જો $z=x+iy$ અને $z^{1/3}=p+iq$ હોય,જ્યાં $x, y, p, q \in R$ અને $i=\sqrt{-1}$,તો $\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\right)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $k \in R$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ એવો છે કે જેથી સમીકરણ $z(\bar{z} + 2 + i) + k(2 + 3i) = 0, z \in C$,ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે,તે અંતરાલ $[\alpha, \beta]$ છે. તો $9(\alpha + \beta)$ નું મૂલ્ય શોધો:

$\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $S$ એ $|z^2+z+1|=1$ નું સમાધાન કરતી તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z$ નો ગણ છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A) |z+\frac{1}{2}| \leq \frac{1}{2}$ તમામ $z \in S$ માટે
$(B) |z| \leq 2$ તમામ $z \in S$ માટે
$(C) |z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$ તમામ $z \in S$ માટે
$(D)$ ગણ $S$ માં બરાબર ચાર ઘટકો છે

વિધાનો પૈકી:
$(S1) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-i}{z+i} \text{ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે}\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે,અને
$(S2) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-1}{z+1} \text{ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે}\}$ માં અનંત ઘટકો છે.

જો $z_1$ અને $z_2$ કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો $|z_1 + \sqrt{z_1^2 - z_2^2}| + |z_1 - \sqrt{z_1^2 - z_2^2}|$ ની કિંમત શું થાય?