MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $p = T$,$q = T$,$r = F$,અને $s = F$.
પ્રથમ વિધાન સ્વરૂપ $(p \wedge q) \vee r$ માટે:
$(T \wedge T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
બીજા વિધાન સ્વરૂપ $(p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ માટે:
$(T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F) \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(B) આપણે તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$p \rightarrow \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q$
$\equiv \sim p \vee q$

(C) શરતી વિધાન $(p \leftrightarrow \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
તેથી,$(p \leftrightarrow \sim q) \equiv T$ અને $(\sim p \wedge q) \equiv F$.
વિકલ્પ $C$ $(p=T, q=F)$ ચકાસતા:
$\sim q = \sim F = T$.
તેથી $(p \leftrightarrow \sim q) = (T \leftrightarrow T) = T$.
અને $(\sim p \wedge q) = (\sim T \wedge F) = (F \wedge F) = F$.
આમ,પૂર્વગ $T$ અને ઉત્તરગ $F$ હોવાથી,વિધાન $T \rightarrow F = F$ થાય છે.
તેથી,$p=T$ અને $q=F$ છે.

(D) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "$x$ અને $y$ એવા પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $x y$ એકી સંખ્યા છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "$x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા છે".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "$x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા નથી".
$\sim p$ એટલે "$x y$ એકી સંખ્યા નથી".
તેથી,પ્રતિ-વિધાન "જો $x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા ન હોય,તો $x y$ એકી સંખ્યા નથી" થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $p$ : સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે.
ધારો કે $q$ : દબાણ ઘટે છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિવિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\sim p$ એટલે "સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું નથી" અને $\sim q$ એટલે "દબાણ ઘટતું નથી".
તેથી,પ્રતિવિધાન "જો સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું નથી,તો દબાણ ઘટતું નથી." થાય.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $p$: ચતુષ્કોણ ચોરસ છે.
ધારો કે $q$: ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન છે.
વિધાન $1$ એ $p \rightarrow q$ છે.
વિધાન $2$ એ $q \rightarrow p$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ નું પ્રતિ-વિધાન (converse) છે.

(B) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
$S$ નો પ્રતિવિધિ $\sim(p \wedge q) \rightarrow \sim(p \vee \sim q)$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિવિધિ:
$\sim[\sim(p \wedge q)] \vee \sim(p \vee \sim q)$
$\equiv (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ (ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા)
$\equiv (q \wedge p) \vee (q \wedge \sim p)$ (ક્રમના નિયમ દ્વારા)
$\equiv q \wedge (p \vee \sim p)$ (વિભાજનના નિયમ દ્વારા)
$\equiv q \wedge T$ (પૂરક નિયમ દ્વારા,જ્યાં $T$ એ નિત્યસત્ય છે)
$\equiv q$ (તદેવતાના નિયમ દ્વારા).
હવે,પ્રતિવિધિનું નિષેધ $\sim(q) = \sim q$ છે.

(C) આપણે તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (પૂરક નિયમ):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
ફરીથી વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ અને $(q \vee q) \equiv q$ (સ્વયંઘાતી નિયમ):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
કારણ કે $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
તેથી,આ પદાવલિ $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ છે કે $q$ અસત્ય છે અને $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય છે.
$q \equiv F$ હોવાથી,$p \wedge q \equiv F$ થાય.
દ્વિ-શરતી વિધાન $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય હોવા માટે,$r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $p \wedge q$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$r \equiv F$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. $F \rightarrow p$ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ નિત્યસત્ય છે.
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,જે વ્યાઘાત (contradiction) છે.

(B) વિધાન $(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim (p \vee \sim q)$ છે.
નિયમ $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim (p \wedge \sim q) \vee \sim (p \vee \sim q)$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ:
$(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
હવે,આ પ્રતિ-વિધાનનું નિષેધ:
$\sim [(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)]$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા:
$\sim (\sim p \vee q) \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$\sim C = (\sim p \vee q) \wedge (p \vee \sim q)$.

(D) વિધાન $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ ક્યારે નિત્યસત્ય બને તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પદ $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ હોવાથી,$[(p \rightarrow q) \wedge \sim q] \equiv [(\sim p \vee q) \wedge \sim q]$ થાય.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)$ બને છે.
$(q \wedge \sim q) \equiv F$ હોવાથી,આ પદ $(\sim p \wedge \sim q)$ માં પરિણમે છે.
હવે,મૂળ વિધાન $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow r$ છે.
આ વિધાન નિત્યસત્ય ત્યારે જ બને જ્યારે $r \equiv \sim q$ હોય,કારણ કે $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim q$ હંમેશા સત્ય છે.

(A) ધારો કે $p$: સંખ્યા એકી સંખ્યા છે.
ધારો કે $q$: સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ છે.
તેથી,નિષેધ છે: "સંખ્યા એકી સંખ્યા છે પરંતુ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ એકી સંખ્યા નથી."

(B) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
બીજા ભાગ પર ક્રમનો નિયમ વાપરતા: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim q \wedge \sim r]$
બીજા ભાગ પર ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
પૂરકનો નિયમ વાપરતા: $p \wedge T$ (જ્યાં $T$ એ નિત્યસત્ય છે)
તદર્થતાનો નિયમ વાપરતા: $p$
તેથી,આ વિધાન $p$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ અસત્ય છે.
આ દ્વિ-શરતી વિધાન ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ અને $(q \rightarrow p)$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
જો $p$ એ $T$ હોય,તો $(q \rightarrow T)$ એ $T$ થાય,તેથી $T \leftrightarrow T$ એ $T$ થાય.
જો $p$ એ $F$ હોય,તો દ્વિ-શરતી વિધાન અસત્ય હોવા માટે $(q \rightarrow F)$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
$(q \rightarrow F)$ એ $T$ થવા માટે,$q$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
આમ,$p \equiv F$ અને $q \equiv F$.
હવે,વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $p$ $\rightarrow (p \vee \sim q) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee \sim F) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee T) \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
પરિણામ $T$ હોવાથી,વિકલ્પ $(B)$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
રેખા $L_1$ માટે,$\alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $p = 1$:
$x \cos \frac{\pi}{4} + y \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow x + y - \sqrt{2} = 0$
રેખા $L_2$ માટે,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$ અને $p = 1$:
$x \cos \frac{3 \pi}{4} + y \sin \frac{3 \pi}{4} = 1$
$\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow -x + y - \sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ એ બંને વ્યક્તિગત સમીકરણોનો ગુણાકાર છે:
$(x + y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2}) = 0$
$x^2 - y^2 + 2\sqrt{2}y - 2 = 0$

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ને લંબ રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $b(x - x_1)^2 - 2h(x - x_1)(y - y_1) + a(y - y_1)^2 = 0$ છે.
અહીં $a = 5$,$h = 1$,$b = -3$ અને $(x_1, y_1) = (3, -2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-3(x - 3)^2 - 2(x - 3)(y + 2) + 5(y + 2)^2 = 0$
વિસ્તરણ કરતા:
$-3(x^2 - 6x + 9) - 2(xy + 2x - 3y - 6) + 5(y^2 + 4y + 4) = 0$
$-3x^2 + 18x - 27 - 2xy - 4x + 6y + 12 + 5y^2 + 20y + 20 = 0$
સાદું રૂપ આપતા:
$3x^2 + 2xy - 5y^2 - 14x - 26y - 5 = 0$.

(C) સમીકરણ $6x^2+xy-y^2=0$ ને $-(y-3x)(y+2x)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય,જે રેખાઓ $y=3x$ અને $y=-2x$ આપે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું $x+3y=10$ સાથે છેદબિંદુ શોધીએ:
$1$. $y=3x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. શિરોબિંદુ $(1,3)$ છે.
$2$. $y=-2x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. શિરોબિંદુ $(-2,4)$ છે.
$3$. $y=3x$ અને $y=-2x$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+\lambda xy-y^2 \tan^2 \theta=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$h=\frac{\lambda}{2}$,અને $b=-\tan^2 \theta$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ છે.
અહીં,$\alpha = 2\theta$ હોવાથી,$\tan 2\theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{\lambda}{2})^2 - (1)(-\tan^2 \theta)}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \left|\frac{2\sqrt{\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4\tan^2 \theta}{(1-\tan^2 \theta)^2} = \frac{4(\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)^2}$ મળે છે.
આથી $\tan^2 \theta = \frac{\lambda^2}{4} + \tan^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda^2}{4} = 0$.
તેથી,$\lambda = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x \cos \alpha + y \sin \alpha)^2 = (x^2 + y^2) \sin^2 \alpha$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha$
બંને બાજુથી $y^2 \sin^2 \alpha$ બાદ કરતા: $x^2 \cos^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha$
ગોઠવતા: $x^2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$,$h = \sin \alpha \cos \alpha$,અને $b = 0$.
રેખાઓ લંબ હોવા માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 0 = 0$
$\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
$\tan^2 \alpha = 1$
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,અને $b=\lambda$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \left|\frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(\lambda)}}{1+\lambda}\right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^2}$.
$(1+\lambda)^2 = 36(\frac{9}{4}-\lambda) = 81 - 36\lambda$.
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 81 - 36\lambda$.
$\lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2) = 0$.
$\lambda \geq 0$ હોવાથી,$\lambda = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $PQR$ એ $Q(2, 1)$ પર કાટકોણ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. રેખા $PR$ નું સમીકરણ $2x + y = 3$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -2$ છે.
$PQR$ સમદ્વિબાજુ અને $Q$ પર કાટકોણ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $QR$ એ રેખા $PR$ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $PQ$ નો ઢાળ $m_1$ છે. તો,$\tan 45^\circ = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$.
$1 = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| \Rightarrow 1 - 2m_1 = m_1 + 2$ અથવા $1 - 2m_1 = -(m_1 + 2)$.
કિસ્સો $1$: $3m_1 = -1 \Rightarrow m_1 = -1/3$.
કિસ્સો $2$: $m_1 = 3$.
આમ,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળ $-1/3$ અને $3$ છે.
$Q(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો:
$y - 1 = -1/3(x - 2)$ $\Rightarrow 3y - 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$y - 1 = 3(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 3x - 6$ $\Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
$3x^2 + 8xy - 3y^2 - 20x - 10y + 25 = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + (2a + 1)xy + 2y^2 = 0$ છે.
$Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$2H = 2a + 1$,અને $B = 2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = \frac{1}{m_2}$,જેનો અર્થ છે કે $m_1 m_2 = 1$.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{2}$ થાય છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{a}{2} = 1$,તેથી $a = 2$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{2a + 1}{2}$ થાય છે.
$a = 2$ મૂકતા,$m_1 + m_2 = -\frac{2(2) + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
આપણે $m_1^2 + m_2^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_1^2 + m_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 - 2(1) = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25 - 8}{4} = \frac{17}{4}$.

(B) રેખા $QR$નો ઢાળ $m = -2$છે. ધારો કે રેખાઓ $PQ$ અને $PR$ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$છે.
કારણ કે $\triangle PQR$એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી ખૂણા $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$થાય.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{-2 - m_1}{1 + (-2)m_1} \right| = 1$.
આનાથી $\left| \frac{2 + m_1}{1 - 2m_1} \right| = 1$મળે,તેથી $2 + m_1 = 1 - 2m_1$અથવા $2 + m_1 = -(1 - 2m_1)$થાય.
$3m_1 = -1$ઉકેલતા $m_1 = -1/3$મળે છે. $-m_1 = -3$ઉકેલતા $m_2 = 3$મળે છે.
રેખાઓ $PQ$ અને $PR$ એ $P(2, 1)$બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેમના ઢાળ $-1/3$અને $3$છે.
સમીકરણો $y - 1 = -1/3(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$અને $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$મળે છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના શિરોબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $T_n = {}^{n}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T_{n+1} - T_n = 21$ મુજબ,આપણે સૂત્ર મૂકીએ:
${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 21$.
${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = {}^{n}C_2$.
તેથી,${}^{n}C_2 = 21$.
સંયોજનના સૂત્રને વિસ્તૃત કરતા: $\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n^2 - n - 42 = 0$.
$(n-7)(n+6) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) કુલ પસંદ કરવાના વિદ્યાર્થીઓ $= 5$. કુલ ઉપલબ્ધ વિદ્યાર્થીઓ $= n$.
$2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા $= {}^{n-2}C_3$.
$2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ ન થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા $= {}^{n-2}C_5$.
આપેલ શરત મુજબ,$\frac{{}^{n-2}C_3}{{}^{n-2}C_5} = \frac{2}{3}$.
સૂત્ર ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} \times \frac{5!(n-7)!}{(n-2)!} = \frac{2}{3}$
$\frac{20}{(n-5)(n-6)} = \frac{2}{3}$
$(n-5)(n-6) = 30$
$n^2 - 11n = 0$
અહીં $n = 11$ મળે છે.

(A) ધારો કે મીટિંગમાં સભ્યોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે એક વાર હાથ મિલાવે છે,તેથી કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા $45$ છે,તેથી:
${}^{n}C_{2} = 45$
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
સભ્યોની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.
આમ,મીટિંગમાં હાજર સભ્યોની સંખ્યા $10$ છે.

(D) કિસ્સો $I$: કોઈ છોકરો સામેલ નથી. $6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીત ${}^6C_4 = 15$ છે. પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરવાની રીત ${}^4C_1 = 4$ છે. કિસ્સા $I$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $II$: બરાબર એક છોકરો સામેલ છે. $6$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરો પસંદ કરવાની રીત ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ છે. પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરવાની રીત ${}^4C_1 = 4$ છે. કિસ્સા $II$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
કુલ રીતો $= 60 + 320 = 380$.

(C) કુલ $5$ સ્થાનો છે. છોકરો $B_1$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે.
બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓ છે (જેમાં $G_1$ અને $G_2$ નો સમાવેશ થાય છે).
$G_1$ અને $G_2$ હંમેશા સાથે હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $(G_1, G_2)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે બાકીના $4$ સ્થાનોમાં ગોઠવવા માટે $3$ એકમો છે: એકમ $(G_1, G_2)$ અને અન્ય $2$ વિદ્યાર્થીઓ.
જોકે,બીજું સ્થાન $B_1$ દ્વારા રોકાયેલું છે. ઉપલબ્ધ સ્થાનો $1, 3, 4, 5$ છે.
જો આપણે એકમ $(G_1, G_2)$ ને $(3, 4)$ અથવા $(4, 5)$ સ્થાનો પર મૂકીએ,તો એકમને મૂકવાની $2$ રીતો છે.
એકમની અંદર,$G_1$ અને $G_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $2$ વિદ્યાર્થીઓને બાકીના $2$ સ્થાનોમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણી $= 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(C) કુલ $5$ સ્થાનો છે. છોકરો $B_1$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે.
બાકીના સ્થાનો $1, 3, 4, 5$ છે.
ધારો કે $5$ વિદ્યાર્થીઓ $B_1, G_1, G_2, S_1, S_2$ છે.
$G_1$ અને $G_2$ હંમેશા સાથે હોવા જોઈએ,તેથી તેમને એક એકમ $(G_1G_2)$ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે $(G_1G_2), S_1, S_2$ એકમો છે જે બાકીના $4$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાના છે.
કિસ્સો $1$: $(G_1G_2)$ સ્થાનો $(3, 4)$ પર હોય.
બાકીના સ્થાનો $1$ અને $5$ માં $S_1, S_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $G_1, G_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 2! \times 2! = 4$.
કિસ્સો $2$: $(G_1G_2)$ સ્થાનો $(4, 5)$ પર હોય.
બાકીના સ્થાનો $1$ અને $3$ માં $S_1, S_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $G_1, G_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 2! \times 2! = 4$.
કુલ ગોઠવણી $= 4 + 4 = 8$.

(C) $CALCULATE$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે.
જેમાં $C$ બે વાર,$A$ બે વાર,$L$ બે વાર અને $E, U, T$ એક વાર આવે છે.
અહીં $5$ વ્યંજનો $(C, C, L, L, T)$ અને $4$ સ્વરો $(A, A, U, E)$ છે.
$5$ વ્યંજનોમાંથી બે વ્યંજનો શરૂઆત અને અંતના સ્થાન પર $P(5, 2)$ રીતે ગોઠવી શકાય.
પુનરાવર્તિત અક્ષરોને ધ્યાનમાં લેતા,કુલ ગોઠવણી $= \frac{P(5, 2) \times 7!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{20 \times 7!}{8} = \frac{5 \times 7!}{2}$.

(A) $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા વર્તુળને $k$ રંગોથી એવી રીતે રંગવાની રીતોની સંખ્યા $P_n(k)$ છે કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ સમાન રંગના ન હોય,જેનું સૂત્ર $P_n(k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ છે.
અહીં,$n = 5$ (વ્યક્તિઓની સંખ્યા) અને $k = 3$ (રંગોની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P_5(3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$.
$P_5(3) = 2^5 - 1(2) = 32 - 2 = 30$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $30$ છે.

(D) કિસ્સો $I$: કોઈ છોકરો સામેલ નથી.
$6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓની પસંદગી $= {}^{6}C_{4} = 15$.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ નેતાની પસંદગી $= {}^{4}C_{1} = 4$.
કિસ્સા $I$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $II$: બરાબર એક છોકરો સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરાની પસંદગી $= {}^{6}C_{3} \times {}^{4}C_{1} = 20 \times 4 = 80$.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ નેતાની પસંદગી $= {}^{4}C_{1} = 4$.
કિસ્સા $II$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $= 60 + 320 = 380$.

(C) $8$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓમાંથી $5$ વ્યક્તિઓની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ અને વધુમાં વધુ $2$ છોકરાઓ હોય.
સમિતિનું કદ $5$ હોવાથી,શરતો સંતોષતા (છોકરીઓ,છોકરાઓ) ના સંભવિત સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $5$ છોકરીઓ અને $0$ છોકરાઓ: $\binom{5}{5} \times \binom{8}{0} = 1 \times 1 = 1$
$2$. $4$ છોકરીઓ અને $1$ છોકરો: $\binom{5}{4} \times \binom{8}{1} = 5 \times 8 = 40$
$3$. $3$ છોકરીઓ અને $2$ છોકરાઓ: $\binom{5}{3} \times \binom{8}{2} = 10 \times 28 = 280$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 40 + 280 = 321$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં છે.
સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}, P(A') = \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}, P(B') = \frac{4}{7}$
$P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}, P(C') = \frac{3}{7}$
જો ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તો બહુમતી મળે.
સંભાવના $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ છે.
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(A) જહાજ $A$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ છે.
જહાજ $B$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ છે.
જહાજ $C$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બધા જહાજો સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ થશે.
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{6}C_{3} = 20$ છે.
જો આપણે નિયમિત ષટ્કોણના એકાંતરે આવતા શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીએ તો સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા શિરોબિંદુઓના ગણ $\{1, 3, 5\}$ અને $\{2, 4, 6\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 2$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ થાય.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે ટિકિટ પરનો નંબર પૂર્ણ વર્ગ છે.
$\therefore X = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$
$\therefore n(X) = 10$
$\text{તેમજ, } n(S) = 100$
$\therefore \text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{n(X)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ કાળું પત્તું ખેંચવાની છે અને ઘટના $B$ એ મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની છે.
કાળા પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 26$.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 12$.
કાળા મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 6$ (કારણ કે બે કાળા રંગના પ્રકારોમાં દરેકના $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે).
કાળું પત્તું અથવા મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$.

(A) નિદર્શાવકાશ $S$ માં તમામ શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$.
દરેક પાસા પર $6$ સપાટી હોવાથી,કુલ પરિણામો $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
સાધ્ય પરિણામો: $(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (2,5), (2,11), (3,2), (5,2), (11,2)$.
તેથી,$n(A) = 9$.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(A) કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 8 = 14$.
$14$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{14}C_4 = 1001$.
$4$ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ઋણ ત્યારે જ થાય જો:
$i$. એક સંખ્યા ઋણ અને ત્રણ ધન હોય: $^{8}C_1 \times ^{6}C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$ii$. ત્રણ સંખ્યાઓ ઋણ અને એક ધન હોય: $^{8}C_3 \times ^{6}C_1 = 56 \times 6 = 336$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 160 + 336 = 496$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{496}{1001}$.

(A) આપેલ છે કે $A$,$B$,અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$A$ ની તરફેણમાં અવરોધ $4 : 6$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં અવરોધ $7 : 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B$ ની તરફેણમાં અવરોધ $3 : 7$ છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$.
આ કિંમતો સરવાળામાં મૂકતા: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$.
$\frac{7}{10} + P(C) = 1 \implies P(C) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
પૂરક ઘટના $C'$ ની સંભાવના $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ છે.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં અવરોધ $P(C') : P(C) = \frac{7}{10} : \frac{3}{10} = 7 : 3$ થાય છે.

(D) પ્રથમ વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ છે.
$\therefore P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
બીજા વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
$\therefore P(B') = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
ત્રીજા વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ છે.
$\therefore P(C') = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
જો ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તો બહુમતી પુસ્તકની તરફેણમાં ગણાશે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ છે.
$= P(A) \cdot P(B) \cdot P(C') + P(A) \cdot P(B') \cdot P(C) + P(A') \cdot P(B) \cdot P(C) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.
$= \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right)$.
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(B) ધારો કે $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$
પ્રશ્ન કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્ન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય.
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના એ પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે:
$P(\text{ઉકેલાય}) = 1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) ધારો કે $a = \sqrt{3}+1$,$b = \sqrt{3}-1$,અને $C = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = (3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) - 2(3-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 8 - 2 = 6 \implies c = \sqrt{6}$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)} \cot(30^{\circ})$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
તેથી,$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \implies A-B = 90^{\circ}$.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin 60^{\circ}}{6} = \frac{\sin B}{8}$
કારણ કે $B = \sin^{-1} x$,તેથી $\sin B = x$.
$\frac{\sqrt{3}/2}{6} = \frac{x}{8}$
$\frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{x}{8}$
$x = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(D) કોસાઇનના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{3})(1) \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a^2 = 4 - 3 = 1$
$\therefore a = 1$
અહીં $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ એ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\angle B$ છે.
$\angle B$ માટે કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$
$\therefore B = 120^{\circ}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $a \cdot \cos^2 \frac{C}{2} + c \cdot \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર $b = a \cos C + c \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + c + b = 3b$
$a + c = 2b$
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે $\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{8}=\frac{c+a}{9}=k$ છે.
આના પરથી:
$a+b=7k$ $(i)$
$b+c=8k$ $(ii)$
$c+a=9k$ $(iii)$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(a+b+c)=24k$ મળે,તેથી $a+b+c=12k$ $(iv)$.
સમીકરણ $(iv)$ માંથી અનુક્રમે $(i), (ii), (iii)$ બાદ કરતા:
$c = (a+b+c) - (a+b) = 12k - 7k = 5k$
$a = (a+b+c) - (b+c) = 12k - 8k = 4k$
$b = (a+b+c) - (c+a) = 12k - 9k = 3k$
અહીં $a^2+b^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 = (5k)^2 = c^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c$ છે.
તેથી,$\angle C = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$.
તેથી,$\frac{(A(\triangle ABC))^2}{k^4} = \frac{(6k^2)^2}{k^4} = \frac{36k^4}{k^4} = 36$.

(C) $\triangle ABD$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ:
$\frac{\sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{\sin(\angle B)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{AD} = \frac{\sqrt{3}/2}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} \quad \dots (i)$
$\triangle ADC$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ:
$\frac{\sin(\angle CAD)}{DC} = \frac{\sin(\angle C)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle CAD)}{3x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{AD} = \frac{1/\sqrt{2}}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A = \frac{\pi}{4}$,$B = \frac{\pi}{3}$ અને $C = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12}$ છે.
સૌથી નાનો ખૂણો $A = \frac{\pi}{4}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $C = \frac{5\pi}{12}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}$ છે.
$\frac{a}{c} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{5\pi}{12})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
તેથી,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(D) આપેલ પ્રદેશ $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x = \frac{y^2}{2}$ અને $x = y+4$ લઈએ.
$x$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{y^2}{2} = y+4$
$y^2 = 2y + 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
આમ,$y = 4$ અથવા $y = -2$.
જ્યારે $y = 4$,ત્યારે $x = 4+4 = 8$. જ્યારે $y = -2$,ત્યારે $x = -2+4 = 2$.
છેદબિંદુઓ $(8, 4)$ અને $(2, -2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ ને $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય:
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$
$A = (\frac{16}{2} + 4(4) - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} + 4(-2) - \frac{-8}{6})$
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3}$
$A = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3})$
$A = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલા વક્રો $y=x^2$ અને $y=|x|$ છે.
બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,$y=|x|$ એ $y=x$ બને છે.
છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $x^2 = x$ લેતા,$x(x-1)=0$ મળે છે,તેથી $x=0$ અને $x=1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે. રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{a^2}{2}+y^2=a^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $y^2=\frac{a^2}{2}$,તેથી $y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળ અને રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ની જમણી બાજુએ ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a$
$= 2 \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{4})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)$.

(C) વક્રો $y=3x+1$ અને $y=4x+1$ એ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $3x+1 = 4x+1$,જે $x=0$ આપે છે.
આપેલ સીમા $x=3$ સાથે,પ્રદેશ $x=0$ અને $x=3$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલ છે.
આ અંતરાલમાં,$4x+1 \geq 3x+1$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{3} [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{3} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્ર $y = a\sqrt{x} + bx$ છે. તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(1) + b(1)$,જે આપણને $a + b = 2$ આપે છે ...$(i)$.
વક્ર,$x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^4 (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^4 (ax^{1/2} + bx) dx = \left[ a \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\left( \frac{2a}{3} \cdot 4^{3/2} + \frac{b}{2} \cdot 4^2 \right) = 8$.
$\frac{2a}{3} \cdot 8 + \frac{b}{2} \cdot 16 = 8$.
$\frac{16a}{3} + 8b = 8$.
$8$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2a}{3} + b = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3b = 3$ થાય છે ...(ii).
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$b = 2 - a$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2a + 3(2 - a) = 3$.
$2a + 6 - 3a = 3$.
$-a = -3 \Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$3 + b = 2 \Rightarrow b = -1$.
આમ,$a = 3$ અને $b = -1$.

(A) વક્રો $y=(x-1)^2$,$y=(x+1)^2$ અને રેખા $y=\frac{1}{4}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં $y=(x-1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ દ્વારા $x=0$ થી $x=\frac{1}{2}$ સુધી ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^{1/2} [(x-1)^2 - 1/4] dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{1/2} = 2 \left[ (\frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1)^3}{3} - 0) \right] = 2 \left[ -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{-1-3+8}{24} \right] = 2 \left[ \frac{4}{24} \right] = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ અને $x=2$ સીમાઓ વચ્ચે ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_1^2 (e^x - \log x) dx$
$= \int_1^2 e^x dx - \int_1^2 \log x dx$
$= [e^x]_1^2 - [x \log x - x]_1^2$
$= (e^2 - e^1) - [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)]$
કારણ કે $\log 1 = 0$,તેથી:
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 2 - 0 + 1]$
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 1]$
$= e^2 - e + 1 - 2 \log 2 \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) ધારો કે $x$ એ $t$ સમયે પદાર્થનું દળ છે.
ક્ષયનો દર $\frac{dx}{dt} = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંકલન કરતા,$\ln(x) = -kt + C$ મળે છે.
$t=0$ પર,$x=27$,તેથી $C = \ln(27)$.
આમ,$\ln(x) = -kt + \ln(27)$.
$t=3$ પર,$x=8$,તેથી $\ln(8) = -3k + \ln(27)$,જે $3k = \ln(\frac{27}{8})$ આપે છે.
તેથી,$k = \ln(\frac{3}{2})$.
આપણે વધુ એક કલાક પછી,એટલે કે $t=4$ પર દળ શોધવાનું છે.
$\ln(x) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(27) = \ln(\frac{16}{81} \times 27) = \ln(\frac{16}{3})$.
તેથી,$x = \frac{16}{3} \text{ ગ્રામ}$.

(C) ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $\theta_0 = 25^{\circ} C$.
સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(55)$.
આમ,$\ln(\theta - 25) = -kt + \ln(55)$,અથવા $\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -kt$.
$t = 30$ મિનિટ પર,$\theta = 50^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{50 - 25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{5}{11}\right) = -30k$.
$t = 60$ મિનિટ માટે,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -60k = 2(-30k) = 2 \ln\left(\frac{5}{11}\right)$.
તેથી,$\frac{\theta - 25}{55} = \left(\frac{5}{11}\right)^2 = \frac{25}{121}$.
$\theta - 25 = 55 \times \frac{25}{121} = 5 \times \frac{25}{11} = \frac{125}{11} \approx 11.36$.
$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિક અસામાન્ય હોવા માટે,$|A| \neq 0$.
$|A| = (1 - \omega c)(1 - a\omega) \neq 0$.
આથી $c \neq \omega^2$ અને $a \neq \omega^2$.
$a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$ હોવાથી,$a = \omega$ અને $c = \omega$ મળે.
$b$ એ $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે.
આમ,શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) વિધેય $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવાથી:
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(ii)$ પરથી,$a = -2b$. તેને $(i)$ માં મૂકતા:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = -\frac{\pi}{12}$ મળે છે.

(D) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f(x) = [x]$ એ દરેક પૂર્ણાંક કિંમત માટે અસતત હોય છે.
આપેલ અંતરાલ $x \in \left(-\frac{7}{2}, 100\right)$ ને $x \in (-3.5, 100)$ તરીકે લખી શકાય.
આ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકો $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, 99\}$ છે.
કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{પદોની સંખ્યા} = (\text{અંતિમ પદ} - \text{પ્રથમ પદ}) + 1$.
અહીં,પ્રથમ પદ $-3$ છે અને અંતિમ પદ $99$ છે.
અસતત બિંદુઓની કુલ સંખ્યા = $(99 - (-3)) + 1 = 99 + 3 + 1 = 103$.
આમ,અસતત બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $103$ છે.

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.} = f(0)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x=0$ આગળ $\text{L.H.L.}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\text{L.H.L.} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos kx}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(\frac{kx}{2})}{\frac{kx}{2}} \cdot \frac{k}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$.
હવે,$x=0$ આગળ $\text{R.H.L.}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.}$:
$\frac{k^2}{2} = 8 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $4$ છે.

(A) $f(x)$ એ $0 \leq x \leq \pi$ માં સતત છે,તેથી તે $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ પણ સતત છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \Rightarrow a = -2b \quad (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
અંતે,$2a + 3b = 2(\frac{\pi}{6}) + 3(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ 1 - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \right]$.
કૌંસમાં રહેલા પદના અવયવ પાડતા:
$f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ (1 - \cos \frac{x}{2}) - \cos \frac{x}{4} (1 - \cos \frac{x}{2}) \right] = \frac{4}{x^4} (1 - \cos \frac{x}{2}) (1 - \cos \frac{x}{4})$.
$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{4}{x^4} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} \right) \left( 2 \sin^2 \frac{x}{8} \right) = 16 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{4}}{x^2} \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{8}}{x^2}$.
$(\frac{1}{4})^2$ અને $(\frac{1}{8})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(0) = 16 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{4}}{\frac{x}{4}} \right)^2 \cdot \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{\sin \frac{x}{8}}{\frac{x}{8}} \right)^2 \cdot \frac{1}{64} = 16 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{64} \cdot (1)^2 \cdot (1)^2 = \frac{1}{64}$.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $[-1, 1]$ માં સતત છે,તેથી તે $x = 0$ આગળ પણ સતત હશે.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ શોધીએ: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધીએ: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx}}{x}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx})(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+mx) - (1-mx)}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2mx}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \frac{2m}{1+1} = m$.
બંને લક્ષને સરખાવતા: $m = -\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = f(1-x)$ અને $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^b g(x) dx = \int_{a}^b g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -1$ અને $b = 2$,આપણને $a+b = 1$ મળે છે.
તેથી,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$.
કારણ કે $f(1-x) = f(x)$,આપણને $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx$ મળે છે.
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$.
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$.
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
કારણ કે $R_2$ એ $y = f(x)$ દ્વારા $x = -1$ થી $x = 2$ સુધીનું આવૃત ક્ષેત્રફળ છે,તેથી $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
તેથી,$R_2 = 2 R_1$.

(D) $x < 3$ માટે,$|x-3| = -(x-3)$,તેથી $f(x) = \frac{x-3}{-(x-3)} + a = -1 + a = a - 1$ થાય.
$x > 3$ માટે,$|x-3| = (x-3)$,તેથી $f(x) = \frac{x-3}{x-3} + b = 1 + b$ થાય.
$f(x)$ એ $x=3$ આગળ સતત હોવાથી,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને વિધેયની $x=3$ આગળની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) \implies a - 1 = a + b \implies b = -1$.
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \implies 1 + b = a + b \implies a = 1$.
તેથી,$a - b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,શરત $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ સંતોષાવી જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
અહીં $\text{LHL} = \text{RHL} = 8$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $a = 8$ થાય.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $X$ નું સંભાવના ઘનતા વિધેય (p.d.f.) છે,તેથી વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_0^1 ax dx + \int_1^2 a dx + \int_2^3 (3a - ax) dx = 1$
$a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + a [x]_1^2 + \left[ 3ax - \frac{ax^2}{2} \right]_2^3 = 1$
$a(\frac{1}{2}) + a(1) + [(9a - \frac{9a}{2}) - (6a - \frac{4a}{2})] = 1$
$\frac{a}{2} + a + [\frac{9a}{2} - 4a] = 1$
$\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$

(B) આપેલ વિધેય $f(t) = \frac{1}{t^2 + t - 2}$ છે.
છેદના અવયવ પાડતા,$f(t) = \frac{1}{(t + 2)(t - 1)}$ મળે.
વિધેય $f(t)$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય,એટલે કે $t = -2$ અને $t = 1$ આગળ.
હવે,$x$ ની કિંમતો શોધવા માટે $t = \frac{1}{x - 1}$ મૂકતા:
$t = -2$ માટે:
$\frac{1}{x - 1} = -2 \implies x - 1 = -\frac{1}{2} \implies x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$t = 1$ માટે:
$\frac{1}{x - 1} = 1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.
આમ,વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = 2$ આગળ અસતત છે.

(B) ક્યુમ્યુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન (c.d.f.) $F(x)$ એ પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી ફંક્શન (p.d.f.) $f(x)$ નું $-\infty$ થી $x$ સુધીનું સંકલન છે.
$0 < x < 1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
$F(x) = \int_0^x 12t^2(1-t) dt$
$F(x) = 12 \int_0^x (t^2 - t^3) dt$
$F(x) = 12 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_0^x$
$F(x) = 12 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right)$
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $[-2,2]$ પર સતત છે,તેથી તે $x=0$ અને $x=1$ આગળ પણ સતત હશે.
$x=0$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = a + 3$.
$\lim_{x \to 0^+} (2x + 7) = 7$.
બંનેને સરખાવતા,$a + 3 = 7 \implies a = 4$.
$x=1$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (2x + 7) = 2(1) + 7 = 9$.
$\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+8} - b) = \sqrt{1+8} - b = 3 - b$.
બંનેને સરખાવતા,$9 = 3 - b \implies b = -6$.
તેથી,$2a + 3b = 2(4) + 3(-6) = 8 - 18 = -10$.

(B) વિધેય $f(x) = [x] \cdot \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,જે $x$ ની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો પર અસતત હોય છે.
ધારો કે $x = n$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x = n$ પર,પદ $\cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
જ્યારે આપણે લક્ષ તપાસીએ છીએ,ત્યારે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ બંને $0$ મળે છે,અને $f(n) = 0$ છે.
તેથી,આ વિધેય તમામ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર સતત છે. આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,પરંતુ જો પ્રશ્નનો હેતુ $[x]$ ની અસતતતા પૂછવાનો હોય,તો જવાબ $C$ ગણાય.

(C) વિધેય $f$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
અહીં $f(0) = k$ આપેલ છે,તેથી લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log \left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\log(1+3x) - \log(1-2x)]$
$= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\log(1+3x)}{x} - \frac{\log(1-2x)}{x} \right]$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim_{x \to 0} \left[ 3 \cdot \frac{\log(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log(1-2x)}{-2x} \right]$
$= 3(1) + 2(1) = 5$.
તેથી,$k = 5$.

(A) $f(x) = |x - \pi|(e^{|x|} - 1) \sin |x|$ ની $x = \pi$ અને $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા:
$1$. $x = \pi$ આગળ વિકલનીયતા:
$f(\pi) = 0$.
વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi + h) - f(\pi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|(e^{|\pi + h|} - 1) \sin |\pi + h|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} (e^{\pi} - 1) \sin \pi = 0$.
આમ,$f(x)$ એ $x = \pi$ આગળ વિકલનીય છે.
$2$. $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા:
$f(0) = 0$.
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h - \pi|(e^{|h|} - 1) \sin |h|}{h}$.
જ્યારે $h \to 0$,ત્યારે $e^{|h|} - 1 \approx |h|$ અને $\sin |h| \approx |h|$.
તેથી,લક્ષ $\lim_{h \to 0} \frac{|-\pi| \cdot |h| \cdot |h|}{h} = \lim_{h \to 0} \pi \cdot \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \pi h = 0$.
આમ,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ પણ વિકલનીય છે.
વિધેય દરેક બિંદુએ વિકલનીય હોવાથી,ગણ $S$ એ ખાલી ગણ $\phi$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \log x$ અંતરાલ $[1, e]$ પર છે.
પ્રથમ,વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{1}{x}$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,અંતરાલ $(1, e)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી:
$f'(c) = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$f(e) = \log e = 1$ અને $f(1) = \log 1 = 0$.
તેથી,$\frac{1}{c} = \frac{1 - 0}{e - 1}$.
$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1}$.
આમ,$c = e - 1$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^1 (\cos^{-1} x)(1) \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = \cos^{-1} x$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ અને $v = x$.
$I = [x \cos^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx$.
$I = [x \cos^{-1} x]_0^1 + \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
સંકલન $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ માટે,$t = 1-x^2$ લેતા,$dt = -2x \, dx$,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$.
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\sqrt{1-x^2}$.
આમ,$I = [x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = [1 \cdot \cos^{-1}(1) - \sqrt{1-1^2}] - [0 \cdot \cos^{-1}(0) - \sqrt{1-0^2}]$.
$I = [1 \cdot 0 - 0] - [0 - 1] = 0 - (-1) = 1$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^2 \frac{dx}{(x^2-2x+4)^{\frac{3}{2}}} = \int_1^2 \frac{dx}{((x-1)^2+3)^{\frac{3}{2}}}$.
$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \ d\theta$ મળે.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $\theta=0$ અને જ્યારે $x=2$,ત્યારે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{(3 \sec^2 \theta)^{\frac{3}{2}}} \ d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3\sqrt{3} \sec^3 \theta} \ d\theta = \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos \theta \ d\theta$.
$I = \frac{1}{3} [\sin \theta]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{3} (\sin \frac{\pi}{6} - \sin 0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $\frac{k}{k+5} = \frac{1}{6}$,તેથી $6k = k+5$,જેનો અર્થ છે કે $5k = 5$,એટલે કે $k = 1$.

$(A)$ ધારો કે $I = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \,d x$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા, $dx = \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{1}{2}$ ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{6}$ થાય.
છેદ $(1 - \sin^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = (\cos^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = \cos^3 \theta$ થશે.
તેથી, $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2 \theta \cdot \cos \theta}{\cos^3 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \tan^2 \theta d\theta$.
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (\sec^2 \theta - 1) d\theta = [\tan \theta - \theta]_0^{\frac{\pi}{6}}$.
$I = (\tan \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) - (\tan 0 - 0) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \pi}{6}$.
આપેલ છે કે $I = \frac{k}{6}$, તેથી સરખામણી કરતા $k = 2\sqrt{3} - \pi$ મળે.

(C) $\text{ધારો કે } I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$ $\quad \dots (i)$
$\text{ગુણધર્મ } \int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx \text{ નો ઉપયોગ કરતા:}$
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \cos(\pi - x)} \,dx$
$\text{કારણ કે } \tan(\pi - x) = -\tan x, \sec(\pi - x) = -\sec x, \text{અને } \cos(\pi - x) = -\cos x:$
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-(\sec x + \cos x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$ $\quad \dots (ii)$
$(i) \text{ અને } (ii) \text{ નો સરવાળો કરતા:}$
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x / \cos x}{1/\cos x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \,dx$
$\text{ધારો કે } t = \cos x, \text{તો } dt = -\sin x \,dx. \text{ જ્યારે } x=0, t=1; \text{જ્યારે } x=\pi, t=-1.$
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$
$2I = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$\text{તેથી, } I = \frac{\pi^2}{4}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\frac{4}{3}} \cos^2 x} \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 x}{\tan^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{6}$,ત્યારે $t = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
$I = \int_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}} t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \left[ \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} \right]_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}} = -3 \left[ t^{-\frac{1}{3}} \right]_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}}$
$= -3 \left( (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} - (3^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} \right) = -3 \left( 3^{-\frac{1}{6}} - 3^{\frac{1}{6}} \right)$
$= 3 \cdot 3^{\frac{1}{6}} - 3 \cdot 3^{-\frac{1}{6}} = 3^{\frac{7}{6}} - 3^{\frac{5}{6}}$

(D) ધારો કે $h(x) = [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)]$.
આપણે $h(-x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$h(-x) = [f(-x)+f(x)][g(-x)-g(x)]$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$h(-x) = [f(x)+f(-x)] \cdot -[g(x)-g(-x)]$.
$h(-x) = -[f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] = -h(x)$.
ચૂક્યું કે $h(-x) = -h(x)$,તેથી વિધેય $h(x)$ એ અયુગ્મ (odd) વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $h(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx = 0$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(u) = \tan^{-1}(\frac{1}{u})$ જ્યારે $u > 0$ હોય.
તેથી,$\cot^{-1}(\frac{x}{x^2+1}) = \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})$ જ્યારે $x > 0$ હોય.
વળી,$\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ એ તમામ $u \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
આમ,સંકલ્ય (integrand) $x \neq 0$ માટે $\frac{\pi}{2}$ થાય છે.
$I = \int_{-1}^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^3$.
$I = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x}$.
આદેશ $\tan \frac{x}{2} = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $\pi$ થાય,ત્યારે $t$ ની કિંમત $\tan(0) = 0$ થી $\tan(\frac{\pi}{2}) = \infty$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{4 + 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4 + 4t^2 + 3 - 3t^2} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{7 + t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{7}} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)]$.
કારણ કે $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$ હોવાથી:
$I = \frac{2}{\sqrt{7}} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$.

(D) $\int_0^4 |2x - 5| \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પહેલા તે બિંદુ શોધીએ છીએ જ્યાં નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરની અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન બદલે છે.
$2x - 5 = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{5}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{5}{2}$ એ $0$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલું છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = \frac{5}{2}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^4 |2x - 5| \, dx = \int_0^{\frac{5}{2}} -(2x - 5) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= \int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= [5x - x^2]_0^{\frac{5}{2}} + [x^2 - 5x]_{\frac{5}{2}}^4$
$= (5(\frac{5}{2}) - (\frac{5}{2})^2) - (0) + ((4)^2 - 5(4)) - ((\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}))$
$= (\frac{25}{2} - \frac{25}{4}) + ((16 - 20) - (\frac{25}{4} - \frac{25}{2}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 - (-\frac{25}{4}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 + \frac{25}{4}) = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$.
વિધેય $f(x) = \sin x - \frac{2x}{\pi}$ ધ્યાનમાં લો.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$.
$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \ge \frac{2x}{\pi}$,તેથી $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \sin x - \frac{2x}{\pi}$.
$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ માટે,$\sin x \le \frac{2x}{\pi}$,તેથી $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \frac{2x}{\pi} - \sin x$.
આમ,$I = \int_0^{\pi/2} (\sin x - \frac{2x}{\pi}) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\frac{2x}{\pi} - \sin x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [-\cos x - \frac{x^2}{\pi}]_0^{\pi/2} + [\frac{x^2}{\pi} + \cos x]_{\pi/2}^{\pi}$.
$I = [(-\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{(\pi/2)^2}{\pi}) - (-\cos(0) - 0)] + [(\frac{\pi^2}{\pi} + \cos(\pi)) - (\frac{(\pi/2)^2}{\pi} + \cos(\frac{\pi}{2}))]$.
$I = [(0 - \frac{\pi}{4}) - (-1)] + [(\pi - 1) - (\frac{\pi}{4} + 0)]$.
$I = 1 - \frac{\pi}{4} + \pi - 1 - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપણે $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$
$|x| \leq 2$ માટે,$f(x) = e^{\cos x} \sin x$ છે. નોંધો કે $g(x) = e^{\cos x} \sin x$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $g(-x) = e^{\cos(-x)} \sin(-x) = e^{\cos x} (-\sin x) = -g(x)$.
સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર અયુગ્મ વિધેયનું સંકલન $0$ થાય છે. તેથી,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x} \sin x dx = 0$.
$x > 2$ માટે,$f(x) = 2$ છે. તેથી,$\int_{2}^{3} 2 dx = 2[x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2(1) = 2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,આપણને $0 + 2 = 2$ મળે છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta$.
સરવાળો $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n \theta + \tan^{n-2} \theta) \, d\theta$ ધ્યાનમાં લો.
$\tan^{n-2} \theta$ સામાન્ય લેતા:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta (\tan^2 \theta + 1) \, d\theta$.
કારણ કે $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,તેથી:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
ધારો કે $u = \tan \theta$,તો $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 1$.
આમ,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$.
$n = 12$ માટે,$I_{12} + I_{10} = \frac{1}{12-1} = \frac{1}{11}$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=f(x)$.
$f(x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x + C$ મળે છે.
$f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1) = 0 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
આમ,$f(x) = e^x$.
$f(x)+g(x)=x^2$ હોવાથી,$g(x) = x^2 - e^x$ થાય.
હવે,આપણે સંકલન $I = \int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$I = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx = \int_0^1 x^2 e^x dx - \int_0^1 e^{2x} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય: $[e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = (e(1-2+2)) - (e^0(0-0+2)) = e - 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$.
તેથી,$I = (e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = e - \frac{e^2}{2} - \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ અને $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = (1-h) + h = 1$ છે.
$I_1$ માટે આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા:
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)(1-(1-x))) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)x) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx - \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$
$I_1 = I_2 - I_1$
$2I_1 = I_2$
તેથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2}$.

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\cos(A+B) [\cos A \cos B - \sin A \sin B] - (-\sin(A+B)) [\sin A \cos B - (-\cos A \sin B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\cos(A+B) [\cos(A+B)] + \sin(A+B) [\sin(A+B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2(A+B) + \sin^2(A+B) + \cos(2B) = 1 = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos(2B) = 0$
$\cos(2B) = -1$
$2B = (2n+1)\pi$
$B = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2=2 c(x+\sqrt{c}) \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y \frac{dy}{dx} = 2c \implies c = y \frac{dy}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2 \left(y \frac{dy}{dx}\right) \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \left(y \frac{dy}{dx}\right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.

(C) $Y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે અને $a$ અચળાંક છે.
આ સમીકરણમાં ત્રણ સ્વૈર અચળાંકો છે: $h$,$k$,અને $a$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $2(x-h) = 4a \frac{dy}{dx} \implies (x-h) = 2a y_1$.
બીજું વિકલન: $1 = 2a y_2$.
ત્રીજું વિકલન: $0 = 2a y_3$.
કારણ કે $2a \neq 0$,તેથી $y_3 = 0$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^k + y^k = a^k$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{k x^{k-1}}{k y^{k-1}} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -(\frac{x}{y})^{k-1}$
$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{-(k-1)} = -(\frac{y}{x})^{1-k}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{1-k} = 0$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$1 - k = \frac{1}{3}$
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$y = e^x(a \cos x + b \sin x)$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b \cos x - a \sin x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + [e^x(b \cos x - a \sin x) + e^x(-b \sin x - a \cos x)]$
$e^x(b \cos x - a \sin x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
$e^x(a \cos x + b \sin x) = y$ હોવાથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ થાય છે.
સ્વૈર અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 2ay$ માં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
ગોઠવતા,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,તેથી $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
આમ,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,અથવા $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
હવે,$x = \frac{\pi}{2}$ માટે કિંમત શોધતા: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+y^2) dx = xy dy$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{1}{x} dx = \frac{y}{1+y^2} dy$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{y}{1+y^2} dy$.
આથી $\log |x| = \frac{1}{2} \log (1+y^2) + C$ મળે.
$x=1$ અને $y=0$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા: $\log(1) = \frac{1}{2} \log(1+0^2) + C$,જેનો અર્થ છે કે $0 = 0 + C$,તેથી $C=0$.
સમીકરણ $\log x = \frac{1}{2} \log (1+y^2)$ બને છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \log x = \log (1+y^2)$ મળે,જે $\log(x^2) = \log(1+y^2)$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$x^2 = 1+y^2$,અથવા $x^2 - y^2 = 1$.
આ સમીકરણ એક લંબ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{d y}{d x}\right)=a x+b y$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$\frac{d y}{d x}=e^{a x+b y} = e^{a x} \cdot e^{b y}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{d y}{e^{b y}} = e^{a x} d x$,એટલે કે $e^{-b y} d y = e^{a x} d x$ થાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-b y} d y = \int e^{a x} d x$.
આથી $\frac{e^{-b y}}{-b} = \frac{e^{a x}}{a} + C$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{e^{a x}}{a} + \frac{e^{-b y}}{b} = -C$ મળે.
$ab$ વડે ગુણતા,$b e^{a x} + a e^{-b y} = -abC$ મળે.
ધારો કે $c_1 = -abC$,તેથી $a e^{-b y} + b e^{a x} = c_1$ મળે.