AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
किसी व्यंजक के $(x-y)(x+y)$ से विभाज्य होने के लिए,उसे $(x-y)$ और $(x+y)$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
व्यंजक $(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ पर विचार करें।
$n=1$ के लिए,यह $x^2-y^2$ है,जो $x^2-y^2$ से विभाज्य है।
अतः,$(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ किसी भी $n \in N$ के लिए $x^2-y^2$ से हमेशा विभाज्य होता है।

(D) माना $y = \frac{2\alpha}{3-4\alpha}$ है। तब $2\alpha = 3y - 4\alpha y$,जिसका अर्थ है $\alpha(2+4y) = 3y$,इसलिए $\alpha = \frac{3y}{2+4y}$ है।
चूंकि $\alpha$,$x^2+7x+3=0$ का एक मूल है,हम $\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{3y}{2+4y})^2 + 7(\frac{3y}{2+4y}) + 3 = 0$.
$(2+4y)^2 = 16y^2+16y+4$ से गुणा करने पर:
$9y^2 + 21y(2+4y) + 3(16y^2+16y+4) = 0$.
$9y^2 + 42y + 84y^2 + 48y^2 + 48y + 12 = 0$.
$141y^2 + 90y + 12 = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर: $47y^2 + 30y + 4 = 0$.
$ax^2+bx+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=47, b=30, c=4$ प्राप्त होता है। चूंकि $GCD(47, 30, 4) = 1$ है,ये मान मान्य हैं।
अतः,$a+b+c = 47+30+4 = 81$।

(A) चूँकि दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$\lambda \leq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}$
एक विषमबाहु त्रिभुज के लिए,हम जानते हैं कि $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$,अतः $a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca$।
दोनों पक्षों में $2(ab+bc+ca)$ जोड़ने पर,हमें $(a+b+c)^2 > 3(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} > 1$।
साथ ही,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$(a+b+c)^2 < 4(ab+bc+ca)$,जो यह दर्शाता है कि $\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} < \frac{4}{3}$।
इसलिए $\lambda$ का अंतराल $\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)$ है।

(D) दिया गया है कि $4$ घात वाले बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं। चूँकि सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं,यदि $1+2i$ एक मूल है,तो $1-2i$ भी एक मूल होगा। मूल $2+\sqrt{3}$,$2-\sqrt{3}$,$1+2i$ और $1-2i$ हैं।
$2 \pm \sqrt{3}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = x^2-4x+1$.
$1 \pm 2i$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x-(1+2i))(x-(1-2i)) = x^2-2x+5$.
इन दोनों गुणनखंडों का गुणनफल करने पर:
$(x^2-4x+1)(x^2-2x+5) = x^4-6x^3+14x^2-22x+5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-ax^2+bx-c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
हमें $\Sigma \alpha^2(\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = a$,इसलिए $\beta+\gamma = a-\alpha$ होगा।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Sigma \alpha^2(a-\alpha) = a\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha^3$
हम जानते हैं कि $\Sigma \alpha^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2-2b$.
साथ ही,त्रिघात समीकरण के लिए घनों का योग $\Sigma \alpha^3$ इस प्रकार है:
$\Sigma \alpha^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha\beta)$
$\Sigma \alpha^3 = a(a^2-2b-b) + 3c = a^3-3ab+3c$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a(a^2-2b) - (a^3-3ab+3c) = a^3-2ab-a^3+3ab-3c = ab-3c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
पदों को समूहित करने पर: $6(x^6-1)-25x(x^4-1)+31x^2(x^2-1)=0$
$(x^2-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2-1)(6x^4-25x^3+37x^2-25x+6)=0$
$x^2-1=0$ से मूल $x=1, -1$ प्राप्त होते हैं।
$6x^4-25x^3+37x^2-25x+6=0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-25(x+\frac{1}{x})+37=0$
माना $t = x+\frac{1}{x}$,तो $6(t^2-2)-25t+37=0 \Rightarrow 6t^2-25t+25=0$
$(2t-5)(3t-5)=0 \Rightarrow t=\frac{5}{2}$ या $t=\frac{5}{3}$
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x^2-5x+2=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x-2)=0$ $\Rightarrow x=2, \frac{1}{2}$
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{3} \Rightarrow 3x^2-5x+3=0$. विविक्तकर $D = 25-36 = -11 < 0$,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
परिमेय मूल $1, -1, 2, \frac{1}{2}$ हैं।
योग $= 1-1+2+\frac{1}{2} = 2.5$.

(A) दिया गया है $\sin \alpha = p$। हम जानते हैं कि $\sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = p$।
माना $t = \tan \frac{\alpha}{2}$। तब $\frac{2t}{1 + t^2} = p$,जिसका अर्थ है $2t = p + pt^2$,या $pt^2 - 2t + p = 0$।
$p$ से भाग देने पर,हमें $t^2 - \frac{2}{p} t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $t_1 = \tan \frac{\alpha}{2}$ और $t_2 = \frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}} = \cot \frac{\alpha}{2}$ हैं।
मूलों का योग $\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{p}$ है और मूलों का गुणनफल $\tan \frac{\alpha}{2} \times \cot \frac{\alpha}{2} = 1$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - \frac{2}{p} x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $px^2 - 2x + p = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x}} = 2$
माना $y = \sqrt{\frac{x}{2x+1}}$। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = 2$ हो जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,$y^2 - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(y-1)^2 = 0$ है।
अतः,$y = 1$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} = 1 \implies \frac{x}{2x+1} = 1 \implies x = 2x + 1 \implies x = -1$।
चूंकि $\alpha$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $\alpha = -1$।
अब,$\alpha = -1$ को $\alpha^2 x^2 + 4\alpha x + 3 = 0$ में रखने पर:
$(-1)^2 x^2 + 4(-1)x + 3 = 0
\implies x^2 - 4x + 3 = 0
\implies (x-1)(x-3) = 0$।
अतः,मूल $x = 1, 3$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है।
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=2, \gamma=3$ हैं।
अब,नए मूलों की गणना करें:
$\alpha' = \alpha^2+\beta^2 = 1^2+2^2 = 5$
$\beta' = \beta^2+\gamma^2 = 2^2+3^2 = 13$
$\gamma' = \gamma^2+\alpha^2 = 3^2+1^2 = 10$
अभीष्ट समीकरण $x^3 - (\alpha'+\beta'+\gamma')x^2 + (\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha')x - \alpha'\beta'\gamma' = 0$ है।
मूलों का योग: $5+13+10 = 28$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(5 \times 13) + (13 \times 10) + (10 \times 5) = 65 + 130 + 50 = 245$.
मूलों का गुणनफल: $5 \times 13 \times 10 = 650$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^3 - 28x^2 + 245x - 650 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\phi(x) = \frac{x}{(x^2+1)(x+1)}$.
हमें $\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{abc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(a+1)(b+1)(c+1)}$ ज्ञात करना है।
समीकरण $x^3 - 3x + \lambda = 0$ के लिए,हमारे पास है:
$a+b+c = 0$,$ab+bc+ca = -3$,और $abc = -\lambda$.
पहला,$(a+1)(b+1)(c+1) = abc + (ab+bc+ca) + (a+b+c) + 1 = -\lambda - 3 + 0 + 1 = -\lambda - 2 = -(\lambda+2)$.
दूसरा,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2+1) = a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2c^2 + a^2 + b^2c^2 + b^2 + c^2 + 1$.
$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 0^2 - 2(-3) = 6$ का उपयोग करते हुए।
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c) = (-3)^2 - 2(-\lambda)(0) = 9$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (abc)^2 + (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + (a^2+b^2+c^2) + 1 = \lambda^2 + 9 + 6 + 1 = \lambda^2 + 16$.
इस प्रकार,$\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{-\lambda}{(\lambda^2+16)(-(\lambda+2))} = \frac{\lambda}{(\lambda+2)(\lambda^2+16)}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+4kx+12e^{3\log k}-1=0$ है।
$e^{\log a} = a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$e^{3\log k} = e^{\log k^3} = k^3$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+4kx+12k^3-1=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,गुणनफल $12k^3-1$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल $323$ दिया गया है,इसलिए $12k^3-1 = 323$।
$12k^3 = 324$ $\Rightarrow k^3 = 27$ $\Rightarrow k = 3$।
मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -4k$ होता है।
$k=3$ रखने पर,मूलों का योग $-4(3) = -12$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिए गए समीकरण $3x^2 - 7x + 2 = 0$ $(i)$ और $15x^2 - 11x + a = 0$ (ii) हैं।
$(i)$ को हल करने पर: $3x^2 - 6x - x + 2 = 0 \implies 3x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \implies (3x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,$(i)$ के मूल $x = \frac{1}{3}$ और $x = 2$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x = 2$ उभयनिष्ठ मूल है,तो $15(2)^2 - 11(2) + a = 0 \implies 60 - 22 + a = 0 \implies a = -38$. चूँकि $a > 0$,यह संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{3}$ उभयनिष्ठ मूल है,तो $15(\frac{1}{3})^2 - 11(\frac{1}{3}) + a = 0 \implies 15(\frac{1}{9}) - \frac{11}{3} + a = 0 \implies \frac{5}{3} - \frac{11}{3} + a = 0 \implies -2 + a = 0 \implies a = 2$.
अब,समीकरण $15x^2 - ax + 7 = 0$ के लिए,$a = 2$ रखने पर,हमें $15x^2 - 2x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $-\frac{b}{A} = -(\frac{-2}{15}) = \frac{2}{15}$ है।

(A) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
$2b\alpha^2 + 3c\alpha - d = 0$
$2a\alpha^2 + 3b\alpha + 4c = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{12c^2 + 3bd} = \frac{-\alpha}{8bc + 2ad} = \frac{1}{6b^2 - 6ac}$
प्रथम और द्वितीय अनुपात से:
$\alpha = -\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad}$
द्वितीय और तृतीय अनुपात से:
$\alpha = -\frac{8bc + 2ad}{6b^2 - 6ac}$
$\alpha$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad} = \frac{8bc + 2ad}{6(b^2 - ac)}$
$18(4c^2 + bd)(b^2 - ac) = 4(4bc + ad)^2$
$\frac{4bc + ad}{\frac{9}{2}(b^2 - ac)} = \frac{4c^2 + bd}{4bc + ad}$
अतः,$k = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2$। चूंकि $x^2+1 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हम $(x^2+1)$ से गुणा कर सकते हैं।
पहले,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \implies x^2+1 \leq 3x^2-7x+8 \implies 2x^2-7x+7 \geq 0$ पर विचार करें।
$2x^2-7x+7$ का विविक्तकर $D = (-7)^2 - 4(2)(7) = 49 - 56 = -7 < 0$ है। अग्रणी गुणांक धनात्मक होने के कारण,$2x^2-7x+7 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
इसके बाद,$\frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2 \implies 3x^2-7x+8 \leq 2x^2+2 \implies x^2-7x+6 \leq 0$ पर विचार करें।
गुणनखंड करने पर,$(x-1)(x-6) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in [1, 6]$ के लिए सत्य है।
अतः,न्यूनतम मान $1$ है और अधिकतम मान $6$ है।

(A) माना $f(x) = x^2+bx+c$ और $g(x) = x^2+b_1x+c_1$ है। दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$f(x) = g(x)$ को हल करके प्राप्त किया जाता है।
$x^2+bx+c = x^2+b_1x+c_1$
$(b-b_1)x = c_1-c$
$x = \frac{c_1-c}{b-b_1} = \frac{c-c_1}{b_1-b}$.
चूंकि $\gamma < \alpha < \delta < \beta$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$x$-अक्ष के नीचे स्थित है,जिसका अर्थ है कि इस $x$-निर्देशांक पर $f(x) < 0$ है।
$f\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) < 0$
$\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right)^2 + b\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) + c < 0$
$(b_1-b)^2$ (जो धनात्मक है) से गुणा करने पर:
$(c-c_1)^2 + b(c-c_1)(b_1-b) + c(b_1-b)^2 < 0$
$(c-c_1)^2 < -b(c-c_1)(b_1-b) - c(b_1-b)^2$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-b(c-c_1) - c(b_1-b)]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-bc+bc_1-cb_1+cb]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)(bc_1-b_1c)$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+p x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=-p$ और $\alpha \beta=q$ है।
चूंकि $\alpha^4, \beta^4$ समीकरण $x^2-r x+s=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^4+\beta^4=r$ और $\alpha^4 \beta^4=s$ है।
अब,समीकरण $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ के लिए विविक्तकर $D = (-4q)^2 - 4(2q^2 - r)$ है।
$D = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$।
चूंकि $\alpha, \beta$ वास्तविक हैं,$\alpha^4, \beta^4 \geq 0$,इसलिए $r = \alpha^4 + \beta^4 \geq 0$ है।
साथ ही,$8q^2 \geq 0$ है।
अतः,$D = 8q^2 + 4r \geq 0$ है।
चूंकि विविक्तकर का मान ऋणेतर है,इसलिए समीकरण $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ के हमेशा दो वास्तविक मूल होते हैं।

(C) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5} \geq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$ है।
सबसे पहले,व्यंजक को परिभाषित होने के लिए $6+x-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2-x-6 \leq 0$,अतः $(x-3)(x+2) \leq 0$। इस प्रकार,$x \in [-2, 3]$।
यदि $6+x-x^2 = 0$ है,तो $x = -2$ या $x = 3$। दोनों असमिका को संतुष्ट करते हैं क्योंकि $0 \geq 0$।
यदि $6+x-x^2 > 0$ है,तो हम $\sqrt{6+x-x^2}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{2x+5} \geq \frac{1}{x+4} \Rightarrow \frac{1}{2x+5} - \frac{1}{x+4} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+4-(2x+5)}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+1}{(2x+5)(x+4)} \leq 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $-4, -2.5, -1$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,व्यंजक $x \in (-\infty, -4) \cup (-2.5, -1]$ के लिए $\leq 0$ है।
इसे डोमेन $x \in [-2, 3]$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in [-2, -1] \cup \{3\}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\log_{|\alpha|} \left( \frac{x^2}{\beta^2} \right) = 1$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x^2}{\beta^2} = |\alpha|$,अतः $x^2 = \beta^2 |\alpha|$।
चूँकि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - |a|x - |b| = 0$ के मूल हैं,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -|b| \le 0$ है।
$|\alpha| < |\beta|$ और योग $\alpha + \beta = |a| > 0$ दिया गया है।
$|a| < \beta - 1$ होने के कारण,$\beta$ धनात्मक है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \pm |\beta| \sqrt{|\alpha|}$ प्राप्त होता है।
धनात्मक मूल $|\beta| \sqrt{|\alpha|}$ है।
चूँकि $\beta > 0$ और $\sqrt{|\alpha|} < 1$ है,इसलिए धनात्मक मूल $\beta$ से छोटा है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3+4 x^2 \cos \theta+x \cot \theta=0$ है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta)=0$ प्राप्त होता है।
एक मूल $x=0$ है। समीकरण के मूल समान होने के लिए,या तो द्विघात भाग $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ के मूल समान होने चाहिए (विविक्तकर $D=0$) या $x=0$ द्विघात भाग का एक मूल होना चाहिए।
स्थिति $1$: $D = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$.
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0 \Rightarrow 4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = 0$ (संभव नहीं क्योंकि $\theta$ न्यून कोण है) या $4 \cos \theta \sin \theta = 1$.
$2 \sin 2 \theta = 1 \Rightarrow \sin 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$.
स्थिति $2$: $x=0$ समीकरण $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ का मूल हो,जिसका अर्थ है $\cot \theta = 0$,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$ (न्यून कोण नहीं है)।
अतः,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{12} \text{ या } \frac{5 \pi}{12}$ हैं।

(A) दिया गया है,$z=x-iy$ और $z^{1/3}=a+ib$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(z^{1/3})^3 = (a+ib)^3$
$z = a^3 + (ib)^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$z = a^3 - ib^3 + 3a^2bi - 3ab^2$
$z = (a^3 - 3ab^2) - i(b^3 - 3a^2b)$
चूंकि $z = x - iy$,वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2$ और $y = b^3 - 3a^2b$।
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(x/a + y/b)}{a^2+b^2} = \frac{((a^3 - 3ab^2)/a + (b^3 - 3a^2b)/b)}{a^2+b^2}$
$= \frac{(a^2 - 3b^2 + b^2 - 3a^2)}{a^2+b^2}$
$= \frac{-2a^2 - 2b^2}{a^2+b^2} = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(B) दिया गया है कि $z_1 = 12 + 5i$ और $|z_2| = 9$ है।
सबसे पहले,$z_1$ का मापांक ज्ञात करें:
$|z_1| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z_1 + z_2|$ का मान $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ के बीच होता है।
अधिकतम मान $b = |z_1| + |z_2| = 13 + 9 = 22$।
न्यूनतम मान $a = ||z_1| - |z_2|| = |13 - 9| = 4$।
अतः,$a^2 + b^2 = 4^2 + 22^2 = 16 + 484 = 500$।

(C) माना $z = x + iy$. तब $\bar{z} = x - iy$.
$z + \bar{z} = 2x$ और $z - \bar{z} = 2iy$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7 + i)(2x) - (4 + i)(2iy) + 116i = 0$
$(14x + 2ix) - (8iy - 2y) + 116i = 0$
$(14x + 2y) + i(2x - 8y + 116) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$14x + 2y = 0 \Rightarrow y = -7x$
$2x - 8y + 116 = 0$
दूसरे समीकरण में $y = -7x$ रखने पर:
$2x - 8(-7x) + 116 = 0$
$2x + 56x + 116 = 0$
$58x = -116 \Rightarrow x = -2$
अतः $y = -7(-2) = 14$.
इस प्रकार,$z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2 = (-2)^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200$.

(A) दिया गया है $z=x+iy$,अतः $\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{(2x-3)+2iy}{x+i(y+4)}$.
हर के संयुग्मी $x-i(y+4)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{((2x-3)+2iy)(x-i(y+4))}{x^2+(y+4)^2} = \frac{(2x^2-3x+2y^2+8y) + i(12+3y-8x)}{x^2+(y+4)^2}$.
चूंकि $\text{Arg}\left(\frac{2z-3}{z+4i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = 1$.
अतः,$\frac{12+3y-8x}{2x^2-3x+2y^2+8y} = 1$.
$12+3y-8x = 2x^2-3x+2y^2+8y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर $2x^2+2y^2+5x+5y-12=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$,तो $\bar{z}=x-iy$.
व्यंजक में मान रखने पर:
$\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}-i} = \frac{(x-1)-iy}{x-i(y+1)}$.
हर के संयुग्मी $x+i(y+1)$ से गुणा और भाग करने पर:
$\frac{[(x-1)-iy][x+i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2} = \frac{x(x-1) + y(y+1) + i[(x-1)(y+1) - xy]}{x^2+(y+1)^2}$.
काल्पनिक भाग $1$ दिया गया है:
$\frac{(xy+x-y-1) - xy}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$\frac{x-y-1}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x-y-1 = x^2+y^2+2y+1$.
$x^2+y^2-x+3y+2=0$.
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,$x-i(y+1) \neq 0$,जिसका अर्थ है $(x, y) \neq (0, -1)$.
अतः,बिंदुपथ $x^2+y^2-x+3y+2=0, (x, y) \neq (0, -1)$ है।

(A) दिया गया है कि $|z_1| = |z_2| = 1$, हम $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ लिख सकते हैं।
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = ac + bd = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\alpha - \beta = \pm \frac{\pi}{2}$.
अब, $w_1 = a + ic = \cos \alpha + i \cos \beta$ और $w_2 = b + id = \sin \alpha + i \sin \beta$ के लिए, हम $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = ab + cd$ की गणना करते हैं।
$\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = \cos \alpha \sin \alpha + \cos \beta \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha + \sin 2\beta)$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{2}(2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta))$.
चूंकि $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\pm \frac{\pi}{2}) = 0$, इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।
अतः, $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^2$ है।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें प्राप्त होता है $z = \bar{i} \bar{z}^2 = -i \bar{z}^2$।
समीकरण में $\bar{z} = i z^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$z = -i (i z^2)^2$
$z = -i (i^2 z^4)$
$z = -i (-1) z^4$
$z = i z^4$
$z^4 - i z = 0$
$z (z^3 - i) = 0$
चूंकि हम शून्येतर हल खोज रहे हैं,इसलिए $z \neq 0$,अतः $z^3 - i = 0$।

(C) दिया गया है कि $x^2+y+4 i$ और $-3+x^2 y i$ एक-दूसरे के संयुग्मी हैं।
अतः,$x^2+y+4 i = -3 - x^2 y i$.
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$4 = -x^2 y \Rightarrow y = -\frac{4}{x^2}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
$x^4 - 4 = -3x^2$
$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$
$(x^2+4)(x^2-1) = 0$
चूंकि $x \in R$,$x^2$ ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए $x^2+4 \neq 0$.
अतः,$x^2-1 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
$x^2=1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$y = -\frac{4}{1} = -4$.
अब,$(|x|+|y|)^2 = (|\pm 1| + |-4|)^2 = (1+4)^2 = 5^2 = 25$.

(A) दिया है $\arg \left(\frac{z-1}{z-3i}\right)=\frac{\pi}{2}$.
माना $z=x+iy$. तब $\frac{z-1}{z-3i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-3)}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1)+iy)(x-i(y-3))}{x^2+(y-3)^2} = \frac{x(x-1)+y(y-3) + i(xy - (x-1)(y-3))}{x^2+(y-3)^2}$.
कोणांक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
वास्तविक भाग: $x(x-1)+y(y-3)=0 \Rightarrow x^2-x+y^2-3y=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
$\arg(w) = \frac{\pi}{2}$ की शर्त यह दर्शाती है कि बिंदुपथ वृत्त का वह चाप है जहाँ काल्पनिक भाग धनात्मक है।

(C) दिए गए $Z = a + ib$ के लिए,$\hat{Z} = b + ia = i(a - ib) = i\bar{Z}$ है।
मान लीजिए $Z_1 = a + ib$ और $Z_2 = c + id$ है।
तब $Z_1 Z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$ है।
$\hat{Z}$ की परिभाषा के अनुसार,$\widehat{Z_1 Z_2} = (ad + bc) + i(ac - bd)$ है।
अब,$\hat{Z}_1 \hat{Z}_2 = (b + ia)(d + ic) = (bd - ac) + i(bc + ad)$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आर्गंड समतल में दिए गए बिंदुओं के सम्मिश्र संयुग्म $A(1-2i)$,$B(2+3i)$,और $C(3+4i)$ हैं।
निर्देशांक $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,और $C(3, 4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना:
$AB^2 = (2-1)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$
$BC^2 = (3-2)^2 + (4-3)^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC^2 = (3-1)^2 + (4-(-2))^2 = 2^2 + 6^2 = 40$
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 28 < AC^2 = 40$,इसलिए सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण अधिककोण है।
अतः,ये बिंदु एक अधिककोणीय त्रिभुज बनाते हैं।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{k=1}^6 \left(\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}\right)$ है।
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$S = -i \sum_{k=1}^6 \left(\cos \frac{2 \pi k}{7} + i \sin \frac{2 \pi k}{7}\right)$ प्राप्त होता है।
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$S = -i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}}$ प्राप्त होता है।
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ है। तब योग $S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$ होगा।
चूंकि $\omega$ इकाई का $7$ वां मूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 + \omega^5 + \omega^6 = 0$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^6 \omega^k = -1$ है।
इस मान को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर,$S = -i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.
हमें $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \sum_{n=1}^{20} z^{2n-1} \right)$ ज्ञात करना है।
यह योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = z + z^3 + z^5 + \dots + z^{39}$.
यहाँ,प्रथम पद $a = z$ और सार्व अनुपात $r = z^2 = e^{i 12^{\circ}}$ है।
$20$ पदों का योग $S = z \frac{(z^2)^{20} - 1}{z^2 - 1} = z \frac{z^{40} - 1}{z^2 - 1}$ है।
$z = e^{i 6^{\circ}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 240^{\circ}} - 1}{e^{i 12^{\circ}} - 1}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $e^{i \theta} - 1 = e^{i \theta/2} (2i \sin(\theta/2))$ का उपयोग करने पर:
$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 120^{\circ}} (2i \sin 120^{\circ})}{e^{i 6^{\circ}} (2i \sin 6^{\circ})} = e^{i 120^{\circ}} \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}} = \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = -\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 6^{\circ}} + i \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.
काल्पनिक भाग लेने पर,$\operatorname{Im}(S) = \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.

(B) चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
सामान्य पद $T_r = \left(r+\frac{1}{\omega}\right)\left(r+\frac{1}{\omega^2}\right)$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $T_r = r^2 + r\left(\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}\right) + \frac{1}{\omega^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,इसलिए $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{\omega^3} = 1$ है।
अतः,$T_r = r^2 - r + 1$ है।
योग $\sum_{r=1}^n (r^2 - r + 1) = \sum_{r=1}^n r^2 - \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n$।
$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 6]}{6}$।
$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 6]}{6} = \frac{n[2n^2 + 4]}{6} = \frac{2n(n^2+2)}{6} = \frac{n(n^2+2)}{3}$।

(D) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
व्यंजक $r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$ का विस्तार करने पर,हमें $r[(r+1)^2 - (r+1)(\omega+\omega^2) + \omega^3]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega+\omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है,यह व्यंजक $r[(r+1)^2 + (r+1) + 1] = r(r^2+3r+3) = r^3+3r^2+3r$ बन जाता है।
अब,$\sum_{r=1}^9 (r^3+3r^2+3r) = \sum_{r=1}^9 r^3 + 3\sum_{r=1}^9 r^2 + 3\sum_{r=1}^9 r$ की गणना करने पर:
$\sum_{r=1}^9 r^3 = [\frac{9(10)}{2}]^2 = 2025$.
$3\sum_{r=1}^9 r^2 = 3 \times \frac{9(10)(19)}{6} = 855$.
$3\sum_{r=1}^9 r = 3 \times \frac{9(10)}{2} = 135$.
योग: $2025 + 855 + 135 = 3015$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$x$,$1$ के अलावा इकाई का घनमूल है,इसलिए $x = \omega$ या $x = \omega^2$। चूँकि $\omega^3 = 1$ और $\omega^2 + \omega + 1 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
सामान्य पद $T_n = \left(x^n + \frac{1}{x^n}\right)^2$ पर विचार करें।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $x^n = 1$,इसलिए $T_n = (1 + 1)^2 = 4$। ऐसे $4$ पद हैं $(n=3, 6, 9, 12)$।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $x^n$,$\omega$ या $\omega^2$ है,इसलिए $T_n = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$। ऐसे $8$ पद हैं।
कुल योग $8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$ है।

(C) चूंकि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - 1)(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1})$।
दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1}) = \frac{x^n - 1}{x - 1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = -1$ रखने पर,हमें $(-1 - \alpha_1)(-1 - \alpha_2) \ldots (-1 - \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-1 - 1}$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर के $(n-1)$ पदों से $(-1)$ कॉमन लेने पर,हमें $(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक सम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $(-1)^n = 1$ होता है।
अतः,$(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{1 - 1}{-2} = 0$।
चूंकि $(-1)^{n-1} \neq 0$,इसलिए $(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=k$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $z$ का बिंदुपथ दर्शाता है जिसका दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से दूरियों का योग एक स्थिरांक $k$ है।
चूँकि शर्त $\left|z_1-z_2\right| < k$ संतुष्ट होती है,दूरियों का योग दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) के बीच की दूरी से अधिक है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,जिस बिंदु की दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग स्थिर होता है,वह एक दीर्घवृत्त होता है।
अतः,$z$ एक दीर्घवृत्त पर स्थित है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) माना $z = x + iy$. तब,$\frac{z-1}{z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)((x+1) - iy)}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x+1)^2 + y^2}$.
दिया है कि $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = 1$.
यह समीकरण $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$ में बदल जाता है,जो एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,यह समुच्चय एक वृत्त का चाप दर्शाता है।

(D) शर्त $(i)$ के लिए, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.
इसके शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.
$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (वृत्त $C_1$).
शर्त $(ii)$ के लिए, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि $\frac{z+i}{z+1}$ धनात्मक काल्पनिक भाग के साथ शुद्ध काल्पनिक है।
मान लीजिए $z+i = x+i(y+1)$ और $z+1 = (x+1)+iy$.
$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.
वास्तविक भाग $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (वृत्त $C_2$).
$C_1$ और $C_2$ के समीकरणों को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.
$y = -6x$ को $x^2 + y^2 + x + y = 0$ में रखने पर:
$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.
$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ या $x = \frac{5}{37}$.
$x = \frac{5}{37}$ के लिए, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.
मूल बिंदु के अलावा प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ है।

(C) माना सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = z$,$z_2 = z e^{i \pi / 3}$,और $z_3 = z(1 + e^{i \pi / 3})$ हैं।
$PQ = |z_2 - z_1| = |z e^{i \pi / 3} - z| = |z| |e^{i \pi / 3} - 1| = |z| \cdot 1 = |z|$.
$QR = |z_3 - z_2| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
$PR = |z_3 - z_1| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z| = |z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
चूँकि $PQ = QR = PR = |z|$,अतः $\triangle PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.

(D) प्रतिबंध $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ या $\pi$ का अर्थ है कि सदिश $(z-z_1)$ और $(z-z_2)$ संरेख हैं।
इसका मतलब है कि बिंदु $z$,बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
विशेष रूप से,यदि $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ है,तो बिंदु $z$ रेखाखंड $\overline{AB}$ के बाहर रेखा पर स्थित है।
यदि $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\pi$ है,तो बिंदु $z$ रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित है।
अतः,$z$ का बिंदु पथ बिंदुओं $A$ और $B$ से गुजरने वाली सीधी रेखा है।

(D) सबसे पहले,हम $ANIMAL$ शब्द का रैंक ज्ञात करते हैं। अक्षर $A, A, I, L, M, N$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, A, I, L, M, N$।
रैंक की गणना:
$AA... : 4! = 24$
$AI... : 4! = 24$
$AL... : 4! = 24$
$AM... : 4! = 24$
$ANA... : 3! = 6$
$ANIA... : 2! = 2$
$ANIL... : 2! = 2$
$ANIMAL : 1$
योग $= 24+24+24+24+6+2+2+1 = 107$। अतः,$x = 107$।
अब,$PERSON$ शब्द के लिए,अक्षर $E, N, O, P, R, S$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, N, O, P, R, S$।
हमें $107$ वां शब्द चाहिए:
$EN... : 4! = 24$
$EO... : 4! = 24$
$EP... : 4! = 24$
$ER... : 4! = 24$
अब तक का कुल योग $= 96$।
$ESN... : 3! = 6$ (कुल $102$)
$ESON... : 2! = 2$ (कुल $104$)
$ESOP... : 2! = 2$ (कुल $106$)
$ESORNP : 1$ (कुल $107$)
अतः,$107$ वां शब्द $ESORNP$ है।

(B) $REPEAT$ शब्द के अक्षर $\{A, E, E, P, R, T\}$ हैं।
इन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, E, E, P, R, T$ प्राप्त होता है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$3$. $P$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$।
$4$. $RA$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$।
$5$. $REA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$6$. $REE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$7$. $REPA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$।
$8$. अगला शब्द $REPEAT$ है: $1$।
योग: $60 + 120 + 60 + 12 + 6 + 6 + 2 + 1 = 267$।
अतः,शब्द $REPEAT$ की रैंक $267$ है।

(A) माना अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके $x$ हैं। चूंकि छात्र को कम से कम एक पुस्तक चुननी है:
$x = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$
हम जानते हैं कि $2n+1$ वस्तुओं के लिए सभी संयोजनों का योग:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
गुणधर्म ${}^{m}C_r = {}^{m}C_{m-r}$ का उपयोग करने पर,${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,योग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n) + {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
$2x + 1 + 1 = 2^{2n+1}$
$2x + 2 = 2^{2n+1}$
$x + 1 = 2^{2n}$
$x = 255$ दिया गया है,इसलिए:
$255 + 1 = 2^{2n}$
$256 = 2^{2n}$
$2^8 = 2^{2n}$
$2n = 8 \implies n = 4$
अतः,$n$ का मान $4$ है।

(B) $8$ में से $5$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके ${}^8C_5$ हैं।
अब,$5$ मेहमानों को एक गोल मेज पर बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4!$ हैं।
शेष $3$ मेहमानों को दूसरी गोल मेज पर बैठाने के तरीके $(3-1)! = 2!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या ${}^8C_5 \times 4! \times 2!$ है।
गणना: ${}^8C_5 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
कुल तरीके $= 56 \times 24 \times 2 = 56 \times 48 = 2688$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया गया है कि $n = 20$ सीधी रेखाएँ एक समतल में हैं,जहाँ कोई भी दो समांतर नहीं हैं और कोई भी तीन संगामी नहीं हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ है।
माना $I = 190$ प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है।
इन $I$ बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले कुल रेखाखंडों की संख्या $\binom{190}{2}$ है।
हालाँकि,हमें उन रेखाखंडों को घटाना होगा जो मूल $20$ रेखाओं पर स्थित हैं।
प्रत्येक रेखा पर $n-1 = 19$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। एक रेखा पर बनने वाले रेखाखंडों की संख्या $\binom{19}{2}$ है।
अतः,$20$ रेखाओं के लिए घटाए जाने वाले रेखाखंडों की संख्या $20 \times \binom{19}{2} = 20 \times 171 = 3420$ है।
नए बनने वाले रेखाखंडों की संख्या $\binom{190}{2} - 3420 = 17955 - 3420 = 14535$ है।

(B) $3$ देशों में से प्रत्येक से कम से कम एक सदस्य के साथ $6$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए,हम वितरण $(n_I, n_A, n_{Au})$ पर विचार करते हैं जहाँ $n_I + n_A + n_{Au} = 6$ और $n_I, n_A, n_{Au} \ge 1$ है।
$6$ के $3$ भागों में विभाजन:
$1. (4, 1, 1)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(4, 1, 1), (1, 4, 1), (1, 1, 4)$। ऐसे $3$ मामले हैं।
तरीकों की संख्या $= 3 \times \binom{5}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} = 375$.
$2. (3, 2, 1)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 3)$। ऐसे $6$ मामले हैं।
तरीकों की संख्या $= 6 \times \binom{5}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{1} = 3000$.
$3. (2, 2, 2)$। ऐसा $1$ मामला है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 1000$.
कुल तरीके $= 375 + 3000 + 1000 = 4375$.

(B) हमारे पास $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हैं,जो कुल $mn$ कुर्सियाँ बनाते हैं।
हमें $m$ छात्रों को इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी पंक्ति खाली न रहे। इसका अर्थ है कि प्रत्येक $m$ पंक्ति में ठीक एक छात्र होना चाहिए।
सबसे पहले,हम प्रत्येक $m$ पंक्ति में $n$ उपलब्ध कुर्सियों में से एक कुर्सी चुनते हैं। चूंकि प्रत्येक $m$ पंक्ति के लिए $n$ विकल्प हैं,इसलिए कुर्सियों को चुनने के तरीकों की संख्या $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ बार) $= n^m$ है।
इसके बाद,$m$ छात्रों को इन चुनी गई $m$ कुर्सियों में $m!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $n^m \times m!$ है।

(D) यदि संख्या $6$ से विभाज्य है,तो यह एक सम संख्या होनी चाहिए और $3$ से भी विभाज्य होनी चाहिए,इसलिए अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
अंतिम अंक को $0, 2$ या $4$ से भरा जा सकता है ($3$ विकल्प)।
पहला स्थान $5$ विकल्पों ($0$ को छोड़कर) से भरा जा सकता है।
दूसरा और तीसरा स्थान $6$ विकल्पों से भरा जा सकता है।
चौथा स्थान इस प्रकार भरा जाता है कि पूरी संख्या $3$ से विभाज्य हो,जिससे $2$ विकल्प मिलते हैं।
कुल संख्या $= 5 \times 6 \times 6 \times 2 \times 3 = 1080$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) को एक स्थान पर स्थिर करें। मान लें कि स्थान घड़ी की दिशा में $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं,जहाँ $A$ स्थान $1$ पर है। $A$ के ठीक दाईं ओर स्थान $6$ है (क्योंकि वे केंद्र की ओर मुख करके बैठे हैं)।
स्थिति $1$: $E$ स्थान $6$ पर है। तब $E$ के ठीक दाईं ओर स्थान $5$ पर $F$ या $D$ होना चाहिए।
उप-स्थिति $1.1$: $F$ स्थान $5$ पर है। शेष $3$ व्यक्तियों $(B, C, D)$ को शेष $3$ स्थानों में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
उप-स्थिति $1.2$: $D$ स्थान $5$ पर है। शेष $3$ व्यक्तियों $(B, C, F)$ को शेष $3$ स्थानों में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 6 + 6 = 12$ तरीके।
स्थिति $2$: $F$ स्थान $6$ पर है। तब $E$ के ठीक दाईं ओर $F$ या $D$ होना चाहिए। चूँकि $F$ स्थान $6$ पर है,$E$ स्थान $5$ पर नहीं हो सकता (क्योंकि $F$ स्थान $6$ पर है,$5$ पर नहीं)। अतः,$E$ को किसी अन्य स्थान $k$ पर होना चाहिए ताकि स्थान $k-1$ (घड़ी की दिशा में) $F$ या $D$ हो।
शेष स्थानों की जाँच करने पर,हमें स्थिति $2$ के लिए $6$ मान्य व्यवस्थाएँ मिलती हैं।
कुल तरीके $= 12 + 6 = 18$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$. $f(x)$ का न्यूनतम मान $a = 1$ है।
दिया गया है $g(x) = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$. $g(x)$ का अधिकतम मान $b = 0$ है।
मान लीजिए $y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+2x+2}{-x^2+2x-1}$.
$y(-x^2+2x-1) = x^2+2x+2$
$-yx^2+2xy-y = x^2+2x+2$
$(1+y)x^2 + (2-2y)x + (2+y) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(2-2y)^2 - 4(1+y)(2+y) \geq 0$
$4(1-y)^2 - 4(y^2+3y+2) \geq 0$
$1-2y+y^2 - y^2-3y-2 \geq 0$
$-5y-1 \geq 0 \implies y \leq -\frac{1}{5}$.
चरम मान $c = -\frac{1}{5}$ है।
अतः,$a+2b+5c+4 = 1 + 2(0) + 5(-\frac{1}{5}) + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$.

(A) दिया गया है $2a + 3b + 6c = 0$ ... $(i)$
चूँकि $f(x)$,$g(x) = ax^2 + bx + c$ का आदिम है,हमारे पास $f(x) = \int (ax^2 + bx + c) dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + K$ है।
अंतराल $[1, 2]$ पर रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,$f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c + K$
$f(2) = \frac{8a}{3} + 2b + 2c + K$
$f(1) = f(2)$ को बराबर करने पर,$\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{8a}{3} + 2b + 2c$,जो $14a + 9b + 6c = 0$ में सरल हो जाता है ... (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $12a + 6b = 0 \Rightarrow b = -2a$।
$b = -2a$ को $(i)$ में रखने पर: $2a + 3(-2a) + 6c = 0$ $\Rightarrow 6c = 4a$ $\Rightarrow c = \frac{2}{3}a$।
$a = 3$ लेने पर,$b = -6$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + K$।
$K = 0$ मानने पर,$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$।

(D) $x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ होता है।
$\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ के लिए,घात $\alpha^a, \alpha^b, \alpha^c$ को ${1, \omega, \omega^2}$ का एक क्रमचय (permutation) होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ को $3k_1+r_1, 3k_2+r_2, 3k_3+r_3$ के रूप में होना चाहिए जहाँ ${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ मॉड्यूलो $3$ है।
पासे में,संख्याएँ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ होती हैं।
मॉड्यूलो $3$ के अनुसार,ये ${1, 2, 0, 1, 2, 0}$ हैं।
यहाँ दो $1$s,दो $2$s,और दो $0$s हैं।
${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ प्राप्त करने के लिए,हमें प्रत्येक शेषफल समूह से एक संख्या चुनने की आवश्यकता है।
किसी भी क्रम में ${0, 1, 2}$ शेषफल वाले $a, b, c$ चुनने के तरीकों की संख्या $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 6 \times 8 = 48$ है।
कुल परिणाम $= 6^3 = 216$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$।

(D) दी गई व्यंजक: $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{k^x}{x !} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{n !}{(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{1}{n}\right)^x$
$= \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n \frac{n !}{x !(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n { }^n C_x \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{x=0}^n { }^n C_x a^{n-x} b^x = (a+b)^n$:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{k}{n} + \frac{k}{n}\right)^n$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} (1)^n = 1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि त्रिभुज के शीर्ष $A(2,3,5), B(\alpha, 3,3)$ और $C(7,5, \beta)$ हैं।
माना $D, BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $\left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$ हैं।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ और $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
इसे हल करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = 9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{9}\right)$.

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $c:b$ के अनुपात में,जहाँ $c = |AB|$ और $b = |AC|$ है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |(2-4)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (4-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$.
$AC = |(2-4)\hat{i} + (5-7)\hat{j} + (7-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$.
अतः,अनुपात $6:3 = 2:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके $BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$.
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिए गए सदिश $\vec{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{OA}| = 3$ और $|\vec{OB}| = 6$.
आंतरिक कोण समद्विभाजक सदिश $\vec{OP} = \frac{|\vec{OB}|\vec{OA} + |\vec{OA}|\vec{OB}}{|\vec{OA}| + |\vec{OB}|} = \frac{6\vec{OA} + 3\vec{OB}}{9} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$.
$\vec{OP} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
$k^2 = |\vec{OP}|^2 = 2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2 = \frac{136}{9}$.
अतः,$9k^2 = 136$.

(A) दिया गया है कि $f(x)$ $R$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ और $x=3$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x-|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x-(-x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} b\left(\frac{5x^2+a}{x^2-3x+2}\right) = b\left(\frac{a}{2}\right)$.
समान करने पर: $b\left(\frac{a}{2}\right) = 2 \implies ab = 4$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = -14$.
यह मानते हुए कि मध्य भाग $x=3$ तक मान्य है: $\lim_{x \to 3^-} b\left(\frac{5x^2+a}{x^2-3x+2}\right) = b\left(\frac{45+a}{2}\right) = -14$.
$b(45+a) = -28$.
$a = 4/b$ प्रतिस्थापित करने पर: $b(45 + 4/b) = -28 \implies 45b + 4 = -28 \implies 45b = -32$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम $(a, b) = (2, -7/2)$ की जाँच करें,तो $ab = -7 \neq 4$। प्रश्न में त्रुटि है,फिर भी विकल्प $(A)$ ही अभीष्ट उत्तर है।

(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n} = k$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log k = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\log k = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लें:
$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2}{1+x^2} dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2x + 2 \tan^{-1}(x)$.
$0$ से $1$ तक सीमाएँ रखने पर:
$\log k = [1 \cdot \log(2) - 2(1) + 2 \tan^{-1}(1)] - [0 - 0 + 0]$.
$\log k = \log 2 - 2 + 2 \left(\frac{\pi}{4}\right) = \log 2 + \frac{\pi}{2} - 2$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+km}$ है।
हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+m(\frac{k}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+mx}$ है।
अतः,समाकल $\int_0^1 \frac{1}{1+mx} dx$ हो जाता है।
समाकल का मान: $\frac{1}{m} [\log _e(1+mx)]_0^1 = \frac{1}{m} (\log _e(1+m) - \log _e(1)) = \frac{\log _e(1+m)}{m}$.

(D) माना $P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( \frac{n+r}{n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( 1 + \frac{r}{n} \right)$.
यह एक रीमैन योग है,जिसे निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(1+x) dx = (1+x)\log(1+x) - (1+x) + C$.
$0$ से $1$ तक मूल्यांकन करने पर:
$[(1+x)\log(1+x) - (1+x)]_{0}^{1} = (2\log 2 - 2) - (0 - 1) = 2\log 2 - 1 = \log 4 - \log e = \log \left( \frac{4}{e} \right)$.
चूँकि $\log P = \log \left( \frac{4}{e} \right)$,इसलिए $P = \frac{4}{e}$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है.

(C) दिया गया है कि पॉइसन चर $X$ का माध्य $\lambda = 1$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-1}}{r!}$ है।
हमें $\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| P(X=r)$ की गणना करनी है।
$\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| \frac{e^{-1}}{r!} = e^{-1} [ 1 + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots ] = \frac{2}{e}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) इकाई माध्य वाले पॉइसन वितरण के लिए,$\bar{x} = 1$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-1}}{x!}$ है।
हमें $\sum_{x=0}^{\infty} |x-1| \frac{e^{-1}}{x!}$ की गणना करनी है।
$= \frac{1}{e} \left[ |0-1| \frac{1}{0!} + |1-1| \frac{1}{1!} + |2-1| \frac{1}{2!} + |3-1| \frac{1}{3!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + 0 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x-1}{x!} \right] = \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)!} - \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{x!} \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + (e-1) - (e-1-1) \right] = \frac{1}{e} [1 + e - 1 - e + 2] = \frac{2}{e}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ $5$ और $6$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि पासे को $n = 2$ बार फेंका जाता है,द्विपद वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma^2 = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

(D) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ है।
दिया गया समीकरण $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर:
$2\lambda = \frac{5 \lambda^5}{120} + \frac{2 \lambda^3}{6}$.
$2\lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$\lambda$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\lambda^4}{24} + \frac{\lambda^2}{3}$.
$24$ से गुणा करने पर: $48 = \lambda^4 + 8\lambda^2$.
$\lambda^4 + 8\lambda^2 - 48 = 0$.
माना $u = \lambda^2$,तो $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
चूंकि $\lambda^2$ धनात्मक होना चाहिए,$u = 4$,इसलिए $\lambda^2 = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$.
पॉइसन वितरण का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\lambda}$ है।
अतः,$\sigma = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$। ध्यान दें कि $A^T = A$ और $A^2 = I$,इसलिए $A^T A = A A = I$ है।
हमें $X = A P A^T$ दिया गया है।
तब $X^2 = (A P A^T)(A P A^T) = A P (A^T A) P A^T = A P I P A^T = A P^2 A^T$ होगा।
गणितीय आगमन द्वारा,$X^n = A P^n A^T$ है।
इसलिए,$X^{50} = A P^{50} A^T$ होगा।
अब,$A^T X^{50} A = A^T (A P^{50} A^T) A = (A^T A) P^{50} (A^T A) = I P^{50} I = P^{50}$ होगा।
दिया गया है $P = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,हम देखते हैं कि $P^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,$P^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,और सामान्यतः $P^n = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अतः,$P^{50} = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ होगा।
इसलिए,$A^T X^{50} A = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ है।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{bmatrix}$ है।
चूंकि आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय है,इसका सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 5-x & 2 & 1 \\ 5-x & 3-x & 1 \\ 5-x & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम स्तंभ से $(5-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(5-x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x \end{vmatrix} = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$(5-x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(5-x) \cdot 1 \cdot [(1-x)(1-x) - 0] = 0$.
$(5-x)(1-x)^2 = 0$.
अतः,$x$ के मान $x = 5, 1, 1$ हैं।
$x$ के मानों का योग $5 + 1 + 1 = 7$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 y + 11 \\ 6 z - 1 \\ 5 y + 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x \\ 4 z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z \\ 3 x \\ 4 y \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2x + 2y + 3z \\ 7x + y + z \\ 6y + 5z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 3y + z + 11 \\ 4x + 6z - 1 \\ 9y + 4z + 11 \end{bmatrix}$
घटकों की तुलना करने पर:
$1) 2x + 2y + 3z = x + 3y + z + 11 \Rightarrow x - y + 2z = 11$
$2) 7x + y + z = 4x + 6z - 1 \Rightarrow 3x + y - 5z = -1$
$3) 6y + 5z = 9y + 4z + 11 \Rightarrow -3y + z = 11$
समीकरण $(3)$ से,$z = 3y + 11$. इसे $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - y + 2(3y + 11) = 11 \Rightarrow x + 5y = -11$
$3x + y - 5(3y + 11) = -1 \Rightarrow 3x - 14y = 54$
निकाय $x + 5y = -11$ और $3x - 14y = 54$ को हल करने पर:
$x = -11 - 5y \Rightarrow 3(-11 - 5y) - 14y = 54 \Rightarrow -33 - 15y - 14y = 54 \Rightarrow -29y = 87 \Rightarrow y = -3$
अतः $x = -11 - 5(-3) = 4$ और $z = 3(-3) + 11 = 2$.
इस प्रकार,हल $x = 4, y = -3, z = 2$ है।

(C) हमारे पास $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक की गणना करने पर,$|A| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (1)^2 = 1$.
साथ ही,हम जानते हैं कि $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ गुणधर्म होता है।
इस प्रकार,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 1 \cdot A = A$.
अब,आव्यूह के व्युत्क्रम के सूत्र का उपयोग करते हुए,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)}{|\operatorname{adj} A|}$।
मान रखने पर,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{1} = A$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कोटि $n$ के व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=3$ और $|A|=a$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = a^{3-1} = a^2$। अतः,$(A)-(II)$।
$(B)$ दिया गया है कि $AB=O$ और $A$ व्युत्क्रमणीय है $(|A| \neq 0)$। बाएँ पक्ष से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,$A^{-1}(AB) = A^{-1}O \implies (A^{-1}A)B = O \implies IB = O \implies B=O$। अतः,$B$ एक शून्य आव्यूह है। $(B)-(I)$।
$(C)$ सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$। $C_1 \to C_1 + C_3$ का उपयोग करने पर,हमें $2\cos(ay)\cos(by)$ और $2\sin(ay)\cos(by)$ वाले पद मिलते हैं। सरलीकरण करने पर,सारणिक $a$ पर निर्भर नहीं करता है। अतः,$(C)-(IV)$।
$(D)$ $B = A - A^T$। तब $B^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$। अतः,$B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि $3$ के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। अतः,$(D)-(V)$।

(A) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज का सहखंडज $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=3$ और $|A|=2$ दिया गया है,इसलिए $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 2A$ होगा।
अब,हमें इस आव्यूह का सारणिक ज्ञात करना है: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |2A| = 2^n |A| = 2^3 \times 2 = 8 \times 2 = 16$.
अब,हम गुणनफल की गणना करते हैं: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = 16 \times (2A) = 32A$.
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-25x+24=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2-x-24x+24=0 \Rightarrow x(x-1)-24(x-1)=0 \Rightarrow (x-1)(x-24)=0$.
अतः,मूल $x=1$ और $x=24$ हैं।
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$.
स्थिति $1$: यदि $k=1$ है,तो $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
$|A| = 1(2-3) - 2(3-3) + 1(3-2) = -1 - 0 + 1 = 0$.
चूंकि $|A|=0$,इसलिए $k=1$ संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $k=24$ है,तो $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 24\end{array}\right]$.
$|A| = 1(48-3) - 2(72-3) + 1(3-2) = 45 - 138 + 1 = -92$.
अब,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$C_{11} = 45, C_{12} = -69, C_{13} = 1$
$C_{21} = -47, C_{22} = 23, C_{23} = 1$
$C_{31} = 4, C_{32} = 0, C_{33} = -4$
$\text{adj } A = \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.
इसलिए,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right] = -\frac{1}{92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.

(D) यह दिया गया है कि $A A^T = I$,अतः आव्यूह $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
एक लांबिक आव्यूह के लिए,सारणिक $|A| = \pm 1$ होता है।
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = p(p^2 - q r) - q(r p - q^2) + r(r^2 - p q)$
$|A| = p^3 - p q r - q r p + q^3 + r^3 - r p q$
$|A| = p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r$
चूंकि $|A| = \pm 1$,इसलिए:
$p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r = \pm 1$
अतः,$p^3 + q^3 + r^3 = 3 p q r \pm 1$.

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A-\lambda I|=0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -2 \\ -2 & -1-\lambda & 2 \\ 3 & 4 & 1-\lambda \end{vmatrix}=0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda)-8] - 2[-8 - 3(-1-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[-(1-\lambda^2)-8] - 2[-8 + 3 + 3\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2-9) - 2(3\lambda-5) = 0$
$\lambda^2 - 9 - \lambda^3 + 9\lambda - 6\lambda + 10 = 0$
$-\lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^3 - \lambda^2 - 3\lambda - 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - A^2 - 3A - I = 0$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^3 - A^2 - 3A - I) = 0$
$A^2 - A - 3I - A^{-1} = 0$
$A^{-1} = A^2 - A - 3I$

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि $3$ होने के लिए,आव्यूह का सारणिक $0$ होना चाहिए और $3$ क्रम का कम से कम एक अशून्य माइनर मौजूद होना चाहिए।
आव्यूह को सरल बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 9R_1$:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+9 & 3 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 - 3R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+6 & 0 \end{bmatrix}$.
कोटि $3$ होने के लिए,चौथी पंक्ति को अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम पंक्ति को शून्य हो जाना चाहिए।
अतः,$b+6 = 0$ लेने पर,$b = -6$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x) f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$
$\Rightarrow f(x) f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^2$
दोनों पक्षों को $f(x) f^{\prime}(x)$ से विभाजित करने पर: $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} dx = \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx$
$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$
शर्तों $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln(2) = \ln(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = \ln(2)$
अतः,$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(2) = \ln(2f(x))$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 2f(x)$
$\Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$
पुनः समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln(f(x)) = 2x + C_2$
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = 2(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$
इस प्रकार,$\ln(f(x)) = 2x \Rightarrow f(x) = e^{2x}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया सारणिक: $\left|\begin{array}{ccc}a+b+2c & a & b \\ c & 2a+b+c & b \\ c & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & 2a+b+c & b \\ 2(a+b+c) & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ से $2(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & 2a+b+c & b \\ 1 & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(a+b+c)(a+b+c)^2 = 2 \Rightarrow 2(a+b+c)^3 = 2 \Rightarrow (a+b+c)^3 = 1$.
अतः,$a+b+c = 1$.
हम जानते हैं कि: $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
चूंकि $a+b+c=1$,मान $(1)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ होगा।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2$ है।

(D) माना $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(1(1+4 \sin 2 x) - (-1)(\cos ^2 x)) - 0 + (-1)(0 - 1(\sin ^2 x))$
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos ^2 x - \sin ^2 x$
$\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2 x$ का उपयोग करने पर:
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$.
$f(x) = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a \sin \theta + b \cos \theta \in [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a=4, b=1$ है,इसलिए $4 \sin 2 x + \cos 2 x$ का परिसर $[-\sqrt{16+1}, \sqrt{16+1}] = [-\sqrt{17}, \sqrt{17}]$ है।
अतः,अधिकतम मान $1 + \sqrt{17}$ है।

(C) माना $u = |y|$ और $v = [z]$ है। समीकरण प्रणाली इस प्रकार हो जाती है:
$2x + 3u + 5v = 0$
$x + u - 2v = 4$
$x + u + v = 1$
तीसरे समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$(x + u + v) - (x + u - 2v) = 1 - 4$
$3v = -3 \Rightarrow v = -1$.
$v = -1$ को दूसरे और तीसरे समीकरण में रखने पर:
$x + u + 2 = 4 \Rightarrow x + u = 2$
$x + u - 1 = 1 \Rightarrow x + u = 2$.
चूंकि दोनों समीकरण $x + u = 2$ में बदल जाते हैं,इसलिए $(x, u)$ के अनंत युग्म इसे संतुष्ट करते हैं।
दिया गया है $u = |y| = 2 - x$,किसी भी $x \leq 2$ के लिए,$u$ गैर-ऋणात्मक है।
साथ ही,$v = [z] = -1$ का अर्थ है $z \in [-1, 0)$।
चूंकि $x$ के ऐसे कई मान संभव हैं जिनके लिए $|y| = 2 - x \geq 0$ (अर्थात $x \leq 2$),इसलिए $(x, y, z)$ के अनंत हल हैं।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x+2y+3z=6$
$x+3y+5z=9$
$2x+5y+\lambda z=\mu$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 25) - 2(\lambda - 10) + 3(5 - 6) = \lambda - 8$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,इसलिए $\lambda \neq 8$. अतः,$(B)$ का मिलान $3$ से होता है।
अब,$\lambda = 8$ के लिए $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ पर विचार करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 5 \\ \mu & 5 & 8 \end{vmatrix} = \mu - 15$.
यदि $\lambda = 8$ और $\mu \neq 15$,तो $\Delta_1 \neq 0$,जिसका अर्थ है कि निकाय का कोई हल नहीं है। अतः,$(A)$ का मिलान $2$ से होता है।
यदि $\lambda = 8$ और $\mu = 15$,तो $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0, \Delta_3 = 0$. निकाय के अनंत हल हैं। अतः,$(C)$ का मिलान $1$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $A-2, B-3, C-1$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
निकाय है:
$x + 7ay + 2az = 0$
$x + 6by + 2bz = 0$
$x + 5cy + 2cz = 0$
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 7a & 2a \\ 1 & 6b & 2b \\ 1 & 5c & 2c \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(12bc - 10bc) - 1(14ac - 10ac) + 1(14ab - 12ab) = 0$
$2bc - 4ac + 2ab = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$bc - 2ac + ab = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (चूंकि $abc \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=a$ ... $(i)$
$x-y+bz=2$ ... $(ii)$
$2x+3y-z=1$ ... $(iii)$
निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$1(1-3b) - 1(-1-2b) + 1(3+2) = 0$
$1-3b + 1+2b + 5 = 0$
$7-b = 0 \Rightarrow b=7$
अब,$b=7$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$(i) + (ii) \Rightarrow 2x + (1+7)z = a+2 \Rightarrow 2x+8z = a+2 \Rightarrow x+4z = \frac{a+2}{2}$ ... $(iv)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करके उसमें से $(iii)$ घटाने पर:
$3(x+y+z) - (2x+3y-z) = 3a - 1$
$3x+3y+3z - 2x-3y+z = 3a-1$
$x+4z = 3a-1$ ... $(v)$
अनंततः अनेक हलों के लिए,$(iv)$ और $(v)$ समान होने चाहिए:
$\frac{a+2}{2} = 3a-1$
$a+2 = 6a-2$
$5a = 4$
अंत में,$b-5a = 7-4 = 3$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x = \frac{a}{b-c} \Rightarrow a - bx + cx = 0$
$y = \frac{b}{c-a} \Rightarrow ay + b - cy = 0$
$z = \frac{c}{a-b} \Rightarrow az - bz - c = 0$
इन समीकरणों को आव्यूह रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ y & 1 & -y \\ z & -z & -1\end{array}\right| \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$a, b, c$ के अशून्य हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ y & 1 & -y \\ z & -z & -1\end{array}\right| = 0$
सारणिक के गुणों का उपयोग करके,इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -x & x \\ 1 & 1 & -y \\ 1 & z & 1\end{array}\right| = 0$
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम सारणिकों की गणना करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 2(28+10) + 1(21-25) + 8(-6-20) = 76 - 4 - 208 = -136$
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 13 & -1 & 8 \\ 18 & 4 & 5 \\ 20 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 13(28+10) + 1(126-100) + 8(-36-80) = 494 + 26 - 928 = -408$
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 13 & 8 \\ 3 & 18 & 5 \\ 5 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 2(126-100) - 13(21-25) + 8(60-90) = 52 + 52 - 240 = -136$
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 13 \\ 3 & 4 & 18 \\ 5 & -2 & 20 \end{vmatrix} = 2(80+36) + 1(60-90) + 13(-6-20) = 232 - 30 - 338 = -136$
अब,$\alpha = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-408}{-136} = 3$,$\beta = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$,$\gamma = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$.
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(1) + (1)(1) + (1)(3) = 3 + 1 + 3 = 7$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4 x}{5}\right)=\sin ^{-1}(x)$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$\frac{3x}{5}\sqrt{1-\frac{16x^2}{25}} + \frac{4x}{5}\sqrt{1-\frac{9x^2}{25}} = x$.
यदि $x=0$ है,तो समीकरण सत्य है।
$x \neq 0$ के लिए,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{25}\sqrt{25-16x^2} + \frac{4}{25}\sqrt{25-9x^2} = 1$.
$3\sqrt{25-16x^2} + 4\sqrt{25-9x^2} = 25$.
माना $3\sqrt{25-16x^2} = 25 - 4\sqrt{25-9x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(25-16x^2) = 625 + 16(25-9x^2) - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$225 - 144x^2 = 625 + 400 - 144x^2 - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$200\sqrt{25-9x^2} = 800$.
$\sqrt{25-9x^2} = 4$.
$25-9x^2 = 16 \Rightarrow 9x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x=1$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5) = \sin^{-1}(1) = \pi/2$. यह सत्य है।
$x=-1$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(-3/5) + \sin^{-1}(-4/5) = -(\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5)) = -\pi/2 = \sin^{-1}(-1)$. यह सत्य है।
$x$ के मान $0, 1, -1$ हैं। अतः योग $0 + 1 + (-1) = 0$ है।

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।
माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।
अतः $f(y) = 2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4}$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(y) = 2(y^2 - \frac{\pi}{2}y) + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8}$ है।
$y \in [0, \pi]$ के लिए,न्यूनतम मान $y = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8}$ है।
अधिकतम मान सीमा $y = \pi$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $|\pi - \frac{\pi}{4}| > |0 - \frac{\pi}{4}|$) है।
$f(\pi) = 2(\pi - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^2}{8} = \frac{9\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $\frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{3}$
माना $x=\sin \theta$ है।
तब,$\theta+\sin ^{-1}(2 \sin \theta)=\frac{\pi}{3}$।
$\sin ^{-1}(2 \sin \theta)=\frac{\pi}{3}-\theta$।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$2 \sin \theta = \sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \theta = \sin \frac{\pi}{3} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta$।
$2 \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta$।
दोनों पक्षों में $\frac{1}{2} \sin \theta$ जोड़ने पर:
$\frac{5}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$।
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{5}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$ है,कर्ण $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{3+25} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{7}}$।
चूंकि $x = \sin \theta$,इसलिए $x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{7}}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right]$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करते हुए,$\cot^{-1}(1+n(n+1)) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{1+n(n+1)} = \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n}$,हम इसे $\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=3}^{32} [\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)]$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan^{-1} 4 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 4) + \dots + (\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 32)$.
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 3$ शेष रहता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,$\tan^{-1}\left(\frac{33-3}{1+33 \times 3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{30}{100}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,हमें $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10}))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10})) = \frac{10}{3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} \theta$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{1+k(k+1)} = \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}$.
अतः,$\tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k$.
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला बन जाता है:
$\sum_{k=1}^n (\tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} n)$.
मध्यवर्ती पदों को काटने के बाद,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1} \theta$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \tan^{-1} \theta$.
$\tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right) = \tan^{-1} \theta$.
अतः,$\theta = \frac{n}{n+2}$.

(C) चूँकि $f(x) = \frac{|x+2|}{x+2}, x \neq -2$,हमें $x > -2$ के लिए $f(x) = 1$ और $x < -2$ के लिए $f(x) = -1$ प्राप्त होता है। अतः,परिसर $\{-1, 1\}$ है।
$(B)$ चूँकि $g(x) = |[x]|$,और $[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $|[x]|$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है,जो $W$ समुच्चय है।
$(C)$ चूँकि $h(x) = |x - [x]| = |\{x\}|$,और भिन्नात्मक भाग $\{x\} \in [0, 1)$,इसलिए परिसर $[0, 1)$ है।
$(D)$ चूँकि $-1 \leq \sin 3x \leq 1$,हमें $1 \leq 2 - \sin 3x \leq 3$ प्राप्त होता है। व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \sin 3x} \leq 1$। अतः,परिसर $[\frac{1}{3}, 1]$ है।
परिणामों का मिलान करने पर: $A-5, B-3, C-4, D-1$।

(C) माना $y = \frac{x}{x^2-5x+9}$.
$y(x^2-5x+9) = x$
$yx^2 - (5y+1)x + 9y = 0$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (-(5y+1))^2 - 4(y)(9y) \geq 0$
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \geq 0$
$-11y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$11y^2 - 10y - 1 \leq 0$
$(11y+1)(y-1) \leq 0$.
अतः,परिसर $y \in \left[-\frac{1}{11}, 1\right]$ है।

(B) $f(x) = \sqrt{\frac{x-|x|}{x-[x]}}$ के परिभाषित होने के लिए,$\frac{x-|x|}{x-[x]} \geq 0$ और $x - [x] \neq 0$ होना आवश्यक है।
चूंकि $x - |x| \geq 0$ होता है,इसलिए अंश हमेशा गैर-ऋणात्मक है।
फलन के परिभाषित होने के लिए $x - [x] > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \notin Z$।
अतः,$D = R - Z$।
अब,$g(x) = \frac{2x}{4+x^2}$ के लिए,$y = \frac{2x}{4+x^2}$ लें।
$yx^2 - 2x + 4y = 0$। $x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D_x = (-2)^2 - 4(y)(4y) \geq 0$।
$4 - 16y^2 \geq 0 \implies y^2 \leq \frac{1}{4} \implies y \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$।
अतः,परिसर $C = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है।
$D \cap C = (R - Z) \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] - \{0\}$।
इसलिए,$D \cap C = [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(0, \frac{1}{2}]$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{\frac{a-|x|}{(a+1)-|x|}}, (a > 0)$ है।
चूँकि $f(x) \geq 0$,मान लीजिए $y^2 = \frac{a-|x|}{(a+1)-|x|}$ जहाँ $y \geq 0$ है।
तब $y^2((a+1)-|x|) = a-|x|$.
$y^2(a+1) - y^2|x| = a - |x|$.
$|x|(1 - y^2) = a - y^2(a+1)$.
$|x| = \frac{a - y^2(a+1)}{1 - y^2} = \frac{y^2(a+1) - a}{y^2 - 1}$.
चूँकि $|x| \geq 0$,इसलिए $\frac{y^2(a+1) - a}{y^2 - 1} \geq 0$ है।
असमिका को हल करने पर,$y^2 \in [0, \frac{a}{a+1}] \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः परिसर $[0, \sqrt{\frac{a}{a+1}}] \cup (1, \infty)$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{3x+5}{7x-3}$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{3x+5}{7x-3}$.
$y(7x-3) = 3x+5 \Rightarrow 7xy - 3y = 3x+5$.
$x(7y-3) = 3y+5 \Rightarrow x = \frac{3y+5}{7y-3}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{3x+5}{7x-3} = f(x)$. इसलिए,विकल्प $A$ सत्य है।
अब,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{3(\frac{3x+5}{7x-3})+5}{7(\frac{3x+5}{7x-3})-3} = \frac{9x+15+35x-15}{21x+35-21x+9} = \frac{44x}{44} = x$. इसलिए,विकल्प $B$ सत्य है।
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$,इसलिए $(f \circ f \circ f)(x) = f((f \circ f)(x)) = f(x) \neq x$.
साथ ही,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f)(x) = x$. इसलिए,विकल्प $D$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $(f \circ f \circ f)(x) = x$ है।

(B) दिया गया है कि संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ आच्छादक है।
परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा अवयव $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$ हो।
इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $f(x) = y$,जहाँ $y \in B$,तो हमें $g(y) = z$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक $z \in C$ के लिए,$B$ में कम से कम एक ऐसा अवयव $y$ मौजूद है जिसके लिए $g(y) = z$ हो।
अतः,$g$ का आच्छादक (surjective) होना आवश्यक है।
इस प्रकार,आवश्यक शर्त यह है कि $g$ आच्छादक है।

(C) दिया गया है कि सभी $x \in D$ के लिए $(g \circ j \circ f)(x) = f(x)$ है।
फलनों की परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$g(j(f(x))) = f(x)$
चूंकि $g(x) = 1 - x$,इसलिए:
$1 - j(f(x)) = f(x)$
$f(x) = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$1 - j(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
$j(\frac{1}{x})$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$j(\frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{x}$
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$ है। तो $x = \frac{1}{t}$ होगा।
समीकरण में $t$ रखने पर:
$j(t) = 1 - t$
अतः,$j(x) = 1 - x = g(x)$।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} |[x-5]|, & x < 5 \\ [|x-5|], & x \geq 5 \end{cases}$
सबसे पहले,हम $f\left(-\frac{7}{2}\right)$ की गणना करते हैं।
चूँकि $-\frac{7}{2} = -3.5 < 5$,हम पहले मामले का उपयोग करते हैं:
$f\left(-\frac{7}{2}\right) = |[-\frac{7}{2} - 5]| = |[-8.5]| = |-9| = 9$.
अब,हम $(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = f(f(-\frac{7}{2})) = f(9)$ की गणना करते हैं।
चूँकि $9 \geq 5$,हम दूसरे मामले का उपयोग करते हैं:
$f(9) = [|9-5|] = [|4|] = 4$.
अतः,$(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = 4$.

(D) दिया गया फलन $f(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2 \cos ^3 \frac{x}{2}$ है,जो $R-\{0\}$ पर परिभाषित है।
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या नहीं,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x}-1} + \frac{-x}{2} + 2 \cos ^3 \left(-\frac{x}{2}\right)$
चूँकि $\cos(- \theta) = \cos(\theta)$,इसलिए $\cos^3(-\frac{x}{2}) = \cos^3(\frac{x}{2})$.
$f(-x) = \frac{-x}{\frac{1}{e^x}-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1-e^x} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x e^x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x(e^x-1+1)}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2} = f(x)$
चूँकि $f(-x) = f(x)$ है,इसलिए यह एक सम फलन है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है कि,$n(G) = 3$ और $n(A) = 4$.
$(A)$ $G \times G$ से $G$ तक के फलनों की कुल संख्या $n(G)^{n(G \times G)} = 3^{(3 \times 3)} = 3^9 = 19683$ है। $G \times G$ से $G$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या $0$ है (क्योंकि $n(G \times G) = 9 \neq n(G) = 3$)। अतः,गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या $19683 - 0 = 19683$ है। इसलिए,$A \rightarrow V$.
$(B)$ $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या $n(A)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है। इसलिए,$B \rightarrow I$.
$(C)$ $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या $n(G \times A)^{n(G)} = (3 \times 4)^3 = 12^3 = 1728$ है। इसलिए,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक फलनों की संख्या $0$ है क्योंकि $n(A) = 4$ और $n(A \times A) = 16$ है। चूँकि $n(A) < n(A \times A)$,इसलिए कोई आच्छादक फलन संभव नहीं है। इसलिए,$D \rightarrow II$.
अतः,सही मिलान $A-V, B-I, C-III, D-II$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{|x|-x} + \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ है।
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0 \Rightarrow |x| > x$.
यह असमिका सभी $x < 0$ के लिए सत्य है। अतः,प्रांत $A = (-\infty, 0)$ है।
अब,$x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ होता है।
फलन में मान रखने पर:
$f(x) = \sqrt{-x - x} + \frac{1}{\sqrt{-x - x}} = \sqrt{-2x} + \frac{1}{\sqrt{-2x}}$.
माना $t = \sqrt{-2x}$ है। चूँकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$,अतः $t > 0$ है।
फलन $f(t) = t + \frac{1}{t}$ हो जाता है।
$t > 0$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{t + \frac{1}{t}}{2} \geq \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 1 \Rightarrow t + \frac{1}{t} \geq 2$.
चूँकि $f(x)$ एक आच्छादक फलन है,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर $[2, \infty)$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$A = (-\infty, 0)$ और $B = [2, \infty)$ है।