MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. તેથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$x$ સ્થાને વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $a$ અને આવર્તકાળ $T$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને ઝડપ:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ કિંમત મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = b$ (અચળાંક),જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ (અથવા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર) $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમમાં $T \propto \frac{1}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $E \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4$ અથવા $E \propto \lambda^{-4}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(\lambda_1, E_1)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(\lambda_2, E_2)$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = \lambda$ અને $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^4 = \left(\frac{\lambda}{\frac{2\lambda}{3}}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$.
આમ,$E_2 = \frac{81}{16} E$.

(A) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળના સળિયા દ્વારા બનેલી વર્તુળાકાર રીંગનો વિચાર કરો. ધારો કે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. પરિઘ $2 \pi r = L$ છે, તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
રીંગ પરના બે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં આવેલા નાના દળના ખંડો $dM_1$ અને $dM_2$ નો વિચાર કરો.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળ પર ખંડ $dM_1$ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{G m dM_1}{r^2}$ છે, જે $dM_1$ ની દિશામાં લાગે છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળ પર વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ આવેલા ખંડ $dM_2$ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{G m dM_2}{r^2}$ છે, જે $dM_2$ ની દિશામાં લાગે છે.
ખંડો વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ હોવાથી, બળો $F_1$ અને $F_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે $(F_1 = -F_2)$.
તેથી, આ બે ખંડોને કારણે પરિણામી બળ $F_1 + F_2 = 0$ થાય છે.
સંમિતિને કારણે, રીંગ પરના દરેક દળના ખંડ માટે તેની સામે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં એક સમાન ખંડ હોય છે જે કેન્દ્ર પરના $m$ દળ પર સમાન અને વિરુદ્ધ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
આખી રીંગ પર આ બળોનો સરવાળો કરતા, કેન્દ્ર પરના $m$ દળ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થાય છે.

(A) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે ... $(i)$
તકતીનું કદ $V = \pi R^2 \times \text{જાડાઈ} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ થાય.
જ્યારે તકતીને $R_s$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ છે.
$R_s = \frac{R}{2}$ ને $I_{\text{sphere}}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ મળે છે.

(B) પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય છે.
આથી,$MR^2 = \frac{4}{5}I$ મળે છે.
તકતીના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$MR^2$ ની કિંમત મૂકતા,$I_z = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{2}{5}I$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ છે. $m_2$ દળને $S$ બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,જે બાજુ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$Q$ અને $R$ પરના દળો દ્વારા $S$ પરના $m_2$ દળ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે કારણ કે $S$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,આ બંને બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$m_2$ પર લાગતું પરિણામી બળ ફક્ત શિરોબિંદુ $P$ પર રહેલા $m_1$ દળને કારણે છે.
$\triangle PQS$ માં,બાજુ $PQ = \frac{L}{3}$ અને $\angle PQS = 60^{\circ}$ છે. અંતર $h$ (શિરોબિંદુ $P$ થી $QR$ પરનો વેધ) $h = PQ \sin 60^{\circ} = \frac{L}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L\sqrt{3}}{6}$ દ્વારા મળે છે.
$P$ પરના $m_1$ ને કારણે $m_2$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$:
$F = \frac{G m_1 m_2}{h^2} = \frac{G m_1 m_2}{(\frac{L\sqrt{3}}{6})^2} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{3L^2}{36}} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{L^2}{12}} = \frac{12 G m_1 m_2}{L^2}$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h_1$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_b = \sqrt{2gh_1}$ હોય છે.
અથડામણ પછી,પદાર્થનો વેગ $v_f = e \cdot v_b$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક છે.
ત્યારબાદ પદાર્થ $h_2$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે,જ્યાં $v_f = \sqrt{2gh_2}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $v_f$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{2gh_2} = e \sqrt{2gh_1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2gh_2 = e^2 (2gh_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $h_2 = e^2 h_1$ થાય છે.
અહીં $e = 0.6$ અને $h_1 = 1 \ m$ આપેલ છે:
$h_2 = (0.6)^2 \times 1 \ m = 0.36 \ m$.

(C) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે,વ્યાખ્યા મુજબ,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિ ઊર્જાનો વ્યય થાય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,$A$ ખોટું છે અને $B$ સાચું છે.

(C) કણ પર લાગતો આઘાત એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 4 \, s \times 6 \, N = 12 \, N \cdot s$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ, આઘાત $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
અહીં દળ $m = 2 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_i = 6 \, m/s$, અને આઘાત $J = 12 \, N \cdot s$ આપેલ છે.
$12 = 2(v_f - 6)$.
$6 = v_f - 6$.
$v_f = 12 \, m/s$.
આમ, કણનો અંતિમ વેગ $12 \, m/s$ છે.

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p = mv$ એ વેગમાન છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$KE_1 = KE_2$.
તેથી,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$.
આના પરથી $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$,અથવા $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ મળે.
અહીં $M_2$ દળ ધરાવતો પદાર્થ ભારે હોવાથી,$M_2 > M_1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_1}{M_2} < 1$.
પરિણામે,$\frac{p_1}{p_2} < 1$,જે સૂચવે છે કે $p_1 < p_2$.
$p = mv$ હોવાથી,$M_1 V_1 < M_2 V_2$ અથવા $M_2 V_2 > M_1 V_1$ થાય.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_1 = M V \hat{i}$.
$2M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_2 = 2M (3V \hat{j}) = 6MV \hat{j}$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_{initial} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
અથડામણ પછી,બંને પદાર્થો જોડાઈને $3M$ દળનો એક પદાર્થ બનાવે છે જે $\vec{v}_{final}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
કુલ અંતિમ વેગમાન: $\vec{p}_{final} = (M + 2M) \vec{v}_{final} = 3M \vec{v}_{final}$.
બંનેને સરખાવતા: $3M \vec{v}_{final} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
$3M$ વડે ભાગતા: $\vec{v}_{final} = \frac{V}{3} \hat{i} + 2V \hat{j}$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = V$ છે અને $s_1 = 30 \text{ cm}$ પ્રવેશ્યા પછી અંતિમ વેગ $v = V/2$ છે। અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ ધારતા, આપણે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ વાપરીએ: $v^2 = u^2 + 2as_1$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
હવે, બુલેટ સ્થિર થાય ત્યાં સુધીના વધારાના પ્રવેશ માટે, પ્રારંભિક વેગ $u' = V/2$ અને અંતિમ વેગ $v' = 0$ છે। ધારો કે વધારાનું અંતર $s_2$ છે।
$(v')^2 = (u')^2 + 2as_2$
$0 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = (V^2/4) \times (40/V^2) = 10 \text{ cm}$.

(D) પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરતા કણનું વેગમાન $\vec{p_1} = mv \hat{i}$ છે.
ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતા કણનું વેગમાન $\vec{p_2} = mv \hat{j}$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી $2m$ દળના સંયુક્ત કણનો વેગ $\vec{V'} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p_{final}}$.
$mv \hat{i} + mv \hat{j} = (2m) \vec{V'}$.
$2m$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{V'} = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ મળે છે.
પરિણામી વેગનું મૂલ્ય $V' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ થાય.

(D) મહત્તમ સંકોચન સમયે,નક્કર નળાકારની સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય ગતિ ક્ષણિક રીતે અટકી જાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગબડતા નળાકારની કુલ ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2} mR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$K.E. = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
આને સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
આપેલ છે કે $m = 3 \ kg$,$v = 4 \ m/s$,અને $k = 200 \ N/m$.
$\frac{1}{2} \times 200 \times x^2 = \frac{3}{4} \times 3 \times (4)^2$.
$100 x^2 = \frac{9}{4} \times 16 = 36$.
$x^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$x = 0.6 \ m$.

(B) બધી દિશાઓમાં છોડવામાં આવેલી ગોળીઓ જમીન પર એક વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લેશે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ જેટલી હોય છે.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\sin(2\theta) = 1$,તેથી $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$.
જમીન પર આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A = \pi R_{\max}^2$ છે.
$R_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ મળે છે.

(D) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ અને તેના કોણીય વેગમાન $L$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{L^2}{2I}$.
આના પરથી, કોણીય વેગમાનને $L = \sqrt{2KI}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_1 = K$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે.
જો ગતિ ઉર્જા ચાર ગણી કરવામાં આવે, તો નવી ગતિ ઉર્જા $K_2 = 4K$ થશે.
નવું કોણીય વેગમાન $L_2$ નીચે મુજબ મળશે:
$L_2 = \sqrt{2 K_2 I} = \sqrt{2(4K)I} = \sqrt{4(2KI)} = 2\sqrt{2KI}$.
કારણ કે $L = \sqrt{2KI}$, તેથી $L_2 = 2L$ થાય.

(B) વાઘને રોકવા માટે,છોડવામાં આવેલી ગોળીઓનું કુલ વેગમાન વાઘના વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $M$ એ વાઘનું દળ છે,$V$ એ વાઘનો વેગ છે,$m$ એ એક ગોળીનું દળ છે,$v$ એ એક ગોળીનો વેગ છે અને $n$ એ ગોળીઓની સંખ્યા છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$MV = n \times m \times v$
આપેલ છે:
$M = 60 \ kg$
$V = 12 \ m/s$
$m = 50 \ g = 0.05 \ kg$
$v = 240 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$60 \times 12 = n \times 0.05 \times 240$
$720 = n \times 12$
$n = \frac{720}{12} = 60$
તેથી,વ્યક્તિએ $60$ ગોળીઓ છોડવી પડશે.

(C) મશીનગન દ્વારા લાગતું બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 30 \text{ g} = 0.03 \text{ kg}$ છે.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 1000 \text{ m/s}$ છે.
ગન દ્વારા લાગતું બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = n \times m \times v$
અહીં $F = 300 \text{ N}$,$m = 0.03 \text{ kg}$,અને $v = 1000 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$300 = n \times 0.03 \times 1000$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$
તેથી,તે વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ વધુમાં વધુ $10$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં ઊંડાણ $d = \frac{R}{2}$ આપેલું છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 300 \ N$ છે.
$d$ ઊંડાણે પદાર્થનું વજન $W_d = mg_d$ થાય.
$g_d = \frac{g}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $W_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{1}{2} \times mg = \frac{1}{2} \times 300 \ N = 150 \ N$.

(B) કોઈપણ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
જ્યાં ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા ગોળાનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto R$ થાય છે.
પૃથ્વી માટે,$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
ગ્રહ માટે,ત્રિજ્યા $R_p = 3R$ અને ઘનતા $\rho_p = \rho$ છે.
તેથી,ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_n = \frac{4}{3} \pi G \rho (3R) = 3 \cdot (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 3g$ થાય.
$g_n = x \cdot g$ ને $g_n = 3g$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન $W_h = m g_h$ અને સપાટી પર $W = m g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W_h = \frac{W}{9}$,તેથી $m g_h = \frac{m g}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $g_h = \frac{g}{9}$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ અને સપાટી પર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આ કિંમતોને $g_h = \frac{g}{9}$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{GM}{R^2}$
$\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{9 R^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{3 R}$
$R + h = 3 R$
$h = 2 R$
તેથી,ઊંચાઈ $2 R$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_d = \frac{g}{2n}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{2n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{2n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{2n - 1}{2n}$.
તેથી,$d = R \left(\frac{2n - 1}{2n}\right)$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં આપેલી ઊંડાઈ $d = \frac{R}{3}$ છે.
સૂત્રમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/3}{R})$
$g_d = g(1 - \frac{1}{3})$
$g_d = g(\frac{2}{3})$
તેથી,તે ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{2g}{3}$ થશે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $d$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી $g$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 d \right) = \frac{4}{3} \pi G R d$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto R \cdot d$.
આપેલ ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{y}$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$ હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{d_1}{d_2} = \frac{x}{y} \times \frac{m}{n} = \frac{xm}{yn}$.
આમ,ગુણોત્તર $mx : ny$ થાય છે.

(C) ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ (જ્યાં $h \ll R$) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_d$ અને $g_h$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{g(1 - \frac{d}{R})}{g(1 - \frac{2h}{R})}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{\frac{R-d}{R}}{\frac{R-2h}{R}} = \frac{R-d}{R-2h}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વી $R$ ત્રિજ્યા અને સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતો ગોળો હોવાથી,તેનું દળ $M$ ને $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$M$ ની કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $g = \frac{4}{3} \pi \rho GR$ મળે છે.

(A) કોઈપણ અક્ષાંશ $\phi$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $g_{0}$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે (પરિભ્રમણને અવગણતા).
વિષુવવૃત્ત પર,$\phi = 0^{\circ}$,તેથી $g = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 0^{\circ} = g_{0} - R \omega^2$.
અક્ષાંશ $\phi = 30^{\circ}$ પર,$g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 30^{\circ} = g_{0} - R \omega^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2$.
હવે,તફાવત $|g - g_{\phi}|$ ની ગણતરી કરતા:
$|g - g_{\phi}| = |(g_{0} - R \omega^2) - (g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2)|$
$|g - g_{\phi}| = |-\frac{1}{4} R \omega^2| = \frac{1}{4} R \omega^2$.

(D) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે: $K.E. = \frac{GMm}{2r}$.
તે જ અંતરે ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ છે: $P.E. = -\frac{GMm}{r}$.
આપણે સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
ગુણોત્તર: $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{-GMm/r}{GMm/2r} = -2$.
અહીં સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ હોવાથી ગુણોત્તર $-2$ મળે છે. જો માત્ર મૂલ્યની વાત કરવામાં આવે તો તે $2$ થાય.

(C) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષા જાળવી રાખે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે ઉપગ્રહનો સમક્ષિતિજ વેગ $(V_{H})$ એ ક્રાંતિક વેગ $(V_{c})$ જેટલો હોય,જેને કક્ષીય વેગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
જો $V_{H} < V_{c}$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વી તરફ નીચે પડશે.
જો $V_{H} > V_{c}$ હોય પરંતુ $V_{e}$ કરતા ઓછો હોય,તો કક્ષા લંબગોળ બને છે.
જો $V_{H} = V_{e}$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જાય છે.
તેથી,સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષા માટેની સાચી શરત $V_{H} = V_{c}$ છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2}$,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ $0$ છે,તેથી $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ સરખાવતા: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(D) કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે $r_1$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર છે અને $r_2$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર છે.
કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર: $r_1 = 3R + R = 4R$.
કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર: $r_2 = R + R = 2R$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા: $U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{4R}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા: $U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = 0$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$.
$0 + (-\frac{GMm}{4R}) = K_2 + (-\frac{GMm}{2R})$.
$K_2 = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{GMm}{4R}$.

(A) ગ્રહને તારાની આસપાસ ભ્રમણ કરવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto r^{-7/2}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
બળોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $m \omega^2 r \propto r^{-7/2}$.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$\omega^2 r \propto r^{-7/2}$.
$r$ વડે ભાગતા,આપણને $\omega^2 \propto r^{-9/2}$ મળે છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \propto r^{-9/2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{T^2} \propto r^{-9/2}$.
તેથી,$T^2 \propto r^{9/2}$ થાય.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
અહીં $v = \frac{v_e}{3}$ આપેલ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
$v^2 = \frac{v_e^2}{9} = \frac{2GM}{9R}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{9R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{9R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-9}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{-8}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta U = mgR^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ મળે.
આપેલ છે કે $\Delta U = \frac{mgR}{5}$,તેથી $\frac{mgR}{5} = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ સરખાવતા:
$\frac{1}{5} = \frac{h}{R+h} \implies R+h = 5h \implies 4h = R \implies h = \frac{R}{4}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક બિંદુ ($R_0$ અંતરે) પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી ($R$ અંતરે) પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,$E_i = E_f$:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R_0} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
તેથી,પ્રાપ્ત વેગ $v$:
$v = \left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) સેકન્ડ્સ લોલક એવું લોલક છે જેનો આવર્તકાળ $2 \text{ s}$ હોય છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતી સ્પેસ લેબોરેટરીમાં,લેબોરેટરી અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે લેબોરેટરીની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g_{\text{eff}})$ $0$ છે.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ છે.
સૂત્રમાં $g_{\text{eff}} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ મળે છે.
તેથી,લોલકનો આવર્તકાળ અનંત હશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$ મળે.
અહીં ઊંચાઈ $h = R$ આપેલી છે,તેથી $h$ ની જગ્યાએ $R$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$T = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ મળે.

(C) વિષુવવૃત્ત પર,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું વજન શૂન્ય થવા માટે,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $g' = 0$.
તેથી,$g - R\omega^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $R\omega^2 = g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{g}{R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
અહીં $g = 10 \,ms^{-2}$ અને $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}}$
$\omega = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \,rad/s$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $m$ દળના ઉપગ્રહને લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$E_1 = U_h - U_R = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_1 = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mghR}{R+h}$.
$h$ ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E_{orbit} = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ છે.
તે ઊંચાઈએ તેને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ભ્રમણકક્ષાની ઊર્જા અને સપાટી પરની ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$E_2 = E_{orbit} - U_R = -\frac{GMm}{2(R+h)} + \frac{GMm}{R} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)} \right) = GMm \left( \frac{2R+2h-R}{2R(R+h)} \right) = \frac{GMm(R+2h)}{2R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_2 = \frac{mgR^2(R+2h)}{2R(R+h)} = \frac{mgR(R+2h)}{2(R+h)}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mghR}{R+h} \times \frac{2(R+h)}{mgR(R+2h)} = \frac{2h}{R+2h}$.
જ્યારે $h \ll R$ હોય,ત્યારે $R+2h \approx R$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{2h}{R}$ થાય.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m r \omega^2 = \frac{G M m}{r^2}$
જ્યાં $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega^2 = \frac{G M}{r^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M = g R^2$.
$\omega^2$ ના સમીકરણમાં $G M$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{g R^2}{r^3}$
$r$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$r^3 = \frac{g R^2}{\omega^2}$
$r = \left(\frac{g R^2}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

(B) બે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ થાય.
ઘનતા $\rho$ ધરાવતા દરેક ગોળાનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ થાય.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = \frac{G \times \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
અહીં $G$,$\pi$,અને $\rho$ અચળાંક હોવાથી,$F \propto R^4$ મળે.
તેથી,$x = 4$.

(C) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ અને સ્વતંત્રતાની માત્રા $f$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$.
અહીં આપેલ છે કે સ્વતંત્રતાની માત્રા $f = X$ છે.
સૂત્રમાં $f$ ની જગ્યાએ $X$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\gamma = 1 + \frac{2}{X}$.

(C) $\text{કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.}$
$\text{ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.}$
$m_{\text{metal}} \times s_{\text{metal}} \times \Delta T_{\text{metal}} = m_{\text{water}} \times s_{\text{water}} \times \Delta T_{\text{water}}$
$\text{આપેલ છે: } m_{\text{metal}} = 100 \,g,T_{\text{initial, metal}} = 80^{\circ} C,T_{\text{final}} = 15.69^{\circ} C,m_{\text{water}} = 1000 \,g,T_{\text{initial, water}} = 15^{\circ} C,s_{\text{water}} = 4.18 \,J/g^{\circ} C.$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$100 \times s_{\text{metal}} \times (80 - 15.69) = 1000 \times 4.18 \times (15.69 - 15)$
$100 \times s_{\text{metal}} \times 64.31 = 1000 \times 4.18 \times 0.69$
$6431 \times s_{\text{metal}} = 2884.2$
$s_{\text{metal}} = \frac{2884.2}{6431} \approx 0.4485 \,J/g^{\circ} C \approx 0.45 \,J/g^{\circ} C.$

(A) આપેલ છે કે,$V_2 = \frac{V_1}{4}$ અને $\gamma = 1.5$.
પ્રક્રિયા અચાનક થતી હોવાથી,તે એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ મળે છે.
અહીં $\frac{V_1}{V_2} = 4$ અને $\gamma - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$ હોવાથી,$T_2 = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2 = 2 T_1$ થાય.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 2 T_1 - T_1 = T_1$ છે.
વાયુ સામાન્ય તાપમાને હોવાથી,$T_1 = 273 \ K$ છે.
તેથી,તાપમાનમાં થતો વધારો $273 \ K$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C_p - C_v = R$
સમીકરણની બંને બાજુઓને $C_v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$
$C_v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ થાય.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\gamma_2}{\gamma_1} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(D) $f$ મુક્તિના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V} = \frac{f}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P} = C_{V} + R = (\frac{f}{2} + 1)R = \frac{f+2}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{f+2}{f}$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં,અણુઓને બિંદુવત દળ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જેમાં અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
આંતર-આણ્વીય બળો ન હોવાથી,અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિજ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે તેના અણુઓની તેમની યાદચ્છિક સ્થાનાંતરિત ગતિને કારણે ઉદ્ભવતી ગતિજ ઉર્જાનો બનેલો હોય છે.
એક-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિજ ઉર્જા દર્શાવે છે.

(A) $PV$ ના એકમો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
દબાણ $(P)$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N/m^2$ અથવા $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ છે.
કદ $(V)$ નો $SI$ એકમ $m^3$ છે.
તેથી,$PV$ ગુણાકારનો એકમ:
એકમ $= (kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \times (m^3) = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ થાય.
આમ,$1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ હોવાથી,આ એકમ ઉર્જા (અથવા કાર્ય) ના એકમ સમાન છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એવા પદાર્થની જરૂર હોય છે જેનું સરળતાથી ચુંબકીયકરણ અને વિ-ચુંબકીયકરણ થઈ શકે.
આ પ્રાપ્ત કરવા માટે,પદાર્થની રિટેન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) ઓછી હોવી જોઈએ જેથી જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે તે ચુંબકત્વ જાળવી ન રાખે.
વધુમાં,તેની કોર્સિવિટી (કોર્સિવ ફોર્સ) પણ ઓછી હોવી જોઈએ જેથી તેને નાના વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સરળતાથી વિ-ચુંબકીય કરી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ઓછી રિટેન્ટિવિટી અને ઓછી કોર્સિવિટી છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = V_0$
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 4.8 \quad ...(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં તરંગલંબાઈ $2\lambda$ છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 1.6 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{4.8}{1.6} = 3$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0}$
$\frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$eV = \frac{4hc}{2\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ ..... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda_0 = 3\lambda$

(D) $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I_{1}$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = B_{1} A_{2}$ છે,જ્યાં $A_{2} = \pi R_{2}^{2}$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $R_{1} >> R_{2}$ છે,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે $M = \frac{B_{1} A_{2}}{I_{1}} = \frac{(\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}) (\pi R_{2}^{2})}{I_{1}} = \frac{\mu_{0} \pi R_{2}^{2}}{2 R_{1}}$.
આમ,$M \propto \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
આમ,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$.
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$.
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$.
$\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,$L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$.
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$.

(B) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin(100t - \frac{\pi}{2}) \ A$ છે અને વોલ્ટેજ $e = 200 \sin(100t) \ V$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
અહીં $\phi = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 90^{\circ} = 0$ થાય.
તેથી,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$.

(D) સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
આ આવૃત્તિ પર,સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ ન્યૂનતમ હોય છે કારણ કે ઇમ્પિડન્સ $Z$ અનંત બને છે.
સર્કિટ સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવાથી,ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ પરનો વોલ્ટેજ સ્ત્રોતના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
જોકે,રેઝોનન્સ સમયે સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,$L$ અને $C$ વચ્ચેનો ફરતો પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે,જેના પરિણામે ઘટકો પર વોલ્ટેજ મહત્તમ મળે છે.

(D) $LR$ સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 4 \cos(1000 t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_0 = 4 \ V$ અને $\omega = 1000 \ rad/s$ મળે છે.
અહીં $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને $R = 4 \ \Omega$ આપેલ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \ \Omega$ થાય.
હવે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ \Omega$ મળે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \ A$ થાય.

(D) સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે,અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_C)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહો $I_L$ અને $I_C$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર છે.
સોર્સમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ બંને પ્રવાહોના તફાવતનું મૂલ્ય છે:
$I = |I_C - I_L|$
અહીં $I_L = 0.6 \,A$ અને $I_C = 0.9 \,A$ આપેલ છે.
$I = |0.9 \,A - 0.6 \,A| = 0.3 \,A$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ ના વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે,અને કેપેસિટર $(V_C)$ ના વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
શ્રેણી સર્કિટમાં તમામ ઘટકો માટે પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $180^{\circ}$ હોય છે.
જોકે,વ્યક્તિગત વોલ્ટેજ $V_L$ અને $V_C$ સોર્સ વોલ્ટેજ $(V_S)$ સાથે સમાન ફેઝમાં હોતા નથી,સિવાય કે સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોય.
તેથી,'સોર્સ વોલ્ટેજ સાથે સમાન ફેઝમાં' હોવાનું વિધાન ખોટું છે,જે $D$ ને સાચો વિકલ્પ બનાવે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે અને $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું મૂલ્ય પ્રભાવી હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,જેનાથી ઈમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ બને છે અને તે $R$ જેટલો થાય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી વધે છે,તેમ $X_L$ પ્રભાવી બને છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ફરીથી વધવા લાગે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,અનુનાદ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને પછી વધે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે,જ્યાં $V_C = I X_C$.
અનુનાદ સમયે,બંને ઘટકોમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે. $X_L = X_C$ હોવાથી,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C$ થાય છે.
$X_C = X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ મૂકતા,આપણને $U_C = \frac{1}{2} C (I X_C)^2 = \frac{1}{2} C I^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} \frac{I^2}{\omega^2 C}$ મળે છે.
અનુનાદ સમયે $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ હોવાથી,$U_C = \frac{1}{2} \frac{I^2}{(1/LC) C} = \frac{1}{2} L I^2$ થાય છે.
આમ,$U_L = U_C$,અને સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, કુલ વોલ્ટેજ (e.m.f.) '$e$' એ દરેક ઘટક પરના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 80 \,V$
$V_C = 40 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \sqrt{(40)^2 + (80 - 40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + (40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + 1600}$
$e = \sqrt{3200}$
$e = \sqrt{1600 \times 2}$
$e = 40 \sqrt{2} \,V$

(D) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$X_L = L\omega = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ રેખીય રીતે વધે છે,જ્યારે કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું પ્રભુત્વ હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,જેનાથી ઈમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે,જે તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જેમ $f$ એ $f_0$ થી વધે છે,તેમ $X_L$ નું પ્રભુત્વ વધે છે,જેના કારણે $Z$ વધે છે.
તેથી,ઈમ્પિડન્સ પહેલા ઘટે છે,ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને પછી વધે છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $E_{max} = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય, ત્યારે કેપેસિટરમાં રહેલી ઉર્જા મહત્તમ ઉર્જાની અડધી હોય છે, એટલે કે $E_{cap} = \frac{1}{2} E_{max}$.
ધારો કે આ ક્ષણે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'$ છે. તો, $E_{cap} = \frac{Q'^2}{2C}$.
$E_{cap}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Q'^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$Q'^2 = \frac{Q^2}{2}$
$Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
rms પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$.
આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = R$,તેથી ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ થાય.
$Z^2 = 2 R^2$ ને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(B) $LCR$ $a.c.$ સર્કિટમાં,પ્રવાહના વહન સામેના કુલ અસરકારક અવરોધને ઈમ્પીડન્સ કહેવામાં આવે છે,જેને $Z$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઈમ્પીડન્સના વ્યસ્ત $(1/Z)$ ને એડમિટન્સ કહેવામાં આવે છે,જેને $Y$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$Y = 1/Z$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $45^{\circ}$ આગળ હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = -45^{\circ}$ લેવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-1 = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-R = X_L - X_C$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $X_C = X_L + R$.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,અને પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,અને $V_{rms} = 0.1 \ V$.
અનુનાદ સમયે પરિપથમાં પ્રવાહ $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) આપેલ પરિપથ એ શ્રેણી $LCR$ પરિપથ છે જ્યાં બલ્બ અવરોધ $R$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ (resonance) સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોય છે. આ આવૃત્તિએ,ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ હોય છે અને પ્રવાહ $I$ મહત્તમ $(I = \frac{V}{R})$ હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ નીચા મૂલ્યથી વધે છે,તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે અનુનાદ આવૃત્તિ સુધી ન પહોંચે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ અને બલ્બની તેજસ્વિતા વધીને મહત્તમ થાય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ અનુનાદ આવૃત્તિથી આગળ વધે છે,તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ ફરીથી વધે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ અને બલ્બની તેજસ્વિતા ઘટે છે.
તેથી,તેજસ્વિતા વધે છે,અનુનાદ સમયે મહત્તમ થાય છે અને પછી ઘટે છે.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $X_C \propto \frac{1}{f}$.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 50 \ Hz$ અને પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C1} = 5 \ \Omega$ આપેલ છે.
નવી આવૃત્તિ $f_2 = 100 \ Hz$ છે.
અહીં $f_2 = 2 f_1$ હોવાથી,નવું રિએક્ટન્સ $X_{C2}$ નીચે મુજબ થશે:
$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{5 \ \Omega}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
અહીં નવી આવૃત્તિ $f' = 2f$ અને નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 3L$ આપેલ છે.
તેથી,નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}'$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$X_{L}' = 2 \pi f' L'$
$X_{L}' = 2 \pi (2f) (3L)$
$X_{L}' = 6 \times (2 \pi f L)$
કારણ કે $X_{L} = 2 \pi f L$,તેથી $X_{L}' = 6 X_{L}$ થાય.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = X \ \Omega$ છે.
તેથી,$X = \frac{1}{2 \pi f C}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$ અને કેપેસિટન્સ બમણું કરવામાં આવે $(C' = 2C)$,ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C'$ નીચે મુજબ મળે:
$X_C' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_C' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
કારણ કે $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$X_C' = \frac{X}{4} \ \Omega$.

(B) તત્કાલીન e.m.f. $e = 200 \sin(50t) \text{ V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = e_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા, આપણને મહત્તમ e.m.f. $e_0 = 200 \text{ V}$ મળે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ ની ગણતરી કરતા: $I_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$.
પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $I_{\text{rms}}$ સૂત્ર $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\text{rms}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \text{ A}$.
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી, $I_{\text{rms}} = 2 \times 1.414 = 2.828 \text{ A}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $L_1 = L_2 = L = 60 mH = 60 \times 10^{-3} H$.
પ્રવાહ $I = 2.2 A$.
જ્યારે બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$.
તેથી,$L_{eq} = \frac{L}{2} = \frac{60 mH}{2} = 30 mH = 30 \times 10^{-3} H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (30 \times 10^{-3}) \times (2.2)^2$.
$U = 0.5 \times 30 \times 10^{-3} \times 4.84$.
$U = 15 \times 10^{-3} \times 4.84 = 0.0726 J$.

(D) જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે. આ સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે અને પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે $R = 20 \ \Omega$.
તેથી,$Z = R = 20 \ \Omega$.
આપેલ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \ V$ છે. મહત્તમ વોલ્ટેજ $e_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \ V$ થાય.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \ A$ મળે.
આપણે $11 \sqrt{2} = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \ A$ લખી શકીએ.
આને $\sqrt{x} \ A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 242$ મળે છે.

(A) આપેલ પરિપથ $LCR$ શ્રેણી પરિપથ છે જેમાં $X_L = 200 \, \Omega$, $X_C = 100 \, \Omega$, $R = 100 \, \Omega$ અને $V_{rms} = 200 \sqrt{2} \, V$ છે.
પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ (impedance) $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2} \, \Omega$
પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $i_{rms}$ નીચે મુજબ છે:
$i_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
$i_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2 \, A$
આમ, પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $2 \, A$ છે.

(C) આપેલ માહિતી: $E = 15 \, V$, $f = 50 \, Hz$, $I = 0.5 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ (અવરોધકતા) $Z = \frac{E}{I} = \frac{15}{0.5} = 30 \, \Omega$ છે।
$LR$ પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\tan \frac{\pi}{3} = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = \sqrt{3}R$.
ઈમ્પિડન્સનું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે।
$X_L = \sqrt{3}R$ મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
અહીં $Z = 30 \, \Omega$ હોવાથી, $2R = 30 \, \Omega$ થાય.
તેથી, $R = \frac{30}{2} = 15 \, \Omega$.

(D) આપેલ છે: $E_v = 15 \, V$, $I = 0.3 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
$LR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{E_v}{I} = \frac{15}{0.3} = 50 \, \Omega$ છે।
$LR$ સર્કિટમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{50}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, તેથી $\frac{1}{2} = \frac{R}{50}$.
આમ, $R = \frac{50}{2} = 25 \, \Omega$ મળે છે।

(A) પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_I = \omega t - \pi / 6$ છે.
વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_E = \omega t + \pi / 3$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\Delta \phi = \phi_E - \phi_I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta \phi = (\omega t + \pi / 3) - (\omega t - \pi / 6)$.
$\Delta \phi = \pi / 3 + \pi / 6 = 2\pi / 6 + \pi / 6 = 3\pi / 6 = \pi / 2$.
$\Delta \phi$ ધન હોવાથી,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ જેટલો આગળ છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં પાવરનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે।
અહીં $P = 1000 \,W$ અને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 200 \,V$ આપેલ છે।
$r.m.s.$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \,V$ થાય।
ધારો કે લેમ્પ્સ શુદ્ધ અવરોધક છે, તેથી ફેઝ એંગલ $\phi = 0^{\circ}$ અને $\cos \phi = 1$ થાય।
તેથી, $1000 = \left( \frac{200}{\sqrt{2}} \right) I_{rms} \times 1$.
$I_{rms} = \frac{1000 \times \sqrt{2}}{200} = 5 \sqrt{2} \,A$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે. આ આવૃત્તિ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ સમાન છે:
$X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $\omega$ આવૃત્તિ પર $X_L = X_C = X$.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ થાય છે.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = \omega' L = (2\omega) L = 2X_L = 2X$ છે.
નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(2\omega) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{X}{2}$ છે.
નવા કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અને નવા ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{X_C'}{X_L'} = \frac{X/2}{2X} = \frac{1}{4}$.

(C) $AC$ પરિપથમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોટલેસ હોય,ત્યારે વપરાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $P = 0$.
તેથી,$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0$.
અહીં $V_{rms}$ અને $I_{rms}$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \phi = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ફેઝ તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ એ.સી. વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે।
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ થાય।
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ મળે।
એ.સી. એમીટર એ આર.એમ.એસ. $(RMS)$ પ્રવાહ માપે છે, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(B) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = R$,તેથી $P_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે કેપેસિટર $C$ ને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી $X_C = X_L$ થાય,ત્યારે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $X_L = X_C$,તેથી ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$.
નવો પાવર ફેક્ટર $P_2 = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$ થાય.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 3 \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = 27 \ \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \text{ F}$.
બેન્ડવિડ્થ $(\Delta \omega) = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \text{ rad/s}$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q) = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{3}{27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}} = \frac{100}{3}$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર = $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = 10 \text{ s}$.

(A) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના કળા તફાવતથી પાછળ રહે છે.
શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના કળા તફાવતથી આગળ રહે છે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં પાવર ફેક્ટર $\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.

(B) $R-L$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2R^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $R^2 = X_L^2$ અથવા $X_L = R$.
કારણ કે $X_L = \omega L = 2\pi f L$,જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$ એ $2X_L = 2R$ થશે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi' = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L')^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(C) વોલ્ટેજ અને આંટાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું ટ્રાન્સફોર્મરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$
આપેલ છે:
પ્રાઇમરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા,$N_p = 20$
સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા,$N_s = 100$
મહત્તમ પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ,$V_{p, \text{max}} = 600 \text{ V}$
સેકન્ડરી વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય $(V_{s, \text{max}})$ શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$V_{s, \text{max}} = \frac{N_s}{N_p} \times V_{p, \text{max}}$
$V_{s, \text{max}} = \frac{100}{20} \times 600$
$V_{s, \text{max}} = 5 \times 600 = 3000 \text{ V}$
આમ,સેકન્ડરી આઉટપુટ વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય $3000 \text{ V}$ છે.

(D) ટ્રાન્સફોર્મરનું સમીકરણ $\frac{E_p}{E_s} = \frac{N_p}{N_s}$ છે.
અહીં $E_p = 80 \,V$,$N_p = 1000$,અને $N_s = 3000$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{80}{E_s} = \frac{1000}{3000}$.
$E_s = 80 \times 3 = 240 \,V$.
સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{E_s}{N_s}$ થાય.
$\text{પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત} = \frac{240}{3000} = 0.08 \,V$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,જ્યારે કોઈ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે,ત્યારે તેમાં e.m.f. પ્રેરિત થાય છે.
ટ્રાન્સફોર્મરમાં,પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી અલ્ટરનેટિંગ પ્રવાહ વહે છે,જે અલ્ટરનેટિંગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ અલ્ટરનેટિંગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આયર્ન કોર દ્વારા ગૌણ ગૂંચળા સાથે જોડાયેલું હોય છે.
જેમ જેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાય છે,તેમ ગૌણ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ પણ બદલાય છે.
તેથી,ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતું અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. મુખ્યત્વે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે હોય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$E_k = hv - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0 = hv_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
બે આવૃત્તિઓ $v_1$ અને $v_2$ માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_{K_1} = h(v_1 - v_0)$
$E_{K_2} = h(v_2 - v_0)$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{E_{K_1}}{E_{K_2}} = \frac{1}{x}$ પરથી:
$\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{x}$
$x(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$
$xv_1 - xv_0 = v_2 - v_0$
$xv_1 - v_2 = xv_0 - v_0$
$xv_1 - v_2 = v_0(x - 1)$
$v_0 = \frac{xv_1 - v_2}{x - 1}$

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયનો માટે રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
બંને આયનો માટે સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે,તેથી પદ $\left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = \frac{3}{4}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હિલિયમ $(He^+)$ માટે,$Z_{He} = 2$,તેથી $\lambda_{He} \propto \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
લિથિયમ $(Li^{++})$ માટે,$Z_{Li} = 3$,તેથી $\lambda_{Li} \propto \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{Li}} = \frac{1/4}{1/9} = \frac{9}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(B) લાયમન શ્રેણી એ ઇલેક્ટ્રોનના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$ આપેલ છે.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1240 \text{ eV-nm}}{10.2 \text{ eV}}$.
$\lambda \approx 121.57 \text{ nm}$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા, $\lambda \approx 122 \text{ nm}$ મળે છે.

(A) પાશ્ચન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144} \implies \lambda_{\max} = \frac{144}{7R}$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{\min} = \frac{9}{R}$
સૌથી લાંબી અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{144/7R}{9/R} = \frac{144}{7 \times 9} = \frac{144}{63}$

(A) રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right]$,જ્યાં $R_H$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે બામર શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે: $n=2, m=\infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - 0 \right] = \frac{R_H}{4}$,જે $\lambda_1 = \frac{4}{R_H}$ આપે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બ્રેકેટ શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે: $n=4, m=\infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{4^2} - 0 \right] = \frac{R_H Z^2}{16}$,જે $\lambda_2 = \frac{16}{R_H Z^2}$ આપે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = \lambda_2$,તેથી $\frac{4}{R_H} = \frac{16}{R_H Z^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$Z^2 = \frac{16}{4} = 4$,તેથી $Z = 2$.

(B) $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂચવે છે કે $v_n \propto \frac{1}{n}$.
ધરા અવસ્થા માટે $n_1 = 1$ અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n_2 = 2$ છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 0.5 v_1$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = |v_2 - v_1| = |0.5 v_1 - v_1| = 0.5 v_1$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta v}{v_1} \times 100\% = \frac{0.5 v_1}{v_1} \times 100\% = 50\%$ છે.

(D) Rydberg ના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
Lyman શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે,$n=1, m=\infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda_1} = R(1 - 0) = R$.
Lyman શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n=1, m=2$,તેથી $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
Balmer શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે,$n=2, m=\infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R - \frac{3R}{4} = \frac{R}{4}$.
કારણ કે $\frac{R}{4} = \frac{1}{\lambda_3}$,તેથી આપણને $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$ સંબંધ મળે છે.

(C) વર્ણપટ શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. $2^{\text{nd}}$ રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_1} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{16}{3 R Z^2}$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. $1^{\text{st}}$ રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_2} = R Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{7}{144} \right)$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{144}{7 R Z^2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{16}{3 R Z^2} \right) \times \left( \frac{7 R Z^2}{144} \right) = \frac{16 \times 7}{3 \times 144} = \frac{7}{27}$.

(D) બામર શ્રેણીની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં બામર શ્રેણી માટે $n_1 = 2$ છે.
શ્રેણી સીમા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આવૃત્તિ $v$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રકાશના વેગ $c$ સાથે $v = \frac{c}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $v = c \times \frac{R}{4} = \frac{Rc}{4}$.