MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $1$. પ્રદેશને સીમિત કરતી રેખાઓ ઓળખો: રેખાઓ $3x + 4y = 12$ (અંતઃખંડ $(4,0)$ અને $(0,3)$),$4x + 7y = 28$ (અંતઃખંડ $(7,0)$ અને $(0,4)$),અને $y = 1$ છે.
$2$. અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરો:
- રેખા $3x + 4y = 12$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે,તેથી અસમતા $3x + 4y \geq 12$ છે.
- રેખા $4x + 7y = 28$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે,તેથી અસમતા $4x + 7y \leq 28$ છે.
- રેખા $y = 1$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપર છે,તેથી અસમતા $y \geq 1$ છે.
- પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ મળે.
$3$. આ બધાને જોડતા,અસમતાઓનું તંત્ર $3x + 4y \geq 12, 4x + 7y \leq 28, y \geq 1, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $(0,0)$,$(3,0)$,$(3,2)$,$(2,3)$,અને $(0,3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=10x+25y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$(0,0)$ આગળ,$z=10(0)+25(0)=0$
$(3,0)$ આગળ,$z=10(3)+25(0)=30$
$(3,2)$ આગળ,$z=10(3)+25(2)=30+50=80$
$(2,3)$ આગળ,$z=10(2)+25(3)=20+75=95$
$(0,3)$ આગળ,$z=10(0)+25(3)=75$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $95$ મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $4x + 3y \leq 60$: આ રેખા $(15, 0)$ અને $(0, 20)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $y \geq 2x$: આ રેખા $(0, 0)$ અને $(3, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geq 3$: આ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x, y \geq 0$: આ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે.
$S_2$ પ્રદેશમાં આવેલ બિંદુ $(4, 10)$ ચકાસતા:
- $4(4) + 3(10) = 16 + 30 = 46 \leq 60$ (સાચું)
- $10 \geq 2(4) = 8$ (સાચું)
- $4 \geq 3$ (સાચું)
- $4, 10 \geq 0$ (સાચું)
બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી ઉકેલ ગણ $S_2$ પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(3, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $2x + 3y = 6$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર હોવાથી,પ્રતિબંધ $2x + 3y \geq 6$ છે.
$2$. $(0, 3)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $3x + 6y = 18$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $3x + 6y \leq 18$ છે.
$3$. $(3, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x - 3y = 3$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $x - 3y \leq 3$ છે.
$4$. $(0, 1)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $-x + 2y = 2$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $-x + 2y \leq 2$ છે.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આમ,સાચા પ્રતિબંધો $2x + 3y \geq 6, 3x + 6y \leq 18, x - 3y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ છે.
આલેખ પરથી,રેખાઓ $y = 3$,$x = 4$,$y = x + 3$,અને $2x + 3y = 12$ છે.
$1$. બિંદુ $A$ એ $y = 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(3) = 12 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. તેથી,$A = (1.5, 3)$.
$2$. બિંદુ $B$ એ $y = 3$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ છે. તેથી,$B = (4, 3)$.
$3$. બિંદુ $C$ એ $x = 4$ અને $y = x + 3$ નું છેદબિંદુ છે:
$y = 4 + 3 = 7$. તેથી,$C = (4, 7)$.
$4$. બિંદુ $D$ એ $y = x + 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(x + 3) = 12 \implies 5x + 9 = 12 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6$.
$y = 0.6 + 3 = 3.6$. તેથી,$D = (0.6, 3.6)$.
હવે,આ બિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$Z(A) = 3(1.5) + 5(3) = 4.5 + 15 = 19.5$.
$Z(B) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$.
$Z(C) = 3(4) + 5(7) = 12 + 35 = 47$.
$Z(D) = 3(0.6) + 5(3.6) = 1.8 + 18 = 19.8$.
$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $19.5$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
આના પરથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \quad a + b + c = 6$
$2) \quad b + 3c = 11$
$3) \quad a - 2b + c = 0$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$a + c = 2b$ મળે છે.
$a + c = 2b$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2b + b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2$.
હવે,$b = 2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2 + 3c = 11 \implies 3c = 9 \implies c = 3$.
અંતે,$b = 2$ અને $c = 3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 2 + 3 = 6 \implies a + 5 = 6 \implies a = 1$.
આપણે $2a + b + 2c$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$2(1) + 2 + 2(3) = 2 + 2 + 6 = 10$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (2a)(2) - (-3b)(3) = 4a + 9b$.
તેથી,$A \cdot \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix}$.
હવે,$A A^{T}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A A^{T} = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a & 3 \\ -3b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A \cdot \operatorname{adj} A = A A^{T}$,તેથી શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$6a - 6b = 0 \implies a = b$.
$4a + 9b = 13$.
બીજા સમીકરણમાં $a = b$ મૂકતા: $4a + 9a = 13 \implies 13a = 13 \implies a = 1$.
તેથી $a = 1$ અને $b = 1$.
આમ,$2a + 3b = 2(1) + 3(1) = 5$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $B = \operatorname{Adj}(A)$ અને $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
તેથી,$|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ છે કે $|A| = 5$,તેથી $|B| = 5^2 = 25$.
હવે,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \times 3 - 2 \times 3) - \alpha(1 \times 3 - 2 \times 2) + 2(1 \times 3 - 2 \times 2)$.
$|B| = 1(6 - 6) - \alpha(3 - 4) + 2(3 - 4)$.
$|B| = 0 - \alpha(-1) + 2(-1) = \alpha - 2$.
$|B|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$\alpha - 2 = 25$.
$\alpha = 27$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં $B = \operatorname{adj} A$ અને $n = 3$ આપેલ છે,તેથી $|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$ થાય.
$|A| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|B| = 4^2 = 16$ થાય.
હવે,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = \begin{vmatrix} 3 & \alpha & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(9-1) - \alpha(3+1) - 1(1+3) = 3(8) - 4\alpha - 4 = 24 - 4\alpha - 4 = 20 - 4\alpha$.
$|B|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$20 - 4\alpha = 16$
$4\alpha = 4$
$\alpha = 1$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $P = \text{adj}(A)$ અને $|A| = 4$.
આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|P| = |\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|P| = 4^2 = 16$ થાય.
હવે,$P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$= 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$= 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$= 2\alpha - 6$.
$|P|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.

(D) કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયક જેટલો હોય છે,એટલે કે $\sum_{j=1}^{3} a_{ij}A_{ij} = |A|$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
પદાવલિ $a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$ એ બીજી હારને અનુલક્ષીને શ્રેણિક $A$ નું વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
સહઅવયવોની ગણતરી:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -1(8 - 6) = -2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 3) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2 - 2) = 0$
હવે,કિંમતો મૂકતા:
$a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = (-1)(-2) + (1)(1) + (2)(0)$
$= 2 + 1 + 0 = 3$.

(D) આપેલ છે કે $B = I - {}^{3}C_{1}(\operatorname{adj} A) + {}^{3}C_{2}(\operatorname{adj} A)^{2} - {}^{3}C_{3}(\operatorname{adj} A)^{3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(I - X)^{3} = I - {}^{3}C_{1}X + {}^{3}C_{2}X^{2} - {}^{3}C_{3}X^{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B = (I - \operatorname{adj} A)^{3}$ મળે છે.
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી $I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}^{3} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
વર્ગની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘનની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(-1) + (-3) + 0 + (-1) = -5$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1 & -2-3 \\ -2-3 & 1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$2A^2 + 5A = 2 \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$ ગણો.
ધારો કે $M = 2A^2 + 5A = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|M| = (20)(35) - (-15)(-15) = 700 - 225 = 475$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{475} \begin{bmatrix} 35 & 15 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $M^{-1} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2+1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
તેથી $A^6 = (A^3)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
હવે,$B = A^{2029} = A^{6 \times 338 + 1} = (A^6)^{338} \times A = (-I)^{338} \times A = I \times A = A$.
કારણ કે $B = A$,આપણે $B^{-1} = A^{-1}$ શોધવાનું છે.
$|A| = (i)(0) - (1)(1) = -1$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \operatorname{adj} A = -\operatorname{adj} A$.
તેથી,$B^{-1} = -\operatorname{adj} A$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ શોધીએ.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = xA + yI$ મુજબ:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2x = \frac{-2}{11} \Rightarrow x = \frac{-1}{11}$ મળે છે.
તેમજ,$x+y = \frac{1}{11} \Rightarrow \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \Rightarrow y = \frac{2}{11}$.
અંતે,$2x + 3y = 2(\frac{-1}{11}) + 3(\frac{2}{11}) = \frac{-2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{4}{11}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -\tan x - \tan x \\ \tan x + \tan x & -\tan^2 x + 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2 \tan x \\ 2 \tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} & \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \\ \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} & \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ અને $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.

(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$
હવે,$(A+B)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A+B| = (2)(-2) - (0)(6) = -4 - 0 = -4$
અહીં $|A+B| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
જો $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ હોય,તો $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-2}{-4} & \frac{0}{-4} \\ \frac{-6}{-4} & \frac{2}{-4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

(C) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં દસ (ten) ખેંચવાની સંભાવના છે. $52$ પત્તાના પેકમાં $4$ દસ હોવાથી,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
દસ ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,દસની સંખ્યા $X$ એ $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,દસની સંખ્યાનો મધ્યક $E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ છે.

(C) ધારો કે આગળનું ડગલું સફળતા $(p = 0.4)$ છે અને પાછળનું ડગલું નિષ્ફળતા $(q = 0.6)$ છે.
$11$ ડગલાં પછી શરૂઆતના બિંદુથી એક ડગલું દૂર રહેવા માટે,આગળના ડગલાં $(n_f)$ અને પાછળના ડગલાં $(n_b)$ માટે $n_f - n_b = 1$ અથવા $n_b - n_f = 1$ હોવું જોઈએ.
$n_f + n_b = 11$ હોવાથી,શક્ય કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $n_f = 6$ અને $n_b = 5$.
કિસ્સો $2$: $n_f = 5$ અને $n_b = 6$.
જરૂરી સંભાવના $P = { }^{11} C_6 p^6 q^5 + { }^{11} C_5 p^5 q^6$ છે.
${ }^{11} C_6 = { }^{11} C_5$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = { }^{11} C_6 (p^6 q^5 + p^5 q^6) = { }^{11} C_6 p^5 q^5 (p + q)$.
$p + q = 0.4 + 0.6 = 1$ આપેલ છે,તેથી:
$P = { }^{11} C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (1) = { }^{11} C_6 (0.24)^5$.

(A) $3$ સિક્કા ઉછાળતા,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે।
પરિણામો: ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}$.
$P(\text{બધા છાપા અથવા બધા કાંટા}) = P({HHH, TTT}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{એક છાપો અથવા બે છાપા}) = P({HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે।
$P(X = 7) = \frac{1}{4}$ અને $P(X = -3) = \frac{3}{4}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i p_i = 7 \times \frac{1}{4} + (-3) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$.
આમ,રમત દીઠ અપેક્ષિત રકમ ₹ $-0.5$ છે।

(B) ધારો કે $p$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
ધારો કે યાદચ્છિક ચલ $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n = 5$ છે.
આપેલ છે કે $P(X = 3) = 2 P(X = 2)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^5 C_3 p^3 q^2 = 2 \times { }^5 C_2 p^2 q^3$.
કારણ કે ${ }^5 C_3 = 10$ અને ${ }^5 C_2 = 10$,તેથી $10 p^3 q^2 = 20 p^2 q^3$.
બંને બાજુને $10 p^2 q^2$ વડે ભાગતા (ધારીને કે $p, q \neq 0$),આપણને $p = 2q$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 2q$ મૂકતા $3q = 1$ મળે,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
$5$ ફેંકમાં કોઈ પણ બેકી સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના $P(X = 0) = { }^5 C_0 p^0 q^5 = q^5 = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$ છે.
$5$ ફેંકના $6804$ સેટમાં,કોઈ પણ બેકી સંખ્યા ન મળે તેની અપેક્ષિત સંખ્યા $6804 \times \frac{1}{243} = 28$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ ઉમેદવાર ઉકેલવામાં અસમર્થ હોય તેવી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. સમસ્યા ઉકેલવામાં અસમર્થ હોવાની સંભાવના $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
સમસ્યા ઉકેલી શકવાની સંભાવના $q = \frac{4}{5}$ છે.
અહીં $n = 50$ સમસ્યાઓ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે $2$ કરતા ઓછી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અસમર્થ છે,એટલે કે $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{50}C_{0} \left(\frac{1}{5}\right)^{0} \left(\frac{4}{5}\right)^{50} = \left(\frac{4}{5}\right)^{50}$.
$P(X = 1) = {}^{50}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 50 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 10 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$.
$P(X < 2) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4}{5} + 10\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4 + 50}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \frac{54}{5} \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બે ખેંચાયેલા પત્તાંમાં રાણીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. બદલી સાથે ખેંચતા,દરેક પ્રયત્ન સ્વતંત્ર છે.
એક પ્રયત્નમાં રાણી મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાણી ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ મુજબ:
$P(X = 0) = ^2C_0 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 \times (\frac{1}{13}) \times (\frac{12}{13}) = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 \times (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,અને $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ શોધો.
વળી,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ અને $P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
હવે,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})} = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$.
અને $P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(A^{\prime})} = \frac{2/3}{2/3} = 1$.
તેથી,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) + P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{5}{6} + 1 = \frac{11}{6}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$p$ એ બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના છે:
$p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
બલ્બ મોટા જથ્થામાંથી પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P(X = r) = { }^5 C_r \left(\frac{1}{10}\right)^r \left(\frac{9}{10}\right)^{5-r}, r = 0, 1, \dots, 5$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે દુકાનને વધુમાં વધુ એક ખામીયુક્ત બલ્બ મળે,એટલે કે $P(X \leq 1)$:
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^5 = \left(\frac{9}{10}\right)^5$
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{10}\right)^1 \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4$
$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^5 + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9}{10} + \frac{1}{2} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9+5}{10} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left( \frac{14}{10} \right) = \frac{7}{5} \left(\frac{9}{10}\right)^4$

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ સમીકરણ મુજબ: $P(A \cup B) = 2P(B) - P(A)$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ મૂકતા:
$P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(B)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2P(A) = P(B) + P(A) \cdot P(B)$.
$2P(A) = P(B)(1 + P(A))$.
$P(B) = \frac{2P(A)}{1 + P(A)}$.
$P(A) = \frac{1}{4}$ આપેલ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$P(B) = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) એક પ્રયોગ નિષ્ફળ જાય તેના કરતા બમણી વાર સફળ થાય છે.
ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $p = 2q$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$2q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
અહીં $n = 6$ પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ સફળતાની સંખ્યા છે,જ્યાં $X \sim B(n, p)$.
જરૂરી સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {^6C_4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$.
$P(X = 5) = {^6C_5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$.
$P(X = 6) = {^6C_6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=4$ આપેલ છે,તેથી:
$P(X=3) = { }^4 C_3 p^3 (1-p)^1 = 4p^3(1-p)$
$P(X=2) = { }^4 C_2 p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2$
આપેલ શરત $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ મુજબ:
$2 \times [4p^3(1-p)] = 3 \times [6p^2(1-p)^2]$
$8p^3(1-p) = 18p^2(1-p)^2$
બંને બાજુ $2p^2(1-p)$ વડે ભાગતા:
$4p = 9(1-p)$
$4p = 9 - 9p$
$13p = 9 \implies p = \frac{9}{13}$
તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ છે:
$\text{વિચરણ} = 4 \times \frac{9}{13} \times \frac{4}{13} = \frac{144}{169}$.

(D) આપેલ છે,$P(X=4) = \frac{135}{2^{12}}$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^6C_4 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
અહીં ${}^6C_4 = 15$ હોવાથી,$15 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
$15$ વડે ભાગતા,$p^4 q^2 = \frac{9}{2^{12}} = \frac{3^2}{(2^6)^2} = \left(\frac{3}{64}\right)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$p^2 q = \frac{3}{64}$.
$q = 1-p$ મૂકતા,$p^2(1-p) = \frac{3}{64}$.
અવલોકન કરતા,જો $p = \frac{1}{4}$ લઈએ,તો $p^2(1-p) = (\frac{1}{16})(\frac{3}{4}) = \frac{3}{64}$.
આમ,$p = \frac{1}{4}$ અને $q = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ દ્વારા મળે છે.
વિચરણ $= 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે જ્યાં $n=7$ છે,સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $P(X=3) = 5 P(X=4)$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
${^7C_3} p^3 q^4 = 5 \times {^7C_4} p^4 q^3$
અહીં ${^7C_3} = {^7C_4} = 35$ હોવાથી,બંને બાજુને $35 p^3 q^3$ વડે ભાગતા:
$q = 5p$
$q = 1-p$ હોવાથી,$1-p = 5p$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $6p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
હવે $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ દ્વારા મળે છે.
$Var(X) = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.

(D) $n$ પ્રયત્નો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $\mu + \sigma^2 = 1.8$.
કિંમતો મૂકતા:
$np + npq = 1.8$
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
દશાંશ દૂર કરવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$50p^2 - 100p + 18 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$25p^2 - 50p + 9 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$
$p_1 = \frac{90}{50} = 1.8$ (શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$)
$p_2 = \frac{10}{50} = 0.2$
આમ,$p = 0.2$.

(B) $1$ અને $0$ અંકિત કરેલા ત્રણ સિક્કાઓ ઉછાળવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
$X$ એ ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$1/8$	$3/8$	$3/8$	$1/8$

$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના દળ વિધેયમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{r = 0}^n P(X = r) = 1$.
$\frac{^n C_0 + ^n C_1 + ^n C_2 + \dots + ^n C_n}{32} = 1$.
નિત્યસમ $\sum_{r = 0}^n n C_r = 2^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{2^n}{32} = 1$ મળે છે.
$2^n = 32$,જેનો અર્થ છે કે $2^n = 2^5$,તેથી $n = 5$.
હવે,આપણે $P[X \leq 2] = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
$P[X \leq 2] = \frac{^5 C_0}{32} + \frac{^5 C_1}{32} + \frac{^5 C_2}{32}$.
કિંમતો મૂકતા: $^5 C_0 = 1$,$^5 C_1 = 5$,અને $^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
$P[X \leq 2] = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $X$ એ $1, 2, \ldots, n$ કિંમતો સમાન સંભાવના $P(X) = \frac{1}{n}$ સાથે ધારણ કરે છે.
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Var}(X) = E(X)$,તેથી:
$\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n+1}{2}$.
$(n+1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $n \neq -1$):
$\frac{2n+1}{6} - \frac{n+1}{4} = \frac{1}{2}$.
$12$ વડે ગુણતા:
$2(2n+1) - 3(n+1) = 6$.
$4n + 2 - 3n - 3 = 6$.
$n - 1 = 6 \implies n = 7$.

(C) જ્યારે ખેલાડી $2$ સિક્કા ઉછાળે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ ખેલાડી દ્વારા મેળવેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
$X$ ની શક્ય કિંમતો $5, 2$ અને $1$ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=5) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(\{HT, TH\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(\{TT\}) = \frac{1}{4}$
સંભાવના વિતરણ:
$E(X) = \sum X P(X) = 5 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$
$E(X^2) = \sum X^2 P(X) = 5^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$
$\text{વિચરણ}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{34}{4} - \left(\frac{10}{4}\right)^2 = \frac{34}{4} - \frac{100}{16} = \frac{136 - 100}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.

(A) અસતત યાદચ્છિક ચલ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum_{x=0}^{6} f(x) = 1$
$k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 1$
$k(0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91k = 1 \implies k = \frac{1}{91}$
સંચયી વિતરણ વિધેય $F(4)$ ને $P(X \leq 4)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$F(4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$F(4) = k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)$
$F(4) = k(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 30k$
$k = \frac{1}{91}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F(4) = 30 \times \frac{1}{91} = \frac{30}{91}$

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ એક સમતોલ પાસાના $2$ ઉછાળમાં મળતા છગ્ગાની સંખ્યા દર્શાવે છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
એક ઉછાળમાં છગ્ગો મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે અને છગ્ગો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$X = 0$ (એક પણ છગ્ગો નહીં) માટે: $P(X = 0) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.
$X = 1$ (એક છગ્ગો) માટે: $P(X = 1) = (p \times q) + (q \times p) = (\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}) + (\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$X = 2$ (બે છગ્ગા) માટે: $P(X = 2) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે,અને $q = 1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $n = 10$ અને $\text{મધ્યક} + \text{વિચરણ} = \frac{15}{2}$.
સૂત્રો મૂકતા: $np + npq = \frac{15}{2}$.
$q = 1-p$ હોવાથી,$np + np(1-p) = \frac{15}{2}$.
$10p + 10p(1-p) = 7.5$.
$10p + 10p - 10p^2 = 7.5$.
$20p - 10p^2 = 7.5$.
$2.5$ વડે ભાગતા: $8p - 4p^2 = 3$.
$4p^2 - 8p + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2p-1)(2p-3) = 0$.
આથી $p = \frac{1}{2}$ અથવા $p = \frac{3}{2}$ મળે.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$p = \frac{1}{2}$ લેતા.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,વિચરણ $\sigma^2 = npq = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2.5$ થાય.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {^6C_4} p^4 q^2$ અને $P(X=2) = {^6C_2} p^2 q^4$ થાય.
આપેલ શરત $9 \cdot P(X=4) = P(X=2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2 = {^6C_2} p^2 q^4$.
અહીં ${^6C_4} = 15$ અને ${^6C_2} = 15$ હોવાથી:
$9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$9 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $3p = q$.
$q = 1-p$ હોવાથી,$3p = 1-p$.
$4p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત ટોપલીઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. આપણે $2$ ટોપલીઓ બદલ્યા વગર પસંદ કરીએ છીએ,તેથી $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
કુલ ટોપલીઓ = $20$,ખામીયુક્ત = $6$,સારી = $14$.
$P(X=0) = \frac{14}{20} \times \frac{13}{19} = \frac{182}{380}$
$P(X=1) = \frac{6}{20} \times \frac{14}{19} + \frac{14}{20} \times \frac{6}{19} = \frac{84+84}{380} = \frac{168}{380}$
$P(X=2) = \frac{6}{20} \times \frac{5}{19} = \frac{30}{380}$
અપેક્ષિત કિંમત $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$
$E(X) = 0 + \frac{168}{380} + 2 \times \frac{30}{380} = \frac{168 + 60}{380} = \frac{228}{380} = 0.6$.

(D) ધારો કે $X \sim B(n, p)$.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$8q = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$ અને $p = \frac{1}{2}$.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,આપણને $n = 16$ મળે છે.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$.
$P(X \leq 2) = \frac{{}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}}{2^{16}}$.
સંચયની ગણતરી કરતા: ${}^{16}C_{0} = 1$,${}^{16}C_{1} = 16$,અને ${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$.
આમ,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{K}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 137$ મળે છે.

(C) એક સમતોલ પાસાને ક્રમશઃ બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $X$ એ $2$ ઉછાળમાં ચારની સંખ્યા છે.
$X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$1$. $X = 0$ માટે: એવા પરિણામો જેમાં એકપણ પાસા પર $4$ ન આવે. આવા $5 \times 5 = 25$ પરિણામો છે. તેથી,$P(X = 0) = \frac{25}{36}$.
$2$. $X = 1$ માટે: પરિણામો $(4, \text{not } 4)$ અથવા $(\text{not } 4, 4)$ છે. આવા $1 \times 5 + 5 \times 1 = 10$ પરિણામો છે. તેથી,$P(X = 1) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$3$. $X = 2$ માટે: માત્ર એક જ પરિણામ $(4, 4)$ છે. તેથી,$P(X = 2) = \frac{1}{36}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(A) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં બદલી સાથે ખેંચાયેલા જેકની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને જેકની સંખ્યા $4$ છે.
એક પ્રયત્નમાં જેક ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
જેક ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવાથી (બદલી સાથે),$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
$P(X = x) = ^nC_x p^x q^{n-x}$
$P(X = 0) = ^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
આમ,સંભાવના વિતરણ વિકલ્પ $(A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ ને $\sum_{x=1}^{n} x \cdot P(X=x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ જ્યાં $x = 1, 2, \ldots, n$.
તેથી,$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$.
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$E(X) = \frac{2(2n+1)}{6} = \frac{2n+1}{3}$.

(B) ધારો કે $X$ એ ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3$ છે.
$3$ સિક્કા હોવાથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = \frac{1}{8}$
$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$Variance(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

(A) સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i = \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \dots + \frac{k}{k} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} i = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k+1}{2}$
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 p_i = \frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6}$
વિચરણ $= E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{(k+1)(2k+1)}{6} - \left( \frac{k+1}{2} \right)^2$
$= \frac{2k^2 + 3k + 1}{6} - \frac{k^2 + 2k + 1}{4}$
$= \frac{2(2k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1)}{12}$
$= \frac{4k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3}{12}$
$= \frac{k^2 - 1}{12}$

(C) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$(4k - 10k^2) + (5k - 1) + 3k^3 = 1$
$3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $k = \frac{1}{3}$ એ એક ઉકેલ છે:
$3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$
બહુપદીના અવયવો પાડતા,આપણને $(k - \frac{1}{3})(3k^2 - 9k + 6) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(k - \frac{1}{3})(k - 1)(k - 2) = 0$ થાય છે.
જો $k = 1$ હોય,તો $P(X=0) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,જે શક્ય નથી કારણ કે સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે.
જો $k = 2$ હોય,તો $P(X=0) = 4(2) - 10(4) = 8 - 40 = -32$,જે શક્ય નથી.
આમ,$k = \frac{1}{3}$ એ એકમાત્ર માન્ય કિંમત છે.
આપણે $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ શોધવાનું છે.
$P(X < 2) = (4k - 10k^2) + (5k - 1) = 9k - 10k^2 - 1$
$k = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$P(X < 2) = 9(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) - 1 = 3 - \frac{10}{9} - 1 = 2 - \frac{10}{9} = \frac{18 - 10}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) $X$ ની કિંમતોના સમૂહમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.08 + 0.05 = 0.48$.
ઘટના $F = \{X < 5\}$ એ $X \in \{1, 2, 3, 4\}$ ને અનુરૂપ છે.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 = 0.70$.
ઘટના $E \cap F$ એ $X$ એ $5$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાનું દર્શાવે છે,જે $\{2, 3\}$ છે.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.48 + 0.70 - 0.35 = 0.83$.

(C) આપણને સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = 3(1 - 2x^2)$ આપેલ છે,જ્યાં $0 < x < 1$.
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલ અંતરાલ પર વિધેયનું સંકલન કરીશું:
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} 3(1 - 2x^2) dx$
$= \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} (3 - 6x^2) dx$
$= [3x - 2x^3]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}}$
$= \left(3\left(\frac{1}{3}\right) - 2\left(\frac{1}{3}\right)^3\right) - \left(3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right)^3\right)$
$= \left(1 - \frac{2}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{64}\right)$
$= \left(\frac{25}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{32}\right)$
$= \frac{25}{27} - \frac{3}{4} + \frac{1}{32}$
સામાન્ય છેદ $(864)$ લેતા:
$= \frac{25 \times 32 - 3 \times 216 + 1 \times 27}{864}$
$= \frac{800 - 648 + 27}{864} = \frac{179}{864}$

(D) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ને $\sum x_i \cdot P(x_i)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ જ્યાં $x = 1, 2, \ldots, n$.
$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$E(X) = \frac{2n+1}{3}$