MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$।
चूंकि गैस मोनोएटॉमिक है,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है। इसलिए,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$।
सिलेंडर में गैस का आयतन $V = A \times L$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ गैस कॉलम की लंबाई है।
$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ रखने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को तापमान अनुपात के समीकरण में रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$।

(C) सरल आवर्त गति के लिए,स्थिति $x$ पर वेग $v$ का सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ होता है।
यहाँ आयाम $a$ और आवर्तकाल $T$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
$x = \frac{a}{2}$ पर चाल:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ का मान रखने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$ (नियतांक),जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\lambda}$।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन के नियम के अनुसार,उत्सर्जन शक्ति $E$ (या प्रति इकाई क्षेत्रफल विकिरित शक्ति) $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम में $T \propto \frac{1}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4$ या $E \propto \lambda^{-4}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(\lambda_1, E_1)$ है और अंतिम स्थिति $(\lambda_2, E_2)$ है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = \lambda$ और $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^4 = \left(\frac{\lambda}{\frac{2\lambda}{3}}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$।
इस प्रकार,$E_2 = \frac{81}{16} E$।

(A) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की छड़ द्वारा निर्मित वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें। मान लीजिए इस वृत्त की त्रिज्या $r$ है। परिधि $2 \pi r = L$ है, इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$ है।
वलय पर दो व्यासाग्रतः विपरीत छोटे द्रव्यमान खंडों $dM_1$ और $dM_2$ पर विचार करें।
केंद्र पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर खंड $dM_1$ द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{G m dM_1}{r^2}$ है, जो $dM_1$ की दिशा में कार्य करता है।
केंद्र पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर व्यासाग्रतः विपरीत खंड $dM_2$ द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{G m dM_2}{r^2}$ है, जो $dM_2$ की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि खंड व्यासाग्रतः विपरीत हैं, इसलिए बल $F_1$ और $F_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं $(F_1 = -F_2)$।
अतः, इन दो खंडों के कारण परिणामी बल $F_1 + F_2 = 0$ है।
सममिति के कारण, वलय पर प्रत्येक द्रव्यमान खंड के लिए एक संबंधित व्यासाग्रतः विपरीत खंड होता है जो केंद्र पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर समान और विपरीत गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है।
पूरी वलय पर इन बलों का योग करने पर, केंद्र पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।

(A) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है ... $(i)$
डिस्क का आयतन $V = \pi R^2 \times \text{मोटाई} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ है।
जब डिस्क को $R_s$ त्रिज्या वाले ठोस गोले में बदला जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ होता है।
$R_s = \frac{R}{2}$ को $I_{\text{sphere}}$ के व्यंजक में रखने पर:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) डिस्क के तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः पतली वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$।
इससे हमें $MR^2 = \frac{4}{5}I$ प्राप्त होता है।
डिस्क के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$MR^2$ का मान रखने पर,$I_z = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{2}{5}I$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P, Q,$ और $R$ हैं। द्रव्यमान $m_2$ को बिंदु $S$ पर रखा गया है,जो भुजा $QR$ का मध्य बिंदु है।
$Q$ और $R$ पर स्थित द्रव्यमानों द्वारा $S$ पर स्थित $m_2$ पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं क्योंकि $S, QR$ का मध्य बिंदु है। अतः,ये दोनों बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$m_2$ पर लगने वाला कुल बल केवल शीर्ष $P$ पर स्थित द्रव्यमान $m_1$ के कारण है।
$\triangle PQS$ में,भुजा $PQ = \frac{L}{3}$ और $\angle PQS = 60^{\circ}$ है। दूरी $h$ (शीर्ष $P$ से $QR$ पर लंब) $h = PQ \sin 60^{\circ} = \frac{L}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L\sqrt{3}}{6}$ द्वारा दी जाती है।
$P$ पर स्थित $m_1$ के कारण $m_2$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{h^2} = \frac{G m_1 m_2}{(\frac{L\sqrt{3}}{6})^2} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{3L^2}{36}} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{L^2}{12}} = \frac{12 G m_1 m_2}{L^2}$.

(B) जब कोई वस्तु $h_1$ ऊँचाई से गिरती है,तो टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_b = \sqrt{2gh_1}$ होता है।
टक्कर के बाद,वस्तु का वेग $v_f = e \cdot v_b$ हो जाता है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
इसके बाद वस्तु $h_2$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है,जहाँ $v_f = \sqrt{2gh_2}$ होता है।
समीकरण में $v_f$ का मान रखने पर,हमें $\sqrt{2gh_2} = e \sqrt{2gh_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2gh_2 = e^2 (2gh_1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $h_2 = e^2 h_1$ मिलता है।
यहाँ $e = 0.6$ और $h_1 = 1 \ m$ दिया गया है:
$h_2 = (0.6)^2 \times 1 \ m = 0.36 \ m$।

(C) कथन $A$ गलत है क्योंकि,परिभाषा के अनुसार,एक अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
अतः,$A$ गलत है और $B$ सही है।

(C) कण पर लगाया गया आवेग बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4 \, s \times 6 \, N = 12 \, N \cdot s$.
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार, आवेग $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \, kg$, प्रारंभिक वेग $v_i = 6 \, m/s$, और आवेग $J = 12 \, N \cdot s$ दिया गया है।
$12 = 2(v_f - 6)$.
$6 = v_f - 6$.
$v_f = 12 \, m/s$.
अतः, कण का अंतिम वेग $12 \, m/s$ है।

(D) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ होता है,जहाँ $p = mv$ संवेग है।
चूंकि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $KE_1 = KE_2$ है।
अतः,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$।
इससे हमें $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$,या $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M_2$ द्रव्यमान वाली वस्तु भारी है,इसलिए $M_2 > M_1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{M_1}{M_2} < 1$ है।
परिणामस्वरूप,$\frac{p_1}{p_2} < 1$,जो दर्शाता है कि $p_1 < p_2$ है।
चूंकि $p = mv$ है,इसलिए $M_1 V_1 < M_2 V_2$ या $M_2 V_2 > M_1 V_1$ होगा।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_1 = M V \hat{i}$.
$2M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_2 = 2M (3V \hat{j}) = 6MV \hat{j}$.
कुल प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_{initial} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
टक्कर के बाद,दोनों पिंड जुड़कर $3M$ द्रव्यमान का एक पिंड बनाते हैं जो $\vec{v}_{final}$ वेग से गति करता है।
कुल अंतिम संवेग: $\vec{p}_{final} = (M + 2M) \vec{v}_{final} = 3M \vec{v}_{final}$.
दोनों को बराबर करने पर: $3M \vec{v}_{final} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
$3M$ से भाग देने पर: $\vec{v}_{final} = \frac{V}{3} \hat{i} + 2V \hat{j}$.

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u = V$ है और $s_1 = 30 \text{ cm}$ प्रवेश करने के बाद अंतिम वेग $v = V/2$ है। एकसमान मंदन $a$ मानते हुए, हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as_1$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
अब, गोली के स्थिर होने तक और अधिक प्रवेश के लिए, प्रारंभिक वेग $u' = V/2$ है और अंतिम वेग $v' = 0$ है। मान लीजिए अतिरिक्त दूरी $s_2$ है।
$(v')^2 = (u')^2 + 2as_2$
$0 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = (V^2/4) \times (40/V^2) = 10 \text{ cm}$.

(D) पूर्व की ओर गति करने वाले कण का संवेग $\vec{p_1} = mv \hat{i}$ है।
उत्तर की ओर गति करने वाले कण का संवेग $\vec{p_2} = mv \hat{j}$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद $2m$ द्रव्यमान के संयुक्त कण का वेग $\vec{V'} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p_{final}}$।
$mv \hat{i} + mv \hat{j} = (2m) \vec{V'}$।
$2m$ से भाग देने पर,हमें $\vec{V'} = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
परिणामी वेग का परिमाण $V' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ होगा।

(D) अधिकतम संपीड़न पर,ठोस बेलन की स्थानांतरण और घूर्णन गति क्षण भर के लिए रुक जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लुढ़कते हुए बेलन की कुल गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2} mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
इसे स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर,$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
दिया गया है $m = 3 \ kg$,$v = 4 \ m/s$,और $k = 200 \ N/m$.
$\frac{1}{2} \times 200 \times x^2 = \frac{3}{4} \times 3 \times (4)^2$.
$100 x^2 = \frac{9}{4} \times 16 = 36$.
$x^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$x = 0.6 \ m$.

(B) सभी दिशाओं में चलाई गई गोलियां जमीन पर एक वृत्ताकार क्षेत्र को कवर करेंगी।
इस वृत्त की त्रिज्या प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ के बराबर होती है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम परास के लिए,$\sin(2\theta) = 1$,इसलिए $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$।
जमीन पर कवर किया गया क्षेत्रफल $A = \pi R_{\max}^2$ है।
$R_{\max}$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(D) एक दृढ़ पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ और उसके कोणीय संवेग $L$ तथा जड़त्व आघूर्ण $I$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K = \frac{L^2}{2I}$.
इससे, हम कोणीय संवेग को $L = \sqrt{2KI}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को चार गुना कर दिया जाए, तो नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K$ होगी।
नया कोणीय संवेग $L_2$ इस प्रकार होगा:
$L_2 = \sqrt{2 K_2 I} = \sqrt{2(4K)I} = \sqrt{4(2KI)} = 2\sqrt{2KI}$.
चूंकि $L = \sqrt{2KI}$, इसलिए $L_2 = 2L$ होगा।

(B) बाघ को रोकने के लिए,चलाई गई गोलियों का कुल संवेग बाघ के संवेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $M$ बाघ का द्रव्यमान है,$V$ बाघ का वेग है,$m$ एक गोली का द्रव्यमान है,$v$ एक गोली का वेग है और $n$ गोलियों की संख्या है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$MV = n \times m \times v$
दिया गया है:
$M = 60 \ kg$
$V = 12 \ m/s$
$m = 50 \ g = 0.05 \ kg$
$v = 240 \ m/s$
मान रखने पर:
$60 \times 12 = n \times 0.05 \times 240$
$720 = n \times 12$
$n = \frac{720}{12} = 60$
अतः,व्यक्ति को $60$ गोलियां चलानी होंगी।

(C) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 30 \text{ g} = 0.03 \text{ kg}$ है।
प्रत्येक गोली का वेग $v = 1000 \text{ m/s}$ है।
बंदूक द्वारा लगाया गया बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = n \times m \times v$
यहाँ $F = 300 \text{ N}$,$m = 0.03 \text{ kg}$,और $v = 1000 \text{ m/s}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$300 = n \times 0.03 \times 1000$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$
अतः,वह व्यक्ति प्रति सेकंड अधिकतम $10$ गोलियां दाग सकता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$।
सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 300 \ N$ है।
$d$ गहराई पर वस्तु का भार $W_d = mg_d$ होगा।
$g_d = \frac{g}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $W_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{1}{2} \times mg = \frac{1}{2} \times 300 \ N = 150 \ N$।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूँकि घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ वाले गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,इसे सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो,तो $g \propto R$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ है।
ग्रह के लिए,त्रिज्या $R_p = 3R$ और घनत्व $\rho_p = \rho$ है।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_n = \frac{4}{3} \pi G \rho (3R) = 3 \cdot (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 3g$ होगा।
$g_n = x \cdot g$ की तुलना $g_n = 3g$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) ऊँचाई $h$ पर पिंड का भार $W_h = m g_h$ और सतह पर $W = m g$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $W_h = \frac{W}{9}$,इसलिए $m g_h = \frac{m g}{9}$,जिसका अर्थ है $g_h = \frac{g}{9}$।
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ और सतह पर $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
इन मानों को समीकरण $g_h = \frac{g}{9}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{GM}{R^2}$
$\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{9 R^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{3 R}$
$R + h = 3 R$
$h = 2 R$
अतः,ऊँचाई $2 R$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दिया गया है कि गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = \frac{g}{2n}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{g}{2n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{2n}$।
$\frac{d}{R} = \frac{2n - 1}{2n}$।
अतः,$d = R \left(\frac{2n - 1}{2n}\right)$।

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$
यहाँ दी गई गहराई $d = \frac{R}{3}$ है।
सूत्र में $d$ का मान रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/3}{R})$
$g_d = g(1 - \frac{1}{3})$
$g_d = g(\frac{2}{3})$
अतः,उस गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{2g}{3}$ होगा।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $d$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ होता है,इसलिए $g$ के सूत्र में मान रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 d \right) = \frac{4}{3} \pi G R d$.
यह दर्शाता है कि $g \propto R \cdot d$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{y}$ और घनत्व का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$ दिया गया है,अतः गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{d_1}{d_2} = \frac{x}{y} \times \frac{m}{n} = \frac{xm}{yn}$.
अतः,अनुपात $mx : ny$ है।

(C) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर (जहाँ $h \ll R$) गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$g_d$ और $g_h$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{g(1 - \frac{d}{R})}{g(1 - \frac{2h}{R})}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{\frac{R-d}{R}}{\frac{R-2h}{R}} = \frac{R-d}{R-2h}$.

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि पृथ्वी $R$ त्रिज्या और एकसमान घनत्व $\rho$ का एक गोला है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M$ को $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$M$ का मान $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $g = \frac{4}{3} \pi \rho GR$ प्राप्त होता है।

(A) किसी अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान सूत्र द्वारा दिया जाता है: $g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 \phi$,जहाँ $g_{0}$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है (घूर्णन को अनदेखा करते हुए)।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^{\circ}$,इसलिए $g = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 0^{\circ} = g_{0} - R \omega^2$.
अक्षांश $\phi = 30^{\circ}$ पर,$g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 30^{\circ} = g_{0} - R \omega^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2$.
अब,अंतर $|g - g_{\phi}|$ की गणना करते हुए:
$|g - g_{\phi}| = |(g_{0} - R \omega^2) - (g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2)|$
$|g - g_{\phi}| = |-\frac{1}{4} R \omega^2| = \frac{1}{4} R \omega^2$.

(D) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ है: $K.E. = \frac{GMm}{2r}$.
उसी दूरी पर उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ है: $P.E. = -\frac{GMm}{r}$.
हमें स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करना है.
अनुपात: $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{-GMm/r}{GMm/2r} = -2$.
चूँकि स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है,इसलिए अनुपात $-2$ है। यदि केवल परिमाण की बात की जाए,तो यह $2$ होगा।

(C) किसी उपग्रह के लिए पृथ्वी के चारों ओर एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा बनाए रखने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल को आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करना चाहिए।
यह स्थिति तब पूरी होती है जब उपग्रह का क्षैतिज वेग $(V_{H})$ क्रांतिक वेग $(V_{c})$ के बराबर होता है,जिसे कक्षीय वेग भी कहा जाता है।
यदि $V_{H} < V_{c}$ है,तो उपग्रह पृथ्वी की ओर गिर जाएगा।
यदि $V_{H} > V_{c}$ है लेकिन $V_{e}$ से कम है,तो कक्षा दीर्घवृत्ताकार हो जाती है।
यदि $V_{H} = V_{e}$ है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल जाता है।
इसलिए,एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए सही स्थिति $V_{H} = V_{c}$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $0$ है,इसलिए $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(D) कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। मान लीजिए $r_1$ पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक दूरी है और $r_2$ पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी है।
केंद्र से प्रारंभिक दूरी: $r_1 = 3R + R = 4R$.
केंद्र से अंतिम दूरी: $r_2 = R + R = 2R$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{4R}$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
चूँकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = 0$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$.
$0 + (-\frac{GMm}{4R}) = K_2 + (-\frac{GMm}{2R})$.
$K_2 = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{GMm}{4R}$.

(A) ग्रह को तारे के चारों ओर घूमने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
मान लीजिए गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto r^{-7/2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
बलों की तुलना करने पर,हमें $m \omega^2 r \propto r^{-7/2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m$ स्थिर है,इसलिए $\omega^2 r \propto r^{-7/2}$।
$r$ से भाग देने पर,हमें $\omega^2 \propto r^{-9/2}$ प्राप्त होता है।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \propto r^{-9/2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{T^2} \propto r^{-9/2}$।
अतः,$T^2 \propto r^{9/2}$ होगा।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{3}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ पलायन वेग है।
$v^2 = \frac{v_e^2}{9} = \frac{2GM}{9R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{9R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{9R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{9R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-9}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{-8}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(C) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ होती है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ होती है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta U = mgR^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta U = \frac{mgR}{5}$,इसलिए $\frac{mgR}{5} = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{5} = \frac{h}{R+h} \implies R+h = 5h \implies 4h = R \implies h = \frac{R}{4}$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु ($R_0$ दूरी पर) पर कुल यांत्रिक ऊर्जा पृथ्वी की सतह ($R$ दूरी पर) पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$E_i = E_f$:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R_0} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
अतः,प्राप्त वेग $v$ है:
$v = \left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) सेकंड्स लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $2 \text{ s}$ होता है।
पृथ्वी की परिक्रमा कर रही अंतरिक्ष प्रयोगशाला में,प्रयोगशाला और उसके अंदर की हर वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है।
इसका अर्थ है कि प्रयोगशाला के अंदर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{\text{eff}})$ $0$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ है।
सूत्र में $g_{\text{eff}} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अनंत होगा।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित उपग्रह के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ ऊँचाई $h = R$ दी गई है,इसलिए $h$ के स्थान पर $R$ रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,$T = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(C) भूमध्य रेखा पर,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g - R\omega^2$ होता है।
वस्तु का भार शून्य होने के लिए,प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $g' = 0$।
अतः,$g - R\omega^2 = 0$।
इसका अर्थ है $R\omega^2 = g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{g}{R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
यहाँ $g = 10 \,ms^{-2}$ और $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$ दिया गया है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}}$
$\omega = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \,rad/s$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$E_1 = U_h - U_R = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,$E_1 = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mghR}{R+h}$.
$h$ ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_{orbit} = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ है।
उस ऊँचाई पर उसे कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा,कक्षा की ऊर्जा और सतह पर ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$E_2 = E_{orbit} - U_R = -\frac{GMm}{2(R+h)} + \frac{GMm}{R} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)} \right) = GMm \left( \frac{2R+2h-R}{2R(R+h)} \right) = \frac{GMm(R+2h)}{2R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,$E_2 = \frac{mgR^2(R+2h)}{2R(R+h)} = \frac{mgR(R+2h)}{2(R+h)}$.
अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mghR}{R+h} \times \frac{2(R+h)}{mgR(R+2h)} = \frac{2h}{R+2h}$.
जब $h \ll R$ हो,तो $R+2h \approx R$,इसलिए अनुपात $\frac{2h}{R}$ है।

(A) एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$m r \omega^2 = \frac{G M m}{r^2}$
जहाँ $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $\omega$ कोणीय वेग है।
समीकरण को सरल करने पर: $\omega^2 = \frac{G M}{r^3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $G M = g R^2$।
$\omega^2$ के व्यंजक में $G M$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2 = \frac{g R^2}{r^3}$
$r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r^3 = \frac{g R^2}{\omega^2}$
$r = \left(\frac{g R^2}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

(B) $m$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
घनत्व $\rho$ वाले प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = \frac{G \times \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
चूंकि $G$,$\pi$,और $\rho$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto R^4$ है।
अतः,$x = 4$।

(C) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$।
यहाँ दिया गया है कि स्वतंत्रता की कोटि $f = X$ है।
सूत्र में $f$ के स्थान पर $X$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\gamma = 1 + \frac{2}{X}$।

(C) $\text{कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,गर्म वस्तु द्वारा खोई गई ऊष्मा ठंडी वस्तु द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है।}$
$\text{धातु द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा।}$
$m_{\text{metal}} \times s_{\text{metal}} \times \Delta T_{\text{metal}} = m_{\text{water}} \times s_{\text{water}} \times \Delta T_{\text{water}}$
$\text{दिया गया है: } m_{\text{metal}} = 100 \,g,T_{\text{initial, metal}} = 80^{\circ} C,T_{\text{final}} = 15.69^{\circ} C,m_{\text{water}} = 1000 \,g,T_{\text{initial, water}} = 15^{\circ} C,s_{\text{water}} = 4.18 \,J/g^{\circ} C.$
$\text{मान रखने पर:}$
$100 \times s_{\text{metal}} \times (80 - 15.69) = 1000 \times 4.18 \times (15.69 - 15)$
$100 \times s_{\text{metal}} \times 64.31 = 1000 \times 4.18 \times 0.69$
$6431 \times s_{\text{metal}} = 2884.2$
$s_{\text{metal}} = \frac{2884.2}{6431} \approx 0.4485 \,J/g^{\circ} C \approx 0.45 \,J/g^{\circ} C.$

(A) दिया गया है कि,$V_2 = \frac{V_1}{4}$ और $\gamma = 1.5$ है।
चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
मान रखने पर,हमें $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{V_1}{V_2} = 4$ और $\gamma - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$ है,इसलिए $T_2 = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2 = 2 T_1$ होगा।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 2 T_1 - T_1 = T_1$ है।
गैस सामान्य तापमान पर है,इसलिए $T_1 = 273 \ K$ है।
अतः,तापमान में वृद्धि $273 \ K$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है:
$C_p - C_v = R$
समीकरण के दोनों पक्षों को $C_v$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$
$C_v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दृढ़ द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\gamma_2}{\gamma_1} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ है।

(D) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V} = \frac{f}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P} = C_{V} + R = (\frac{f}{2} + 1)R = \frac{f+2}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{f+2}{f}$ होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(B) एक आदर्श गैस में,अणुओं को बिंदु द्रव्यमान माना जाता है जिनके बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
चूंकि कोई अंतर-आणविक बल नहीं होता है,इसलिए अणुओं के बीच परस्पर क्रिया से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
इसलिए,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से उसके अणुओं की उनकी यादृच्छिक स्थानांतरण गति के कारण होने वाली गतिज ऊर्जा से बनी होती है।
एक-परमाण्विक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जो कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा को दर्शाती है।

(A) $PV$ के मात्रकों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
दाब $(P)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N/m^2$ या $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ है।
आयतन $(V)$ का $SI$ मात्रक $m^3$ है।
अतः,$PV$ गुणनफल का मात्रक:
मात्रक $= (kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \times (m^3) = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ होता है।
चूंकि $1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2 \cdot s^{-2}$,इसलिए यह मात्रक ऊर्जा (या कार्य) के मात्रक के समान है।

(C) विद्युत चुंबक के लिए ऐसे पदार्थ की आवश्यकता होती है जिसे आसानी से चुंबकित और विचुंबकित किया जा सके।
इसे प्राप्त करने के लिए,पदार्थ की रिटेंटिविटी (धारणशीलता) कम होनी चाहिए ताकि धारा बंद होने पर वह चुंबकत्व को बनाए न रखे।
इसके अतिरिक्त,इसकी कोर्सिविटी (निग्राहिता) भी कम होनी चाहिए ताकि इसे एक छोटे विपरीत चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आसानी से विचुंबकित किया जा सके।
इसलिए,सही विकल्प कम रिटेंटिविटी और कम कोर्सिविटी है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = V_0$
प्रथम स्थिति के लिए:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 4.8 \quad ...(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,जहाँ तरंगदैर्ध्य $2\lambda$ है:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 1.6 \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{4.8}{1.6} = 3$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0}$
$\frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$eV = \frac{4hc}{2\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ ..... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda_0 = 3\lambda$

(D) $R_{1}$ त्रिज्या वाले और $I_{1}$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_{2}$ त्रिज्या वाले छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = B_{1} A_{2}$ है,जहाँ $A_{2} = \pi R_{2}^{2}$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
चूंकि $R_{1} >> R_{2}$ है,हम मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ छोटे लूप के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $M = \frac{B_{1} A_{2}}{I_{1}} = \frac{(\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}) (\pi R_{2}^{2})}{I_{1}} = \frac{\mu_{0} \pi R_{2}^{2}}{2 R_{1}}$.
अतः,$M \propto \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}$.

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$।
दिया गया है $\phi = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$।
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$।
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,हमारे पास है $L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$।
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$।

(B) दी गई धारा $i = 5 \sin(100t - \frac{\pi}{2}) \ A$ है और वोल्टेज $e = 200 \sin(100t) \ V$ है।
इन्हें मानक समीकरणों $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति खपत का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
चूंकि $\phi = 90^{\circ}$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 90^{\circ} = 0$ होगा।
अतः,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$.

(D) समानांतर $LC$ परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $Z$ को $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद (resonance) पर,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$,जिसका अर्थ है कि $X_L = X_C$ है।
इस आवृत्ति पर,स्रोत से ली गई कुल धारा न्यूनतम होती है क्योंकि प्रतिबाधा $Z$ अनंत हो जाती है।
चूंकि परिपथ समानांतर में जुड़ा है,इसलिए प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ के सिरों पर वोल्टेज स्रोत वोल्टेज के समान होता है।
हालाँकि,अनुनाद पर एक समानांतर $LC$ परिपथ में,$L$ और $C$ के बीच प्रवाहित होने वाली धारा अधिकतम होती है,जिससे घटकों पर वोल्टेज अधिकतम प्राप्त होता है।

(D) $LR$ परिपथ के लिए,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ है।
दिए गए समीकरण $E = 4 \cos(1000 t)$ की तुलना मानक समीकरण $E = E_0 \cos(\omega t)$ से करने पर,हमें $E_0 = 4 \ V$ और $\omega = 1000 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$ और $R = 4 \ \Omega$ दिया गया है।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \ \Omega$ है।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ \Omega$ है।
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \ A$ होगी।

(D) समांतर $LC$ परिपथ में,प्रेरक से प्रवाहित धारा $(I_L)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से प्रवाहित धारा $(I_C)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएं $I_L$ और $I_C$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर हैं।
स्रोत से ली गई कुल धारा $I$ दोनों धाराओं के अंतर का परिमाण है:
$I = |I_C - I_L|$
यहाँ $I_L = 0.6 \,A$ और $I_C = 0.9 \,A$ दिया गया है।
$I = |0.9 \,A - 0.6 \,A| = 0.3 \,A$.

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ आगे होता है,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ पीछे होता है।
चूंकि श्रेणी परिपथ में सभी घटकों के लिए धारा समान होती है,इसलिए $V_L$ और $V_C$ के बीच का कलांतर $180^{\circ}$ होता है।
हालाँकि,व्यक्तिगत वोल्टेज $V_L$ और $V_C$ स्रोत वोल्टेज $(V_S)$ के साथ समान कला में नहीं होते हैं,जब तक कि परिपथ अनुनाद की स्थिति में न हो।
इसलिए,यह कथन कि वे 'स्रोत वोल्टेज के साथ समान कला में होते हैं' गलत है,जो $D$ को सही विकल्प बनाता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ बढ़ता है और $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का मान प्रभावी होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम हो जाती है और $R$ के बराबर हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ प्रभावी हो जाता है,जिसके कारण प्रतिबाधा $Z$ फिर से बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम मान प्राप्त करती है और फिर बढ़ती है।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) पर धारा अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I^2$ होती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ होती है,जहाँ $V_C = I X_C$ है।
अनुनाद पर,दोनों घटकों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है। चूँकि $X_L = X_C$,प्रेरक पर वोल्टेज $V_L = I X_L$ और संधारित्र पर वोल्टेज $V_C = I X_C$ होता है।
$X_C = X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_C = \frac{1}{2} C (I X_C)^2 = \frac{1}{2} C I^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} \frac{I^2}{\omega^2 C}$ प्राप्त होता है।
चूँकि अनुनाद पर $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ होता है,इसलिए $U_C = \frac{1}{2} \frac{I^2}{(1/LC) C} = \frac{1}{2} L I^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$U_L = U_C$,और संचित ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल वोल्टेज (e.m.f.) '$e$' को व्यक्तिगत घटकों के वोल्टेज के फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$e = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 80 \,V$
$V_C = 40 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = \sqrt{(40)^2 + (80 - 40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + (40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + 1600}$
$e = \sqrt{3200}$
$e = \sqrt{1600 \times 2}$
$e = 40 \sqrt{2} \,V$

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$X_L = L\omega = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है,जबकि धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का प्रभाव अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो इसका न्यूनतम मान है।
जैसे ही $f$ का मान $f_0$ से अधिक होता है,$X_L$ का प्रभाव बढ़ जाता है,जिससे $Z$ बढ़ने लगता है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,न्यूनतम मान तक पहुँचती है और फिर बढ़ती है।

(C) संधारित्र में संग्रहीत अधिकतम ऊर्जा $E_{max} = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से संग्रहीत होती है, तो संधारित्र में ऊर्जा अधिकतम ऊर्जा की आधी होती है, अर्थात $E_{cap} = \frac{1}{2} E_{max}$।
मान लीजिए कि इस क्षण संधारित्र पर आवेश $Q'$ है। तब, $E_{cap} = \frac{Q'^2}{2C}$।
$E_{cap}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{Q'^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$Q'^2 = \frac{Q^2}{2}$
$Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$।

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
rms धारा $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$।
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$,इसलिए प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ है।
$Z^2 = 2 R^2$ को शक्ति के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$।

(B) $LCR$ $a.c.$ परिपथ में,धारा के प्रवाह के प्रति कुल प्रभावी विरोध को प्रतिबाधा (impedance) कहा जाता है,जिसे $Z$ द्वारा दर्शाया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिबाधा के व्युत्क्रम $(1/Z)$ को प्रवेश्यता (admittance) कहा जाता है,जिसे $Y$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,$Y = 1/Z$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
चूंकि धारा वोल्टेज से $45^{\circ}$ आगे है,इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर: $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-1 = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-R = X_L - X_C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $X_C = X_L + R$.

(B) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,और परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,और $V_{rms} = 0.1 \ V$.
अनुनाद पर परिपथ में धारा $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ है।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
प्रेरक पर वोल्टेज ड्रॉप $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
मान रखने पर: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) दिया गया परिपथ एक श्रेणी $LCR$ परिपथ है जहाँ बल्ब एक प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद (resonance) पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होती है। इस आवृत्ति पर,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ होती है और धारा $I$ अधिकतम $(I = \frac{V}{R})$ होती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति कम मान से बढ़ती है,प्रतिबाधा $Z$ तब तक घटती है जब तक वह अनुनाद आवृत्ति तक नहीं पहुँच जाती,जिससे धारा $I$ और बल्ब की चमक बढ़कर अधिकतम हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति अनुनाद आवृत्ति से आगे बढ़ती है,प्रतिबाधा $Z$ फिर से बढ़ जाती है,जिससे धारा $I$ और बल्ब की चमक घटने लगती है।
अतः,चमक बढ़ती है,अनुनाद पर अधिकतम तक पहुँचती है और फिर घटती है।

(B) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ होता है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $X_C \propto \frac{1}{f}$।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 50 \ Hz$ और प्रारंभिक प्रतिघात $X_{C1} = 5 \ \Omega$ दिया गया है।
नई आवृत्ति $f_2 = 100 \ Hz$ है।
चूंकि $f_2 = 2 f_1$,इसलिए नया प्रतिघात $X_{C2}$ होगा:
$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{5 \ \Omega}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(D) प्रेरणिक प्रतिघात का सूत्र $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
यहाँ नई आवृत्ति $f' = 2f$ और नया प्रेरकत्व $L' = 3L$ दिया गया है।
अतः,नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}'$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$X_{L}' = 2 \pi f' L'$
$X_{L}' = 2 \pi (2f) (3L)$
$X_{L}' = 6 \times (2 \pi f L)$
चूंकि $X_{L} = 2 \pi f L$,इसलिए $X_{L}' = 6 X_{L}$ होगा।

(A) धारितीय प्रतिघात का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक धारितीय प्रतिघात $X_C = X \ \Omega$ है।
अतः,$X = \frac{1}{2 \pi f C}$।
जब आवृत्ति को दोगुना $(f' = 2f)$ और धारिता को दोगुना $(C' = 2C)$ किया जाता है,तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C'$ होगा:
$X_C' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$।
$X_C' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$।
चूंकि $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$X_C' = \frac{X}{4} \ \Omega$।

(B) तात्कालिक e.m.f. $e = 200 \sin(50t) \text{ V}$ द्वारा दिया गया है。
इसे मानक समीकरण $e = e_0 \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर, हमें शिखर e.m.f. $e_0 = 200 \text{ V}$ प्राप्त होता है。
ओम के नियम का उपयोग करके शिखर धारा $I_0$ की गणना इस प्रकार है: $I_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$。
धारा का r.m.s. मान $I_{\text{rms}}$ सूत्र $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है。
मान रखने पर: $I_{\text{rms}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \text{ A}$。
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$, इसलिए $I_{\text{rms}} = 2 \times 1.414 = 2.828 \text{ A}$ प्राप्त होता है。

(C) दिया गया है: $L_1 = L_2 = L = 60 mH = 60 \times 10^{-3} H$.
धारा $I = 2.2 A$.
जब दो प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$.
अतः,$L_{eq} = \frac{L}{2} = \frac{60 mH}{2} = 30 mH = 30 \times 10^{-3} H$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (30 \times 10^{-3}) \times (2.2)^2$.
$U = 0.5 \times 30 \times 10^{-3} \times 4.84$.
$U = 15 \times 10^{-3} \times 4.84 = 0.0726 J$.

(D) जब धारा वोल्टेज के साथ समान कला में होती है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है। इस स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,और परिपथ का प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होता है।
दिया गया है $R = 20 \ \Omega$.
अतः,$Z = R = 20 \ \Omega$.
दिया गया वोल्टेज $V_{rms} = 220 \ V$ है। शिखर वोल्टेज $e_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \ V$ होता है।
अधिकतम धारा $i_0 = \frac{e_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \ A$ प्राप्त होती है।
हम $11 \sqrt{2} = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \ A$ लिख सकते हैं।
इसकी तुलना $\sqrt{x} \ A$ से करने पर,हमें $x = 242$ प्राप्त होता है।

(A) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें $X_L = 200 \, \Omega$, $X_C = 100 \, \Omega$, $R = 100 \, \Omega$ और $V_{rms} = 200 \sqrt{2} \, V$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2} \, \Omega$
धारा का r.m.s. मान $i_{rms}$ इस प्रकार है:
$i_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
$i_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2 \, A$
अतः, धारा का r.m.s. मान $2 \, A$ है।

(C) दिया गया है: $E = 15 \, V$, $f = 50 \, Hz$, $I = 0.5 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \frac{E}{I} = \frac{15}{0.5} = 30 \, \Omega$ है।
$LR$ परिपथ में कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $\tan \frac{\pi}{3} = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = \sqrt{3}R$.
प्रतिबाधा का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
$X_L = \sqrt{3}R$ रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
चूंकि $Z = 30 \, \Omega$, इसलिए $2R = 30 \, \Omega$ होगा।
अतः, $R = \frac{30}{2} = 15 \, \Omega$।

(D) दिया गया है: $E_v = 15 \, V$, $I = 0.3 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \frac{E_v}{I} = \frac{15}{0.3} = 50 \, \Omega$ है।
$LR$ परिपथ में कलांतर $\phi$ का सूत्र $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ होता है।
मान रखने पर: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{50}$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{R}{50}$.
अतः, $R = \frac{50}{2} = 25 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) धारा का चरण (phase) $\phi_I = \omega t - \pi / 6$ है।
वोल्टेज का चरण $\phi_E = \omega t + \pi / 3$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर (phase difference) $\Delta \phi = \phi_E - \phi_I$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta \phi = (\omega t + \pi / 3) - (\omega t - \pi / 6)$।
$\Delta \phi = \pi / 3 + \pi / 6 = 2\pi / 6 + \pi / 6 = 3\pi / 6 = \pi / 2$।
चूंकि $\Delta \phi$ धनात्मक है,इसलिए वोल्टेज धारा से $\pi / 2$ आगे है।

(B) $AC$ परिपथ में शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
यहाँ $P = 1000 \,W$ और शिखर वोल्टेज $V_0 = 200 \,V$ दिया गया है।
$r.m.s.$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \,V$ होता है।
मान लें कि लैंप शुद्ध रूप से प्रतिरोधी हैं, इसलिए कला कोण $\phi = 0^{\circ}$ और $\cos \phi = 1$ होगा।
अतः, $1000 = \left( \frac{200}{\sqrt{2}} \right) I_{rms} \times 1$.
$I_{rms} = \frac{1000 \times \sqrt{2}}{200} = 5 \sqrt{2} \,A$.

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति $\omega$ है। इस आवृत्ति पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ समान हैं:
$X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
दिया गया है कि $\omega$ आवृत्ति पर $X_L = X_C = X$ है।
जब कोणीय आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ हो जाती है।
नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = \omega' L = (2\omega) L = 2X_L = 2X$ है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(2\omega) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{X}{2}$ है।
नए धारितीय प्रतिघात और नए प्रेरणिक प्रतिघात का अनुपात है:
$\frac{X_C'}{X_L'} = \frac{X/2}{2X} = \frac{1}{4}$.

(C) $AC$ परिपथ में खपत होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
जब धारा वाटहीन होती है,तो खपत होने वाली औसत शक्ति शून्य होती है,अर्थात $P = 0$।
इसलिए,$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0$।
चूँकि $V_{rms}$ और $I_{rms}$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \phi = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि कलांतर $\phi = 90^{\circ}$ है।

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ है।
ए.सी. एमीटर आर.एम.एस. $(RMS)$ धारा को मापता है, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
अतः, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(B) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $X_L = R$,इसलिए $P_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
जब एक संधारित्र $C$ को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि $X_C = X_L$ हो,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में एक श्रेणी $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ है।
नया शक्ति गुणांक $P_2 = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ है।
अतः,अनुपात $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$ होगा।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = 3 \text{ H}$,धारिता $C = 27 \ \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \text{ F}$.
बैंडविड्थ $(\Delta \omega) = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \text{ rad/s}$.
क्वालिटी फैक्टर $(Q) = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{3}{27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}} = \frac{100}{3}$.
क्वालिटी फैक्टर और बैंडविड्थ का अनुपात = $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = 10 \text{ s}$.

(A) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi = 90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से पीछे रहती है।
एक शुद्ध संधारित्र परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi = 90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे रहती है।
इसलिए,दोनों स्थितियों में शक्ति गुणांक $\cos(90^\circ) = 0$ होता है।

(B) $R-L$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2R^2 = R^2 + X_L^2$,अतः $R^2 = X_L^2$ या $X_L = R$.
चूंकि $X_L = \omega L = 2\pi f L$,यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना किया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L'$ का मान $2X_L = 2R$ हो जाएगा।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi' = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L')^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(C) वोल्टेज और फेरों की संख्या के बीच संबंध दर्शाने वाला ट्रांसफार्मर समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$
दिया गया है:
प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_p = 20$
द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_s = 100$
अधिकतम प्राथमिक वोल्टेज,$V_{p, \text{max}} = 600 \text{ V}$
द्वितीयक वोल्टेज का अधिकतम मान $(V_{s, \text{max}})$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात का उपयोग करते हैं:
$V_{s, \text{max}} = \frac{N_s}{N_p} \times V_{p, \text{max}}$
$V_{s, \text{max}} = \frac{100}{20} \times 600$
$V_{s, \text{max}} = 5 \times 600 = 3000 \text{ V}$
अतः,द्वितीयक आउटपुट वोल्टेज का अधिकतम मान $3000 \text{ V}$ है।

(D) ट्रांसफार्मर का समीकरण $\frac{E_p}{E_s} = \frac{N_p}{N_s}$ है।
यहाँ $E_p = 80 \,V$,$N_p = 1000$,और $N_s = 3000$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{80}{E_s} = \frac{1000}{3000}$.
$E_s = 80 \times 3 = 240 \,V$.
द्वितीयक कुंडली में प्रति फेरे का विभवांतर $\frac{E_s}{N_s}$ होता है।
$\text{प्रति फेरे का विभवांतर} = \frac{240}{3000} = 0.08 \,V$.

(B) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी किसी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है,तो उसमें e.m.f. प्रेरित होता है।
ट्रांसफार्मर में,प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित होती है,जो एक प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
यह प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र लोहे की क्रोड के माध्यम से द्वितीयक कुंडली से जुड़ा होता है।
जैसे-जैसे चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता है,द्वितीयक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स भी बदलता है।
इसलिए,द्वितीयक कुंडली में प्रेरित प्रत्यावर्ती e.m.f. मुख्य रूप से परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र के कारण होता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$E_k = hv - \phi_0$,जहाँ $\phi_0 = hv_0$ कार्य फलन है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
दो आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जाएँ हैं:
$E_{K_1} = h(v_1 - v_0)$
$E_{K_2} = h(v_2 - v_0)$
दिया गया अनुपात $\frac{E_{K_1}}{E_{K_2}} = \frac{1}{x}$ है,इसलिए:
$\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{x}$
$x(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$
$xv_1 - xv_0 = v_2 - v_0$
$xv_1 - v_2 = xv_0 - v_0$
$xv_1 - v_2 = v_0(x - 1)$
$v_0 = \frac{xv_1 - v_2}{x - 1}$

(A) हाइड्रोजन जैसे आयनों के लिए रिडबर्ग के सूत्र के अनुसार,उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
चूंकि दोनों आयनों के लिए संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है,इसलिए पद $\left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = \frac{3}{4}$ स्थिर रहता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हीलियम $(He^+)$ के लिए,$Z_{He} = 2$,इसलिए $\lambda_{He} \propto \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$।
लिथियम $(Li^{++})$ के लिए,$Z_{Li} = 3$,इसलिए $\lambda_{Li} \propto \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{Li}} = \frac{1/4}{1/9} = \frac{9}{4}$ है।
इस प्रकार,अनुपात $9:4$ है।

(B) लायमन श्रेणी इलेक्ट्रॉनों के उच्च ऊर्जा स्तरों से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
लायमन श्रेणी में सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 2)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप होता है।
इस संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$ दिया गया है।
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda = \frac{1240 \text{ eV-nm}}{10.2 \text{ eV}}$.
$\lambda \approx 121.57 \text{ nm}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, $\lambda \approx 122 \text{ nm}$ प्राप्त होता है।

(A) पाश्चन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots$
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144} \implies \lambda_{\max} = \frac{144}{7R}$
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{\min} = \frac{9}{R}$
सबसे लंबी और सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{144/7R}{9/R} = \frac{144}{7 \times 9} = \frac{144}{63}$

(A) रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right]$,जहाँ $R_H$ रिडबर्ग नियतांक है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ की बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए: $n=2, m=\infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - 0 \right] = \frac{R_H}{4}$,जिससे $\lambda_1 = \frac{4}{R_H}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु की ब्रैकेट श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए: $n=4, m=\infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{4^2} - 0 \right] = \frac{R_H Z^2}{16}$,जिससे $\lambda_2 = \frac{16}{R_H Z^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = \lambda_2$,इसलिए $\frac{4}{R_H} = \frac{16}{R_H Z^2}$।
सरल करने पर,$Z^2 = \frac{16}{4} = 4$,अतः $Z = 2$।

(B) $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $v_n \propto \frac{1}{n}$।
मूल अवस्था के लिए $n_1 = 1$ और पहली उत्तेजित अवस्था के लिए $n_2 = 2$ है।
अतः,वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $v_2 = 0.5 v_1$।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = |v_2 - v_1| = |0.5 v_1 - v_1| = 0.5 v_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta v}{v_1} \times 100\% = \frac{0.5 v_1}{v_1} \times 100\% = 50\%$ है।

(D) Rydberg के सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
Lyman श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n=1, m=\infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_1} = R(1 - 0) = R$.
Lyman श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n=1, m=2$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
Balmer श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n=2, m=\infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R - \frac{3R}{4} = \frac{R}{4}$.
चूंकि $\frac{R}{4} = \frac{1}{\lambda_3}$,इसलिए हमें $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$ संबंध प्राप्त होता है।

(C) स्पेक्ट्रल श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। $2^{\text{nd}}$ रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_1} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
अतः,$\lambda_1 = \frac{16}{3 R Z^2}$।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। $1^{\text{st}}$ रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_2} = R Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{7}{144} \right)$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{144}{7 R Z^2}$।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{16}{3 R Z^2} \right) \times \left( \frac{7 R Z^2}{144} \right) = \frac{16 \times 7}{3 \times 144} = \frac{7}{27}$।

(D) बामर श्रेणी की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ बामर श्रेणी के लिए $n_1 = 2$ है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
आवृत्ति $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और प्रकाश के वेग $c$ से $v = \frac{c}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
आवृत्ति के सूत्र में $\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = c \times \frac{R}{4} = \frac{Rc}{4}$।