હોય છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ અને એવોગેડ્રો આંક $N_A$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $k_B = \frac{R}{N_A}$.
વિધાન $(III)$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$PV = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે. ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણને $P = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે. અચળ દબાણ $P$ માટે,$\rho \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,વિધાન $(II)$ અને $(III)$ સાચા છે,પરંતુ વિધાન $(I)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે ચેમ્બર $B$ નું દળ $M$ છે અને દરેક દડાનું દળ $m$ છે. ચેમ્બર અને દડાઓ દ્વારા વાયુ પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ $F = (M + nm)g$ છે.
જો $A$ એ ચેમ્બરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો વાયુનું દબાણ $P = F/A = (M + nm)g / A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક દડો દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું બળ $F^{\prime} = (M + (n-1)m)g$ થાય છે.
નવું દબાણ $P^{\prime} = F^{\prime} / A = (M + (n-1)m)g / A$ છે.
દબાણમાં તફાવત $P - P^{\prime} = (M + nm)g/A - (M + nm - m)g/A = mg/A$ છે.
આમ,$(P - P^{\prime}) / P = (mg/A) / ((M + nm)g/A) = m / (M + nm)$.
જો આપણે ધારીએ કે ચેમ્બરનું દળ $M$ એ દડાઓના કુલ દળની સરખામણીમાં નગણ્ય છે (અથવા પ્રશ્ન સૂચવે છે કે વજન મુખ્યત્વે દડાઓને કારણે છે),તો $M \approx 0$ મળે છે.
તેથી,$(P - P^{\prime}) / P = m / (nm) = 1/n$.

(A) $\text{વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર } v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \text{ છે, જ્યાં } R \text{ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, } T \text{ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને } M \text{ એ વાયુનું મોલર દળ છે.}
\text{આપેલ તાપમાન } T \text{ માટે, rms ઝડપ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: } v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}.
\text{તેથી, હિલિયમ } (He) \text{ અને નાઈટ્રોજન } (N_2) \text{ ની rms ઝડપનો ગુણોત્તર } \frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{M_{N_2}}{M_{He}}} \text{ થાય.}
\text{નાઈટ્રોજન } (N_2) \text{ નું મોલર દળ } M_{N_2} = 28 \ g \ mol^{-1} \text{ છે અને હિલિયમ } (He) \text{ નું મોલર દળ } M_{He} = 4 \ g \ mol^{-1} \text{ છે.}
\text{આપેલ છે કે } v_{N_2} = 100 \ m \ s^{-1}, \text{ કિંમતો મૂકતા: } \frac{v_{He}}{100} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}.
\text{આમ, } v_{He} = 100 \sqrt{7} \ m \ s^{-1}$.

(B) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને તાપમાન $T_{H_2} = 20 \ K$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
આપણને આપેલ છે કે r.m.s. વેગ સમાન છે: $v_{rms(H_2)} = v_{rms(O_2)}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{2} = \frac{T_{O_2}}{32}$.
$10 = \frac{T_{O_2}}{32} \implies T_{O_2} = 320 \ K$.

(C) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
આપેલ છે કે,$(V_{rms})_{Ne} = (V_{rms})_{He}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_{Ne}}{M_{Ne}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $\frac{T_{Ne}}{M_{Ne}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$.
અહીં $T_{He} = -33^{\circ} C = (-33 + 273) \ K = 240 \ K$,$M_{Ne} = 20.2 \ u$,અને $M_{He} = 4.0 \ u$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{Ne}}{20.2} = \frac{240}{4.0}$.
$\frac{T_{Ne}}{20.2} = 60$.
$T_{Ne} = 60 \times 20.2 = 1212 \ K$.

(B) બંને બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ ગતિક પ્રકારનું છે.
$1 \ kg$ ના બ્લોક માટે:
$f_1 = \mu m_1 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ N$
$2 \ kg$ ના બ્લોક માટે:
$f_2 = \mu m_2 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ N$
ઢળતા સમતલની દિશામાં નીચે તરફ લાગતું પરિણામી બળ પ્રવેગ $a = \alpha \sqrt{2}$ આપે છે:
$(m_1 + m_2)g \sin 45^{\circ} - (f_1 + f_2) = (m_1 + m_2)a$
$(1 + 2) \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = (1 + 2) \times (\alpha \sqrt{2})$
$30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{2} = 3\alpha \sqrt{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$30 - 6 \times 2 = 3\alpha \times 2$
$30 - 12 = 6\alpha$
$18 = 6\alpha$
$\alpha = 3$

(B) જ્યારે વળાંકનો ઢાળ તે બિંદુએ વિરામ કોણના ટેન્જેન્ટ $(\tan \theta = \mu_s)$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક લપસવાનું શરૂ કરશે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર વળાંકનો ઢાળ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{20} \right) = \frac{2x}{20} = \frac{x}{10}$.
બ્લોક લપસ્યા વગર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢાળ નીચેની શરતનું પાલન કરવો જોઈએ:
$\frac{dy}{dx} \leq \mu_s$
લપસવાના બિંદુએ,$\frac{x}{10} = 0.5$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 0.5 \times 10 = 5 \ m$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે પેરાબોલાના સમીકરણમાં $x = 5 \ m$ મૂકતા:
$h = y = \frac{x^2}{20} = \frac{5^2}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 7 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,અંતર $s = 10 \ m$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (7)^2 + 2 \cdot a \cdot 10$
$0 = 49 + 20a$
$a = -\frac{49}{20} = -2.45 \ m/s^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = 9.8 \ m/s^2$,તેથી $a = -\frac{9.8}{4} = -\frac{g}{4}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,અવરોધક બળ $R = ma$.
$a = -\frac{g}{4}$ મૂકતા:
$R = m \left(-\frac{g}{4}\right) = -\frac{mg}{4}$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,આપણને $R = -\frac{W}{4}$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને બ્લોક $A$ નું દળ શોધો: $F = m_A a \Rightarrow 10 = m_A \times 20 \Rightarrow m_A = 0.5 \,kg$.
જ્યારે બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ ની સામે રાખવામાં આવે અને $F^{\prime} = 20 \,N$ નું બળ લગાડવામાં આવે,ત્યારે બંને બ્લોક એકસાથે સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે।
બ્લોક $A$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $F^{\prime} - N = m_A a \Rightarrow 20 - N = 0.5 a$ $(i)$.
બ્લોક $B$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $N = m_B a \Rightarrow N = 1.5 a$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $20 = 2 a \Rightarrow a = 10 \,m/s^2$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $N = 1.5 \times 10 = 15 \,N$.
આમ,બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ $15 \,N$ છે.

(B) ધારો કે $t=t_0$ સમયે,પદાર્થ સપાટી છોડે છે. તેથી,$t=t_0$ સમયે,લંબબળ $N=0$ થાય.
બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \sin 45^{\circ} = \alpha t_0 \sin 45^{\circ}$ છે.
પદાર્થ સપાટી છોડે તે માટે,બળનો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ:
$N + \alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
સપાટી છોડતી વખતે $N=0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\alpha t_0 \sin 45^{\circ} = mg$
અહીં $m = 1 \text{ kg}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે:
$\alpha t_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1 \times 10$
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ s}$.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 45^{\circ} = \alpha t \cos 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_x}{m} = \frac{\alpha t \cos 45^{\circ}}{1} = \frac{\alpha t}{\sqrt{2}}$ છે.
$t_0$ સમયે વેગ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \int_0^{t_0} a \, dt = \int_0^{t_0} \frac{\alpha t}{\sqrt{2}} \, dt = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{t_0} = \frac{\alpha t_0^2}{2 \sqrt{2}}$.
$t_0 = \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha}$ કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \left( \frac{10 \sqrt{2}}{\alpha} \right)^2 = \frac{\alpha}{2 \sqrt{2}} \times \frac{100 \times 2}{\alpha^2} = \frac{100}{\sqrt{2} \alpha} = \frac{50 \sqrt{2}}{\alpha} \text{ m/s}$.

(C) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે પરિણામી વેગનું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2|\vec{v_1}| |\vec{v_2}| \cos \theta}$. તે માત્ર ત્યારે જ મૂલ્યોના સરવાળા જેટલું થાય જો સદિશો એક જ દિશામાં હોય $(\theta = 0^\circ)$.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે સ્થાનાંતર એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર છે,જ્યારે પથલંબાઈ એ કાપેલું કુલ અંતર છે. તેથી,સ્થાનાંતર $\leq$ પથલંબાઈ.
વિધાન $(III)$ વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે. તાત્ક્ષણિક પ્રવેગને $\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સંબંધ $S = \frac{a^{1/2} b}{c^3 d^4}$ છે.
$S$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta S}{S} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓની કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times (2 \%) + (1 \%) + 3 \times (1 \%) + 4 \times (1 \%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 1 \% + 1 \% + 3 \% + 4 \% = 9 \%$.
તેથી,$S$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $9 \%$ છે.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળ, વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
$1$. દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર આશરે $10^{-18} \,m$ છે, જે ચારેય મૂળભૂત બળોમાં સૌથી ટૂંકો છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળનો વિસ્તાર અનંત છે.
$3$. બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા આ મુજબ છે: પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(1)$ > વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(10^{-2})$ > દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(10^{-13})$ > ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(10^{-39})$.
તેથી, દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર સૌથી ટૂંકો છે તે વિધાન સાચું છે.

(A) કીડીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{a}$ એ $x$ અને $y$ અક્ષ પરની ગતિ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{a} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$
$r = \sqrt{2} \ cm$ મૂલ્ય ધરાવતા અને $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ખૂણો બનાવતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{b}$:
$\vec{b} = r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (10 \hat{i} + 20 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})$
$= (10 \times 1) + (20 \times 1) = 10 + 20 = 30 \ cm^2$

(B) પોલા ગોળાના દ્રવ્યનું કદ $V_S = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ છે,જ્યાં $R = 4 \ cm$ અને $r = 2 \ cm$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,ઉત્પ્લાવક બળ એ પદાર્થના વજન જેટલું હોય છે.
$B = W$
$\rho_L V_{sub} g = \rho_S V_S g$
ગોળો અડધો ડૂબેલો હોવાથી,ડૂબેલું કદ $V_{sub} = \frac{1}{2} \times ( \frac{4}{3} \pi R^3 ) = \frac{2}{3} \pi R^3$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$2.0 \times \frac{2}{3} \pi (4)^3 = \rho_S \times \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3)$
$2.0 \times 64 = \rho_S \times (64 - 8)$
$128 = \rho_S \times 56$
$\rho_S = \frac{128}{56} \approx 1.14 \ g \ cm^{-3}$.

(A) પ્રવાહીમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = W_{air} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B = V \rho g$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$T_1 = 32^{\circ}C$ પર: $W_{app1} = 39 \ gm$,$W_{air} = 49 \ gm$,$\rho_1 = 1.2 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_1 = \frac{W_{air} - W_{app1}}{\rho_1} = \frac{(49 - 39) \times 10^{-3} \ kg}{1.2 \times 10^3 \ kg/m^3} = 8.33 \times 10^{-6} \ m^3$.
$T_2 = 42^{\circ}C$ પર: $W_{app2} = 40 \ gm$,$W_{air} = 49 \ gm$,$\rho_2 = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$V_2 = \frac{W_{air} - W_{app2}}{\rho_2} = \frac{(49 - 40) \times 10^{-3} \ kg}{1.0 \times 10^3 \ kg/m^3} = 9 \times 10^{-6} \ m^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = V_1 (3\alpha \Delta T)$.
$9 \times 10^{-6} - 8.33 \times 10^{-6} = 8.33 \times 10^{-6} \times 3 \alpha \times (42 - 32)$.
$\alpha = \frac{0.67}{8.33 \times 30} \approx \frac{8}{3} \times 10^{-3} /^{\circ}C$.

(C) $h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ:
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 20.0 \ m$ અને $g = 10 \ m s^{-2}$ આપેલ છે:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m s^{-1}$
કદનો વહન દર $(Q)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને બહાર નીકળતા પાણીના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે:
$Q = A \times v$
$3.08 \times 10^{-5} = \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) \times 20$
$d^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$d^2 = \frac{4 \times 3.08 \times 10^{-5}}{20 \times \pi} = \frac{12.32 \times 10^{-5}}{62.83} \approx 1.96 \times 10^{-6} \ m^2$
વર્ગમૂળ લેતા:
$d = \sqrt{1.96 \times 10^{-6}} = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$

(B) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર પ્રવાહના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે:
$A_A v_A = A_B v_B$
આપેલ છે કે પાઇપ નળાકાર છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય.
બિંદુ $A$ પર,ત્રિજ્યા $2R$ છે,તેથી $A_A = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $A_B = \pi R^2$.
બિંદુ $B$ પર વેગ $v_B = 4v$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\pi R^2 \times v_A = \pi R^2 \times 4v$
બંને બાજુ $4\pi R^2$ વડે ભાગતા:
$v_A = v$

(B) આપેલ છે:
પાઇપનો વ્યાસ $D_1 = 4 \,cm$,ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$.
ગળાનો વ્યાસ $D_2 = 2 \,cm$,ત્રિજ્યા $r_2 = 1 \,cm$.
પાઇપમાં વેગ $V_1 = 10 \,m/s$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$.
પગલું $1$: સાતત્ય સમીકરણ $A_1 V_1 = A_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\pi r_1^2 V_1 = \pi r_2^2 V_2$
$(2)^2 \times 10 = (1)^2 \times V_2$
$V_2 = 40 \,m/s$.
પગલું $2$: સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (40^2 - 10^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (1600 - 100)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 1500 = 7.5 \times 10^5 \,Pa$.

(B) પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ એ પ્રવાહી સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણ અને પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
પ્રવાહીમાં રહેલા હવાના પરપોટા માટે માત્ર એક જ મુક્ત સપાટી હોય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાનું દબાણ $\Delta P_s = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈને કારણે દબાણ $\Delta P_h = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{R} + \rho g h$.
આપેલ છે: $S = 0.1 \ N \ m^{-1}$,$R = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 2000 \ kg \ m^{-3}$,$h = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{2 \times 0.1}{1 \times 10^{-3}} + (2000 \times 10 \times 8 \times 10^{-2})$
$\Delta P = 200 + 1600 = 1800 \ N \ m^{-2}$.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi r^2 = 8 \pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_i = R$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$.
અંતિમ વ્યાસ બમણો થાય છે,તેથી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_f = 2R$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = T \times (8 \pi (2R)^2) = T \times (8 \pi \times 4R^2) = 32 \pi R^2 T$.
જરૂરી પૃષ્ઠ ઊર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$.

(C) ધારો કે પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $H = 50 \ cm$ છે. ધારો કે છિદ્ર તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ બનાવવામાં આવે છે. તો મુક્ત સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ $h = H - y = 50 - y$ થશે.
પાણીની ધારનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(50-y)}$ છે.
પાણીને ટેબલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ છે.
આડું અંતર (રેન્જ) $R = v \times t = \sqrt{2g(50-y)} \times \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(50-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેન્જ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $R$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dR}{dy} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{y(50-y)}} \times (50 - 2y) = 0$.
આનાથી $50 - 2y = 0$ મળે છે,તેથી $y = 25 \ cm$.
આમ,છિદ્ર તળિયેથી $25 \ cm$ ની ઊંચાઈએ બનાવવું જોઈએ.

(A) ટર્મિનલ વેગ $(v_t)$ સ્ટોક્સના નિયમ પરથી મેળવેલા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.02 \ mm = 2 \times 10^{-5} \ m$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,હવાની ઘનતા $\sigma \approx 0$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_t = \frac{2 \times (2 \times 10^{-5})^2 \times 1000 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$.
$v_t = \frac{2 \times 4 \times 10^{-10} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{8 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \times 10^{-2} \approx 4.938 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $v_t \approx 4.938 \times 10^{-2} \times 100 \ cm \ s^{-1} = 4.938 \ cm \ s^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $4.9 \ cm \ s^{-1}$ મળે છે.

$(A)$ આપેલ છે:
ઘનની બાજુ, $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ, $A = L^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$.
પ્રવાહીના સ્તરની જાડાઈ, $dx = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
લગાડેલ બળ, $F = 0.1 \,N$.
અચળ વેગ, $v = 0.08 \,m/s$.
ઘન અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી, ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે લગાડેલ બળ એ શ્યાનતા બળ (વિસ્કસ ડ્રેગ ફોર્સ) જેટલું છે: $F = F_{drag}$.
ન્યૂટનના શ્યાનતાના નિયમ મુજબ, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = \eta \times 0.01 \times \frac{0.08}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$0.1 = \eta \times 0.01 \times 400$.
$0.1 = \eta \times 4$.
$\eta = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,Ns/m^2 = 2.5 \times 10^{-2} \,Ns/m^2$.

(D) પોઈસેલના નિયમ મુજબ,કદ પ્રવાહ દર $Q$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{\pi \Delta P r^4}{8 L \eta}$
જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે અને $\Delta P$ એ દબાણનો તફાવત છે.
પ્રવાહ દર $Q$ રક્તની ઘનતા પર આધારિત નથી,તેથી ઘનતામાં થતો ફેરફાર પ્રવાહ દરને અસર કરતું નથી.
સૂત્રનું લઘુગણકીય વિકલન લેતા:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \eta}{\eta}$
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r$ માં $1 \%$ નો વધારો થાય છે $(\frac{\Delta r}{r} = 0.01)$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ માં $1 \%$ નો વધારો થાય છે $(\frac{\Delta \eta}{\eta} = 0.01)$:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4(0.01) - 0.01 = 0.04 - 0.01 = 0.03$
તેથી,પ્રવાહ દરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(C) શરૂઆતનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi r^2$ છે. શરૂઆતની પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = S \times 4 \pi r^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $8$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi (r')^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $r^3 = 8(r')^3$,તેથી $r = 2r'$,એટલે કે $r' = r/2$.
$8$ ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 8 \times 4 \pi (r')^2 = 8 \times 4 \pi (r/2)^2 = 8 \times 4 \pi (r^2/4) = 8 \pi r^2$ થાય.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = S \times 8 \pi r^2$ છે.
થયેલું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i = S(8 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 S$.

(D) પાણીના સ્તંભને કારણે પૂલના તળિયે દબાણમાં થતો વધારો $\Delta P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = 1000 \times 10 \times 22 = 2.2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{2.2 \times 10^5}{2.2 \times 10^9} = 10^{-4}$.

(B) શીયર મોડ્યુલસ એ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ અને શીયરિંગ સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે,જે વિરૂપણ બળ સામેના અવરોધને દર્શાવે છે. તેથી,$A \rightarrow V$.
$(B)$ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ એ સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું બળ છે,જેને સ્પર્શક પ્રતિબળ પણ કહેવાય છે. તેથી,$B \rightarrow III$.
$(C)$ સ્થિતિસ્થાપક થાક એ વારંવાર લાગતા વૈકલ્પિક વિરૂપણ બળને કારણે પદાર્થના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોનો કામચલાઉ નાશ છે. તેથી,$C \rightarrow IV$.
$(D)$ સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ એ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ અને વિકૃતિ વચ્ચેનો પ્રમાણસરતાનો અચળાંક છે. તેથી,$D \rightarrow II$.
તેથી,સાચી જોડ $A-V, B-III, C-IV, D-II$ છે.

(B) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ, તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે।
તાર પર લાગતું કુલ બળ $F = mg + m\omega^2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ કિંમતો: $m = 15 \,kg$, $l = 1.0 \,m$, $\omega = 4 \,rad/s$, $A = 0.05 \,cm^2 = 0.05 \times 10^{-4} \,m^2$, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
બળ $F$ ની ગણતરી:
$F = (15 \times 10) + (15 \times 4^2 \times 1) = 150 + 240 = 390 \,N$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ નો ઉપયોગ કરતા, તારમાં થતો વધારો $\Delta l$:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY} = \frac{390 \times 1.0}{(0.05 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{390}{0.1 \times 10^7} = \frac{390}{10^6} = 390 \times 10^{-6} \,m = 0.39 \,mm$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે।

(B) વિસ્તરણ $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{Y A} = \frac{m g l}{Y \pi r^2}$ છે.
અહીં $m, g, l$ બંને તાર માટે સમાન હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{1}{Y r^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\Delta l_2 = 2 \Delta l_1$,તેથી $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{1.5}{2} \right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{Y_2}{Y_1} \times \frac{9}{16}$.
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{9}{16} \times 2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10.0 \ mm = 0.01 \ m$,લંબાઈ $L = 50.0 \ cm = 0.5 \ m$,બળ $F = 10.0 \times \pi \ kN = 10^4 \pi \ N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$.
લંબાઈમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
$\Delta L = \frac{(10^4 \pi) \times 0.5}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})}$.
$\Delta L = \frac{0.5 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 0.25 \times 10^{-3} \ m = 0.25 \ mm$.

(B) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{1}{2} \times \left( Y \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times (A \ell)$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{\ell} (\Delta \ell)^2$
આપેલ છે:
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$
$A = 10^{-6} \ m^2$
$\ell = 2 \ m$
$\Delta \ell = 2.004 - 2 = 0.004 \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 10^{-6}}{2} \times (4 \times 10^{-3})^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10^5 \times 16 \times 10^{-6}$
$W = 0.5 \times 1.6 = 0.8 \ J$

(B) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$ છે.
પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખમાં,વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ એ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$t = 0 \ s$ થી $t = 15 \ s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ ધન હોવાથી,કણનો વેગ સતત વધતો જાય છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપ $t = 15 \ s$ સમયે પ્રાપ્ત થાય છે.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જેનો પાયો $15 \ s$ અને ઊંચાઈ $10 \ m \ s^{-2}$ છે.
$\Delta v = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$\Delta v = \frac{1}{2} \times 15 \ s \times 10 \ m \ s^{-2} = 75 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,$v_{max} = u + \Delta v = 0 + 75 \ m \ s^{-1} = 75 \ m \ s^{-1}$.

(C) પગલું $1$: પાવર્ડ ફ્લાઇટના અંતે $(t = 5 \,s)$ વેગ અને ઊંચાઈની ગણતરી કરો.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, પ્રવેગ $a = 20 \,m/s^2$, અને સમય $t = 5 \,s$.
$t = 5 \,s$ પર વેગ $V_{max} = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100 \,m/s$ છે.
$t = 5 \,s$ પર પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \,m$ છે.
પગલું $2$: જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય ત્યારે અંતિમ ઝડપની ગણતરી કરો.
$t = 5 \,s$ પછી, રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે $(g = 10 \,m/s^2)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, મહત્તમ ઊંચાઈ પર કુલ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે, અથવા આપણે $V^2 = u^2 + 2aS$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં, રોકેટ $S = 250 \,m$ ની ઊંચાઈથી $V_{max} = 100 \,m/s$ ના પ્રારંભિક ઉપરના વેગ સાથે શરૂ થાય છે.
જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે અંતિમ વેગ $V$ એ $V^2 = V_{max}^2 + 2gS$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V^2 = (100)^2 + 2 \times 10 \times 250$.
$V^2 = 10000 + 5000 = 15000$.
$V = \sqrt{15000} = \sqrt{2500 \times 6} = 50 \sqrt{6} \,m/s$.

(C)
સમય $t$ પર ઊંચાઈ $H$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$H = ut - \frac{1}{2}gt^2$
દડો $t_1 = 2 \,s$ અને $t_2 = 10 \,s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ $H$ પરથી પસાર થાય છે, તેથી:
$H = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 2u - 2g$
$H = u(10) - \frac{1}{2}g(10)^2 = 10u - 50g$
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2u - 2g = 10u - 50g$
$8u = 48g$
$u = 6g = 6 \times 9.8 = 58.8 \,m/s$
હવે $H$ ના સમીકરણમાં $u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = 2(58.8) - 2(9.8) = 117.6 - 19.6 = 98 \,m$

(C) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$x$ મીટર અંતર કાપ્યા પછી,વેગ $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2u}{3}$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ લક્ષ્યની અંદર પ્રતિપ્રવેગ છે:
$(\frac{2u}{3})^2 = u^2 - 2ax$
$\frac{4u^2}{9} = u^2 - 2ax$
$2ax = u^2 - \frac{4u^2}{9} = \frac{5u^2}{9} \quad \dots (1)$
હવે,ગતિના બીજા ભાગ માટે,ગોળી $\frac{2u}{3}$ વેગથી શરૂ થાય છે અને વધુ $x^{\prime}$ અંતર કાપીને સ્થિર (અંતિમ વેગ $v_2 = 0$) થાય છે:
$0^2 = (\frac{2u}{3})^2 - 2ax^{\prime}$
$2ax^{\prime} = \frac{4u^2}{9} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2ax^{\prime}}{2ax} = \frac{4u^2/9}{5u^2/9}$
$\frac{x^{\prime}}{x} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$,સમય $t = 2 \ s$.
અચળ પ્રવેગ માટે,આપણે ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ વાપરીએ છીએ:
$v = u + at$
$10 = 0 + a \times 2$
$a = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$.
હવે,કાપેલા અંતર $(s)$ માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીએ છીએ:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
$s = 10 \ m$.
આમ,પ્રવેગ $5 \ m \ s^{-2}$ છે અને કાપેલું અંતર $10 \ m$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ તેની દિશા બદલે છે,ત્યારે તે એક ક્ષણ માટે સ્થિર થાય છે,ઉદાહરણ તરીકે,ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલ પદાર્થ તેના મહત્તમ બિંદુએ સ્થિર થાય છે. તેથી,કારણનું વિધાન સાચું છે.
આ જ ઉદાહરણમાં,મહત્તમ બિંદુએ કણનો વેગ $0$ હોય છે,પરંતુ કણનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g = 9.8 \ m/s^2)$ જેટલો હોય છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,વિધાન ખોટું છે.

(C) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. ડી-મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$.
$4$. આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
$5$. સમીકરણ $Y = A + B$ એ $OR$ લોજિક ઓપરેશન દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \Omega$,$AC$ સ્ત્રોત $\varepsilon = 10 \sin (250 \pi t)$.
$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,$\varepsilon_0 = 10 \text{ V}$ અને $\omega = 250 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા $H = \int_0^{t} \frac{\varepsilon^2}{R} dt$ દ્વારા મળે છે.
$H = \frac{1}{R} \int_0^{10^{-3}} (10 \sin (250 \pi t))^2 dt = \frac{100}{100} \int_0^{10^{-3}} \sin^2 (250 \pi t) dt$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$H = \int_0^{10^{-3}} \frac{1 - \cos (500 \pi t)}{2} dt$.
$H = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin (500 \pi t)}{500 \pi} \right]_0^{10^{-3}}$.
$H = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (500 \pi \times 10^{-3})}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (0.5 \pi)}{500 \pi} \right]$.
$\sin (0.5 \pi) = 1$ હોવાથી,$H = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi - 2}{1000 \pi} \right] = \frac{\pi - 2}{2000 \pi} \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\pi - 2 \approx 1.14$. તેથી $H \approx \frac{1.14}{2000 \pi} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \times 10^{-3} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \text{ mJ}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે $Q$-ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 2 \ H$
$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$
$R = 20 \ \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{250}{20} = 12.5$
આમ,$Q$-મૂલ્ય $12.5$ છે.

(C) આપેલ છે: $C = 100 \mu F = 10^{-4} F$,$R = 20 \Omega$,$L = 12.5 mH = 12.5 \times 10^{-3} H$,$V_{rms} = 220 V$,$f = \frac{200}{\pi} Hz$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિની ગણતરી કરો: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{200}{\pi} = 400 rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી: $X_L = \omega L = 400 \times 12.5 \times 10^{-3} = 5 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \Omega$.
ઇમ્પીડન્સની ગણતરી: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{20^2 + (5 - 25)^2} = \sqrt{400 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} V$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{20\sqrt{2}} = 11 A$ છે.

(B) એસી $(AC)$ પ્રવાહ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ (પીક કરંટ) છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $I(t) = 50 \sin(200 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 50 \text{ A}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
પ્રવાહનું $RMS$ મૂલ્ય $I_{RMS} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \text{ A}$ થાય છે.
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$200 \pi = 2 \pi f$,તેથી $f = 100 \text{ Hz}$ મળે છે.
આમ,આવૃત્તિ $100 \text{ Hz}$ અને $RMS$ મૂલ્ય $25 \sqrt{2} \text{ A}$ છે.

(B) જનરેટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = V \times I = 4000 \, V \times 100 \, A = 4 \times 10^5 \, W$ છે.
ટ્રાન્સફોર્મર આદર્શ હોવાથી, પાવર અચળ રહે છે. ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં પ્રવાહ $(I')$ એ $P = V' \times I'$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $V' = 2 \times 10^5 \, V$ છે.
$I' = P / V' = (4 \times 10^5 \, W) / (2 \times 10^5 \, V) = 2 \, A$.
ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં પાવર વ્યય $P_{loss} = (I')^2 \times R = (2 \, A)^2 \times 50 \, \Omega = 4 \times 50 = 200 \, W$ છે.
પાવર વ્યયની ટકાવારી $(P_{loss} / P) \times 100 = (200 / 4 \times 10^5) \times 100 = (2 \times 10^2 / 4 \times 10^5) \times 10^2 = 0.5 \times 10^{-1} \times 10^2 = 0.05 \%$ છે.

(C) $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \text{ eV}$
$n_f = 2$ અને $n_i = 3$ કિંમતો મૂકતા:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV} \approx 1.89 \text{ eV}$
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ।
તેથી, મહત્તમ વર્ક ફંક્શન $\Phi_{\text{max}} = 1.89 \text{ eV}$ છે।

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી મર્યાદા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ સુધી થાય છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\nu_{B} = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{4}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$,તેથી $\nu' = cR \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{16}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\nu'}{\nu_{B}} = \frac{cR/16}{cR/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\nu' = \frac{\nu_{B}}{4}$.

(B) બામર શ્રેણી માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (ન્યૂનતમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5} \times 10^{-7} \ m = 7.2 \times 10^{-7} \ m = 7200 \ Å$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} \right) \implies \lambda_{min} = 4 \times 10^{-7} \ m = 4000 \ Å$.
તરંગલંબાઇમાં તફાવત $\Delta \lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} = 7200 \ Å - 4000 \ Å = 3200 \ Å$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસ $1$ માટે: $R_1 = R_0 A_1^{1/3}$.
ન્યુક્લિયસ $2$ માટે: $R_2 = R_0 A_2^{1/3}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$.
આપેલ છે કે $A_2$ એ $A_1$ કરતા $2\%$ મોટો છે,તેથી $A_2 = A_1(1 + 0.02) = 1.02 A_1$,એટલે કે $\frac{A_2}{A_1} = 1.02$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{R_2}{R_1} = (1.02)^{1/3} = (1 + 0.02)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.02) = 1 + 0.00666...$
આમ,$\frac{R_2}{R_1} \approx 1 + \frac{2}{300} = 1 + \frac{2}{3} \%$.
તેથી,$R_2$ એ $R_1$ કરતા $\frac{2}{3} \%$ જેટલો મોટો છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $V_n = \frac{V_0}{n}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ અચળાંક છે.
આ સૂચવે છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V \propto \frac{1}{n}$.
$4^{\text{th}}$ કક્ષામાં વેગ $(V_4)$ અને $9^{\text{th}}$ કક્ષામાં વેગ $(V_9)$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\frac{V_4}{V_9} = \frac{1/4}{1/9} = \frac{9}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $9 : 4$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે $n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે,ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ છે અને ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 5$ છે.
સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકતા:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} eV = \frac{-13.6}{25} eV = -0.544 eV$.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0}{3} \text{ F}$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = \frac{\varepsilon_0}{3} \times 12 = 4 \varepsilon_0 \text{ C}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2(\varepsilon_0/3)} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0 / 3} = 24 \varepsilon_0 \text{ J}$.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3 \times \frac{\varepsilon_0}{3} = \varepsilon_0 \text{ F}$.
બેટરી દૂર કરેલી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0} = 8 \varepsilon_0 \text{ J}$.
થયેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 8 \varepsilon_0 - 24 \varepsilon_0 = -16 \varepsilon_0 \text{ J}$.
સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $16 \varepsilon_0$ છે. તેથી,$\alpha = 16$.

(C) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચને જમણી બાજુએ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ ને $9 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે. $C_1$ પરનો ચાર્જ $Q_0 = C_1 \times V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે સ્વીચને ડાબી બાજુએ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે $C_1$ એ $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં જોડાય છે. ધારો કે $C_1$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $Q$ છે અને $C_2$ તથા $C_3$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $q$ છે (કારણ કે તેઓ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો ચાર્જ સમાન હશે).
$C_1$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત એ $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણની આસપાસના પોટેન્શિયલ તફાવત જેટલો જ હોવો જોઈએ:
$\frac{Q}{C_1} = \frac{q}{C_2} + \frac{q}{C_3}$
કેમ કે $C_1 = C_2 = C_3 = 1 \ \mu F$ છે,તેથી:
$\frac{Q}{1} = \frac{q}{1} + \frac{q}{1} \Rightarrow Q = 2q$.
ચાર્જ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ચાર્જ અચળ રહે છે:
$Q + q = Q_0 = 9 \ \mu C$.
સમીકરણમાં $Q = 2q$ મૂકતા:
$2q + q = 9 \ \mu C \Rightarrow 3q = 9 \ \mu C \Rightarrow q = 3 \ \mu C$.
આમ,કેપેસિટર $C_2$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $3 \ \mu C$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,કેપેસીટર $3 C$ અને $2 C$ સમાન બે નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p$ નીચે મુજબ મળે:
$C_p = 3 C + 2 C = 5 C$
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસીટર $C_p = 5 C$ એ કેપેસીટર $C$ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{AB}$ શ્રેણી જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C_{AB} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 5 C}{C + 5 C} = \frac{5 C^2}{6 C} = \frac{5}{6} C$

(B) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં સાઇડ બેન્ડ્સની આવૃત્તિઓ કેરિયર આવૃત્તિ $\nu_c$ માં મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_m$ ઉમેરવાથી અને બાદ કરવાથી મળે છે.
આપેલ છે: $f_m = 15 kHz$,અપર સાઇડ બેન્ડ $(USB)$ $= 1515 kHz$,લોઅર સાઇડ બેન્ડ $(LSB)$ $= 1485 kHz$.
સાઇડ બેન્ડ્સ $\nu_c + f_m$ અને $\nu_c - f_m$ છે.
તેથી,$\nu_c + 15 kHz = 1515 kHz$ અથવા $\nu_c - 15 kHz = 1485 kHz$.
$\nu_c$ માટે ઉકેલતા: $\nu_c = 1515 kHz - 15 kHz = 1500 kHz$.
$MHz$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $1500 kHz = 1.5 MHz$.

(A) સ્ટાન્ડર્ડ $AM$ (એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન) બ્રોડકાસ્ટ રેડિયો મીડિયમ ફ્રીક્વન્સી $(MF)$ બેન્ડમાં કાર્ય કરે છે.
સ્ટાન્ડર્ડ $AM$ બ્રોડકાસ્ટિંગ માટે ફાળવવામાં આવેલી ફ્રીક્વન્સી રેન્જ $540 \text{ kHz}$ થી $1600 \text{ kHz}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) રેખીય એન્ટેના દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ સંબંધ $P \propto \frac{l^2}{\lambda^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ એન્ટેનાની લંબાઈ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
$P \propto l^2$ હોવાથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$\lambda = \frac{c}{f}$ હોવાથી,આપણને $P \propto \frac{l^2}{(c/f)^2} \propto f^2$ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે ઉત્સર્જિત પાવર આવૃત્તિના વર્ગ સાથે વધે છે.
તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે તે કહે છે કે આવૃત્તિ વધવાની સાથે પાવર ઘટે છે.
કાર્યક્ષમ ઉત્સર્જન માટે,એન્ટેનાનું કદ $l$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ (સામાન્ય રીતે $l \geq \frac{\lambda}{4}$),તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા સિગ્નલો ઓછી આવૃત્તિને અનુરૂપ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto f^2$ ખૂબ જ ઓછો હોય છે,જે વિધાન $D$ ને સાચું ઠેરવે છે.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ ને મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(A_m)$ અને કેરિયર તરંગના પીક વોલ્ટેજ $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
આપેલ છે:
કેરિયર તરંગનો પીક વોલ્ટેજ,$A_c = 10 \,V$
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ,$m = 80 \% = 0.8$
સૂત્ર:
$m = \frac{A_m}{A_c}$
કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = \frac{A_m}{10 \,V}$
$A_m = 0.8 \times 10 \,V = 8 \,V$
તેથી,મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $8 \,V$ હોવો જોઈએ।

(B) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{A_{\max} - A_{\min}}{A_{\max} + A_{\min}}$
અહીં $m = 0.5$ અને $A_{\max} = 10.0 \ V$ આપેલ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.5 = \frac{10 - A_{\min}}{10 + A_{\min}}$
$0.5(10 + A_{\min}) = 10 - A_{\min}$
$5 + 0.5 A_{\min} = 10 - A_{\min}$
$1.5 A_{\min} = 5$
$A_{\min} = \frac{5}{1.5} = \frac{50}{15} = 3.33 \ V$.

(B) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા $TV$ ટ્રાન્સમિશન એન્ટેનાની રેન્જ $(d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \sqrt{2hR}$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = 40 \ m$ અને $R = 6400 \ km = 6400 \times 10^3 \ m$.
એન્ટેના દ્વારા આવરી લેવામાં આવતો સર્વિસ એરિયા એ $d$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે નીચે મુજબ છે: $Area = \pi d^2$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $d^2 = 2hR$ ની કિંમત મૂકતા:
$Area = \pi (2hR)$
$Area = \pi \times 2 \times 40 \times (6400 \times 10^3)$
$Area = \pi \times 80 \times 6400 \times 10^3$
$Area = 512000 \times 10^3 \pi \ m^2$
$Area = 512 \times 10^6 \pi \ m^2$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે.
$A$ થી $C$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા,$C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 + 2 = 2 \ V$ મળે છે.
જો આપણે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ ધારીએ,તો $B$ થી $D$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા,$V_D = 0 + 2 = 2 \ V$ મળે છે.
પ્રથમ અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CD} = V_C - V_D = 2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ છે.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = \frac{V_{CD}}{R} = 0$ થાય.
તે જ રીતે,બીજી શાખા માટે,$E$ પરનું સ્થિતિમાન $V_E = V_C + 2 - 2 = 2 \ V$ અને $F$ પરનું સ્થિતિમાન $V_F = V_D + 2 - 2 = 2 \ V$ મળે છે.
આમ,$V_{EF} = 0 \ V$ હોવાથી $i_2 = 0$ થાય.
છેલ્લે,ત્રીજી શાખા માટે,$V_G = V_E + 2 - 2 = 2 \ V$ અને $V_H = V_F + 2 - 2 = 2 \ V$ મળે છે.
આમ,$V_{GH} = 0 \ V$ હોવાથી $i_3 = 0$ થાય.
તેથી,$i_1 = i_2 = i_3 = 0$.

(A) વિદ્યુત અવરોધકતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ છે.
રિલેક્સેશન સમય $\tau$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{23.04 \times 10^{-18}}$
$\tau \approx 0.39 \times 10^{-13} \ s = 3.9 \times 10^{-14} \ s$
નજીકની કિંમત લેતા, આપણને $\tau \approx 4 \times 10^{-14} \ s$ મળે છે.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતી પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે。
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho = 10^{-6} \, \Omega \cdot m$, $l = 0.04 \, m$, અને $A = \pi r^2 = \pi (7 \times 10^{-3})^2 \, m^2$.
પાવરના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right) \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P A}{\rho l}}$.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = \frac{I}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે。
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $J = \frac{1}{A} \sqrt{\frac{P A}{\rho l}} = \sqrt{\frac{P}{\rho l A}}$.
કિંમતો મૂકતા: $J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times (7 \times 10^{-3})^2}}$.
$J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times 49 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.54}{1.96 \times 10^{-9} \times \pi}} \approx 5 \times 10^5 \, A/m^2$.

(A) વિધાન $(I)$: મોટાભાગની શુદ્ધ ધાતુઓ માટે, તાપમાન વધતા અવરોધ વધે છે, તેથી અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ધન હોય છે. આમ, $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: આપેલ વ્યાસ $d = 2 \ mm$, ત્રિજ્યા $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$. વિદ્યુતભાર $q = 360 \pi \ C$, સમય $t = 2 \ \text{કલાક }= 7200 \ s$. પ્રવાહ $i = q/t = 360 \pi / 7200 = \pi / 20 \ A$. ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 5 \times 10^{22} \ cm^{-3} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$. ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = i / (neA) = (\pi / 20) / (5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-6}) = 1 / (20 \times 5 \times 1.6 \times 10^3) = 1 / (160000) = 6.25 \times 10^{-6} \ m/s$. આમ, $(II)$ સાચું છે.
વિધાન $(III)$: અર્ધવાહકો અ-ઓહ્મિક વાહકો છે; તેઓ વિદ્યુતક્ષેત્રના તમામ મૂલ્યો માટે રેખીય $V-I$ સંબંધનું પાલન કરતા નથી. આમ, $(III)$ સાચું છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $\mu = \frac{V_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$.
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$
સરેરાશ અથડામણ સમય (રિલેક્સેશન સમય) $\tau = 9.1 \times 10^{-15} \,s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (9.1 \times 10^{-15} \,s)}{9.1 \times 10^{-31} \,kg}$
$\mu = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$\mu = 1.6 \times 10^{-19 - 15 + 31} \,m^2/V \cdot s$
$\mu = 1.6 \times 10^{-3} \,m^2/V \cdot s$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\alpha$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 60 \ cm = 0.6 \ m$ એ કોષના $EMF$ $\varepsilon$ ને અનુરૂપ છે:
$\varepsilon = \alpha \times 0.6 \quad \dots(1)$
બીજા કિસ્સામાં,કોષને $R = 4 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે. ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ સંતુલિત થાય છે,જ્યાં $V = \varepsilon - Ir = \varepsilon \left( \frac{R}{R+r} \right)$.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 40 \ cm = 0.4 \ m$ છે,તેથી:
$V = \alpha \times 0.4 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{\varepsilon} = \frac{\alpha \times 0.4}{\alpha \times 0.6} = \frac{2}{3}$
કારણ કે $\frac{V}{\varepsilon} = \frac{R}{R+r}$,તેથી:
$\frac{4}{4+r} = \frac{2}{3}$
$12 = 8 + 2r$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આડછેદ ગોળાકાર હોવાથી,$A = \pi r^2$ થાય.
પ્રથમ તાર માટે: $R = \rho \frac{L}{\pi r^2} \quad (1)$
બીજા તાર માટે: $L_2 = 2L$ અને $r_2 = 3r$ છે.
નવો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{2L}{\pi (3r)^2} = \rho \frac{2L}{9 \pi r^2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{R_2}{R} = \frac{\rho \frac{2L}{9 \pi r^2}}{\rho \frac{L}{\pi r^2}} = \frac{2}{9}$
તેથી,$R_2 = \frac{2}{9} R$.

(C) સમાન આડછેદ ધરાવતા તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = AL$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{L}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho L}{(V/L)} = \left(\frac{\rho}{V}\right) L^2$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,આપણે સંબંધ $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\%$,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$6\% = 2 \times \left(\frac{\Delta L}{L} \times 100\right)$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{6\%}{2} = 3\%$ છે.

(C) વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી) તાપમાન અને દ્રવ્યના પ્રકાર બંને પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા $n$ ગણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = n^2 R$ થાય છે. અહીં,$n = 4$ અને $R = 6 \ \Omega$ છે,તેથી $R' = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96 \ \Omega$ થાય. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
ડ્રિફ્ટ વેગ એ સરેરાશ વેગ છે જેની સાથે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન લાગુ કરેલા વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ડ્રિફ્ટ થાય છે. તેથી,વિધાન $(III)$ સાચું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $(III)$ સાચું છે.

(B) તારમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર પ્રવાહ ઘનતા $J$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે: $I = \int J \, dA$.
તાર વર્તુળાકાર હોવાથી,$dA = 2 \pi r \, dr$.
$I = \int_0^{R} J(r) \cdot 2 \pi r \, dr$,જ્યાં $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$I = \int_0^{2 \times 10^{-3}} (10^5 r) \cdot (2 \pi r) \, dr = 2 \pi \times 10^5 \int_0^{2 \times 10^{-3}} r^2 \, dr$.
$I = 2 \pi \times 10^5 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2 \times 10^{-3}} = 2 \pi \times 10^5 \times \frac{8 \times 10^{-9}}{3} = \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A}$.
વપરાતી ઉર્જા $E = V \cdot I \cdot t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$E = 70 \text{ V} \times \left( \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A} \right) \times 1000 \text{ s}$.
$E = 70 \times \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-1} = \frac{1120 \pi}{30} = \frac{112}{3} \pi \approx 37.33 \pi \text{ J}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $37 \pi \text{ J}$ છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = 121 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 121}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3484.8 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{59.03 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1118 \times 10^{-9} \ m = 0.112 \ nm$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
$\lambda \propto \frac{1}{mv}$ હોવાથી,જે કણનું વેગમાન $(mv)$ સૌથી ઓછું હશે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સૌથી મોટી હશે.
દરેક કિસ્સા માટે વેગમાન $(p = mv)$ ની ગણતરી:
$A$: $p = 0.02 \ kg \times 1000 \ m/s = 20 \ kg \cdot m/s$
$B$: $p = 0.06 \ kg \times 10 \ m/s = 0.6 \ kg \cdot m/s$
$C$: $p = 0.01 \ kg \times 100 \ m/s = 1 \ kg \cdot m/s$
$D$: $p = 0.03 \ kg \times 1 \ m/s = 0.03 \ kg \cdot m/s$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં વેગમાન સૌથી ઓછું $(0.03 \ kg \cdot m/s)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં રહેલા દડાની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સૌથી મોટી છે.

(A) બામર શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ $n_{i} = \infty$ થી $n_{f} = 2$ થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{4} = 2742500 \ \text{m}^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2742500} \ \text{m} \approx 3.646 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 3.646 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 3646 \ \text{Å}$.

(C) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો એક ક્વોન્ટમ છે. પ્રકાશના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ, ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે。
ઉર્જા માત્ર આવૃત્તિ પર આધારિત હોવાથી, વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે ઉર્જા તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે。
ફોટોન એ દળરહિત કણો છે જે પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ ગતિ કરે છે。
ફોટોન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી, તેઓ વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં કોઈ બળ અનુભવતા નથી, જેનો અર્થ છે કે તેઓ તેમના દ્વારા વિચલિત થતા નથી。

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ $K_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$1$. વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $K_{\max}$ સીધી રીતે આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,તીવ્રતા ગમે તે હોય.
$3$. વિધાન $III$ સાચું છે કારણ કે $K_{\max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
$4$. વિધાન $IV$ સાચું છે કારણ કે જેમ આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ $K_{\max} = h\nu - \phi$ પણ વધે છે.
આમ,વિધાન $III$ અને $IV$ સાચા છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$V_s = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$
આ $y = mx + c$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ ઢાળ $4 \times 10^{-15} \ V \ s$ છે,તેથી:
$\frac{h}{e} = 4 \times 10^{-15} \ V \ s$
$h = (4 \times 10^{-15} \ V \ s) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C)$
$h = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$
આમ,પ્લાન્કનો અચળાંક $6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K.E._{max} = E - W$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{248 \, nm} = 5.0 \, eV$
મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$K.E._{max} = e V_s = 2.8 \, eV$
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.8 \, eV = 5.0 \, eV - W$
$W = 5.0 \, eV - 2.8 \, eV$
$W = 2.2 \, eV$
આમ, ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $2.2 \, eV$ છે.

(B) બલ્બનો કુલ પાવર $P_{total} = 100 \ W$ છે.
પાવરના $20 \%$ દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત થતા હોવાથી,દ્રશ્યમાન વિકિરણનો પાવર $P_{vis}$ નીચે મુજબ છે:
$P_{vis} = 100 \ W \times \frac{20}{100} = 20 \ W$.
બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે આઇસોટ્રોપિકલી ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$.
અહીં $r = 5 \ m$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{20}{4 \pi \times (5)^2} = \frac{20}{4 \pi \times 25} = \frac{5}{25 \pi} \ W/m^2$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\alpha}{25 \pi} \ W/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} K}}$, જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે。
આપેલ છે: $h = 6.0 \times 10^{-34} \text{ J s}$, $m_{e} = 9.0 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $K = 320 \text{ eV} = 320 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 320 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{18 \times 10^{-31} \times 512 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{9216 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{96 \times 10^{-25}}$
$\lambda = 0.0625 \times 10^{-9} \text{ m} = 62.5 \times 10^{-12} \text{ m} = 62.5 \text{ pm}$.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે।
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
પ્રથમ તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 200 \, nm$ માટે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S1} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
બીજી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 400 \, nm$ માટે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S2} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ઘટાડો $\Delta V_S = V_{S1} - V_{S2}$ છે।
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} - \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \right)$.
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{400} \right) = \frac{1240}{e} \left( \frac{2-1}{400} \right) = \frac{1240}{400} = 3.1 \, V$.

(D) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોકરંટ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સાથે માત્ર સંતૃપ્તિ મૂલ્ય સુધી વધે છે,ત્યારબાદ તે અચળ રહે છે.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે કારણ કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ફોટોન $A$ માટે,$K_A = 2.5 \ eV - 2.0 \ eV = 0.5 \ eV$. ફોટોન $B$ માટે,$K_B = 3.5 \ eV - 2.0 \ eV = 1.5 \ eV$. ગુણોત્તર $K_A / K_B = 0.5 / 1.5 = 1/3$ થાય,$3$ નહીં.
વિધાન $(III)$ ખોટું છે કારણ કે વર્ક ફંક્શન એ ધાતુની સપાટીમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,મહત્તમ નહીં.

(D) સ્ત્રોતથી $r = 5 \ m$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{942}{4 \times 3.14 \times 5^2} = \frac{942}{12.56 \times 25} = \frac{942}{314} = 3 \ W/m^2$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6.6 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \ J$.
ફોટોન ફ્લક્સ $\phi$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ફોટોનની સંખ્યા છે,જે $\phi = \frac{I}{E}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = \frac{3}{3 \times 10^{-19}} = 1 \times 10^{19} \ \frac{\text{photon}}{m^2 \cdot s}$.

(A) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$
અહીં $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ અને $v_{\max} = 1.6 \times 10^6 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2$
$(K.E.)_{\max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12}$
$(K.E.)_{\max} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$e V_s = (K.E.)_{\max}$
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{11.52 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$V_s = 7.2 \ V$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે $n = 20 \text{ આંટા/સેમી} = 2000 \text{ આંટા/મીટર}$.
$B = (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times I = 8\pi \times 10^{-4} I \text{ T}$.
$A = \frac{4}{\pi} \text{ cm}^2 = \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\varepsilon = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = A \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = A \mu_0 n \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta I = 3.0 \text{ A} - 1.0 \text{ A} = 2.0 \text{ A}$,$\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
$\varepsilon = \left( \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2 \right) \times (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times \left( \frac{2.0 \text{ A}}{0.2 \text{ s}} \right)$.
$\varepsilon = (4 \times 10^{-4}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (2000) \times (10) \text{ V}$.
$\varepsilon = 32 \times 10^{-7} \text{ V} = 3.2 \times 10^{-6} \text{ V} = 3.2 \mu \text{V}$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$|\varepsilon| = N \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = N A \left| \frac{dB}{dt} \right|$
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \ m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.1 \ T \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$|\varepsilon| = 100 \times (0.01 \pi) \times 0.1$
$|\varepsilon| = 1 \times 0.1 \pi = 0.1 \pi \ V = \frac{\pi}{10} \ V$

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ છે.
અહીં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \text{ T}$ એ ક્ષેત્રફળને લંબ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ અને $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
આપેલ છે કે પાયો $= 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ અને વેધ $= 1 \text{ cm} = 1 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$A = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-2} \text{ m}) \times (1 \times 10^{-2} \text{ m}) = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
હવે,ફ્લક્સની ગણતરી કરતા: $\phi = 2 \text{ T} \times (1 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 1 = 2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$.

(B) પ્રેરિત emf $\varepsilon$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d(B \cdot A)}{dt}|$.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,$|\varepsilon| = A \cdot |\frac{dB}{dt}|$.
અહીં $A = 0.2 \, m^2$,પ્રારંભિક $B = 0.25 \, T$,અંતિમ $B = 0 \, T$,અને $\Delta t = 10^{-4} \, s$ આપેલ છે।
$|\varepsilon| = 0.2 \cdot \frac{0.25 - 0}{10^{-4}} = 0.2 \cdot 2500 = 500 \, V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{\varepsilon}{R}$.
અહીં $R = 20 \, \Omega$ હોવાથી,$I = \frac{500}{20} = 25 \, A$.

(B) ધારો કે તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે. જેમ તકતી ફરે છે,આ ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે છે.
આ નાના ઘટક પર પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(de)$ $de = Bv \cdot dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = r\omega$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $de = B(r\omega)dr$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(r=0)$ અને કિનારી $(r=R)$ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(e)$ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું સંકલન કરીએ છીએ:
$e = \int_0^R B\omega r \, dr = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{1}{2} B\omega R^2$.
આપેલ કિંમતો: $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$,$\omega = 100 \ rad/s$,અને $R = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times 100 \times (0.3)^2$
$e = 2 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.09$
$e = 0.2 \times 0.09 = 0.018 \ V = 18 \ mV$.

(B) કેપેસિટર $V = 50 \ V$ ના પોટેન્શિયલ તફાવત સુધી ચાર્જ થયેલ છે. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LC$ ઓસિલેટર બનાવે છે.
$t=0$ સમયે,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ મહત્તમ હોય છે,તેથી તેની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{max} = 50 \ V$ છે.
ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LC$ સર્કિટમાં,પોટેન્શિયલ તફાવતોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે: $V_C + V_L = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|V_L| = |V_C|$.
$t=0$ સમયે,પ્રવાહ $I=0$ હોય છે,તેથી કેપેસિટરનો સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ ઇન્ડક્ટરની આસપાસ દેખાય છે.
આમ,$L \left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = V_{max}$.
આપેલ છે કે $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H$ અને $V_{max} = 50 \ V$.
$\left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = \frac{50}{10 \times 10^{-3}} = \frac{50}{0.01} = 5000 \ A s^{-1}$.