AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 3)$ અને $B(2, -1)$ છે. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{\alpha+2}{2}, 1\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજક $M$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો $y$-અંતઃખંડ $1$ છે,જે $M$ ના $y$-યામ જેટલો જ છે. આનો અર્થ એ છે કે $M$ નો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ અથવા રેખા આડી હોવી જોઈએ.
$\frac{\alpha+2}{2} = 0 \implies \alpha = -2$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $\alpha=2$ હોય,તો $AB$ શિરોલંબ રેખા બને અને લંબદ્વિભાજક $y=1$ બને,જેનો $y$-અંતઃખંડ $1$ છે.
આમ,$\alpha = \pm 2$.

(B) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $P(2,1)$ એ $BC$ પર,$Q(-1,-2)$ એ $CA$ પર અને $R(3,3)$ એ $AB$ પર છે.
$RQ$ એ $BC$ ને સમાંતર છે અને $RQ = \frac{1}{2} BC$ હોવાથી,બાજુ $BC$ એ રેખાખંડ $RQ$ ને સમાંતર છે.
$RQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{5}{4}$ છે.
$BC$ એ $RQ$ ને સમાંતર હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ પણ $m = \frac{5}{4}$ થશે.
બાજુ $BC$ એ બિંદુ $P(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$BC$ નું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{5}{4}(x - 2)$
$4(y - 1) = 5(x - 2)$
$4y - 4 = 5x - 10$
$5x - 4y = 6$

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -3)$,$B(1, 1)$,અને $C(2, 3)$ છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{3-1}{2-1} = 2$ છે.
માંગેલ રેખા $BC$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $(4, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2y + 6 = -x + 4$
$x + 2y = -2$
બંને બાજુ $-2$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} = 1$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ત્રિકોણ $L_1: 3x+y+2=0$,$L_2: 2x-3y+5=0$ અને $L_3: x+4y-14=0$ રેખાઓના છેદથી બને છે.
બિંદુ $(0, \beta)$ ત્રિકોણની અંદર રહે તે માટે $\beta$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે $y$-અક્ષ પર આ રેખાઓના $y$-અંત:ખંડ શોધીએ છીએ (જ્યાં $x=0$):
$L_1$ માટે: $3(0)+y+2=0 \implies y = -2$.
$L_2$ માટે: $2(0)-3y+5=0 \implies y = 5/3$.
$L_3$ માટે: $0+4y-14=0 \implies y = 14/4 = 7/2$.
આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $(0, \beta)$ ત્રિકોણની અંદર ત્યારે આવે છે જ્યારે $\beta$ એ $y$-અક્ષ પરના ત્રિકોણના ઊભી રેખાખંડને બાંધતા બે $y$-અંત:ખંડની વચ્ચે હોય.
આલેખ પરથી,$y$-અંત:ખંડ $-2$,$5/3$ અને $7/2$ છે. ત્રિકોણની અંદર $y$-અક્ષ પરનો રેખાખંડ $y = 5/3$ અને $y = 7/2$ ની વચ્ચે આવેલો છે.
આમ,$\beta$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{2}\right]$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x+2y-5=0$ અને $L_2: 3x-y+1=0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માટે $L_1(0,0) = -5 < 0$ અને $L_2(0,0) = 1 > 0$ થાય છે.
બિંદુ $P(\lambda^2, \lambda+1)$ ઉગમબિંદુ ધરાવતા પ્રદેશમાં હોય તે માટે,તેણે $L_1(P) < 0$ અને $L_2(P) > 0$ નું પાલન કરવું પડે.
$L_1$ માટે: $\lambda^2 + 2(\lambda+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow \lambda^2 + 2\lambda - 3 < 0$ $\Rightarrow (\lambda+3)(\lambda-1) < 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-3, 1)$.
$L_2$ માટે: $3(\lambda^2) - (\lambda+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3\lambda^2 - \lambda > 0$ $\Rightarrow \lambda(3\lambda-1) > 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
$\lambda \in (-3, 1)$ અને $\lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$ નો છેદગણ લેતા,આપણને $\lambda \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda \in \mathbb{Z}$,તેથી $\lambda$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\lambda = -2, -1$ છે.
આમ,આવા $2$ બિંદુઓ શક્ય છે.

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ છે.
બિંદુ $Q(1, 1)$ માટે,$L(1, 1) = 3(1) - 4(1) - 8 = -9$.
$L(1, 1) < 0$ હોવાથી,$P(\alpha, \beta)$ વિરુદ્ધ બાજુએ હોવા માટે $L(\alpha, \beta) > 0$ થવું જોઈએ.
$P(\alpha, \beta)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $3\alpha - 4\beta - 8 > 0$.
$P$ એ $3x + y = 0$ પર હોવાથી,$\beta = -3\alpha$ મળે.
અસમતામાં $\beta = -3\alpha$ મૂકતા: $3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$.
$15\alpha > 8 \Rightarrow \alpha > \frac{8}{15}$.
હવે,$\alpha = -\frac{\beta}{3}$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$3(-\frac{\beta}{3}) - 4\beta - 8 > 0$ $\Rightarrow -5\beta > 8$ $\Rightarrow \beta < -\frac{8}{5}$.
આમ,$\alpha > \frac{8}{15}$ અને $\beta < -\frac{8}{5}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $AP + BP = 2$.
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2$.
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y-1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 - 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$-2x + 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
$-2$ વડે ભાગતા:
$x - y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 4 - 2xy + 4x - 4y = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$.
$3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જેને $\frac{y-mx}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને રેખા અને પરવલયના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પરવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$y^2 - 4ax \left( \frac{y-mx}{c} \right) = 0$
$cy^2 - 4axy + 4amx^2 = 0$
$4amx^2 - 4axy + cy^2 = 0$
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$4am + c = 0$
રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ માં $c = -4am$ મૂકતા:
$y = mx - 4am$
$y = m(x - 4a)$
આ સમીકરણ નિશ્ચિત બિંદુ $(4a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે.
આમ,સંગામી બિંદુ $(4a, 0)$ છે.

(A) બિંદુ $B(x_1, y_1)$ એ રેખા $x-y+5=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B = (-7, 6)$ મળે છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $C(x_2, y_2)$ એ રેખા $x+2y+5=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C = (\frac{1}{5}, -\frac{18}{5})$ મળે છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $14x+23y-40=0$ મળે છે.

(D) રેખાઓ $x+y+1=0$ અને $2x-3y+4=0$ નું છેદબિંદુ $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.
ધારો કે $P(-2, 0)$ એ રેખા $2x-3y+4=0$ પરનું એક બિંદુ છે. બિંદુ $P$ નું દુભાજક રેખા $x+y+1=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ બીજી રેખા પર આવેલું હશે.
ધારો કે $P(-2, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $(h, k)$ છે. પરાવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h+2}{1} = \frac{k-0}{1} = -2 \frac{-2+0+1}{1^2+1^2} = 1$.
આમ,$h=-1$ અને $k=1$.
બીજી રેખા $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ અને $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ છે.
સમીકરણ $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1) \Rightarrow 3x - 2y + 5 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{(x+2)^2+y^2} = 4$ છે.
ધારો કે $A = (2, 0)$ અને $B = (-2, 0)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $P(x, y)$ નું બિંદુઓ $A$ અને $B$ થી અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે,જે $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
અહીં $PA + PB = AB$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
તેથી,બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ એ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ જે અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં છેદે છે તે $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $P(4, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ... $(i)$.
કાટકોણ $\triangle OAB$ માં,પરિવૃતનું કેન્દ્ર એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે પરિવૃતનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2h$ અને $k = \frac{b}{2} \Rightarrow b = 2k$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{4}{2h} + \frac{2}{2k} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{h} + \frac{1}{k} = 1$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x^{-1} + y^{-1} = 1$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સીધી રેખાઓના સમીકરણો છે:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ ... $(i)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$y(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta$
$y = a \sin \theta$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta)(a \sin \theta) = a \sin \theta$
$x + a - a \cos \theta = a$
$x = a \cos \theta$
હવે,બિંદુપથ શોધવા માટે:
$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2$
$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ અક્ષો પરના બિંદુઓ છે,અને $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P(h, k) = \left(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{2+1}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot b}{2+1}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{2b}{3}\right)$
યામ સરખાવતા:
$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
આપેલ છે કે $AB = 6$,તેથી:
$\sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} = 6$
$a^2 + b^2 = 36$
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(3h)^2 + \left(\frac{3k}{2}\right)^2 = 36$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = 36$
$9$ વડે ભાગતા:
$h^2 + \frac{k^2}{4} = 4$
$4h^2 + k^2 = 16$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $4x^2 + y^2 = 16$ છે.

(C) ધારો કે $A = (p, 0)$ અને $B = (0, q)$ એ બિંદુઓ છે જ્યાં રેખા અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને છેદે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની લંબાઈ $a$ છે.
$P(h, k)$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$h = \frac{p+0}{2} \implies p = 2h$
$k = \frac{0+q}{2} \implies q = 2k$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની લંબાઈ:
$\sqrt{(p-0)^2 + (0-q)^2} = a$
$\sqrt{p^2 + q^2} = a$
$p = 2h$ અને $q = 2k$ કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{(2h)^2 + (2k)^2} = a$
$\sqrt{4h^2 + 4k^2} = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4h^2 + 4k^2 = a^2$
$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{4}$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ:
$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L: y=mx$,$L_1: y=k_1x$,અને $L_2: y=k_2x$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી,$k_1k_2 = -1$ અથવા $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ થાય.
$L$ અને $L_1$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-mx)(y-k_1x) = y^2 - (m+k_1)xy + mk_1x^2 = 0$ છે. તેને $2x^2+axy+3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $y^2 + \frac{a}{3}xy + \frac{2}{3}x^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$mk_1 = \frac{2}{3}$ અને $-(m+k_1) = \frac{a}{3}$ થાય.
$L$ અને $L_2$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-mx)(y-k_2x) = y^2 - (m+k_2)xy + mk_2x^2 = 0$ છે. તેને $2x^2+bxy-3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $y^2 - \frac{b}{3}xy - \frac{2}{3}x^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$mk_2 = -\frac{2}{3}$ અને $-(m+k_2) = -\frac{b}{3}$ થાય.
આપણને $k_1 = \frac{2}{3m}$ અને $k_2 = -\frac{2}{3m}$ મળે છે. $k_1k_2 = -1$ હોવાથી,$(\frac{2}{3m})(-\frac{2}{3m}) = -1$ $\Rightarrow \frac{4}{9m^2} = 1$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{2}{3}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $m = \frac{2}{3}$. તો $k_1 = 1$ અને $k_2 = -1$ મળે.
તેથી $a = -5$ અને $b = -1$ મળે.
આમ,$a^2+b^2 = (-5)^2 + (-1)^2 = 25+1 = 26$.

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલી માહિતી મુજબ,મોટા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ નાના વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ કરતા $5$ ગણું છે.
ધારો કે $A_1$ એ નાના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ મોટા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_2 = 5 A_1 \Rightarrow \frac{1}{2}(\pi - \theta) r^2 = 5 \times \left(\frac{1}{2} \theta r^2\right)$
$\Rightarrow \pi - \theta = 5 \theta$ $\Rightarrow 6 \theta = \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$
રેખાઓની જોડી $a x^2 + 2h x y + b y^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = l$,$h = l+m$,અને $b = m$.
$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{2 \sqrt{(l+m)^2 - lm}}{l+m} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{3} = \frac{4((l+m)^2 - lm)}{(l+m)^2}$
$(l+m)^2 = 12(l+m)^2 - 12 lm$
$11(l+m)^2 = 12 lm$
$\frac{lm}{(l+m)^2} = \frac{11}{12}$
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{2} xy+2y^2+4x+4 \sqrt{2}y+1=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$h=\sqrt{2}$,$b=2$,$g=2$,$f=2 \sqrt{2}$,અને $c=1$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d=2 \sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d=2 \sqrt{\frac{2^2-(1)(1)}{1(1+2)}}$.
$d=2 \sqrt{\frac{4-1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 \sqrt{1} = 2$.

(A) આપેલ છે કે,રેખાઓની જોડી $3x^2+2hxy-3y^2=0$ એ બે લંબ રેખાઓ દર્શાવે છે કારણ કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $3 + (-3) = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ ચોરસ બનાવે તે માટે,રેખાઓ લંબ હોવી જોઈએ અને સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$xy$ નો સહગુણક $a+b=0$ નું પાલન કરતું હોવું જોઈએ,જે $3-3=0$ છે (જે પહેલેથી જ સંતોષાયેલ છે).
રેખાઓ ચોરસ બનાવે તે માટે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ. રેખાઓ $3x^2+2hxy-3y^2=0$ અને $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ છે.
ચોરસનું કેન્દ્ર એ $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે,જે $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $a=3, b=-3, h=h, g=1, f=-2$.
છેદબિંદુ $= \left(\frac{h(-2)-(-3)(1)}{-9-h^2}, \frac{(1)(h)-(3)(-2)}{-9-h^2}\right) = \left(\frac{3-2h}{9+h^2}, \frac{h+6}{9+h^2}\right)$.
રેખાઓ ચોરસ બનાવે તે માટે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ. સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $h=4$ અને $c=-1$ મળે છે જે ચોરસ બનાવવા માટેની શરત સંતોષે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ મળે છે.
રેખાઓ $L_1: 4 x-y-5=0$ અને $L_2: 2 x-3 y+5=0$ છે.
તેમનું છેદબિંદુ $(2,3)$ છે.
ધારો કે $S=0$ એ $(4 x-y+c_1)(2 x-3 y+c_2)=0$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે વિકર્ણોનું છેદબિંદુ એ રેખાઓના છેદબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $S=0$ નું છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(2,3)$ અને $(x_1, y_1)$ નું મધ્યબિંદુ $(3,2)$ છે.
તેથી,$\frac{x_1+2}{2}=3 \Rightarrow x_1=4$ અને $\frac{y_1+3}{2}=2 \Rightarrow y_1=1$.
$(4,1)$ ને $4 x-y+c_1=0$ માં મૂકતા $c_1=-15$ મળે છે.
$(4,1)$ ને $2 x-3 y+c_2=0$ માં મૂકતા $c_2=-5$ મળે છે.
સમીકરણ $S=0$ એ $(4 x-y-15)(2 x-3 y-5)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,$8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ $(i)$ અને રેખા: $x+y+2=0$ (ii).
છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,(ii) નો ઉપયોગ કરીને $(i)$ ને સમઘાત (homogenize) કરો. (ii) પરથી,$\frac{x+y}{-2} = 1$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
આ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
અહીં $a=3, h=-1, b=-1$.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-(-1)}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{1}$
$x^2-y^2 = 4xy$
$x^2-4xy-y^2 = 0$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - mx = 0$ છે,એટલે કે $mx - y = 0$.
આપેલ માહિતી મુજબ,બિંદુ $(3, 4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $4$ એકમ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(3) - 1(4)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(3m - 4)^2}{m^2 + 1} = 16$.
$9m^2 - 24m + 16 = 16m^2 + 16$.
$7m^2 + 24m = 0$.
$m(7m + 24) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = -\frac{24}{7}$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = 0$ અને $y = -\frac{24}{7}x$ એટલે કે $7y + 24x = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $y(7y + 24x) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $7y^2 + 24xy = 0$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ એકબીજાને કાટખૂણે હોય તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $A + B = 0$.
આપેલ સમીકરણ $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ માં,$A = 3a$ અને $B = a^2 - 2$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $3a + a^2 - 2 = 0$ મળે છે,જે $a^2 + 3a - 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$ મળે છે.
અહીં વિવેચક $D = 17 > 0$ હોવાથી,$a$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.
આમ,$a$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $ax+by=1$ છે અને વક્રનું સમીકરણ $x^2+y^2-x-y-1=0$ છે.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-(x+y)(ax+by)-(ax+by)^2=0$
$x^2(1-a-a^2)+xy(-a-b-2ab)+y^2(1-b-b^2)=0$
જો રેખાઓની જોડી કાટખૂણે હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(1-a-a^2)+(1-b-b^2)=0$
$a^2+b^2+a+b-2=0$
આ $(a, b)$ સમતલમાં વર્તુળ દર્શાવે છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1/2$,$f=1/2$,અને $c=-2$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2+2} = \sqrt{5/2}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ છે કે $x_1$ અને $x_2$ એ $2x^2 + 4x - 7 = 0$ ના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$ થાય.
આપેલ છે કે $y_1$ અને $y_2$ એ $3x^2 - 12x - 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $y_1 + y_2 = -\frac{-12}{3} = 4$ થાય.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (-1, 2)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x-1=0 \Rightarrow 2x+1=0$.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2 + \left(\frac{2+4\lambda}{1+\lambda}\right)x + \left(\frac{3+3\lambda}{1+\lambda}\right)y + \frac{1+2\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}, -\frac{3}{2}\right)$ છે.
સામાન્ય જીવા $2x+1=0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર તેના પર આવેલું છે.
$2\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}\right) + 1 = 0$
$-2-4\lambda+1+\lambda = 0$ $\Rightarrow -3\lambda-1=0$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ મુકતા:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - \frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$3x^2+3y^2+6x+9y+3 - x^2-y^2-4x-3y-2 = 0$
$2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે.
ભ્રમણ રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $9X^2 + 25Y^2 = 225$ છે.
મૂળ સમીકરણ મેળવવા માટે $X$ અને $Y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$9\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 25\left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
$\frac{9}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{25}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) = 225$
$9(x^2 + y^2 + 2xy) + 25(x^2 + y^2 - 2xy) = 450$
$34x^2 + 34y^2 - 32xy = 450$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: રેખાઓ $x+2y-5=0$ અને $2x-3y+4=0$ એ વર્તુળના વ્યાસ છે.
વ્યાસનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે,તેથી સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+2y=5$ $(i)$
$2x-3y=-4$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x+4y=10$ (iii) મળે.
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા: $7y=14 \Rightarrow y=2$.
$y=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x+2(2)=5 \Rightarrow x=1$.
આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $9\pi$ છે,તેથી $\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r^2=9$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
x^2-2x+1 + y^2-4y+4 = 9
x^2+y^2-2x-4y-4=0$.

(A) બે વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda \neq -1$.
$(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ મળે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,અને $c = -12$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$.
$g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$.
$(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$.
$9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$.
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2-2x-12=0$ મળે છે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12=0$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2 \lambda x-2 \lambda y+\lambda^2=0$ છે.
કેન્દ્ર $(-\lambda, \lambda)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \lambda$ છે.
રેખા $12x+5y-60=0$ છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|12(-\lambda)+5(\lambda)-60|}{\sqrt{12^2+5^2}} = \lambda$.
$|-7\lambda-60| = 13\lambda$.
ઉકેલતા,$\lambda = 10$ અથવા $\lambda = -3$ મળે.
બીજા ચરણ માટે $\lambda > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\lambda = 10$.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ આપેલા વર્તુળોને તેમના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી $S=0$ અને દરેક વર્તુળ $S_i=0$ ની સામાન્ય જીવા $S_i=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_1=0$ એટલે કે $2gx+2fy+c+4=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c+4=0$,એટલે કે $c=-4$.
$S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3,4)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_2=0$ એટલે કે $(2g+6)x+(2f+8)y+c-10=0$ છે. $c=-4$ અને કેન્દ્ર $(3,4)$ મૂકતા,$(2g+6)(3)+(2f+8)(4)-14=0$,જેનું સાદું રૂપ $6g+8f+36=0$ એટલે કે $3g+4f+18=0$ $(i)$ મળે છે.
$S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1,2)$ છે. સામાન્ય જીવા $S-S_3=0$ એટલે કે $(2g-2)x+(2f+4)y+c+2=0$ છે. $c=-4$ અને કેન્દ્ર $(-1,2)$ મૂકતા,$(2g-2)(-1)+(2f+4)(2)-2=0$,જેનું સાદું રૂપ $-2g+4f+8=0$ (ii) મળે છે.
$(i)$ અને (ii) ઉકેલતા: (ii) પરથી,$g=2f+4$. $(i)$ માં મૂકતા,$3(2f+4)+4f+18=0$ $\Rightarrow 10f+30=0$ $\Rightarrow f=-3$. તેથી $g=-2$.
આમ,જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-4=0$ છે.

(D) વર્તુળ $S$ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે. તેથી,તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (2, 2)$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$C_1C_2 = r_1 + r$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$5 = 2 + r$,જેનો અર્થ છે કે $r = 3$.
કેન્દ્ર $(6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $3$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2$
$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 = 9$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 61 - 9 = 0$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 52 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-2x-4y+3=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $B(-1, 1)$ ની પાવર:
$p = (-1)^2 + (1)^2 - 2(-1) - 4(1) + 3 = 1 + 1 + 2 - 4 + 3 = 3$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $t = \sqrt{p}$ હોવાથી,$t = \sqrt{3}$,તેથી $t^2 = 3$.
વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $(p, t^2) = (3, 3)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (3-0)^2 + (3-0)^2 = 9 + 9 = 18$.
તેથી,વર્તુળ $S^{\prime}$ નું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 18$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે પાવરની ગણતરી કરતા:
$(2-3)^2 + (3-3)^2 - 18 = 1 - 18 = -17$.
પાવર ઋણ $(-17 < 0)$ હોવાથી,બિંદુ $(2, 3)$ વર્તુળ $S^{\prime} = 0$ ની અંદર આવેલું છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(2,3)$ ના પોલરનું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$x(2)+y(3)-(x+2)-(y+3)+1=0$
$x+2y-4=0$ $\ldots(i)$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(1,1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
$P(2,3)$ અને $C(1,1)$ ને જોડતી રેખા $2x-y-1=0$ છે $\ldots(ii)$.
$P$ નું વ્યસ્ત બિંદુ $Q$ એ રેખા $CP$ અને $P$ ના પોલરનું છેદબિંદુ છે. $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$Q = (\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$.
$Q(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ ના પોલરનું સમીકરણ:
$x+2y-8=0$ $\ldots(iii)$.
સમાંતર રેખાઓ $x+2y-4=0$ અને $x+2y-8=0$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \frac{|-4 - (-8)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) બાજુઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y=0$ ... $(i)$
$y=x$ ... (ii)
$2x+3y=10$ ... (iii)
$(i)$ અને (iii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A(5,0)$ મળે છે.
$(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $B(0,0)$ મળે છે.
(ii) અને (iii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $C(2,2)$ મળે છે.
ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ... (iv) છે.
તે $B(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$.
તે $A(5,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $25+10g=0 \Rightarrow g=-5/2$.
તે $C(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+4+4g+4f=0 \Rightarrow g+f+2=0$.
$g=-5/2$ મૂકતા,આપણને $-5/2+f+2=0 \Rightarrow f=1/2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (5/2, -1/2)$ છે.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=12$ માટે સ્પર્શકોની સંપર્ક જીવા (chord of contact) નું સમીકરણ $hx+ky=12$ અથવા $hx+ky-12=0$ છે.
આ સંપર્ક જીવા એ બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે. સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે: $(x^2+y^2-12) - (x^2+y^2-5x+3y-2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x-3y-10=0$ થાય છે.
કારણ કે $hx+ky-12=0$ અને $5x-3y-10=0$ એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
આમ,$h = 5 \times \frac{6}{5} = 6$ અને $k = -3 \times \frac{6}{5} = -\frac{18}{5}$.
છેદબિંદુ $\left(6, -\frac{18}{5}\right)$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2$,$f=-3$,અને $c=9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha$ મળે.
કેન્દ્ર $C$ એ $(-2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-(9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha)} = \sqrt{13-9 \sin^2 \alpha-13 \cos^2 \alpha} = \sqrt{13 \sin^2 \alpha-9 \sin^2 \alpha} = \sqrt{4 \sin^2 \alpha} = 2 \sin \alpha$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ બિંદુ છે. અંતર $PC = \sqrt{(x_1+2)^2+(y_1-3)^2} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$.
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13 = 4$.
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+9 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ ... $(i)$ છે.
કેન્દ્ર $A$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+2^2+20} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $B(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(1) + y(7) - (x+1) - 2(y+7) - 20 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5y = 35$ અથવા $y = 7$ ... $(ii)$ થાય છે.
બિંદુ $D(4, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(4) + y(-2) - (x+4) - 2(y-2) - 20 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 4y = 20$ ... $(iii)$ થાય છે.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુ $C$ માટે $(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા: $y=7$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$3x - 4(7) = 20$ $\Rightarrow 3x = 48$ $\Rightarrow x = 16$. તેથી,$C = (16, 7)$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times r \times L)$ છે,જ્યાં $L$ એ $C$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
$L = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{256 + 49 - 32 - 28 - 20} = \sqrt{225} = 15$.
ક્ષેત્રફળ $= r \times L = 5 \times 15 = 75$ ચોરસ એકમ.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+30x-2y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-14x+6y+33=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O = (-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 15$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O' = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 5$.
બિંદુ $T$ એ ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે,જે કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
$T = \left(\frac{3(7) + 1(-15)}{4}, \frac{3(-3) + 1(1)}{4}\right) = \left(\frac{6}{4}, \frac{-8}{4}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
બિંદુ $D$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે,જે કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$D = \left(\frac{3(7) - 1(-15)}{2}, \frac{3(-3) - 1(1)}{2}\right) = \left(\frac{36}{2}, \frac{-10}{2}\right) = (18, -5)$.
$TD$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $TD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{3/2 + 18}{2}, \frac{-2 - 5}{2}\right) = \left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ રેખાઓ $4x-3y-24=0$ અને $4x+3y-42=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,$(h, k)$ થી આ રેખાઓનું લંબ અંતર $r$ થાય.
$r = \left|\frac{4h-3k-24}{5}\right| = \left|\frac{4h+3k-42}{5}\right|$
વળી,વર્તુળ $(2, 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $r^2 = (h-2)^2 + (k-8)^2$.
અંતરની સમાનતા પરથી,$4h-3k-24 = \pm(4h+3k-42)$.
કિસ્સો $1$: $4h-3k-24 = 4h+3k-42$ $\Rightarrow 6k = 18$ $\Rightarrow k = 3$.
ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં $k=3$ મૂકતા:
$r^2 = \left(\frac{4h-3(3)-24}{5}\right)^2 = \left(\frac{4h-33}{5}\right)^2$
$(h-2)^2 + (3-8)^2 = (h-2)^2 + 25$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{(4h-33)^2}{25} = (h-2)^2 + 25$
$(4h-33)^2 = 25(h^2-4h+4+25) = 25(h^2-4h+29)$
$16h^2 - 264h + 1089 = 25h^2 - 100h + 725$
$9h^2 + 164h - 364 = 0$
$(h-2)(9h+182) = 0$
$h \le 8$ હોવાથી,આપણે $h=2$ લઈએ છીએ. આમ,કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે અને $r^2 = (2-2)^2 + (3-8)^2 = 25$.
સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે. તે આપેલ વર્તુળને બિંદુ $A(-1,-1)$ આગળ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
બિંદુ $A$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતી રેખાનું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(-1, -1) = \left( \frac{5h-6}{2}, \frac{5k-9}{2} \right)$
$h = \frac{4}{5}$ અને $k = \frac{7}{5}$ મળે.
જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\frac{4}{5})^2 + (y-\frac{7}{5})^2 = 3^2$ થશે.
સાદુરૂપ આપતા $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ...$(i)$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $2x+3y-7=0$ પર હોવાથી,$2(-g)+3(-f)-7=0$,એટલે કે $2g+3f+7=0$ ...(ii).
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ માટે,$2g(-2)+2f(-3)=c+11$,જે $4g+6f+c+11=0$ ...(iii) માં પરિણમે છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-10x-4y+21=0$ માટે,$2g(-5)+2f(-2)=c+21$,જે $10g+4f+c+21=0$ ...(iv) માં પરિણમે છે.
(iv) માંથી (iii) બાદ કરતા,$6g-2f+10=0$,એટલે કે $3g-f+5=0$ ...$(v)$ મળે.
(ii) પરથી,$2g+3f=-7$. $(v)$ પરથી,$f=3g+5$. (ii) માં મૂકતા: $2g+3(3g+5)=-7$ $\Rightarrow 11g+15=-7$ $\Rightarrow 11g=-22$ $\Rightarrow g=-2$.
તેથી $f=3(-2)+5=-1$. $g=-2, f=-1$ ને (iii) માં મૂકતા: $4(-2)+6(-1)+c+11=0$ $\Rightarrow -8-6+c+11=0$ $\Rightarrow c-3=0$ $\Rightarrow c=3$.
અંતે,$5g-10f+3c = 5(-2)-10(-1)+3(3) = -10+10+9 = 9$.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: (x-1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ (કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = r$)
$S_2: x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$
$S_2$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 3^2$ (કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 3$)
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ એ $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = 5$.
તેથી,$|r - 3| < 5 < r + 3$.
$r + 3 > 5$ પરથી,$r > 2$ મળે.
$|r - 3| < 5$ પરથી,$-2 < r < 8$ મળે.
આમ,$2 < r < 8$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળો છે:
$S_1: x^2+y^2+4x-7=0$
$S_2: x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=0$
$S_3: x^2+y^2+y=0$
આ વર્તુળોને લંબચ્છેદતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $S_1, S_2$ અને $S_3$ નું રેડિકલ કેન્દ્ર છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ છે:
$(4-\frac{3}{2})x - \frac{5}{2}y - 7 + \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x-y-1=0 \dots(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2-S_3=0$ છે:
$\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x+y-3=0 \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $x=2$ અને $y=1$ મળે છે. રેડિકલ કેન્દ્ર $(2,1)$ છે.
જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(2,1)$ થી $S_3$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ છે:
$r^2 = 2^2+1^2+1 = 6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-1)^2 = 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-2y-1=0$ થાય છે.

(B) બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-\lambda, 0)$ અને $C_2(0, -2)$ છે અને તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{\lambda^2-2}$ અને $r_2 = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય: $C_1C_2 = |r_1 \pm r_2|$.
અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(-\lambda - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4}$.
$C_1C_2 = r_1 + r_2$ લેતા:
$\sqrt{\lambda^2 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 2} + \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 + 4 = (\lambda^2 - 2) + 2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$\lambda^2 + 4 = \lambda^2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$4 = 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$2 = \sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$4 = 2(\lambda^2 - 2)$
$2 = \lambda^2 - 2$
$\lambda^2 = 4 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+4x-5=0$ અને $x^2+y^2+2\lambda y-4=0$ છે.
તેમને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $g_1=2, f_1=0, c_1=-5$.
બીજા વર્તુળ માટે: $g_2=0, f_2=\lambda, c_2=-4$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{2g_1g_2+2f_1f_2-c_1-c_2}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{2(2)(0) + 2(0)(\lambda) - (-5) - (-4)}{2\sqrt{2^2+0^2-(-5)}\sqrt{0^2+\lambda^2-(-4)}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9}{2(3)\sqrt{\lambda^2+4}} = \frac{3}{2\sqrt{\lambda^2+4}}$.
$\sqrt{\lambda^2+4} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2+4 = 9$.
$\lambda^2 = 5$,તેથી $\lambda = \pm \sqrt{5}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-4x-2y+1=0 \quad \dots (i)$
$x^2+y^2-6x-4y+4=0 \quad \dots (ii)$
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2+1^2-1} = 2$.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2+2^2-4} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
અહીં $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે. સામાન્ય સ્પર્શકો એ બાહ્ય સ્પર્શકો છે.
બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $r_1:r_2$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{r_1x_2 - r_2x_1}{r_1-r_2} = \frac{2(3) - 3(2)}{2-3} = \frac{6-6}{-1} = 0$
$y = \frac{r_1y_2 - r_2y_1}{r_1-r_2} = \frac{2(2) - 3(1)}{2-3} = \frac{4-3}{-1} = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(0, -1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળ $S=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ ને લંબછેદી રીતે છેદે છે અને વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(2,3)$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2,3)$ હોવાથી,$g=-2$ અને $f=-3$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો બે વર્તુળો $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $x^2+y^2+2g'x+2f'y+c'=0$ લંબછેદી હોય,તો $2gg'+2ff'=c+c'$ થાય.
અહીં,$(g, f) = (-2, -3)$ અને આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ માટે,$(g', f') = (-2, 1)$ અને $c' = -7$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(-2)(-2) + 2(-3)(1) = c - 7$
$8 - 6 = c - 7$
$2 = c - 7$
$c = 9$
વર્તુળ $S=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$(x+a)^2+(y+b)^2 = a^2 \implies x^2+y^2+2ax+2by+b^2 = 0 \quad \dots (i)$
$(x+c)^2+(y+d)^2 = d^2 \implies x^2+y^2+2cx+2dy+c^2 = 0 \quad \dots (ii)$
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
વર્તુળ $(i)$ માટે,$g_1=a, f_1=b, c_1=b^2$.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,$g_2=c, f_2=d, c_2=c^2$.
જો વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોય,તો શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(ac + bd) = b^2 + c^2$
$2ac + 2bd = b^2 + c^2$
$2ac - c^2 = b^2 - 2bd$
$c(2a - c) = b(b - 2d)$
આમ,$b(b-2d) = c(2a-c)$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+4x-6y-12=0$
$S_2: x^2+y^2-8x+10y+5=0$
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = 5$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2 + (-5)^2 - 5} = 6$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર:
$C_1C_2 = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$.
અહીં,$|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ એટલે કે $1 < 10 < 11$ છે.
તેથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $I = \int \sin ^5 x \cos ^5 x \, dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \cos ^5 x \sin ^4 x \sin x \, dx = \int \cos ^5 x (1 - \cos ^2 x)^2 \sin x \, dx$.
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x \, dx = dt$,અથવા $\sin x \, dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^5 (1 - t^2)^2 (-dt) = -\int t^5 (t^4 - 2t^2 + 1) \, dt$.
$I = -\int (t^9 - 2t^7 + t^5) \, dt = -(\frac{t^{10}}{10} - 2 \frac{t^8}{8} + \frac{t^6}{6}) + C$.
$I = -\frac{t^6}{60} (6t^4 - 15t^2 + 10) + C$.
$t = \cos x$ મૂકતા:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} (6 \cos ^4 x - 15 \cos ^2 x + 10) + C$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - \sin ^2 x)^2 - 15(1 - \sin ^2 x) + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - 2 \sin ^2 x + \sin ^4 x) - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 - 12 \sin ^2 x + 6 \sin ^4 x - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 \sin ^4 x + 3 \sin ^2 x + 1] + C$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$
$\Rightarrow I = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$
ધારો કે $I = I_{1} + I_{2}$
હવે,$I_{1} = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x \ dx}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}}$ $\left\{ \because 1 + \cos \theta = 2 \cos^{2} \frac{\theta}{2} \right\}$
$\Rightarrow I_{1} = \int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u v \ dx = u \int v \ dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \ dx \right) dx$
ધારો કે $u = x$ અને $v = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2}$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - \int 1 \cdot \tan \frac{x}{2} dx$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - 2 \log_{e} \left| \sec \frac{x}{2} \right| + c_{1}$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{1}$
હવે,$I_{2} = \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$
ધારો કે $1 + \cos x = t \Rightarrow - \sin x \ dx = dt$
$\Rightarrow I_{2} = - \int \frac{1}{t} dt = - \log_{e} |t| + c_{2} = - \log_{e} |1 + \cos x| + c_{2}$
$\Rightarrow I_{2} = - \log_{e} \left| 2 \cos^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{2} = - \log_{e} 2 - \log_{e} \left| \cos^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{2} = \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{3}$
$I_{1}$ અને $I_{2}$ નો સરવાળો કરતા:
$I = x \tan \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{1} + \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{3}$
$\Rightarrow I = x \tan \frac{x}{2} + c$

(A) સંકલન પદાવલિ નીચે મુજબ છે,$I = \int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} [ \sqrt{2} ( \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \sin x \cos \frac{\pi}{4} ) + e^{x} ] dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} [ \sqrt{2} ( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x ) + e^{x} ] dx$
સાદું રૂપ આપતા,
$\Rightarrow I = \int x^{2} ( \cos x + \sin x + e^{x} ) dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} ( \cos x + \sin x ) dx + \int x^{2} e^{x} dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u v dx = u \int v dx - \int \{ \frac{d u}{d x} \cdot \int v dx \} dx$:
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) - \int 2 x ( \sin x - \cos x ) dx + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) - 2 [ x ( - \cos x - \sin x ) - \int ( - \cos x - \sin x ) dx ] + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) + 2 x ( \cos x + \sin x ) - 2 ( \sin x - \cos x ) + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = ( x^{2} + 2 x - 2 ) \sin x + ( - x^{2} + 2 x + 2 ) \cos x + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$

(C) ધારો કે $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ અને $dv = (\sin x + \cos x) dx$ લો.
તેથી $du = (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x) dx$ અને $v = (-\cos x + \sin x) = (\sin x - \cos x)$ મળે.
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - \int (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) dx$.
કારણ કે $(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) = -(\sin x - \cos x)^2 = -(1 - \sin 2x) = \sin 2x - 1$.
વળી,$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$,તેથી $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
આમ,$\sin 2x - 1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2$.
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) \int (\sin x + \cos x)^{n-2} ((\sin x + \cos x)^2 - 2) dx$.
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) I_n + 2(n-1) I_{n-2}$.
$I_n + (n-1) I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$.
$n I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$.
$n I_n - 2(n-1) I_{n-2} = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$.

(B) ધારો કે $I=\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} d x$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$I=\int \frac{x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})}{(x+1)-(x-1)} d x = \frac{1}{2} \int x \sqrt{x+1} d x - \frac{1}{2} \int x \sqrt{x-1} d x = \frac{1}{2} I_1 - \frac{1}{2} I_2$.
$I_1 = \int x \sqrt{x+1} d x$ માટે,$u = x+1$ લેતા,$x = u-1$ અને $dx = du$:
$I_1 = \int (u-1) \sqrt{u} du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du = \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + c_1 = 2(x+1)^{3/2} [\frac{1}{5}(x+1) - \frac{1}{3}] + c_1 = \frac{2(3x-2)}{15}(x+1)^{3/2} + c_1$.
$I_2 = \int x \sqrt{x-1} d x$ માટે,$v = x-1$ લેતા,$x = v+1$ અને $dx = dv$:
$I_2 = \int (v+1) \sqrt{v} dv = \int (v^{3/2} + v^{1/2}) dv = \frac{2}{5} v^{5/2} + \frac{2}{3} v^{3/2} + c_2 = 2(x-1)^{3/2} [\frac{1}{5}(x-1) + \frac{1}{3}] + c_2 = \frac{2(3x+2)}{15}(x-1)^{3/2} + c_2$.
$I$ માં કિંમત મુકતા:
$I = \frac{1}{2} [\frac{2(3x-2)}{15}(x+1)^{3/2}] - \frac{1}{2} [\frac{2(3x+2)}{15}(x-1)^{3/2}] + C = \frac{3x-2}{15}(x+1)^{3/2} - \frac{3x+2}{15}(x-1)^{3/2} + C$.
$A(x)(x+1)^{3/2} + B(x)(x-1)^{3/2} + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = \frac{3x-2}{15}$ અને $B(x) = -\frac{3x+2}{15}$ મળે.
તેથી,$A(x) + B(x) = \frac{3x-2 - 3x - 2}{15} = -\frac{4}{15}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x \log x}{(x^2-1)^{3/2}} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log x$ અને $dv = \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}} dx$ લો.
તેથી $du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = \int (x^2-1)^{-3/2} x dx = -(x^2-1)^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} - \int \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) \frac{1}{x} dx$
$I = -\frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} + \int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} dx$
કારણ કે $\int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} dx = \sec^{-1} x + C$,
$I = \sec^{-1} x - \frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} + C$.

(C) આપણી પાસે $I = \int \frac{\cos 2x \cdot 2 \sin 2x \cos 2x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$ છે.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ હોવાથી,$\cos^4 x = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$I = 4 \int \frac{\cos^2 2x \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2 (1 + \cos^2 2x)} dx$.
ધારો કે $t = \cos 2x$,તો $dt = -2 \sin 2x dx$,તેથી $\sin 2x dx = -\frac{dt}{2}$.
$I = 4 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} \left(-\frac{dt}{2}\right) = -2 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} = \frac{1}{2(1+t)^2} - \frac{1}{2(1+t)} + \frac{t}{2(1+t^2)}$.
$I = -2 \int \left[ \frac{1}{2(1+t)^2} - \frac{1}{2(1+t)} + \frac{t}{2(1+t^2)} \right] dt$.
$I = -2 \left[ -\frac{1}{2(1+t)} - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{1}{4} \log (1+t^2) \right] + c$.
$I = \frac{1}{1+t} + \log |1+t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + c$.
$1+t = 1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ હોવાથી,$\frac{1}{1+t} = \frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} \sec^2 x$.
આમ,$I = \sec^2 x + \log \frac{(1+\cos 2x)^2}{1+\cos^2 2x} + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x$.
$\cot x = t$ આદેશ લેતા,$-\operatorname{cosec}^2 x d x = d t$,એટલે કે $\operatorname{cosec}^2 x d x = -d t$.
તેથી,$I = -\int \frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$.
$5t+1 = A(t-2) + B(t-1) = (A+B)t - (2A+B)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A+B = 5$ અને $2A+B = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -6$ અને $B = 11$ મળે છે.
તેથી,$I = -\int \left( \frac{-6}{t-1} + \frac{11}{t-2} \right) dt = 6 \int \frac{dt}{t-1} - 11 \int \frac{dt}{t-2}$.
$I = 6 \log |t-1| - 11 \log |t-2| + c = 6 \log |\cot x - 1| + 11 \log |(\cot x - 2)^{-1}| + c$.
$6 \log |f(x)| + 11 \log |g(x)| + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \cot x - 1$ અને $g(x) = (\cot x - 2)^{-1}$ મળે છે.
આમ,$(f(x), g(x)) = (\cot x - 1, (\cot x - 2)^{-1})$.

(C) આપણને સંકલન $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ આપેલ છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = (\log x)^2$ અને $dv = x^2 dx$ લેતા,આપણને $du = \frac{2 \log x}{x} dx$ અને $v = \frac{x^3}{3}$ મળે છે.
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$
$\int x^2 \log x dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log x$ અને $dv = x^2 dx$ લેતા:
$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C_1$
આ કિંમતને $I(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}] + C$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2x^3}{9} \log x + \frac{2x^3}{27} + C$
$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] + C$
$I(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ મૂકતા:
$I(1) = \frac{1}{27} [9(0)^2 - 6(0) + 2] + C = 0$
$\frac{2}{27} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{2}{27}$
તેથી,$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$.

(C) આપેલ છે,$\int \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \sin ^{-1} x+x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$= \int \left( \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$
$= \int \left( \sin ^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$
$= \int \sin ^{-1} x d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\int \sin ^{-1} x d x$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(x) = \sin ^{-1} x$ અને $g(x) = 1$:
$= \sin ^{-1} x \cdot x - \int \left( \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x \cdot \int 1 d x \right) d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$= x \sin ^{-1} x - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x + c$
$= x \sin ^{-1} x + c$
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે,$\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \left( x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \int x e^{2 x} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \left( x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3x e^{2 x}}{4} - \frac{3}{4} \frac{e^{2 x}}{2} + c$
$= \frac{e^{2 x}}{8} (4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 3$.
$f(x) = 1$ માટે,$4x^3 - 6x^2 + 6x - 4 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા,$2(x^3 - 1) - 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2(x^2 + x + 1) - 3x) = 0$.
$(x - 1)(2x^2 - x + 2) = 0$.
બીજ $x = 1$ (વાસ્તવિક) અને $2x^2 - x + 2 = 0$ (સંકર) છે.
સંકર બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદને ફરીથી લખતા:
$\frac{x+2}{x+4} = \frac{x+4-2}{x+4} = 1 - \frac{2}{x+4}$.
તેથી,$\left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 = \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 = 1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}$.
હવે,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\int e^x [g(x) + g'(x)] dx = e^x g(x) + C$ છે.
ધારો કે $g(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$.
તો $g'(x) = -\left(-\frac{4}{(x+4)^2}\right) = \frac{4}{(x+4)^2}$.
તેથી,$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + C = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + C = \frac{x e^x}{x+4} + C$.
આમ,$f(x) = \frac{x e^x}{x+4}$.

(A) આપેલ છે,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$.
નોંધો કે $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ થાય છે.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$x^2 = \frac{1}{2} (2 x^2 + 6 \sqrt{2} x + 9) - 3 \sqrt{2} x - \frac{9}{2}$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} \right) d x = \frac{x}{2} - \int \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} d x$.
ધારો કે $u = \sqrt{2} x + 3$,તો $du = \sqrt{2} dx$,તેથી $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{u-3}{\sqrt{2}}$.
સંકલનનો ભાગ $\int \frac{3 \sqrt{2} (\frac{u-3}{\sqrt{2}}) + \frac{9}{2}}{u^2} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - 9 + \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{3}{u} - \frac{9}{2u^2} \right) du$ છે.
$= \frac{1}{\sqrt{2}} [3 \log |u| + \frac{9}{2u}] + c = \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} + c$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2} - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} \right) + c$.
વિકલ્પોમાં આપેલા સ્વરૂપ સાથે મેળવવા માટે,આપણે $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ સામાન્ય કાઢીએ:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} x - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
કૌંસમાં $3$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [(\sqrt{2} x + 3) - 3 - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
અચળ પદ $c$ માં સમાઈ જશે,તેથી આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$ છે.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ગુણતા: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)}$.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$. આમ,$I = -\int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 + 2t)} = \int \frac{dt}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{2t + 1}$.
અચળાંકો શોધતા: $1 = A(t + 1)(2t + 1) + B(t - 1)(2t + 1) + C(t^2 - 1)$.
$t = 1$ માટે: $1 = A(2)(3) \Rightarrow A = \frac{1}{6}$.
$t = -1$ માટે: $1 = B(-2)(-1) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$.
$t = -\frac{1}{2}$ માટે: $1 = C(\frac{1}{4} - 1) = C(-\frac{3}{4}) \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \int (\frac{1/6}{t - 1} + \frac{1/2}{t + 1} - \frac{4/3}{2t + 1}) dt = \frac{1}{6} \ln|t - 1| + \frac{1}{2} \ln|t + 1| - \frac{2}{3} \ln|2t + 1| + c$.
$t = \cos x$ મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \ln|\cos x - 1| + \frac{1}{2} \ln|\cos x + 1| - \frac{2}{3} \ln|2 \cos x + 1| + c$.
$|\cos x - 1| = |1 - \cos x|$ હોવાથી,પરિણામ $\frac{1}{6} \ln|1 - \cos x| + \frac{1}{2} \ln|1 + \cos x| - \frac{2}{3} \ln|1 + 2 \cos x| + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$ લખી શકાય.
$(x + 1)^2 (x^2 + 1)$ વડે ગુણતા,$1 = A(x^2 + 1) + B(x + 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x + 1)^2$ મળે.
$x = -1$ લેતા,$A = \frac{1}{2}$ મળે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{1}{2}$,$D = 0$ મળે છે.
તેથી,$I = \int [\frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{x}{2(x^2 + 1)}] dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{2} [-\frac{1}{x + 1} + \log_e|x + 1| - \frac{1}{2} \log_e(x^2 + 1)] + C$.
$I = \frac{1}{2} \log_e(x + 1) - \frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) - \frac{1}{2(x + 1)} + C$.
$\frac{1}{2} \log_e(x + 1) = \log_e \sqrt{x + 1}$ અને $\frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) = \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \log_e \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2(x + 1)} + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે સંકલન $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^2+x+1)(x^6+1)(x^4-x^3+x-1)}$ છે.
પ્રથમ,છેદના પદોનું સાદુંરૂપ આપો:
$(x^2+x+1)(x^4-x^3+x-1) = (x^2+x+1)(x^3(x-1) + 1(x-1)) = (x^2+x+1)(x^3+1)(x-1)$.
કારણ કે $(x^2+x+1)(x-1) = x^3-1$,તેથી ગુણાકાર $(x^3-1)(x^3+1) = x^6-1$ થાય છે.
આમ,સંકલન $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^6+1)(x^6-1)}$ માં ફેરવાય છે.
$t = x^6$ આદેશ લેતા,$dt = 6x^5 \, dx$,તેથી $x^5 \, dx = \frac{1}{6} \, dt$.
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{(t+1)(t-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(t+1)(t-1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right)$.
$I = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{12} (\log_e |t-1| - \log_e |t+1|) + c$.
$I = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{x^6-1}{x^6+1} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} d x$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+\frac{1}{x})}} d x = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^2-1}{x^2(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \int \frac{(1 - \frac{1}{x^2}) d x}{(1 + \frac{1}{x}) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}}$.
ધારો કે $t = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}$. તેથી $t^2 = x+1+\frac{1}{x}$,અને $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
આમ,$I = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right) + c$.

(B) આપેલ છે,$\int \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 5 x \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (2 \cos 5 x \cos x) \cos 2 x \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (\cos 6 x + \cos 4 x) \cos 2 x \, dx$
$= \frac{1}{4} \int (2 \cos 6 x \cos 2 x + 2 \cos 4 x \cos 2 x) \, dx$
$= \frac{1}{4} \int (\cos 8 x + \cos 4 x + \cos 6 x + \cos 2 x) \, dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin 8 x}{8} + \frac{\sin 4 x}{4} + \frac{\sin 6 x}{6} + \frac{\sin 2 x}{2} \right] + k$
$= \frac{\sin 2 x}{8} + \frac{\sin 4 x}{16} + \frac{\sin 6 x}{24} + \frac{\sin 8 x}{32} + k$
$A \sin 2 x + B \sin 4 x + C \sin 6 x + D \sin 8 x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{1}{8}, B = \frac{1}{16}, C = \frac{1}{24}, D = \frac{1}{32}$
તેથી,$\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 16 + 24 = 40$
અને $\frac{1}{A} + \frac{1}{D} = 8 + 32 = 40$
તેથી,$\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{A} + \frac{1}{D}$.

(D) આપેલ છે કે $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$.
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\sin A - \sin B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{2 \cos((n-1)x) \sin x}{\sin x} dx = \int 2 \cos((n-1)x) dx = \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} + C'$.
$n=6$ માટે,$I_6 - I_4 = \frac{2 \sin 5x}{5}$.
$n=4$ માટે,$I_4 - I_2 = \frac{2 \sin 3x}{3}$.
$n=2$ માટે,$I_2 = \int \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = 2 \int \cos x dx = 2 \sin x + C''$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,$I_6 = (I_6 - I_4) + (I_4 - I_2) + I_2 = \frac{2 \sin 5x}{5} + \frac{2 \sin 3x}{3} + 2 \sin x + c$.
$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x + \frac{2}{3}(3 \sin x - 4 \sin^3 x) + 2 \sin x + c$
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x + 2 \sin x - \frac{8}{3} \sin^3 x + 2 \sin x + c$
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x - \frac{8}{3} \sin^3 x + 4 \sin x + c$.

(B) આપણી પાસે $A_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ છે.
$A_n$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$A_n = \left[ -e^{-x} \cos^n x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} n \cos^{n-1} x \sin x \, dx = 0 - n \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$.
હવે,$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$ નું ખંડશઃ સંકલન કરતા:
ધારો કે $u = \cos^{n-1} x \sin x$ અને $dv = e^{-x} dx$.
તેથી $du = ((n-1) \cos^{n-2} x (-\sin^2 x) + \cos^n x) dx = ((n-1) \cos^{n-2} x (\cos^2 x - 1) + \cos^n x) dx = (n \cos^n x - (n-1) \cos^{n-2} x) dx$.
તેથી,$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx = \left[ -e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} (n \cos^n x - (n-1) \cos^{n-2} x) dx = 0 + n A_n - (n-1) A_{n-2}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $A_n = -n (n A_n - (n-1) A_{n-2}) = -n^2 A_n + n(n-1) A_{n-2}$.
$(1 + n^2) A_n = n(n-1) A_{n-2}$.
$n=6$ માટે: $(1 + 36) A_6 = 6(5) A_4 \implies 37 A_6 = 30 A_4 \implies A_6 = \frac{30}{37} A_4$.
તેથી,$\frac{A_4 - A_6}{A_4} = 1 - \frac{A_6}{A_4} = 1 - \frac{30}{37} = \frac{7}{37}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{cosec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \operatorname{cosec} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log |\operatorname{cosec} \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{3\pi}{4}| - \log |\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}| ]$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log (\sqrt{2}+1) - \log (\sqrt{2}-1) ] = \frac{1}{\sqrt{2}} [ 2 \log (\sqrt{2}+1) ]$
તેથી,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec^2 \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$ ... $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(\theta) d \theta = \int_0^a f(a-\theta) d \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d \theta$.
$\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ હોવાથી:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+\tan \theta}) d \theta$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d \theta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$.
$I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log x}{x} \right| dx$.
કારણ કે $x \in [e^{-1}, 1)$ માટે $\log x < 0$ અને $x \in [1, e^2]$ માટે $\log x \ge 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{e^{-1}}^{1} \left( -\frac{\log x}{x} \right) dx + \int_{1}^{e^2} \left( \frac{\log x}{x} \right) dx$.
$t = \log x$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{dx}{x}$ મળે.
જ્યારે $x = e^{-1}, t = -1$. જ્યારે $x = 1, t = 0$. જ્યારે $x = e^2, t = 2$.
$I = -\int_{-1}^{0} t dt + \int_{0}^{2} t dt$.
$I = -\left[ \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$I = -\left( 0 - \frac{(-1)^2}{2} \right) + \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right)$.
$I = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સંકલન $I_{m} = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin^{m} x dx$ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $I_{m} = \frac{m(m - 1)}{1 + m^{2}} I_{m - 2}$ છે,જ્યાં $m > 2$.
$m = 6$ માટે આ પુનરાવર્તિત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$I_{6} = \frac{6(5)}{1 + 6^{2}} I_{4} = \frac{30}{37} I_{4}$
$I_{4} = \frac{4(3)}{1 + 4^{2}} I_{2} = \frac{12}{17} I_{2}$
$I_{2} = \frac{2(1)}{1 + 2^{2}} I_{0} = \frac{2}{5} I_{0}$
હવે,$I_{0}$ ની ગણતરી કરતા:
$I_{0} = \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$
આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$I_{6} = \frac{30}{37} \times \frac{12}{17} \times \frac{2}{5} \times 1 = \frac{720}{3145} = \frac{144}{629}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -\frac{\pi}{2}$ અને $b = \frac{\pi}{2}$,આપણને $a+b = 0$ મળે છે.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$2I = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$
$I = 1$
તેથી,$\tan^{-1}(I) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ લક્ષ:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{n^2}{(n+r)^3}$
આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{n^2}{(n+r)^3} = \frac{n^2}{n^3(1+\frac{r}{n})^3} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$
સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\frac{r}{n} = x$ અને $\frac{1}{n} = dx$,જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $x$ ની સીમા $0$ થી $4$ છે:
$L = \int_{0}^{4} \frac{1}{(1+x)^3} dx$
$L = \left[ \frac{(1+x)^{-2}}{-2} \right]_{0}^{4} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(1+x)^2} \right]_{0}^{4}$
$L = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{25} - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{24}{25} \right) = \frac{12}{25}$
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ છે,$I = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}}$
નિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \sqrt{x}$ છે.
$I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$
$= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} [x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}$

(A) આપેલ સંકલન: $\int_{\log _e 2}^x \frac{d t}{\sqrt{e^t-1}}=\frac{\pi}{6}$.
ધારો કે $e^t - 1 = u^2$,તેથી $e^t dt = 2u du$,એટલે કે $dt = \frac{2u du}{u^2+1}$.
જ્યારે $t = \log_e 2$,ત્યારે $u = \sqrt{e^{\log_e 2} - 1} = \sqrt{2-1} = 1$.
જ્યારે $t = x$,ત્યારે $u = \sqrt{e^x - 1}$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_{1}^{\sqrt{e^x-1}} \frac{2u du}{(u^2+1)u} = 2 \int_{1}^{\sqrt{e^x-1}} \frac{du}{u^2+1} = 2 [\tan^{-1} u]_{1}^{\sqrt{e^x-1}} = \frac{\pi}{6}$.
$2 [\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) - \tan^{-1}(1)] = \frac{\pi}{6}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi+3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\sqrt{e^x-1} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$e^x - 1 = 3 \Rightarrow e^x = 4$.
$x = \log_e 4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} \, dx \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan ^4 x+1} \, dx$
ધારો કે $\tan^2 x = t$,તેથી $2 \tan x \sec^2 x \, dx = dt$,એટલે કે $\tan x \sec^2 x \, dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$2I = \int_0^{\infty} \frac{1}{t^2+1} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$.
$2I = \frac{\pi}{4} \implies I = \frac{\pi}{8}$.

(B) આપેલ છે કે,વક્ર $y=ax^2+bx$ એ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\therefore 2 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a+b=2$ ... $(i)$
આપેલ છે કે વક્ર $0 \leq x \leq 8$ માટે $X$-અક્ષની ઉપર છે,તેથી વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=6$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\int_0^6 (ax^2+bx) dx = 108$
$\Rightarrow \left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} \right]_0^6 = 108$
$\Rightarrow \frac{a(216)}{3} + \frac{b(36)}{2} = 108$
$\Rightarrow 72a + 18b = 108$
$18$ વડે ભાગતા,આપણને $4a + b = 6$ મળે છે ... $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4a+b) - (a+b) = 6 - 2$
$3a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
$a = \frac{4}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{4}{3} + b = 2 \Rightarrow b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
હવે,$2b-a$ ની ગણતરી કરતા:
$2b-a = 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2+y^2=2$ અને $y=x^2$ છે.
છેદબિંદુ માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2=y$ મૂકતા:
$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
કારણ કે $y=x^2 \ge 0$,તેથી $y=1$. આમ,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ છે.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{small}$ એ $x=-1$ થી $x=1$ વચ્ચે વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$
$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$.
મોટા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) વક્રો $y = \tan^{-1} x$ અને $y = \cot^{-1} x$ જ્યાં $\tan^{-1} x = \cot^{-1} x$ હોય ત્યાં છેદે છે. કારણ કે $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$,તેથી $2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$,તેથી $x = 1$.
વક્રો અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$\cot^{-1} x \ge \tan^{-1} x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (\cot^{-1} x - \tan^{-1} x) dx$
$= \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x - \tan^{-1} x) dx = \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x) dx$
$= \frac{\pi}{2} [x]_0^1 - 2 \int_0^1 \tan^{-1} x dx$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2)]_0^1$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2) - (0 - 0) ]$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2 ]$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \log_e 2 = \log_e 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ છે.
પ્રથમ,આપણે $(1, 4)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવીએ.
$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ મળે છે.
$(1, 4)$ બિંદુ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 2(1) + 2 = 4$ છે.
સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = 4(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x$ થાય છે.
વક્ર,સ્પર્શક અને $Y$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધીના વક્ર નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને સ્પર્શક રેખા,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx - \int_0^1 (4x) dx$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$.
બીજું સંકલન (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) ગણતા: $\int_0^1 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^1 = 2(1)^2 - 0 = 2$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3} \ sq. \ units$.

(C) આ પ્રદેશ પરવલય $x^2=y$,રેખા $y=x+2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પરવલય $y=x^2$ અને રેખા $y=x+2$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $x^2=x+2$ લેતા,$x^2-x-2=0$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ $(x-2)(x+1)=0$ થાય છે. આમ,$x=-1$ અને $x=2$ મળે છે.
રેખા $y=x+2$ એ $X$-અક્ષને $x=-2$ પર છેદે છે (જ્યાં $y=0$ છે).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=-2$ થી $x=-1$ સુધીની રેખા અને $x=-1$ થી $x=0$ સુધીના પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^2 dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right)$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વક્ર $ay^2 = x^2(a - x)$ છે,જ્યાં $a > 0$.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
સમીકરણ પરથી,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,તેથી $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$.
લૂપ $x \in [0, a]$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$
ધારો કે $a - x = t^2$,તો $dx = -2t \, dt$. જ્યારે $x = 0, t = \sqrt{a}$ અને જ્યારે $x = a, t = 0$.
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$
$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y^2 = 4ax + 4a^2$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
આ સમીકરણમાં માત્ર પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $x^2 = c(y+c)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે $x = \sqrt{c}(y+c)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 = \sqrt{c} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$.
સમીકરણ $x = \sqrt{c}(y+c)$ માં $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$ મૂકતા:
$x = \frac{dx}{dy} \left( y + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 \right)$.
બંને બાજુ $\left( \frac{dy}{dx} \right)^3$ વડે ગુણતા:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = \left( \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \right) \left( y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 \right)$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}$.
ધારો કે $v = \frac{y^2}{x^2}$. તેથી $v x^2 = y^2$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2v x + x^2 \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
આમ,$y \frac{dy}{dx} = v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{x} (v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}) = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$v + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\phi^{\prime}(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|\phi(v)| = 2 \ln|x| + \ln|c| = \ln|c x^2|$.
તેથી,$\phi(v) = c x^2$.
$v = \frac{y^2}{x^2}$ મૂકતા,આપણને $\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = c x^2$ મળે છે.

(A) $Y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે,જ્યાં $A, B, C$ એ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે ત્રણ અચળાંકોને દૂર કરવા માટે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
બીજું વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
ત્રીજું વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$\frac{d y}{d x} = y + e^x(-a \sin x + b \cos x) \quad \dots(I)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + \frac{d}{d x}[e^x(-a \sin x + b \cos x)]$
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + e^x(-a \sin x + b \cos x) + e^x(-a \cos x - b \sin x)$
સમીકરણ $(I)$ પરથી,$e^x(-a \sin x + b \cos x) = \frac{d y}{d x} - y$.
આ કિંમત બીજા વિકલિતમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + (\frac{d y}{d x} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
કારણ કે $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 \frac{d y}{d x} - y - y$
$\frac{d^2 y}{d x^2} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$.

(D) વિધાન $(I)$:
આપેલ છે $y=(\alpha+\beta+\gamma) x$. ધારો કે $k = \alpha+\beta+\gamma$,જ્યાં $k$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી $y = kx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = k$ મળે છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$:
આપેલ છે $y = \alpha x + \beta \sin x + \gamma e^x$.
આ સમીકરણમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરતા:
$(1) \frac{dy}{dx} = \alpha + \beta \cos x + \gamma e^x$
$(2) \frac{d^2y}{dx^2} = -\beta \sin x + \gamma e^x$
$(3) \frac{d^3y}{dx^3} = -\beta \cos x + \gamma e^x$
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,આપણે તેમને દૂર કરીને $3$ કક્ષાનું વિકલ સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ.
તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે,$y = e^x(A \cos x + B \sin x)$ ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = e^x(A \cos x + B \sin x) + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} = y + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} - y = e^x(-A \sin x + B \cos x)$ ...(ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = e^x(-A \sin x + B \cos x) + e^x(-A \cos x - B \sin x)$
સમીકરણ (ii) માંથી $e^x(-A \sin x + B \cos x) = y^{\prime} - y$ અને સમીકરણ $(i)$ માંથી $e^x(-A \cos x - B \sin x) = -y$ મૂકતા:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = (y^{\prime} - y) - y$
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = y^{\prime} - 2y$
$y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 2y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln \sec^2 x} = \sec^2 x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x dx + c$.
$y \sec^2 x = \sec x + c$.
આપેલ છે કે $x = \frac{\pi}{3}$ ત્યારે $y = 0$,તેથી:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + c$.
$0 = 2 + c \implies c = -2$.
આમ,$y \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ વડે ભાગતા,$y = \frac{\sec x}{\sec^2 x} - \frac{2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ મળે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = \cos x - 2 + 2 \sin^2 x$.
તેથી,$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$.

(D) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
આપેલ છે કે $y = A(x) e^{\int P(x) dx}$,તેથી $A(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$A'(x) = \frac{d}{dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx]$.
વિકલન અને સંકલન એકબીજાના વ્યસ્ત હોવાથી:
$A'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin y \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ છે.
બંને બાજુ $\cos^2 y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} - x$
$\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \sec y - x$
ધારો કે $\sec y = t$. તેથી $\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dt}{dx} = t - x \implies \frac{dt}{dx} - t = -x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
ઉકેલ $t(IF) = \int (-x)(IF) dx + c$ છે.
$t e^{-x} = \int -x e^{-x} dx + c$.
$\int -x e^{-x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int -x e^{-x} dx = x e^{-x} - \int e^{-x} dx = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
આમ,$t e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $t = x + 1 + c e^x$ મળે છે.
$t = \sec y$ પાછું મૂકતા,આપણને $\sec y = x + 1 + c e^x$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ મળે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
આનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = -\tan v$ અથવા $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
આથી $\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$ મળે.
લઘુગણકના નિયમો મુજબ,$\ln |\sin v| = \ln \left|\frac{k}{x}\right|$,તેથી $\sin v = \frac{k}{x}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{k}{x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y = x \sin^{-1} \left(\frac{k}{x}\right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $A$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AG} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})}{3}$
$\vec{AG} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,માન $|\vec{AG}|$ ની ગણતરી કરતા: $|\vec{AG}| = \sqrt{2^2 + (\frac{4}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{88}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 22}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{22}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$P = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
$Q = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$R = -\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$S = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \lambda \hat{k}$
બિંદુઓ $P, Q, R, S$ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{PQ} = Q - P = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = R - P = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{PS} = S - P = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ શોધો:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 24\hat{i} + 15\hat{j} + 17\hat{k}$
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$:
$1(24) + 7(15) + 17(\lambda+1) = 0$
$24 + 105 + 17\lambda + 17 = 0$
$146 + 17\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(D) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
રેખા સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3}$ છે.
જેহেতু $P$ રેખા પર છે અને $|AP|=18$ છે,તેથી સદિશ $\vec{AP} = \pm 18 \hat{u} = \pm 18 \left( \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3} \right) = \pm 6(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) = \pm (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k})$ થાય.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) + (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = 13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) - (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = -11 \hat{i}-7 \hat{j}+15 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$ વિકલ્પમાં ઉપલબ્ધ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{OA} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$
$\vec{OB} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$
$\vec{OC} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો છે:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\beta - \alpha) \hat{i} + (\gamma - \beta) \hat{j} + (\alpha - \gamma) \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\gamma - \beta) \hat{i} + (\alpha - \gamma) \hat{j} + (\beta - \alpha) \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (\alpha - \gamma) \hat{i} + (\beta - \alpha) \hat{j} + (\gamma - \beta) \hat{k}$
હવે,આ બાજુઓના માન શોધીએ:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$
કારણ કે $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}|$ છે,તેથી આ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન હોવાથી,માન શૂન્ય નથી.
આમ,બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.