int_0^{pi / 2} frac{sin ^3 x cos x , dx}{sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx \quad \dots (i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \,

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx \quad \dots (i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} \, dx \quad \dots (ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{	an x \sec^2 x}{	an ^4 x+1} \, dx$ધારો કે $	an^2 x = t$,તેથી $2 	an x \sec^2 x \, dx = dt$,એટલે કે $	an x \sec^2 x \, dx = \frac{dt}{2}$.જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t 	o \infty$.$2I = \int_0^{\infty} \frac{1}{t^2+1} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} [	an^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$.$2I = \frac{\pi}{4} \implies I = \frac{\pi}{8}$.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x \, dx}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} = ?$

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^{\pi /2} \log(\tan x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} d x=\ldots$

જો $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ એ $m, n \geq 1$ માટે હોય અને $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $\alpha$ ની કિંમત .... થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module