TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $4x^3 + 12x^2 - 7x + 165 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{12}{4} = -3$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -\frac{7}{4}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{165}{4}$
हमें दूसरे समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात करना है,जो $(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5)$ है।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5) = \alpha\beta\gamma + 5(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 25(\alpha + \beta + \gamma) + 125$
मान रखने पर:
$= -\frac{165}{4} + 5(-\frac{7}{4}) + 25(-3) + 125$
$= -\frac{165}{4} - \frac{35}{4} - 75 + 125$
$= -\frac{200}{4} + 50$
$= -50 + 50 = 0$

(C) माना मूल $\alpha = \frac{a}{r}, \beta = a, \gamma = ar$ हैं। चूंकि वे गुणोत्तर श्रेणी में हैं,मूलों का गुणनफल $\frac{a^3}{r} \cdot r = a^3 = \frac{24}{3} = 8$ है।
अतः,$a = 2$।
मूलों का योग $\frac{a}{r} + a + ar = \frac{26}{3}$ है।
$a = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{13}{3}$ मिलता है,जो $\frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$ में सरल हो जाता है।
$3r$ से गुणा करने पर,$3r^2 - 10r + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(3r - 1)(r - 3) = 0$ मिलता है,इसलिए $r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma$ है,इसलिए $r > 1$ होना चाहिए,अतः $r = 3$।
मूल $\alpha = \frac{2}{3}, \beta = 2, \gamma = 6$ हैं।
अंततः,$3\alpha + 2\beta + \gamma = 3(\frac{2}{3}) + 2(2) + 6 = 2 + 4 + 6 = 12$।

(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3-5x^2-2x+24=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 5$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -24$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$E = \frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta}+\frac{\alpha\beta}{\gamma}$
$E = \frac{(\beta\gamma)^2 + (\gamma\alpha)^2 + (\alpha\beta)^2}{\alpha\beta\gamma}$
सर्वसमिका $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$E = \frac{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$
मान रखने पर:
$E = \frac{(-2)^2 - 2(-24)(5)}{-24}$
$E = \frac{4 + 240}{-24} = \frac{244}{-24} = -\frac{61}{6}$

(B) दिया गया है कि $\tan 15^{\circ}$ और $\tan 30^{\circ}$ समीकरण $x^2+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$-p = \tan 15^{\circ} + \tan 30^{\circ}$ और $q = \tan 15^{\circ} \tan 30^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = 2-\sqrt{3}$.
अब,$q = (2-\sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$.
और $-p = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$p = \frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
इस प्रकार,$pq = \frac{10-6\sqrt{3}}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ है।
यह एक व्युत्क्रम समीकरण है।
$x^3$ से भाग देने पर,हमें $6(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 25(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 31(x - \frac{1}{x}) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = x - \frac{1}{x}$। तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ और $x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6(t^3 + 3t) - 25(t^2 + 2) + 31t = 0$।
$6t^3 - 25t^2 + 49t - 50 = 0$।
समीकरण के गुणनखंड करने पर $(x-1)(x+1)(2x-1)(x-2)(3x^2-5x+3)=0$ प्राप्त होता है।
परिमेय मूल $\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2\}$ हैं।
सबसे छोटा मूल $m = -1$ और सबसे बड़ा मूल $M = 2$ है।
अतः,$M-m = 2 - (-1) = 3$।

(C) दिया गया द्वि-वर्ग समीकरण $x^4-9x^3+31x^2-49x+30=0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः,यदि $(2-i)$ एक मूल है,तो $(2+i)$ भी एक मूल है।
माना चार मूल $\alpha, \beta, (2-i),$ और $(2+i)$ हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta + (2-i) + (2+i) = 9$ है।
$\alpha + \beta + 4 = 9 \implies \alpha + \beta = 5$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot (2-i)(2+i) = 30$ है।
चूंकि $(2-i)(2+i) = 5$ है,इसलिए $\alpha \cdot \beta \cdot 5 = 30 \implies \alpha \cdot \beta = 6$.
$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha \cdot \beta = 6$ को हल करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है (क्योंकि $\alpha < \beta$)।
अतः,$2\alpha - \beta = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

(A) दिया गया घन समीकरण $x^3-4x^2-9x+36=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$1) \alpha+\beta+\gamma = 4$
$2) \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -9$
$3) \alpha\beta\gamma = -36$
दिया है कि $\alpha+\beta=0$,इसे $(1)$ में रखने पर $\gamma=4$ प्राप्त होता है।
$(2)$ में $\gamma=4$ रखने पर: $\alpha\beta + 4(\alpha+\beta) = -9$. चूँकि $\alpha+\beta=0$,इसलिए $\alpha\beta = -9$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\alpha+\beta=0$,तो $\beta=-\alpha$. अतः $\alpha(-\alpha) = -9 \Rightarrow \alpha^2 = 9$।
इस प्रकार,$\alpha^2=9$ और $\beta^2=9$ है।
अब,$\alpha^2+2\beta^2+3\gamma^2 = 9 + 2(9) + 3(4^2) = 9 + 18 + 3(16) = 27 + 48 = 75$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{5}$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{2}{5}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{4}{5}$
हमें $\sum \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{2}{5})^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5})$
$\frac{4}{25} = \sum \alpha^2\beta^2 + \frac{24}{25}$
$\sum \alpha^2\beta^2 = \frac{4}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -b$ $(i)$ और $\alpha\beta = c$ (ii)।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 = (-b)^2 - 2c$,जिससे $2c = b^2-5$ या $c = \frac{b^2-5}{2}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2 - \alpha\beta)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $9 = (-b)(5 - c)$।
$c = \frac{b^2-5}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $9 = -b(5 - \frac{b^2-5}{2})$।
$9 = -b(\frac{10-b^2+5}{2}) = -b(\frac{15-b^2}{2})$।
$18 = -15b + b^3$,जो $b^3 - 15b - 18 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूलों की जाँच करने पर,यदि $b=-3$ है: $(-3)^3 - 15(-3) - 18 = -27 + 45 - 18 = 0$। अतः,$b=-3$ एक मूल है।
तब $c = \frac{(-3)^2-5}{2} = \frac{9-5}{2} = 2$।
इस प्रकार,$b+c = -3+2 = -1$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) माना समीकरण $x^3 + 3x^2 + kx + 12 = 0$ के मूल $r, -r,$ और $t$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $r + (-r) + t = -3$ है,जिससे $t = -3$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $(r)(-r)(t) = -12$ है।
$t = -3$ रखने पर,$(r)(-r)(-3) = -12$ प्राप्त होता है,जो $3r^2 = -12$ हो जाता है।
यदि समीकरण $x^3 + 3x^2 + kx - 12 = 0$ है,तो गुणनफल $12$ होगा।
अतः $3r^2 = 12$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2, -2$।
मूल $2, -2, -3$ हैं।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $k = (2)(-2) + (-2)(-3) + (-3)(2) = -4 + 6 - 6 = -4$ है।

(C) दिया गया समीकरण $3p^2x^3 + px^2 + qx + 3 = 0$ है। $p = 1$ और $q = -7$ रखने पर:
$3x^3 + x^2 - 7x + 3 = 0$.
$x = 1$ रखने पर,$3(1)^3 + (1)^2 - 7(1) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x - 1)$ एक गुणनखंड है। बहुपद को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर:
$(x - 1)(3x^2 + 4x - 3) = 0$.
मूल $x = 1$ और $3x^2 + 4x - 3 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
माना $\alpha = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}$ और $\beta = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}$.
अतः $|\alpha - \beta| = |\frac{2\sqrt{13}}{3}| = \frac{2\sqrt{13}}{3}$.

(B) माना समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया गया है कि $\alpha+\beta=0$.
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 7p$
चूंकि $\alpha+\beta=0$,इसलिए $\gamma=7p$ है।
साथ ही,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(0) = 5q \implies \alpha\beta = 5q$.
अंत में,$\alpha\beta\gamma = 6r$.
$\alpha\beta$ और $\gamma$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(5q)(7p) = 6r$
$35pq = 6r \implies 5q = \frac{6r}{7p}$.

(A) माना मूल $\alpha_1 = \sqrt{3}+\sqrt{2}i$ और $\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ हैं।
चूंकि गुणांक परिमेय होने चाहिए,$\alpha_1$ का संयुग्मी $\bar{\alpha_1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}i$ भी एक मूल होना चाहिए।
अतः,$\alpha_1$ और $\bar{\alpha_1}$ के लिए द्विघात गुणनखंड $(x^2-2\sqrt{3}x+5)$ है।
गुणांकों को परिमेय बनाने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी गुणनखंड से गुणा करते हैं,जिससे $(x^4-2x^2+25)=0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $(x^4-10x^2+1)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त समीकरण $(x^4-2x^2+25)(x^4-10x^2+1)=0$ है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3 - 2x - 4 = 0$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$5\alpha^3 = 2\alpha + 4$,$5\beta^3 = 2\beta + 4$,$5\gamma^3 = 2\gamma + 4$
इनका योग करने पर:
$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12$
मूलों और गुणांकों के संबंध से,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = 0$।
अतः,$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 12$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = \frac{12}{5}$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x^3-2x-25\lambda=0 \quad (1)$
$3x^3-8x-\frac{175}{3}\lambda=0 \quad (2)$
चूँकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,हमारे पास है:
$25\lambda = \alpha^3-2\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha^3-2\alpha}{25}$
$\frac{175}{3}\lambda = 3\alpha^3-8\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$\lambda$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha^3-2\alpha}{25} = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$7(\alpha^3-2\alpha) = 9\alpha^3-24\alpha$
$2\alpha^3-10\alpha = 0$
$2\alpha(\alpha^2-5) = 0$
चूँकि $\lambda > 0$,हम $\alpha = \sqrt{5}$ लेते हैं:
$\lambda = \frac{5\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{25} = \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{3}{5\sqrt{5}}$.

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - 7x + 3c = 0$ और $x^2 + x - 5c = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 - 7\alpha + 3c = 0$ और $\alpha^2 + \alpha - 5c = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 - 7\alpha + 3c) - (\alpha^2 + \alpha - 5c) = 0$ $\Rightarrow -8\alpha + 8c = 0$ $\Rightarrow \alpha = c$.
$\alpha = c$ को पहले समीकरण में रखने पर: $c^2 - 7c + 3c = 0$ $\Rightarrow c^2 - 4c = 0$ $\Rightarrow c(c - 4) = 0$.
चूंकि $c$ अशून्य है,इसलिए $c = 4$.
व्यंजक $x^2 - 3x + 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.
चूंकि $x^2$ का गुणांक $1 > 0$ है और $D < 0$ है,इसलिए व्यंजक $x^2 - 3x + 4$ सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।

(A) दिया गया समीकरण $x^{10}-3x^8+5x^6-5x^4+3x^2-1=0$ है।
पदों को समूहित करके गुणनखंड करने पर,$f(x) = (x^2-1)(x^4-x^2+1)^2$ प्राप्त होता है।
$f(x) = 0$ रखने पर,$x^2-1=0$ या $(x^4-x^2+1)^2=0$ प्राप्त होता है।
$x^2-1=0$ से $x = \pm 1$ ($2$ वास्तविक मूल) प्राप्त होते हैं।
$x^4-x^2+1=0$ के लिए,$x^2$ के मान सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जो कुल $8$ अवास्तविक मूल प्रदान करते हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ है जहाँ $b=17$ है।
चूँकि मूल $-2$ और $-15$ हैं,मूलों का योग $-2 + (-15) = -17$ है।
समीकरण $x^2+bx+c=0$ से,मूलों का योग $-b$ होता है।
अतः,$-b = -17$,जो $b=17$ के अनुरूप है।
मूलों का गुणनफल $c = (-2) \times (-15) = 30$ है।
अब,$b=13$ और $c=30$ के साथ समीकरण $x^2+13x+30=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $x^2+10x+3x+30=0 \implies (x+10)(x+3)=0$।
मूल $\alpha = -10$ और $\beta = -3$ हैं।
अतः,$|\alpha-\beta| = |-10 - (-3)| = |-10+3| = |-7| = 7$।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^4-8x^3+3x^2-1=0$ है।
$x^3$ पद को हटाने के लिए,हम $x = y - \frac{a_1}{n a_0}$ रूपांतरण का उपयोग करते हैं,जहाँ $a_0=2$ और $a_1=-8$ है।
यहाँ,$h = -\frac{-8}{4 \times 2} = \frac{8}{8} = 1$ है।
समीकरण में $x = y+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(y+1)^4 - 8(y+1)^3 + 3(y+1)^2 - 1 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$2(y^4+4y^3+6y^2+4y+1) - 8(y^3+3y^2+3y+1) + 3(y^2+2y+1) - 1 = 0$.
$2y^4 + 8y^3 + 12y^2 + 8y + 2 - 8y^3 - 24y^2 - 24y - 8 + 3y^2 + 6y + 3 - 1 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$2y^4 + (8-8)y^3 + (12-24+3)y^2 + (8-24+6)y + (2-8+3-1) = 0$.
$2y^4 - 9y^2 - 10y - 4 = 0$.
इसे $2x^4+bx^2+cx+d=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $b = -9$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $1+\sqrt{2}$ और $2-i$ परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के मूल हैं,इसलिए इनके संयुग्मी मूल $1-\sqrt{2}$ और $2+i$ भी मूल होने चाहिए।
माना मूल $\alpha_1 = 1+\sqrt{2}, \alpha_2 = 1-\sqrt{2}, \alpha_3 = 2-i, \alpha_4 = 2+i$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$-b = \sum \alpha_i = 6 \Rightarrow b = -6$.
$c = \sum \alpha_i \alpha_j = 12$.
$-d = \sum \alpha_i \alpha_j \alpha_k = 6 \Rightarrow d = -6$.
समीकरण $bx^2+cx+d=0$ का रूप $-6x^2+12x-6=0$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $x^2-2x+1=0$ प्राप्त होता है।
यह $(x-1)^2=0$ है,अतः मूल $1, 1$ हैं,जो वास्तविक और समान हैं।

(C) दिया गया समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ है।
यह प्रथम प्रकार का व्युत्क्रम समीकरण (reciprocal equation) है।
$x=1$ और $x=-1$ का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=1$ और $x=-1$ समीकरण के मूल हैं।
मान लीजिए मूल $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ हैं।
दिया गया है $a_1+a_2 = \frac{5}{2}$।
चूंकि $1$ और $-1$ मूल हैं,मान लीजिए $a_3=1$ और $a_4=-1$ है।
सभी मूलों का योग $-\frac{x^5 \text{ का गुणांक}}{x^6 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-25}{6} = \frac{25}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \frac{25}{6}$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{2} + 1 - 1 + a_5 + a_6 = \frac{25}{6}$।
$a_5+a_6 = \frac{25}{6} - \frac{5}{2} = \frac{25-15}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$।
चूंकि समीकरण व्युत्क्रम प्रकार का है,मूल युग्मों $(r, 1/r)$ में होते हैं। $1$ और $-1$ वास्तविक मूल हैं। शेष मूल $a_1, a_2, a_5, a_6$ अवास्तविक हैं।
सभी अवास्तविक मूलों का योग $(a_1+a_2) + (a_5+a_6) = \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{15+10}{6} = \frac{25}{6}$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 1$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
ध्यान दें कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1-2 = -1$.
मान रखने पर:
$5 - 3(-r) = (-1)(-1 - 1)$
$5 + 3r = (-1)(-2)$
$5 + 3r = 2$
$3r = -3$
$r = -1$

(B) दिया गया समीकरण $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ है।
$a$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $a(x^4+1) = (x+1)^4$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a(x^4+1) = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a-1)x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x + (a-1) = 0$.
किसी समीकरण के व्युत्क्रम समीकरण होने के लिए,$x^k$ और $x^{n-k}$ के गुणांक समान होने चाहिए।
यहाँ,$x^4$ का गुणांक $(a-1)$ है और अचर पद $(a-1)$ है।
समीकरण के $4$ घात का बने रहने के लिए $x^4$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $a-1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $a \neq 1$.
अतः,यह समीकरण सभी $a \in R - \{1\}$ के लिए एक व्युत्क्रम समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण $x^5-3x^4+5x^3-5x^2+3x-1=0$ है।
पदों को समूहित करके समीकरण को फिर से लिखने पर: $(x^5-1) - 3x(x^3-1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x-1)(x^2+x+1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)[(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x^2+x+1) + 5x^2] = 0$.
$(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) = 0$.
चतुर्थ घात वाले भाग के लिए,$x^2$ से विभाजित करने पर: $x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.
$(x^2+\frac{1}{x^2}) - 2(x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$.
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तो $y^2-2 - 2y + 3 = 0$,अर्थात $y^2-2y+1 = 0$.
$(y-1)^2 = 0$,जिससे $y=1$ प्राप्त होता है।
$x+\frac{1}{x} = 1 \implies x^2-x+1 = 0$.
अतः,सभी भिन्न मूलों का योग $1 + 1 = 2$ है।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-9 x^2+k=0$ है,जहाँ मूल $\alpha, \beta, 2 \beta$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करने पर:
मूलों का योग: $\alpha + \beta + 2 \beta = 9 \implies \alpha + 3 \beta = 9$ $(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha \beta + \beta(2 \beta) + 2 \beta(\alpha) = 0$ (चूंकि $x$ का गुणांक $0$ है)
$\alpha \beta + 2 \beta^2 + 2 \alpha \beta = 0 \implies 3 \alpha \beta + 2 \beta^2 = 0$
$\beta(3 \alpha + 2 \beta) = 0$
चूंकि $k \neq 0$,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot 2 \beta = -k \neq 0$,इसलिए $\beta \neq 0$।
अतः,$3 \alpha + 2 \beta = 0 \implies \alpha = -\frac{2 \beta}{3}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{2 \beta}{3} + 3 \beta = 9$
$\frac{-2 \beta + 9 \beta}{3} = 9$
$\frac{7 \beta}{3} = 9 \implies 7 \beta = 27$
इसलिए,$14 \beta = 2 \times (7 \beta) = 2 \times 27 = 54$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-9x^2+23x-15=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = 9$ ... $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 23$ ... (ii)
$\alpha\beta\gamma = 15$ ... (iii)
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण के मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^3 = 9\alpha^2-23\alpha+15$,$\beta^3 = 9\beta^2-23\beta+15$,$\gamma^3 = 9\gamma^2-23\gamma+15$
तीनों को जोड़ने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 23(\alpha+\beta+\gamma) + 45$
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 9^2 - 2(23) = 35$.
मान रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(35) - 23(9) + 45 = 315 - 207 + 45 = 153$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-2 \sqrt{3} x+4=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = 2 \sqrt{3}$ और $\alpha \beta = 4$ है।
सबसे पहले,$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2 \sqrt{3})^2 - 2(4) = 12 - 8 = 4$ की गणना करें।
अब,हम सर्वसमिका $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3 = (\alpha^2+\beta^2)((\alpha^2+\beta^2)^2 - 3\alpha^2\beta^2)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\alpha^6+\beta^6 = (4)((4)^2 - 3(4)^2) = 4(16 - 3(16)) = 4(16 - 48) = 4(-32) = -128$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-2x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$.
माना $\alpha = 1+i$ और $\beta = 1-i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$.
$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
अतः,$\alpha^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{i(2020\pi/4)} = 2^{1010} e^{i(505\pi)}$.
चूंकि $e^{i(505\pi)} = \cos(505\pi) + i \sin(505\pi) = -1 + 0 = -1$,
$\alpha^{2020} = -2^{1010}$.
इसी प्रकार,$\beta^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{-i(505\pi)} = 2^{1010} (-1) = -2^{1010}$.
इसलिए,$\alpha^{2020} + \beta^{2020} = -2^{1010} - 2^{1010} = -2 \cdot 2^{1010} = -2^{1011}$.

(C) माना $z = \sqrt{(-3+4 i)(8+6 i)}$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर का गुणनफल ज्ञात करें:
$(-3+4 i)(8+6 i) = -24 - 18 i + 32 i + 24 i^2$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$-24 + 14 i - 24 = -48 + 14 i$.
अब,हमें $\sqrt{-48 + 14 i}$ ज्ञात करना है।
माना $\sqrt{-48 + 14 i} = x + i y$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + i y)^2 = -48 + 14 i$
$x^2 - y^2 + 2 i x y = -48 + 14 i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2 - y^2 = -48$ $(1)$
$2 x y = 14 \Rightarrow x y = 7$ $(2)$
$(2)$ से,$y = \frac{7}{x}$. $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - (\frac{7}{x})^2 = -48$
$x^2 - \frac{49}{x^2} = -48$
$x^4 + 48 x^2 - 49 = 0$
$(x^2 + 49)(x^2 - 1) = 0$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,$x^2 = 1$,इसलिए $x = \pm 1$.
यदि $x = 1$,तो $y = 7$. यदि $x = -1$,तो $y = -7$.
अतः,वर्गमूल $\pm(1 + 7 i)$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x+i(x-2)}{3+i}-i=\frac{2y+i(1-3y)}{i-3}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x=3$ और $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 3+(-1) = 2$.

(A) माना $z_1 = (-1)^{1/4}$ है। हम $-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi) = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ लिख सकते हैं।
अतः,$z_1 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
मान $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$ हैं।
माना $z_2 = (-i)^{1/2}$ है। हम $-i = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)}$ लिख सकते हैं।
अतः,$z_2 = e^{i(\frac{3\pi}{4} + n\pi)}$ जहाँ $n = 0, 1$ है।
मान $e^{i3\pi/4}$ और $e^{i7\pi/4}$ हैं।
उभयनिष्ठ मान $e^{i3\pi/4}$ और $e^{i7\pi/4}$ हैं।
$e^{i3\pi/4}$ के लिए,$\alpha = \frac{3\pi}{4}$,इसलिए $\tan \alpha = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ है।
$e^{i7\pi/4}$ के लिए,$\alpha = \frac{7\pi}{4}$,इसलिए $\tan \alpha = \tan(\frac{7\pi}{4}) = -1$ है।
अतः,$\tan \alpha = -1$ है।

(B) दिया गया है $Z = \alpha + i \beta$।
चूँकि $|Z| - Z = 1 + 2i$,हमारे पास $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - (\alpha + i \beta) = 1 + 2i$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - \alpha = 1$ और $-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$।
$\beta = -2$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$\sqrt{\alpha^2 + (-2)^2} - \alpha = 1
\Rightarrow \sqrt{\alpha^2 + 4} = \alpha + 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^2 + 4 = (\alpha + 1)^2
$ $\Rightarrow \alpha^2 + 4 = \alpha^2 + 2\alpha + 1
$ $\Rightarrow 2\alpha = 3
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$।
हमें $Z \bar{Z} = |Z|^2 = \alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना है।
$Z \bar{Z} = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9 + 16}{4} = \frac{25}{4}$।

(D) दिया गया है $(2x - y + 1) + i(x - 2y - 1) = 2 - 3i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$2x - y + 1 = 2 \implies 2x - y = 1$ (समीकरण $1$)
$x - 2y - 1 = -3 \implies x - 2y = -2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x - 4y = -4$ (समीकरण $3$) प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $3$ को घटाने पर:
$3y = 5 \implies y = \frac{5}{3}$।
$y = \frac{5}{3}$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$2x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \implies x = \frac{4}{3}$।
हमें $(x - iy) = (\frac{4}{3} - i\frac{5}{3})$ का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करना है।
प्रतिलोम $\frac{1}{\frac{4}{3} - i\frac{5}{3}} = \frac{3}{4 - 5i}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{3(4 + 5i)}{16 + 25} = \frac{12 + 15i}{41} = \frac{12}{41} + \frac{15}{41}i$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ है।
चूंकि $-i$ एक मूल है,मूलों का योग $\alpha + (-i) = -\frac{b}{a} = \frac{2(i+1)}{i} = 2(1-i) = 2-2i$ है।
अतः,$\alpha = 2-i$।
हालांकि,प्रश्न $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ के आधार पर $5^3 \cos 6\theta$ का मान पूछता है।
सूत्र $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} = \frac{3(-1/2) - (-1/8)}{1 - 3(1/4)} = \frac{-3/2 + 1/8}{1/4} = \frac{-11/8}{1/4} = -\frac{11}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अब,$5^3 \cos 6\theta = 125 \left( \frac{1 - \tan^2 3\theta}{1 + \tan^2 3\theta} \right) = 125 \left( \frac{1 - (-11/2)^2}{1 + (-11/2)^2} \right) = 125 \left( \frac{1 - 121/4}{1 + 121/4} \right) = 125 \left( \frac{-117/4}{125/4} \right) = -117$।

(D) माना $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ है।
$z_1$ और $z_2$ के संयुग्मी होने के लिए,$z_1 = \overline{z_2}$ होना चाहिए।
अतः $\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$।
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$।
चूंकि $x$ का कोई भी सामान्य मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए समुच्चय रिक्त है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $z_1 = 1-\sqrt{3}i$ और $z_2 = \sqrt{3}+i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$z_1 = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\pi/3}$.
$z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\pi/6}$.
अब,$z_1^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = 2^9(\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi)) = 2^9(-1) = -2^9$.
$z_2^9 = 2^9 e^{i3\pi/2} = 2^9(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2^9(0 - i) = -i2^9$.
अतः,$|z_1^9 + z_2^9| = |-2^9 - i2^9| = |2^9(-1-i)| = 2^9|-1-i|$.
$|z_1^9 + z_2^9| = 2^9 \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = 2^9 \sqrt{2} = 2^9 \cdot 2^{1/2} = 2^{19/2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
साथ ही,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है।
व्यंजक $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ है।
चूंकि $\omega^{3k} = 1$,यह $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ बन जाता है।
योग को अलग करने पर: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$।
चूंकि $2022$,$3$ का गुणज है,इसलिए $3$ पदों पर $\omega$ की घातों का योग $0$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ और $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$ है।
कुल योग $0 + 0 + 2 \times 2022 = 4044$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)^m=1$ है।
सबसे पहले,आधार का सरलीकरण करने पर: $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{i\pi/3}$.
अतः,समीकरण $(e^{i\pi/3})^m = 1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $e^{im\pi/3} = 1$.
यह तभी संभव है जब $\frac{m\pi}{3} = 2n\pi$ हो,अर्थात $m = 6n$.
हमें $2022 < m < 2029$ दिया गया है।
$6$ के गुणजों की जाँच करने पर: $2022/6 = 337$ और $2028/6 = 338$.
अतः,$2022$ और $2029$ के बीच $6$ का गुणज $2028$ है।
इसलिए,$m = 2028$.

(B) दिया गया व्यंजक: $(-32 i)^{\frac{2}{5}}$
हम $-i$ को $\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(-32 i)^{\frac{2}{5}} = (32)^{\frac{2}{5}} (-i)^{\frac{2}{5}} = 4 (\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2})^{\frac{2}{5}}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$,हम मुख्य मान पर विचार करते हैं:
$= 4 (\cos(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}))$
$= 4 (\cos \frac{3 \pi}{5} + i \sin \frac{3 \pi}{5})$
$= 4 \operatorname{cis} \frac{3 \pi}{5}$.

(C) दिया गया है कि $(1+\omega)$,$x^n-x=0$ का मूल है।
$x = 1+\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\omega)^n - (1+\omega) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है।
समीकरण में यह मान रखने पर: $(-\omega^2)^n - (-\omega^2) = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} + \omega^2 = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} = -\omega^2$.
इसे सत्य होने के लिए,$n$ को विषम होना चाहिए (ताकि $(-1)^n = -1$) और $\omega^{2n} = \omega^2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2n \equiv 2 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है $2n = 3k + 2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
$n=3$ के लिए,$2(3) = 6 \equiv 0 \pmod{3}$ (असत्य)।
$n=5$ के लिए,$2(5) = 10 \equiv 1 \pmod{3}$ (असत्य)।
$n=7$ के लिए,$2(7) = 14 = 3(4) + 2 \equiv 2 \pmod{3}$ (सत्य)।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) माना इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $z_0, z_1, \ldots, z_{n-1}$ हैं जहाँ $z_0 = 1$ है। समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों का योग $x^{n-2}$ का गुणांक बटा $x^n$ का गुणांक होता है।
$x^n - 1 = 0$ के लिए,$x^{n-1}$ का गुणांक $0$ है और $x^{n-2}$ का गुणांक $0$ है (जहाँ $n > 2$ है)।
माना $S = \sum_{0 \leq i < j \leq n-1} z_i z_j = 0$ है।
इस योग को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है: $z_0(\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$।
चूँकि $z_0 = 1$ और इकाई के सभी $n^{\text{th}}$ मूलों का योग $0$ है,इसलिए $1 + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = 0$,अतः $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = -1$ है।
इस मान को विस्तार में रखने पर: $1(-1) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$।
अतः,$\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 1$।

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ है।
इकाई के चतुर्थ मूल $1, i, -1, -i$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = i$ है। तब $\alpha^2 = -1$ और $\alpha^3 = -i$ होगा।
व्यंजक $\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2$ में मान रखने पर:
$\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2 = i + i\omega - (-i)\omega^2$
$= i(1+\omega+\omega^2)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$ है,इसलिए व्यंजक $i(0) = 0$ हो जाता है।

(A) $72!$ में $6$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों $2$ और $3$ के घातांक ज्ञात करने होंगे।
लेजेंड्रे के सूत्र के अनुसार,$n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
$p=2$ के लिए: $E_2(72!) = \left[ \frac{72}{2} \right] + \left[ \frac{72}{4} \right] + \left[ \frac{72}{8} \right] + \left[ \frac{72}{16} \right] + \left[ \frac{72}{32} \right] + \left[ \frac{72}{64} \right] = 36 + 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 70$.
$p=3$ के लिए: $E_3(72!) = \left[ \frac{72}{3} \right] + \left[ \frac{72}{9} \right] + \left[ \frac{72}{27} \right] = 24 + 8 + 2 = 34$.
चूंकि $6 = 2 \times 3$,इसलिए $72!$ में $6$ का घातांक $\min(E_2(72!), E_3(72!)) = \min(70, 34) = 34$ होगा।

(D) $10$ वक्ताओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि $a, b, c$ एक साथ न बैठें,हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाते हैं जिनमें वे एक साथ बैठते हैं।
$a, b, c$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं ($3$ का समूह और शेष $7$ वक्ता),जिन्हें $8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
समूह के भीतर,$a, b, c$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $6 \times 8!$ है।
उनके एक साथ न बैठने के तरीकों की संख्या $10! - 6 \times 8!$ है।
$= (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) दिया गया है: $^mP_r - ^{m-1}P_r = a \cdot ^{m-1}P_s$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{m!}{(m-r)!} - \frac{(m-1)!}{(m-1-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-1-s)!}$
$\frac{m(m-1)!}{(m-r)(m-r-1)!} - \frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m}{m-r} - 1 \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m - m + r}{m-r} \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{r \cdot (m-1)!}{(m-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
हरों की तुलना करने पर,$m-r = m-s-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = s+1$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = r$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = s+1$,जिससे $a - s = 1$ प्राप्त होता है।

(A) प्रश्न पत्र में $3$ भाग हैं,प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। हमें कुल $8$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न हों।
माना $n_1, n_2, n_3$ भाग $1, 2$ और $3$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या है।
$n_1 + n_2 + n_3 = 8$,जहाँ $2 \le n_i \le 4$ है।
संभावित समूह $(4, 2, 2)$ और $(3, 3, 2)$ के क्रमचय हैं।
स्थिति $1$: $(4, 2, 2)$ के $3$ प्रकार: $(4, 2, 2), (2, 4, 2), (2, 2, 4)$।
तरीकों की संख्या $= 3 \times (^{4}C_4 \times ^{4}C_2 \times ^{4}C_2) = 3 \times 36 = 108$।
स्थिति $2$: $(3, 3, 2)$ के $3$ प्रकार: $(3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3)$।
तरीकों की संख्या $= 3 \times (^{4}C_3 \times ^{4}C_3 \times ^{4}C_2) = 3 \times 96 = 288$।
कुल तरीके $= 108 + 288 = 396$।

(B) हम उन त्रिकों $(x, y, z)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं जिनके लिए $x, y, z \in N$,$x < y < z$,और $x+y+z=12$ है।
चूंकि $x < y < z$,हमारे पास $x+y+z > x+x+x = 3x$ है,इसलिए $3x < 12$,जिसका अर्थ है $x < 4$। अतः,$x$ का मान $1, 2,$ या $3$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $x=1$,तो $y+z=11$ जहाँ $1 < y < z$। संभावित युग्म $(y, z)$ हैं $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$। (कुल $4$)
स्थिति $2$: यदि $x=2$,तो $y+z=10$ जहाँ $2 < y < z$। संभावित युग्म $(y, z)$ हैं $(3, 7), (4, 6)$। (कुल $2$)
स्थिति $3$: यदि $x=3$,तो $y+z=9$ जहाँ $3 < y < z$। एकमात्र संभावित युग्म $(y, z)$ है $(4, 5)$। (कुल $1$)
त्रिकों की कुल संख्या $= 4 + 2 + 1 = 7$।

(C) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। हमें ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ अंकों की विषम संख्या बनानी है। अंतिम अंक $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $1$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-1$ होना चाहिए। ${2, 3, 4, 5, 6}$ से संभावित जोड़े ${2, 3}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 5}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $3$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-3$ होना चाहिए। ${1, 2, 4, 5, 6}$ से संभावित जोड़े ${1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {4, 5}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
स्थिति $3$: अंतिम अंक $5$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-5$ होना चाहिए। ${1, 2, 3, 4, 6}$ से संभावित जोड़े ${1, 3}, {1, 6}, {2, 4}, {3, 6}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
कुल संख्या $= 8 + 8 + 8 = 24$.

(D) $LINEAR$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $L, I, N, E, A, R$।
हम इन अक्षरों को इस तरह व्यवस्थित करना चाहते हैं कि $E$ और $A$ हमेशा एक साथ हों,लेकिन $N$ और $R$ एक साथ न हों।
सबसे पहले,$(EA)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $L, I, N, R, (EA)$।
इन $5$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
$E$ और $A$ को उनकी इकाई के भीतर $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए कुल व्यवस्थाएँ जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं,$120 \times 2 = 240$ हैं।
इसके बाद,हम उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करते हैं जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं और $N$ और $R$ भी एक साथ हैं।
$(EA)$ को एक इकाई और $(NR)$ को दूसरी इकाई मानें। अब हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $L, I, (EA), (NR)$।
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
अपनी इकाइयों के भीतर,$E$ और $A$ को $2! = 2$ तरीकों से और $N$ और $R$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,वे व्यवस्थाएँ जहाँ $(EA)$ और $(NR)$ दोनों एक साथ हैं,उनकी संख्या $24 \times 2 \times 2 = 96$ है।
अंत में,उन तरीकों की संख्या जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं लेकिन $N$ और $R$ एक साथ नहीं हैं,$240 - 96 = 144$ है।

(A) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} 2 + 3i & i \\ 1 - 2i & -i \end{array} \right| = x + iy$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(2 + 3i)(-i) - (i)(1 - 2i) = x + iy$
$-2i - 3i^2 - i + 2i^2 = x + iy$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए: $-2i - 3(-1) - i + 2(-1) = x + iy$
$-2i + 3 - i - 2 = x + iy$
$1 - 3i = x + iy$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = 1$ और $y = -3$
अतः,$x + y = 1 + (-3) = -2$

(D) दिया गया है $x + 2y = 10$,जहाँ $x, y$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
संभावित युग्म $(x, y)$ हैं:
$(8, 1) \implies x^2 y^3 = 8^2 \times 1^3 = 64$
$(6, 2) \implies x^2 y^3 = 6^2 \times 2^3 = 36 \times 8 = 288$
$(4, 3) \implies x^2 y^3 = 4^2 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$
$(2, 4) \implies x^2 y^3 = 2^2 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$
$x^2 y^3$ का अधिकतम मान $432$ है,जो $x = 4$ और $y = 3$ पर प्राप्त होता है।
हमें $x^2 + 2y^3 = 4^2 + 2(3^3) = 16 + 2(27) = 16 + 54 = 70$ ज्ञात करना है।

(D) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G = \frac{A+B+C+D}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A(1,1,1), B(1,-4,3), C(2,-2,0), D(8,1,4)$।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $G = \left(\frac{1+1+2+8}{4}, \frac{1-4-2+1}{4}, \frac{1+3+0+4}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{-4}{4}, \frac{8}{4}\right) = (3,-1,2)$ है।
यह एक ज्ञात गुण है कि चतुष्फलक के फलकों के केंद्रकों द्वारा निर्मित चतुष्फलक का केंद्रक मूल चतुष्फलक के केंद्रक के समान ही होता है।
इसलिए,$G_1, G_2, G_3, G_4$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $(3,-1,2)$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $A(\vec{a})$,$B(\vec{0})$,और $C(\vec{c})$ हैं।
$P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a}$।
$Q$,$BC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{c}$।
$AQ$ रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t(\frac{1}{3}\vec{c})$ है।
$CP$ रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{2}{3}\vec{a})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ के लिए गुणांकों की तुलना करने पर,$s = \frac{2}{7}$ और $t = \frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{d} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$।
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{c}| = \frac{1}{14} |\vec{a} \times \vec{c}|$ है।
चूंकि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $k = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}|$ है,इसलिए $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{7} k$ होगा।

(D) दिया गया वक्र $y^2=4x$ और बिंदु $P(1,2)$ है।
$(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y^2=4x$ का अवकलन करने पर प्राप्त होती है: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। $(1,2)$ पर ढाल $m_t = \frac{2}{2} = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y-2 = 1(x-1) \Rightarrow y = x+1$ है।
स्पर्श रेखा $Y$-अक्ष $(x=0)$ को $A(0,1)$ पर काटती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow y = -x+3$ है।
अभिलंब $Y$-अक्ष $(x=0)$ को $B(0,3)$ पर काटता है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(1,2)$,$A(0,1)$ और $B(0,3)$ हैं।
$Y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $A(0,1)$ और $B(0,3)$ के बीच की दूरी है,जो $|3-1| = 2$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P(1,2)$ से $Y$-अक्ष की लंबवत दूरी है,जो $P$ का $x$-निर्देशांक यानी $1$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई।

(C) दिया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-16}{x-4} & \text{यदि } x > 4 \\ 2x & \text{यदि } x \leq 4 \end{cases}$
$x > 4$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$.
$x \leq 4$ के लिए,$f(x) = 2x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} \frac{d}{dx}(x+4) = 1 & \text{यदि } x > 4 \\ \frac{d}{dx}(2x) = 2 & \text{यदि } x < 4 \end{cases}$
इसलिए,$f^{\prime}(4^{+}) = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(4+h) = 1$ और $f^{\prime}(4^{-}) = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(4-h) = 2$.
अतः,$f^{\prime}(4^{-}) + f^{\prime}(4^{+}) = 2 + 1 = 3$.

(C) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य और प्रसरण दोनों $\lambda$ के बराबर होते हैं। दिया गया प्रसरण $\lambda = 2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\}$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
इनका योग करने पर,$P(X < 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2-5}{e^2}$.

(A) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है जहाँ विकर्ण के अवयव $a_{ii} = k^i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
$A$ का ट्रेस (trace),जिसे $m$ द्वारा दर्शाया गया है,इसके विकर्ण अवयवों का योग है:
$m = \sum_{i=1}^{n} k^i = k + k^2 + \dots + k^n = \frac{k(1-k^n)}{1-k}$.
हमें सीमा (limit) दी गई है: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$.
$m$ का मान रखने पर: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n - \frac{k(1-k^n)}{1-k}}{1-k} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{n(1-k) - (k - k^{n+1})}{(1-k)^2} = 171$.
$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए ($k$ के सापेक्ष अंश और हर का अवकलन):
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dk} [n - nk - k + k^{n+1}] = -n - 1 + (n+1)k^n$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dk} [(1-k)^2] = 2(1-k)(-1) = -2(1-k)$.
पुनः $L$'Hospital नियम लागू करने पर:
$\lim_{k \rightarrow 1} \frac{-n - 1 + (n+1)k^n}{-2(1-k)} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{(n+1)n k^{n-1}}{2} = 171$.
$\frac{n(n+1)}{2} = 171 \Rightarrow n^2 + n - 342 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n+19)(n-18) = 0$.
चूँकि $n > 0$ है,इसलिए $n = 18$ प्राप्त होता है।

(A) बाईं ओर आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} 7(1) + 5(3) + \alpha(2) \\ \beta(1) + 2(3) + 11(2) \\ 3(1) + \gamma(3) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 + 2\alpha \\ \beta + 28 \\ 5 + 3\gamma \end{bmatrix}$.
इसे दाईं ओर के आव्यूह के बराबर रखने पर:
$1) \ 22 + 2\alpha = \alpha + \beta \implies \alpha - \beta = -22$
$2) \ \beta + 28 = -2\alpha + \beta - 2\gamma \implies 2\alpha + 2\gamma = -28 \implies \alpha + \gamma = -14$
$3) \ 5 + 3\gamma = \alpha + 2\beta + 3\gamma \implies \alpha + 2\beta = 5$
$(1)$ से,$\beta = \alpha + 22$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + 2(\alpha + 22) = 5 \implies 3\alpha + 44 = 5 \implies 3\alpha = -39 \implies \alpha = -13$.
तब $\beta = -13 + 22 = 9$.
$(2)$ से,$\gamma = -14 - \alpha = -14 - (-13) = -1$.
अब,$100 + \frac{2\alpha + 11\beta}{\gamma} = 100 + \frac{2(-13) + 11(9)}{-1} = 100 + \frac{-26 + 99}{-1} = 100 + \frac{73}{-1} = 100 - 73 = 27$.

(A) दिया गया है,$A+B=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ और $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$.
हमें $A^2+B(A+B)$ ज्ञात करना है.
ध्यान दें कि $A^2+B(A+B) = A^2+BA+B^2$.
हम जानते हैं कि $(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2+AB+BA+B^2$.
अतः,$A^2+BA+B^2 = (A+B)^2 - AB$.
सबसे पहले,$(A+B)^2 = \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right]$ की गणना करें.
अब,$A^2+B(A+B) = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 4 & 6 & 6 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 6 & 3\end{array}\right]$.

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right]$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
परिभाषा के अनुसार,$A = -A^T$.
$\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{ccc}0 & b & -3 \\ 2 & 0 & c \\ a & 4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & -b & 3 \\ -2 & 0 & -c \\ -a & -4 & 0\end{array}\right]$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-b = 2 \Rightarrow b = -2$
$a = 3$
$c = -4$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b & c \\ c & b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2 & -4 \\ -4 & -2\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}(3)(-2) + (-2)(-4) & (3)(-4) + (-2)(-2) \\ (-2)(-2) + (3)(-4) & (-2)(-4) + (3)(-2)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}-6 + 8 & -12 + 4 \\ 4 - 12 & 8 - 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -8 \\ -8 & 2\end{array}\right]$.

(D) दिए गए रैखिक समीकरण $AX=B$ और $AY=Q$ हैं।
चूंकि $B$,$AY=Q$ का अद्वितीय हल है,इसलिए $AB=Q$ है।
हमें $AX=B$ में $X$ का मान ज्ञात करना है।
$AX=B$ के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर:
$A(AX) = AB$
$A^2 X = AB$
चूंकि $AB=Q$ है,समीकरण में $Q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^2 X = Q$
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है। दोनों पक्षों को $(A^{-1})^2$ से गुणा करने पर:
$(A^{-1})^2 (A^2 X) = (A^{-1})^2 Q$
$I X = (A^{-1})^2 Q$
$X = (A^{-1})^2 Q$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & k+k(1+k^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & 2k+k^3 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
हमें $d = 228$ दिया गया है,इसलिए $2k + k^3 = 228$.
मानों का परीक्षण करने पर,यदि $k = 6$ है,तो $2(6) + 6^3 = 12 + 216 = 228$। अतः,$k = 6$.
अब,$b = 1 + k^2 = 1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
साथ ही,$c = 1 + k^2 = 1 + 36 = 37$.
इसलिए,$b + c = 37 + 37 = 74$।

(C) दिया गया है: $A=\begin{bmatrix} a & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix}$।
चूंकि $A$ का ट्रेस $-4$ है,हमारे पास $a - 1 - 4 = -4$ है,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
अब,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b-3 & 3c+6 & 5d+7 \\ 5b-13 & 8-c & 3d+19 \\ 2b+24 & 3c-2 & 11-4d \end{bmatrix}$।
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 17 \\ -3 & 10 & 25 \\ 28 & -8 & 3 \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर:
$b-3 = -1$ से,हमें $b = 2$ प्राप्त होता है।
$3c+6 = 0$ से,हमें $c = -2$ प्राप्त होता है।
$5d+7 = 17$ से,हमें $5d = 10$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 2$ है।
अतः,$a+b+c+d = 1 + 2 - 2 + 2 = 3$।

(D) दिया गया आव्यूह $X = \begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $X = X^T$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & a & 3 \\ 2 & 5 & c \\ b & 6 & 7 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,$a = 2$,$b = 3$,और $c = 6$ प्राप्त होता है।
अब,हमें सारणिक $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 2 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात करना है।
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= 2(6 \times 3 - 2 \times 2) - 3(3 \times 3 - 6 \times 2) + 6(3 \times 2 - 6 \times 6)$
$= 2(18 - 4) - 3(9 - 12) + 6(6 - 36)$
$= 2(14) - 3(-3) + 6(-30)$
$= 28 + 9 - 180$
$= 37 - 180 = -143$.

(A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$।
सबसे पहले,परिवर्त आव्यूह $A^T$ ज्ञात करें:
$A^T=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right]$।
अब,$(A+A^T)$ की गणना करें:
$A+A^T=\left[\begin{array}{lll}1+1 & 2+4 & 3+3 \\ 4+2 & 3+3 & 2+4 \\ 3+3 & 4+2 & 5+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]$।
इसके बाद,$(A-A^T)$ की गणना करें:
$A-A^T=\left[\begin{array}{lll}1-1 & 2-4 & 3-3 \\ 4-2 & 3-3 & 2-4 \\ 3-3 & 4-2 & 5-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$।
अंत में,दोनों आव्यूहों का गुणा करें:
$(A+A^T)(A-A^T)=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}0+12+0 & -4+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+20 & 0-12+0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}12 & 8 & -12 \\ 12 & 0 & -12 \\ 12 & 8 & -12\end{array}\right] = 4\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -3\end{array}\right]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $A^2-4A-5I=0$ है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^2 A^{-1} - 4A A^{-1} - 5I A^{-1} = 0 A^{-1}$
$A - 4I - 5A^{-1} = 0$
$5A^{-1} = A - 4I$
$A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I)$
अब,आव्यूह $A$ और $I$ का मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 1-4 & 2-0 \\ 2-0 & 2-0 & 1-4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

(D) एक विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,हमारे पास $A = -A^T$ है।
इसका अर्थ है कि विकर्ण के अवयव शून्य होने चाहिए,इसलिए $a = e = i = 0$।
अतः,आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ d & 0 & f \\ g & h & 0 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $d = -b$,$g = -c$,और $h = -f$ होता है।
$\frac{b}{c}$ के व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
हम जानते हैं कि विषम कोटि के किसी भी विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है।
$|A| = 0 \cdot (0 - fh) - b(0 - gf) + c(dh - 0) = 0$।
$bgf + cdh = 0$।
$bgf = -cdh$।
$cf$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{b}{c} = \frac{-dh}{fg}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & \alpha \\ \beta & 1 & -11 \\ -5 & \gamma & 19 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -290 \\ -119 \\ 210 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$35 - 39 + 11\alpha = -290 \Rightarrow 11\alpha = -286 \Rightarrow \alpha = -26$.
$5\beta - 13 - 121 = -119 \Rightarrow 5\beta = 15 \Rightarrow \beta = 3$.
$-25 - 13\gamma + 209 = 210 \Rightarrow -13\gamma = 26 \Rightarrow \gamma = -2$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -26 \\ 3 & 1 & -11 \\ -5 & -2 & 19 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 7(19 - 22) - 3(57 - 55) - 26(-6 + 5) = 7(-3) - 3(2) - 26(-1) = -21 - 6 + 26 = -1$.
हम जानते हैं कि $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|} = -A$ और $\operatorname{adj} A^{-1} = \operatorname{adj}(\frac{\operatorname{adj} A}{|A|}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{(-1)^2} |A| A = -A$.
इसलिए,$(\operatorname{adj} A)^{-1} + \operatorname{adj} A^{-1} = -A + (-A) = -2A$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A = |A|^{3-2} A = |A| A$ होता है।
अब,व्यंजक $|A^{-1}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))|^{-1}$ पर विचार करें।
गुणधर्म का उपयोग करने पर: $|A^{-1}(|A| A)|^{-1} = | |A| (A^{-1} A) |^{-1} = | |A| I |^{-1}$।
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $| |A| I | = |A|^3 |I| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ होगा।
अतः,व्यंजक $(|A|^3)^{-1} = \frac{1}{|A|^3}$ हो जाता है।
दिया गया है $|A| = \frac{1}{2}$,इसलिए हमें $\frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$ और $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ है।
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$ होता है।
$A X = B$ को दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $X = A^{-1} B = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A \cdot B$ प्राप्त होता है।
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$।
आव्यूह गुणन करने पर:
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1(1) + (-1)(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1 - 1 - 2 \\ 1 + 1 - 2 \\ 1 + 1 + 2\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]$।
चूंकि $|A| > 0$ है,हम दिए गए $\operatorname{Adj} A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
$|\operatorname{Adj} A| = 1(1+1) - (-1)(1+1) + (-1)(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$।
अतः,$|A|^2 = 4 \implies |A| = 2$ (क्योंकि $|A| > 0$ है)।
$X$ के समीकरण में $|A| = 2$ रखने पर:
$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$.
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 - 5A^2 + 7A - 3I = 0$ है।
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,$A^2 - 5A + 7I - 3A^{-1} = 0$,जिसका अर्थ है $A^{-1} = \frac{1}{3}A^2 - \frac{5}{3}A + \frac{7}{3}I$।
इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{3}$,$\beta = -\frac{5}{3}$,और $\gamma = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$17\alpha + 5\beta + \gamma = 17(\frac{1}{3}) + 5(-\frac{5}{3}) + \frac{7}{3} = \frac{17 - 25 + 7}{3} = \frac{-1}{3}$।

(B) माना $2 \times 2$ आव्यूह $A$ के आइगेन मान $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं।
दिया गया है कि $\operatorname{det} A = \lambda_1 \lambda_2 = -21$ है।
$A^3$ के आइगेन मान $\lambda_1^3$ और $\lambda_2^3$ हैं।
$A^3$ का ट्रेस $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = 2024$ है।
हम जानते हैं कि $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)(\lambda_1^2 - \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2^2)$ होता है।
$\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = (\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 2\lambda_1 \lambda_2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)((\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 3\lambda_1 \lambda_2)$।
माना $T = \lambda_1 + \lambda_2$ आव्यूह $A$ का ट्रेस है।
अतः $2024 = T(T^2 - 3(-21)) = T(T^2 + 63) = T^3 + 63T$।
इस प्रकार,$T^3 + 63T - 2024 = 0$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$T = 11$ के लिए: $11^3 + 63(11) = 1331 + 693 = 2024$।
अतः $A$ का ट्रेस $11$ है।

(C) माना $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$ है।
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2 - a^2 & c^2 - a^2 \\ a^3 & b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix} (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \\ (b-a)(b^2+ab+a^2) & (c-a)(c^2+ac+a^2) \end{vmatrix}$
$= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2 \end{vmatrix}$
$= (b-a)(c-a) [(b+a)(c^2+ac+a^2) - (c+a)(b^2+ab+a^2)]$
$= (b-a)(c-a) [bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3 - (cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3)]$
$= (b-a)(c-a) [bc^2+ac^2-cb^2-ab^2]$
$= (b-a)(c-a) [bc(c-b) + a(c^2-b^2)]$
$= (b-a)(c-a) [bc(c-b) + a(c-b)(c+b)]$
$= (b-a)(c-a)(c-b) [bc + ac + ab]$
$= (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(A) दिया गया है कि $A, P, B$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं।
$1$. $|-B|=5$ के लिए:
चूंकि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|-B| = (-1)^3 |B| = -|B|$.
अतः,$-|B| = 5 \Rightarrow |B| = -5$.
$2$. $|BA^T|=15$ के लिए:
$|XY| = |X||Y|$ और $|A^T| = |A|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|B||A| = 15$
$(-5)|A| = 15 \Rightarrow |A| = -3$.
$3$. $|P^T AP| = -27$ के लिए:
$|P^T| = |P|$ और $|XY| = |X||Y|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|P^T||A||P| = -27$
$|P||A||P| = -27$
$|P|^2 (-3) = -27$
$|P|^2 = 9$
$|P| = \pm 3$.
अतः,$|P|$ का एक मान $3$ है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2+7}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x-2)$ से गुणा करने पर: $x^2+7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2) \quad \dots (1)$.
$x=2$ रखने पर: $2^2+7 = A(2^2+1) \Rightarrow 11 = 5A \Rightarrow A = \frac{11}{5}$.
समीकरण $(1)$ में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A+B \Rightarrow B = 1 - \frac{11}{5} = -\frac{6}{5}$.
समीकरण $(1)$ में अचर पदों की तुलना करने पर: $7 = A - 2C \Rightarrow 2C = A - 7 = \frac{11}{5} - 7 = -\frac{24}{5} \Rightarrow C = -\frac{12}{5}$.
अब,आव्यूह $\begin{bmatrix} A & B \\ C & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det = A \cdot \frac{2}{5} - B \cdot C = \left(\frac{11}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{6}{5}\right)\left(-\frac{12}{5}\right)$.
$\det = \frac{22}{25} - \frac{72}{25} = -\frac{50}{25} = -2$.

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,इसलिए $AB-C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $\det(AB-C) = -1 \neq 0$,$AB-C$ व्युत्क्रमणीय है और $D = (AB-C)^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -C$.
कथन $I$ के लिए: $\det(BA) = \det(0) = 0$. $\det(BA-C) = \det(-C) = -1$. $\det(BDA) = \det(-CBA) = \det(0) = 0$. अतः $0 = (-1)(0)$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: $ABD = AB(-C) = -AB = 0$. $DAB = (-C)AB = -AB = 0$. अतः $ABD = DAB$ सत्य है।
दोनों कथन सत्य हैं।

(B) हमें $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
गुणधर्म $(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$(A^{-1}B)^{-1} + (AB^{-1})^{-1} = B^{-1}(A^{-1})^{-1} + (B^{-1})^{-1}A^{-1} = B^{-1}A + BA^{-1}$.
सबसे पहले,ध्यान दें कि $A^2 = I$ और $B^2 = I$,इसलिए $A^{-1} = A$ और $B^{-1} = B$.
इस प्रकार,व्यंजक $BA + BA = 2BA$ बन जाता है।
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
इसलिए,$2BA = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x & x+1 & x+3 \\ x+2 & x+4 & x+7 \\ x+6 & x+9 & x+13 \end{array} \right|$.
सारणिक में $x = 5$ रखने पर:
$f(5) = \left| \begin{array}{ccc} 5 & 6 & 8 \\ 7 & 9 & 12 \\ 11 & 14 & 18 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$f(5) = 5(9 \times 18 - 14 \times 12) - 6(7 \times 18 - 11 \times 12) + 8(7 \times 14 - 11 \times 9)$
$f(5) = 5(162 - 168) - 6(126 - 132) + 8(98 - 99)$
$f(5) = 5(-6) - 6(-6) + 8(-1)$
$f(5) = -30 + 36 - 8$
$f(5) = 6 - 8 = -2$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}b & 1 & a \\ a & 1 & c \\ c & 1 & b\end{array}\right| = 0$.
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$b(b - c) - 1(ab - c^2) + a(a - c) = 0$
$b^2 - bc - ab + c^2 + a^2 - ac = 0$
$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = 0 \quad \dots(i)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a = b = c$.
अतः,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $A = B = C = 60^{\circ}$.
अब,$2(\cos A + \cos B + \cos C) = 2(\cos 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \cos 60^{\circ})$
$= 2(3 \times \frac{1}{2}) = 3$.

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & y & 9 \end{bmatrix}$.
स्थान $(2, 3)$ पर स्थित अवयव (जो $-6$ है) का सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -1 & x \\ -7 & y \end{vmatrix} = -1(-y - (-7x)) = -1(-y + 7x) = y - 7x$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C_{23} = 22$,अतः $y - 7x = 22$ --- $(1)$.
स्थान $(3, 1)$ पर स्थित अवयव (जो $-7$ है) का सहखंड $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} x & 3 \\ -5 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6x - (-15)) = -6x + 15$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C_{31} = 27$,अतः $-6x + 15 = 27$.
$-6x = 12 \implies x = -2$.
समीकरण $(1)$ में $x = -2$ रखने पर:
$y - 7(-2) = 22$
$y + 14 = 22 \implies y = 8$.
अब,$5x + y$ का मान ज्ञात करें:
$5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$.

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = -\sin x (4 \sin^2 x \sin x - (2 \sin 2x)(-\cos x)) - \cos x (2 \sin 2x \sin x - (4 \cos^2 x)(-\cos x)) + 0$
$f(x) = -\sin x (4 \sin^3 x + 4 \sin x \cos^2 x) - \cos x (4 \sin^2 x \cos x + 4 \cos^3 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) - 4 \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x - 4 \cos^2 x = -4(\sin^2 x + \cos^2 x) = -4$.
चूंकि $f(x) = -4$ एक अचर फलन है,इसका अवकलज $f'(x) = 0$ है।
अतः,$f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -4 + 0 = -4$.

(D) सबसे पहले,हम तीसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक $f(x)$ का मान निकालते हैं:
$f(x) = \sin x (-\sin x \cos x - 2 \sin^2 x \sin x) - (-\cos x) (-2 \cos^3 x - \sin x \sin 2x) + 0$
सारणिक को सरल करने पर,हमें $f(x) = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|f(x)| = 2$ और $f'(x) = 0$ होगा।
इस प्रकार,$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2(2) + 5(0)) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} \alpha + 2\beta + \gamma & 2\alpha + 3\beta + 2\gamma & 3\alpha - 5\beta + 5\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$1) \alpha + 2\beta + \gamma = 3$
$2) 2\alpha + 3\beta + 2\gamma = 5$
$3) 3\alpha - 5\beta + 5\gamma = 2$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण का दोगुना घटाने पर: $(2\alpha + 3\beta + 2\gamma) - 2(\alpha + 2\beta + \gamma) = 5 - 2(3) \Rightarrow -\beta = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ को समीकरण $(1)$ और $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + \gamma = 3 - 2(1) = 1 \Rightarrow \alpha + \gamma = 1$
$3\alpha + 5\gamma = 2 + 5(1) = 7 \Rightarrow 3\alpha + 5\gamma = 7$
इन दो समीकरणों को हल करने पर: $3(1 - \gamma) + 5\gamma = 7 \Rightarrow 3 - 3\gamma + 5\gamma = 7 \Rightarrow 2\gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 2$.
अतः $\alpha = 1 - 2 = -1$.
इस प्रकार,$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = 2$.
अंत में,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (-1)^3 + (1)^3 + (2)^3 = -1 + 1 + 8 = 8$.

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$1) 2x + 3y - 2z = -4$
$2) 3x - 4y + 3z = -5$
$3) kx - 2y + z = -3$
चूंकि $x = \alpha = -2$ दिया गया है,हम समीकरणों में $x = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) + 3y - 2z = -4 \Rightarrow -4 + 3y - 2z = -4 \Rightarrow 3y - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 3y \Rightarrow z = \frac{3}{2}y$
$3(-2) - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -6 - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -4y + 3z = 1$
दूसरे समीकरण में $z = \frac{3}{2}y$ रखने पर:
$-4y + 3(\frac{3}{2}y) = 1 \Rightarrow -4y + \frac{9}{2}y = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}y = 1 \Rightarrow y = 2$
अतः $z = \frac{3}{2}(2) = 3$.
अब $x = -2, y = 2, z = 3$ को तीसरे समीकरण में रखने पर:
$k(-2) - 2(2) + 3 = -3$
$-2k - 4 + 3 = -3$
$-2k - 1 = -3$
$-2k = -2 \Rightarrow k = 1$.
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
विकल्प $C$: $\left| \begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = (3 \times 2) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
अतः,$k = 1$ विकल्प $C$ के बराबर है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली:
$1) \beta x + \alpha y - z = -1$
$2) 3x - \beta y + \alpha z = 0$
$3) \alpha x + \beta y + z = 1$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हल $x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$,और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ हैं।
इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)$ से: $\beta(-1) + \alpha(1) - 2 = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
$(2)$ से: $3(-1) - \beta(1) + \alpha(2) = 0 \Rightarrow 2\alpha - \beta = 3$
$(3)$ से: $\alpha(-1) + \beta(1) + 2 = 1 \Rightarrow -\alpha + \beta = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
अब $\alpha$ और $\beta$ के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$\alpha - \beta = 1$
$2\alpha - \beta = 3$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(2\alpha - \beta) - (\alpha - \beta) = 3 - 1$
$\alpha = 2$
$\alpha = 2$ को $\alpha - \beta = 1$ में रखने पर:
$2 - \beta = 1 \Rightarrow \beta = 1$
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 1)$.

(D) दिया गया है $f(x) = \sum_{p=1}^7 p^2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{5} \sin(px) - \frac{3}{5} \cos(px)\right)$.
माना $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.
तब व्यंजक $\sin^{-1}(\sin(px) \cos \alpha - \cos(px) \sin \alpha) = \sin^{-1}(\sin(px - \alpha)) = px - \alpha$ हो जाता है।
अतः,$f(x) = \sum_{p=1}^7 p^2(px - \alpha) = \sum_{p=1}^7 (p^3 x - p^2 \alpha) = x \sum_{p=1}^7 p^3 - \alpha \sum_{p=1}^7 p^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x \sum_{p=1}^7 p^3 - \alpha \sum_{p=1}^7 p^2 \right) = \sum_{p=1}^7 p^3$.
घनों का योग $n=7$ के लिए $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{df}{dx} = \left(\frac{7(8)}{2}\right)^2 = (28)^2 = 784$.

(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{\sqrt{6x^2+5x-6}}{\sqrt{4-x}-\sqrt{x+4}}$
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$(1)$ अंश वास्तविक होना चाहिए: $6x^2+5x-6 \geq 0$
$(3x-2)(2x+3) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$
$(2)$ हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\sqrt{4-x} - \sqrt{x+4} \neq 0$
$4-x \neq x+4$ $\Rightarrow 2x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 0$
$(3)$ वर्गमूल पद परिभाषित होने चाहिए:
$4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
इन शर्तों को मिलाने पर: $x \in [-4, 4] \cap ((-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)) \cap \{x \neq 0\}$
चूंकि $0$,$(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$ अंतराल में नहीं है,इसलिए शर्त $x \neq 0$ स्वतः संतुष्ट हो जाती है।
अतः,प्रांत $[-4, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, 4]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2}}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए:
$\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2} \geq 0$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
अंश: $(2x - 5)(x - 1)$
हर: $(3x + 1)(x - 2)$
अतः,असमिका $\frac{(2x - 5)(x - 1)}{(3x + 1)(x - 2)} \geq 0$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{1}{3}, 1, 2, \frac{5}{2}$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,प्रांत $\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup [1, 2) \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{[x]-x}{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $x = [x] + \{x\}$,जहाँ $0 \leq \{x\} < 1$ है।
अतः $x - [x] = \{x\}$ है।
यदि $x \notin Z$ है,तो $\{x\} \neq 0$,इसलिए हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{\frac{-\{x\}}{\{x\}}} = \sqrt{-1} = i$।
चूंकि $i$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए किसी भी $x \notin Z$ के लिए $f(x)$ वास्तविक नहीं है।
यदि $x \in Z$ है,तो $[x] = x$,जो हर को $x - [x] = 0$ बना देता है।
शून्य से विभाजन अपरिभाषित है,इसलिए $x \in Z$ के लिए $f(x)$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$x$ का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $f(x)$ वास्तविक हो।
ऐसे मानों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2+[x]-2}}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$[x]^2+[x]-2 > 0$ होना चाहिए।
माना $[x] = t$। तो $t^2+t-2 > 0$,जिसका गुणनखंड $(t+2)(t-1) > 0$ है।
इसका अर्थ है $t < -2$ या $t > 1$।
चूंकि $t = [x]$ एक पूर्णांक है,$[x] \in \{\dots, -4, -3\} \cup \{2, 3, 4, \dots\}$।
स्थिति $1$: यदि $[x] \geq 2$,तो $[x]^2+[x]-2$ का मान $4, 10, 18, \dots$ प्राप्त होता है।
फलन के मान $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ अर्थात $(0, \frac{1}{2}]$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $[x] \leq -3$,तो $[x]^2+[x]-2$ का मान $4, 10, \dots$ प्राप्त होता है।
फलन के मान $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ अर्थात $(0, \frac{1}{2}]$ प्राप्त होते हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,परिसर $(0, \frac{1}{2}]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ है।
प्रांत $D$ के लिए,हमें $\frac{1-x^2}{1+x^2} \geq 0$ की आवश्यकता है। चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $1+x^2 > 0$ है,इसलिए $1-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 \leq 1$,अतः $x \in [-1, 1]$। इस प्रकार,$D = [-1, 1]$।
परिसर $G$ के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$। चूंकि $x \in [-1, 1]$,$1-x^2$ का मान $0$ से $1$ तक और $1+x^2$ का मान $1$ से $2$ तक होता है। अतः,$\frac{1-x^2}{1+x^2}$ का मान $0$ से $1$ के बीच होता है। वर्गमूल लेने पर,$y \in [0, 1]$। इस प्रकार,$G = [0, 1]$।
अंततः,$D \cap G = [-1, 1] \cap [0, 1] = [0, 1]$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |x-2| + |x-3|$ है।
हम फलन का तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं: $x \leq 2$,$2 < x < 3$,और $x \geq 3$।
$x \leq 2$ के लिए,$f(x) = -(x-2) - (x-3) = -2x + 5$। चूँकि $x \leq 2$,इसलिए $f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
$2 < x < 3$ के लिए,$f(x) = (x-2) - (x-3) = 1$।
$x \geq 3$ के लिए,$f(x) = (x-2) + (x-3) = 2x - 5$। चूँकि $x \geq 3$,इसलिए $f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $1$ है और यह $1$ से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ ग्रहण करता है।
इसलिए,परिसर $[1, \infty)$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) व्यंजक $x-[x]$ संख्या $x$ के भिन्नात्मक भाग को दर्शाता है,जिसे $\{x\}$ के रूप में लिखा जाता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ अंतराल $[0, 1)$ में स्थित होता है।
हालाँकि,हर $\sqrt{x-[x]}$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x-[x] \neq 0$ है।
अतः,$x-[x] \in (0, 1)$ है।
जैसे-जैसे $x-[x]$ का मान $0$ के करीब पहुँचता है,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ का मान $\infty$ की ओर जाता है।
जैसे-जैसे $x-[x]$ का मान $1$ के करीब पहुँचता है,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ का मान $1$ की ओर जाता है।
इस प्रकार,$f(x)$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 1 - x$,$g(x) = \frac{1}{1 - x}$,और $h(x) = \frac{1}{x}$।
हमें समीकरण $f(F(h(x))) = g(x)$ दिया गया है।
$f$ और $g$ के व्यंजक रखने पर,हमें $1 - F(h(x)) = \frac{1}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
$F(h(x))$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F(h(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $t = h(x) = \frac{1}{x}$। तो $x = \frac{1}{t}$।
$F(h(x))$ के व्यंजक में $x = \frac{1}{t}$ रखने पर,हमें $F(t) = \frac{1/t}{1/t - 1} = \frac{1/t}{(1 - t)/t} = \frac{1}{1 - t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$F(x) = \frac{1}{1 - x} = g(x)$।
इसलिए,$F(2022) = g(2022)$।

(C) कथन $I$ के लिए: दिया गया है $f(x) = \sec x + \tan x$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर।
$f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$।
यहाँ $\sec x + \tan x = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ होता है।
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है। अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है और एक-एक है।
कथन $II$ के लिए: दिया गया है $f(x) = x^2$ अंतराल $[0, \infty)$ पर।
यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1^2 = x_2^2$। चूँकि $x_1, x_2 \geq 0$ है,इसलिए $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ एक-एक फलन है।
इस प्रकार,दोनों कथन सत्य हैं।

(C) यह दिया गया है कि $f: A \rightarrow B$ एक आच्छादक फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर सह-प्रांत $B$ के बराबर होना चाहिए।
चूंकि $g: B \rightarrow C$ को $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $g$ का प्रांत $B$ है।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है:
$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(2x - 3)(2x + 1) \leq 0$
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर,असमिका $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ के लिए सत्य है।
अतः,$g$ का प्रांत $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ है,जो $f$ का परिसर है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 2x-5 & x < -3 \\ x+2 & -3 \leq x < 5 \\ 3x+1 & x \geq 5 \end{cases}$
$(A) f(-5)+f(0)+f(-1) = (2(-5)-5) + (0+2) + (-1+2) = -15 + 2 + 1 = -12$. अतः $(A) \rightarrow (IV)$.
$(B) f(f(5)+10f(-3)) = f((3(5)+1) + 10(-3+2)) = f(16 - 10) = f(6) = 3(6)+1 = 19$. अतः $(B) \rightarrow (V)$.
$(C) f(f(-4)) = f(2(-4)-5) = f(-13) = 2(-13)-5 = -31$. अतः $(C) \rightarrow (III)$.
$(D) f(f(f(1))) = f(f(1+2)) = f(f(3)) = f(3+2) = f(5) = 3(5)+1 = 16$. अतः $(D) \rightarrow (I)$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-V, C-III, D-I$ है।

(D) माना $y = \frac{2x-3}{x^2-5x+6}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x$ में द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ अऋणात्मक होना चाहिए।
$y(x^2-5x+6) = 2x-3$
$yx^2 - (5y+2)x + (6y+3) = 0$
$x \in \mathbb{R}$ के लिए,$D = b^2 - 4ac \geq 0$.
$(5y+2)^2 - 4y(6y+3) \geq 0$
$25y^2 + 20y + 4 - 24y^2 - 12y \geq 0$
$y^2 + 8y + 4 \geq 0$.
$y^2 + 8y + 4 = 0$ के मूल $y = \frac{-8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
अतः,$y \in (-\infty, -4-2\sqrt{3}] \cup [-4+2\sqrt{3}, \infty)$.
$f(x)$ द्वारा ग्रहण न किए जाने वाले मान $(-4-2\sqrt{3}, -4+2\sqrt{3})$ अंतराल में हैं।
चूंकि $-4-2\sqrt{3} \approx -7.46$ और $-4+2\sqrt{3} \approx -0.53$ है,इसलिए $-2$ फलन $f(x)$ के परिसर में नहीं है।

(C) $x = -3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (3-x) = 3 - (-3) = 6$.
$\lim_{x \to -3^+} f(x) = 6$.
$f(-3) = 6$.
चूँकि $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,फलन $x = -3$ पर संतत है।
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 6$.
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3+x) = 3+3 = 6$.
$f(3) = 6$.
चूँकि $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$,फलन $x = 3$ पर संतत है।
अतः,फलन हर जगह संतत है,इसलिए असांतत्य बिंदुओं की संख्या $\alpha = 0$ है।
$x = -3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -3$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$: $\frac{d}{dx}(3-x) = -1$.
$x = -3$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = -3$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = 3$ पर $LHD$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
$x = 3$ पर $RHD$: $\frac{d}{dx}(3+x) = 1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,अन-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या $\beta = 2$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 0 + 2 = 2$.