AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $x > 2$ માટે આપેલ સમીકરણ:
$\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x-2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x+2) + (x-2) - 2\sqrt{(x+2)(x-2)} = 4x - 2$
$2x - 2\sqrt{x^2-4} = 4x - 2$
$-2\sqrt{x^2-4} = 2x - 2$
$-\sqrt{x^2-4} = x - 1$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2 - 4 = (x-1)^2$
$x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$
$-4 = -2x + 1$
$2x = 5$
$x = 2.5$
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = 2.5$ ની કિંમત તપાસતા:
ડાબા: $\sqrt{2.5+2} - \sqrt{2.5-2} = \sqrt{4.5} - \sqrt{0.5} = \sqrt{9 \times 0.5} - \sqrt{0.5} = 3\sqrt{0.5} - \sqrt{0.5} = 2\sqrt{0.5} = \sqrt{4 \times 0.5} = \sqrt{2}$
જબા: $\sqrt{4(2.5) - 2} = \sqrt{10 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
ડાબા $\neq$ જબા હોવાથી,કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x \sqrt{4 \cos^2 x} = \frac{2+x-[x]}{1-x+[x]}$.
કારણ કે $x-[x] = \{x\}$,સમીકરણ $\sin x \cdot 2|\cos x| = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ બને છે.
$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ માટે,$\cos x > 0$ છે,તેથી $|\cos x| = \cos x$.
સમીકરણ $\sin 2x = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ માં સરળ બને છે.
અંતરાલ $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ માં,$\sin 2x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ છે.
પદાવલિ $f(\{x\}) = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ માટે $\{x\} \in [0, 1)$,ન્યૂનતમ કિંમત $\{x\} = 0$ પર મળે છે,જે $f(0) = \frac{2+0}{1-0} = 2$ છે.
ડાબી બાજુની મહત્તમ કિંમત $(0.866)$ એ જમણી બાજુની ન્યૂનતમ કિંમત $(2)$ કરતા ઓછી હોવાથી,આપેલ અંતરાલમાં $x$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$k = 0$.
આમ,$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ માટે $k^{\tan^2 x} = 0^{\tan^2 x} = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$[f(\theta)]^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) + 2 \sqrt{(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta)(a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta)}$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા,$[f(\theta)]^2 = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$.
ધારો કે $X = \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$,જ્યાં $X$ નો વિસ્તાર $[0, 1/4]$ છે.
મહત્તમ કિંમત $M$ માટે,$X = 1/4$ લેતા: $M = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + \frac{(a^2 - b^2)^2}{4}} = 2(a^2 + b^2)$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m$ માટે,$X = 0$ લેતા: $m = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2} = (a+b)^2$.
તેથી,$M - m = 2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2 - 2ab = a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
નિત્યસમ $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right)}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right) + \cos \frac{\pi}{2}} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right)} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
અંતરાલ $\left[ -\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{3} \right]$ માં,વિધેય વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = -\frac{\pi}{3} = -60^{\circ}$ પર મળે છે.
$f(-60^{\circ}) = \tan \left( -60^{\circ} + 120^{\circ} \right) - \tan \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) + \cos \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) = \tan 60^{\circ} - \tan(-30^{\circ}) + \cos(-30^{\circ}) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} = \frac{11 \sqrt{3}}{6}$.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $1-2x-5x^2$ ની મહત્તમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-5)} = -\frac{1}{5}$ પર મળે છે.
$x = -\frac{1}{5}$ મૂકતા,આપણને $a = 1 - 2(-\frac{1}{5}) - 5(-\frac{1}{5})^2 = 1 + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2-2x+5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$ પર મળે છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $b = (1)^2 - 2(1) + 5 = 4$ મળે છે.
હવે,$a = \frac{6}{5}$ અને $b = 4$ ને પદાવલિ $5ax^2+bx+7$ માં મૂકતા:
$5(\frac{6}{5})x^2 + 4x + 7 = 6x^2 + 4x + 7$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $6x^2 + 4x + 7 > 0$ માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(6)(7) = 16 - 168 = -152$ તપાસીએ છીએ.
અહીં $D < 0$ અને મુખ્ય સહગુણક $6 > 0$ હોવાથી,પદાવલિ $6x^2 + 4x + 7$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હંમેશા ધન રહે છે.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ $(-\infty, \infty)$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ:
$\frac{x^4}{(x-a)(x-b)(x-c)}=P(x)+\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$
અંશની ઘાત $4$ છે અને છેદની ઘાત $3$ છે,તેથી $P(x)$ એ $P(x) = x+k$ સ્વરૂપની સુરેખ બહુપદી હશે.
બંને બાજુ $x^4$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$P(x) = x+k$ મળે છે.
$(x-a)(x-b)(x-c)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^4 = (x-a)(x-b)(x-c)P(x) + A(x-b)(x-c) + B(x-a)(x-c) + C(x-a)(x-b)$
$x=a$ લેતા,$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$ મળે છે.
આમ,$A(a-b)(a-c) = a^4$.
$P(0)$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા:
$\frac{0}{(-a)(-b)(-c)} = P(0) + \frac{A}{-a} + \frac{B}{-b} + \frac{C}{-c}$
$0 = P(0) - (\frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c})$
$P(0) = \frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c}$.
$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$,$B = \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}$,અને $C = \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P(0) = a+b+c$ મળે છે.
તેથી,$P(0) + A(a-b)(a-c) = (a+b+c) + a^4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{8}{(x+3)^2(x-2)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{x-2}$
બંને બાજુ $(x+3)^2(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$8 = (Ax+B)(x-2) + C(x+3)^2$
$x=2$ લેતા:
$8 = 0 + C(2+3)^2 \Rightarrow 8 = 25C \Rightarrow C = \frac{8}{25}$
$x=-3$ લેતા:
$8 = (A(-3)+B)(-3-2) + 0 \Rightarrow 8 = (-3A+B)(-5) \Rightarrow 8 = 15A - 5B$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$0 = A + C \Rightarrow A = -C = -\frac{8}{25}$
$A$ ની કિંમત $8 = 15A - 5B$ માં મૂકતા:
$8 = 15(-\frac{8}{25}) - 5B \Rightarrow 8 = -\frac{24}{5} - 5B \Rightarrow 5B = -\frac{24}{5} - 8 = -\frac{64}{5} \Rightarrow B = -\frac{64}{25}$
હવે,$25(B+8C-A)$ ની ગણતરી કરતા:
$25(-\frac{64}{25} + 8(\frac{8}{25}) - (-\frac{8}{25})) = 25(-\frac{64}{25} + \frac{64}{25} + \frac{8}{25}) = 25(\frac{8}{25}) = 8$

(C) ધારો કે $X = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}$ અને $Y = \frac{x + \sqrt{3}y}{2}$.
આ રૂપાંતરણ યામ અક્ષોનું $\theta = 30^\circ$ (અથવા $\pi/6$ રેડિયન) ના ખૂણે પરિભ્રમણ દર્શાવે છે.
પરિભ્રમણ એ આઇસોમેટ્રી હોવાથી (તે અંતર અને ક્ષેત્રફળ જાળવી રાખે છે),નવી યામ પદ્ધતિ $(X, Y)$ માં વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ યામ પદ્ધતિ $(x, y)$ માં $Y = X^2$ અને $X = Y^2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ હોય છે.
આપેલા સમીકરણો $\frac{x+\sqrt{3} y}{2}=\left(\frac{\sqrt{3} x-y}{2}\right)^2$ અને $\frac{\sqrt{3} x-y}{2}=\left(\frac{x+\sqrt{3} y}{2}\right)^2$ અનુક્રમે $Y = X^2$ અને $X = Y^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $y=x^2$ અને $x=y^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ એટલે કે $k$ થાય છે.

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, 4, -1)$,$B(3, 6, -1)$,$C(4, 5, 1)$ અને $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{3+x}{2} = 3 \implies 3+x = 6 \implies x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \implies 6+y = 9 \implies y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \implies -1+z = 0 \implies z = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D(3, 3, 1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(2, -1, 4)$,$B(1, 0, -1)$,$C(1, 2, 3)$ અને $D(2, 1, 8)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (0-(-1))^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$BC = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
$CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$DA = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-1)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
અહીં $AB = CD = \sqrt{27}$ અને $BC = DA = \sqrt{20}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ ચકાસીએ.
$AC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
$BD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2 + (8-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} = \sqrt{1+1+81} = \sqrt{83}$.
$AC \neq BD$ હોવાથી,વિકર્ણો સમાન નથી.
તેથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

(A) ધારો કે $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,અને $C = (4,0,-3)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે બાજુઓના દિશા ગુણોત્તર શોધીએ:
$\overline{AB}$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$.
$\overline{AC}$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$.
લંબપણા માટે ચકાસણી: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,$\overline{AB} \perp \overline{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $H$ એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે. તેથી,$H = A = (1, 2, 3)$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $S$ એ કર્ણ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$S = \left( \frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$.
અંતર સૂત્ર દ્વારા $HS$ નું અંતર:
$HS = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 1 \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} - 2 \right)^2 + (1 - 3)^2}$
$HS = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-2)^2}$
$HS = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{50}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{66}{4}} = \sqrt{\frac{33}{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) $75$ વિદ્યાર્થીઓને $30$ અને $45$ ના બે વિભાગમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $^{75}C_{30}$ છે.
ધારો કે બે ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ $S_1$ અને $S_2$ છે.
કિસ્સો $I$: બંને $S_1$ અને $S_2$ એ $30$ વિદ્યાર્થીઓના વિભાગમાં હોય. રીતોની સંખ્યા $^{73}C_{28}$ છે.
કિસ્સો $II$: બંને $S_1$ અને $S_2$ એ $45$ વિદ્યાર્થીઓના વિભાગમાં હોય. રીતોની સંખ્યા $^{73}C_{43}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{^{73}C_{28} + ^{73}C_{43}}{^{75}C_{30}}$ છે.
$^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{73!}{28!45!} + \frac{73!}{43!30!}}{\frac{75!}{30!45!}} = \frac{73!}{75!} \times \left( \frac{30!45!}{28!45!} + \frac{30!45!}{43!30!} \right)$
$= \frac{1}{75 \times 74} \times (30 \times 29 + 45 \times 44)$
$= \frac{870 + 1980}{5550} = \frac{2850}{5550} = \frac{285}{555} = \frac{19}{37}$.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 50$ છે. $50$ વિદ્યાર્થીઓને $20$ અને $30$ ના બે જૂથમાં વહેંચવાની કુલ રીતો ${}^{50}C_{20} \times {}^{30}C_{30} = {}^{50}C_{20}$ છે.
જો $Ram$ અને $Rahim$ બંને પ્રથમ જૂથમાં ($20$ ની સંખ્યા) હોય,તો બાકીના $48$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $18$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવા પડે. આ રીતોની સંખ્યા ${}^{48}C_{18}$ છે.
જો $Ram$ અને $Rahim$ બંને બીજા જૂથમાં ($30$ ની સંખ્યા) હોય,તો બાકીના $48$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $28$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવા પડે. આ રીતોની સંખ્યા ${}^{48}C_{28}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{{}^{48}C_{18} + {}^{48}C_{28}}{{}^{50}C_{20}}$ છે.
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{\frac{48!}{18!30!} + \frac{48!}{28!20!}}{\frac{50!}{20!30!}} = \frac{20 \times 19}{50 \times 49} + \frac{30 \times 29}{50 \times 49} = \frac{380 + 870}{2450} = \frac{1250}{2450} = \frac{25}{49}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $X$ એ બોક્સ $A$ માંથી પસંદ કરેલ નંબર છે અને $Y$ એ બોક્સ $B$ માંથી પસંદ કરેલ નંબર છે. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $10 \times 10 = 100$ છે.
આપણે સંભાવના $P(X < Y)$ શોધવી છે.
કુલ પરિણામોને ત્રણ કિસ્સાઓમાં વહેંચી શકાય: $X < Y$,$X > Y$,અને $X = Y$.
$X = Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $10$ છે (જેમ કે $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$).
પરિસ્થિતિ સમાન હોવાથી,$X < Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $X > Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા જેટલી જ છે.
ધારો કે $N$ એ $X < Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા છે. તો $N + N + 10 = 100$.
$2N = 90 \implies N = 45$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{N}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$.
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
આ જીવા $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$.
બિંદુ $(h,k)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ છે.
બિંદુ $(5,0)$ માટે,$h=5$ અને $k=0$ છે.
સમીકરણ $m(y^2-3)=0$ બને છે.
ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે,ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ છે.
$h=5$ અને $a=1$ મુકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,અને $M_3(0,0,5)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ મળે છે.
તે જ રીતે $y$ યામ માટે:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
આ ઉકેલતા,આપણને $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ મળે છે.
તે જ રીતે $z$ યામ માટે:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
આ ઉકેલતા,આપણને $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ મળે છે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,અને $C(-3, 4, 5)$ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
અંતે,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.