AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2 + y^2 = b^2$ અને $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ છે.
રેખા $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ એ પ્રથમ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
બીજા વર્તુળ $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = m(x - a) \pm b \sqrt{1 + m^2}$ થાય.
બંનેને સરખાવતા:
$mx - b \sqrt{1 + m^2} = mx - ma \pm b \sqrt{1 + m^2}$.
ધન ચિહ્ન લેતા:
$ma = 2b \sqrt{1 + m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$m^2 a^2 = 4b^2 (1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2 (a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$.

(C) સામાન્ય સ્પર્શક $4x+3y-10=0$ છે. આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m' = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$,જે આપે છે $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
વર્તુળોના કેન્દ્રો સ્પર્શબિંદુ $(1,2)$ થી $5$ એકમ અંતરે લંબ રેખા પર આવેલા છે.
કેન્દ્રોના યામ $(x,y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ છે.
$(x,y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
આમ,બે શક્ય કેન્દ્રો $C_1 = (5,5)$ અને $C_2 = (-3,-1)$ છે.
વર્તુળોના સમીકરણો $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ અને $(x+3)^2 + (y+1)^2 = 25$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-10x-10y+25=0$ અને $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ મળે છે.
વર્તુળ ચારેય ચરણમાંથી પસાર થાય જો તેનું કેન્દ્ર $(h,k)$ માટે $h^2 < r^2$ અને $k^2 < r^2$ હોય.
$C_2(-3,-1)$ માટે,$h^2 = 9 < 25$ અને $k^2 = 1 < 25$. તેથી,તે ચારેય ચરણમાંથી પસાર થાય છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ છે.

(C) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-8x=0$ અને $S_2: x^2+y^2-9=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-8x) + \lambda(x^2+y^2-9) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 8x - 9\lambda = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{8}{1+\lambda}x - \frac{9\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C\left(\frac{4}{1+\lambda}, 0\right)$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ એટલે કે $8x = 9$ છે.
સામાન્ય જીવા વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ એ રેખા $8x = 9$ પર આવેલું છે.
$8\left(\frac{4}{1+\lambda}\right) = 9$
$32 = 9(1+\lambda) = 9 + 9\lambda$
$9\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{9}$.
$\lambda = \frac{23}{9}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{32}{9}x^2 + \frac{32}{9}y^2 - 8x - 23 = 0$
$9$ વડે ગુણતા,$32x^2 + 32y^2 - 72x - 207 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 96 = 0$ ના સંદર્ભમાં રેખા $5x + 7y - 78 = 0$ ની તમામ સંયુગ્મી રેખાઓ આપેલ રેખાના ધ્રુવ (pole) માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે જરૂરી ધ્રુવ $P(x_1, y_1)$ છે. આપેલ વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 4(y + y_1) - 96 = 0$
$(x_1 + 3)x + (y_1 + 4)y + (3x_1 + 4y_1 - 96) = 0 \quad \dots (i)$
આપેલ રેખા $5x + 7y - 78 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x_1 + 3}{5} = \frac{y_1 + 4}{7} = \frac{3x_1 + 4y_1 - 96}{-78} = k$ (ધારો)
$x_1 = 5k - 3, y_1 = 7k - 4$ અને $3x_1 + 4y_1 - 96 = -78k$
$k$ ની કિંમત શોધતા $k = 1$ મળે છે.
તેથી,$x_1 = 2$ અને $y_1 = 3$.
આમ,જરૂરી સંગામી બિંદુ $(2, 3)$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ મળે છે.
રેડિકલ ધરી બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$,જેનું સાદું રૂપ $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ થાય છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને સ્પર્શે છે,જેને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|(4g-3)(-1) + 4(f-2)(-1)|}{\sqrt{(4g-3)^2 + (4(f-2))^2}} = 1$.
$|-(4g-3) - 4(f-2)| = \sqrt{(4g-3)^2 + 16(f-2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4g-3)^2 + 16(f-2)^2 + 8(4g-3)(f-2) = (4g-3)^2 + 16(f-2)^2$.
આથી $8(4g-3)(f-2) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(4g-3)(f-2) = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ દ્વારા $x$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2-c} = 2a$ છે,જે સૂચવે છે કે $g^2-c = a^2$,તેથી $c = g^2-a^2$.
વર્તુળ દ્વારા $y$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2-c} = 2b$ છે,જે સૂચવે છે કે $f^2-c = b^2$,તેથી $c = f^2-b^2$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $g^2-a^2 = f^2-b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $g^2-f^2 = a^2-b^2$ થાય છે.
કેન્દ્રના યામ $(x, y)$ ને $(-g, -f)$ સાથે બદલતા,આપણને બિંદુપથ $x^2-y^2 = a^2-b^2$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $2y^2 + 5x - 6y + 1 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$2(y^2 - 3y) = -5x - 1$ મળે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $2(y^2 - 3y + \frac{9}{4}) = -5x - 1 + \frac{9}{2}$.
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5x + \frac{7}{2}$.
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5(x - \frac{7}{10})$.
$(y - \frac{3}{2})^2 = 4(-\frac{5}{8})(x - \frac{7}{10})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ અને $a = -\frac{5}{8}$ મળે.
નાભિ $(h + a, k) = (\frac{7}{10} - \frac{5}{8}, \frac{3}{2}) = (\frac{28 - 25}{40}, \frac{3}{2}) = (\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,શિરોબિંદુ અને નાભિ અનુક્રમે $(\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ અને $(\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^2-4x+6y+17=0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2+6y+9)-9-4x+17=0$
$(y+3)^2-4x+8=0$
$(y+3)^2=4(x-2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2=4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y=y+3$ અને $X=x-2$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (2, -3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું પડે.
આમ,$h=2$ અને $k=-3$.
$h^2+k^2$ ની ગણતરી કરતા:
$h^2+k^2 = (2)^2+(-3)^2 = 4+9 = 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $20(x^2+y^2-6x-2y+10) = (4x-2y-5)^2$ છે.
$20$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-3)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{4x-2y-5}{\sqrt{20}}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(3,1)$ એ નાભિ છે અને $4x-2y-5=0$ એ નિયામિકા છે.
નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $2a = \frac{|4(3)-2(1)-5|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}} = \frac{|12-2-5|}{\sqrt{16+4}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2(2a) = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ થાય.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2-8x-4y-12=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2-4y+4)-4-8x-12=0$
$(y-2)^2=8x+16$
$(y-2)^2=8(x+2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2=4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h=-2, k=2$ અને $4a=8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
$(y-k)^2=4a(x-h)$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x=h+at^2$ અને $y=k+2at$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x=-2+2t^2$ અને $y=2+2(2)t$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x=-2+2t^2$ અને $y=2+4t$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. અહીં,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબ જીવાનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
$a = \frac{9}{4}$ મૂકતા,આપણને $y = -tx + \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ મળે,જેને $tx + y = \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ તરીકે લખી શકાય.
જીવા શિરોબિંદુ $V(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પરવલય $y^2 = 9x$ ને સમઘાત બનાવતા:
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3} \right)$
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{4}t(2 + t^2)} \right) = \frac{4x(tx + y)}{t(2 + t^2)}$
$t(2 + t^2)y^2 = 4tx^2 + 4xy$
$4tx^2 + 4xy - t(2 + t^2)y^2 = 0$
ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$4t - t(2 + t^2) = 0$
$t \neq 0$ હોવાથી,$t$ વડે ભાગતા:
$4 - (2 + t^2) = 0$
$4 - 2 - t^2 = 0$
$t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે નાભિ-જીવાના રેખાખંડોની લંબાઈ $l_1 = 5$ અને $l_2 = 3$ છે.
પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબ $L$ એ કોઈપણ નાભિ-જીવાના રેખાખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
તેથી,$L = \frac{2 l_1 l_2}{l_1 + l_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$L = \frac{2 \times 5 \times 3}{5 + 3} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $2L$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^2=4ay$ છે અને રેખા $y=2x+1$ છે. અહીં $m=2$ અને $c=1$ છે.
$x = \frac{y-1}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{y-1}{2})^2 = 4ay$ $\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 16ay$ $\Rightarrow y^2 - (16a+2)y + 1 = 0$.
ધારો કે બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. તેથી $y_1+y_2 = 16a+2$ અને $y_1y_2 = 1$.
છેદબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ છે.
$y=2x+1$ હોવાથી,$x_2-x_1 = \frac{y_2-y_1}{2}$.
$L = \sqrt{\frac{5}{4}(y_2-y_1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$.
$L = \sqrt{40}$ આપેલ છે,તેથી $40 = \frac{5}{4} ((16a+2)^2 - 4)$.
$32 = (16a+2)^2 - 4 \Rightarrow (16a+2)^2 = 36$.
$16a+2 = 6$ અથવા $16a+2 = -6$.
$16a = 4$ $\Rightarrow a = 1/4$ $\Rightarrow 4a = 1$ (વિકલ્પોમાં નથી).
$16a = -8$ $\Rightarrow a = -1/2$ $\Rightarrow 4a = -2$.
આમ,$4a$ ની કિંમત $-2$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $(y - 3)^2 = 12(x - 2)$ છે.
તેને $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,$h = 2, k = 3$ અને $4a = 12$ મળે,તેથી $a = 3$.
પરવલયની નિયામિકા (directrix) $x = h - a = 2 - 3 = -1$ છે.
પરવલયનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ નિયામિકા પર હોય છે.
આપેલ છે કે બે સ્પર્શકો લંબ છે અને બિંદુ $P$ પર મળે છે,તેથી બિંદુ $P$ નિયામિકા $x = -1$ પર હોવું જોઈએ.
પ્રથમ સ્પર્શકના સમીકરણ $y = 3x - 2$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$y = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(-1, -5)$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $m x - y + (10 + m^2) = 0$ છે.
આને $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $m^2 + m x + (10 - y) = 0$.
રેખા પરવલયનો સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$a m^2 + b m + c = 0$ માટે,$D = b^2 - 4ac = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = x$,અને $c = (10 - y)$.
આ કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 4(1)(10 - y) = 0$.
$x^2 - 40 + 4y = 0$.
$x^2 = -4(y - 10)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પરવલય $y^2=4x$ માટે $(t^2, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt = x + t^2$ છે,જે $y = \frac{1}{t}x + t$ તરીકે લખી શકાય ... $(i)$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+5y^2=20$ છે,અથવા $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$.
ઉપવલય પર બિંદુ $(x_1, y_1) = (\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2=5$ અને $b^2=4$ છે,તેથી $\frac{5x}{\sqrt{5} \cos \theta} - \frac{4y}{2 \sin \theta} = 5 - 4 = 1$.
$\sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 2 \csc \theta \cdot y = 1$.
$y$ માટે ગોઠવતા: $2 \csc \theta \cdot y = \sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 1$ $\Rightarrow y = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta \cdot x - \frac{1}{2} \sin \theta$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta$ ... $(iii)$
$t = -\frac{1}{2} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = -2t$ ... $(iv)$
$(iv)$ પરથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - 4t^2$,તેથી $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4t^2}{1-4t^2}$.
$(iii)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{t^2} = \frac{5}{4} \tan^2 \theta = \frac{5}{4} \cdot \frac{4t^2}{1-4t^2} = \frac{5t^2}{1-4t^2}$.
$1 - 4t^2 = 5t^4 \Rightarrow 5t^4 + 4t^2 = 1$.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k=mh-2am-am^3$,જે $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે: $am^3 + (2a-h)m + k = 0$.
ધારો કે તેના બીજ $m_1, m_2, m_3$ છે.
અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1m_2 = -1$.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $m_1m_2m_3 = -k/a$ થાય.
$m_1m_2 = -1$ મૂકતા,$(-1)m_3 = -k/a$,તેથી $m_3 = k/a$.
$m_3$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $a(k/a)^3 + (2a-h)(k/a) + k = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $k^3/a^2 + 2k - hk/a + k = 0$.
$k$ વડે ભાગતા: $k^2/a^2 + 3 - h/a = 0$.
$k^2 = ah - 3a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = ax - 3a^2$ અથવા $y^2 - ax + 3a^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a=1$.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$a=1$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2m-m^3 \dots(I)$ મળે છે.
આપેલ રેખા $x+3y+1=0$ છે,જેને $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. જો અભિલંબનો ઢાળ $m$ હોય,તો $m \times (-\frac{1}{3}) = -1$,તેથી $m=3$ મળે.
સમીકરણ $(I)$ માં $m=3$ મૂકતા:
$y = 3x - 2(3) - (3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$
$3x - y = 33$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1-px)^{-1}}{(1-qx)} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots$
અંશ અને છેદના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(1-px)(1-qx)} = \sum a_n x^n$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{(1-px)(1-qx)} = \frac{p}{p-q} \sum (px)^n - \frac{q}{p-q} \sum (qx)^n$.
તેથી,$a_n = \frac{p^{n+1}-q^{n+1}}{p-q}$.

(D) આપેલ છે $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$.
વિસ્તરણમાં $x = i$ મૂકતા:
$(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots) + i(a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + \ldots)$.
$1+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
ડી-મોઈવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+i)^n = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})]^n = 2^{\frac{n}{2}}(\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}$.
આને આપેલ પદ $k \cos \frac{n \pi}{4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2^{\frac{n}{2}}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે $x=2, y=3$.
$(2x - 3y)^8$ માટે,પદોની સંખ્યા $8+1=9$ છે,તેથી મધ્યમ પદ $5$મું પદ છે.
$a = {^8C_4} (2x)^4 (-3y)^4 = 70 \times 16x^4 \times 81y^4 = 70 \times 2^8 \times 3^8$.
$(3x + 4y)^7$ માટે,પદોની સંખ્યા $7+1=8$ છે,તેથી મધ્યમ પદો $4$થા અને $5$મા પદ છે.
$b = {^7C_3} (3x)^4 (4y)^3 = 35 \times 3^7 \times 2^{10}$.
$c = {^7C_4} (3x)^3 (4y)^4 = 35 \times 3^7 \times 2^{11}$.
હવે,$\frac{b+c}{a} = \frac{35 \times 3^7 \times 2^{10} + 35 \times 3^7 \times 2^{11}}{70 \times 2^8 \times 3^8} = 2$.

(C) આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{3x^2-5x+3}{(x-1)(2x+1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{x+3}$.
સહગુણકો માટે ઉકેલતા: $3x^2-5x+3 = A(2x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(2x+1)$.
$x=1$ માટે: $3-5+3 = A(3)(4) \implies 1 = 12A \implies A = \frac{1}{12}$.
$x=-1/2$ માટે: $3(1/4) + 5/2 + 3 = B(-3/2)(5/2) \implies 3/4 + 10/4 + 12/4 = -\frac{15}{4}B \implies 25 = -15B \implies B = -\frac{5}{3}$.
$x=-3$ માટે: $3(9) + 15 + 3 = C(-4)(-5) \implies 45 = 20C \implies C = \frac{9}{4}$.
આમ,$f(x) = -\frac{1}{12}(1-x)^{-1} - \frac{5}{3}(1+2x)^{-1} + \frac{3}{4}(1+x/3)^{-1}$.
$x^4$ નો સહગુણક $-\frac{1}{12}(1)^4 - \frac{5}{3}(-2)^4 + \frac{3}{4}(-1/3)^4 = -\frac{1}{12} - \frac{80}{3} + \frac{1}{108}$ છે.
$= \frac{-9 - 2880 + 1}{108} = -\frac{2888}{108} = -\frac{722}{27}$.

(A) $(3+2x+x^2)^5$ ના બહુપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{5!}{p!q!r!} (3)^p (2x)^q (x^2)^r$ છે,જ્યાં $p+q+r=5$ છે.
આપણે $x^5$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $q+2r=5$ થાય.
$(p, q, r)$ માટે શક્ય અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
$1$) જો $r=0$,તો $q=5$,$p=0$. પદ: $\frac{5!}{0!5!0!} (3)^0 (2)^5 (1)^0 = 1 \times 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$2$) જો $r=1$,તો $q=3$,$p=1$. પદ: $\frac{5!}{1!3!1!} (3)^1 (2)^3 (1)^1 = 20 \times 3 \times 8 = 480$.
$3$) જો $r=2$,તો $q=1$,$p=2$. પદ: $\frac{5!}{2!1!2!} (3)^2 (2)^1 (1)^2 = 30 \times 9 \times 2 = 540$.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $32 + 480 + 540 = 1052$.

(D) $(1+x)^{24}$ ના વિસ્તરણમાં $r$-મું પદ $T_r = {}^{24}C_{r-1} x^{r-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${}^{24}C_{r-1}$ છે.
$(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = {}^{24}C_r x^r$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${}^{24}C_r$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકોનો ગુણોત્તર $12:13$ છે,તેથી $\frac{{}^{24}C_{r-1}}{{}^{24}C_r} = \frac{12}{13}$.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_{k-1}}{{}^nC_k} = \frac{k}{n-k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r}{25-r} = \frac{12}{13}$ મળે.
$13r = 300 - 12r \implies 25r = 300 \implies r = 12$.
હવે,$r=12$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણો તપાસતા:
$x^2-14x+24=0$ માં $x=12$ મૂકતા,$144 - 168 + 24 = 0$ મળે છે,જે સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $N = 2^{\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5} \cdot 3^{\alpha_2+\alpha_5} \cdot 5^{\alpha_4}$ છે.
બિન-તુચ્છ બેકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ થાય,તેથી વિધાન $I$ ખોટું છે.
બિન-તુચ્છ એકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1 = \alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ થાય,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) $(1+2x)^n$ માં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ મૂકવાથી મળે છે,જે $(1+2)^n = 3^n = 6561$ આપે છે. $3^8 = 6561$ હોવાથી,$n=8$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R = (1+2x)^n = (1+\sqrt{2})^8 = I+F$,જ્યાં $I \in N$ અને $0 < F < 1$.
ધારો કે $F' = (\sqrt{2}-1)^8$. $0 < \sqrt{2}-1 < 1$ હોવાથી,$0 < F' < 1$ થાય.
$R + F' = (\sqrt{2}+1)^8 + (\sqrt{2}-1)^8$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા,એકી પદો ઉડી જાય છે અને પરિણામ એક બેકી પૂર્ણાંક મળે છે.
આમ,$I+F+F' = \text{બેકી પૂર્ણાંક}$,જે સૂચવે છે કે $F+F' = 1$ કારણ કે $0 < F+F' < 2$.
તેથી,$F = 1 - F' = 1 - (\sqrt{2}-1)^8$.
હવે,$1 - \frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4} = 1 - \frac{1-(\sqrt{2}-1)^8}{1+(\sqrt{2}-1)^4}$ ની ગણતરી કરો.
તફાવતની રીત $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1-(\sqrt{2}-1)^8 = [1-(\sqrt{2}-1)^4][1+(\sqrt{2}-1)^4]$ મળે છે.
આ કિંમત મૂકતા,$1 - [1-(\sqrt{2}-1)^4] = (\sqrt{2}-1)^4$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$.
$x$ ને $-1/x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$(1 - 1/x + 1/x^2)^n = c_0 - c_1/x + c_2/x^2 - \ldots + c_{2n} (-1/x)^{2n}$
$(x^2 - x + 1)^n / x^{2n} = (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}) / x^{2n}$
તેથી,$(1 - x + x^2)^n = c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}$.
હવે,ગુણાકાર $(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots) (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots)$ ધ્યાનમાં લો.
પદ $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ એ આ બે શ્રેણીઓના ગુણાકારમાં $x^{2n-1}$ નો સહગુણક છે.
$(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = ((1+x^2)+x)^n ((1+x^2)-x)^n = ((1+x^2)^2 - x^2)^n = (1 + 2x^2 + x^4 - x^2)^n = (1 + x^2 + x^4)^n$.
$(1 + x^2 + x^4)^n$ ના વિસ્તરણમાં,ફક્ત $x$ ની બેકી ઘાત જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
કારણ કે $2n-1$ એ એકી સંખ્યા છે,તેથી $x^{2n-1}$ નો સહગુણક $0$ છે.
આમ,$c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots = 0$.

(B) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^n a_k C_k$ છે. કારણ કે $a_k$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,$a_k = a_0 + kd$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$S = \sum_{k=0}^n (a_0 + kd) C_k = a_0 \sum_{k=0}^n C_k + d \sum_{k=0}^n k C_k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^n C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^n k C_k = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = a_0 2^n + d n 2^{n-1} = 2^{n-1} (2a_0 + nd)$.
કારણ કે $a_n = a_0 + nd$,આપણી પાસે $2a_0 + nd = a_0 + (a_0 + nd) = a_0 + a_n$ છે.
તેથી,$S = (a_0 + a_n) 2^{n-1}$.

(C) $(1+x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = \frac{21}{5} = 4.2$ છે.
જ્યારે $(n-r+1) < 0$ થાય ત્યારે સહગુણક ઋણ બને છે.
$n-5 = 4.2 - 5 = -0.8$ હોવાથી,$x^6$ નો સહગુણક પ્રથમ ઋણ પદ હશે.
ગણતરી કરતા,સહગુણક $\frac{\frac{21}{5} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{4}{5})}{6!} = \frac{-616}{5^7}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+9}$
$= 2(1+\frac{x^2}{4})^{1/2} - 3(1+\frac{x^2}{9})^{1/2}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા
$= 2[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{4}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{4})^2 + \dots] - 3[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{9}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{9})^2 + \dots]$
$x^4$ વાળું પદ: $2[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{16})] - 3[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{81})]$
$= 2[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{16}] - 3[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{81}]$
$= -\frac{x^4}{64} + \frac{x^4}{216} = x^4(\frac{-216+64}{13824}) = x^4(\frac{-152}{13824}) = -\frac{19}{1728}x^4$
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $-\frac{19}{1728}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x$ ખૂબ નાનું છે,તેથી આપણે દ્વિપદી અંદાજ $(1+nx) \approx (1+x)^n$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ માટે:
$\left(1+\frac{3}{4} x\right)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x = 1 + \frac{3}{8} x$
$\left(1-\frac{2}{3} x\right)^{-2} \approx 1 + (-2) \cdot \left(-\frac{2}{3} x\right) = 1 + \frac{4}{3} x$
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા અને $x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$\left(1+\frac{3}{8} x\right)\left(1+\frac{4}{3} x\right) \approx 1 + \frac{3}{8} x + \frac{4}{3} x = 1 + \frac{41}{24} x = \frac{24+41 x}{24}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે $(1-ax)^{-1} = 1 + ax + a^2x^2 + a^3x^3 + a^4x^4 + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1-x)^{-1}(1-2x)^{-1}(1-3x)^{-1}$ છે.
દરેક પદનું $x^4$ સુધી વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+2x+4x^2+8x^3+16x^4)(1+3x+9x^2+27x^3+81x^4)$.
આ શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા,$x^4$ નો સહગુણક એવા તમામ પદોના સરવાળા દ્વારા મળે છે જેની ઘાતનો સરવાળો $4$ થાય છે:
$1(1)(81) + 1(2)(27) + 1(4)(9) + 1(8)(3) + 1(16)(1) + 1(3)(27) + 1(9)(8) + 1(27)(4) + 1(1)(27) + 1(3)(8) + 1(9)(4) + 1(27)(2) + 1(1)(16) + 1(3)(4) + 1(9)(2) + 1(27)(1) + 1(1)(9) + 1(3)(2) + 1(9)(1) + 1(1)(3) + 1(3)(1) + 1(1)(1) = 301$.
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $301$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $7x^2 + 16y^2 = 112$ છે.
$112$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 7$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ નું નાભિ $S$ થી અંતર અને નિયામિકા $L$ થી અંતરનો ગુણોત્તર એ ઉત્કેન્દ્રતા $e$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{SP}{PM} = e = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ છે. પરવલય $y^2=4ax$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{2a}{y_0}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ છે.
તેઓ કાટખૂણે છેદે છે,તેથી $m_1 m_2 = -1$,એટલે કે $\left(\frac{2a}{y_0}\right) \left(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\right) = -1 \Rightarrow \frac{2b^2 x_0}{a y_0^2} = 1$.
$y_0^2 = 4ax_0$ મૂકતા,$\frac{2b^2 x_0}{a(4ax_0)} = 1$ $\Rightarrow \frac{b^2}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 2a^2$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $a^2 = b^2(1-e^2)$ $\Rightarrow a^2 = 2a^2(1-e^2)$ $\Rightarrow 1 = 2(1-e^2)$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે. શિરોબિંદુઓના યામ $i=1, 2, 3$ માટે $(a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ છે.
તેથી,$(l, m) = \left(\frac{a(\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)}{3}, \frac{b(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)}{3}\right)$.
આનાથી $\frac{3l}{a} = \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$ અને $\frac{3m}{b} = \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = (\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)^2 + (\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)^2$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_3 \cos \theta_1 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_2 \sin \theta_3 + \sin \theta_3 \sin \theta_1)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} = 1 + \frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
તેથી,$\frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)] = \frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} - 1$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે. પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનો એક શિરોબિંદુ $(x, y) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ધારો.
લંબચોરસની લંબાઈ $l = 2x = 16 \cos \theta$ અને પહોળાઈ $b = 2y = 8 \sin \theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = (16 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin 2 \theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2 \theta = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,જે $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$l = 16 \cos \frac{\pi}{4} = 16 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$.
$b = 8 \sin \frac{\pi}{4} = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,$(l, b) = (8 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $F_1(ae, 0)$ અને $F_2(-ae, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નો પાયો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $F_1 F_2 = 2ae$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $P$ ના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $h = |b \sin \theta|$ છે.
ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = aeb |\sin \theta|$ થાય.
$A$ ની મહત્તમ કિંમત માટે,$|\sin \theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ લેવી પડે.
તેથી,$A_{\text{max}} = aeb$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $P(a, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-a}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-2}{\sin 45^{\circ}} = r$ છે,જે $x = a + \frac{r}{\sqrt{2}}$ અને $y = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ માં પરિણમે છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુ $B$ માટે,$y=0 \Rightarrow 2 + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -2\sqrt{2}$,તેથી $PB = 2\sqrt{2}$.
$Y$-અક્ષ પરના બિંદુ $C$ માટે,$x=0 \Rightarrow a + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -a\sqrt{2}$,તેથી $PC = a\sqrt{2}$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુઓ $A$ અને $D$ માટે,$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(a + r/\sqrt{2})^2}{9} + \frac{(2 + r/\sqrt{2})^2}{4} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$13r^2/2 + (4\sqrt{2}a + 18\sqrt{2})r + 4a^2 = 0$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $PA \cdot PD = \frac{4a^2}{13/2} = \frac{8a^2}{13}$.
$PA, PB, PC, PD$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$PA \cdot PD = PB \cdot PC$.
$\frac{8a^2}{13} = (2\sqrt{2})(a\sqrt{2}) = 4a \Rightarrow 2a = 13$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\alpha)$ અને $B(\beta)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a=5$ અને $b=3$ છે. નાભિ $(ae, 0) = (4, 0)$ છે.
જીવા નાભિ $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=4$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{4}{5} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
વિસ્તરણ કરતા:
$4(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}) = 5(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2})$.
બંને બાજુ $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$ વડે ભાગતા:
$4(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 1) = 5(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 1)$.
$4 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 4 = 5 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 5$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = -9$.

(C) આપેલ રેખા $4x - y + c = 0$ છે. ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે.
સ્પર્શકની શરત મુજબ $c^2 = a^2m^2 + b^2$ લેતા,$c^2 = 17$ મળે છે.
તેથી $c = \pm \sqrt{17}$.
સમીકરણ $x^3 - x^2 - 17x + 17 = 0$ ના અવયવો પાડતા $(x-1)(x^2-17) = 0$ મળે છે,જેના બીજ $1, \sqrt{17}, -\sqrt{17}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 4y - 5 = 0$ છે,જેને $\frac{3x + 4y}{5} = 1$ $(i)$ તરીકે લખી શકાય.
વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 5$ (ii) છે.
$\angle AOB$ શોધવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીશું:
$2x^2 + 3y^2 = 5(1)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{9x^2 + 16y^2 + 24xy}{25}\right)$
$10x^2 + 15y^2 = 9x^2 + 16y^2 + 24xy$
$x^2 - 24xy - y^2 = 0$
આ $OA$ અને $OB$ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું દ્વિઘાત સમઘાત સમીકરણ છે. સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. અહીં,$a = 1$,$b = -1$,અને $h = -12$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle AOB = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=9$ અને $b^2=5$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(2, \frac{5}{3})$,$M(-2, \frac{5}{3})$,$M'(-2, -\frac{5}{3})$ અને $L'(2, -\frac{5}{3})$ છે.
આ બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x+3y=9$,$2x-3y=9$,$-2x+3y=9$ અને $-2x-3y=9$ છે.
આ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 3)$,$B(-\frac{9}{2}, 0)$,$C(0, -3)$ અને $D(\frac{9}{2}, 0)$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણ}_1 \times \text{વિકર્ણ}_2 = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ છે.
$X$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $Q$ માટે $y=0$ લેતા,$x = \frac{5}{\cos \theta}$ મળે.
તેથી,$Q = (5 \sec \theta, 0)$.
$R$ એ $y=x$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,યામો અદલાબદલી કરતા $R = (0, 5 \sec \theta)$ મળે.
$QR$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_Q)(x - x_R) + (y - y_Q)(y - y_R) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - (5 \sec \theta)x - (5 \sec \theta)y = 0$ થાય છે.
$\theta$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,બિંદુ $(0,0)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વર્તુળ હંમેશા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$
$\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$.
અહીં $a^2=18$ અને $b^2=8$ છે.
પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ કહેવાય છે,જેનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2+b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 18+8$
$x^2-6 x+9+y^2+4 y+4 = 26$
$x^2+y^2-6 x+4 y-13 = 0$.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 8$.
કારણ કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$,જે $a^2 - b^2 = 8$ માં પરિણમે છે.
$b^2 = 2a$ મૂકતા,આપણને $a^2 - 2a - 8 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(a - 4)(a + 2) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$.
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 2y^2 = 16$ થાય છે.

(B) આપેલા સમીકરણો છે:
$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
સમીકરણ $(i)$ એ અતિવલય દર્શાવે છે અને સમીકરણ $(ii)$ એ તેનો અનુબદ્ધ અતિવલય દર્શાવે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ દ્વારા મળે છે.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ એ $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અનુબદ્ધ અતિવલયો માટે,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{25/16} + \frac{1}{25/9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
હવે,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{e_1^2 + e_2^2}{e_1^2 e_2^2} = 1$.
તેથી,$\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2} = 1$.

(B) $(0,0)$ કેન્દ્ર અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 12$ આપેલ છે,તેથી $a = 6$.
$a=6$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
બિંદુ $(8,2)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{8^2}{36} - \frac{2^2}{b^2} = 1$.
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$.
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(A) બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તેની શરત $a^2l_1l_2 - b^2m_1m_2 = n_1n_2$ છે.
આપેલ અતિવલય $5x^2 - 6y^2 = 15$ ને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = \frac{5}{2}$ છે.
રેખાઓ $2x - ky + 3 = 0$ અને $3x - y + 1 = 0$ માટે,$l_1 = 2, m_1 = -k, n_1 = 3$ અને $l_2 = 3, m_2 = -1, n_2 = 1$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$3(2)(3) - (\frac{5}{2})(-k)(-1) = (3)(1)$
$18 - \frac{5}{2}k = 3$
$15 = \frac{5}{2}k$
$k = \frac{15 \times 2}{5} = 6$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x - 3)^2 - 25(y - 2)^2 = 400$ મળે.
જેને $\frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
સ્પર્શક અનુપ્રસ્થ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y = mX \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે,જ્યાં $X = x - 3$ અને $Y = y - 2$.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = 1(x - 3) \pm \sqrt{25(1)^2 - 16} = x - 3 \pm 3$.
આથી $y - 2 = x$ અથવા $y - 2 = x - 6$.
જે $x - y + 2 = 0$ અથવા $x - y - 4 = 0$ આપે છે.
તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) અતિવલય $xy=4$ માટે બિંદુ $(2t, 2/t)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $2t^4 - xt^3 + yt - 2 = 0$ છે.
આ અભિલંબ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2t^4 - at^3 + bt - 2 = 0$.
ધારો કે બીજ $t_1, t_2, t_3, t_4$ છે,જ્યાં $\alpha_i = 2t_i$ અને $\beta_i = 2/t_i$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\sum \alpha_i = a$,$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = -16$ અને $\sum \beta_i = b$.
તેથી,$\frac{\sum \alpha_i}{\sum \beta_i} (\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4) = \frac{a}{b} (-16) = -16 \frac{a}{b}$.

(A) ધારો કે જરૂરી સદિશ $d$ એ $b$ અને $c$ ના સમતલમાં છે. તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $d = b + \lambda c$ થાય.
આપેલ સદિશો મૂકતા:
$d = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 + \lambda)\hat{j} - (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$d$ નો $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|d \cdot a|}{|a|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$a \cdot d$ ની ગણતરી કરો:
$a \cdot d = 2(1 + \lambda) - 1(2 + \lambda) + 1(-1 - 2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$.
આગળ,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$|-\lambda - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $-\lambda - 1 = 2$ અથવા $-\lambda - 1 = -2$.
જો $-\lambda - 1 = 2$ હોય,તો $\lambda = -3$.
$d$ માં $\lambda = -3$ મૂકતા:
$d = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} - (1 - 6)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{B} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપણે $\angle B$ શોધવાની જરૂર છે,જે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (2 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
ખૂણા $\angle B$ નો કોસાઇન $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(4) + (0)(-1) + (-6)(-2) = 12 + 0 + 12 = 24$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
$\cos(\angle B) = \frac{24}{3\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{105}}$.
તેથી,$\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{105}}\right)$.

(B) શિરોબિંદુ $A$ થી બાજુ $BC$ પરના વેધની લંબાઈ $h$ એ $h = \frac{2 \times \text{Area}(\triangle ABC)}{|BC|} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|BC|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{BC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{3}$ છે.
પાયા $BC$ નું માન $|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ છે.
આમ,$h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a+xb+yc=0$ છે.
બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$a \times b + x(b \times b) + y(c \times b) = 0$
$b \times b = 0$ હોવાથી,આપણને $a \times b = y(b \times c)$ મળે છે.
બંને બાજુ $c$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times c + x(b \times c) + y(c \times c) = 0$
$c \times c = 0$ હોવાથી,આપણને $c \times a = x(b \times c)$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદ $a \times b + b \times c + c \times a = 6(b \times c)$ માં મૂકતા:
$y(b \times c) + (b \times c) + x(b \times c) = 6(b \times c)$
$(x+y+1)(b \times c) = 6(b \times c)$
જો $b \times c \neq 0$ હોય,તો $x+y+1=6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x+y=5$ અથવા $x+y-5=0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=(\alpha, 1, 2\alpha)$,$B=(3, 1, 2)$,અને $C=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $AB = B - A = (3-\alpha)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2\alpha)\hat{k} = (3-\alpha)\hat{i} + (2-2\alpha)\hat{k}$ શોધો.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $AB \times C$ ની ગણતરી કરો:
$AB \times C = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3-\alpha & 0 & 2-2\alpha \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-(2-2\alpha))) - \hat{j}(3(3-\alpha) - 4(2-2\alpha)) + \hat{k}((3-\alpha)(-1) - 0)$
$= \hat{i}(2-2\alpha) - \hat{j}(9-3\alpha-8+8\alpha) + \hat{k}(\alpha-3)$
$= (2-2\alpha)\hat{i} - (5\alpha+1)\hat{j} + (\alpha-3)\hat{k}$.
આને $6\hat{i}+9\hat{j}-5\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$2-2\alpha = 6 \Rightarrow -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2$.
અન્ય ઘટકો સાથે ચકાસણી કરતા: $-(5(-2)+1) = -(-10+1) = 9$ (બંધ બેસે છે) અને $(-2-3) = -5$ (બંધ બેસે છે).
આમ,$\alpha = -2$.
અંતે,$\alpha^2+\alpha+5 = (-2)^2 + (-2) + 5 = 4 - 2 + 5 = 7$ ની ગણતરી કરો.

(C) આપેલ છે કે,$r \cdot a = 0$ અને $r \times b = c \times b$.
$r \times b = c \times b$ પરથી,આપણને $(r - c) \times b = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $r - c = k b$.
તેથી,$r = c + k b$.
બંને બાજુ $a$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$r \cdot a = (c + k b) \cdot a = c \cdot a + k (b \cdot a)$.
$r \cdot a = 0$ હોવાથી,$0 = c \cdot a + k (b \cdot a)$.
આમ,$k = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$.
$k$ ની કિંમત $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = c - \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot a}\right) b$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$.
$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ છે.
$E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ છે.
$\triangle ODE$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{e}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d}$ અને $\vec{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) \times (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})| = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}|$.
$\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$ હોવાથી,$\text{Area} = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}|$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$ માં,$\vec{b}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા $\vec{a} \times \vec{b} + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ મળે.
$\vec{c}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા $\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} = 2(\vec{c} \times \vec{b})$ મળે.
આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{c} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |0| = 0$.

(B) ધારો કે $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a} = \bar{v}$.
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c}$ હોવાથી,$\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{c} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} \times \bar{b} = 0$.
આથી $(\bar{a} + \bar{c}) \times \bar{b} = 0$ મળે.
તે જ રીતે,$\bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a}$ પરથી,$(\bar{b} + \bar{a}) \times \bar{c} = 0$ મળે.
અને $\bar{c} \times \bar{a} = \bar{a} \times \bar{b}$ પરથી,$(\bar{c} + \bar{b}) \times \bar{a} = 0$ મળે.
જો $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{k}$ હોય,તો $\bar{a} \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a} \times \bar{a} + \bar{a} \times \bar{b} + \bar{a} \times \bar{c} = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{a} \times \bar{c} = -(\bar{c} \times \bar{a}) = -(\bar{a} \times \bar{b})$ હોવાથી,$\bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{k}$ મળે,તેથી $0 = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ શૂન્યતર અને અસમરેખ હોવાથી,આ દર્શાવે છે કે $\bar{k} = \bar{0}$.
તેથી,$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$.

(D) આપેલ છે કે,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$ અને $b \cdot c=0$.
$a$ ની દિશામાં $b$ નો પ્રક્ષેપ એ $a$ ની દિશામાં $c$ ના પ્રક્ષેપ જેટલો હોવાથી:
$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|} \implies a \cdot b = a \cdot c$.
હવે,આપણે $|2a+3b-3c|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $X = 2a+3b-3c$. તો $|X|^2 = (2a+3b-3c) \cdot (2a+3b-3c)$.
$|X|^2 = 4|a|^2 + 9|b|^2 + 9|c|^2 + 12(a \cdot b) - 18(b \cdot c) - 12(a \cdot c)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|X|^2 = 4(1)^2 + 9(2)^2 + 9(3)^2 + 12(a \cdot b) - 18(0) - 12(a \cdot c)$.
$a \cdot b = a \cdot c$ હોવાથી,$12(a \cdot b)$ અને $-12(a \cdot c)$ પદો ઉડી જશે.
$|X|^2 = 4 + 36 + 81 + 0 = 121$.
તેથી,$|2a+3b-3c| = \sqrt{121} = 11$.

(D) આપેલ છે,$m = \sqrt{3} \times [(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k})]$ નો એકમ સદિશ.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{3}$ છે,તેથી $m = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તે જ રીતે,$n = 2\sqrt{6} \times [(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k})]$ નો એકમ સદિશ.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ: $(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
તેનું માન $2\sqrt{6}$ છે,તેથી $n = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |m \times n|$.
$m \times n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 6\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6\hat{i} + 6\hat{k}| = \frac{1}{2} \sqrt{36+36} = 3\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સદિશો $a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશ $r$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ હોવાથી,$r$ એ $b \times c$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-25) - \hat{j}(-1-20) + \hat{k}(5+16) = -21 \hat{i} + 21 \hat{j} + 21 \hat{k} = 21(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ધારો કે $r = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $r \cdot a = 9$,તેથી $\lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 9$.
$\lambda(-3 + 1 - 1) = 9 \Rightarrow -3\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = -3$.
આમ,$r = -3(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$.
આને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$a, b, c$ એકમ સદિશો હોવાથી,ધારો કે $a$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે અને $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ છે.
તેથી $a \cdot c = \cos \alpha$ અને $a \cdot b = \cos \beta$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\cos \alpha) b - (\cos \beta) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$b$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = 30^{\circ}$.
$-\cos \beta = \frac{1}{2} \implies \cos \beta = -\frac{1}{2} \implies \beta = 120^{\circ}$.
આમ,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે અને $a$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{a}, \vec{b}$ છે.
$P$ એ $AB$ પર છે જેથી $AP:PB = 1:2$,તેથી $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a}$ છે.
$Q$ એ $BC$ પર છે જેથી $BQ:QC = 1:2$,તેથી $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{2\vec{b} + \vec{a}}{3}$ છે.
માસ પોઈન્ટ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$C$ પર $1$ દળ મૂકો. $BQ:QC=1:2$ હોવાથી,$B$ પરનું દળ $2$ થશે. $AP:PB=1:2$ હોવાથી,$A$ પરનું દળ $4$ થશે.
છેદબિંદુ $D$ નું કુલ દળ $4+2+1=7$ થશે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{Area(\triangle BCD)}{Area(\triangle ABC)} = \frac{Mass(A)}{Mass(A)+Mass(B)+Mass(C)} = \frac{4}{4+2+1} = \frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $7$ છે,તેથી $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 7 \times \frac{7}{4} = \frac{49}{4}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(D) બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}+\hat{j}$,અને $\vec{d} = 7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{CD}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (4-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (7-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AB}$ નો $\vec{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{CD}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$\vec{CD}$ નું માન: $|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{7 \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$ અને $B(3, 5, -3)$ ને જોડતી રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 2, 5 - 3, -3 - (-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
બિંદુઓ $C(1, 2, 3)$ અને $D(3, y, 7)$ ને જોડતી રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તરો $(3 - 1, y - 2, 7 - 3) = (2, y - 2, 4)$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(1)(2) + (2)(y - 2) + (-2)(4) = 0$
$2 + 2y - 4 - 8 = 0$
$2y - 10 = 0$
$2y = 10$
$y = 5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=(1,8,4)$ અને $B=(2,-3,1)$.
બિંદુઓને દર્શાવતા સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $AOB$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{OA} \times \vec{OB}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 8 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - (-12)) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-3 - 16) = 20\hat{i} + 7\hat{j} - 19\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{20^2 + 7^2 + (-19)^2} = \sqrt{400 + 49 + 361} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$ છે.
દિકકોસાઇન એ એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{20}{9\sqrt{10}}\hat{i} + \frac{7}{9\sqrt{10}}\hat{j} - \frac{19}{9\sqrt{10}}\hat{k}$ ના ઘટકો છે.
ઘટકોનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{20}{9\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{10}}{90} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$,$\frac{7}{9\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{90}$,અને $-\frac{19}{9\sqrt{10}} = -\frac{19\sqrt{10}}{90}$ મળે છે.

(A) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ છે.
બિંદુઓ $(3, 1, 4)$ અને $(7, 2, 12)$ ને જોડતી બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) ધારો કે $OA$ અને $OB$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\vec{a} = l_1 \hat{i} + m_1 \hat{j} + n_1 \hat{k}$ અને $\vec{b} = l_2 \hat{i} + m_2 \hat{j} + n_2 \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ થાય.
$\angle AOB$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સદિશ $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ ની દિશામાં હોય છે.
$\vec{v} = (l_1+l_2) \hat{i} + (m_1+m_2) \hat{j} + (n_1+n_2) \hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(l_1+l_2)^2 + (m_1+m_2)^2 + (n_1+n_2)^2}$ છે.
$|\vec{v}|^2 = (l_1^2+m_1^2+n_1^2) + (l_2^2+m_2^2+n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)$.
$l_i^2+m_i^2+n_i^2 = 1$ અને $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$ હોવાથી:
$|\vec{v}|^2 = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1+\cos \theta) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$.
તેથી,$|\vec{v}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
આંતરિક દ્વિભાજકની દિકકોસાઇન એ એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ ના ઘટકો છે,જે:
$\frac{l_1+l_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{m_1+m_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{n_1+n_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $c=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $a$ અને $b$ બંનેને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા શોધીએ છીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(1-1) = \hat{i} - \hat{j}$.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $n = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{|\hat{i} - \hat{j}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ $n$ નો સદિશ $c$ પરના પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $|n \cdot \hat{c}|$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\hat{c} = \frac{c}{|c|}$.
$|c| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $= \left| \left( \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}} \right) \right| = \left| \frac{\pm(2 - 3)}{\sqrt{2}\sqrt{29}} \right| = \left| \frac{-1}{\sqrt{58}} \right| = \frac{1}{\sqrt{58}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,-1,5)$,$B(1,-3,4)$ અને $C(5,2,1)$ છે.
આ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
યામો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y+1 & z-5 \\ -1 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(8+3) - (y+1)(4+3) + (z-5)(-3+6) = 0$
$11(x-2) - 7(y+1) + 3(z-5) = 0$
$11x - 22 - 7y - 7 + 3z - 15 = 0$
$11x - 7y + 3z - 44 = 0$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 11\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
દિકગુણોત્તર $(11, -7, 3)$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{11^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{11}{\sqrt{179}}, \frac{-7}{\sqrt{179}}, \frac{3}{\sqrt{179}}$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ છે. પ્રથમ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(1+2\lambda, 2+3\lambda, -1+4\lambda)$ છે અને બીજી રેખા પરના યામ $(-1+\mu, -3+2\mu, 7-\mu)$ છે.
યામને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1+2\lambda = -1+\mu \implies 2\lambda - \mu = -2$ ... $(i)$
$2+3\lambda = -3+2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = -5$ ... $(ii)$
$-1+4\lambda = 7-\mu \implies 4\lambda + \mu = 8$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2\lambda - \mu) + (4\lambda + \mu) = -2 + 8$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$2(1) - \mu = -2 \implies \mu = 4$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(ii)$ માં ચકાસતા:
$3(1) - 2(4) = 3 - 8 = -5$,જે સાચું છે.
પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + 1(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુ $3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{2}|a-b|=\sin(\lambda \theta)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{4}|a-b|^2 = \sin^2(\lambda \theta)$.
$a$ અને $b$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|a|=1$ અને $|b|=1$.
$|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2|a||b|\cos \theta = 2 - 2\cos \theta$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{4}(2 - 2\cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2}(2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \sin^2(\lambda \theta)$.
દલીલોની સરખામણી કરતા,$\lambda \theta = \frac{\theta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4\lambda^2 = 4(\frac{1}{2})^2 = 4(\frac{1}{4}) = 1$.

(A) બે વિષમતલીય રેખાઓ $r=a+tb$ અને $r=c+sd$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $\text{લઘુત્તમ અંતર} = \left| \frac{(c-a) \cdot (b \times d)}{|b \times d|} \right|$ છે.
આપેલ રેખાઓ $r=(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ અને $r=(-4 \hat{i}-\hat{k})+s(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ છે.
અહીં,$a=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$b=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$c=-4 \hat{i}-\hat{k}$,અને $d=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$c-a = (-4 \hat{i}-\hat{k}) - (6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = -10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $b \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+4) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(-2+6) = 8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b \times d| = \sqrt{8^2+8^2+4^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $(c-a) \cdot (b \times d) = (-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) = -80 - 16 - 12 = -108$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $\left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ મળે.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે.
રેખાઓ સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી હોવાથી,આ બિંદુ બીજી રેખાના સમીકરણ $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ નું સમાધાન કરશે.
યામોને બીજી રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2\lambda+1-3}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2} = \frac{4\lambda+1}{1}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને સરખાવતા:
$2\lambda-2 = 4\lambda+1
\Rightarrow -3 = 2\lambda
\Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,પ્રથમ અને બીજા ભાગને સરખાવતા:
$\frac{2\lambda-2}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ મૂકતા:
$2(-\frac{3}{2})-2 = \frac{3(-\frac{3}{2})-1-k}{2}
\Rightarrow -3-2 = \frac{-\frac{9}{2}-1-k}{2}
\Rightarrow -5 = \frac{-\frac{11}{2}-k}{2}
\Rightarrow -10 = -\frac{11}{2}-k
\Rightarrow k = -\frac{11}{2} + 10 = \frac{9}{2}$.

(C) બિંદુ $(1, 2, -1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ છે.
સમતલ એ $r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ ની છેદરેખાને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(12+1) = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (-2, 7, 13)$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $-2(x-1) + 7(y-2) + 13(z+1) = 0$.
$-2x + 2 + 7y - 14 + 13z + 13 = 0$.
$-2x + 7y + 13z + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - 7y - 13z = 1$ થાય છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને રેખા $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ એ રેખા પરના બિંદુના સ્થાન સદિશ,રેખાની દિશા અને સામાન્ય સદિશ $r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ ના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમીકરણ $(r - 0) \cdot [(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})] = 0$ થશે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = -7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (-7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $r \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ થાય છે.
આ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x + y + z = 0$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) $a=2, b=3, c=4$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ છે. $12$ વડે ગુણતા,આપણને $6x + 4y + 3z = 12$ મળે છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (6, 4, 3)$ છે.
બીજું સમતલ બિંદુઓ $B(1, 2, 3)$ અને $C(-2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાને લંબ છે. રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(-2-1, 3-2, 4-3) = (-3, 1, 1)$ છે. સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,બીજા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (-3, 1, 1)$ થશે.
બિંદુ $(-1, 6, 2)$ માંથી પસાર થતા બીજા સમતલનું સમીકરણ $-3(x+1) + 1(y-6) + 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-3x + y + z - 11 = 0$ થાય છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (4)(1) + (3)(1) = -18 + 4 + 3 = -11$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-11|}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{11}{61}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{11}{61}}$.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = -5\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) + \mu(\vec{c} - \vec{a})$ છે.
પ્રથમ,દિશા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{b} - \vec{a} = (-5\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (-3\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \lambda(-\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k})$.
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} + (-2 - 3\lambda + 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$.
આને $\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} - (2 + 3\lambda - 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(-2,1,3), B(1,1,1), C(2,3,4)$ છે.
સમતલ પરના સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$:
$\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$
બિંદુ $A(-2,1,3)$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$4(x + 2) - 11(y - 1) + 6(z - 3) = 0$
$4x - 11y + 6z + 1 = 0$
અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = p$ માં ફેરવવા માટે,$\sqrt{4^2 + (-11)^2 + 6^2} = \sqrt{173}$ વડે ભાગતા:
$-4x + 11y - 6z = 1$
$\left(\frac{-4}{\sqrt{173}}\right)x + \left(\frac{11}{\sqrt{173}}\right)y + \left(\frac{-6}{\sqrt{173}}\right)z = \frac{1}{\sqrt{173}}$.

(C) બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 3, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{1} = r$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, 3r - 1, r + 1)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $3x + 4y + 5z + 19 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3(2r + 1) + 4(3r - 1) + 5(r + 1) + 19 = 0$
$6r + 3 + 12r - 4 + 5r + 5 + 19 = 0$
$23r + 23 = 0$
$r = -1$
છેદબિંદુ $(2(-1) + 1, 3(-1) - 1, -1 + 1) = (-1, -4, 0)$ છે.
બિંદુઓ $(1, -1, 1)$ અને $(-1, -4, 0)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-4 - (-1))^2 + (0 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$
$d = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

(A) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $\pi_1 = x+3y-6=0$ અને $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ છે.
છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ છે.
$(x+3y-6)+\lambda(3x-y+4z) = 0$
$(1+3\lambda)x + (3-\lambda)y + 4\lambda z - 6 = 0$ ... $(i)$
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $(i)$ નું લંબ અંતર $1$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|-6|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (4\lambda)^2}} = 1$
$36 = (1+9\lambda^2+6\lambda) + (9+\lambda^2-6\lambda) + 16\lambda^2$
$36 = 26\lambda^2 + 10$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ માટે,સમીકરણ $(1+3)x + (3-1)y + 4(1)z - 6 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+2y+4z-6=0$ અથવા $2x+y+2z-3=0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે: $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = 60^{\circ}$.
સદિશ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ એ સરવાળો $7$ મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ સરવાળો $11$ મળવાની ઘટના છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સરવાળો $7$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
સરવાળો $11$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ અને $P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ છે.
$B$ પહેલા $A$ આવે તેની સંભાવના અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{P(A)}{1 - P(\text{neither } A \text{ nor } B)} = \frac{1/6}{1 - (1 - 1/6 - 1/18)} = \frac{1/6}{4/18} = \frac{1/6}{2/9} = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $A$ દ્વારા ફેંકવામાં આવેલા બે પાસાનો સરવાળો $S_A$ છે અને $B$ દ્વારા ફેંકવામાં આવેલા બે પાસાનો સરવાળો $S_B$ છે.
બે પાસાનો સરવાળો બેકી સંખ્યા હોવા માટે,બંને પાસા પર કાં તો બંને બેકી સંખ્યાઓ અથવા બંને એકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.
એક વ્યક્તિ માટે બેકી સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $P(\text{even}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ અને $B$ એકસાથે અને સ્વતંત્ર રીતે પાસા ફેંકતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં બંનેનો સરવાળો બેકી મળે તેની સંભાવના $P(A_{\text{even}} \cap B_{\text{even}}) = P(A_{\text{even}}) \times P(B_{\text{even}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ આ પ્રયોગ $100$ વખત કરે છે,તેથી તમામ $100$ ફેંકમાં બંનેનો સરવાળો બેકી મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{4}\right)^{100}$ છે.

(C) Given $P(E_1) = \frac{1}{8}$,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{3}$,and $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4}$.
Using the definition of conditional probability,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_2 \mid E_1) \times P(E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Then,$P(E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1 \mid E_2)} = \frac{1/32}{1/3} = \frac{3}{32}$. (Matches $IV$)
Now,$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} \frac{3}{32} - \frac{1}{32} = \frac{4 3-1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$. (Matches $III$)
We know $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{3}{32} = \frac{29}{32}$.
Also,$P(E_1 \cap \bar{E}_2) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$.
Thus,$P(E_1 \mid \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{3/32}{29/32} = \frac{3}{29}$. (Matches $I$)
Finally,$P(\bar{E}_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - P(E_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - \frac{3}{29} = \frac{26}{29}$. (Matches $II$)
The correct matching is $A-III, B-IV, C-I, D-II$.

(C) ધારો કે $n-1$ અયોગ્ય સિક્કા છે (બંને બાજુ છાપ) અને $2n - (n-1) = n+1$ યોગ્ય સિક્કા છે.
કુલ સિક્કા = $2n$.
અયોગ્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n-1}{2n}$ છે અને યોગ્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n+1}{2n}$ છે.
છાપ આવવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(H) = P(H|\text{અયોગ્ય})P(\text{અયોગ્ય}) + P(H|\text{યોગ્ય})P(\text{યોગ્ય})$
$\frac{41}{56} = (1) \times \frac{n-1}{2n} + (\frac{1}{2}) \times \frac{n+1}{2n}$
$\frac{41}{56} = \frac{2(n-1) + (n+1)}{4n}$
$\frac{41}{56} = \frac{3n-1}{4n}$
$41 \times 4n = 56 \times (3n-1)$
$164n = 168n - 56$
$4n = 56 \Rightarrow n = 14$.
અયોગ્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $n-1 = 14-1 = 13$ છે.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
થેલી $B$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_2) = \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
થેલી $C$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$.
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}$.
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{15} = \frac{9 + 5 + 6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પરબિડીયું '$LONDON$' માંથી આવ્યું છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે તે '$CLIFTON$' માંથી આવ્યું છે. સમાન સંભાવના ધારતા,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
'$LONDON$' ($6$ અક્ષરો) માં,$5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: '$LO$','$ON$','$ND$','$DO$','$ON$'. '$ON$' જોડી $2$ વાર દેખાય છે. તેથી,$P(A|E_1) = \frac{2}{5}$.
'$CLIFTON$' ($7$ અક્ષરો) માં,$6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: '$CL$','$LI$','$IF$','$FT$','$TO$','$ON$'. '$ON$' જોડી $1$ વાર દેખાય છે. તેથી,$P(A|E_2) = \frac{1}{6}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,'$ON$' દેખાય છે તે શરતે તે '$LONDON$' માંથી આવ્યું હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ ગણમાંથી અનુક્રમે $x$ અને $y$ સંખ્યાઓ પસંદ કરે છે. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
$x < y$ હોય તેવી પસંદગીઓની સંખ્યા $n$ માંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો જેટલી છે,જે $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
આપેલ સંભાવના $P(x < y) = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n} = \frac{1009}{2019}$ છે.
$n$ માટે ઉકેલતા: $2019(n-1) = 2018n \Rightarrow 2019n - 2019 = 2018n \Rightarrow n = 2019$.
હવે,આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે $y = x + 1$ હોય. $y = x + 1$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ $(1, 2), (2, 3), \ldots, (n-1, n)$ છે. આવી કુલ $n-1$ જોડીઓ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{n-1}{n^2} = \frac{2019-1}{(2019)^2} = \frac{2018}{(2019)^2}$ થાય.

(B) ધારો કે બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે,$P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B') = \frac{3}{10}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી તેમના પૂરક $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
ઘટના $B$ બનવાની સંભાવના $P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ મળે છે.
ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
બેમાંથી માત્ર એક જ ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(A)P(B') + P(A')P(B)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{10} + \frac{3}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{6}{50} + \frac{21}{50} = \frac{27}{50}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે કાળીનું પત્તું ખેંચાય છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે કાળીનું પત્તું ખેંચાતું નથી. તેથી $P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે સમાન રંગના બે દડા ખેંચાય છે.
થેલી $A$ માટે ($6$ લીલા,$8$ લાલ,કુલ $14$): $P(S|E_1) = \frac{{}^6C_2 + {}^8C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{15 + 28}{91} = \frac{43}{91}$.
થેલી $B$ માટે ($9$ લીલા,$5$ લાલ,કુલ $14$): $P(S|E_2) = \frac{{}^9C_2 + {}^5C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{36 + 10}{91} = \frac{46}{91}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડા સમાન રંગના હોય તો તે થેલી $A$ માંથી ખેંચાયા હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|S) = \frac{P(E_1)P(S|E_1)}{P(E_1)P(S|E_1) + P(E_2)P(S|E_2)}$
$P(E_1|S) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91}}{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91} + \frac{3}{4} \times \frac{46}{91}} = \frac{43}{43 + 3 \times 46} = \frac{43}{43 + 138} = \frac{43}{181}$.

(A) ધારો કે $G$ એ પસંદ કરેલ દડો લીલો હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $A, B, C$ એ અનુક્રમે બોક્સ $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
બોક્સ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{6}$
દરેક બોક્સમાંથી લીલો દડો પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(G|A) = \frac{2}{1+2+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(G|B) = \frac{3}{2+3+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(G|C) = \frac{1}{3+1+2} = \frac{1}{6}$
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(G)$ છે:
$P(G) = P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C)$
$P(G) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6})$
$P(G) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{6+6+1}{36} = \frac{13}{36}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,લીલો દડો બોક્સ $C$ માંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના $P(C|G)$ છે:
$P(C|G) = \frac{P(C)P(G|C)}{P(G)}$
$P(C|G) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{13}$

(D) ધારો કે $H_1, H_2, H_3$ એ અનુક્રમે કાર્ટન $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કાર્ટન યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $D$ એ ખામીયુક્ત રમકડું પસંદ કરવાની ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાઓ $P(D|H_1) = \frac{1}{3}, P(D|H_2) = \frac{1}{4}, P(D|H_3) = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો રમકડું ખામીયુક્ત હોય તો તે કાર્ટન $B$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(H_2|D) = \frac{P(H_2)P(D|H_2)}{P(H_1)P(D|H_1) + P(H_2)P(D|H_2) + P(H_3)P(D|H_3)}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{2}{15}}$
છેદ માટે લસાઅ $LCM(9, 12, 15) = 180$ લેતા:
$P(H_2|D) = \frac{1/12}{(20+15+24)/180} = \frac{1/12}{59/180} = \frac{1}{12} \times \frac{180}{59} = \frac{15}{59}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. ધારો કે $R$ એ બે દડા લાલ હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
થેલી $A$ માંથી $2$ લાલ દડા કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_1) = \frac{^nC_2}{^{n+2}C_2} = \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$ છે.
થેલી $B$ માંથી $2$ લાલ દડા કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_2) = \frac{^2C_2}{^{n+2}C_2} = \frac{1 \times 2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|R) = \frac{P(E_1)P(R|E_1)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)} = \frac{6}{7}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(n+2)(n+1)}} = \frac{6}{7}$.
$\frac{n(n-1)}{n(n-1) + 2} = \frac{6}{7}$.
$7(n^2 - n) = 6(n^2 - n + 2)$.
$7n^2 - 7n = 6n^2 - 6n + 12$.
$n^2 - n - 12 = 0$.
$(n-4)(n+3) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 4$ મળે છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પેટી $B_1$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ પેટી $B_2$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. પેટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $R$ એ પસંદ કરેલ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
$B_1$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_1) = \frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ છે.
$B_2$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_2) = \frac{n}{n+8}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો $B_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$p = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}} = \frac{\frac{n}{n+8}}{\frac{2}{3} + \frac{n}{n+8}} = \frac{3n}{2(n+8) + 3n} = \frac{3n}{5n+16}$.
અહીં $n \in N$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે. $n=1$ માટે,$p = \frac{3(1)}{5(1)+16} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $p = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{5n+16} = \frac{3}{5}$.
આમ,$p$ ની કિંમતનો વિસ્તાર $\frac{1}{7} \leq p < \frac{3}{5}$ છે.

(B) કુલ રમકડાં = $30$. સફેદ રમકડાં = $10$. વાદળી રમકડાં = $30 - 10 = 20$.
સફેદ રમકડું પસંદ કરવાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
વાદળી રમકડું પસંદ કરવાની સંભાવના $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
રમકડાં પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{3}$.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ સફેદ રમકડાં મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$.
$P(X=0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$.
$P(X=1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$.
$P(X=2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.
$P(X \le 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{64}{81} = (\frac{8}{9})^2$ મળે છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે આપેલ સંભાવના વિતરણ:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline P(X=x_i) & 0.2 & 0.3 & 0.12 & 0.1 & 0.2 & 0.08 \\\hline \end{array}$
અહીં ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નીચે મુજબ છે:
$A = \{x_i \mid x_i \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5\}$
$B = \{x_i \mid x_i < 4\} = \{1, 2, 3\}$
આ બે ઘટનાઓનો યોગગણ $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $P(A \cup B)$ એ આ વ્યક્તિગત પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(A \cup B) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.3 + 0.12 + 0.2 = 0.82$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=k)=c k^2$ છે,જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે અને $k \in\{0,1,2,3,4\}$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{k=0}^{4} P(X=k) = 1$.
$c(0^2) + c(1^2) + c(2^2) + c(3^2) + c(4^2) = 1$
$c(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$30c = 1 \implies c = \frac{1}{30}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,જ્યાં $\mu = E(X)$ છે.
તેથી,$\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 P(X=k) = \sum_{k=0}^{4} k^2 (c k^2) = c \sum_{k=0}^{4} k^4$.
$E(X^2) = c(0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4) = c(0 + 1 + 16 + 81 + 256) = 354c$.
$c = \frac{1}{30}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sigma^2 + \mu^2 = 354 \times \frac{1}{30} = \frac{354}{30} = 11.8$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ માહિતી મુજબ,કુલ પાનાંની સંખ્યા $250$ છે અને કુલ ભૂલોની સંખ્યા $200$ છે.
પ્રતિ પાનું ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$.
પોઈસન સંભાવના વિતરણનું સૂત્ર $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે.
એક પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય $(x=0)$ તેની સંભાવના:
$P(X=0) = \frac{e^{-0.8} (0.8)^0}{0!} = e^{-0.8} = e^{-4/5}$.
$5$ પાનાંના યાદચ્છિક નમૂના માટે,કોઈ પણ પાનામાં ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના:
$P = (P(X=0))^5 = (e^{-4/5})^5 = e^{-4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$X$ નું સંભાવના વિતરણ $P(X=0)=3C^3$,$P(X=2)=5C-10C^2$,અને $P(X=4)=4C-1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય,તેથી $\Sigma P(X)=1$.
$3C^3 + (5C-10C^2) + (4C-1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(C-1)(3C^2-7C+2) = 0$
$(C-1)(3C-1)(C-2) = 0$
આથી $C = 1, \frac{1}{3}, 2$ મળે.
સંભાવના $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $C=\frac{1}{3}$ લેતા.
$C=\frac{1}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$P(X=0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$
$P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}$
$P(X=4) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3}$
મધ્યક $E(X) = \Sigma X P(X) = (0 \times \frac{1}{9}) + (2 \times \frac{5}{9}) + (4 \times \frac{1}{3}) = \frac{22}{9}$.
વર્ગોનો મધ્યક $E(X^2) = \Sigma X^2 P(X) = (0^2 \times \frac{1}{9}) + (2^2 \times \frac{5}{9}) + (4^2 \times \frac{1}{3}) = \frac{68}{9}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{68}{9} - (\frac{22}{9})^2 = \frac{612-484}{81} = \frac{128}{81}$.