MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
દરેક પરિણામ માટે અવયવોની સંખ્યા $(X)$ નીચે મુજબ છે:
$X(1) = 1$ (અવયવ: $1$)
$X(2) = 2$ (અવયવો: $1, 2$)
$X(3) = 2$ (અવયવો: $1, 3$)
$X(4) = 3$ (અવયવો: $1, 2, 4$)
$X(5) = 2$ (અવયવો: $1, 5$)
$X(6) = 4$ (અવયવો: $1, 2, 3, 6$)
હવે,$X$ ની દરેક કિંમત માટે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ:
$P(X = 1) = P(\{1\}) = 1/6$
$P(X = 2) = P(\{2, 3, 5\}) = 3/6 = 1/2$
$P(X = 3) = P(\{4\}) = 1/6$
$P(X = 4) = P(\{6\}) = 1/6$
આમ,સંભાવના વિતરણ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(B) $A, B, C, D, E, F$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}$ ધારો.
$\therefore \overline{d} = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2}, \overline{e} = \frac{\overline{c} + \overline{a}}{2}, \overline{f} = \frac{\overline{a} + \overline{b}}{2}$.
હવે,$\overline{AD} + \frac{2}{3} \overline{BE} + \frac{1}{3} \overline{CF} = (\overline{d} - \overline{a}) + \frac{2}{3}(\overline{e} - \overline{b}) + \frac{1}{3}(\overline{f} - \overline{c})$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2} - \overline{a} + \frac{2}{3}\left(\frac{\overline{c} + \overline{a}}{2} - \overline{b}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{\overline{a} + \overline{b}}{2} - \overline{c}\right)$.
$= \frac{\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}}{2} + \frac{\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}}{3} + \frac{\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{3(\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}) + 2(\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}) + (\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c})}{6}$.
$= \frac{3\overline{b} + 3\overline{c} - 6\overline{a} + 2\overline{c} + 2\overline{a} - 4\overline{b} + \overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{-3\overline{a} + 3\overline{c}}{6} = \frac{3(\overline{c} - \overline{a})}{6} = \frac{1}{2}(\overline{c} - \overline{a}) = \frac{1}{2} \overline{AC}$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 + x - 1$.
$f(0) = -1 < 0$ અને $f(1) = 1 > 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 1$ લો.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $3x^2 + 1 > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું ત્રિઘાત વિધેય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2y = x + z$ ... $(i)$
વળી,$\tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} z$
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$
$(i)$ પરથી $x+z = 2y$ મૂકતા:
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$
આનો અર્થ એ થાય કે $2y = 0$ અથવા $1-y^2 = 1-xz$,જે $y^2 = xz$ આપે છે.
$x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$x=y=z$ થાય.

(C) ધારો કે $P_0$ એ પ્રારંભિક વસ્તી છે અને $P$ એ $t$ સમયે વસ્તી છે.
આપેલ છે કે $\frac{dP}{dt} = kP$,જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_0$,તેથી $C = \ln P_0$.
આમ,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = kt$.
આપેલ છે કે $t = 6$ સમયે,$P = 2P_0$,તેથી $\ln(2) = 6k$,એટલે કે $k = \frac{\ln 2}{6}$.
$t = 18$ સમયે,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = \left( \frac{\ln 2}{6} \right) \times 18 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$.
તેથી,$\frac{P}{P_0} = 8$,જેનો અર્થ છે કે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શરૂઆતની સંખ્યા કરતા $8$ ગણી થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $y^2 = xz$ $(i)$.
વળી,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
$\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ સૂત્ર વાપરતા,$\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$ મળે.
આથી $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$y^2 = xz$ હોવાથી,છેદ સમાન છે,તેથી $2y = x+z$ (ii).
$(i)$ અને (ii) પરથી,$x, y, z$ એ $A$.$P$. અને $G$.$P$. બંનેમાં છે,જે સૂચવે છે કે $x = y = z$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે પદાર્થનું દળ $m$ છે. ક્ષયનો દર $\frac{dm}{dt} = -km$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k > 0$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
$\frac{dm}{m} = -k dt$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\log m = -kt + c$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$m = m_0$,તેથી $c = \log m_0$.
આમ,$\log m = -kt + \log m_0$,જેનો અર્થ છે કે $\log(\frac{m}{m_0}) = -kt$.
અર્ધ-આયુષ્ય $h$ આપેલ છે,તેથી $t = h$ સમયે,$m = \frac{m_0}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\log(\frac{1}{2}) = -kh$,જે $-\log 2 = -kh$ અથવા $k = \frac{\log 2}{h}$ આપે છે.
પ્રારંભિક ક્ષય દર એ $t = 0$ સમયે $\frac{dm}{dt}$ ની કિંમત છે.
$\frac{dm}{dt} = -km_0 = -(\frac{\log 2}{h})m_0 = -\frac{m_0}{h} \log 2$.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$. કુલ રાણીઓની સંખ્યા $= 4$.
એક પ્રયત્નમાં રાણી મળવાની સંભાવના,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
રાણી ન મળવાની સંભાવના,$q = 1 - p = \frac{12}{13}$.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) ધારો કે $AD$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેના યામ $D = \left(\frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2}\right)$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = D - A = \left(\frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2}\right)$ મળે.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિશા-ગુણોત્તરો સમાન થાય.
તેથી,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\lambda$ માટે: $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda = 7$.
$\mu$ માટે: $\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu = 10$.
આમ,$\lambda + \mu = 7 + 10 = 17$.

(C) મર્યાદાઓ $x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,અને $x, y \geq 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x+y=1$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $A(1,0)$ આપે છે.
$2$. $x=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $B(2,0)$ આપે છે.
$3$. $x=2$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $C(2,1)$ આપે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $D(0,1)$ આપે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1,0), (2,0), (2,1), (0,1)$ છે.

(B) $A(3, 4, 1)$ અને $B(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ છે.
આને $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ છે.
રેખા $XZ$-સમતલને છેદે છે,તેથી $y$-યામ $0$ થાય.
માટે,$-3k+4 = 0$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$x = 2(\frac{4}{3}) + 3 = \frac{17}{3}$.
$z = 5(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{23}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $A = (1, 2, 3)$ અને $B = \left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ છે. સમતલ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \left( \frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} \right) = \left( \frac{-\frac{4}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{8}{3}}{2} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર એ $AB$ રેખાના દિકગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$D.r.s = \left( 1 - (-\frac{7}{3}), 2 - (-\frac{4}{3}), 3 - (-\frac{1}{3}) \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{10}{3} \right)$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - x_0) + 1(y - y_0) + 1(z - z_0) = 0$ છે,જ્યાં $(x_0, y_0, z_0) = M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$:
$1(x + \frac{2}{3}) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$
$x + y + z + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 0$
$x + y + z - 1 = 0 \Rightarrow x + y + z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $(1, -1, 1) \Rightarrow 1 - 1 + 1 = 1$. આ બિંદુ સમતલ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે $A = (1, 2, 0)$,$B = (1, 0, 2)$,અને $C = (0, x, 1)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (x-2)\hat{j} + \hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ છે.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & x-2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 2(x-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - 2) = (2-2x)\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2-2x)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4(1-x)^2 + 8} = 2\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,$\sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 - 2x + 3 = 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x-3)(x+1) = 0$,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -1$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A = (5, -1, 4)$ અને $B = (4, -1, 3)$ છે.
રેખાખંડ દર્શાવતો સદિશ $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
સમતલ $x+y+z=7$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. રેખાખંડ અને સમતલના અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
જેથી $\theta$ એ સમતલ સાથેનો ખૂણો હોવાથી,$\sin \theta = \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
સમતલ પર રેખાખંડના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(D) ફલક $OPQ$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
ફલક $PQR$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{PQ} = (-3, 0, -1)$ અને $\vec{PR} = (-1, 1, -2)$.
$\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
બંને ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(-1)(1) + (-7)(-5) + (3)(-3)|}{\sqrt{59} \sqrt{35}} = \frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}\right)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ અને $C(-2,0,2)$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2$.
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$I = \left(\frac{2(0) + 3(-2) + 3(-2)}{2+3+3}, \frac{2(2) + 3(0) + 3(0)}{2+3+3}, \frac{2(1) + 3(0) + 3(2)}{2+3+3}\right)$.
$I = \left(\frac{0 - 6 - 6}{8}, \frac{4 + 0 + 0}{8}, \frac{2 + 0 + 6}{8}\right)$.
$I = \left(-\frac{12}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(C) કારણ કે $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3-4)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (2-4)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-x)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + (2-x)\hat{k}$
હવે,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$(-1)(-2) + (-1)(-3) + (8-x)(2-x) = 0$
$2 + 3 + (16 - 8x - 2x + x^2) = 0$
$5 + 16 - 10x + x^2 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x-7) = 0$
આમ,$x = 3$ અથવા $x = 7$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $3$ છે.

(A) આપેલ સંબંધો $l-5m+3n=0$ અને $7l^2+5m^2-3n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = 5m - 3n$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $7(5m-3n)^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$7(25m^2 - 30mn + 9n^2) + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$175m^2 - 210mn + 63n^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$180m^2 - 210mn + 60n^2 = 0$.
$30$ વડે ભાગતા,$6m^2 - 7mn + 2n^2 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(3m - 2n)(2m - n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $3m = 2n \Rightarrow m = \frac{2n}{3}$. તો $l = 5(\frac{2n}{3}) - 3n = \frac{10n-9n}{3} = \frac{n}{3}$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\frac{n}{3})^2 + (\frac{2n}{3})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{9} + \frac{4n^2}{9} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{14n^2}{9} = 1 \Rightarrow n = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
તેથી $l = \frac{1}{\sqrt{14}}$ અને $m = \frac{2}{\sqrt{14}}$.
$l+m+n = \frac{1+2+3}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}}$.
કિસ્સો $2$: $2m = n \Rightarrow m = \frac{n}{2}$. તો $l = 5(\frac{n}{2}) - 3n = \frac{5n-6n}{2} = -\frac{n}{2}$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(-\frac{n}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{6n^2}{4} = 1 \Rightarrow n^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow n = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી $l = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ અને $m = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$l+m+n = \frac{-1+1+\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,શક્ય કિંમતો $\frac{2}{\sqrt{6}}$ અથવા $\frac{6}{\sqrt{14}}$ છે.

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન $(l, m, n)$ સમાન છે. ધારો કે $l = m = n = a$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$3a^2 = 1$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (ધન દિશા કોસાઇન હોવાથી ધન કિંમત લેતા).
આમ,રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+2, k-1, k+2)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ $Q$ સમતલ $2x+y+z=9$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$
$2k + 4 + k - 1 + k + 2 = 9$
$4k + 5 = 9$
$4k = 4 \Rightarrow k = 1$
$k=1$ ને $Q$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને $Q(1+2, 1-1, 1+2) = Q(3, 0, 3)$ મળે છે.
રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ એ બિંદુ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(3, 0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2}$
$PQ = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $2l^2+2m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2l^2 + 2m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$2l^2 + 2m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$l^2 + m^2 - 2lm = 0$
$(l-m)^2 = 0 \Rightarrow l=m$.
જો $l=m$ હોય,તો $n = -(l+l) = -2l$.
રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $(1, 1, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
બંને રેખાઓ માટે દિશા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$180^{\circ}$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $6x-2=3y+1=2z-2$ છે.
આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં ફેરવવા માટે $x, y, z$ ના સહગુણકોને સામાન્ય કાઢીશું:
$6(x-\frac{1}{3})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-1)$.
આખા સમીકરણને $6, 3, 2$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે ભાગતા આપણને મળે છે:
$\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}$.
આ રેખા બિંદુ $A(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $\vec{v} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v}$ દિશા ધરાવતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (\frac{1}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{\alpha} = \hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે અને તે સદિશ $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી અંતર $d = \frac{|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{\alpha} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-2 - (-3))\hat{j} + (-6 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(4 - (-12)) + \hat{k}(-3 - 6) = 2\hat{i} - 16\hat{j} - 9\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-16)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 256 + 81} = \sqrt{341}$ છે.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ છે.
તેથી,અંતર $d = \frac{\sqrt{341}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{341}{61}}$ એકમ થાય.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2x+4=3y+1=6z-3$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$2(x+2)=3(y+\frac{1}{3})=6(z-\frac{1}{2})$.
બધી બાજુઓને $2, 3, 6$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2(x+2)}{6}=\frac{3(y+\frac{1}{3})}{6}=\frac{6(z-\frac{1}{2})}{6} \Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-\frac{1}{2}}{1}$.
આમ,રેખા બિંદુ $(-2, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $(3, 2, 1)$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ છે.
તેથી,સદિશ સમીકરણ $\overline{r}=\left(-2 \hat{i}-\frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}\right)+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{5}$ અને $L_2: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ ત્યારે જ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય.
છેદન માટેની શરત એ છે કે રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને રેખાઓના દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક $0$ થવો જોઈએ.
ધારો કે $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -1)$.
દિશા સદિશો $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, 5)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (4, 3, 2)$ છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
$\Delta = -3(4 - 15) - 2(6 - 20) - 2(9 - 8)$
$\Delta = 33 + 28 - 2 = 59$.
અહીં $\Delta \neq 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર છેદતી નથી.

(C) માંગેલ રેખા બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\overline{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા એ દિશા સદિશો $\overline{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\overline{b_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ વાળી રેખાઓને લંબ હોવાથી,માંગેલ રેખાનો દિશા સદિશ $\overline{b} = \overline{b_1} \times \overline{b_2}$ થશે.
$\overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(3 - (-4)) + \hat{k}(-9 - 4) = -4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k}$.
રેખાનું સમીકરણ $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ મુજબ,$\overline{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k})$ થાય.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ છે.
બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે તે માટે,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓના તફાવત અને દિશા સદિશો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$k = \frac{9}{2}$

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2p/7}=\frac{z-3}{2}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3p/7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-2, 4, -5)$ છે અને રેખા $L: \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda-3, 5\lambda+4, 6\lambda-8)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-3 - (-2), 5\lambda+4-4, 6\lambda-8 - (-5)) = (3\lambda-1, 5\lambda, 6\lambda-3)$.
કારણ કે $PQ$ એ રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(3, 5, 6)$ છે) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda-1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda-3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ ને $\vec{PQ}$ માં મૂકતા:
$\vec{PQ} = (3(\frac{3}{10})-1, 5(\frac{3}{10}), 6(\frac{3}{10})-3) = (-\frac{1}{10}, \frac{15}{10}, -\frac{12}{10})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1+225+144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ અને $L_2: \vec{r}=(2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+2\hat{j})$ છે.
$L_1$ પરનું બિંદુ $A(-1, -2, -1)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$L_2$ પરનું બિંદુ $B(2, -2, 3)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (-2 - (-2))\hat{j} + (3 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0-2) + \hat{k}(6-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})|}{3\sqrt{5}} = \frac{|-12 + 0 + 20|}{3\sqrt{5}} = \frac{8}{3\sqrt{5}}$ થાય.

(A) રેખા બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલો $x - y + 2z = 5$ તથા $3x + y + z = 6$ ને સમાંતર છે.
સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v}$ એ અભિલંબ સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હોય: $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ અને $(-3, 2, 5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
આ રેખા બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ છે.

(B) રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = 3 \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{i} + \hat{k})$ છે.
છેદબિંદુ માટે,બંને રેખાઓના સ્થાન સદિશ સમાન હોવા જોઈએ:
$3 \hat{i} - \lambda \hat{i} + \lambda \hat{j} + \lambda \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{i} + \mu \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\hat{j}$ માટે: $\lambda = 1$.
$\hat{k}$ માટે: $\lambda = \mu$,તેથી $\mu = 1$.
$\hat{i}$ માટે: $3 - \lambda = 1 + \mu \Rightarrow 3 - 1 = 1 + 1 \Rightarrow 2 = 2$,જે સુસંગત છે.
$L_1$ ના સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$\vec{r} = 3 \hat{i} + 1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુનો સ્થાન સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.

(C) બિંદુઓ $P(2,1,-3)$ અને $Q(-3,1,7)$ ને જોડતી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-3-2, 1-1, 7-(-3)) = (-5, 0, 10)$ છે.
રેખા $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{5}$ ને સમાંતર રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(3, 4, 5)$ છે.
ધારો કે આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ છે. બે રેખાઓ જેના દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-15 + 0 + 50}{\sqrt{25 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} \right|$
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{7}{5 \sqrt{10}}\right)$.

(A) ધારો કે રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ છે.
આપેલ બિંદુ $A(1, 2, 3)$ છે.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તરો $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ થશે.
રેખા $AP$ એ આપેલ રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(3, 2, -2)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0$
$\lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
ત્યારબાદ,માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|$ ની ગણતરી કરો:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
આમ,એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$,અને $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 1(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15-4\lambda+2\lambda-20+10 = 5-2\lambda$ છે.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 5^2} = \sqrt{225-120\lambda+16\lambda^2 + \lambda^2-20\lambda+100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{3} = \frac{(5-2\lambda)^2}{17\lambda^2-140\lambda+350} \Rightarrow 17\lambda^2-140\lambda+350 = 3(25-20\lambda+4\lambda^2) = 75-60\lambda+12\lambda^2$.
પુનઃગોઠવતા: $5\lambda^2-80\lambda+275 = 0 \Rightarrow \lambda^2-16\lambda+55 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,તેથી $\lambda = 5$ અથવા $\lambda = 11$.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $5+11 = 16$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{-2} = \lambda$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 3)$.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(3\lambda+6-1, 2\lambda+7-2, -2\lambda+7-3)$ એટલે કે $(3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ છે.
$AP$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી, તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા, $P = (3(-1)+6, 2(-1)+7, -2(-1)+7) = (3, 5, 9)$ મળે.
લંબ $AP$ ની લંબાઈ એ $A(1, 2, 3)$ અને $P(3, 5, 9)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AP = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(C) બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે તે માટે,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોવું જોઈએ. બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ના છેદન માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x_1, y_1, z_1) = (k, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, \frac{9}{2}, 0)$,$(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ બનશે: $\left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{9}{2}-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{11}{2} & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(3-k)(3-8) - \frac{11}{2}(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$\Rightarrow (3-k)(-5) - \frac{11}{2}(-2) - 1(1) = 0$.
$\Rightarrow -15 + 5k + 11 - 1 = 0$.
$\Rightarrow 5k - 5 = 0$.
$\Rightarrow 5k = 5$.
$\Rightarrow k = 1$.

(A) ધારો કે $\vec{n}$ એ $X, Y, Z$ અક્ષો સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(45^{\circ}) + \cos^2(60^{\circ}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$.
$\gamma$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$,તેથી $\gamma = 60^{\circ}$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને સરળ બનાવવા માટે $2$ વડે ગુણતા,$\vec{n}' = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે.
$(x_0, y_0, z_0) = (-\sqrt{2}, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n}'$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
$\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2})) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$.
$\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) + y - 1 + z - 1 = 0$.
$\sqrt{2}x + 2 + y + z - 2 = 0$.
$\sqrt{2}x + y + z = 0$.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(4, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = (4 - 0)\hat{i} + (-2 - 0)\hat{j} + (5 - 0)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(4, -2, 5)$ અને અભિલંબ સદિશ $(4, -2, 5)$ મૂકતા:
$4(x - 4) - 2(y - (-2)) + 5(z - 5) = 0$
$4(x - 4) - 2(y + 2) + 5(z - 5) = 0$
$4x - 16 - 2y - 4 + 5z - 25 = 0$
$4x - 2y + 5z - 45 = 0$
$4x - 2y + 5z = 45$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમતલો $2x - y - 4 = 0$ અને $y + 2z - 4 = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ છે --- $(i)$.
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x = 2, y = 1, z = 0$ મૂકીએ:
$(2(2) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(4 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -\frac{1}{3}$.
હવે $\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - \frac{1}{3}(y + 2z - 4) = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(2x - y - 4) - (y + 2z - 4) = 0$
$6x - 3y - 12 - y - 2z + 4 = 0$
$6x - 4y - 2z - 8 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$3x - 2y - z - 4 = 0$
$3x - 2y - z = 4$.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ છે.
તેમને $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર:
$d = \frac{|\det(A)|}{\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2 + (b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2}}$
જ્યાં $A = \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય: $\det(A) = 1(15-16) - 2(10-12) + 2(8-9) = 1(-1) - 2(-2) + 2(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$.
છેદની ગણતરી:
$a_1b_2-a_2b_1 = (2)(4)-(3)(3) = 8-9 = -1$.
$b_1c_2-b_2c_1 = (3)(5)-(4)(4) = 15-16 = -1$.
$c_1a_2-c_2a_1 = (4)(3)-(5)(2) = 12-10 = 2$.
છેદ $= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
તેથી,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે અને સમતલ $x-3y+4z-6=0$ છે.
સૂત્રમાં $A=1, B=-3, C=4, D=-6$ અને $x_1=0, y_1=0, z_1=0$ ની કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|1(0) - 3(0) + 4(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{1 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{26}}$

(C) આપેલ સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
આ સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $Y$-અક્ષના એકમ સદિશ $\hat{j} = (0, 1, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{3}(2x+3y-z+4) = 0$
$3(x+y+z-1) - (2x+3y-z+4) = 0$
$3x+3y+3z-3 - 2x-3y+z-4 = 0$
$x+4z-7 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(3, 2, 1)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $3 + 4(1) - 7 = 3+4-7 = 0$.

(C) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ છે.
સમતલ એ $1, 0, -1$ અને $-1, 1, 0$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ અને $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = c$ અને $a = b$,તેથી $a = b = c$.
સમતલના સમીકરણમાં $a=b=c$ મૂકતા,આપણને $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ થાય છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
આમ,$A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ અને $(0, 0, 3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ઘન એકમ થાય.

(B) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે. કારણ કે અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ બનાવે છે,તેથી દિગ્કોસાઇન સમાન થાય,એટલે કે $l = m = n$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{r}_0 = (-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x - (-1))\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z - 2)\hat{k} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(x + 1) + (y - 1) + (z - 2) = 0$
$x + y + z - 2 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) પ્રથમ,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 4, 2)$ અને $\vec{v_2} = (4, 2, 3)$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$.
આ સમતલનું સમીકરણ $8x - y - 10z = 0$ છે.
ધારો કે જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ છે. તે રેખા $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_3} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$2a + 3b + 4c = 0$.
જરૂરી સમતલ એ $8x - y - 10z = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે: $(a, b, c) \cdot (8, -1, -10) = 0$,એટલે કે $8a - b - 10c = 0$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $\vec{n_2} = (2, 3, 4) \times (8, -1, -10) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$.
$-26$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
તેથી સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર છે: $\vec{n} = (2, 0, -2) \times (-2, 2, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 4) + \hat{k}(4 - 0) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, 1, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 1(y-2) + 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 6$ થાય છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A(6, 0, 0)$,$B(0, 6, 0)$ અને $C(0, 0, 6)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_{int} \cdot y_{int} \cdot z_{int}|$ દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{6} |6 \times 6 \times 6| = \frac{216}{6} = 36 \text{ ઘન એકમો}$.

(A) $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $x + 2y - 2z = 4$ અને $3x + 2y + z = 6$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 2, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,આપણને મળે છે:
$a + 2b - 2c = 0$
$3a + 2b + c = 0$
દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (2)(1) - (-2)(2) = 2 + 4 = 6$
$b = (-2)(3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7$
$c = (1)(2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4$
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(6, -7, -4)$ છે.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6(x - 1) - 7(y + 1) - 4(z - 2) = 0$
$6x - 6 - 7y - 7 - 4z + 8 = 0$
$6x - 7y - 4z - 5 = 0$.

(D) સમતલ $x - y + 2z - 2 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -1, 2)$ છે.
ધારો કે રેખા $PQ$ એ $P(2, 4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલને લંબ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 1}{2} = \lambda$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(\lambda + 2, 4 - \lambda, 2\lambda - 1)$ છે.
બિંદુ $M$ સમતલ પર હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(\lambda + 2) - (4 - \lambda) + 2(2\lambda - 1) - 2 = 0$
$\lambda + 2 - 4 + \lambda + 4\lambda - 2 - 2 = 0$
$6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $M$ ના યામ $(3, 3, 1)$ મળે છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $Q = (a, b, c)$:
$\frac{2 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 4$
$\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2$
$\frac{-1 + c}{2} = 1 \Rightarrow c = 3$
આમ,$a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9$.