MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n - 3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $3x^2 - y^2 = 8$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{3x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $-\frac{y}{3x}$ है।
अभिलंब रेखा $x + 3y = 10$ के समांतर है,जिसकी ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$।
$y = x$ को वक्र समीकरण में रखने पर: $3x^2 - x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$।
इस प्रकार,बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(2, 2)$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y - 8 = 0$ है।
बिंदु $(-2, -2)$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y + 8 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x + 3y + 8 = 0$ सही उत्तर है।

(B) माना कि $a$ और $b$ त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$a+b=x$ और $ab=y$ है।
दिया गया है $x^2-c^2=y$,अतः $x=a+b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b)^2-c^2=ab$
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab$
$a^2+b^2-c^2=-ab$
$2ab$ से भाग देने पर:
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ होता है।
इसलिए,$\cos C = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $C$ त्रिभुज का एक कोण है,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन होगा।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2\sin C}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \frac{c}{2\sin(120^\circ)} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है $f(x) = 5 - |x - 2|$। चूंकि $|x - 2| \geq 0$,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $5$ है,जो $|x - 2| = 0$ अर्थात $x = 2$ पर प्राप्त होता है। अतः $\alpha = 2$ है।
दिया गया है $g(x) = |x + 1|$। चूंकि $|x + 1| \geq 0$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $|x + 1| = 0$ अर्थात $x = -1$ पर प्राप्त होता है। अतः $\beta = -1$ है।
हमें $\lim _{x \rightarrow -\alpha \beta} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8}$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ $-\alpha \beta = -(2)(-1) = 2$,इसलिए सीमा $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 4)}$ होगी।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - 2)$ को हटाने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 4}$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ रखने पर,$\frac{(2 - 1)(2 - 3)}{2 - 4} = \frac{(1)(-1)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें दिया गया सीमा मान: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x) f(a)-g(a) f(x)}{x-a}$ है।
चूंकि $f(a)=2, f^{\prime}(a)=1, g(a)=-1, g^{\prime}(a)=2$,$x=a$ रखने पर $\frac{g(a)f(a)-g(a)f(a)}{a-a} = \frac{0}{0}$ प्राप्त होता है,जो एक अनिर्धारित रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\frac{d}{dx}[g(x) f(a)-g(a) f(x)]}{\frac{d}{dx}[x-a]}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{g^{\prime}(x) f(a)-g(a) f^{\prime}(x)}{1}$
$= g^{\prime}(a) f(a)-g(a) f^{\prime}(a)$
$= (2)(2)-(-1)(1)$
$= 4+1 = 5$.

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r)^n$ है, जहाँ $r$ प्रति अवधि ब्याज दर है।
दिया गया है $P = 200$, $A = 400$, और $n = 6$ वर्ष:
$400 = 200(1 + r)^6$
$(1 + r)^6 = 2$
$(1 + r) = 2^{\frac{1}{6}}$
अब, $n = 33$ वर्षों के बाद राशि $A$ ज्ञात करनी है:
$A = 200(1 + r)^{33}$
$A = 200(2^{\frac{1}{6}})^{33}$
$A = 200(2^{\frac{33}{6}})$
$A = 200(2^{\frac{11}{2}})$
$A = 200(2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$
$A = 200(32 \sqrt{2})$
$A = 6400 \sqrt{2}$

(C) दिया गया समीकरण: $\log _2 x + \log _4 x + \log _8 x + \log _{16} x = \frac{25}{36}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 16} = \frac{25}{36}$
चूंकि $\log 4 = 2 \log 2$,$\log 8 = 3 \log 2$,और $\log 16 = 4 \log 2$:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} + \frac{\log x}{4 \log 2} = \frac{25}{36}$
$\frac{\log x}{\log 2}$ को कॉमन लेने पर:
$\log _2 x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{36}$
कोष्ठक का योग: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$
अतः,$\log _2 x \left( \frac{25}{12} \right) = \frac{25}{36}$
$\log _2 x = \frac{1}{3}$
चूंकि $x = 2^k$,इसलिए $\log _2 x = k$ होगा।
अतः,$k = \frac{1}{3}$.

(A) ${}^{n}C_{r}$ का अधिकतम मान $r = \frac{n}{2}$ पर होता है यदि $n$ सम है,और $r = \frac{n-1}{2}$ या $r = \frac{n+1}{2}$ पर होता है यदि $n$ विषम है।
${}^{10}C_{r}$ के लिए,$n=10$ (सम),इसलिए अधिकतम मान $r = \frac{10}{2} = 5$ पर है।
${}^{11}C_{r}$ के लिए,$n=11$ (विषम),इसलिए अधिकतम मान $r = 5$ और $r = 6$ पर है।
दोनों के लिए $r=5$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{}^{10}C_{5}}{{}^{11}C_{5}} = \frac{\frac{10!}{5!5!}}{\frac{11!}{5!6!}} = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!6!}{11!} = \frac{10!}{11!} \times \frac{6!}{5!} = \frac{1}{11} \times 6 = \frac{6}{11}$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) - 4 - 1 - 4 = 0$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3^2$
इसे मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ प्राप्त होती है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = -1 + 3 \cos \theta$ और $y = 2 + 3 \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(0, y)$ है।
चूंकि वृत्त $(4, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
$\sqrt{(4-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (2-y)^2}$
$16 + y^2 = (2-y)^2$
$16 + y^2 = 4 - 4y + y^2$
$16 = 4 - 4y$
$4y = -12$
$y = -3$
अतः केंद्र $(0, -3)$ है।
त्रिज्या $r$,$(0, -3)$ से $(0, 2)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(0-0)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
अब,$r^2 - r + 1$ का मान:
$r^2 - r + 1 = 5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x+2y-3=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $C(-1, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ है।
केंद्र $C(-1, -1)$ से रेखा $2x+y+13=0$ की दूरी $d = \frac{|2(-1) + (-1) + 13|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2-1+13|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु की रेखा से अधिकतम दूरी $d + r$ होती है।
अतः,$\lambda_{max} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$।

(D) आयत $x=-2, x=4, y=-2, y=5$ द्वारा परिबद्ध है। शीर्ष $A(-2, -2), D(4, -2), B(4, 5), C(-2, 5)$ हैं।
आयत का केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $AC$ या $BD$ का मध्यबिंदु है।
केंद्र $P = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+5}{2}\right) = \left(1, \frac{3}{2}\right)$ है।
आयत की चौड़ाई $4 - (-2) = 6$ इकाई है,इसलिए ऊर्ध्वाधर भुजाओं को स्पर्श करने के लिए त्रिज्या $r_1 = 3$ इकाई है।
आयत की ऊँचाई $5 - (-2) = 7$ इकाई है,इसलिए क्षैतिज भुजाओं को स्पर्श करने के लिए त्रिज्या $r_2 = 3.5 = \frac{7}{2}$ इकाई है।
स्थिति $1$: त्रिज्या $r = 3$। समीकरण $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 5.75 = 0$ है।
स्थिति $2$: त्रिज्या $r = 3.5$। समीकरण $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = (3.5)^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 9 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x^2+y^2-2x-3y-9=0$ विकल्प में मौजूद है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) माना $A \equiv (x_1, y_1)$ और $B \equiv (x_2, y_2)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$x^2+2ax-b^2=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं,इसलिए $x_1+x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
इसी प्रकार,$y^2+2py-q^2=0$ के मूल $y_1, y_2$ हैं,इसलिए $y_1+y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
$A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को व्यास के अंत बिंदुओं के रूप में रखने वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - x(x_1+x_2) + x_1x_2 + y^2 - y(y_1+y_2) + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - x(-2a) - b^2 + y^2 - y(-2p) - q^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2+2ax+2py-(b^2+q^2) = 0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ है।
रेखा $x - 2y - m = 0$ के वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटने के लिए,केंद्र $(1, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|1 - 2(2) - m|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - m|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{5}}$.
$d < r$ रखने पर,$\frac{|m + 3|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$.
$|m + 3| < 5$.
$-5 < m + 3 < 5$.
$-8 < m < 2$.
चूंकि $m \in \mathbb{Z}$,$m$ के संभावित मान $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,ऐसे मानों की कुल संख्या $9$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2=2^2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2$ है।
दूरी $OP = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBO$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $\triangle PBO$ और $\triangle PAO$ के क्षेत्रफलों का योग है।
चूँकि $\triangle PBO \cong \triangle PAO$,इसलिए $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle PBO)$ है।
$\triangle PBO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PB \times OB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$ है।
अतः,चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(D) वृत्त $x^2+y^2=9$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0,0)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2\alpha x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-\alpha, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{\alpha^2+1-1} = |\alpha|$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1C_2 = |r_1 - r_2|$।
$C_1C_2 = \sqrt{\alpha^2 + 1}$।
अतः,$\sqrt{\alpha^2 + 1} = |3 - |\alpha||$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 + 1 = 9 + \alpha^2 - 6|\alpha|$।
$6|\alpha| = 8 \Rightarrow |\alpha| = \frac{4}{3}$।
इसलिए,$\alpha^3 = \frac{64}{27}$।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2ax+c=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-a, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{a^2-c}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2by+c=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, -b)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{b^2-c}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-c} + \sqrt{b^2-c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2+b^2 = a^2-c + b^2-c + 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$2c = 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$c^2 = (a^2-c)(b^2-c)$
$c^2 = a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2$
$a^2b^2 = c(a^2+b^2)$
दोनों पक्षों को $a^2b^2c$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c}$

(C) वृत्त $x^2+y^2-6x-14y+48=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(3, 7)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+7^2-48} = \sqrt{10}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(3, 0)$ है और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-3)^2+(7-0)^2} = 7$ है।
यहाँ $r_1 + r_2 = \sqrt{10} + 3 \approx 6.16$ है।
चूँकि $d > r_1 + r_2$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे से अलग हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। इसका केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{2^2+3^2-(-12)} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $P(-1, -1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $P$,$C_1C_2$ को $R:r = 5:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies -2 = 5h - 6 \implies h = \frac{4}{5}$
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies -2 = 5k - 9 \implies k = \frac{7}{5}$
अतः,केंद्र $\left(\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)$ है।

(B) दिया गया है $Z_1 = 4i^{40} - 5i^{35} + 6i^{17} + 2$.
चूँकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{40} = (i^4)^{10} = 1$.
$i^{35} = i^{32} \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$.
$i^{17} = i^{16} \times i = 1 \times i = i$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Z_1 = 4(1) - 5(-i) + 6(i) + 2 = 4 + 5i + 6i + 2 = 6 + 11i$.
दिया गया है $Z_2 = -1 + i$.
$Z_1 + Z_2 = (6 + 11i) + (-1 + i) = (6 - 1) + (11i + i) = 5 + 12i$.
मापांक $|Z_1 + Z_2| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{i^{248}+i^{246}+i^{244}+i^{242}+i^{240}}{i^{249}+i^{247}+i^{245}+i^{243}+i^{241}}$
अंश से $i^{240}$ और हर से $i^{241}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{i^{240}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{241}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}$
समान पद $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ को काटने पर:
$= \frac{i^{240}}{i^{241}}$
$= \frac{1}{i}$
अंश और हर को $i$ से गुणा करने पर:
$= \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$

(A) दिया गया है $x = \frac{5}{1-2i}$। अंश और हर को संयुग्मी $(1+2i)$ से गुणा करने पर:
$x = \frac{5(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{5(1+2i)}{1+4} = \frac{5(1+2i)}{5} = 1+2i$।
अब,$x^2$ की गणना करें:
$x^2 = (1+2i)^2 = 1^2 + (2i)^2 + 2(1)(2i) = 1 - 4 + 4i = -3 + 4i$।
अब,$x^3$ की गणना करें:
$x^3 = x^2 \cdot x = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i$।
इन मानों को $x^3 + x^2 - x + 22$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-11 - 2i) + (-3 + 4i) - (1 + 2i) + 22$
$= (-11 - 3 - 1 + 22) + (-2i + 4i - 2i)$
$= 7 + 0i = 7$।

(B) दिया गया है $z = \frac{(1+i)^2}{a+i} = \frac{1+i^2+2i}{a+i} = \frac{2i}{a+i}$.
मापांक $|z| = \left| \frac{2i}{a+i} \right| = \frac{|2i|}{|a+i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$.
चूंकि $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow a^2+1 = 5$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$.
$z$ में $a = 2$ रखने पर,$z = \frac{2i}{2+i} = \frac{2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4i - 2i^2}{4+1} = \frac{2+4i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
अतः,$\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.

(B) दिया गया है $\operatorname{Im}(z)=10$, मान लीजिए $z=x+10i$.
दिया गया समीकरण $\frac{2z-n}{2z+n}=2i-1$ है।
$z=x+10i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(x+10i)-n}{2(x+10i)+n}=2i-1$
$(2x-n)+20i=(2i-1)(2x+n+20i)$
$(2x-n)+20i = 4xi + 2ni - 40 - 2x - n - 20i$
$(2x-n)+20i = (-2x-n-40) + (4x+2n-20)i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $2x-n = -2x-n-40$ $\Rightarrow 4x = -40$ $\Rightarrow x = -10$.
काल्पनिक भाग: $20 = 4x+2n-20$.
$x=-10$ रखने पर: $20 = 4(-10)+2n-20$ $\Rightarrow 20 = -40+2n-20$ $\Rightarrow 2n = 80$ $\Rightarrow n = 40$.
अतः, $n=40$ और $\operatorname{Re}(z)=x=-10$.

(B) दिया गया है $Z_1=2+i$ और $Z_2=3-4i$.
इनके संयुग्मी $\overline{Z_1}=2-i$ और $\overline{Z_2}=3+4i$ हैं।
हमें $\frac{\overline{Z_1}}{\overline{Z_2}} = \frac{2-i}{3+4i}$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-4i)$ से गुणा करने पर:
$\frac{2-i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{6-8i-3i+4i^2}{3^2-(4i)^2}$.
चूंकि $i^2=-1$,इसलिए $\frac{6-11i-4}{9+16} = \frac{2-11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$.
इसकी तुलना $a+bi$ से करने पर,हमें $a=\frac{2}{25}$ और $b=\frac{-11}{25}$ प्राप्त होता है।
अब,$-7a+b = -7(\frac{2}{25}) - \frac{11}{25} = \frac{-14-11}{25} = \frac{-25}{25} = -1$.

(C) माना $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$ है।
हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-i)$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+i \sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2 \sqrt{3}}{3 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$z = \frac{\sqrt{3} + 2i + \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
$z = a + bi$ का कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$।

(B) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a+bi$ और $z_2 = c+di$ एक-दूसरे की संयुग्मी होती हैं यदि $a=c$ और $b=-d$ हो।
दिया है $z_1 = (3x+2) - (5y-3)i$ और $z_2 = (6x+3) + (2y-4)i$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर: $3x+2 = 6x+3$ $\Rightarrow 3x = -1$ $\Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $-(5y-3) = -(2y-4)$ $\Rightarrow 5y-3 = 2y-4$ $\Rightarrow 3y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{3}$.
अब,$\frac{x-y}{x+y} = \frac{-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})}{-\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})} = \frac{0}{-\frac{2}{3}} = 0$.

(A) दिया गया है $z = \frac{(1+i)^2}{a-i} = \frac{1 + 2i + i^2}{a-i} = \frac{2i}{a-i}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|z| = \left| \frac{2i}{a-i} \right| = \frac{|2i|}{|a-i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
दिया है $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
अतः,$a^2 + 1 = 5$,जिसका अर्थ है $a^2 = 4$. चूँकि $a > 0$,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ को $z$ में रखने पर: $z = \frac{2i}{2-i} = \frac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4i + 2i^2}{4+1} = \frac{-2 + 4i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
इसलिए,संयुग्मी $\bar{z} = -\frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$ है।

(B) $z^{1/3} = p+iq$
$\Rightarrow z = (p+iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$
$\Rightarrow x = p^3 - 3pq^2$ और $y = 3p^2q - q^3$
$\Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ और $\frac{y}{q} = 3p^2 - q^2$
$\therefore \left(\frac{x}{p} + \frac{y}{q}\right) = (p^2 - 3q^2) + (3p^2 - q^2) = 4p^2 - 4q^2 = 4(p^2 - q^2)$

(B) दिया गया है $w = \frac{z}{z - \frac{1}{3}i}$.
अंश और हर को $3$ से गुणा करने पर,$w = \frac{3z}{3z - i}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|w| = 1$,हमारे पास $|\frac{3z}{3z - i}| = 1$ है,जिसका अर्थ है $3|z| = |3z - i|$.
मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $3|x + iy| = |3x + i(3y - 1)|$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9(x^2 + y^2) = (3x)^2 + (3y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$9x^2 + 9y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 6y + 1$.
$6y - 1 = 0$,जो एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) दी गई असमिका $|z-(2-i)| \leq 2$ सम्मिश्र तल में $2-i$ केंद्र और $r=2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाती है।
माना $z_0 = 2-i$ है। मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $|z_0| = |2-i| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ है।
$|z|$ का अधिकतम मान $|z_0| + r = \sqrt{5} + 2$ है।
$|z|$ का न्यूनतम मान $|z_0| - r = \sqrt{5} - 2$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2+ax+by=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+ax+\frac{a^2}{4}) + (y^2+by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$।
यह सरल होकर: $(x+\frac{a}{2})^2 + (y+\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$ हो जाता है।
इसे वृत्त के मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = -\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ और $y = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ प्राप्त होते हैं।

(C) हमें योग $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ दिया गया है।
$\tan^{-1}$ के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर हमें $\tan ^{-1} \frac{2}{4 r^2}$ प्राप्त होता है।
हम इस पद को $\tan ^{-1} \left[ \frac{(2r+1) - (2r-1)}{1 + (2r+1)(2r-1)} \right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर,यह $\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)$ बन जाता है।
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$p = \sum_{r=1}^{50} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$
$p = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 99)$
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $p = \tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 1$ शेष रहता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:
$p = \tan^{-1} \left( \frac{101 - 1}{1 + 101 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{100}{102} \right)$.
अतः,$\tan p = \frac{100}{102} = \frac{50}{51}$.

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}$.
सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x \cdot \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}$.
$= 2 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\sin 5 x}{x} \cdot \frac{x}{\sin 3 x}$.
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $5$ और $3$ से गुणा और भाग करें:
$= 2 \cdot \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot 5 \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{\sin 3 x} \right)$.
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot 5 \cdot (1) \cdot \frac{1}{3} \cdot (1) = \frac{10}{3}$.

(A) दिया गया है $f(x) = 3x^{10} - 7x^8 + 5x^6 - 21x^3 + 3x^2 - 7$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 30x^9 - 56x^7 + 30x^5 - 63x^2 + 6x$.
$x = 1$ पर मान रखने पर,$f'(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
अब,सीमा $L = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{\alpha^3 + 3\alpha}$ पर विचार करें।
व्यंजक को $L = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{-\alpha} \right) \times \left( \frac{-\alpha}{\alpha^3 + 3\alpha} \right)$ के रूप में लिखें।
चूंकि $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{-\alpha} = f'(1) = -53$ और $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{-\alpha}{\alpha(\alpha^2 + 3)} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{-1}{\alpha^2 + 3} = -\frac{1}{3}$.
अतः,$L = (-53) \times (-1/3) = \frac{53}{3}$.

(C) हम अंश और हर का परिमेयकरण करके $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$ सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
संयुग्मों से गुणा करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{(\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ का उपयोग करके सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2 x-3 x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(3 a+x-4 x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{(a-x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{3(a-x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(a-x)$ को हटाने पर:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x}}{3(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$x = a$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{3(\sqrt{3a} + \sqrt{3a})} = \frac{2\sqrt{a} + 2\sqrt{a}}{3(2\sqrt{3a})} = \frac{4\sqrt{a}}{6\sqrt{3a}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{(\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2 x-3 x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(3 a+x-4 x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a-x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{3(a-x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$(a-x)$ को काटने और $x = a$ रखने पर:
$= \frac{\sqrt{3 a+a}+2 \sqrt{a}}{3(\sqrt{a+2 a}+\sqrt{3 a})}$
$= \frac{2 \sqrt{a}+2 \sqrt{a}}{3(\sqrt{3 a}+\sqrt{3 a})}$
$= \frac{4 \sqrt{a}}{3(2 \sqrt{3 a})} = \frac{4 \sqrt{a}}{6 \sqrt{3} \sqrt{a}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}}$

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x^3-3 x^2 2 x}\right]$
दूसरे पद के हर का गुणनखंड करने पर: $x^3-3x^2 2x = x(x-2)(x-1)$
अब सीमा में मान रखने पर: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x(x-2)(x-1)}\right]$
समान हर लेने पर: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x(x-1)-2}{x(x-2)(x-1)}\right]$
अंश को सरल करने पर: $x^2-x-2 = (x-2)(x 1)$
अतः: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{(x-2)(x 1)}{x(x-2)(x-1)}\right]$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-2)$ को काटने पर: $\lim _{x \rightarrow 2}\frac{x 1}{x(x-1)}$
$x=2$ रखने पर: $\frac{2 1}{2(2-1)} = \frac{3}{2}$

(B) माना $I = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cot x-\cos x}{(\pi-2 x)^3}$
$= \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1-\sin x)}{\sin x(\pi-2 x)^3}$
$x = \frac{\pi}{2}-h$ प्रतिस्थापित करने पर,$\pi-2x = 2h$. जब $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,तब $h \rightarrow 0$.
$I = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-h)(1-\sin(\frac{\pi}{2}-h))}{\sin(\frac{\pi}{2}-h)(2h)^3}$
$= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h(1-\cos h)}{\cos h \cdot 8h^3}$
$1-\cos h = 2\sin^2(\frac{h}{2})$ का उपयोग करने पर,
$I = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h \cdot 2\sin^2(\frac{h}{2})}{\cos h \cdot 8h^3} = \frac{2}{8} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin^2(\frac{h}{2})}{(\frac{h}{2})^2 \cdot 4} \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos h}$
$= \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

(C) हम जानते हैं कि $x^{\circ} = \frac{\pi}{180} x \text{ रेडियन}$.
अतः,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{7 \pi}{180} x\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{180} x\right)}{x^2}$ हो जाती है।
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{7\pi}{180}$ और $b = \frac{2\pi}{180}$:
$= \frac{(\frac{2\pi}{180})^2 - (\frac{7\pi}{180})^2}{2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{180^2} (4 - 49)$
$= \frac{-45 \pi^2}{64800} = \frac{-\pi^2}{1440}$.

(B) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cot 4x}{\sin ^2 x \cot ^2(2x)}$ दी गई है।
सर्वसमिका $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan ^2(2x)}{\sin ^2 x \tan 4x}$.
अब,हम मानक सीमा $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ और $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot (\tan 2x)^2}{(\sin x)^2 \cdot \tan 4x} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot \frac{(\tan 2x)^2}{(2x)^2} \cdot (2x)^2}{\frac{(\sin x)^2}{x^2} \cdot x^2 \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \right]$.
पदों को सरल करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot 1^2 \cdot 4x^2}{1^2 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 4x} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^3}{4x^3} = 1$.

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{\tan ^2 \frac{x}{2}}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x \sin x) - \cos x}{\tan ^2 \frac{x}{2} (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x \sin x + 2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{\tan ^2 \frac{x}{2} (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\frac{\sin x}{x} + 2 \left( \frac{\sin (x/2)}{x} \right)^2}{\left( \frac{\tan (x/2)}{x} \right)^2 (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x/2)}{x} = \frac{1}{2}$,और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x/2)}{x} = \frac{1}{2}$:
$L = \frac{1 + 2(1/2)^2}{(1/2)^2 (\sqrt{1+0} + \sqrt{1})} = \frac{1 + 1/2}{(1/4)(2)} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(B) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left(\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}-x \sqrt{2}\right)$
व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(x^2+\sqrt{1+x^4}-2 x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(\sqrt{1+x^4}-x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}}$
अंश का पुनः परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(1+x^4-x^4\right)}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{1+x^4}+x^2\right)}$
हर में $x^3$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{x \left(\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}}+\sqrt{2}\right) \cdot x^2 \left(\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}+1\right)}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}}+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}+1\right)}$
$x \rightarrow \infty$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{2 \sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{4 \sqrt{2}}$

(D) माना $f(x) = \frac{x}{|x| + x^2}$ है।
बाएँ पक्ष की सीमा (left-hand limit) के लिए जब $x \rightarrow 0^-$,तब $|x| = -x$:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{-x + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{-1 + x} = -1$.
दाएँ पक्ष की सीमा (right-hand limit) के लिए जब $x \rightarrow 0^+$,तब $|x| = x$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1 + x} = 1$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना $p$ स्विच $S_1$ है और $q$ स्विच $S_2$ है। दी गई सर्किट का प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ है।
व्यंजक का सरलीकरण:
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge (q \vee \sim q)]$
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge t]$
$= (p \wedge \sim q) \vee \sim p$
$= \sim p \vee (p \wedge \sim q)$
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= t \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= \sim p \vee \sim q$
व्यंजक $\sim p \vee \sim q$ समानांतर में जुड़े दो स्विच $S_1'$ और $S_2'$ को दर्शाता है।

(D) माना $p$ : भुगतान किया जाएगा।
माना $q$ : कार्य समय पर पूरा हो जाता है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है,जो $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ के समतुल्य है।
इस कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q)$ है,जो $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ के समतुल्य है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और कार्य समय पर पूरा नहीं होता है,या कार्य समय पर पूरा हो जाता है और भुगतान नहीं किया जाता है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) कथन $(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = (p \wedge q)$ और $B = (\sim p \vee r)$ है।
तब,$\sim(A \rightarrow B) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$\sim(\sim p \vee r) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim r \equiv p \wedge \sim r$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r)$ बन जाता है।
साहचर्य और वर्गसम नियमों द्वारा,$(p \wedge q) \wedge p \wedge \sim r \equiv p \wedge q \wedge \sim r$ होता है।

(B) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$
$\equiv \sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$\equiv \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$\equiv \sim(T) \vee(F)$
$\equiv F \vee F \equiv F$
$b: (\sim q \wedge \sim r) \leftrightarrow(p \vee s)$
$\equiv (\sim T \wedge \sim F) \leftrightarrow(T \vee F)$
$\equiv (F \wedge T) \leftrightarrow(T)$
$\equiv F \leftrightarrow T \equiv F$
$c: (\sim p \vee q) \rightarrow(r \wedge \sim s)$
$\equiv (\sim T \vee T) \rightarrow(F \wedge \sim F)$
$\equiv (F \vee T) \rightarrow(F \wedge T)$
$\equiv T \rightarrow F \equiv F$
अतः,सत्यता मान $F, F, F$ हैं।

(C) हम तार्किक व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ का विश्लेषण करते हैं।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष पर विचार करें: $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$।
निहितार्थ नियम $A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg p \vee (\neg q \vee r)$।
साहचर्य नियम (associative law) के अनुसार,यह $(\neg p \vee \neg q) \vee r$ के समतुल्य है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\neg p \vee \neg q \equiv \neg (p \wedge q)$।
अतः,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg (p \wedge q) \vee r$।
पुनः,निहितार्थ नियम का उपयोग करते हुए,$\neg (p \wedge q) \vee r \equiv (p \wedge q) \rightarrow r$।
चूंकि द्वि-प्रतिबंधात्मक (biconditional) के दोनों पक्ष तार्किक रूप से समतुल्य हैं,इसलिए व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ हमेशा सत्य है।
इसलिए,यह एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(A) हमें कथन $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करने की आवश्यकता है।
निषेध ऑपरेटर लागू करने पर:
$\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$:
$\equiv s \wedge \sim (\sim r \wedge s)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$:
$\equiv s \wedge (r \vee \sim s)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$:
$\equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$s \wedge \sim s \equiv F$:
$\equiv (s \wedge r) \vee F$
तत्समक नियम का उपयोग करते हुए,$p \vee F \equiv p$:
$\equiv s \wedge r$

(A) माना कि दोनों रेखाओं पर स्थित बिंदु $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ और $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ हैं।
रेखाओं के बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (समीकरण $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर $9\alpha = 9$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 1$ है।
$\alpha = 1$ को समीकरण $2$ में रखने पर,$\lambda + 2(1) = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = -1$ है।
$\lambda = -1$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ प्राप्त होता है।
$xy$-समतल में किसी बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है।
अतः,$xy$-समतल में $R(2, -4, 7)$ का प्रतिबिंब $(2, -4, -7)$ है।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = Ae^x$.
शर्त $f(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$Ae^1 = 2$,इसलिए $A = 2e^{-1}$.
अतः,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.
परिणामस्वरूप,$f'(x) = 2e^{x-1}$.
दिया गया है कि $h(x) = f(f(x))$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ पर,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.
चूंकि $f(1) = 2$,इसलिए $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.
मान रखने पर,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ और $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.
इसलिए,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

(D) हमें $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\sqrt{x} = t$,तब $x = t^2$ और $dx = 2t dt$ होगा।
जब $x=1$,तब $t=1$ और जब $x=3$,तब $t=\sqrt{3}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(3) - f(1) = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \frac{t}{(1+t^2)^2} dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\frac{1}{2(1+t^2)}$ प्राप्त होता है।
$2 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt = 2 \left[ -\frac{t}{2(1+t^2)} + \int \frac{1}{2(1+t^2)} dt \right] = -\frac{t}{1+t^2} + \tan^{-1}(t)$.
$1$ से $\sqrt{3}$ तक सीमाएं लागू करने पर:
$f(3) - f(1) = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{1+3} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) \right] - \left[ -\frac{1}{1+1} + \tan^{-1}(1) \right]$.
$= \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) माना $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{v} = \overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB}|}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-1)(2) + (2)(10) + (2)(11) = -2 + 20 + 22 = 40$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{40}{3 \times 15} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.

(A) दिया गया वक्र $xy + ax + by = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
अब,समीकरण $xy + ax + by = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$(x + b) \frac{dy}{dx} = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
बिंदु $(1, 1)$ पर ढाल $2$ दी गई है:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
अतः,$a - b = 1 - (-2) = 3$.

(D) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।
यदि कोटि और भुज समान हैं,तो $y=x$ होगा।
वक्र के समीकरण में $y=x$ रखने पर: $x^2 = 9 - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$।
चूँकि $y = \sqrt{9-2x^2}$,$y$ धनात्मक होना चाहिए। इसलिए $x = \sqrt{3}$ लेने पर $y = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
$y^2 = 9 - 2x^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -4x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर ढाल $m = -\frac{2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$।
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3} \Rightarrow 2x + y - 3\sqrt{3} = 0$।

(C) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \int (2x+1) dx = x^2 + x + c$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समीकरण में $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$2 = (1)^2 + 1 + c$
$2 = 1 + 1 + c$
$2 = 2 + c \Rightarrow c = 0$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक का समाकलन है (क्योंकि वक्र $X$-अक्ष को $x^2+x=0$ यानी $x(x+1)=0$ पर काटता है,जिससे $x=0$ और $x=-1$ प्राप्त होता है):
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (x^2+x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - (0)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $x=2y^2$ हैं।
वक्र $y=2x^2$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = 4(1) = 4$ है।
वक्र $x=2y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 = 4y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{1}{4(1)} = \frac{1}{4}$ है।
माना दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{4 - 1/4}{1 + 4(1/4)} \right| = \left| \frac{15/4}{1 + 1} \right| = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$।

(C) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sqrt{t}$ और $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2}) = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2t^{3/2}}$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2t^{3/2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = (1 + \frac{1}{2t^{3/2}}) \times (2\sqrt{t}) = 2\sqrt{t} + \frac{1}{t} = \frac{2t\sqrt{t} + 1}{t}$
$t=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=4} = \frac{2(4)\sqrt{4} + 1}{4} = \frac{16+1}{4} = \frac{17}{4}$
अभिलंब की ढाल,स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की ढाल} = -\frac{1}{(\frac{dy}{dx})_{t=4}} = -\frac{1}{17/4} = -\frac{4}{17}$

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $xy + ax + by = 0$।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
अब,समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
बिंदु $(1, 1)$ पर ढाल $2$ दी गई है:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
अंत में,$3a + b$ का मान:
$3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(B) $y = 2 e^x \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$
सर्वसमिका $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = e^x \sin \left(2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = e^x \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = e^x \cos x$
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$
माना $T(x) = e^x (\cos x - \sin x)$। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dT}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dT}{dx} = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dT}{dx} = 0$ रखने पर:
$-2 e^x \sin x = 0 \implies \sin x = 0$
अंतराल $0 \leq x \leq 2 \pi$ में,$x = 0, \pi, 2 \pi$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं पर $T(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$T(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1$
$T(\pi) = e^\pi (\cos \pi - \sin \pi) = -e^\pi$
$T(2 \pi) = e^{2 \pi} (\cos 2 \pi - \sin 2 \pi) = e^{2 \pi}$
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-e^\pi$ है जो $x = \pi$ पर प्राप्त होता है।

(B) जीवा $AB$ की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा $AB$ के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल भी $2$ होनी चाहिए।
दिए गए वक्र $y = x - \frac{4}{x}$ के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{4}{x^2}$ है।
अवकलज को जीवा की ढाल के बराबर रखने पर: $1 + \frac{4}{x^2} = 2$.
यह सरल होकर $\frac{4}{x^2} = 1$ देता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 4$,इसलिए $x = \pm 2$.
जब $x = 2$ है,तो $y = 2 - \frac{4}{2} = 0$.
जब $x = -2$ है,तो $y = -2 - \frac{4}{-2} = -2 + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 0)$ और $(-2, 0)$ हैं।

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=2(\cos t+t \sin t)$ और $y=2(\sin t-t \cos t)$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t \sin t}{2t \cos t} = \tan t$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$ है।
बिंदु '$t$' पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - 2(\sin t - t \cos t) = -\frac{\cos t}{\sin t} [x - 2(\cos t + t \sin t)]$
$\sin t$ से गुणा करने पर:
$y \sin t - 2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t = -x \cos t + 2 \cos^2 t + 2t \sin t \cos t$
$x \cos t + y \sin t = 2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \cos t + y \sin t = 2$
रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \cos t$,$B = \sin t$,और $C = -2$ है।
दूरी $= \frac{|-2|}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} = \frac{2}{1} = 2$ इकाई।

(C) $y^2=px^3+q$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$
रेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है।
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^2=px^3+q$ पर स्थित है,इसलिए हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$
$p=2$ रखने पर:
$9 = 8(2) + q$
$9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$
अतः,$p-q = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9$.

(C) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -y + e^{-x}$ द्वारा दी गई है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y e^x = \int e^{-x} \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int 1 dx + C$.
$y e^x = x + C$.
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 \cdot e^0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y e^x = x$ है,जिसे $y e^x - x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
दिया गया है कि $y$-निर्देशांक $3 \text{ units/sec}$ की दर से घट रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -3 \text{ units/sec}$।
बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ पर,$x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\frac{dy}{dt} = -3$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-3) = 0$
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{dx}{dt} = 3\sqrt{3} \text{ units/sec}$।
अतः,$x$-निर्देशांक $3\sqrt{3} \text{ units/sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(D) माना $f(x) = \log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10} = (\log_{10} e)(\log_e x) = 0.4343(\log_e x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \frac{0.4343}{x}$ प्राप्त होता है।
माना $x = 998 = 1000 - 2 = a + h$.
यहाँ,$a = 1000$ और $h = -2$ है।
$f(a) = f(1000) = \log_{10}(1000) = 3 \log_{10} 10 = 3$.
साथ ही,$f'(a) = f'(1000) = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + hf'(a)$ का उपयोग करने पर:
$\log_{10}(998) \approx 3 + (-2)(0.0004343) = 3 - 0.0008686 = 2.9991314$.

(B) माना $P$ पतंग की स्थिति है और $PR$ डोरी है। माना $PQ = 120 \ m$ स्थिर ऊँचाई है।
माना $QR = x$ और $PR = y$ है।
$\triangle PQR$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$y^2 = (120)^2 + x^2 \dots (i)$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt} \dots (ii)$
दिया गया है कि पतंग $39 \ m/sec$ की दर से क्षैतिज रूप से दूर जा रही है,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 39 \ m/sec$.
$(i)$ से,जब $y = 130 \ m$ है:
$(130)^2 = (120)^2 + x^2$
$x^2 = 16900 - 14400 = 2500$
$x = 50 \ m$
इन मानों को $(ii)$ में रखने पर:
$130 \frac{dy}{dt} = 50 \times 39$
$\frac{dy}{dt} = \frac{50 \times 39}{130} = \frac{1950}{130} = 15 \ m/sec$.
अतः,जिस दर से डोरी बाहर निकल रही है,वह $15 \ m/sec$ है।

(B) माना सीढ़ी $AC = 17 \,m$ है। दीवार की ऊँचाई $AB = x$ और जमीन पर दूरी $BC = y$ है।
$\triangle ABC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + y^2 = 17^2 = 289$
दिया गया है कि निचला सिरा $\frac{dy}{dt} = 1 \,m/sec$ की दर से फिसल रहा है।
जब $y = 8 \,m$ है, तो $x^2 + 8^2 = 289 \Rightarrow x^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow x = 15 \,m$।
समय $t$ के सापेक्ष $x^2 + y^2 = 289$ का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
मान $x = 15$, $y = 8$, और $\frac{dy}{dt} = 1$ रखने पर:
$15 \frac{dx}{dt} + 8(1) = 0$
$15 \frac{dx}{dt} = -8$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{8}{15} \,m/sec$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई $x$ घट रही है। अतः, ऊपरी सिरा $\frac{8}{15} \,m/sec$ की दर से नीचे आ रहा है।

(D) माना $t$ सेकंड पर वर्ग का क्षेत्रफल $A$, परिमाप $P$ और भुजा की लंबाई $X$ है।
तब, $A = X^2$ और $P = 4X$ है।
इससे हमें $P = 4 \sqrt{A}$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt}$.
चूंकि $A = X^2$, इसलिए $\sqrt{A} = X$ है। अतः, $\frac{dP}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt}$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $4 \,cm^2 / sec$ की दर से घट रहा है, इसलिए $\frac{dA}{dt} = -4 \,cm^2 / sec$.
$X = 20 \,cm$ पर:
$\frac{dP}{dt} = \frac{2}{20} \times (-4) = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} \,cm / sec$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि परिमाप $\frac{2}{5} \,cm / sec$ की दर से घट रहा है।

(B) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ और $r = 6 \text{ cm}$,इसलिए $2 = 8 \pi (6) \frac{dr}{dt}$।
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{2}{48 \pi} = \frac{1}{24 \pi} \text{ cm/sec}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (6)^2 \times \frac{1}{24 \pi} = 4 \pi \times 36 \times \frac{1}{24 \pi} = \frac{144 \pi}{24 \pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$।

(B) माना समय $t$ पर पानी की गहराई $x$ है। दिया गया है कि प्रवाह की दर गहराई के वर्गमूल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है (ऋणात्मक चिह्न गहराई में कमी को दर्शाता है)।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int x^{-1/2} dx = \int -k dt$,जिससे $2\sqrt{x} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक गहराई $x = 16 \ m$ है। इन मानों को रखने पर,$2\sqrt{16} = -k(0) + C \Rightarrow C = 8$.
अतः,समीकरण $2\sqrt{x} = -kt + 8$ बन जाता है।
$t = 2 \ \text{घंटे}$ पर,गहराई $x = 4 \ m$ है। इन मानों को रखने पर,$2\sqrt{4} = -k(2) + 8 \Rightarrow 4 = -2k + 8 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$.
इस प्रकार,समीकरण $2\sqrt{x} = -2t + 8$ या $\sqrt{x} = 4 - t$ है।
$t = 3.5 \ \text{घंटे}$ के लिए,$\sqrt{x} = 4 - 3.5 = 0.5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x = (0.5)^2 = 0.25 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) माना टंकी की लंबाई $x \ m$ और चौड़ाई $y \ m$ है। टंकी की ऊँचाई $h = 4 \ m$ है।
टंकी का आयतन $V = x \times y \times h = 36 \ m^3$ है।
$h = 4$ रखने पर,$4xy = 36$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $xy = 9$,इसलिए $y = \frac{9}{x}$।
लागत फलन $C$ आधार की लागत और चार भुजाओं की लागत का योग है:
$C = 100(xy) + 50(2xh + 2yh)$
$xy = 9$,$h = 4$,और $y = \frac{9}{x}$ रखने पर:
$C(x) = 100(9) + 50(2x(4) + 2(\frac{9}{x})(4))$
$C(x) = 900 + 50(8x + \frac{72}{x}) = 900 + 400x + \frac{3600}{x}$
न्यूनतम लागत ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $C'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$C'(x) = 400 - \frac{3600}{x^2} = 0$
$400 = \frac{3600}{x^2} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \ m$।
चूंकि $x = 3$,इसलिए $y = \frac{9}{3} = 3 \ m$।
न्यूनतम लागत $C(3) = 900 + 400(3) + \frac{3600}{3} = 900 + 1200 + 1200 = ₹ 3300$ है।

(B) माना कागज की ऊंचाई $y \ m$ और चौड़ाई $x \ m$ है।
दिया गया है कि कागज का क्षेत्रफल $18 \ m^2$ है,इसलिए $x y = 18$.
मार्जिन को मीटर में बदलने पर: ऊपर/नीचे के मार्जिन प्रत्येक $0.75 \ m$ और किनारे के मार्जिन प्रत्येक $0.5 \ m$ हैं।
मुद्रण योग्य क्षेत्र के आयाम $(y - 1.5) \ m$ और $(x - 1) \ m$ हैं।
मुद्रण के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $A = (y - 1.5)(x - 1)$ है।
चूंकि $y = \frac{18}{x}$,हमारे पास $A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - \frac{18}{x} - 1.5x$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dx} = \frac{18}{x^2} - 1.5$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$.
अतः,$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$.
तब $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$.
द्वितीय अवकलज की जांच करने पर: $\frac{d^2A}{dx^2} = -\frac{36}{x^3}$,जो $x = 2 \sqrt{3}$ पर ऋणात्मक है,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,ऊंचाई $3 \sqrt{3} \ m$ और चौड़ाई $2 \sqrt{3} \ m$ है।

(B) शंक्वाकार पात्र के लिए, ऊँचाई $H = 9 \text{ cm}$ और आधार की त्रिज्या $R = 5 \text{ cm}$ है।
पात्र का कुल आयतन $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (25)(9) = 75\pi \text{ cm}^3$ है।
माना $t$ समय पर पानी की ऊँचाई $h$ है और पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से, $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{9}$, अतः $r = \frac{5h}{9}$।
पानी की सतह का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5h}{9}\right)^2 = \frac{25\pi h^2}{81}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार पानी के स्तर के बढ़ने की दर $\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{A} = \frac{\pi}{\frac{25\pi h^2}{81}} = \frac{81}{25h^2}$ है।
चरों को अलग करने पर, $h^2 \, dh = \frac{81}{25} \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int h^2 \, dh = \int \frac{81}{25} \, dt \implies \frac{h^3}{3} = \frac{81}{25}t + C$।
चूँकि $t=0$ पर $h=0$ है, इसलिए $C=0$, अतः $h^3 = \frac{243}{25}t$।
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{25h^2}{81}\right) h = \frac{25\pi h^3}{243}$ है।
$h^3 = \frac{243}{25}t$ का मान रखने पर, $V = \frac{25\pi}{243} \left(\frac{243}{25}t\right) = \pi t$ प्राप्त होता है।
शंकु के पूरी तरह भरने के लिए, $V = V_{total} = 75\pi$ होना चाहिए।
अतः, $\pi t = 75\pi \implies t = 75 \text{ सेकंड}$।

(C) अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $R = 180 \text{ cm}$ है।
पानी के प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min}$ है।
चूँकि $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$,इसलिए $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ है।
$\frac{dV}{dt} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3 / 60 \text{ sec} = 1800 \text{ cm}^3/\text{sec}$।
माना पानी की गहराई $x$ है। अर्धगोलाकार कटोरे में पानी का आयतन $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 180$ रखने पर,$V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$x = 120 \text{ cm}$ पर,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$।
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/sec}$।

(A) मान लीजिए $A = (h, 2h)$ है।
दूरी $OA = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{5}h$ है।
यह दिया गया है कि बिंदु $A$ $2 \text{ units/sec}$ की दर से गति कर रहा है,इसलिए $\frac{d(OA)}{dt} = 2$ है।
अतः,$\sqrt{5} \frac{dh}{dt} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
शीर्षों $A(h, 2h)$,$B(0, 3)$,और $C(4, 0)$ वाले $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\alpha$ सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = \frac{1}{2} |h(3-0) + 0(0-2h) + 4(2h-3)| = \frac{1}{2} |3h + 8h - 12| = \frac{1}{2} |11h - 12|$ है।
यह मानते हुए कि क्षेत्रफल बढ़ रहा है,हम $\alpha = \frac{11h - 12}{2}$ लेते हैं।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} \text{ (units)}^2/\text{sec}$ प्राप्त होता है।

(B) $x=2$ के परितः $P(x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$P(x) = P(2) + P^{\prime}(2)(x-2) + \frac{P^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$
दिया गया है $P(2)=-1, P^{\prime}(2)=0, P^{\prime \prime}(2)=2$:
$P(x) = -1 + 0(x-2) + \frac{2}{2}(x-2)^2$
$P(x) = -1 + (x-2)^2$
अब,$x=1.001$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(1.001) = -1 + (1.001-2)^2$
$P(1.001) = -1 + (-0.999)^2$
$P(1.001) = -1 + 0.998001$
$P(1.001) = -0.001999$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $-0.002$ है।

(B) माना कि $x$ वर्ग के विकर्ण की लंबाई है और $A$ इसका क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि विकर्ण के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 0.5 \text{ cm/sec}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण $x$ के पदों में $A = \frac{x^2}{2}$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{2x}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = x \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $A = 400 \text{ cm}^2$,इसलिए $A = \frac{x^2}{2}$ का उपयोग करके विकर्ण $x$ ज्ञात करते हैं:
$400 = \frac{x^2}{2} \implies x^2 = 800 \implies x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ cm}$.
अब,$\frac{dA}{dt}$ के समीकरण में $x = 20\sqrt{2}$ और $\frac{dx}{dt} = 0.5$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (20\sqrt{2}) \cdot (0.5) = 10\sqrt{2} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.
$f'(x) = x e^{x(1-x)}(1-2x) + e^{x(1-x)}$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} [x(1-2x) + 1] = e^{x(1-x)} (x - 2x^2 + 1)$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} (-2x^2 + x + 1) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$.
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1) = e^{x(1-x)} (2x+1)(1-x)$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $e^{x(1-x)} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $(2x+1)(1-x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए,अतः $-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x < 0$।
ज्या (sine) फलन तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए $\pi < 4x < 2\pi$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $3x^2 + 2bx + c$ हमेशा धनात्मक होता है यदि इसका विविक्तकर $D < 0$ हो और $x^2$ का गुणांक धनात्मक हो।
यहाँ,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$.
चूंकि $0 < b^2 < c$,इसलिए $b^2 - 3c < c - 3c = -2c < 0$ (जहाँ $c > 0$ है)।
अतः,$D < 0$ होने के कारण,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इसलिए,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2-3x+2}{x^4+1} \, dx$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^4+1}$ है।
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^4+1 > 0$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ की शर्त $x^2-3x+2 < 0$ के समतुल्य है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)(x-2) < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल $x=1$ और $x=2$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर,व्यंजक $(x-1)(x-2)$ का मान $x \in (1, 2)$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,फलन अंतराल $(1, 2)$ में ह्रासमान है।

(D) दी गई शर्त $x+2y=8$ है।
हम $y$ को $x$ के पदों में $2y = 8-x$ के रूप में लिख सकते हैं,जिससे $y = \frac{8-x}{2}$ प्राप्त होता है।
माना कि अधिकतम करने वाला फलन $f(x) = xy$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x \cdot \frac{8-x}{2} = 4x - \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{x^2}{2}) = 4 - x$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज (second derivative) की जाँच करते हैं:
$f''(x) = -1$.
चूँकि $f''(4) = -1 < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 4$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 4$ का मान $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{8-4}{2} = 2$.
अतः $xy$ का अधिकतम मान $4 \times 2 = 8$ है।

(C) अंतराल $[0, 2]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है कि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा मौजूद है कि:
$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) - f(0) = 2 f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) = f(0) + 2 f^{\prime}(c)$
दिया गया है कि सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$.
अतः,$f(2) - f(0) \leq 2(5) = 10$.
यदि हम $f(0) = -3$ लेते हैं,तो $f(2) \leq -3 + 10 = 7$.
इसलिए,$f(2)$ का अधिकतम संभावित मान $7$ है.

(A) सबसे पहले,असमिका $x^2 + 30 \leq 11x$ को हल करके समुच्चय $S$ निर्धारित करते हैं।
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
अतः,$x \in [5, 6]$।
अब,फलन $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ पर विचार करें।
अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$।
$x \in [5, 6]$ के लिए,$(x - 1)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि $x \in [5, 6]$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ में निरंतर वर्धमान है।
अधिकतम मान दाहिने अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 7$
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3x^2 + 12x - 36$
गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 3(x^2 + 4x - 12) = 3(x + 6)(x - 2)$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$3(x + 6)(x - 2) > 0$
$(x + 6)(x - 2) > 0$
द्विघात असमिका के चिह्न नियम के अनुसार,यह व्यंजक $x < -6$ या $x > 2$ के लिए धनात्मक है।
अतः,$x$ के मानों का परिसर $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x^3+x-1 = 0$ है।
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ के अवकलज का विश्लेषण करते हैं।
अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 1$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए $3x^2 + 1 \geq 1 > 0$ होता है।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
हम विशिष्ट बिंदुओं पर फलन के मान देखते हैं:
$f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1$
$f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$
चूंकि $f(0) < 0$ और $f(1) > 0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल $x$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = 0$ है।
चूंकि फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह मूल अद्वितीय है।
अतः,समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(B) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x \,m$ और टंकी की ऊँचाई $y \,m$ है।
आयतन $V = x^2 y = 500$.
अतः,$y = \frac{500}{x^2}$.
खुली टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = x^2 + 4xy$ है।
$y$ का मान रखने पर,$S = x^2 + 4x \left(\frac{500}{x^2}\right) = x^2 + \frac{2000}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{2000}{x^2}$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ रखने पर,$2x = \frac{2000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10 \,m$.
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{4000}{x^3}$ है। $x = 10$ पर,$\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + 4 = 6 > 0$,अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
ऊँचाई $y = \frac{500}{10^2} = 5 \,m$.
अतः,विमाएँ $10 \,m, 10 \,m, 5 \,m$ हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$.
चूंकि $x=1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x=1$ पर,$f'(1) = \frac{\alpha}{1} + 2\beta(1) + 1 = 0 \implies \alpha + 2\beta = -1$ (समीकरण $1$).
$x=2$ पर,$f'(2) = \frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \implies \frac{\alpha}{2} + 4\beta = -1 \implies \alpha + 8\beta = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - (-1) \implies 6\beta = -1 \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\beta = -\frac{1}{6}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $\alpha + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies \alpha - \frac{1}{3} = -1 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$.
अब,$\alpha^2 + 2\beta$ की गणना करने पर: $(-\frac{2}{3})^2 + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4-3}{9} = \frac{1}{9}$.

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$3(x - 1)(x - 3) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 6x - 12$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके क्रांतिक बिंदुओं पर फलन की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ पर: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$। चूँकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 3$ पर: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$। चूँकि $f''(3) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,फलन का अधिकतम मान तब होता है जब $x = 1$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{25-x^2}$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 5)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ हो।
यहाँ $f(5) = \sqrt{25 - 25} = 0$ और $f(1) = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{0 - \sqrt{24}}{5 - 1} = \frac{-\sqrt{24}}{4} = \frac{-2\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
अवकलज की तुलना करने पर: $\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{c^2}{25-c^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2c^2 = 3(25 - c^2) \implies 2c^2 = 75 - 3c^2 \implies 5c^2 = 75 \implies c^2 = 15$.
चूंकि $c \in (1, 5)$,इसलिए $c = \sqrt{15}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{x+6}$ अंतराल $[-6, 0]$ पर।
सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:
$1$. $f(x)$,$[-6, 0]$ पर सतत है।
$2$. $f(x)$,$(-6, 0)$ पर अवकलनीय है।
$3$. $f(-6) = -6 \sqrt{-6+6} = 0$ और $f(0) = 0 \sqrt{0+6} = 0$। चूँकि $f(-6) = f(0)$,सभी शर्तें पूरी होती हैं।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+6}} + \sqrt{x+6} \cdot 1 = \frac{x + 2(x+6)}{2\sqrt{x+6}} = \frac{3x + 12}{2\sqrt{x+6}}$।
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-6, 0)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$\frac{3c + 12}{2\sqrt{c+6}} = 0$
$3c + 12 = 0$
$3c = -12$
$c = -4$।
चूँकि $-4 \in (-6, 0)$,इसलिए $c$ का मान $-4$ है।

(C) दिया गया है $f(x)=x^3-3(a-2)x^2+3ax+7$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(0,1]$ में वर्धमान और $[1,5)$ में ह्रासमान है,इसलिए $x=1$ पर $f(x)$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मान होगा।
अतः,$f'(1)=0$.
$f'(x)=3x^2-6(a-2)x+3a$.
$x=1$ रखने पर: $3(1)^2-6(a-2)(1)+3a=0$.
$3-6a+12+3a=0 \Rightarrow -3a+15=0 \Rightarrow a=5$.
अब,$f(x)$ में $a=5$ रखने पर: $f(x)=x^3-3(5-2)x^2+3(5)x+7 = x^3-9x^2+15x+7$.
हमें $\frac{f(x)-14}{(x-1)^2}=0$ को हल करना है।
$f(x)-14 = x^3-9x^2+15x+7-14 = x^3-9x^2+15x-7$.
बहुपद विभाजन द्वारा,$x^3-9x^2+15x-7 = (x-1)^2(x-7)$.
अतः,$\frac{(x-1)^2(x-7)}{(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x-7=0 \Rightarrow x=7$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin x + \cos x + 6$ अंतराल $[0, 2\pi]$ पर है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 2\pi)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $\cos c - \sin c = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cos c = \sin c$,जिसे सरल करने पर $\tan c = 1$ प्राप्त होता है।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\tan c = 1$ के लिए $c$ के मान $c = \frac{\pi}{4}$ और $c = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,$c$ के मान $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ हैं।

(C) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[1,3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1)=f(3)$ होगा।
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13$ ... $(i)$
दिया गया है $f(x) = x^3+bx^2+ax+5$,अतः अवकलन $f'(x) = 3x^2+2bx+a$ होगा।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $f'(c) = 0$ होगा।
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
समीकरण $(i)$ के अनुसार $a+4b = -13$ का उपयोग करने पर:
$-13 + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
$b = -6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
अतः,$a=11$ और $b=-6$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = x|x|$ है।
चूंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{1} |x|x|| dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx$ होगा।
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$.
$= 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$= 2 \times \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3} \text{ sq. units}$.

(B) दिया गया वक्र $y = \sqrt{49 - x^2}$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 49 - x^2$ या $x^2 + y^2 = 7^2$। यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 7$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है। चूंकि $y = \sqrt{49 - x^2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,यह ऊपरी अर्धवृत्त को दर्शाता है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{-7}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{49 - x^2} + \frac{49}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{7} \right) \right]_{0}^{7}$
$= 2 \left[ \left( \frac{7}{2} \sqrt{49 - 49} + \frac{49}{2} \sin^{-1} (1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 2 \left[ 0 + \frac{49}{2} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{49 \pi}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) $X$-अक्ष के लिए,$y=0$.
अतः,$x(x-2)(x+1)=0$,जिससे $x=0, x=2, x=-1$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $-1$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $|y|$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^0 y \, dx + \left| \int_0^2 y \, dx \right|$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) \, dx + \left| \int_0^2 (x^3-x^2-2x) \, dx \right|$
समाकलन का मान:
$\int (x^3-x^2-2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2$
$[-1, 0]$ अंतराल के लिए:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{-1}{3} - 1 \right) = - \left( \frac{3+4-12}{12} \right) = - \left( \frac{-5}{12} \right) = \frac{5}{12}$
$[0, 2]$ अंतराल के लिए:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$
मापांक लेने पर,हमें $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5+32}{12} = \frac{37}{12}$ वर्ग इकाई।

(C) वांछित क्षेत्रफल $\int_{1}^{3} |x-2| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $|x-2|$ बिंदु $x=2$ पर अपनी परिभाषा बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} -(x-2) dx + \int_{2}^{3} (x-2) dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_{1}^{2} (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = (4 - 2) - (2 - 0.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_{2}^{3} (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3} = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $0.5 + 0.5 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$.