$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાય તેવી $3$ અંકની એકી સંખ્યાઓ જે $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંખ્યા કેટલી છે?

એક વર્ગમાં $3$ હેતુલક્ષી પ્રકારના પ્રશ્નો ધરાવતી કસોટી લેવામાં આવે છે. દરેક પ્રશ્નના $4$ વિકલ્પો છે અને માત્ર એક જ વિકલ્પ સાચો જવાબ છે. વર્ગના કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓએ સમાન જવાબ આપ્યા નથી અને કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા નથી. જો દરેક વિદ્યાર્થીએ બધા પ્રશ્નોના પ્રયત્ન કર્યા હોય,તો કસોટી આપનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા કેટલી છે?

${ }^{34} C_5+\sum_{r=0}^4{ }^{(38-r)} C_4=$

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને એવી કેટલી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં અંક $1$ હોય?

$ANIMAL$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને તમામ શક્ય રીતે ગોઠવવામાં આવે છે અને આ રીતે બનેલા ક્રમચયોને શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. જો $ANIMAL$ શબ્દનો ક્રમ $x$ હોય,તો $PERSON$ શબ્દના અક્ષરોને ગોઠવીને મેળવેલા ક્રમચયોને શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા,$x$ ક્રમ ધરાવતો ક્રમચય કયો છે?

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,અસમતા $2^n(n - 1)! < n^n$ ક્યારે સાચી છે?