TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પરથી $y = \frac{2x + 4}{3}$ મળે.
આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $25x^2 + 9(\frac{2x + 4}{3})^2 = 225$.
$25x^2 + (2x + 4)^2 = 225 \Rightarrow 29x^2 + 16x - 209 = 0$.
$x$-યામનું મધ્યબિંદુ $\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-16/29}{2} = -\frac{8}{29}$.
તે જ રીતે,$y$-યામ માટે $x = \frac{3y - 4}{2}$ મૂકતા: $261y^2 - 600y - 500 = 0$.
$y$-યામનું મધ્યબિંદુ $\beta = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{600/261}{2} = \frac{100}{87}$.
હવે,$3\beta - 2\alpha = 3(\frac{100}{87}) - 2(-\frac{8}{29}) = \frac{100}{29} + \frac{16}{29} = \frac{116}{29} = 4$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ છે.
ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(x, y)$ છે. તેથી,
$x = \frac{a(\cos \theta - \sin \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2x}{a} = \cos \theta - \sin \theta$
$y = \frac{b(\sin \theta + \cos \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2y}{b} = \sin \theta + \cos \theta$
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\frac{2x}{a})^2 + (\frac{2y}{b})^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 + (\sin \theta + \cos \theta)^2$
$\frac{4x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{b^2} = 2$
$\frac{x^2}{a^2/2} + \frac{y^2}{b^2/2} = 1$
આને $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{a}{\sqrt{2}}$ અને $\beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી,$\frac{a+b}{\alpha+\beta} = \frac{a+b}{\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{k-\frac{5}{2}} + \frac{y^2}{\frac{7}{3}-k} = 1$ છે.
તે અતિવલય દર્શાવે તે માટે છેદના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ,એટલે કે તેમનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$(k - \frac{5}{2})(\frac{7}{3} - k) < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $(k - \frac{5}{2})(k - \frac{7}{3}) > 0$ મળે છે.
અહીં $\frac{7}{3} < \frac{5}{2}$ હોવાથી,અસમતા $(k - \frac{7}{3})(k - \frac{5}{2}) > 0$ ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $k < \frac{7}{3}$ અથવા $k > \frac{5}{2}$ હોય.
આમ,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ $\left(-\infty, \frac{7}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}, \infty\right)$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(\theta) = (x_1, \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ માટે,$y$-યામ સરખાવતા: $3 \tan \theta = \frac{3 \sqrt{5}}{2} \implies \tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ હોવાથી,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$,તેથી $\sec \theta = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$).
આમ,$x_1 = 5 \sec \theta = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$.
વળી,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{\sec^2 \theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
અંતે,$2 x_1 + 9 \sin^2 \theta = 2(\frac{15}{2}) + 9(\frac{5}{9}) = 15 + 5 = 20$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ આપેલ છે,જ્યાં $a^2=16$ અને $b^2=9$ છે.
બિંદુ $P(5, y_1)$ અતિવલય પર હોવાથી,$x=5$ મુકતા:
$\frac{25}{16}-\frac{y_1^2}{9}=1$
$\Rightarrow \frac{y_1^2}{9}=\frac{25}{16}-1 = \frac{9}{16}$
$\Rightarrow y_1^2 = \frac{81}{16}$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{9}{4}$.
તેથી,$P = (5, \pm \frac{9}{4})$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
ધન $X$-અક્ષ પરનું નાભિ $S = (ae, 0) = (4 \times \frac{5}{4}, 0) = (5, 0)$.
હવે,અંતર $SP = \sqrt{(5-5)^2 + (0 - (\pm \frac{9}{4}))^2} = \sqrt{0 + \frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણો પ્રચલિત સ્વરૂપ $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ માં છે,જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ દર્શાવે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ છે.
પ્રથમ અતિવલય માટે,$a = 1$ અને $b = \sqrt{2}$,તેથી $e_1^2 = 1 + \frac{(\sqrt{2})^2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.
બીજા અતિવલય માટે,$a = \sqrt{2}$ અને $b = 1$,તેથી $e_2^2 = 1 + \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{e_2^2}{e_1^2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$.

(C) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ આપેલ છે,તેથી $a = 4$ અને $a^2 = 16$.
અતિવલય $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{25}{16} - \frac{4}{b^2} = 1$.
$\frac{4}{b^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,જે આપણને $b^2 = \frac{64}{9}$ આપે છે.
અનુબદ્ધ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ એ $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e' = \sqrt{1 + \frac{16}{64/9}} = \sqrt{1 + \frac{16 \times 9}{64}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=4$ છે.
તેથી,$a=3$ અને $b=2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
ધન $X$-અક્ષ પરનું નાભિ $S = (ae, 0) = (\sqrt{5}, 0)$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
નાભિ અંતરનું સૂત્ર $SP = a - ex$ મુજબ,$SP = 3 - (\frac{\sqrt{5}}{3})(3 \cos \theta) = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$.
$SP = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$.
$\sqrt{5} \cos \theta = 2$.
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(B) પ્રથમ અતિવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_1$ છે અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e_1}$ છે.
આપેલ છે કે $2ae_1 = 2 \times \frac{2a}{e_1}$,જેનું સાદું રૂપ $e_1^2 = 2$ થાય છે. $e_1 > 1$ હોવાથી,$e_1 = \sqrt{2}$ મળે.
બીજા અતિવલય માટે,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a_2$ છે અને અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b_2$ છે.
આપેલ છે કે $2a_2 = 2(2b_2)$,તેથી $a_2 = 2b_2$ અથવા $b_2 = \frac{a_2}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 + \frac{b_2^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{(a_2/2)^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ મળે.
તેથી,$e_1 e_2 = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P$ માટે,નાભિ અંતર $SP = |ex - a|$ અને $S^{\prime}P = |ex + a|$ છે.
આપેલ શરત $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $|SP - S^{\prime}P| = 2a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $SP + S^{\prime}P = 2(2a) = 4a$.
અતિવલય માટે,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $SP + S^{\prime}P = 2ex$ થાય છે.
તેથી,$2ex = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2a}{e}$.
બિંદુ $P(\frac{\pi}{6})$ એ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
અહીં,$x = a \sec(\frac{\pi}{6}) = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$x$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{2a}{e} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$e = \sqrt{3}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 1$ છે. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/2}{1}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
નાભિ $S$ એ $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ અને $S(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 1}{\sqrt{\frac{3}{2}} - (-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ છે.
રેખા $PS$ નું સમીકરણ $y = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}(x - \sqrt{\frac{3}{2}})$ છે.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |OS| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3}{2(\sqrt{6} + 2)}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 9$ ને $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(3/4)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=1, b=3/4$ છે.
અતિવલય પરના પ્રચલ બિંદુઓ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$P_1 = (\sqrt{2}, \frac{3}{4})$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$P_2 = (2, \frac{3\sqrt{3}}{4})$.
અંતર $D = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 9\sqrt{3}}$.
વિધાન સાચું છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે અતિવલયના પ્રચલ સમીકરણો $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ છે.
તેથી,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
નાભિલંબ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર અને એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ ને જોડતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
માટે,$\tan(60^{\circ}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
$\sqrt{3} = \frac{a^2(e^2 - 1)}{a^2e} = \frac{e^2 - 1}{e}$ હોવાથી,$e^2 - \sqrt{3}e - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ મળે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\theta_1)$ અને $B(\theta_2)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ:
$\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)-\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
આ જીવા નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=ae$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{ae}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$e \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
સંબંધ $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$\sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
આપેલ સમીકરણ $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) = k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$k = \sqrt{a^2+b^2}$

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 4$ છે, જેને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a = 2$ અને $b = 1$ છે।
પ્રાચલ યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta) = (2 \sec \theta, \tan \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓની ગણતરી કરતા:
$P(\frac{\pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, 1)$
$Q(\frac{5 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, 1)$
$R(\frac{3 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, -1)$
$T(\frac{7 \pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, -1)$
આ બિંદુઓ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, -1),$ અને $(2 \sqrt{2}, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
પહોળાઈ $= |2 \sqrt{2} - (-2 \sqrt{2})| = 4 \sqrt{2}$
ઊંચાઈ $= |1 - (-1)| = 2$
ક્ષેત્રફળ $= \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 4 \sqrt{2} \times 2 = 8 \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.
તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2x - 2\tan x}{(1 - \cos x)(2^x - 1)}$.
$\tan x$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\tan 2x - 2\tan x = 2x^3$.
છેદમાં: $(1 - \cos x)(2^x - 1) \approx (\frac{x^2}{2})(x \ln 2) = \frac{x^3 \ln 2}{2}$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^3}{\frac{x^3 \ln 2}{2}} = \frac{4}{\ln 2}$.

(D) અમે લક્ષને બે ભાગમાં વહેંચીને તેની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 2} \left[ (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right) \right] + \lim _{x \rightarrow 2} \left[ \frac{x^2-4}{x^3-2 x-4} \right]$
પ્રથમ ભાગ માટે,$\lim _{x \rightarrow 2} (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$. કારણ કે $(x-2)^2 \rightarrow 0$ અને $\cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$ એ $[-1, 1]$ માં સીમિત છે,તેથી સ્ક્વીઝ પ્રમેય દ્વારા,લક્ષ $0 \times [-1, 1] = 0$ થાય છે.
બીજા ભાગ માટે,$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x^2+2x+2}$.
$x=2$ મૂકતા,આપણને $\frac{2+2}{2^2+2(2)+2} = \frac{4}{4+4+2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ મળે છે.
આમ,કુલ લક્ષ $0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) $f(x) = 2x - [2x]$ આપેલ છે.
$l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ શોધવા માટે:
ધારો કે $x = 2 - h$,જ્યાં $h \rightarrow 0$ અને $h > 0$.
$l_1 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 - h) - [2(2 - h)]) = \lim_{h \rightarrow 0} (4 - 2h - [4 - 2h])$.
$h$ એ ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યા હોવાથી,$4 - 2h$ એ $4$ કરતા થોડી નાની સંખ્યા છે,તેથી $[4 - 2h] = 3$.
આમ,$l_1 = 4 - 3 = 1$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$ શોધવા માટે:
ધારો કે $x = 2 + h$,જ્યાં $h \rightarrow 0$ અને $h > 0$.
$l_2 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 + h) - [2(2 + h)]) = \lim_{h \rightarrow 0} (4 + 2h - [4 + 2h])$.
$h$ એ ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યા હોવાથી,$4 + 2h$ એ $4$ કરતા થોડી મોટી સંખ્યા છે,તેથી $[4 + 2h] = 4$.
આમ,$l_2 = 4 - 4 = 0$.
તેથી,$l_1 + l_2 = 1 + 0 = 1$.

(B) આપેલ છે,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{2 x}-2^{x+1}+2-\cos 2 x}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 1 + 1 - \cos 2x}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)^2 + (1 - \cos 2x)}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x - 1}{x} \right)^2 + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log _e a$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos kx}{x^2} = \frac{k^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\log _e 2)^2 + \frac{2^2}{2}$
$= (\log _e 2)^2 + 2$

(C) આપેલ છે,$L = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^3-3 x^2-4 x+12}{2 x^3-7 x^2+2 x+3}$.
$x = 3$ આગળ સ્વરૂપ તપાસતા,આપણને $\frac{27 - 27 - 12 + 12}{54 - 63 + 6 + 3} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L'H\hat{o}pital$ નો નિયમ વાપરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{3 x^2-6 x-4}{6 x^2-14 x+2}$.
હવે,$x = 3$ મૂકતા:
$L = \frac{3(3^2) - 6(3) - 4}{6(3^2) - 14(3) + 2} = \frac{27 - 18 - 4}{54 - 42 + 2} = \frac{5}{14}$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left[ \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right]$.
પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left[ \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right] \times \frac{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{x^2 + \sqrt{x^4 + 1} - 2x^2}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x} = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{\sqrt{x^4 + 1} - x^2}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}$.
ફરીથી સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{(\sqrt{x^4 + 1} - x^2)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)} = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{x^4 + 1 - x^4}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}$.
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{(\sqrt{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}} + \sqrt{2})(\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} + 1)} = \frac{1}{(\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2})(1 + 1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^2(\pi \sec ^4 x)}{\pi^2 x^4}$.
$\sec(0) = 1$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{\tan^2(\pi)}{0} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
આપણે ગુણધર્મ $\tan(\pi \sec^4 x) = \tan(\pi \sec^4 x - \pi) = \tan(\pi(\sec^4 x - 1))$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
યાદ રાખો કે $\sec^4 x - 1 = (\sec^2 x - 1)(\sec^2 x + 1) = \tan^2 x (\sec^2 x + 1)$.
જેમ $x \rightarrow 0$,$\tan x \approx x$ અને $\sec^2 x \approx 1$,તેથી $\sec^4 x - 1 \approx x^2(1+1) = 2x^2$.
આમ,$\tan(\pi \sec^4 x) \approx \tan(2\pi x^2) \approx 2\pi x^2$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2\pi x^2)^2}{\pi^2 x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4\pi^2 x^4}{\pi^2 x^4} = 4$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $f(0)=0$ અને $f^{\prime}(0)=20$ સાથેનું વિકલનીય વિધેય છે.
આપણે $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} [2 f(x) \operatorname{cosec} 4 x + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x]$ શોધવાની જરૂર છે.
પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખો:
$\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{2 f(x)}{\sin 4x} + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x \right]$.
કારણ કે $f(0)=0$,પ્રથમ પદ $\frac{0}{0}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
લક્ષનો ઉપયોગ કરીને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{1}{4} = f^{\prime}(0) \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરો:
$\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = 2 \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} \right) + 4 \lim _{x \rightarrow 0} f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \lim _{x \rightarrow 0} \cos ^2 x$.
$= 2(5) + 4(0)(1+1) - 4(1)^2$.
$= 10 + 0 - 4 = 6$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right)(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}}{\log (1+2 x)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદ $(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ને ધ્યાનમાં લો. જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\sin x \rightarrow 0$,તેથી આ $(1+u)^{2/u}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $u = \sin x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{u \rightarrow 0} (1+u)^{1/u} = e$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}} = e^2$.
હવે,લક્ષને આ રીતે ફરીથી લખો:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} \right) \times \lim _{x \rightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log a$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{2x}{\log(1+2x)} \cdot \frac{1}{2} \right) = \log 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\log 2}{2} = \log \sqrt{2}$.
આમ,$L = \log \sqrt{2} \cdot e^2 = e^2 \log \sqrt{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3-x^2-x-2}{2 x^3-3 x^2-3 x+2}$
$x = 2$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
એલ. હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
અંશનું વિકલન: $3x^2-2x-1$
છેદનું વિકલન: $6x^2-6x-3$
હવે,લક્ષની કિંમત: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3x^2-2x-1}{6x^2-6x-3} = \frac{3(4)-4-1}{6(4)-12-3} = \frac{7}{9}$

(B) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ અને $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $4[\sin (2022 x) - \sin (2020 x)] = 4 \times 2 \cos(2021 x) \sin(x) = 8 \cos(2021 x) \sin(x)$.
છેદ: $x[\cos (2022 x) + \cos (2020 x) + 2 \cos (2021 x)] = x[2 \cos(2021 x) \cos(x) + 2 \cos(2021 x)] = 2x \cos(2021 x) [\cos(x) + 1]$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8 \cos(2021 x) \sin(x)}{2x \cos(2021 x) [\cos(x) + 1]} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 \sin(x)}{x [\cos(x) + 1]}$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\cos(0) = 1$:
$= \frac{4(1)}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0}\left(\frac{4 !}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{3}-\cos \frac{x^2}{4}+\cos \frac{x^2}{3} \cos \frac{x^2}{4}\right)\right)$ છે.
આપણે લક્ષની અંદરની પદાવલિને આ રીતે અવયવ પાડી શકીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4!}{x^8} (1 - \cos \frac{x^2}{3})(1 - \cos \frac{x^2}{4})$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos \frac{x^2}{3} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{6})$ અને $1 - \cos \frac{x^2}{4} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$L = 24 \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^8} \times 2 \sin^2(\frac{x^2}{6}) \times 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.
$L = 24 \times 4 \times \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{6})}{\frac{x^2}{6}}\right)^2 \times (\frac{x^2}{6})^2 \times \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{8})}{\frac{x^2}{8}}\right)^2 \times (\frac{x^2}{8})^2 \times \frac{1}{x^8}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી:
$L = 96 \times 1^2 \times \frac{x^4}{36} \times 1^2 \times \frac{x^4}{64} \times \frac{1}{x^8}$.
$L = 96 \times \frac{1}{36 \times 64} = \frac{96}{2304} = \frac{1}{24}$.

(B) આપેલ છે $x = \log_e \left( \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh x = -\tan(2\theta)$ અને $\cosh x = \sec(2\theta)$.
તેથી $(\sinh x)(\cosh x) = -\tan(2\theta) \sec(2\theta) = -\frac{\sin(2\theta)}{\cos^2(2\theta)}$.
હવે,લક્ષ $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{-\sin(2\theta)/\cos^2(2\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} -\frac{\theta}{\sin(2\theta)} \cdot \cos^2(2\theta) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.

(C) અવલોકનોનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળા અને અવલોકનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સરવાળો $= 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 78 = 198$.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{198}{9} = 22$.
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$M.D. = \frac{|1-22| + |3-22| + |4-22| + |7-22| + |11-22| + |18-22| + |29-22| + |47-22| + |78-22|}{9}$.
$M.D. = \frac{21 + 19 + 18 + 15 + 11 + 4 + 7 + 25 + 56}{9}$.
$M.D. = \frac{176}{9}$.

(C) આપેલ છે કે $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ઋણ સંખ્યાઓ છે જે ચડતા ક્રમમાં છે.
પ્રથમ પદ $x_1$ અને છેલ્લા પદ $x_n$ ની નિશાની બદલતા,નવો ક્રમ $-x_1, x_2, \ldots, -x_n$ બને છે.
અહીં સૌથી મોટી કિંમત $-x_1$ છે અને સૌથી નાની કિંમત $x_2$ છે.
તેથી,વિસ્તાર $= (-x_1) - x_2 = |x_1| - x_2$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નો મધ્યક $\bar{x}$ છે.
આપેલ છે કે $x_i$ નું સરેરાશ વિચલન ($M$.$D$.) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = 10$ છે.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_i = \frac{2x_i + 5}{3}$ છે.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{2\bar{x} + 5}{3}$ છે.
નવા અવલોકનોનું સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{નવું M.D.} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \bar{y}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2x_i + 5}{3} - \frac{2\bar{x} + 5}{3}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2(x_i - \bar{x})}{3}|$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|)$
$= \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વિધાન $(I)$: વિસ્તાર એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવલોકનો વચ્ચેનો તફાવત છે. મધ્યવર્તી અવલોકનો મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યોને અસર કરતા નથી,તેથી વિસ્તાર બદલાતો નથી. આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: સરેરાશ વિચલનનો એક જાણીતો ગુણધર્મ એ છે કે તે મધ્યસ્થની સાપેક્ષે લેવામાં આવે ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે. આમ,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
વિધાન $(III)$: વર્ગીકૃત માહિતી માટે,વિસ્તાર એ સૌથી મોટા વર્ગની ઉપલી સીમા અને સૌથી નાના વર્ગની નીચલી સીમા વચ્ચેનો તફાવત છે. આપેલ વિધાનમાં આ ઉલટાવી દેવામાં આવ્યું છે,તેથી તે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $I$ અને $II$ સાચા છે પરંતુ વિધાન $III$ ખોટું છે.

(D) અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ના તેમના મધ્યક $\bar{x}$ થી નિરપેક્ષ વિચલનોના મધ્યકને મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન કહેવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$
જ્યાં $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

(D) આપેલ અવલોકનો $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ છે.
પ્રથમ,આપણે મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ:
$\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા મળે છે.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{9} [|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{9} [10 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 12]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{56}{9} = 6 \frac{2}{9}$.

(D) આપેલ છે: $A=\frac{\pi}{6}, b=7, c=4\sqrt{3}$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2(7)(4\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$.
$a^2 = 49 + 48 - 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 97 - 84 = 13$.
તેથી,$a = \sqrt{13}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આમ,$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.
અને $\sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$a \sin B \sin C = \sqrt{13} \times \frac{7}{2\sqrt{13}} \times \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

(B) $L.H.S. = (b+c)^2 \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b-c)^2 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2 + 2bc) \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b^2 + c^2 - 2bc) \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2) \left[\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right] - 2bc \left[\cos^2\left(\frac{A}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]$
$= b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$= a^2$ (કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
$a = 2R \sin A$ હોવાથી,$a^2 = 4R^2 \sin^2 A$
$= 4R^2 \left(\frac{1 - \cos 2A}{2}\right)$
$= 2R^2 (1 - \cos 2A)$
$K(1 - \cos 2A)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2R^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a-d, a, a+d$ છે. પરિમિતિ $(a-d) + a + (a+d) = 42$ છે,તેથી $3a = 42$,એટલે કે $a = 14$.
$B < A < C$ હોવાથી,બાજુઓ $b < a < c$ ક્રમમાં છે. તેથી બાજુઓ $14-d, 14, 14+d$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ દ્વારા મળે છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,જ્યાં $s = 21$.
$\Delta = 7 \sqrt{21(49-d^2)}$.
$R = \frac{65}{8}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{14(196-d^2)}{28 \sqrt{21(49-d^2)}} = \frac{65}{8}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{14}{2 \times (65/8)} = \frac{56}{65}$.

(A) આપેલ છે કે $A=\frac{\pi}{3}$ અને $B=\frac{\pi}{4}$. $\triangle ABC$ માં,$\angle C = \pi - (A+B) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin(\frac{\pi}{3}) = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin(\frac{\pi}{4}) = k \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $c = k \sin(\frac{5\pi}{12}) = k \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = k (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}) = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{k^2(\frac{3}{4} - \frac{1}{2})}{k^2(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{3+1+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{4+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{2+\sqrt{3}}{4})} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{a}{\tan A} = \frac{b}{\tan B} = \frac{c}{\tan C}$.
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ હોવાથી,$\frac{a \cos A}{\sin A} = \frac{b \cos B}{\sin B} = \frac{c \cos C}{\sin C}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આ કિંમત મૂકતા,$2R \cos A = 2R \cos B = 2R \cos C$ મળે.
આથી $\cos A = \cos B = \cos C$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B = C = 60^{\circ}$.
તેથી,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં $A$ લઘુકોણ છે,$C$ ગુરુકોણ છે,$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{14}$,$a = 3$ અને $b = 5$.
પ્રથમ,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \frac{13}{14}$ શોધો.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{13}{14} = \frac{16 + c^2}{10c}$.
સાદુરૂપ આપતા: $14c^2 - 130c + 224 = 0 \Rightarrow 7c^2 - 65c + 112 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(7c - 16)(c - 7) = 0$.
તેથી $c = \frac{16}{7}$ અથવા $c = 7$.
$C$ ગુરુકોણ હોવાથી,બાજુ $c$ સૌથી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી $c = 7$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-b) \tan \frac{B}{2} = (s-c) \tan \frac{C}{2}$ અને $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{r}{r_1} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = 2a$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$b+c = 3a$.
નિત્યસમ $\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$4 \tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $a=7, b=8$ અને $\cos C=\frac{2}{7}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{7} = \frac{7^2+8^2-c^2}{2 \times 7 \times 8}$.
$\frac{2}{7} = \frac{49+64-c^2}{112}$.
બંને બાજુ $112$ વડે ગુણતા: $\frac{2 \times 112}{7} = 113 - c^2$.
$2 \times 16 = 113 - c^2$.
$32 = 113 - c^2$.
$c^2 = 113 - 32 = 81$.
તેથી,$c = \sqrt{81} = 9$.

(B) કારણ કે $BC$ કર્ણ છે,તેથી ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટકોણ છે,તેથી $\angle A = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} \right)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$.
વળી,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી $(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-a)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{a}{\Delta^2 / s(s-a)} \right) = \frac{as(s-a)}{\Delta}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ હોવાથી,$\frac{s(s-a)}{\Delta} = \cot \frac{A}{2}$.
તેથી,$r_2 + r_3 = a \cot \frac{A}{2} = a \cot \frac{\pi}{4} = a(1) = a$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રોજેક્શન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$b \cos C + c \cos B = a$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin C = \frac{c}{2R}$ અને $\sin B = \frac{b}{2R}$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
તેથી,$b \sin C + c \sin B = b(\frac{c}{2R}) + c(\frac{b}{2R}) = \frac{bc}{2R} + \frac{cb}{2R} = \frac{2bc}{2R} = \frac{bc}{R}$.
હવે,પદાવલિ આ મુજબ થશે:
$(b \sin C + c \sin B)(b \cos C + c \cos B) = (\frac{bc}{R})(a) = \frac{abc}{R}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{abc}{4R}$ હોવાથી,$\frac{abc}{R} = 4 \Delta$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $4 \Delta$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sinh x = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
કિંમત મૂકતા: $\cosh^2 x = 1 + (-\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
$\cosh x > 0$ હોવાથી,$\cosh x = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
હવે,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{-1/2}{\sqrt{5}/2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
ડબલ એંગલ સૂત્ર $\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tanh 2x = \frac{2(-1/\sqrt{5})}{1 + (-1/\sqrt{5})^2} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1 + 1/5} = \frac{-2/\sqrt{5}}{6/5} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{5}{6} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(D) ધારો કે $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. $AD$ અને $BE$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$G$ એ $AD$ અને $BE$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{8}{3}$ અને $BG = \frac{2}{3} BE$.
$\triangle ABG$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{AG}{\sin(\angle ABG)} = \frac{BG}{\sin(\angle BAG)}$.
આપેલ છે કે $\angle BAG = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle ABG = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{8/3}{\sin(\pi/3)} = \frac{BG}{\sin(\pi/6)}$.
$BG = \frac{8}{3 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AG \times BG \times \sin(\angle AGB)$.
$\angle AGB = \pi/2$ હોવાથી,$\sin(\angle AGB) = 1$.
$\triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{32}{9 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{32}{3 \sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે $a=3, b=7, c=8$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cot \frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \frac{\cos \frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cos \frac{B}{2}$.
હવે,કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\cos B$ શોધો:
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{3^2+8^2-7^2}{2 \times 3 \times 8} = \frac{9+64-49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+1/2}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
છેલ્લે,કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{8-3}{8+3} \right) \cos \frac{B}{2} = \frac{5}{11} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{22}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ બહિર્વર્તુળોના ક્ષેત્રફળ $A_1, A_2, A_3$ અનુક્રમે $4, 9, 16$ છે,તેથી:
$\pi r_1^2 = 4 \Rightarrow r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_2^2 = 9 \Rightarrow r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_3^2 = 16 \Rightarrow r_3 = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિર્ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{3} + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \sqrt{\pi} \left( \frac{6+4+3}{12} \right) = \frac{13\sqrt{\pi}}{12}$.
તેથી,$r = \frac{12}{13\sqrt{\pi}}$.
અંતઃવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{12}{13\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{144}{169\pi} \right) = \frac{144}{169}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માં,કોટિજ્ય અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s-b}{r}$,અને $\cot \frac{C}{2} = \frac{s-c}{r}$ છે.
આ કિંમતોને $r^2 \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ પદમાં મૂકતા:
$= r^2 \left( \frac{s-a}{r} \right) \left( \frac{s-b}{r} \right) \left( \frac{s-c}{r} \right)$
$= r^2 \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$
$= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs$ હોવાથી,$r = \frac{\Delta}{s}$ મળે.
વળી,હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,તેથી $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,જેનો અર્થ છે કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\Delta^2 / s}{\Delta / s} = \frac{\Delta^2}{s} \cdot \frac{s}{\Delta} = \Delta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે $a=7, c=11, \cos A=\frac{17}{22}, \cos C=\frac{1}{14}$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(\frac{C-A}{2}\right) = \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \left(\frac{B}{2}\right)$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$:
$\frac{17}{22} = \frac{b^2+121-49}{2b(11)} \implies \frac{17}{22} = \frac{b^2+72}{22b} \implies 17b = b^2+72 \implies b^2-17b+72=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(b-8)(b-9)=0$,તેથી $b=8$ અથવા $b=9$.
$b=9$ માટે,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$b \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = b \tan \frac{B}{2} \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \frac{B}{2} = b \left(\frac{c-a}{c+a}\right) = 9 \left(\frac{11-7}{11+7}\right) = 9 \left(\frac{4}{18}\right) = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.