int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} left(x^2 + l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$. સંકલનને બે ભાગમાં વિ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^3}{12}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x dx$. ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x$. તો $f(-x) = \log \left(\frac{\pi-(-x)}{\pi+(-x)}\right) \cdot \cos(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cdot \cos x = \log \left(\left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)^{-1}\right) \cdot \cos x = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x = -f(x)$. જેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = 0$. આમ,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \cdot \frac{(\pi/2)^3}{3} = 2 \cdot \frac{\pi^3}{8 \cdot 3} = \frac{\pi^3}{12}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-3}^{1} (2(t+1)^5 - 5(t+1)^3 + t + 3) dt$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{10} I_n$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx =$

ધારો કે $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{-2}^{2}\left|3 x^{2}-3 x-6\right| d x$ નું મૂલ્ય ...... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module