AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $hx+ky=h^2+k^2$ થાય.
આને ગોઠવતા,$y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ મળે.
અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2=16$ અને $b^2=9$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
$m = -\frac{h}{k}$ અને $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$(\frac{h^2+k^2}{k})^2 = 16(-\frac{h}{k})^2 - 9$.
$k^2$ વડે ગુણતા,$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x+\beta)(x^2+1)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x^3+\alpha x+\beta x^2+\beta)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-\alpha)x^3-\beta x^2-\alpha x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે $x^3$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$1-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
હવે લક્ષ આ મુજબ થશે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta x^2-x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta - \frac{1}{x} + \frac{1-\beta}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $x$ વાળા પદો $0$ તરફ જાય છે:
$-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta) = (1, -2)$ છે.

(D) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x^2 + [x])$ માટે: જેમ $x \rightarrow 2^{+}$,તેમ $[x] = 2$. તેથી,$l_1 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} (2x - [x])$ માટે: જેમ $x \rightarrow 3^{-}$,તેમ $[x] = 2$. તેથી,$l_2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} \right)$ માટે: ધારો કે $y = x - \frac{\pi}{2}$. જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,તેમ $y \rightarrow 0$. તેથી $x = y + \frac{\pi}{2}$.
$l_3 = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{\cos(y + \frac{\pi}{2})}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{-\sin y}{y} = -1$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $l_3 = -1$,$l_2 = 4$,અને $l_1 = 6$ મળે છે.
આમ,$l_3 < l_2 < l_1$.

(C) $\alpha$ શોધવા માટે:
$\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{1-\cos x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{2 \sin^2(x/2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{\sin^2(x/2)} \cdot \frac{1}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{1}{(\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot 4 = 2 \ln 2$
તેથી,$\alpha = 2 \ln 2$ ... $(i)$
$\beta$ શોધવા માટે:
$\beta = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\beta = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{(1+x^2)-(1-x^2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{2x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot (\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot (1+1) = \ln 2$
તેથી,$\beta = \ln 2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $\alpha = 2\beta$ મળે છે.

(D) અમે $x=0$ ની નજીક $\tan x$ અને $\cos 2x$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$
$\tan 2x = 2x + \frac{(2x)^3}{3} + \frac{2(2x)^5}{15} + \dots = 2x + \frac{8x^3}{3} + \frac{64x^5}{15} + \dots$
$1 - \cos 2x = 1 - (1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots) = 2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots$
હવે,અંશના પદ $(\tan 2x - 2 \tan x)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\tan 2x - 2 \tan x = (2x + \frac{8x^3}{3} + \frac{64x^5}{15} + \dots) - 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots)$
$= (2x - 2x) + (\frac{8}{3} - \frac{2}{3})x^3 + (\frac{64}{15} - \frac{4}{15})x^5 + \dots = 2x^3 + 4x^5 + \dots$
તેથી,$(\tan 2x - 2 \tan x)^2 = (2x^3 + 4x^5 + \dots)^2 = 4x^6 + \dots$
અંશ $x^2(\tan 2x - 2 \tan x)^2 = x^2(4x^6 + \dots) = 4x^8 + \dots$ છે.
છેદ $(1 - \cos 2x)^4 = (2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots)^4 = (2x^2)^4 + \dots = 16x^8 + \dots$ છે.
લક્ષ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^8}{16x^8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

(D) અમે $x \rightarrow \infty$ તરીકે લક્ષની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}-\frac{5 x^3+3}{\sqrt{x^6+2}}\right)$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 - \frac{\cos 3x}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{6 - 0}{1 + 0} = 6$
બીજા પદ માટે,કારણ કે $x \rightarrow \infty$,$x > 0$,તેથી $\sqrt{x^6} = x^3$:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x^3 + 3}{\sqrt{x^6+2}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^3}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^6}}} = \frac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = 5$
આમ,લક્ષ $6 - 5 = 1$ છે.

(B) આપેલ છે $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}$.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1 + x \cdot 2^x \ln 2}{\sin x}$.
ફરીથી $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 + 2^x \ln 2 + x \cdot 2^x (\ln 2)^2}{\cos x} = \frac{\ln 2 + \ln 2 + 0}{1} = 2 \ln 2$.
હવે,$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})}{(1 + x^2) - (1 - x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})}{2x^2}$.
$\beta = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1}{x} \cdot (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot (1 + 1) = \ln 2$.
આમ,$\alpha = 2 \beta$.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+a x+b}-x\right)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left(\left(\sqrt{x^2+a x+b}-x\right) \times \frac{\sqrt{x^2+a x+b}+x}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+a x+b-x^2}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a x+b}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}}+1}$
જેમ $x \rightarrow \infty$,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$ અને $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$,તેથી લક્ષ:
$= \frac{a+0}{\sqrt{1+0+0}+1} = \frac{a}{2}$
પરિણામ $\frac{a}{2}$ હોવાથી,લક્ષ માત્ર $a$ પર આધાર રાખે છે.

(B) $x=0$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(RHL)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x}$.
સંમેયીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \frac{2p}{1+1} = p$.
$LHL = RHL$ સરખાવતા,આપણને $p = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0, n \neq 0$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{(a-n) n x - \tan x}{x} \right) \left( \frac{\sin n x}{x} \right) = 0$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( (a-n)n - \frac{\tan x}{x} \right) \left( n \cdot \frac{\sin n x}{n x} \right) = 0$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{n x} = 1$,તેથી:
$((a-n)n - 1) \cdot n = 0$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$(a-n)n - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $an - n^2 = 1$,અથવા $a = n + \frac{1}{n}$.
સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$n > 0$ માટે:
$\frac{n + \frac{1}{n}}{2} \geq \sqrt{n \cdot \frac{1}{n}} = 1$.
તેથી,$a \geq 2$.
$a$ ની ન્યૂનતમ શક્ય ધન કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x - e^{n x}}{1 + A e^{n x}}$.
અહીં $x < 0$ હોવાથી,જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $e^{n x} \rightarrow 0$ થાય છે.
તેથી,$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\sin x - e^{n x}}{1 + A e^{n x}} = \frac{\sin x - 0}{1 + A(0)} = \frac{\sin x}{1} = \sin x$.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ છે.
આપણે $T_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ લખી શકીએ છીએ.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ તરીકે લક્ષ લેતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{12}$.

(B) આપેલ છે,$n = 15$ માટે $\sum x = 170$ અને $\sum x^2 = 2830$.
ખોટા અવલોકન $20$ ને સાચા અવલોકન $30$ વડે બદલતા:
સુધારેલ $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{વિચરણ} = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વિચરણ} = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\text{વિચરણ} = 222 - (12)^2$.
$\text{વિચરણ} = 222 - 144 = 78$.

(C) આપેલ $12$ પદોની સમાંતર શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{a_0 + a_{11}}{2}$ છે.
$a_n = a_0 + nd$ હોવાથી,$a_{11} = a_0 + 11d$,તેથી $\bar{x} = a_0 + \frac{11}{2}d$.
પદો $a_0, a_0+d, \ldots, a_0+11d$ છે.
મધ્યકથી વિચલનો $|a_k - \bar{x}| = |a_0 + kd - (a_0 + 5.5d)| = |k - 5.5||d|$ છે.
$k = 0, 1, \ldots, 11$ માટે,$|k - 5.5|$ ની કિંમતો $5.5, 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5$ છે.
આ વિચલનોનો સરવાળો $2 \times (5.5 + 4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5)|d| = 2 \times 18|d| = 36|d|$ થાય છે.
સરેરાશ વિચલન $\frac{36|d|}{12} = 3|d|$ છે.

(D) પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(5 \times 2) + (15 \times 3) + (25 \times 4) + (35 \times 1)}{2 + 3 + 4 + 1} = \frac{10 + 45 + 100 + 35}{10} = \frac{190}{10} = 19$.
ત્યારબાદ,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{2(5-19)^2 + 3(15-19)^2 + 4(25-19)^2 + 1(35-19)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(-14)^2 + 3(-4)^2 + 4(6)^2 + 1(16)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(196) + 3(16) + 4(36) + 1(256)}{10}$
$\sigma^2 = \frac{392 + 48 + 144 + 256}{10} = \frac{840}{10} = 84$.
આમ,વિચરણ $84$ છે.

(B) આપેલ છે,વિચલન ગુણાંક $(CV) = 60$ અને પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = 21$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$,જ્યાં $\mu$ એ મધ્યક છે.
કિંમતો મૂકતા: $60 = \frac{21}{\mu} \times 100 \Rightarrow \mu = \frac{2100}{60} = 35$.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળ $k = 15$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી,તેથી $\sigma' = \sigma = 21$.
નવો મધ્યક $\mu' = \mu + 15 = 35 + 15 = 50$ થાય છે.
નવો વિચલન ગુણાંક $CV' = \frac{\sigma'}{\mu'} \times 100$ છે.
$CV' = \frac{21}{50} \times 100 = 21 \times 2 = 42$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x_i$ અને $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલનો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે,તેથી $a^2 = \frac{1}{10} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ અને $b^2 = \frac{1}{10} \sum y_i^2 - \bar{y}^2$ થાય.
આપણને $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ આપેલ છે.
ધારો કે $d_i = x_i - y_i$. $d_i$ નો મધ્યક $\bar{d} = \bar{x} - \bar{y}$ છે.
$d_i$ નું વિચરણ $\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum (d_i - \bar{d})^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2$ થાય.
$\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2 = \frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 - \frac{2}{10} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$.
કારણ કે $\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 = a^2$ અને $\frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 = b^2$,અને $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$,તેથી આપણને મળે:
$\sigma_d^2 = a^2 + b^2 - \frac{2c}{10} = a^2 + b^2 - \frac{c}{5}$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{c}{5}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n=100$,$\bar{x}_1=40$,અને $\sigma_1=15$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n \times \bar{x}_1 = 100 \times 40 = 4000$ છે.
સુધારેલ સરવાળો $\sum x_i^{\prime} = 4000 - 30 - 60 + 40 + 50 = 4000$ છે.
આમ,સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}_2 = \frac{4000}{100} = 40$ છે.
તેથી,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$.
હવે,$\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2$ $\Rightarrow 225 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 182500$.
વર્ગોનો સુધારેલ સરવાળો $\sum x_i^{\prime 2} = 182500 - 30^2 - 60^2 + 40^2 + 50^2 = 182100$ છે.
સુધારેલ વિચરણ $\sigma_2^2 = \frac{182100}{100} - (40)^2 = 1821 - 1600 = 221$ છે.
કારણ કે $\sigma_1^2 = 225$ અને $\sigma_2^2 = 221$,તેથી $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma_1 > \sigma_2$.
તેથી,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ અને $\sigma_1 > \sigma_2$.

(C) આપેલ માહિતી $9, 3, 11, 5, 7$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{9+3+11+5+7}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
હવે,વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(9-7)^2 + (3-7)^2 + (11-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2}{5}$
$= \frac{4 + 16 + 16 + 4 + 0}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV) = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2\sqrt{2}}{7} \times 100 = \frac{200\sqrt{2}}{7}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલા ડેટાનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ.
વર્ગોના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ છે.
આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $6, 8, 10, 4, 2$ છે.
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 30$.
ગુણાકારનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 630$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{630}{30} = 21$.
હવે,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ નો ઉપયોગ કરીને:
$\sum f_i |x_i - 21| = 288$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{288}{30} = 9.6$.

(D) સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ ની ગણતરી કરો.
$\sum f_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55$.
$\sum f_i x_i = 1(1) + 2(2) + 3(3) + 4(4) + 5(5) + 6(6) + 7(7) + 8(8) + 9(9) + 10(10) = 385$.
$\bar{x} = \frac{385}{55} = 7$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sum f_i (x_i - 7)^2 = 1(36) + 2(25) + 3(16) + 4(9) + 5(4) + 6(1) + 7(0) + 8(1) + 9(4) + 10(9) = 330$.
$\sigma^2 = \frac{330}{55} = 6$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે વિતરણનો મધ્યક $\bar{x}$ શોધીએ:
મધ્યબિંદુઓ $x_i$ એ $2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $N = \sum f_i = 20$.
સરવાળો $\sum f_i x_i = 240$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{240}{20} = 12$.
ત્યારબાદ,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ શોધીએ:
$\sigma^2 = \frac{139}{4}$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \frac{\sqrt{139}}{2}$.
વિચલન ગુણાંક $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{25 \sqrt{139}}{6}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે,આપણે પહેલા મધ્યક $\bar{X}$ ગણીએ છીએ.
વર્ગોના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $N = \Sigma f_i = 4+6+16+28+16+6+4 = 80$.
સરવાળો $\Sigma f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (16 \times 25) + (28 \times 35) + (16 \times 45) + (6 \times 55) + (4 \times 65) = 20 + 90 + 400 + 980 + 720 + 330 + 260 = 2800$.
મધ્યક $\bar{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2800}{80} = 35$.
હવે,$\Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \Sigma f_i |x_i - 35|$ ગણો:
$4|5-35| + 6|15-35| + 16|25-35| + 28|35-35| + 16|45-35| + 6|55-35| + 4|65-35|$
$= 4(30) + 6(20) + 16(10) + 28(0) + 16(10) + 6(20) + 4(30)$
$= 120 + 120 + 160 + 0 + 160 + 120 + 120 = 800$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{1}{N} \Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \frac{800}{80} = 10$.

(A) આપેલ અવલોકનો $x_i = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 22\}$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2+3+5+7+11+13+17+22}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
ત્યારબાદ,વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum (x_i - \bar{x})^2$ શોધો:
$(2-10)^2 + (3-10)^2 + (5-10)^2 + (7-10)^2 + (11-10)^2 + (13-10)^2 + (17-10)^2 + (22-10)^2$
$= (-8)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (7)^2 + (12)^2$
$= 64 + 49 + 25 + 9 + 1 + 9 + 49 + 144 = 350$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{350}{8} = 43.75$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\cos A = -\frac{60}{61}$ અને $\tan B = -\frac{7}{24}$. $A$ અને $B$ બીજા ચરણમાં ન હોવાથી,$A$ ત્રીજા ચરણમાં અને $B$ ચોથા ચરણમાં હશે.
$A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$\tan A = \frac{11}{60}$.
$B \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માટે,$\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$,જે બીજા ચરણમાં છે.
$\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)} = -\frac{7}{24}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(B/2) = -7$ મળે છે.
હવે,$\tan(A + \frac{B}{2}) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \tan(B/2)} = \frac{11/60 - 7}{1 + (11/60)(7)} = \frac{-409}{137} < 0$.
$A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ અને $\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ હોવાથી,$A + \frac{B}{2} \in (\frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{2})$,જે ચોથા ચરણમાં છે.

(C) માટે,$r_1 r_2 \sqrt{\frac{4R-r_1-r_2}{r_1+r_2}} = \Delta$.
$(B)$ માટે,$\frac{r_2(r_3+r_1)}{\sqrt{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}} = b$.
$(C)$ માટે,$\frac{a}{c} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(B-C)} \implies a^2, b^2, c^2$ એ $AP$ માં છે.
$(D)$ માટે,$bc \cos^2 \frac{A}{2} = s(s-a)$.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-1, C-2, D-5$ છે,જે વિકલ્પ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos \theta$
$AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4) \cos \theta = 36 + 16 - 48 \cos \theta = 52 - 48 \cos \theta \quad (i)$
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે. તેથી,$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$.
$\triangle ADC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD) \cos(180^{\circ} - \theta)$
કારણ કે $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-\cos \theta) = 9 + 25 + 30 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$52 - 48 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$
$52 - 34 = 30 \cos \theta + 48 \cos \theta$
$18 = 78 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{18}{78} = \frac{3}{13}$

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$ મળે છે. આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin (A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin (A-B)$
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$
અહીં $A+B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(A+B) = 1$ અને $\sin B = \cos A$ થાય.
$= \sin^2 A + \cos^2 A = 1$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{9}=\frac{c+a}{10}=\frac{a+b}{11}=k$.
તેથી $b+c=9k$,$c+a=10k$,અને $a+b=11k$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા $2(a+b+c)=30k$,તેથી $a+b+c=15k$.
આમ,$a=6k$,$b=5k$,અને $c=4k$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{8}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\frac{\cos A+\cos B}{\cos C} = \frac{\frac{1}{8}+\frac{9}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{12}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = 8, r_2 = 12, r_3 = 24$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{3+2+1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$,તેથી $r = 4$.
વળી,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{4 \times 8 \times 12 \times 24} = \sqrt{9216} = 96$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$8 = \frac{96}{s-a} \Rightarrow s-a = 12$.
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ નો ઉપયોગ કરતા,$12 = \frac{96}{s-b} \Rightarrow s-b = 8$.
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$24 = \frac{96}{s-c} \Rightarrow s-c = 4$.
આનો સરવાળો કરતા: $3s - (a+b+c) = 24$ $\Rightarrow 3s - 2s = 24$ $\Rightarrow s = 24$.
તેથી $a = s-12 = 12$,$b = s-8 = 16$,અને $c = s-4 = 20$.
આમ,ક્રમિક ત્રિપુટી $(a, b, c) = (12, 16, 20)$ છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,$AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $BD = DC = a/2$. આપેલ છે કે $AD \perp AC$,કાટકોણ $\triangle ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^2 + b^2 = (a/2)^2$,તેથી $AD^2 = a^2/4 - b^2$.
$\triangle ABC$ પર એપોલોનિયસના પ્રમેય દ્વારા,$c^2 + b^2 = 2(AD^2 + (a/2)^2)$.
$AD^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $c^2 + b^2 = 2(a^2/4 - b^2 + a^2/4) = a^2 - 2b^2$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $a^2 = 3b^2 + c^2$ (સમીકરણ $iii$).
હવે,પદાવલિ $3ca \cos A \cos C + 2a^2$ ધ્યાનમાં લો.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$ અને $\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$.
આ કિંમતો મૂકતા,પદાવલિ $3ca \cdot [(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)] \cdot [(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)] + 2a^2$ બને છે.
$= (3/4b^2) \cdot (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + 2a^2$.
કારણ કે $a^2 - c^2 = 3b^2$,આપણી પાસે $b^2 + c^2 - a^2 = -2b^2$ અને $a^2 + b^2 - c^2 = 4b^2$ છે.
$= (3/4b^2) \cdot (-2b^2)(4b^2) + 2a^2 = -6b^2 + 2a^2 = 2(a^2 - 3b^2)$.
સમીકરણ $iii$ પરથી,$a^2 - 3b^2 = c^2$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $2c^2$ થાય છે.

(C) બાજુઓનો ગુણોત્તર $a: b: c = 3: 5: 7$ આપેલ છે,ધારો કે $a = 3x, b = 5x, c = 7x$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(5x)^2 + (7x)^2 - (3x)^2}{2(5x)(7x)} = \frac{65x^2}{70x^2} = \frac{13}{14}$.
$\cos B = \frac{(3x)^2 + (7x)^2 - (5x)^2}{2(3x)(7x)} = \frac{33x^2}{42x^2} = \frac{11}{14}$.
તેથી,$\cos A + \cos B = \frac{13}{14} + \frac{11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A + 2 \cos B + \cos C$ નું મૂલ્ય મેળવતા તે $2$ મળે છે.

(B) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\alpha = \frac{2\Delta}{a}$,$\beta = \frac{2\Delta}{b}$,અને $\gamma = \frac{2\Delta}{c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{a^2}{4\Delta^2} + \frac{b^2}{4\Delta^2} + \frac{c^2}{4\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2}$.
નિત્યસમ $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2+c^2-a^2 = 4\Delta \cot A$ મળે છે.
$A, B, C$ માટે આનો સરવાળો કરતા:
$(b^2+c^2-a^2) + (c^2+a^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2) = a^2+b^2+c^2 = 4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)$.
તેથી,$\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2} = \frac{4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)}{4\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}(\cot A + \cot B + \cot C)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
વળી,$\cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(r_2 + r_3) \cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \left( \frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} \right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)$
$= \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$
$= \Delta \left( \frac{a}{(s-b)(s-c)} \right) \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$
$= \frac{\Delta \cdot a}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
કારણ કે $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$= \frac{\Delta \cdot a}{\Delta} = a$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,$\angle A=75^{\circ}, \angle B=45^{\circ}$ અને $a=2(\sqrt{3}+1)$.
$\triangle AOC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow x = \sqrt{3}y$.
હવે,$x+y = 2(\sqrt{3}+1)$.
$x = \sqrt{3}y$ મૂકતા,$\sqrt{3}y + y = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y(\sqrt{3}+1) = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y = 2$.
તેથી,$x = 2\sqrt{3}$.
હવે,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle AOC$ નું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2}x(x+y)$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} \times 2(\sqrt{3}+1) = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે,$3a = b + c$ ... $(i)$
ધારો કે $s$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે,તેથી $s = \frac{a + b + c}{2}$.
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા,$s = \frac{a + 3a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેથી,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
$s = 2a$ મૂકતા,આપણને $\frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\frac{2 r_2 r_3}{r_2-r_1} = r_3-r_1$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$2 \cdot \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{\Delta}{s-c} = \left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s-a}\right)$
$\frac{2}{(s-b)(s-c)} = \frac{(s-a)-(s-b)}{(s-b)(s-a)} \cdot \frac{(s-a)-(s-c)}{(s-c)(s-a)}$
$2(s-a)^2 = (b-a)(c-a)$
$2(\frac{b+c-a}{2})^2 = (b-a)(c-a)$
$\frac{(b+c-a)^2}{2} = (b-a)(c-a)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2(bc-ab-ac+a^2)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2bc-2ab-2ac+2a^2$
$b^2+c^2 = a^2$.
હવે,$\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(s-c+s-a+s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(3s-2s)}{\frac{\Delta^2}{s}}} = s$.
આમ,$\frac{r_1(r_2+r_3)}{s} = \frac{\frac{\Delta}{s-a}(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c})}{s} = \frac{\Delta^2(2s-b-c)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^2(a)}{\Delta^2} = a = 2R$.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = b^2-(c-a)^2$.
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = (b-c+a)(b+c-a)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$b-c+a = 2s-2c$ અને $b+c-a = 2s-2a$ થાય.
તેથી,$\Delta = (2s-2c)(2s-2a) = 4(s-a)(s-c)$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4(s-a)(s-c)$.
બંને બાજુ $\sqrt{(s-a)(s-c)}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{s(s-b)} = 4\sqrt{(s-a)(s-c)}$.
તેથી,$\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{1}{4}$.
દ્વિગુણિત ખૂણાના સૂત્ર $\tan B = \frac{2\tan(B/2)}{1-\tan^2(B/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan B = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{1-1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
તેથી,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$,અને $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$.
હવે,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r^2} = \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2} + \frac{s^2}{\Delta^2}$.
$= \frac{(s^2+a^2-2as) + (s^2+b^2-2sb) + (s^2+c^2-2sc) + s^2}{\Delta^2}$.
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 2s(a+b+c)}{\Delta^2}$.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $2s(a+b+c) = 2s(2s) = 4s^2$.
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 4s^2}{\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં આપેલ છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 36, r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 18, r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 12$
$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{s}{\Delta}$,તેથી $\frac{s}{\Delta} = \frac{1}{6} \Rightarrow \Delta = 6s$
$r_1 = \frac{6s}{s-a} = 36$ $\Rightarrow 6s = 36s - 36a$ $\Rightarrow 36a = 30s$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$
$r_2 = \frac{6s}{s-b} = 18$ $\Rightarrow 6s = 18s - 18b$ $\Rightarrow 18b = 12s$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3}$
$r_3 = \frac{6s}{s-c} = 12$ $\Rightarrow 6s = 12s - 12c$ $\Rightarrow 12c = 6s$ $\Rightarrow c = \frac{s}{2}$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = (6s)^2 = 36s^2$
$s(s - \frac{5s}{6})(s - \frac{2s}{3})(s - \frac{s}{2}) = 36s^2$
$s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2}) = 36s^2$
$\frac{s^4}{36} = 36s^2$ $\Rightarrow s^2 = 36^2$ $\Rightarrow s = 36$
$a = \frac{5 \times 36}{6} = 30$
$b = \frac{2 \times 36}{3} = 24$
$a+b = 30+24 = 54$

(B) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ એ $R = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$A = B = C = 60^{\circ}$.
શિરોબિંદુ $A$ થી વર્તુળ સુધીના ખૂણા દ્વિભાજક $AA_1$ ની લંબાઈ $AA_1 = 2R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 2(2) \cos 30^{\circ} \cos 0^{\circ} = 2\sqrt{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[\frac{2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}}\right]^2$
$= \left[\frac{3 \times 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}\right]^2 = 4^2 = 16$.

(C) ધારો કે $y = \log \sec x$. તેથી $\sec x = e^y$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = e^{-y}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$.
વળી,$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{\cot^2(x/2) - 1}{\cot^2(x/2) + 1}$.
હાયપરબોલિક વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને,$\coth(y/2) = \frac{1 + e^{-y}}{1 - e^{-y}} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \frac{2}{2\tan^2(x/2)} = \cot^2(x/2)$.
કારણ કે $\cot^2(x/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$,તેથી $\coth(y/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$.
તેથી,$\frac{y}{2} = \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$,જે આપે છે $y = 2 \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$.

(D) આપેલ છે કે $\tan x = \frac{3}{4}$.
$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{9}{16}$ હોવાથી,$\sin^2 x = \frac{9}{25}$ અને $\cos^2 x = \frac{16}{25}$ મળે.
આપણને $\sin x \cosh y = \cos \theta$ અને $\cos x \sinh y = \sin \theta$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2 = 1$
$\sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ મૂકતા:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\frac{9}{25}(1 + \sinh^2 y) + \frac{16}{25} \sinh^2 y = 1$
$25$ વડે ગુણતા:
$9 + 9 \sinh^2 y + 16 \sinh^2 y = 25$
$25 \sinh^2 y = 25 - 9$
$25 \sinh^2 y = 16$
$\sinh^2 y = \frac{16}{25}$.

(C) આપેલ અસમતા: $x^2 - |x+2| + x > 0$
કિસ્સો $I$: જો $x+2 \geq 0$ (એટલે કે $x \geq -2$), તો $|x+2| = x+2$.
અસમતા બને છે:
$x^2 - (x+2) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 - 2 > 0$
$\Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) > 0$
આનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ છે.
શરત $x \geq -2$ ને ધ્યાનમાં લેતા, છેદગણ $x \in [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $x+2 < 0$ (એટલે કે $x < -2$), તો $|x+2| = -(x+2)$.
અસમતા બને છે:
$x^2 - (-(x+2)) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 2 > 0$
$\Rightarrow (x+1)^2 + 1 > 0$
કારણ કે $(x+1)^2 + 1$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે, તેથી શરત $x < -2$ સંતોષાય છે.
કિસ્સો $I$ અને $II$ ને જોડતા:
$(-\infty, -2) \cup [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

(B) ધારો કે $y = \frac{x-P}{x^2-3x+2}$.
$y$ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે તે માટે,સમીકરણ $yx^2 - (3y+1)x + (2y+P) = 0$ ને તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે $x$ ના વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (3y+1)^2 - 4y(2y+P) \geq 0$
$y^2 + (6-4P)y + 1 \geq 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે અ-ઋણ રહે તે માટે,તેનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
$(6-4P)^2 - 4 \leq 0$
$|6-4P| \leq 2$
$1 \leq P \leq 2$.
પરંતુ,જો $P=1$ અથવા $P=2$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $0$ મળી શકતી નથી. તેથી $P \neq 1$ અને $P \neq 2$.
આમ,$1 < P < 2$.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $-3 < \frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1} < 3$.
તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે છેદ વડે ગુણી શકીએ:
$-3(x^2+x+1) < x^2+k x+1 < 3(x^2+x+1)$.
કિસ્સો $1$: $x^2+k x+1 < 3x^2+3x+3 \Rightarrow 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_1 < 0$ હોવો જોઈએ:
$(3-k)^2 - 4(2)(2) < 0$ $\Rightarrow (3-k)^2 - 16 < 0$ $\Rightarrow (k-3)^2 < 16$.
$-4 < k-3 < 4 \Rightarrow -1 < k < 7$.
કિસ્સો $2$: $x^2+k x+1 > -3x^2-3x-3 \Rightarrow 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_2 < 0$ હોવો જોઈએ:
$(k+3)^2 - 4(4)(4) < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 - 64 < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 < 64$.
$-8 < k+3 < 8 \Rightarrow -11 < k < 5$.
બંને અંતરાલો $(-1, 7)$ અને $(-11, 5)$ નો છેદ લેતા,આપણને $k \in (-1, 5)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $n(A) = m$ અને $n(B) = n$.
આપેલ છે કે $P_B$ માં $P_A$ કરતા $112$ ઘટકો વધુ છે,તેથી $n(P_B) - n(P_A) = 112$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(P_A) = 2^m$ અને $n(P_B) = 2^n$,તેથી $2^n - 2^m = 112$.
$2^m$ સામાન્ય લેતા,$2^m(2^{n-m} - 1) = 112$.
$112$ ને $16 \times 7 = 2^4 \times (8 - 1) = 2^4(2^3 - 1)$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n - m = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^n P_m$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$^7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{x^2+x+1} = f_1(x) - f_2(x)$.
આના પરથી,આપણે $f_1(x) = \frac{1}{x-1}$ અને $f_2(x) = \frac{x+2}{x^2+x+1}$ મેળવીએ છીએ.
હવે,આ કિંમતોને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = A \left(\frac{1}{x-1}\right) + (B + \frac{D}{x-1}) \left(\frac{x+2}{x^2+x+1}\right) + \frac{C}{(x-1)^2}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા:
$x+1 = A(x-1)(x^2+x+1) + (B(x-1) + D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
$x+1 = A(x^3-1) + (Bx-B+D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$ નો સહગુણક: $A + B = 0$.
$x^2$ નો સહગુણક: $B + C = 0$.
આમ,$A+B+C+D = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+k+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
પ્રથમ,બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6} = x+6 + \frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
સરખાવતા,આપણને $k=6$ મળે છે.
હવે,શેષનું આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજન કરતા: $\frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$A$ માટે: $A = \frac{31(1)^2-72(1)+36}{(1-2)(1-3)} = \frac{31-72+36}{2} = \frac{-5}{2}$.
$B$ માટે: $B = \frac{31(2)^2-72(2)+36}{(2-1)(2-3)} = \frac{124-144+36}{-1} = \frac{16}{-1} = -16$.
$C$ માટે: $C = \frac{31(3)^2-72(3)+36}{(3-1)(3-2)} = \frac{279-216+36}{2} = \frac{99}{2}$.
તેથી,$k+A-B+C = 6 + (-\frac{5}{2}) - (-16) + \frac{99}{2} = 6 - 2.5 + 16 + 49.5 = 69$.

(D) ધારો કે $P(X=-1) = a$,$P(X=0) = b$,અને $P(X=1) = c$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,$a + b + c = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $P(X=0) = b = 0.2$.
સરવાળામાં $b$ ની કિંમત મૂકતા: $a + 0.2 + c = 1 \Rightarrow a + c = 0.8 \Rightarrow a = 0.8 - c$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0.2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$(-1)(a) + (0)(b) + (1)(c) = 0.2$.
$-a + c = 0.2$.
સમીકરણમાં $a = 0.8 - c$ મૂકતા: $-(0.8 - c) + c = 0.2$.
$-0.8 + c + c = 0.2$.
$2c = 1.0$.
$c = 0.5$.
આમ,$P(X=1) = 0.5$.

(A) ધારો કે દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $n = 4$ છે. બાળક છોકરો $(B)$ અથવા છોકરી $(G)$ હોવાની સંભાવના $P(B) = P(G) = \frac{1}{2}$ છે.
$4$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
બંને જાતિના બાળકો હોવાની ઘટના એ એવી ઘટનાની પૂરક ઘટના છે જેમાં બધા બાળકો એક જ જાતિના હોય (બધા છોકરાઓ અથવા બધી છોકરીઓ).
$P(\text{બધા છોકરાઓ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{બધી છોકરીઓ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{બંને જાતિ}) = 1 - [P(\text{બધા છોકરાઓ}) + P(\text{બધી છોકરીઓ})] = 1 - [\frac{1}{16} + \frac{1}{16}] = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$800$ પરિવારો માટે,બંને જાતિના બાળકો ધરાવતા પરિવારોની અપેક્ષિત સંખ્યા $800 \times \frac{7}{8} = 700$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા લાલ દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. કુલ દડાની સંખ્યા $4 + 5 = 9$ છે. $9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{{}^4C_3}{{}^9C_3} = \frac{4}{84}$
$P(X=1) = \frac{{}^4C_2 \times {}^5C_1}{{}^9C_3} = \frac{6 \times 5}{84} = \frac{30}{84}$
$P(X=2) = \frac{{}^4C_1 \times {}^5C_2}{{}^9C_3} = \frac{4 \times 10}{84} = \frac{40}{84}$
$P(X=3) = \frac{{}^4C_0 \times {}^5C_3}{{}^9C_3} = \frac{1 \times 10}{84} = \frac{10}{84}$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{4}{84} + 1 \times \frac{30}{84} + 2 \times \frac{40}{84} + 3 \times \frac{10}{84}$
$E(X) = \frac{0 + 30 + 80 + 30}{84} = \frac{140}{84} = \frac{5}{3}$.
આમ,મધ્યક $\frac{5}{3}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.