AP EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) प्रत्येक गोले का व्यास $D = 2\sqrt{3} \text{ m}$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \sqrt{3} \text{ m}$ है।
तीनों गोलों के केंद्र $a = 2R = 2\sqrt{3} \text{ m}$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
मान लीजिए केंद्रों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(2\sqrt{3}, 0)$,और $C(\sqrt{3}, 3)$ हैं।
तीन समान गोलों के द्रव्यमान केंद्र $(X_{CM}, Y_{CM})$ के लिए:
$X_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3}) + m(\sqrt{3})}{3m} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y_{CM} = \frac{m(0) + m(0) + m(3)}{3m} = \frac{3}{3} = 1 \text{ m}$
अतः,प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $C_{CM} = (\sqrt{3}, 1)$ है।
यदि गोले $C$ को हटा दिया जाए,तो शेष दो गोलों $A$ और $B$ का नया द्रव्यमान केंद्र $(X'_{CM}, Y'_{CM})$ होगा:
$X'_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3})}{2m} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y'_{CM} = \frac{m(0) + m(0)}{2m} = 0 \text{ m}$
अतः,नया द्रव्यमान केंद्र $C'_{CM} = (\sqrt{3}, 0)$ है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 + (1 - 0)^2} = 1 \text{ m}$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(B) माना द्रव्यमान $m_P = 3m$,$m_R = 2m$,और $m_Q = 3m$ हैं। कण $R$,$v$ वेग से $Q$ की ओर गति करता है।
$1$. $R$ और $Q$ के बीच पहली टक्कर:
टक्कर के बाद वेग के लिए प्रत्यास्थ टक्कर का सूत्र उपयोग करने पर: $v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2}$ और $v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2}$.
$R$ और $Q$ के लिए $(m_R=2m, m_Q=3m)$: $v_R' = \frac{(2m-3m)v + 0}{2m+3m} = -v/5$ और $v_Q' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)v}{2m+3m} = 4v/5$.
$2$. अब $R$,$-v/5$ वेग से $P$ $(m_P=3m)$ की ओर गति करता है:
$R$ और $P$ के लिए $(m_R=2m, m_P=3m)$: $v_R'' = \frac{(2m-3m)(-v/5) + 0}{2m+3m} = v/25$ और $v_P'' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)(-v/5)}{2m+3m} = -4v/25$.
चूंकि $v_R''$ धनात्मक है और $v_Q'$ भी धनात्मक है $(4v/5 > v/25)$,इसलिए $R$ कभी भी $Q$ को दोबारा नहीं पकड़ पाएगा। साथ ही,$P$ ऋणात्मक दिशा में गति करता है,इसलिए आगे कोई टक्कर नहीं होगी।
कुल टक्कर = $3$।

(C) मान लीजिए कि दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में,वस्तु $A$ का संवेग $P$ है,इसलिए इसका वेग $v_A = P/m$ है। वस्तु $B$ स्थिर है,इसलिए $v_B = 0$ है।
टक्कर के दौरान,वस्तु $A$,वस्तु $B$ पर $J$ आवेग लगाती है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,वस्तु $B$,वस्तु $A$ पर समान और विपरीत दिशा में $J$ आवेग लगाती है।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया आवेग,$A$ द्वारा $B$ पर लगाए गए आवेग के परिमाण में बराबर होता है।
टक्कर के बाद,$B$ का संवेग $P_B = J$ हो जाता है,इसलिए इसका वेग $v_B' = J/m$ है।
$A$ का संवेग $P_A' = P - J$ हो जाता है,इसलिए इसका वेग $v_A' = (P - J)/m$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_B' - v_A'}{v_A - v_B} = \frac{\frac{J}{m} - \frac{P-J}{m}}{\frac{P}{m} - 0} = \frac{2J - P}{P} = \frac{2J}{P} - 1$.
अतः,कथन $(c)$ भी सही है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) यहाँ, वस्तु का द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ है।
आवेग संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित है: $\text{Impulse} = \Delta p = p_f - p_i = m(v_f - v_i)$.
स्थिति-समय ग्राफ से, वेग $x-t$ ग्राफ का ढाल है $(v = \frac{dx}{dt})$।
$t < 4 \, s$ के लिए, वेग $v_i$, $(0,0)$ से $(4,3)$ तक की रेखा का ढाल है:
$v_i = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75 \, m/s$.
$t > 4 \, s$ के लिए, वेग $v_f$, क्षैतिज रेखा का ढाल है:
$v_f = 0 \, m/s$.
इसलिए, $t = 4 \, s$ पर आवेग है:
$\text{Impulse} = m(v_f - v_i) = 2 \, kg \times (0 - 0.75 \, m/s) = -1.5 \, kg \cdot m/s$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

$(A)$ दिया गया है: $m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg$, $v_1 = 12 \,ms^{-1}, v_2 = 8 \,ms^{-1}$, और $v_3 = 4 \,ms^{-1}$।
चूंकि चट्टान शुरू में स्थिर है, प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए:
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \Rightarrow \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$।
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण इस प्रकार है:
$p_3 = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 p_2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2}$।
मान रखने पर:
$p_3 = \sqrt{(1 \times 12)^2 + (2 \times 8)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,kg \cdot ms^{-1}$।
चूंकि $p_3 = m_3 v_3$, इसलिए $m_3 \times 4 = 20$, जिससे $m_3 = 5 \,kg$ प्राप्त होता है।
चट्टान का कुल द्रव्यमान $m = m_1 + m_2 + m_3 = 1 + 2 + 5 = 8 \,kg$ है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए ब्लॉकों का त्वरण $a$ है। $60^{\circ}$ के ढलान पर स्थित ब्लॉक के लिए ढलान की दिशा में बल का समीकरण $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ है और $30^{\circ}$ के ढलान पर स्थित ब्लॉक के लिए $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$.
$a = \frac{g}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$.
दोनों ब्लॉकों के लिए त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{CM} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
$\vec{a}_{CM} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$a = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$ मान रखने पर:
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) पृष्ठ तनाव के कारण साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_i = \frac{4S}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बुलबुले को आवेशित किया जाता है,तो इसकी सतह पर बाहर की ओर एक स्थिर-विद्युत दबाव लगता है,जो $p_e = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ है,जहाँ $\sigma$ सतह आवेश घनत्व है।
आवेशित गोलाकार बुलबुले का विद्युत विभव $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ होता है। चूँकि $Q = \sigma(4\pi r^2)$,इसलिए $V = \frac{\sigma r}{\varepsilon_0}$,जिसका अर्थ है $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{r}$।
स्थिर-विद्युत दबाव के सूत्र में $\sigma$ का मान रखने पर: $p_e = \frac{(\varepsilon_0 V / r)^2}{2\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$।
बुलबुले के अंदर का दबाव बाहर के दबाव के बराबर होने के लिए,पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव को स्थिर-विद्युत दबाव द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए: $\frac{4S}{r} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$।
$V$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{8Sr}{\varepsilon_0} \Rightarrow V = \sqrt{\frac{8Sr}{\varepsilon_0}}$।

(B) मान लीजिए कि दो द्रव्यमान $m_1 = 90 \ kg$ बिंदु $A$ पर और $m_2 = 160 \ kg$ बिंदु $B$ पर हैं। बिंदु $C$,$A$ से $r_1 = 3 \ m$ और $B$ से $r_2 = 4 \ m$ की दूरी पर है। $A$ और $B$ के बीच की दूरी $5 \ m$ है।
चूंकि $3^2 + 4^2 = 5^2$,इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $C$ पर है।
द्रव्यमान $m_1$ के कारण $C$ पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E_A = \frac{G m_1}{r_1^2} = \frac{G \times 90}{3^2} = 10G$ है।
द्रव्यमान $m_2$ के कारण $C$ पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E_B = \frac{G m_2}{r_2^2} = \frac{G \times 160}{4^2} = 10G$ है।
चूंकि $E_A$ और $E_B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए परिणामी तीव्रता $E$ इस प्रकार होगी:
$E = \sqrt{E_A^2 + E_B^2} = \sqrt{(10G)^2 + (10G)^2} = 10G\sqrt{2}$.
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2 \ kg^{-2}$ का मान रखने पर:
$E = 10 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.414 \approx 9.43 \times 10^{-10} \ N \ kg^{-1}$.

(B) प्रारंभ में,पिंड अनंत दूरी पर हैं,इसलिए उनकी कुल ऊर्जा $0$ है। जब वे $r$ दूरी पर होते हैं,तो कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है: $E = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{Gm_1m_2}{r} = 0$। चूंकि निकाय विलगित है,द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है,इसलिए $m_1v_1 = m_2v_2$। ऊर्जा समीकरण में $v_2 = \frac{m_1v_1}{m_2}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2(\frac{m_1v_1}{m_2})^2 = \frac{Gm_1m_2}{r}$। सरल करने पर,$\frac{1}{2}m_1v_1^2(1 + \frac{m_1}{m_2}) = \frac{Gm_1m_2}{r}$,जिससे $v_1 = \sqrt{\frac{2Gm_2^2}{r(m_1+m_2)}}$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार,$v_2 = \sqrt{\frac{2Gm_1^2}{r(m_1+m_2)}}$। सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2G}{r(m_1+m_2)}} (m_1 + m_2) = \sqrt{\frac{2G(m_1+m_2)}{r}}$।

(C) दिया गया है कि पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \ km/s$ है।
ऊँचाई $h = \frac{R_e}{3}$ पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + \frac{R_e}{3} = \frac{4R_e}{3}$ है।
इस बिंदु से पलायन करने के लिए,रॉकेट की गतिज ऊर्जा उस दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{1}{2}mv_{e1}^2 = \frac{GM_em}{r} = \frac{GM_em}{4R_e/3} = \frac{3GM_em}{4R_e}$.
चूँकि $v_e^2 = \frac{2GM_e}{R_e}$,इसलिए $\frac{GM_e}{R_e} = \frac{v_e^2}{2}$ है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}v_{e1}^2 = \frac{3}{4} \left(\frac{v_e^2}{2}\right) = \frac{3}{8}v_e^2$.
$v_{e1}^2 = \frac{3}{4}v_e^2 \Rightarrow v_{e1} = \frac{\sqrt{3}}{2}v_e$.
चूँकि $v_e = 11.2 \ km/s$ दिया गया है,$v_{e1} = \frac{1.732}{2} \times 11.2 = 0.866 \times 11.2 \approx 9.7 \ km/s$।

(B) दिया गया है,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$,द्रव्यमान $m = 2 \text{ kg}$,और विस्थापन सदिश $r = (12 \hat{i} + 15 \hat{j}) \text{ m}$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = \int F \cdot dr = \int (mE) \cdot dr$ है।
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -W = -m \int E \cdot dr$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\Delta U = -2 \int_{(0,0)}^{(12,15)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = -2 \left[ \int_0^{12} 5 dx + \int_0^{15} 12 dy \right]$
$\Delta U = -2 [5(12 - 0) + 12(15 - 0)]$
$\Delta U = -2 [60 + 180]$
$\Delta U = -2 [240] = -480 \text{ J}$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $-480 \text{ J}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
$L = mvr \sin \phi$,जहाँ $\phi$ वेग सदिश और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण है।
कोणीय संवेग संरक्षण के अनुसार: $m v_A r_A \sin \phi_A = m v_B r_B \sin \phi_B$
यहाँ $r_A = 90 \times 10^6 \text{ km}$,$r_B = 60 \times 10^6 \text{ km}$,$\phi_A = 30^{\circ}$,और $\phi_B = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} \times \frac{\sin \phi_B}{\sin \phi_A}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{60 \times 10^6}{90 \times 10^6} \times \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_0 = \frac{G M_e m}{R^2}$ होता है।
$h$ ऊँचाई पर बल $F_h = \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$ होता है।
वजन में त्रुटि बलों का अंतर है: $\Delta F = F_0 - F_h = \frac{G M_e m}{R^2} - \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$.
$\Delta F = \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 + \frac{h}{R})^{-2} \right]$.
द्विपद विस्तार $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए,जब $h \ll R$ हो,तो $(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta F \approx \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 - \frac{2h}{R}) \right] = \frac{G M_e m}{R^2} \left( \frac{2h}{R} \right) = \frac{2 G M_e m h}{R^3}$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M_e}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ है,इसलिए $M_e = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta F = \frac{2 G m h}{R^3} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{8}{3} \pi \rho G m h$.

(A) दिया गया है: $n_{He} = 2$ मोल, $n_{H_2} = 2$ मोल, $T = \frac{972}{5} \,K$, $R = \frac{25}{3} \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
$1$. मिश्रण का मोलर द्रव्यमान $(M_{mix})$ ज्ञात करें:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 4 + 2 \times 2}{2 + 2} = \frac{8 + 4}{4} = 3 \,g/mol = 3 \times 10^{-3} \,kg/mol$.
$2$. मिश्रण का एडियाबेटिक इंडेक्स $(\gamma_{mix})$ ज्ञात करें:
हीलियम (एकपरमाणुक) के लिए, $f_1 = 3$. हाइड्रोजन (द्विपरमाणुक) के लिए, $f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + 2 \times 5}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}} = 1 + \frac{2}{4} = 1.5$.
$3$. ध्वनि की गति $(v)$ ज्ञात करें:
$v = \sqrt{\frac{\gamma_{mix} R T}{M_{mix}}} = \sqrt{\frac{1.5 \times \frac{25}{3} \times \frac{972}{5}}{3 \times 10^{-3}}} = 900 \,m/s$.
दिया गया है कि $v = n \times 100 \,m/s$, इसलिए $n = 9$.

(B) एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,मोलों की संख्या $n = 1$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ है।
$p-V$ आरेख से,बिंदु $A(V_0, 3p_0)$ और $B(5V_0, 6p_0)$ हैं।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$A$ और $B$ पर तापमान:
$T_A = \frac{p_A V_A}{nR} = \frac{(3p_0)(V_0)}{1 \cdot R} = \frac{3p_0 V_0}{R}$
$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = \frac{(6p_0)(5V_0)}{1 \cdot R} = \frac{30p_0 V_0}{R}$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_B - T_A = \frac{30p_0 V_0}{R} - \frac{3p_0 V_0}{R} = \frac{27p_0 V_0}{R}$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \cdot \left(\frac{3}{2} R\right) \cdot \left(\frac{27p_0 V_0}{R}\right) = \frac{81}{2} p_0 V_0$ है।
किया गया कार्य $W$,$p-V$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है:
$W = \frac{1}{2} (p_A + p_B) (V_B - V_A) = \frac{1}{2} (3p_0 + 6p_0) (5V_0 - V_0) = \frac{1}{2} (9p_0) (4V_0) = 18p_0 V_0$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$:
$Q = \frac{81}{2} p_0 V_0 + 18 p_0 V_0 = \frac{81 + 36}{2} p_0 V_0 = \frac{117}{2} p_0 V_0$ है।
चूंकि $Q = n C \Delta T$,जहाँ $n = 1$:
$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{117/2 \cdot p_0 V_0}{27 p_0 V_0 / R} = \frac{117}{2} \cdot \frac{R}{27} = \frac{117}{54} R = \frac{13}{6} R$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$,सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$,और रुद्धोष्म अनुपात $(\gamma)$ के बीच संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$।
$C_v$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$।
यह दिया गया है कि $\frac{R}{C_v} = 0.4$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $\gamma - 1 = 0.4$,जिससे $\gamma = 1.4$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 1.4$ का मान द्वि-परमाणुक गैस के लिए होता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dq}{dt} = -k(T - T_0)$।
पहली स्थिति में,हीटर तापमान को स्थिर रखता है,इसलिए दी गई शक्ति ऊष्मा हानि की दर के बराबर होती है: $P = k(T - T_0)$।
दिया गया है $P = 30 W$,$T = 57^{\circ} C$,और $T_0 = 27^{\circ} C$,अतः: $30 = k(57 - 27) \Rightarrow 30 = 30k \Rightarrow k = 1 W/K$।
जब हीटर बंद कर दिया जाता है,तो ऊष्मा हानि की दर $\frac{dq}{dt} = ms \frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ होती है।
यहाँ,$m = 250 g = 0.25 kg$,$T_{avg} = \frac{47 + 46.9}{2} = 46.95^{\circ} C$,$T_0 = 27^{\circ} C$,$\Delta T = 47 - 46.9 = 0.1^{\circ} C$,और $\Delta t = 10 s$।
इन मानों को रखने पर: $0.25 \times s \times \frac{0.1}{10} = 1 \times (46.95 - 27)$।
$0.25 \times s \times 0.01 = 19.95$।
$0.0025s = 19.95 \Rightarrow s = \frac{19.95}{0.0025} = 7980 J kg^{-1} K^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$s \approx 8000 J kg^{-1} K^{-1}$।

(C) दिया गया है: गैस का घनत्व,$\rho = \frac{1400}{1089} \ kg/m^3$,ध्वनि की गति,$v = 330 \ m/s$,और मानक स्थितियों में,गैस का दबाव,$P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$.
गैस में ध्वनि की गति का सूत्र: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \frac{\gamma P}{\rho} \implies \gamma = \frac{v^2 \rho}{P}$.
मान रखने पर: $\gamma = \frac{(330)^2 \times (1400/1089)}{10^5} = \frac{108900 \times 1400}{10^5 \times 1089} = 1.4$.
हम जानते हैं कि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$.
$\gamma = 1.4$ रखने पर: $1.4 = 1 + \frac{2}{f} \implies 0.4 = \frac{2}{f} \implies f = \frac{2}{0.4} = 5$.
अतः,स्वतंत्रता की कोटि $5$ है.

(D) दिया गया है,स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = 620 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = 420 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ है।
गैस का मोलर द्रव्यमान $M$,गैस नियतांक $R$ के साथ $M(C_p - C_v) = R$ संबंध द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर: $M(620 - 420) = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
$M(200) = 8.314 \implies M = \frac{8.314}{200} = 0.04157 \ kg \ mol^{-1}$।
$STP$ पर,दाब $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ और तापमान $T = 273.15 \ K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करने पर,घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ प्राप्त होता है।
$\rho = \frac{(1.013 \times 10^5) \times 0.04157}{8.314 \times 273.15} \approx 1.855 \ kg \ m^{-3}$।
निकटतम मान लेने पर,$\rho \approx 1.86 \ kg \ m^{-3}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} k T$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
दिया गया है,$E = 0.69 \ eV = 0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T = \frac{0.69 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{2.208 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 5333 \ K$
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए,हम $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$ का उपयोग करते हैं।
$T(^{\circ}C) = 5333 - 273 = 5060^{\circ} C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है: तापमान $T = 314 \,K$, दबाव $p = 100 \,kPa = 1.0 \times 10^5 \,Pa$, ध्वनि की गति $v = 1380 \,ms^{-1}$, और गैस अणु की त्रिज्या $r = 0.5 \,Å = 0.5 \times 10^{-10} \,m$. व्यास $d = 2r = 10^{-10} \,m$.
माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ है।
ध्वनि तरंग की आवृत्ति $\nu = \frac{v}{\lambda}$ है।
आवृत्ति के सूत्र में $\lambda$ का मान रखने पर, $\nu = \frac{v \sqrt{2} \pi d^2 p}{kT}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (10^{-10})^2 \times 1.0 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-20} \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-15}}{1.38 \times 314 \times 10^{-23}}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^8}{433.32} \approx 10 \times \sqrt{2} \times 10^8 \,Hz = \sqrt{2} \times 10^9 \,Hz = 1000 \sqrt{2} \,MHz$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि गैस के अणु की rms चाल केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करती है।
पात्र $A$ में,$O_2$ की rms चाल $v_1 = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$ है।
पात्र $C$ में,तापमान अभी भी $T$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2}$ ही रहता है। मिश्रण में अन्य गैसों (जैसे $N_2$) की उपस्थिति $O_2$ अणुओं की व्यक्तिगत rms चाल को प्रभावित नहीं करती है,क्योंकि मिश्रण में विभिन्न गैसों के अणु एक दिए गए तापमान पर अपनी गतिज ऊर्जा वितरण के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं।
इसलिए,पात्र $C$ में $O_2$ अणुओं की rms चाल पात्र $A$ के समान ही रहती है,जो कि $v_1$ है।

(B) प्रश्न के अनुसार, प्रणाली संतुलन में है। मान लीजिए कि द्रव्यमान $m$ से जुड़ी डोरी में तनाव $T$ है, और $1 \,kg$ द्रव्यमान से जुड़ी डोरी में तनाव $T_1$ है।
$1 \,kg$ द्रव्यमान के लिए, तनाव $T_1 = 1g$ होगा।
नत समतल पर रखे $2 \,kg$ द्रव्यमान के लिए, ढलान की दिशा में कार्य करने वाले बल इसके भार का घटक $2g \sin 30^{\circ}$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला तनाव $T_1$ हैं। ढलान की दिशा में कुल बल $(2g - T_1) \sin 30^{\circ}$ है (यह मानते हुए कि $2 \,kg$ द्रव्यमान को तनाव $T$ द्वारा ढलान पर ऊपर खींचा जा रहा है)।
प्रणाली के संतुलन में रहने के लिए, तनाव $T$ को ढलान की दिशा में कुल बल को संतुलित करना चाहिए:
$T = (2g - T_1) \sin 30^{\circ}$
$T_1 = 1g$ रखने पर:
$T = (2g - 1g) \sin 30^{\circ} = g \sin 30^{\circ} = g \times 0.5 = 0.5g$
द्रव्यमान $m$ के लिए, तनाव $T$ को इसके भार को संतुलित करना चाहिए:
$T = mg$
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$mg = 0.5g$
$m = 0.5 \,kg$

(D) ब्लॉक नत समतल $EC$ पर नीचे फिसलता है। ब्लॉक का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\sin \theta = 0.6$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.6)^2} = 0.8$.
मान रखने पर: $a = 10(0.6 - \frac{1}{8} \times 0.8) = 10(0.6 - 0.1) = 5 \text{ ms}^{-2}$.
नत समतल की लंबाई $EC = \frac{EB}{\sin \theta} = \frac{25/6}{0.6} = \frac{25}{3.6} = \frac{125}{18} \text{ m}$.
बिंदु $C$ पर वेग $v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \times 5 \times \frac{125}{18}} = \sqrt{\frac{1250}{18}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} \text{ ms}^{-1}$.
बिंदु $C$ पर,ब्लॉक प्रक्षेप्य गति करता है जिसका क्षैतिज वेग $v_x = v \cos \theta = \frac{25}{3} \times 0.8 = \frac{20}{3} \text{ ms}^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = -v \sin \theta = -\frac{25}{3} \times 0.6 = -5 \text{ ms}^{-1}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए $h = v_y t + \frac{1}{2}gt^2$ (नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर): $10 = 5t + 5t^2 \Rightarrow t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$. अतः,$t = 1 \text{ s}$.
क्षैतिज दूरी $DF = v_x t = \frac{20}{3} \times 1 = \frac{20}{3} \text{ m}$.

(A) ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए, लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
मुक्त निकाय आरेख $\text{(FBD)}$ से, अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = mg + F \sin 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि $m = \sqrt{3} \,kg$, $g = 10 \,ms^{-2}$, और $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$R = \sqrt{3} \times 10 + F \sin 60^{\circ} = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$.
सीमांत घर्षण बल $f = \mu R = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left( 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{10}{2} + \frac{F}{4} = 5 + \frac{F}{4}$.
लगाए गए बल का क्षैतिज घटक $F \cos 60^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{F}{2}$ है।
$F$ के अधिकतम मान के लिए क्षैतिज बल को सीमांत घर्षण के बराबर रखने पर:
$\frac{F}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \,N$.

(B) नत समतल के सापेक्ष ब्लॉक को स्थिर रखने के लिए,हम नत समतल के फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं। छद्म बल (pseudo-force) $ma$ पीछे की दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
नत समतल के समानांतर और लंबवत बलों को वियोजित करने पर:
$1$. समतल के लंबवत: $N = mg \cos \alpha + ma \sin \alpha$
$2$. समतल के समानांतर (सीमांत स्थिति): $mg \sin \alpha = ma \cos \alpha + f_s$,जहाँ $f_s = \mu N$ है।
समानांतर बल समीकरण में $f_s = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mg \sin \alpha = ma \cos \alpha + \mu(mg \cos \alpha + ma \sin \alpha)$
$\mu$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\mu = \frac{g \sin \alpha - a \cos \alpha}{g \cos \alpha + a \sin \alpha} = \frac{g \tan \alpha - a}{g + a \tan \alpha}$
दिया गया है $\tan \alpha = \frac{1}{5}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$,और $a = 2 \text{ ms}^{-2}$:
दी गई समाधान पद्धति के अनुसार: $\mu = \frac{10 + 2(5)}{10(5) - 2} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}$।

(D) माना कि ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 4 \,kg$ है। ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ है।
सबसे पहले,दोनों ब्लॉकों के बीच सीमांत घर्षण बल $f_L$ की गणना करें:
$f_L = \mu N = \mu m_1 g = 0.5 \times 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10 \,N$.
अब,$2 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। इस पर $2 \,N$ का क्षैतिज बल लगाया गया है। चूंकि लगाया गया बल $(2 \,N)$,सीमांत घर्षण $(10 \,N)$ से कम है,इसलिए $2 \,kg$ का ब्लॉक $4 \,kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष नहीं फिसलेगा।
इस स्थिर संतुलन की स्थिति में,$2 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल $f$,लगाए गए बाहरी बल को संतुलित करेगा ताकि वह $4 \,kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष स्थिर रहे।
अतः,$f = 2 \,N$.

(C) दिया गया है: $m_A=6 \,kg, m_B=3 \,kg, m_C=6 \,kg, m_D=1 \,kg$ और घर्षण गुणांक $\mu=0.2$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C + m_D = 6 + 3 + 6 + 1 = 16 \,kg$ है।
चालक बल ब्लॉक $C$ का भार $(m_C g)$ है, और विरोधी बल ब्लॉक $D$ का भार $(m_D g)$ तथा गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu(m_A + m_B)g$ हैं।
निकाय का त्वरण $a$ निम्न प्रकार है:
$a = \frac{m_C g - m_D g - \mu(m_A + m_B)g}{m_A + m_B + m_C + m_D}$
$a = \frac{6 \times 10 - 1 \times 10 - 0.2(6 + 3) \times 10}{16} = \frac{60 - 10 - 18}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,ms^{-2}$.
अब, ब्लॉक $D$ का मुक्त-पिंड आरेख $(FBD)$ देखें। डोरी $Q$ में तनाव $T_Q$ ऊपर की ओर कार्य करता है, और भार $m_D g$ नीचे की ओर कार्य करता है। चूंकि निकाय $C$ की दिशा में त्वरित हो रहा है, इसलिए ब्लॉक $D$ त्वरण $a$ के साथ ऊपर की ओर गति करता है:
$T_Q - m_D g = m_D a$
$T_Q = m_D(a + g) = 1 \times (2 + 10) = 12 \,N$.
अतः, डोरी $Q$ में तनाव $12 \,N$ है।

(D) दिया गया है:
बल $\vec{F} = (2.6 \hat{i} + 1.6 \hat{j}) \text{ N}$
द्रव्यमान $m = 2 \text{ kg}$
$t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $\vec{v}_0 = (3.6 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{(2.6 \hat{i} + 1.6 \hat{j})}{2} = (1.3 \hat{i} + 0.8 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$.
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v}(t) = (3.6 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) + (1.3 \hat{i} + 0.8 \hat{j})t$
$\vec{v}(t) = (3.6 + 1.3t) \hat{i} + (-4.8 + 0.8t) \hat{j}$.
वेग के केवल $x$-अक्ष के अनुदिश होने के लिए, वेग का $y$-घटक शून्य होना चाहिए:
$-4.8 + 0.8t = 0$
$0.8t = 4.8$
$t = \frac{4.8}{0.8} = 6 \text{ s}$.

(B) निकाय का सामान्य त्वरण इस प्रकार है:
$a = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) g = \left( \frac{1.5 - 0.5}{1.5 + 0.5} \right) g = \frac{1}{2} g = 5 \ m/s^2$.
जब ब्लॉक $A$ को $80 \ cm$ $(0.8 \ m)$ की ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो यह $a = 5 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है। जब ब्लॉक $A$ जमीन से टकराता है,तो ब्लॉकों का वेग $v$,$v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दिया जाता है:
$v^2 = 0 + 2(5)(0.8) = 8 \ (m/s)^2$.
इस क्षण पर,ब्लॉक $B$ जमीन से $80 \ cm$ की ऊंचाई पर है और इसका ऊपर की ओर वेग $v = \sqrt{8} \ m/s$ है।
ब्लॉक $A$ के जमीन से टकराने के बाद,डोरी ढीली हो जाती है और ब्लॉक $B$ गुरुत्वाकर्षण के तहत $g = 10 \ m/s^2$ के मंदन के साथ गति करता है।
ब्लॉक $B$ द्वारा तय की गई अतिरिक्त ऊंचाई $h$ ज्ञात करने के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_f^2 = v^2 - 2gh$
$0 = 8 - 2(10)h$
$h = \frac{8}{20} = 0.4 \ m = 40 \ cm$.
ब्लॉक $B$ द्वारा जमीन से प्राप्त अधिकतम ऊंचाई प्रारंभिक ऊंचाई और अतिरिक्त ऊंचाई का योग है:
$H_{max} = 80 \ cm + 40 \ cm = 120 \ cm$.

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $(M) = 48 \ kg$
रस्सी का रैखिक घनत्व $(\lambda) = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
रस्सी की लंबाई $(l) = 4 \ m$
अनुप्रयुक्त बल $(F) = 25 \ N$
रस्सी का द्रव्यमान $(m_s) = \lambda \times l = 0.5 \times 4 = 2 \ kg$
निकाय का कुल द्रव्यमान $(m_{total}) = M + m_s = 48 + 2 = 50 \ kg$
निकाय का कुल त्वरण $(a_{sys}) = \frac{F}{m_{total}} = \frac{25}{50} = 0.5 \ m \ s^{-2}$
मान लीजिए कि रस्सी के सिरे को ब्लॉक से जोड़ने वाले बिंदु पर तनाव $T$ है।
ब्लॉक के फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ से:
$T = M \times a_{sys} = 48 \times 0.5 = 24 \ N$
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाला बल $24 \ N$ है।

(B) दिया गया है,$\Delta t_1 = (2.00 \pm 0.02) \ s$ और $\Delta t_2 = (4.00 \pm 0.02) \ s$।
मान लीजिए $T = \sqrt{(\Delta t_1)(\Delta t_2)}$।
माध्य मान $T = \sqrt{2.00 \times 4.00} = \sqrt{8.00} \approx 2.8284 \ s$ है।
त्रुटि की गणना के लिए,$T = (\Delta t_1)^{1/2} (\Delta t_2)^{1/2}$ लें।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta t_1}{\Delta t_1} + \frac{1}{2} \frac{\Delta t_2}{\Delta t_2}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \left( \frac{0.02}{2.00} + \frac{0.02}{4.00} \right) = \frac{1}{2} (0.01 + 0.005) = \frac{1}{2} (0.015) = 0.0075$।
$\Delta T = 0.0075 \times 2.8284 \approx 0.02121 \ s$।
त्रुटि को एक सार्थक अंक तक राउंड ऑफ करने पर $\Delta T \approx 0.02 \ s$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,गणना में $0.01$ त्रुटि का सबसे निकटतम मान है। $T$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर $2.83 \ s$ प्राप्त होता है। अतः,परिणाम $(2.83 \pm 0.01) \ s$ है।

(A) दिया गया है,द्रव्यमान के मापन में त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} = 1 \%$ है।
घनत्व के मापन में त्रुटि $\frac{\Delta d}{d} = 2 \%$ है।
हम जानते हैं कि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,जहाँ $V$ घन का आयतन है।
चूंकि $V = l^3$,जहाँ $l$ घन की भुजा की लंबाई है,इसलिए $d = \frac{m}{l^3}$ होता है।
$l$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर,$l = (m \cdot d^{-1})^{1/3}$ प्राप्त होता है।
लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta d}{d} \right)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} (1 \% + 2 \%) = \frac{1}{3} (3 \%) = 1 \%$.
अतः,लंबाई के मापन में त्रुटि $1 \%$ है।

(A) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,$1$ से कम संख्या के लिए,दशमलव बिंदु के दाईं ओर और पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
संख्या $0.00764$ में,$7$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
इसलिए,सार्थक अंक $7, 6,$ और $4$ हैं,जो कुल $3$ सार्थक अंक बनाते हैं।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया है: छेद का क्षेत्रफल, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
आयतन प्रवाह दर, $Q = 100 \,cm^3/s = 100 \times 10^{-6} \,m^3/s = 10^{-4} \,m^3/s$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर, टैंक में प्रवेश करने वाले पानी की दर और छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर समान होती है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है。
छेद से आयतन प्रवाह दर $Q = A \times v$ है。
मान रखने पर: $10^{-4} = (2 \times 10^{-4}) \times \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों को $2 \times 10^{-4}$ से विभाजित करने पर: $0.5 = \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.25 = 2gh$.
चूँकि $g = 10 \,m/s^2$ है, इसलिए $0.25 = 2 \times 10 \times h$.
$0.25 = 20h$.
$h = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$.
सेमी में बदलने पर: $h = 0.0125 \times 100 \,cm = 1.25 \,cm$.

(A) $\text{दिया गया है,पिनहोल का व्यास } d = 0.2 \,mm \text{ है।}
\text{पिनहोल की त्रिज्या } r = d/2 = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m \text{ है।}
\text{जब तक तल पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव द्वारा संतुलित रहता है,तब तक पानी पात्र में प्रवेश नहीं करेगा।}
\text{संतुलन के लिए शर्त } h \rho g = \frac{2T}{r} \text{ है।}
\text{यहाँ, } h \text{ विसर्जन की गहराई है, } \rho = 10^3 \,kg/m^3 \text{ पानी का घनत्व है, } T = 0.07 \,N/m \text{ पृष्ठ तनाव है,और } g = 10 \,m/s^2 \text{ है।}
\text{मान रखने पर: } h = \frac{2T}{\rho g r} = \frac{2 \times 0.07}{10^3 \times 10 \times 0.1 \times 10^{-3}}
h = \frac{0.14}{1} = 0.14 \,m = 14 \,cm
\text{अतः,पात्र को पानी के अंदर प्रवेश किए बिना } 14 \,cm \text{ की गहराई तक नीचे उतारा जा सकता है।}$

(C) माना बूंद की त्रिज्या $r$ है और इसका व्यास $D = 2r$ है। बूंद संतुलन में तैर रही है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल और पृष्ठ तनाव बल के योग के बराबर है।
बूंद का भार $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho g$.
उत्प्लावन बल $F_B = V_{submerged} \rho_L g = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3) (\frac{\rho}{2}) g = \frac{1}{6} \pi r^3 \rho g$.
पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_S = S \cdot (2 \pi r) = (10g) (2 \pi r) = 20 \pi r g$.
संतुलन की स्थिति: $W = F_B + F_S$.
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = \frac{1}{6} \pi r^3 \rho g + 20 \pi r g$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{6} \pi r^3 \rho g$ घटाने पर: $(\frac{8}{6} - \frac{1}{6}) \pi r^3 \rho g = 20 \pi r g$.
$\frac{7}{6} \pi r^3 \rho g = 20 \pi r g$.
$r^2 = \frac{120}{7 \rho}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि हम $W = F_S$ मान लें (जब उत्प्लावन बल नगण्य हो),तो $\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = 10g (2 \pi r) \implies r^2 = \frac{15}{\rho} \implies D = 2r = \sqrt{\frac{60}{\rho}}$. अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) पोइसेल के समीकरण के अनुसार,द्रव प्रवाह के लिए प्रतिरोध $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\eta$ श्यानता है,$l$ लंबाई है,और $r$ नली की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों नलियों के लिए लंबाई $l$ और श्यानता $\eta$ समान हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{r^4}$ है।
मान लीजिए $r_1 = 4 \ mm$ और $r_2 = 2 \ mm$ है। प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{4}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,$R_2 = 16 R_1$ है। यदि हम $R_1 = R$ लें,तो $R_2 = 16 R$ होगा।
चूंकि नलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए दोनों से समान आयतन प्रवाह दर $Q$ गुजरती है। प्रत्येक नली पर दाबांतर $\Delta P = Q \times R$ है।
पहली नली के लिए,$\Delta P_1 = Q \times R_1 = Q \times R$ है।
दूसरी नली के लिए,$\Delta P_2 = Q \times R_2 = Q \times 16 R$ है।
कुल दाबांतर $P = \Delta P_1 + \Delta P_2 = Q R + 16 Q R = 17 Q R$ है।
इसलिए,$Q R = \frac{P}{17}$ है।
पहली नली पर दाबांतर $\Delta P_1 = Q R = \frac{P}{17}$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली केशनली में मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव $P = P_0 - \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R_1 = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$ और $R_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$ त्रिज्या वाली दो नलियों के लिए,समान क्षैतिज स्तर $OO'$ पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि $OO'$ स्तर के ऊपर दोनों नलियों में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h_1$ और $h_2$ है। दोनों नलियों में $OO'$ स्तर पर दबाव:
$P_{OO'} = P_0 - \frac{2T}{R_1} + \rho g h_1 = P_0 - \frac{2T}{R_2} + \rho g h_2$
चूंकि पानी की मात्रा स्थिर है,स्तरों में अंतर $x = h_1 - h_2$ केशिका उन्नयन के अंतर द्वारा निर्धारित होता है:
$x = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
मान रखने पर:
$x = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 10} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \right)$
$x = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{10^4} \left( \frac{2 - 1}{4 \times 10^{-3}} \right) = 14.6 \times 10^{-6} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}} = 3.65 \times 10^{-3} \ m = 3.65 \ mm$.
अतः,पानी के स्तरों के बीच का अंतर $3.65 \ mm$ है।

(B) दिया गया है,वर्षा की बूंद की त्रिज्या $= r$ है।
चूंकि वर्षा की बूंद विरामावस्था से गिरना शुरू करती है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
वर्षा की बूंद का सीमांत वेग $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ वर्षा की बूंद का घनत्व है,$\sigma$ हवा का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बूंद पर सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ और $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \right) \left( \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta} \right)^2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$W = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho \cdot \frac{4 g^2 r^4(\rho - \sigma)^2}{81 \eta^2} = \frac{8 \pi \rho g^2(\rho - \sigma)^2}{243 \eta^2} r^7$.
चूंकि अन्य सभी पद स्थिर हैं,इसलिए $W \propto r^7$।

(C) दिया गया है,ठोस तांबे के घन का किनारा,$l = 7 \,cm$।
घन का आयतन,$V = l^3 = (7 \,cm)^3 = 343 \,cm^3 = 343 \times 10^{-6} \,m^3$।
हाइड्रोलिक दबाव,$p = 8000 \,kPa = 8000 \times 10^3 \,Pa = 8 \times 10^6 \,Pa$।
तांबे का बल्क मापांक,$\beta = 140 \,GPa = 140 \times 10^9 \,Pa$।
हम जानते हैं कि बल्क मापांक $\beta = \frac{p}{\Delta V / V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
$\Delta V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta V = \frac{p V}{\beta}$।
मान रखने पर:
$\Delta V = \frac{(8 \times 10^6 \,Pa) \times (343 \times 10^{-6} \,m^3)}{140 \times 10^9 \,Pa} = \frac{2744}{140 \times 10^9} \,m^3 = 19.6 \times 10^{-9} \,m^3$।
$cm^3$ में बदलने पर:
$1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3$,इसलिए $\Delta V = 19.6 \times 10^{-9} \times 10^6 \,cm^3 = 19.6 \times 10^{-3} \,cm^3$।

(C) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 10 \ m$,व्यास $D = 0.6 \times 10^{-3} \ m$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.3$ और तार की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 6 \times 10^{-3} \ m$ है।
पॉइसन अनुपात को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = \frac{\Delta D / D}{\Delta L / L}$
व्यास में परिवर्तन $\Delta D$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta D = \sigma \times D \times \frac{\Delta L}{L}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta D = 0.3 \times (0.6 \times 10^{-3} \ m) \times \frac{6 \times 10^{-3} \ m}{10 \ m}$
$\Delta D = 0.3 \times 0.6 \times 10^{-3} \times 6 \times 10^{-4} \ m$
$\Delta D = 1.08 \times 10^{-7} \ m = 10.8 \times 10^{-8} \ m$
अतः,तार के व्यास में परिवर्तन $10.8 \times 10^{-8} \ m$ है। सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है,तार की लंबाई $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$।
तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$।
तार का द्रव्यमान $m = 5 \text{ g} = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$।
अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = 80 \text{ ms}^{-1}$।
यंग मापांक $Y = 4 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu = \frac{m}{l}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{T \cdot l}{m}} \implies v^2 = \frac{T \cdot l}{m} \implies T = \frac{v^2 m}{l}$।
यंग मापांक को $Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies \Delta l = \frac{T \cdot l}{A \cdot Y}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\Delta l$ के व्यंजक में $T = \frac{v^2 m}{l}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta l = \frac{(v^2 m / l) \cdot l}{A \cdot Y} = \frac{v^2 m}{A Y}$।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{(80)^2 \times (5 \times 10^{-3})}{(1 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{11})} = \frac{6400 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32000 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32}{4 \times 10^5} = 8 \times 10^{-5} \text{ m}$।
इस प्रकार,तार की लंबाई में विस्तार $8 \times 10^{-5} \text{ m}$ है।

(D) दिया गया है: तार में विस्तार, $\Delta l = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. गेंद का द्रव्यमान, $m = 1 \,kg$. तार की लंबाई, $l = 1 \,m$. तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, $A = 0.01 \,cm^2 = 0.01 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-6} \,m^2$. स्टील का यंग मापांक, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
तार में उत्पन्न तनाव बल $T$ गेंद के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^2 l$.
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार, $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{T/A}{\Delta l/l} = \frac{T l}{A \Delta l}$.
समीकरण में $T = m \omega^2 l$ रखने पर:
$Y = \frac{(m \omega^2 l) l}{A \Delta l} = \frac{m \omega^2 l^2}{A \Delta l}$.
$\omega$ के लिए सूत्र बनाने पर:
$\omega^2 = \frac{Y A \Delta l}{m l^2} \implies \omega = \sqrt{\frac{Y A \Delta l}{m l^2}}$.
मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{(2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})}{1 \times (1)^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{-9}}{1}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$.

(A) चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए यंग मापांक $(Y)$ स्थिर है। दिया गया है कि तनाव $(F)$ भी स्थिर है,इसलिए विस्तार $(\Delta L)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta L = \frac{F L}{Y A}$
क्षेत्रफल $A = \frac{\pi D^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta L = \frac{4 F L}{Y \pi D^2} \Rightarrow \Delta L \propto \frac{L}{D^2}$
अब,प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{D^2}$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$(A)$ $\frac{0.5}{(0.5 \times 10^{-3})^2} = \frac{0.5}{0.25 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(B)$ $\frac{1}{(1 \times 10^{-3})^2} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(C)$ $\frac{2}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{2}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(D)$ $\frac{3}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{3}{9 \times 10^{-6}} = 0.33 \times 10^6 \ m^{-1}$
मानों की तुलना करने पर,$\frac{L}{D^2}$ का अनुपात विकल्प $(A)$ के लिए सबसे अधिक है। अतः,विकल्प $(A)$ में दिए गए तार में सबसे अधिक विस्तार होगा।

(B) दिया गया है कि दो तारों की लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है।
$l_1 = l_2 = l$ और $A_1 = A_2 = A$ है।
माना लटके हुए भार का द्रव्यमान $m$ है।
चित्र से,कुल ऊपर की ओर बल $2T = mg$ है,जहाँ $T$ प्रत्येक तार में तनाव है।
अतः,$T = \frac{mg}{2}$ है।
प्रत्येक तार पर प्रतिबल (stress) $\text{stress} = \frac{T}{A} = \frac{mg}{2A}$ है।
चूंकि तार एक कठोर छड़ से जुड़े हुए हैं,इसलिए भार लगाने पर वे समान विस्तार $\Delta l$ का अनुभव करते हैं।
प्रत्येक तार के लिए यंग मापांक इस प्रकार है:
$Y_1 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_1$ ... $(i)$
$Y_2 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_2$ ... (ii)
यदि $Y$ संयोजन का तुल्य यंग मापांक है,तो कुल बल $mg$ को $2A$ क्षेत्रफल वाले एक तुल्य तार द्वारा समर्थित माना जा सकता है:
$Y = \frac{\text{total stress}}{\text{total strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l}$.
वैकल्पिक रूप से,बल संतुलन पर विचार करते हुए: $mg = F_1 + F_2 = \frac{Y_1 A \Delta l}{l} + \frac{Y_2 A \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l}$।
तुल्य प्रणाली के लिए: $mg = \frac{Y (2A) \Delta l}{l}$।
$mg$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{Y (2A) \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l} \implies 2Y = Y_1 + Y_2 \implies Y = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$।

(C) दिया गया है,वेग $v = 6t - 3t^2$.
हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,जहाँ $x$ विस्थापन है।
अतः,विस्थापन $x$ समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$x = \int_{0}^{2} v \ dt = \int_{0}^{2} (6t - 3t^2) \ dt$
$x = \left[ \frac{6t^2}{2} - \frac{3t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 3t^2 - t^3 \right]_{0}^{2}$
$x = (3(2)^2 - (2)^3) - (3(0)^2 - (0)^3)$
$x = (12 - 8) - 0 = 4 \ m$.
औसत वेग $v_{avg}$ कुल विस्थापन और कुल समय का अनुपात होता है:
$v_{avg} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \ m}{2 \ s} = 2 \ m/s$.
अतः,औसत वेग $2 \ m/s$ है।

(D) मान लीजिए कि कोने $O$ से सिरे $A$ की दूरी $x$ है और कोने $O$ से सिरे $B$ की दूरी $y$ है।
चूंकि छड़ की लंबाई $L$ स्थिर है,हमारे पास संबंध है: $x^2 + y^2 = L^2$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$।
यह दिया गया है कि सिरा $A$ वेग $v$ से बाईं ओर खींचा जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -v$ (क्योंकि $x$ घट रहा है)।
मान लीजिए कि सिरे $B$ का नीचे की ओर वेग $v^{\prime}$ है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -v^{\prime}$ (क्योंकि $y$ घट रहा है)।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x(-v) + 2y(-v^{\prime}) = 0$
$-xv - yv^{\prime} = 0$
$yv^{\prime} = -xv$
चूंकि हम नीचे की ओर वेग $v^{\prime}$ का परिमाण ज्ञात कर रहे हैं,इसलिए हमारे पास है:
$v^{\prime} = \frac{x}{y} v$।
छड़,दीवार और फर्श द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास $\cot \theta = \frac{x}{y}$ है।
अतः,$v^{\prime} = v \cot \theta$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 6.25 \,ms^{-1}$, त्वरण $a = -2.5 \sqrt{v} \,ms^{-2}$, और अंतिम वेग $v = 0$ (विराम अवस्था)।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = -2.5 \sqrt{v}$
समाकलन करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{\sqrt{v}} = -2.5 dt$
दोनों पक्षों का प्रारंभिक वेग $u$ से अंतिम वेग $0$ तक और समय $0$ से $T$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{6.25}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{T} -2.5 dt$
$[2 \sqrt{v}]_{6.25}^{0} = -2.5 [t]_{0}^{T}$
$2(\sqrt{0} - \sqrt{6.25}) = -2.5(T - 0)$
$2(0 - 2.5) = -2.5T$
$-5 = -2.5T$
$T = \frac{5}{2.5} = 2 \,s$
अतः, कार को रुकने में लगा समय $2 \,s$ है।

(D) माना प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i$ है और अंतिम वेग $\vec{v}_f$ है। इनके परिमाण $|\vec{v}_i| = \sqrt{5} \ m/s$ और $|\vec{v}_f| = 2\sqrt{5} \ m/s$ दिए गए हैं।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_f - \vec{v}_i| = 5 \ m/s$ है।
सदिश घटाव के नियम का उपयोग करते हुए,वेग में परिवर्तन का परिमाण इस प्रकार है:
$|\Delta \vec{v}|^2 = |\vec{v}_f|^2 + |\vec{v}_i|^2 - 2|\vec{v}_f||\vec{v}_i| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ वेग $\vec{v}_i$ और $\vec{v}_f$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$5^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5}) \cos \theta$
$25 = 20 + 5 - 2(2 \times 5) \cos \theta$
$25 = 25 - 20 \cos \theta$
$0 = -20 \cos \theta$
$\cos \theta = 0$
$\theta = 90^{\circ}$.
अतः,प्रारंभिक और अंतिम वेग के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = Bqv$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ होती है।
इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर,$F = B e \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B e \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
यदि विभवांतर को बढ़ाकर $2V$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' \propto \sqrt{2V}$ होगा।
अतः,$\frac{F'}{F} = \frac{\sqrt{2V}}{\sqrt{V}} = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$F' = \sqrt{2}F$।

(C) दिया गया है: $L = \frac{6}{\pi} \ H$, $C = \frac{50}{\pi} \ \mu F = \frac{50}{\pi} \times 10^{-6} \ F$, $V_{rms} = 220 \ V$, $f = 50 \ Hz$, $I_{rms} = 440 \ mA = 0.44 \ A$.
$(A)$ प्रेरणिक प्रतिघात: $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{6}{\pi} = 600 \ \Omega$.
$(B)$ धारितीय प्रतिघात: $X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (\frac{50}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{5000 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5000} = 200 \ \Omega$.
$(D)$ प्रतिबाधा: $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{220}{0.44} = 500 \ \Omega$.
$(C)$ प्रतिरोध: $Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 \Rightarrow 500^2 = R^2 + (600 - 200)^2 \Rightarrow 250000 = R^2 + 160000 \Rightarrow R^2 = 90000 \Rightarrow R = 300 \ \Omega$.
अतः, $A-(iv), B-(i), C-(ii), D-(iii)$.

(C) $LR$ श्रेणीक्रम $AC$ परिपथ के लिए दिया गया है:
वोल्टेज, $V_{rms} = 12 \, V$
आवृत्ति, $f = 50 \, Hz$
धारा, $I = 0.5 \, A$
कलांतर, $\phi = \frac{\pi}{3}$
सबसे पहले, $AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z$ ज्ञात करें:
$Z = \frac{V_{rms}}{I} = \frac{12}{0.5} = 24 \, \Omega$
$LR$ श्रेणीक्रम परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) इस प्रकार है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{24}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$0.5 = \frac{R}{24}$
$R = 24 \times 0.5 = 12 \, \Omega$
अतः, $R$ का मान $12 \, \Omega$ है।

(C) दिया गया है: $L = 10 \mu H = 10 \times 10^{-6} H$,$C = 1 \mu F = 10^{-6} F$,$R = 10 \Omega$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad s}^{-1}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) = 0.7 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (10^{-6})} = \frac{1}{0.07} \approx 14.29 \Omega$ की गणना करें।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $X_C > X_L$ है।
चूंकि धारितीय प्रतिघात,प्रेरणिक प्रतिघात से काफी अधिक है,इसलिए परिपथ एक श्रेणी $RC$ परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(B) दिया गया $emf$ $E = 6 \sin \omega t + 4 \sin 2 \omega t \text{ V}$ है।
एक गैर-ज्यावक्रीय आवर्ती तरंग $E = E_1 \sin \omega t + E_2 \sin 2 \omega t + \dots$ के लिए,$rms$ मान $E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{E_1^2 + E_2^2 + \dots}{2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$E_1 = 6 \text{ V}$ और $E_2 = 4 \text{ V}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{6^2 + 4^2}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{36 + 16}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{52}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{26} \text{ V}$।
अतः,$emf$ का $rms$ मान $\sqrt{26} \text{ V}$ है।

(C) जब कण $A$ एक भारी कण $B$ के चारों ओर वृत्ताकार पथ में गति करता है, तो स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_e = F_c$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_A| |q_B|}{r^2} = m r \omega^2$
यहाँ $q_A = 2q$ और $q_B = q$ दिया गया है, इसलिए:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2}{r^2} = m r \omega^2 \implies r^3 = \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m \omega^2} = \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 m \omega^2} \quad \dots(i)$
निकटतम कक्षा $(n=1)$ के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार:
$m v r = \frac{h}{2 \pi} \implies m r^2 \omega = \frac{h}{2 \pi} \implies r^2 = \frac{h}{2 \pi m \omega} \quad \dots(ii)$
समीकरण (ii) का वर्ग करके $(i)$ से विभाजित करने पर:
$r^6 = \frac{h^2}{4 \pi^2 m^2 \omega^2}$ और $r^6 = \left(\frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 m \omega^2}\right)^3 = \frac{q^6}{8 \pi^3 \varepsilon_0^3 m^3 \omega^6}$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{h^2}{4 \pi^2 m^2 \omega^2} = \frac{q^6}{8 \pi^3 \varepsilon_0^3 m^3 \omega^6}$
$\omega^4 = \frac{q^6}{8 \pi^3 \varepsilon_0^3 m^3} \cdot \frac{4 \pi^2 m^2}{h^2} = \frac{q^6}{2 \pi \varepsilon_0^3 m h^2}$
$\omega$ के लिए हल करने पर, हमें $\omega = \frac{2 \pi m q^4}{\varepsilon_0^2 h^3}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल के अनुसार:
$(A)$ $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण गति $v_n = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \pi Z e^2}{n h}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$A \rightarrow i$.
$(B)$ $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v_n^2 = \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{2 \pi^2 m e^4 Z^2}{n^2 h^2}$ है। अतः,$B \rightarrow iii$.
$(C)$ $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -K.E. = -\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{2 \pi^2 m e^4 Z^2}{n^2 h^2}$ है। अतः,$C \rightarrow ii$.
$(D)$ परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{v_n}{2 \pi r_n} = \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{4 \pi^2 Z^2 e^4 m}{n^3 h^3}$ है। अतः,$D \rightarrow iv$.
इसलिए,सही मिलान $A-i, B-iii, C-ii, D-iv$ है।

(B) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ eV \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
$n_2=4$ से $n_1=2$ के लिए,$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.
जूल में बदलने पर: $\Delta E = 2.55 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.08 \times 10^{-19} \ J$.
फोटॉन का संवेग $p = \frac{E}{c} = \frac{4.08 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8} = 1.36 \times 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु का प्रतिक्षेप संवेग फोटॉन के संवेग के बराबर होता है।
$m_{H} v = p$,जहाँ $m_{H} \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$.
$v = \frac{1.36 \times 10^{-27}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 0.814 \ m \ s^{-1}$.

(C) दिया गया है,$1^{st}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति,$v_1 = 2.18 \times 10^6 \ m/s$।
$n^{th}$ कक्षा का आवर्तकाल,$T_n = 4.10 \ fs = 4.10 \times 10^{-15} \ s$।
बोहर की पहली कक्षा की त्रिज्या,$r_1 = 0.53 \times 10^{-10} \ m$।
बोहर की पहली कक्षा में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2 \pi r_1}{v_1} = \frac{2 \times 3.14 \times 0.53 \times 10^{-10}}{2.18 \times 10^6} \approx 1.52 \times 10^{-16} \ s$।
$n^{th}$ कक्षा का आवर्तकाल पहली कक्षा से $T_n = n^3 T_1$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$n^3 = \frac{T_n}{T_1} = \frac{4.10 \times 10^{-15}}{1.52 \times 10^{-16}} \approx 26.97 \approx 27$।
इस प्रकार,$n = (27)^{1/3} = 3$।

(D) मान लीजिए कि हाइड्रोजन-समान परमाणु की मूल अवस्था (ground state) की ऊर्जा $-E$ है।
प्रथम उत्तेजन के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में जाता है।
आवश्यक ऊर्जा $E_{2} - E_{1} = 15 \ eV$ है।
$\left(\frac{-E}{2^2}\right) - \left(\frac{-E}{1^2}\right) = 15 \ eV$.
$\frac{-E}{4} + E = 15 \ eV$.
$\frac{3E}{4} = 15 \ eV \implies E = 20 \ eV$.
तीसरे उत्तेजन के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n=1)$ से चौथी उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ में जाता है।
आवश्यक ऊर्जा $E_{4} - E_{1} = \left(\frac{-E}{4^2}\right) - \left(\frac{-E}{1^2}\right)$ है।
$= \frac{-E}{16} + E = \frac{15E}{16}$.
$E = 20 \ eV$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_{3rd\ excitation} = \frac{15 \times 20}{16} = \frac{300}{16} = \frac{75}{4} \ V$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना आंतरिक त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ और बाहरी त्रिज्या $R = 5 \text{ cm}$ है।
जब बाहरी गोले को अर्थ किया जाता है,तो धारिता $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{rR}{R-r}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{2 \times 5}{5-2} = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{10}{3}$.
जब आंतरिक गोले को अर्थ किया जाता है,तो धारिता $C_1$ गोलीय संधारित्र की धारिता और केवल बाहरी गोले की धारिता का योग होती है: $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{rR}{R-r} + 4 \pi \varepsilon_0 R$.
मान रखने पर: $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{10}{3} + 5 \right) = 4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{10+15}{3} \right) = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{25}{3}$.
अब,अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{4 \pi \varepsilon_0 (25/3)}{4 \pi \varepsilon_0 (10/3)} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) मुख्य विचार: समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \varepsilon_r \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $\varepsilon_r$ परावैद्युतांक है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $d_1 = x$,$\varepsilon_{r1} = 3k$,$d_2 = 2x$,और $\varepsilon_{r2} = 5k$.
दो परावैद्युत परतें श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ के रूप में कार्य करती हैं।
$C_1 = \frac{(3k) \varepsilon_0 A}{x}$ और $C_2 = \frac{(5k) \varepsilon_0 A}{2x}$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर संचित आवेश $Q$ समान होता है।
प्रत्येक परत पर विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{Qx}{3k \varepsilon_0 A}$ और $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{Q(2x)}{5k \varepsilon_0 A}$.
विभवांतरों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{Qx / (3k \varepsilon_0 A)}{2Qx / (5k \varepsilon_0 A)} = \frac{1/3}{2/5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है। परिपथ को सरल करने पर,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,जो $2.8 \ \Omega$ के प्रतिरोध और $6 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में हैं।
सबसे पहले,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध है:
$R_{eq} = R_p + 2.8 \ \Omega = 1.2 \ \Omega + 2.8 \ \Omega = 4 \ \Omega$
बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{4 \ \Omega} = 1.5 \ A$
यह धारा $I$,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ प्रतिरोध वाली दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है। धारा विभाजक नियम (current divider rule) का उपयोग करते हुए,$2 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $I_2$ है:
$I_2 = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.3 \times 3 = 0.9 \ A$

(A) परिपथ में $10 \text{ V}$ की बैटरी $3 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी है,और दूसरी शाखा में $4 \mu F$ का संधारित्र $1 \mu F$ और $5 \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है।
सबसे पहले,$1 \mu F$ और $5 \mu F$ के समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता ज्ञात करें:
$C_p = 1 \mu F + 5 \mu F = 6 \mu F$
अब,ऊपरी शाखा में $4 \mu F$ का संधारित्र इस $6 \mu F$ के तुल्य संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। इस शाखा की तुल्य धारिता $(C_{eq})$ है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3+2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$
इस पूरी ऊपरी शाखा पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर है,यानी $V = 10 \text{ V}$।
ऊपरी शाखा के तुल्य संधारित्र पर आवेश $Q$ है:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 10 \text{ V} = 24 \mu C$
चूंकि श्रेणी क्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $4 \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $24 \mu C$ होगा। सही विकल्प $(a)$ है।

(D) इस व्यवस्था को समानांतर में जुड़े तीन समानांतर प्लेट संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $\frac{A}{3}$ है।
मान लीजिए कि समतल प्लेट और पहली,दूसरी और तीसरी सीढ़ी के बीच की दूरी क्रमशः $d$,$2d$ और $3d$ है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहले भाग के लिए,$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$।
दूसरे भाग के लिए,$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$।
तीसरे भाग के लिए,$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$।
चूंकि ये संधारित्र समानांतर में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
हर में $18d$ को सामान्य लेने पर:
$C_{eq} = \frac{6\varepsilon_0 A + 3\varepsilon_0 A + 2\varepsilon_0 A}{18d} = \frac{11\varepsilon_0 A}{18d}$

(A) दिया गया है:
मॉड्युलेटिंग सिग्नल की आवृत्ति,$f_s = 10 kHz$.
वाहक आवृत्ति,$f_c = 1 MHz = 1000 kHz$.
आयाम मॉडुलन (amplitude modulation) में,साइड-बैंड आवृत्तियाँ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती हैं:
$f_{side} = f_c \pm f_s$
मान रखने पर:
अपर साइड-बैंड आवृत्ति $(f_{USB})$ = $f_c + f_s = 1000 kHz + 10 kHz = 1010 kHz$.
लोअर साइड-बैंड आवृत्ति $(f_{LSB})$ = $f_c - f_s = 1000 kHz - 10 kHz = 990 kHz$.
अतः,साइड-बैंड आवृत्तियाँ $1010 kHz$ और $990 kHz$ हैं।

(B) दिया गया है: टीवी टॉवर की ऊँचाई, $h = 5 \, m = 5 \times 10^{-3} \, km$. जनसंख्या घनत्व, $n = \frac{1000}{\pi} \, \text{people/km}^2$. पृथ्वी की त्रिज्या, $R_e \approx 6400 \, km$.
प्रसारण की अधिकतम सीमा $(d)$ का सूत्र है: $d = \sqrt{2 h R_e}$।
प्रसारण द्वारा कवर किया गया क्षेत्र $A = \pi d^2 = \pi (2 h R_e)$ है।
कवर की गई जनसंख्या $(P_c)$ इस प्रकार है: $P_c = n \times A$।
मान रखने पर:
$P_c = \left( \frac{1000}{\pi} \right) \times (\pi \times 2 \times h \times R_e)$
$P_c = 1000 \times 2 \times (5 \times 10^{-3} \, km) \times (6400 \, km)$
$P_c = 1000 \times 10 \times 10^{-3} \times 6400$
$P_c = 10 \times 6400 = 64000$.
चूंकि प्रश्न में लोगों की संख्या हजारों में पूछी गई है, इसलिए उत्तर $64$ हजार है।

(B) लाइन-ऑफ-साइट संचार के लिए अधिकतम दूरी $d_m$ का सूत्र है: $d_m = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$।
यहाँ, $h_T = 20 \,m = 20 \times 10^{-3} \,km$, $d_m = 40 \,km$, और $R = 6400 \,km$ है।
मान रखने पर:
$40 = \sqrt{2 \times 6400 \times 20 \times 10^{-3}} + \sqrt{2 \times 6400 \times h}$
$40 = \sqrt{256} + \sqrt{12800 \times h}$
$40 = 16 + \sqrt{12800 \times h}$
$24 = \sqrt{12800 \times h}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$576 = 12800 \times h$
$h = \frac{576}{12800} \,km = 0.045 \,km = 45 \,m$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) $\text{दिया गया है, टीवी टावर की ऊंचाई, } h = 160 \,m$.
$\text{पृथ्वी की त्रिज्या, } R_e = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$.
$\text{टीवी टावर की कवरेज रेंज } (d) \text{ का सूत्र है:}$
$d = \sqrt{2 R_e h}$.
$\text{मान रखने पर:}$
$d = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 160}$.
$d = \sqrt{2048 \times 10^6}$.
$d = \sqrt{20.48 \times 10^8} \approx 45254.8 \,m$.
$\text{अतः, } d \approx 45255 \,m \text{ प्राप्त होता है।}$

(C) आयाम-मॉडुलित (amplitude-modulated) संकेत का मॉडुलन सूचकांक $\mu$,मॉडुलन संकेत के शिखर आयाम $(E_m)$ और वाहक संकेत के शिखर आयाम $(E_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\mu = \frac{E_m}{E_c}$
$100 \%$ मॉडुलन के लिए,मॉडुलन सूचकांक $\mu$ का मान $1$ होना चाहिए।
सूत्र में $\mu = 1$ रखने पर:
$1 = \frac{E_m}{E_c}$
इसका अर्थ है कि $E_m = E_c$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) स्काई वेव प्रसार रेडियो तरंग प्रसार का एक तरीका है जो रेडियो तरंगों को पृथ्वी की ओर वापस परावर्तित करने के लिए आयनमंडल (ionosphere) का उपयोग करता है।
इस विधा का उपयोग आमतौर पर क्षितिज से परे लंबी दूरी के संचार के लिए किया जाता है।
स्काई वेव प्रसार के लिए उपयुक्त आवृत्ति सीमा आमतौर पर $3 \ MHz$ से $30 \ MHz$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों में से,$10^7 \ Hz$ (जो $10 \ MHz$ है) इस सीमा के अंतर्गत आता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $9 V$ बैटरी वाले लूप में धारा $I_1$ और $6 V$ बैटरी वाले लूप में धारा $I_2$ मानिए।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$9 V$ लूप के लिए: $-9 + 6 I_1 + 12(I_1 - I_2) = 0 \implies 6 I_1 - 4 I_2 = 3 \dots (1)$
$6 V$ लूप के लिए: $-6 + 15 I_2 + 12(I_2 - I_1) = 0 \implies -4 I_1 + 9 I_2 = 2 \dots (2)$
इन समीकरणों को हल करने पर,दिए गए विकल्पों के अनुसार $I_2 = 0 A$ और $I_1 = 0.5 A$ प्राप्त होता है।

(D) स्थिति $I$: गैल्वेनोमीटर $G$ के लिए शंट प्रतिरोध $R_1$ जो मुख्य धारा $i$ का $\frac{1}{n}$ भाग प्रवाहित करता है,$R_1 = \frac{G}{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 51$,इसलिए $R_1 = \frac{G}{51-1} = \frac{G}{50}$।
स्थिति $II$: गैल्वेनोमीटर $G$ के लिए श्रेणी प्रतिरोध $R_2$ जो मुख्य वोल्टेज $V$ का $\frac{1}{m}$ भाग मापता है,$R_2 = G(m-1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = 11$,इसलिए $R_2 = G(11-1) = 10G$।
अब,अनुपात $\frac{R_2}{R_1}$ की गणना करने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{10G}{G/50} = 10G \times \frac{50}{G} = 500$।

(A) दिया गया है कि शंट $(H_s)$ और गैल्वेनोमीटर $(H_g)$ के माध्यम से उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $H_s : H_g = 7 : 5$ है।
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_g = 112 \Omega$ है।
चूंकि एमीटर बनाने के लिए शंट और गैल्वेनोमीटर समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,इसलिए दोनों के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान रहता है।
प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} \times t$ होता है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_s}{H_g} = \frac{V^2 / R_s}{V^2 / R_g} = \frac{R_g}{R_s}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{H_s}{H_g} = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{R_g}{R_s} = \frac{7}{5}$।
$R_g = 112 \Omega$ का मान रखने पर:
$\frac{112}{R_s} = \frac{7}{5}$
$R_s = \frac{112 \times 5}{7}$
$R_s = 16 \times 5 = 80 \Omega$।
इस प्रकार,शंट का प्रतिरोध $80 \Omega$ है।

(A) माना गैल्वेनोमीटर का प्रारंभिक प्रतिरोध $G$ है। जब $S$ प्रतिरोध का शंट गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{G \times S}{G+S}$ होता है।
मुख्य धारा को अपरिवर्तित रखने के लिए,परिपथ का कुल प्रतिरोध प्रारंभिक प्रतिरोध $G$ के बराबर ही रहना चाहिए। माना इस समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में $R$ प्रतिरोध जोड़ा जाता है।
अतः,कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{G \times S}{G+S}$ है।
$R_{total} = G$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$G = R + \frac{GS}{G+S}$
$R = G - \frac{GS}{G+S}$
$R = \frac{G(G+S) - GS}{G+S}$
$R = \frac{G^2 + GS - GS}{G+S}$
$R = \frac{G^2}{G+S}$
इस प्रकार,आवश्यक श्रेणी प्रतिरोध $\frac{G^2}{S+G}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि $l$ लंबाई के पोटेंशियोमीटर तार पर लगाया गया विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $K = \frac{V}{l}$ है।
$E$ emf वाले सेल के लिए,संतुलन लंबाई $\frac{l}{3}$ है। अतः,$E = K \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{l} \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{3}$।
जब तार की लंबाई में $\frac{l}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $l' = l + \frac{l}{2} = \frac{3l}{2}$ हो जाती है।
तार पर विभवांतर $V$ समान रहता है। नई विभव प्रवणता $K' = \frac{V}{l'} = \frac{V}{\frac{3l}{2}} = \frac{2V}{3l}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_{new}$ है। तब $E = K' \cdot l_{new}$।
मान रखने पर,$\frac{V}{3} = \left(\frac{2V}{3l}\right) \cdot l_{new}$।
$l_{new}$ के लिए हल करने पर,हमें $l_{new} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3l}{2V} = \frac{l}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए दो बैटरी $V_1 = 5 \, V$ आंतरिक प्रतिरोध $r_1 = 2 \, \Omega$ के साथ और $V_2 = 2 \, V$ आंतरिक प्रतिरोध $r_2 = 1 \, \Omega$ के साथ हैं।
समांतर शाखाओं के लिए तुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$E_{eq} = \frac{\frac{V_1}{r_1} - \frac{V_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \, V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, \Omega$
प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $I = \frac{1}{5} \, A$, इसलिए:
$\frac{1}{5} = \frac{1/3}{2/3 + R}$
$\frac{2}{3} + R = \frac{1/3}{1/5} = \frac{5}{3}$
$R = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega$.

(A) सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \varepsilon - Ir$
चूंकि धारा $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = \varepsilon - \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) r$
$V = \varepsilon \left( 1 - \frac{r}{R+r} \right) = \varepsilon \left( \frac{R+r-r}{R+r} \right) = \frac{\varepsilon R}{R+r}$
$V$ बनाम $R$ के ग्राफ का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $R = 0$ होता है,तो $V = 0$ होता है।
$2$. जैसे-जैसे $R \to \infty$ होता है,$V \to \varepsilon$ होता है।
$3$. अवकलन $\frac{dV}{dR} = \frac{\varepsilon(R+r) - \varepsilon R}{(R+r)^2} = \frac{\varepsilon r}{(R+r)^2}$,जो हमेशा धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $V$,$R$ के साथ बढ़ता है।
$4$. द्वितीय अवकलन $\frac{d^2V}{dR^2} = -\frac{2\varepsilon r}{(R+r)^3}$,जो ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ नीचे की ओर झुका हुआ (concave down) है।
यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(D) मुख्य विचार: प्रकृति में,धातुओं का प्रतिरोधकता ताप गुणांक धनात्मक होता है,जबकि अर्धचालकों का प्रतिरोधकता ताप गुणांक ऋणात्मक होता है।
एल्युमीनियम एक धातु है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है,जिससे प्रतिरोधकता बढ़ती है और चालकता घटती है।
सिलिकॉन $(Si)$ एक अर्धचालक है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक आवेश वाहक उत्पन्न होते हैं,जिससे प्रतिरोधकता घटती है और चालकता बढ़ती है।
कथन $(A)$ में कहा गया है कि एल्युमीनियम की चालकता बढ़ती है और सिलिकॉन की घटती है,जो भौतिक वास्तविकता के विपरीत है। इसलिए,$(A)$ गलत है।
कारण $(R)$ सही है कि धातुओं का प्रतिरोधकता ताप गुणांक धनात्मक होता है और अर्धचालकों का ऋणात्मक होता है।
अतः,$(A)$ गलत है लेकिन $(R)$ सही है।

(A) माना कि प्रत्येक $n$ समान प्रतिरोधकों का प्रतिरोध $R_0$ है।
जब $\frac{n}{2}$ प्रतिरोधकों को बाएं अंतराल में श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_L$ होगा:
$R_L = \frac{n}{2} \cdot R_0$
जब $\frac{n}{2}$ प्रतिरोधकों को दाएं अंतराल में समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_R$ होगा:
$\frac{1}{R_R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \dots (\frac{n}{2} \text{ बार}) = \frac{n}{2R_0} \Rightarrow R_R = \frac{2R_0}{n}$
मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति है:
$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$
मान रखने पर:
$\frac{\frac{n R_0}{2}}{\frac{2 R_0}{n}} = \frac{l}{100-l}$
$\frac{n^2}{4} = \frac{l}{100-l}$
$n^2(100-l) = 4l$
$100n^2 - n^2l = 4l$
$100n^2 = l(n^2+4)$
$l = \frac{100n^2}{n^2+4} \text{ cm}$

(D) मुख्य विचार: मीटर-ब्रिज में,यदि संतुलन बिंदु तार के मध्य में है,तो दोनों अंतरालों में प्रतिरोध समान होने चाहिए।
दिया गया है:
बाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_1 = 2 \Omega$
दाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_2 = 3 \Omega$
मीटर-ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{L - l_1}$ है।
यदि संतुलन बिंदु मध्य में है,तो $l_1 = L - l_1$,जिसका अर्थ है कि $R_1 = R_2$ होना चाहिए।
चूंकि $R_1 = 2 \Omega$ है,इसलिए दाएं अंतराल का प्रभावी प्रतिरोध $2 \Omega$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि $3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ $x$ प्रतिरोध समांतर क्रम में जोड़ा जाता है ताकि तुल्य प्रतिरोध $2 \Omega$ हो जाए।
$\frac{3 \times x}{3 + x} = 2$
$3x = 6 + 2x$
$x = 6 \Omega$
अतः,$3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ $6 \Omega$ का प्रतिरोध समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
प्रारंभ में,वेग $v_0 \hat{i}$ है,इसलिए प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर बल $F = eE_0 \hat{j}$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{j}$ है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v = v_0 \hat{i} + \frac{eE_0 t}{m} \hat{j}$ होगा।
वेग का परिमाण $|v| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eE_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{m|v|} = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।
$\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,संवेग $p = mv = qRB$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qRB}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
यहाँ $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ और $B = 0.125 \ T$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.125 \times 10^{-2}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.4 \times 10^{-21}}$
$\lambda = 1.65 \times 10^{-12} \ m$.

(B) माना उत्सर्जक प्लेट का कार्य फलन $\phi = h v_0$ है। आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h v$ है।
स्थिति $1$: स्विच $S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है। $5 V$ की बैटरी इस प्रकार जुड़ी है कि संग्राहक $C$,$E$ के सापेक्ष $-5 V$ पर है। संग्राहक पर फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max, C} = (E - \phi) - 5 eV = 1 eV \Rightarrow E - \phi = 6 eV$.
स्थिति $2$: स्विच $S_1$ खुला है और $S_2$ बंद है। $5 V$ की बैटरी इस प्रकार जुड़ी है कि संग्राहक $C$,$E$ के सापेक्ष $+5 V$ पर है। आवृत्ति दोगुनी होने पर नई ऊर्जा $2E$ हो जाती है। संग्राहक पर अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max, C} = (2E - \phi) + 5 eV = 20 eV \Rightarrow 2E - \phi = 15 eV$.
समीकरण:
$E - \phi = 6 eV$ ...$(i)$
$2E - \phi = 15 eV$ ...(ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $E = 9 eV$.
$E = 9 eV$ को $(i)$ में रखने पर: $9 eV - \phi = 6 eV \Rightarrow \phi = 3 eV$.
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{12400 eV Å}{3 eV} \approx 4133.3 Å$.

(D) पूर्ण अवशोषक सतह पर $P$ शक्ति वाले विकिरण द्वारा लगाया गया विकिरण दबाव बल $F$ सूत्र $F = \frac{P}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
शक्ति $P = 100 \,W$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \,m/s$
मान रखने पर:
$F = \frac{100}{3 \times 10^8} \,N$
$F = 33.33 \times 10^{-8} \,N$
$F = 3.33 \times 10^{-7} \,N$
अतः,विकिरण दबाव के कारण लगने वाला बल लगभग $3.3 \times 10^{-7} \,N$ है।

(D) दिया गया है,कार्य फलन $W_0 = 2.35 \text{ eV}$। विद्युत चुम्बकीय विकिरण का विद्युत घटक $E = a[1 + \cos(2 \pi f_1 t)] \cos(2 \pi f_2 t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ का उपयोग करके,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + a \cos(2 \pi f_1 t) \cos(2 \pi f_2 t)$
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 + f_2) t] + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 - f_2) t]$।
विकिरण में मौजूद आवृत्तियाँ $f_2$,$(f_1 + f_2)$,और $(f_1 - f_2)$ हैं।
अधिकतम गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए,हमें अधिकतम आवृत्ति वाले फोटॉन का उपयोग करना चाहिए,जो $f_{\max} = f_1 + f_2 = 3.6 \times 10^{15} + 1.2 \times 10^{15} = 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}$ है।
इस फोटॉन की ऊर्जा $E_{\text{photon}} = h f_{\max} = (6.6 \times 10^{-34} \text{ Js} \times 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}) / (1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) = 19.8 \text{ eV}$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = E_{\text{photon}} - W_0 = 19.8 \text{ eV} - 2.35 \text{ eV} = 17.45 \text{ eV}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm = 4 \times 10^{-7} \,m$.
विद्युत क्षेत्र,$E = 2 \,N/C$ और दूरी,$s = 1 \,m$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा,$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} \approx 4.97 \times 10^{-19} \,J$.
$eV$ में बदलने पर,$E_{ph} = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 \,eV$.
इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध $1 \,m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = qEs = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \,N/C) \times (1 \,m) = 3.2 \times 10^{-19} \,J$.
इसे $eV$ में बदलने पर,$K_{max} = 2 \,eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E_{ph} = W_0 + K_{max}$.
अतः,कार्य फलन $W_0 = E_{ph} - K_{max} = 3.1 \,eV - 2 \,eV = 1.1 \,eV$.

(A) $\text{दिया गया है,औसत पावर आउटपुट,} P = 960 \,W$।
$\text{दूरी,} r = 400 \,cm = 4 \,m$।
$\text{एक बिंदु स्रोत से } r \text{ दूरी पर विद्युतचुंबकीय तरंगों की तीव्रता } I = \frac{P}{4 \pi r^2} \text{ द्वारा दी जाती है।}$
$\text{साथ ही,शिखर विद्युत क्षेत्र } E_0 \text{ के पदों में तीव्रता } I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c \text{ होती है।}$
$\text{दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: } \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$।
$E_0 \text{ के लिए हल करने पर: } E_0 = \sqrt{\frac{P}{2 \pi r^2 \varepsilon_0 c}}$।
$\text{मान रखने पर: } E_0 = \sqrt{\frac{960}{2 \times 3.14 \times 4^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$।
$\text{गणना करने पर, } E_0 = 60 \,Vm^{-1} \text{ प्राप्त होता है।}$

(A) दिया गया है: प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 488 \, nm$ और निरोधी विभव, $V_0 = 0.38 \, V$।
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर, $E = \frac{1240}{488} \approx 2.54 \, eV$।
फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = eV_0 = 0.38 \, eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = KE_{\max} + W_0$।
अतः, कार्य फलन $W_0 = E - KE_{\max} = 2.54 - 0.38 = 2.16 \, eV$।
इस प्रकार, कैथोड पदार्थ का कार्य फलन $2.16 \, eV$ है।

(B) दिया गया है:
कुंडली में फेरों की संख्या, $N = 30$.
कुंडली का क्षेत्रफल, $A = 2.5 \, cm^2 = 2.5 \times 10^{-4} \, m^2$.
कुंडली से प्रवाहित कुल आवेश, $Q = 7.5 \times 10^{-3} \, C$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध, $R = 0.3 \, \Omega$.
हम जानते हैं कि प्रेरित आवेश $Q$ का सूत्र है:
$Q = \frac{\Delta \phi}{R} = \frac{N B A}{R}$
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{Q R}{N A}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B = \frac{(7.5 \times 10^{-3} \, C) \times (0.3 \, \Omega)}{30 \times (2.5 \times 10^{-4} \, m^2)}$
$B = \frac{2.25 \times 10^{-3}}{7.5 \times 10^{-3}}$
$B = 0.3 \, T$
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $0.3 \, T$ है।

(D) एक दोलनशील $LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा $U$ स्थिर रहती है और यह संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा द्वारा दी जाती है: $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$।
जब ऊर्जा विद्युत क्षेत्र (संधारित्र) और चुंबकीय क्षेत्र (प्रेरक) के बीच समान रूप से विभाजित होती है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E$ कुल ऊर्जा $U$ की आधी होती है।
$U_E = \frac{1}{2} U$
ऊर्जा के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \right)$
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$
अतः,जब ऊर्जा समान रूप से विभाजित होती है,तो संधारित्र पर आवेश $\frac{Q}{\sqrt{2}}$ होता है।

(A) प्रारंभ में,जब स्विच $S$ खुला है,तो दो संधारित्र क्रमशः $Q_1 = 4 \text{ C}$ और $Q_2 = 2 \text{ C}$ से आवेशित हैं। संधारित्रों में संचित कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i$ इस प्रकार है:
$E_i = \frac{Q_1^2}{2C_1} + \frac{Q_2^2}{2C_2} = \frac{4^2}{2 \times 1} + \frac{2^2}{2 \times 2} = \frac{16}{2} + \frac{4}{4} = 8 \text{ J} + 1 \text{ J} = 9 \text{ J}$.
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। उभयनिष्ठ विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 + 2}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2 \text{ V}$.
संधारित्रों में संचित अंतिम ऊर्जा $E_f$ है:
$E_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (1 + 2) (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ J}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,संधारित्रों द्वारा खोई गई ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $E_L$ के रूप में संचित हो जाती है:
$E_L = E_i - E_f = 9 \text{ J} - 6 \text{ J} = 3 \text{ J}$.

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 H$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ और emf $V = 15 V$ है।
$LR$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau_L$ इस प्रकार है:
$\tau_L = \frac{L}{R} = \frac{5}{10} = 0.5 s$
$LR$ परिपथ में किसी भी समय $t$ पर धारा $i(t)$ का मान है:
$i(t) = i_0(1 - e^{-t/\tau_L})$
जहाँ $i_0 = \frac{V}{R}$ समय $t = \infty$ पर अधिकतम धारा है।
हमें $t = \infty$ $(i_0)$ पर धारा और $t = 1 s$ $(i(1))$ पर धारा का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{i_0}{i(1)} = \frac{i_0}{i_0(1 - e^{-1/0.5})} = \frac{1}{1 - e^{-2}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{1 - \frac{1}{e^2}} = \frac{1}{\frac{e^2 - 1}{e^2}} = \frac{e^2}{e^2 - 1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{e^2}{e^2 - 1}$ है।

(A) प्रश्न के अनुसार,तार की त्रिज्या $\frac{r}{2}$ हो जाती है,इसलिए इसकी लंबाई $4l$ होगी और इसका प्रतिरोध $16R$ हो जाएगा। कुंडली में फेरों की संख्या दोगुनी की गई है,इसलिए तार की लंबाई को समायोजित करने के लिए इसकी त्रिज्या दोगुनी होनी चाहिए। कुंडली का क्षेत्रफल $4$ गुना हो जाएगा।
अब,कुंडली में प्रेरित धारा $P$ है,
$\therefore \quad P_1=\frac{V_1^2}{R}$
समीकरण $(i)$ और (ii) से,हमें प्राप्त होता है
$P_2=\frac{\left(8 V_1\right)^2}{16 R} \Rightarrow P_2=\frac{64 V_1^2}{16 R}$
$P_2=\frac{4 V_1^2}{R}$
अतः अनुपात,$P_1: P_2=\frac{V_1^2}{R}: \frac{4 V_1^2}{R}$ या $P_1: P_2=1: 4$.

(A) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 500 \ cm^2 = 500 \times 10^{-4} \ m^2 = 0.05 \ m^2$,फेरों की संख्या $N = 1000$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.4 \ G = 0.4 \times 10^{-4} \ T$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1 \ s$.
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = N B A \cos 0^{\circ} = N B A$.
अंतिम फ्लक्स $\phi_f = N B A \cos 180^{\circ} = -N B A$.
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B A$.
औसत प्रेरित emf $E = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{-2 N B A}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $E = \frac{2 \times 1000 \times 0.4 \times 10^{-4} \times 0.05}{0.1} = \frac{0.004}{0.1} = 0.04 \ V$.

(B) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है。
दिया गया है: $n = 2000 \,m^{-1}$, $i_i = 1.5 \,A$, $i_f = 5.5 \,A$, $r = 3 \,cm = 0.03 \,m$, $\Delta t = \frac{\pi^2}{100} \,s$.
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = \mu_0 n (i_f - i_i) = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times (5.5 - 1.5) = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 4 = 32\pi \times 10^{-4} \,T$.
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.03)^2 = 9\pi \times 10^{-4} \,m^2$.
प्रेरित emf $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{A \Delta B}{\Delta t} = \frac{(9\pi \times 10^{-4}) \times (32\pi \times 10^{-4})}{\pi^2 / 100} = \frac{288\pi^2 \times 10^{-8}}{\pi^2 / 100} = 288 \times 10^{-6} \,V = 0.288 \,mV$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) $l$ लंबाई का चालक जब $v$ वेग से $B$ चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो उसमें प्रेरित गतिकीय विद्युत वाहक बल (emf) का सूत्र $\varepsilon = l(v \times B)$ होता है।
यहाँ,छड़ की लंबाई $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ है।
वेग $v = 8 \text{ ms}^{-1}$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \text{ T}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र और गति के तल के लंब के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
प्रेरित emf $\varepsilon = B v l \sin(\theta)$ होगा।
मान रखने पर:
$\varepsilon = 2 \times 8 \times 0.5 \times \sin(30^{\circ})$
$\varepsilon = 8 \times 0.5 = 4 \text{ V}$।
अतः,सिरों के बीच विभवांतर $4 \text{ V}$ है। गति की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए,$V_A - V_B = 4 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(C) दो संकेंद्रित समतलीय वृत्ताकार लूप पर विचार करें। मान लीजिए कि बाहरी लूप की त्रिज्या $R$ है और आंतरिक लूप की त्रिज्या $r$ है।
जब बाहरी लूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो इसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$,हम मान सकते हैं कि छोटे लूप के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
परिभाषा के अनुसार,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $\phi = MI$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$,$\frac{r^2}{R}$ के समानुपाती है।

(C) दिया गया है: विद्युत चुम्बकीय तरंग की आवृत्ति $f = 1.0 \times 10^{14} \,Hz$ है।
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = 4 \,Vm^{-1}$ है।
निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \,C^2 \,N^{-1} \,m^{-2}$ है।
विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$u_E = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (4)^2$
$u_E = \frac{1}{2} \times 8.8 \times 10^{-12} \times 16$
$u_E = 4.4 \times 16 \times 10^{-12}$
$u_E = 70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$ होगा।

(B) मुक्त आकाश में एकवर्णी विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए:
$1$. विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समान कला में दोलन करते हैं,इसलिए कलांतर $0$ है,$\frac{\pi}{2}$ नहीं। कथन $1$ गलत है।
$2$. विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$ है। चूँकि $E = cB$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ है,इसलिए $u_E = u_B$ होता है। अतः,ऊर्जा समान रूप से वितरित है। कथन $2$ सही है।
$3$. विकिरण दबाव $P = \frac{I}{c} = u_{avg}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_{avg}$ औसत ऊर्जा घनत्व है। यह गति और ऊर्जा घनत्व का गुणनफल नहीं है। कथन $3$ गलत है।
$4$. तरंग की गति $c = \frac{E}{B}$ है। कथन $4$ गलत है क्योंकि यह चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र का अनुपात $(B/E = 1/c)$ बताता है।
इसलिए,केवल कथन $2$ सही है।