$\int_{\frac{1}{3}}^1 (x - x^3)^{\frac{1}{3}} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $I = \int \frac{dx}{\sin(x-a) \sin(x-b)}$ હોય,તો $I$ નું મૂલ્ય શું થાય?

$\int \frac{2 \cos 3 x-3 \sin 3 x}{\cos 3 x+2 \sin 3 x} d x=$

જો $\int(\sin x )^{\frac{-11}{2}}(\cos x )^{\frac{-5}{2}} dx = -\frac{p_1}{q_1}(\cot x)^{\frac{9}{2}}-\frac{p_2}{q_2}(\cot x)^{\frac{5}{2}}-\frac{p_3}{q_3}(\cot x)^{\frac{1}{2}}+\frac{p_4}{q_4}(\cot x)^{\frac{-3}{2}}+C,$ જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ એ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\operatorname{gcd}(p_i, q_i)=1$ છે $i =1,2,3,4$ માટે અને $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો $\frac{15 p_1 p_2 p_3 p_4}{q_1 q_2 q_3 q_4}$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

ધારો કે $\int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} \right]dx = f(x) + C$,($x \neq 0$ માટે માન્ય) જ્યાં $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે અને $f(0) = 0$ છે. તો $x = 2$ આગળ ${\left( {f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right)} \right)''}$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $'$ એ વિકલન દર્શાવે છે).